Prova4C - pROFESSOR IVAN - CÁLCULO3

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLO´GICA DO PARANA´
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - 4ta PROVA
Prof. Dr. Ivan Gonzales
11 de dezembro de 2014
ALUNO :
PERGUNTAS:
1.) [1.5 ptos] Encontre a soma da se´rie:
∞∑
n=0
(−1)npi2n+1
42n+1(2n+ 1)!
.
2.) [2 ptos] Use a se´rie Binomial para encontrar a se´rie de Maclaurin de f(x) = 1√
1+x3
e use
isto para calcular f (9)(0).
3.) [1.5 ptos]Se p > 1, calcule o termo 4 da expressa˜o
1 + 12p +
1
3p +
1
4p + · · ·
1− 12p + 13p − 14p + · · ·
4.) [2 ptos] Calcule :
a. 1−ai1+ia .
b. As ra´ızes quintas da unidade.
5.) [1 pto] Opere usando a forma exponencial:
5i
2 + i
6.) [1 pto] Calcule a soma
∑52
n=1 i
n.
7.) [2 ptos] Use o teorema de Moivre para mostrar que
(
√
3− i)n = 2n(cos npi
6
− i sin npi
6
),
onde n e´ um inteiro. Qual e´ o menor nu´mero inteiro positivo m para que (
√
3 − i)m seja
um nu´mero real positivo?.
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