Geometria Espacial

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MATEMÁTICA
Geometria Espacial
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CÓDIGO:
250318502057
THIAGO CARDOSO
Engenheiro eletrônico formado pelo ITA com distinção em Matemática, analista-
chefe da Múltiplos Investimentos, especialista em mercado de ações. Professor 
desde os 19 anos e, atualmente, leciona todos os ramos da Matemática para 
concursos públicos.
 
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SUMÁRIO
Geometria Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1. Introdução à Geometria Espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Conceitos Primitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Posições Relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Unidades de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1. Relação de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Poliedros de Platão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4. Paralelepípedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5. Cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3. Pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1. Altura da Face . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2. Apótema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3. Planificação da Pirâmide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4. Área Lateral e Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5. Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6. Tronco de Pirâmide ou de Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4. Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Questões comentadas em aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Questões de concurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Gabarito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Gabarito comentado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
 
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GEOMETRIA ESPACIALGEOMETRIA ESPACIAL
1 . iNtRODUÇÃO À GEOMEtRia ESPaciaL1 . iNtRODUÇÃO À GEOMEtRia ESPaciaL
A geometria espacial analisa sólidos tridimensionais no espaço. A principal diferença 
entre a geometria plana e a espacial é justamente a inserção de uma nova dimensão, 
tornando as figuras bidimensionais em tridimensionais.
As três dimensões da geometria espacial são: largura, comprimento e altura ou largura, 
comprimento e profundidade. Para estudar essa vertente da geometria, precisamos 
compreender alguns conceitos básicos e algumas noções primitivas.
1 .1 . cONcEitOS PRiMitiVOS1 .1 . cONcEitOS PRiMitiVOS
A geometria espacial, assim como a geometria plana, possui alguns conceitos primitivos 
essenciais. São eles: ponto, reta, plano e espaço.
Esses conceitos são considerados primitivos porque não possuem uma definição 
matemática rigorosa. Em vez disso, recorremos apenas ao nosso conhecimento de mundo 
ou relações intuitivas.
1 .1 .1 . PONtO
O ponto não possui forma e é adimensional, ou seja, também não possui dimensão. 
O ponto é a unidade mais básica de toda a Geometria, pois é um conjunto de pontos que 
forma qualquer outro elemento no espaço.
Pontos são bastante utilizados quando há necessidade de apontar alguma localização, 
devido à precisão que esse elemento oferece. Essa precisão se dá pela inexistência de um 
tamanho ou forma dessa unidade básica. Geralmente, os pontos são representados por 
letras maiúsculas.
 
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Z
X
Y
P
1 .1 .2 . REta
Uma reta é definida como um conjunto infinito de pontos que formam uma linha. As 
retas não possuem definição e são classificadas como unidimensional. Uma das importâncias 
desse elemento é permitir a medição entre dois pontos quaisquer no espaço.
A reta possui duas ramificações: semirreta e segmento de reta. A semirreta possui início, 
mas é infinita na outra extremidade. Já o segmento de reta possui início e fim. Geralmente, 
as retas são representadas com letras minúsculas.
1 .1 .3 . PLaNO
O plano é um conjunto infinito e ilimitado de retas enfileiradas. Superfícies de mesa ou 
móveis, por exemplo, são considerados partes de um plano, e não o plano em si. O plano é 
fundamental para a geometria plana, pois é nele que esta se desenvolve. Geralmente, os 
planos são representados por letras do alfabeto grego.
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Geometria Espacialinvertida cuja altura é de 50 cm e aresta da base, 20 cm. 
Nessas condições, a quantidade de líquido necessária para encher completamente esse 
reservatório, sem transbordar, é a mais próxima de:
Obs.: 1L = 1000 cm³
a) 17,30 litros.
b) 15,20 litros
c) 18,70 litros.
d) 20,40 litros.
014. 014. (IFRN/2017/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/ADAPTADA) Qual a área lateral da pirâmide 
da questão anterior?
015. 015. (CESPE/SEDU-ES/2010) O volume de um cone circular reto de altura 5 cm e raio da 
base 6 cm é 60π cm3
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016. 016. (AGIRH/PREFEITURA DE ROSEIRA-SP/2021/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) A figura 
geométrica abaixo representa um cone circular reto.
r
h
g
Sabendo que neste cone, r = 3m e g = 5m, então, o seu volume é:
a) 3π m³
b) 5π m³
c) 9π m³
d) 12π m³
017. 017. (CESPE/PC-ES/2011) Os policiais da delegacia de defesa do consumidor apreenderam, 
em um supermercado, 19,5 kg de mercadorias impróprias para o consumo: potes de 150 g 
de queijo e peças de 160 g de salaminho.
Com base nessa situação, julgue os itens a seguir.
Suponha que os potes de queijo tenham a forma de um tronco de cone de 7 cm de altura, 
em que o raio da base maior meça 4 cm e o da base menor, 3 cm. Nesse caso, tomando 3,14 
como valor aproximado para π, é correto afirmar que essas embalagens têm capacidade 
para, no máximo, 250 mL.
018. 018. (AMEOSC/PREFEITURA DE BARRA BONITA-SC/2021/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) O 
diâmetro de uma esfera é 18 cm. Seu volume, em m3, é, aproximadamente:
Dado: utilize π = 3.
a) 0,9.10-3
b) 1,3.10-3
c) 2,9. 10-3
d) 3,6.10-3
019. 019. (VUNESP/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS-SP/2019/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) 
Uma garrafinha de suco tem a parte interna no formato esférico, com diâmetro de 12 cm.
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Arredondando-se π para 3, tem-se o volume correto de suco que é colocado nessa garrafinha, 
para a comercialização. Se cada cm3 corresponde a 1 mL, no rótulo dessa garrafinha consta 
que o volume de suco nela contida é de
a) 144 mL.
b) 576 mL.
c) 864 mL.
d) 1256 mL.
e) 2592 mL.
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QUESTÕES DE CONCURSOQUESTÕES DE CONCURSO
020. 020. (PREFEITURA DE SEARA-SC/2021/TÉCNICO DE ENFERMAGEM) Um reservatório de água 
tem a forma de um prisma reto de base retangular, cujas medidas internas, em metros, 
estão indicadas na figura.
Sabendo-se que a capacidade máxima do mesmo é de 9.000 litros, então a medida interna 
“h” da altura do prisma é de:
a) 1,50 metros
b) 2,0 metros
c) 2,40 metros
d) 3,0 metros
e) 3,5 metros
021. 021. (PREFEITURA DE SEARA-SC/2021/MÉDICO) O índice pluviométrico é uma medida 
da quantidade de chuva que recebeu uma determinada região. A medida é feita em 
mm e representa a altura que a água da chuva atinge em um reservatório aberto de um 
metro quadrado de base. Considera-se que no mês de janeiro de 2021 tenha ocorrido 
uma precipitação regional de aproximadamente 220 mm, cuja medida está ilustrada na 
figura a seguir.
Com base nessas informações e desconsiderando eventuais perdas, um sistema de captação 
de água da chuva retangular (telhado), com dimensões de 10 metros de comprimento por 
8 metros de largura, seria capaz de coletar a água da chuva no mês de janeiro de 2021, 
correspondente a um volume de:
a) 9.600 litros
b) 12.000 litros
c) 14.800 litros
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d) 17.600 litros
e) 19.200 litros
022. 022. (PREFEITURA DE SEARA-SC/2021/MÉDICO) Se a aresta de um cubo é igual a 3, então 
o volume deste cubo é igual a:
a) 9 m³
b) 127 m³
c) 27 m³
d) Nenhuma resposta certa
023. 023. (VUNESP/PREFEITURA DE CANANEIA-SP/2020/PROFESSOR DE ENSINO FUNDAMENTAL) 
Uma peça em madeira maciça, com formato de paralelepípedo reto retangular, com base 
quadrada, tem volume de 300 cm3 e aresta da base medindo 5 cm. A altura dessa peça é de
a) 10 cm.
b) 11 cm.
c) 12 cm.
d) 13 cm.
e) 14 cm.
024. 024. (VUNESP/FITO/2020/TÉCNICO EM GESTÃO/ALMOXARIFADO) A figura a seguir representa 
uma peça em forma prisma triangular.
30 cm
40 cm
70 cm
A soma das áreas de todas as faces dessa peça é igual a
a) 6100 cm².
b) 8000 cm².
c) 8400 cm².
d) 9000 cm².
e) 9600 cm².
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025. 025. (VUNESP/ESEF-SP/2019/CONTADOR) Considere um reservatório, com formato de 
paralelepípedo reto retângulo e com as dimensões indicadas em metros na figura, que está 
completamente cheio de água.
Esse reservatório será esvaziado na razão de 0,15 m3 de água a cada 15 minutos. Se o 
processo de esvaziamento for iniciado às 8 horas e 15 minutos, e não houver interrupções, 
ele estará totalmente concluído às
a) 15 horas e 30 minutos.
b) 14 horas e 40 minutos.
c) 14 horas e 30 minutos.
d) 14 horas e 15 minutos.
e) 13 horas e 45 minutos.
026. 026. (VUNESP/AVAREPREV-SP/2020/ESCRITURÁRIO) Certo suco é vendido em latinhas de 
alumínio, no formato de cilindro. Cada latinha contém 270 mL de suco, o que corresponde 
a 9/10 do volume total da latinha, se utilizado π = 3. Se o diâmetro da latinha é de 6 cm, e 
cada cm3 corresponde a 1 mL, então a altura de cada latinha é de, aproximadamente,
a) 8 cm.
b) 9 cm.
c) 10 cm.
d) 11 cm.
e) 12 cm.
027. 027. (VUNESP/PREFEITURA DE PIRACICABA-SP/2020/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO INFANTIL) 
Considere um recipiente com a forma de paralelepípedo reto retângulo e com dimensões, 
em centímetros, indicadas na figura.
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8
8
h
Se colocarmos 576 cm³ de um líquido nesse recipiente, inicialmente vazio, a quarta parte 
da sua capacidade total não será preenchida. Nessas condições, é correto afirmar que a 
medida da altura desse recipiente, indicada por h na figura, é
a) 14 cm.
b) 12 cm.
c) 11 cm.
d) 10 cm.
e) 9 cm.
028. 028. (VUNESP/PREFEITURA DE PERUÍBE-SP/2019/DIRETOR DE ESCOLA) Um bloco de argila 
tinha o formato original de um prisma reto de base retangular, com 8 cm de largura por 15 
cm de comprimento, conforme mostraa figura.
Toda essa argila, depois de amassada, foi remodelada em 8 blocos menores, cada um deles 
com 75 cm3 de volume. Sabendo que não ocorreu perda alguma de material e que toda a 
argila foi utilizada, então, a altura do bloco original de argila, indicada na figura pela letra 
h, era de
a) 7,0 cm.
b) 6,5 cm.
c) 6,0 cm.
d) 5,5 cm.
e) 5,0 cm.
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029. 029. (VUNESP/PREFEITURA DE ARUJÁ-SP/2019/ENCARREGADO DE FISCALIZAÇÃO) Um prisma 
reto de base triangular tem uma altura de 8 cm e faces laterais de áreas respectivamente 
iguais a 120 cm², 120 cm² e 144 cm². A área da base desse prisma, em cm², é:
a) 124.
b) 120.
c) 116.
d) 112.
e) 108.
030. 030. (VUNESP/PREFEITURA DE VALINHOS-SP/2019/AGENTE ADMINISTRATIVO) A figura 
mostra as medidas internas, em centímetros, de uma caixa na forma de um prisma reto 
de base retangular, com 15 cm de altura.
(Figura fora de escala)
face lateral
base
40
15
Sabendo que o volume dessa caixa é 21000 cm³, então, a área da face lateral, destacada 
na figura, é
a) 450 cm².
b) 475 cm².
c) 500 cm².
d) 525 cm².
e) 550 cm².
031. 031. (VUNESP/CÂMARA DE ORLÂNDIA-SP/2019/CONTADOR) Os reservatórios A e B, ambos 
com a forma de paralelepípedo reto retângulo, têm dimensões internas exatamente iguais, 
conforme indicado nas figuras.
2 m
1,6 m
x m
A B
x m
1,6 m
2 m
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Sabe-se que os volumes de água contidos nos reservatórios A e B ocupam, respectivamente, 
60% e 25% das suas capacidades totais e que o reservatório A contém 1,4 m³ de água a 
mais do que o reservatório B. A medida da altura de cada reservatório, indicada por x nas 
figuras, é igual a
a) 1,25 m.
b) 1,28 m.
c) 1,30 m.
d) 1,35 m.
e) 1,38 m.
032. 032. (VUNESP/PREFEITURA DE IBATÉ-SP/2019/TELEFONISTA) A caixa d’água de um prédio 
público tem a forma de um cilindro reto de diâmetro d = 3,2 m e altura h = 4 m. Então, 
assumindo-se a aproximação π = 3, a capacidade dessa caixa d’água será de
a) 3072 L.
b) 12288 L.
c) 30720 L.
d) 48080 L.
e) 122880 L.
033. 033. (VUNESP/CÂMARA DE SERTÃOZINHO-SP/2019/AUXILIAR LEGISLATIVO) Em uma farmácia 
de manipulação, um recipiente, com a forma de um bloco retangular reto, cujas medidas 
internas das arestas da base são iguais a 24 cm e 15 cm, continha determinada droga 
líquida, sendo que o nível do líquido contido nesse recipiente atingia uma altura de 16 cm. 
Utilizou-se parte desse líquido para preparar 8 frascos de certo medicamento, todos com 
quantidades iguais da droga, e o nível do líquido restante no recipiente passou a ter 12 cm 
de altura. Dessa forma, é correto afirmar que o volume da droga colocado em cada frasco 
foi igual a:
a) 150 cm³
b) 160 cm³
c) 170 cm³
d) 180 cm³
e) 200 cm³
034. 034. (VUNESP/TJ-SP/2018/ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO) Um estabelecimento comercial 
possui quatro reservatórios de água, sendo três deles de formato cúbico, cujas respectivas 
arestas têm medidas distintas, em metros, e um com a forma de um paralelepípedo reto 
retângulo, conforme ilustrado a seguir.
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Sabe-se que, quando totalmente cheios, a média aritmética dos volumes de água dos 
quatro reservatórios é igual a 1,53 m³, e que a média aritmética dos volumes de água dos 
reservatórios cúbicos, somente, é igual a 1,08 m³. Desse modo, é correto afirmar que a 
medida da altura do reservatório com a forma de bloco retangular, indicada por h na figura, 
é igual a
a) 1,40 m.
b) 1,50 m.
c) 1,35 m.
d) 1,45 m.
e) 1,55 m.
035. 035. (VUNESP/TJ-SP/2017/ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO) As figuras seguintes 
mostram os blocos de madeira A, B e C, sendo A e B de formato cúbico e C com formato 
de paralelepípedo reto retângulo, cujos respectivos volumes, em cm³, são representados 
por VA, VB e VC.
5 cm 10 cm 18 cm
10 cm
h
Se VA + VB = 1/2 Vc, então a medida da altura do bloco C, indicada por h na figura, é, em 
centímetros, igual a
a) 15,5.
b) 11.
c) 12,5.
d) 14.
e) 16.
036. 036. (VUNESP/TJ-SP/2015/ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO) Dois recipientes (sem tampa), 
colocados lado a lado, são usados para captar água da chuva. O recipiente A tem o formato 
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de um bloco retangular, com 2 m de comprimento e 80 cm de largura, e o recipiente B tem 
a forma de um cubo de 1 m de aresta. Após uma chuva, cuja precipitação foi uniforme e 
constante, constatou- se que a altura do nível da água no reci piente B tinha aumentado 25 
cm, sem transbordar. Desse modo, pode -se concluir que a água captada pelo recipiente A 
nessa chuva teve volume aproxi mado, em m³, de
a) 0,40.
b) 0,36.
c) 0,32.
d) 0,30.
e) 0,28.
037. 037. (VUNESP/TJ-SP/2014/ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO) Considere um reservatório 
com o formato de um paralelepípedo reto retângulo, com 2 m de comprimento e 1,5 m 
de largura, inicialmente vazio. A válvula de entrada de água no reservatório foi aberta por 
certo período, e, assim, a altura do nível da água no reservatório atingiu 50 cm, preenchendo 
40% da sua capacidade total. Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura desse 
reservatório, em metros, é igual a:
a) 1,75.
b) 1,25.
c) 1,65.
d) 1,50.
e) 1,35.
038. 038. (ESAF/MPOG/2008/ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL) 
Beatriz aposentou-se e resolveu participar de um curso de artesanato. Em sua primeira 
aula, ela precisou construir uma caixa retangular aberta na parte de cima. Para tanto, 
Beatriz colou duas peças retangulares de papelão, medindo 200 cm² cada uma, duas peças 
retangulares, também de papelão, medindo 300 cm² cada uma e uma outra peça retangular 
de papelão medindo 600 cm². Assim, o volume da caixa, em litros, é igual a:
a) 48
b) 6
c) 36
d) 24
e) 12
039. 039. (FAURGS/TJ-RS/2017/TÉCNICO JUDICIÁRIO) No cubo de aresta 10, da figura abaixo, 
encontra-se representado um plano passando pelos vértices B e C e pelos pontos P e Q, 
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pontos médios, respectivamente, das arestas EF e HG, gerando o quadrilátero BCQP. A área 
do quadrilátero BCQP, da figura acima, é:
a) 25√5
b) 50√2
c) 50√5
d) 100√2
e) 100√5
040. 040. (CESPE/TRE-MT/2010/PROGRAMADOR DE COMPUTADOR) A figura acima ilustra a 
eletrônica usada nas últimas eleições no Brasil.Ela contém um painel frontal retangular, ABGF, 
com inclinação Ө = 45º em relação à base ABCH - o vértice H, que não aparece explicitamente 
na figura, é comum às faces ABCH, CDEH e AFEH. As faces BCDG e AFEH são paralelas 
entre si e são trapézios retângulos; todas as outras faces são retângulos. O retângulo IJKL, 
correspondente ao monitor de vídeo, tem dimensões IJ = 20 cm e JK = 15 cm; a distância 
do segmento KL ao segmento AB é igual a 2 cm e a distância do segmento IJ ao segmento 
FG é igual a 3 cm.
B
I
J
L
K
C
D
E
F
A
G
θ
Considere que se deseje reformar a urna, de modo que o monitor seja um quadrado de 
20 cm de lado, aumentando-se o comprimento do segmento JK de 15 cm para 20 cm. 
O comprimento da aresta CD e as distâncias entre os segmentos AB e KL e entre IJ e FG 
deverão manter-se fixas. Para isso, as arestas EF e DG serão diminuídas, as arestas BG e 
AF serão aumentadas, e o ângulo 2 deverá ser diminuído de 45º até um valor Ө0, de modo 
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que o segmento JK passe a medir 20 cm. Com base nessas informações, é correto afirmar 
que o valor de sen Ө0 será igual a:
a) 1/2
b) 2√2/5
c) √2/2
d) 3/4
e) 4/5
041. 041. (FGV/IBGE/2016/TÉCNICO EM INFORMAÇÕES GEOGRÁFICAS E ESTATÍSTICAS) Uma 
pirâmide regular é construída com um quadrado de 6 m de lado e quatro triângulos iguais 
ao da figura abaixo.
6 m
10 m10 m
O volume dessa pirâmide em m3 é aproximadamente:
a) 84
b) 90
c) 96
d) 108
e) 144
042. 042. (ESPCEX/2009) Um reservatório em forma de tronco de pirâmide regular de base 
quadrada e dimensões indicadas na figura deverá ter suas paredes laterais externas cobertas 
por uma tinta impermeável, cujo rendimento é de 11m² por galão.
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Desenho fora de escala
Os pontos A e B representam os centros das bases do tronco de pirâmide
A
2,40 m
3,20 m
7,20 m
B
O número mínimo de galões que devem ser adquiridos para tal operação é:
a) 6
b) 7
c) 9
d) 10
e) 11
043. 043. (ESAF/ATRFB/2009) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio 
está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. 
De quantos cm é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca 
na superfície?
a) 5
b) 7,5
c) 5 + 5√2/2
d) 5√2
e) 10
044. 044. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2017/TÉCNICO DE ENFERMAGEM DO TRABALHO JÚNIOR) A 
Figura a seguir mostra um cilindro reto, um cone reto e uma esfera que tangencia a base do 
cilindro e as geratrizes do cilindro e do cone. O cone e o cilindro têm como base um círculo 
de raio 7 cm e a mesma altura que mede 24 cm.
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Qual o volume, em centímetros cúbicos, da região interior ao cilindro e exterior à esfera e 
ao cone?
a) 800π
b) 784π
c) 748π
d) 684π
e) 648π
045. 045. (VUNESP/2019/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS-SP/FISCAL DE POSTURA E 
ÉTICA URBANA) Um prisma reto tem uma face quadrangular de área 121 cm². Se a soma 
dos comprimentos de todas as arestas desse prisma é igual a 144 cm, seu volume, em cm³, 
é igual a:
a) 726.
b) 968.
c) 1210.
d) 1452.
e) 1694.
046. 046. (UECE-CEV/2018/SEDUC-CE/PROFESSOR/MATEMÁTICA) A questão versa sobre geometria 
euclidiana plana e espacial, e está baseada nas seguintes informações e condições:
I. Três esferas sólidas repousam sobre um plano horizontal;
II. A esfera menor tem centro no ponto C1, é tangente ao plano no ponto P1 e a medida de 
seu raio é igual a 1 cm;
III. A esfera maior tem centro no ponto C3, é tangente ao plano no ponto P3 e a medida de 
seu raio é igual a 3 cm;
IV. A terceira esfera tem centro no ponto C2, é tangente ao plano no ponto P2, e a medida 
de seu raio é igual a 2 cm;
V. Cada esfera é tangente externamente às outras duas.
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O comprimento, em cm, da circunferência que contém os pontos C1, C2 e C3 é igual a:
a) 6π.
b) 4π.
c) 7π.
d) 5π.
047. 047. (FGV/2019/PREFEITURA DE SALVADOR-BA/PROFESSOR/MATEMÁTICA) A figura abaixo 
mostra um quadrado ABCD e quatro triângulos isósceles iguais. Essa figura é a planificação 
de uma pirâmide regular de base quadrada.
Sabendo que AB = 4 e que AE = EB = 5, a altura dessa pirâmide é igual a:
a) √17.
b) √18.
c) √19.
d) √20.
e) √21.
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GABARITOGABARITO
1. d
2. c
3. a
4. E
5. e
6. b
7. c
8. a
9. b
10. d
11. E
12. d
13. a
14. 180√7 cm².
15. C
16. d
17. E
18. c
19. c
20. d
21. d
22. c
23. c
24. e
25. c
26. d
27. b
28. e
29. e
30. d
31. a
32. c
33. d
34. b
35. c
36. a
37. b
38. b
39. c
40. b
41. d
42. b
43. d
44. c
45. e
46. d
47. a
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GABARITO COMENTADOGABARITO COMENTADO
020. 020. (PREFEITURA DE SEARA-SC/2021/TÉCNICO DE ENFERMAGEM) Um reservatório de água 
tem a forma de um prisma reto de base retangular, cujas medidas internas, em metros, 
estão indicadas na figura.
Sabendo-se que a capacidade máxima do mesmo é de 9.000 litros, então a medida interna 
“h” da altura do prisma é de:
a) 1,50 metros
b) 2,0 metros
c) 2,40 metros
d) 3,0 metros
e) 3,5 metros
Lembrando a fórmula de volume:
Temos:
• comprimento = 2 m;
• largura = 1,5 m;
• volume = 9000 L.
Antes de fazer o cálculo, precisamos alterar a unidade de volume:
Agora, basta calcular:
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Letra d.
021. 021. (PREFEITURA DE SEARA-SC/2021/MÉDICO) O índice pluviométrico é uma medida 
da quantidade de chuva que recebeu uma determinada região. A medida é feita em 
mm e representa a altura que a água da chuva atinge em um reservatório aberto de um 
metro quadrado de base. Considera-se que no mês de janeiro de 2021 tenha ocorrido 
uma precipitação regional de aproximadamente 220 mm, cuja medida está ilustrada na 
figura a seguir.
Com base nessas informações e desconsiderando eventuais perdas, um sistema de captação 
de água da chuva retangular (telhado), com dimensões de 10 metros de comprimento por 
8 metros de largura, seria capaz de coletar a água da chuva no mês de janeiro de 2021, 
correspondente a um volume de:
a) 9.600 litros
b) 12.000 litros
c) 14.800 litros
d) 17.600 litros
e) 19.200 litros
Para esse problema, basta perceber que a altura que representa a chuva captada será igual, 
independente do recipiente de captação. Assim, o sistema de captação retangular também 
terá como altura os 220 mm.
Observe a figura a seguir:
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Agora, transformando a unidade milímetro para metro:
Utilizando a fórmula de volume:
Inserindo os dados:
Note que a unidade das alternativas está em litros. Por fim, transformando a unidade de 
volume de m3 para litros:
Letra d.
022. 022. (PREFEITURA DE SEARA-SC/2021/MÉDICO) Se a aresta de um cubo é igual a 3, então 
o volume deste cubo é igual a:
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a) 9 m³
b) 127 m³
c) 27 m³
d) Nenhuma resposta certa
O volume de um cubo é:
Logo, substituindo aresta = 3:
Considerando que a unidade da aresta desse cubo está em metros:
Letra c.
023. 023. (VUNESP/PREFEITURA DE CANANEIA-SP/2020/PROFESSOR DE ENSINO FUNDAMENTAL) 
Uma peça em madeira maciça, com formato de paralelepípedo reto retangular, com base 
quadrada, tem volume de 300 cm3 e aresta da base medindo 5 cm. A altura dessa peça é de
a) 10 cm.
b) 11 cm.
c) 12 cm.
d) 13 cm.
e) 14 cm.
A peça em madeira maciça foi representada a seguir:
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Utilizando a fórmula de volume:
Temos:
• comprimento = largura = 5 cm (base quadrada);
• volume = 300 cm3.
Agora, basta calcular:
Letra c.
024. 024. (VUNESP/FITO/2020/TÉCNICO EM GESTÃO/ALMOXARIFADO) A figura a seguir representa 
uma peça em forma prisma triangular.
30 cm
40 cm
70 cm
A soma das áreas de todas as faces dessa peça é igual a
a) 6100 cm².
b) 8000 cm².
c) 8400 cm².
d) 9000 cm².
e) 9600 cm².
O prisma é de base triangular. Isso significa que o polígono da sua base é um triângulo. 
Além disso, possui 3 retângulos como faces laterais. Precisamos calcular a área de cada 
face para resolver o problema.
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Bases do prisma:
Face lateral 1. Agora, considere a face amarela a seguir:
Para encontrar a área da face amarela, precisamos achar o valor de x. Assim, considere 
o triângulo:
Basta utilizar a fórmula de Pitágoras:
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Então, a face do retângulo amarelo é:
Face lateral 2. Considere agora a face rosa a seguir:
Então, a face do retângulo rosa é:
Face lateral 3. Considere a face inferior azul a seguir:
Então, face do retângulo azul é:
A soma das áreas laterais será a soma das 5 figuras geométricas: 2 triângulos (bases) e 3 
retângulos (faces laterais):
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Letra e.
025. 025. (VUNESP/ESEF-SP/2019/CONTADOR) Considere um reservatório, com formato de 
paralelepípedo reto retângulo e com as dimensões indicadas em metros na figura, que está 
completamente cheio de água.
Esse reservatório será esvaziado na razão de 0,15 m3 de água a cada 15 minutos. Se o 
processo de esvaziamento for iniciado às 8 horas e 15 minutos, e não houver interrupções, 
ele estará totalmente concluído às
a) 15 horas e 30 minutos.
b) 14 horas e 40 minutos.
c) 14 horas e 30 minutos.
d) 14 horas e 15 minutos.
e) 13 horas e 45 minutos.
Primeiramente, precisaremos da fórmula de volume:
Temos:
• comprimento = 2 m;
• largura = 1,5 m;
• altura = 1,25 m.
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Então, o volume será:
O esvaziamento do reservatório segue a seguinte regra de três:
Transformando a unidade do tempo para horas:
Como o início do esvaziamento foi em 8h15min, o seu final será em:
Letra c.
026. 026. (VUNESP/AVAREPREV-SP/2020/ESCRITURÁRIO) Certo suco é vendido em latinhas de 
alumínio, no formato de cilindro. Cada latinha contém 270 mL de suco, o que corresponde 
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a 9/10 do volume total da latinha, se utilizado π = 3. Se o diâmetro da latinha é de 6 cm, e 
cada cm3 corresponde a 1 mL, então a altura de cada latinha é de, aproximadamente,
a) 8 cm.
b) 9 cm.
c) 10 cm.
d) 11 cm.
e) 12 cm.
Para descobrir a capacidade total de cada latinha de alumínio, precisamos fazer o cálculo 
a seguir:
Além disso, como o raio é a metade do diâmetro, o raio da base desse cilindro é:
Sabendo que o volume do cilindro é:
E que o raio = 3 cm, π = 3 e volume= 300 cm3:
Letra d.
027. 027. (VUNESP/PREFEITURA DE PIRACICABA-SP/2020/PROFESSOR DE EDUCAÇÃO INFANTIL) 
Considere um recipiente com a forma de paralelepípedo reto retângulo e com dimensões, 
em centímetros, indicadas na figura.
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8
8
h
Se colocarmos 576 cm³ de um líquido nesse recipiente, inicialmente vazio, a quarta parte 
da sua capacidade total não será preenchida. Nessas condições, é correto afirmar que a 
medida da altura desse recipiente, indicada por h na figura, é
a) 14 cm.
b) 12 cm.
c) 11 cm.
d) 10 cm.
e) 9 cm.
Segundo o enunciado, temos que o recipiente não teve sua ¼ parte da capacidade total 
preenchida. Significa que os 576 cm3 equivalem a ¾ da sua capacidade total. Observe a 
figura a seguir:
Para descobrir sua capacidade total, precisamos fazer o cálculo a seguir:
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Agora, lembrando a fórmula de volume:
Temos:
• comprimento = 8 cm;
• largura = 8 cm³;
• volume = 768 cm3.
Por fim, basta calcular a altura do recipiente:
Letra b.
028. 028. (VUNESP/PREFEITURA DE PERUÍBE-SP/2019/DIRETOR DE ESCOLA) Um bloco de argila 
tinha o formato original de um prisma reto de base retangular, com 8 cm de largura por 15 
cm de comprimento, conforme mostra a figura.
Toda essa argila, depois de amassada, foi remodelada em 8 blocos menores, cada um deles 
com 75 cm3 de volume. Sabendo que não ocorreu perda alguma de material e que toda a 
argila foi utilizada, então, a altura do bloco original de argila, indicada na figura pela letra 
h, era de
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a) 7,0 cm.
b) 6,5 cm.
c) 6,0 cm.
d) 5,5 cm.
e) 5,0 cm.
Primeiro, precisamos saber qual o volume total de argila. Como esse volume total gerou 8 
blocos de 75 cm3 cada, então:
Agora, utilizando a fórmula de volume:
Temos:
• comprimento = 15 cm
• largura = 8 cm
• volume = 600 cm3
Dessa forma, a altura do recipiente será:
Letra e.
029. 029. (VUNESP/PREFEITURA DE ARUJÁ-SP/2019/ENCARREGADO DE FISCALIZAÇÃO) Um prisma 
reto de base triangular tem uma altura de 8 cm e faces laterais de áreas respectivamente 
iguais a 120 cm², 120 cm² e 144 cm². A área da base desse prisma, em cm², é:
a) 124.
b) 120.
c) 116.
d) 112.
e) 108.
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As faces laterais de um prisma reto são sempre retângulos. Todos esses retângulos têm 
a altura do prisma em comum, ou seja, todos têm altura = 8 cm. A outra medida desses 
retângulos será também um dos lados do triângulo base desse prisma.
Observe a figura:
Assim, precisamos calcular os valores de x, y, z:
• valor de x:
• valor de y:
O valor de z é base de um retângulo também com área = 120 cm2 e altura = 8 cm. Logo, z = 
y = 15 cm. Assim, temos o seguinte triângulo como base do prisma:
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Para descobrir a área desse triângulo, precisamos saber, antes, sua altura. Note que podemos 
formar um triângulo reto, cuja base é metade da base do triângulo maior. Observe a figura:
Assim, a altura será encontrada com a fórmula de Pitágoras:
Por fim, calcularemos a área desse triângulo:
Letra e.
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030. 030. (VUNESP/PREFEITURA DE VALINHOS-SP/2019/AGENTE ADMINISTRATIVO) A figura 
mostra as medidas internas, em centímetros, de uma caixa na forma de um prisma reto 
de base retangular, com 15 cm de altura.
(Figura fora de escala)
face lateral
base
40
15
Sabendo que o volume dessa caixa é 21000 cm³, então, a área da face lateral, destacada 
na figura, é
a) 450 cm².
b) 475 cm².
c) 500 cm².
d) 525 cm².
e) 550 cm².
Considere a fórmula de volume a seguir.
Dessa forma, basta substituir os valores do problema:
• comprimento = 40 cm;
• altura = 15 cm;
• volume = 21000 cm3.
Assim, a largura do recipiente será:
Logo, a face destacada é formada por um retângulo de base = 35 cm e altura = 15 cm.
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Letra d.
031. 031. (VUNESP/CÂMARA DE ORLÂNDIA-SP/2019/CONTADOR) Os reservatórios A e B, ambos 
com a forma de paralelepípedo reto retângulo, têm dimensões internas exatamente iguais, 
conforme indicado nas figuras.
2 m
1,6 m
x m
A B
x m
1,6 m
2 m
Sabe-se que os volumes de água contidos nos reservatórios A e B ocupam, respectivamente, 
60% e 25% das suas capacidades totais e que o reservatório A contém 1,4 m³ de água a 
mais do que o reservatório B. A medida da altura de cada reservatório, indicada por x nas 
figuras, é igual a
a) 1,25 m.
b) 1,28 m.
c) 1,30 m.
d) 1,35 m.
e) 1,38 m.
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Primeiro, observe o reservatório A. Como a base desse reservatório é constante, e ele contém 
60% da sua capacidade máxima, então a altura do nível de água também representa 60% 
da altura total desse reservatório.
O mesmo vale para o reservatório B. Observe as figuras a seguir:
Logo, a diferença entre os dois reservatórios pode ser representada por um volume cujas 
dimensões são:
• comprimento = 2 m;
• largura = 1,6 m;
• altura = 0,6 h – 0,25 h, com h = altura total.
A diferença de volume entre os dois recipientes foi representada na cor laranja. Observe 
a figura:
Agora, utilizando a fórmula de volume:
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Temos:
Letra a.
032. 032. (VUNESP/PREFEITURA DE IBATÉ-SP/2019/TELEFONISTA) A caixa d’água de um prédio 
público tem a forma de um cilindro reto de diâmetro d = 3,2 m e altura h = 4 m. Então, 
assumindo-se a aproximação π = 3, a capacidade dessa caixa d’água será de
a) 3072 L.
b) 12288 L.
c) 30720 L.
d) 48080 L.
e) 122880 L.
Primeiramente, sabendo que o diâmetro do reservatório é 3,2 m, seu raio será:
O reservatório da questão pode ser representado a seguir:
Sabendo que o volume do cilindro é:
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E que o raio = 1,6 m, π = 3 e altura = 4 m:
Note que as alternativas do enunciado estão todas em litros. Para isso, precisamos transformar 
a unidade do volume:
Letra c.
033. 033. (VUNESP/CÂMARA DE SERTÃOZINHO-SP/2019/AUXILIAR LEGISLATIVO) Em uma farmácia 
de manipulação, um recipiente, com a forma de um bloco retangular reto, cujas medidas 
internas das arestas da base são iguais a 24 cm e 15 cm, continha determinada droga 
líquida, sendo que o nível do líquido contido nesse recipiente atingia uma altura de 16 cm. 
Utilizou-se parte desse líquido para preparar 8 frascos de certo medicamento, todos com 
quantidades iguais da droga, e o nível do líquido restante no recipiente passou a ter 12 cm 
de altura. Dessa forma, é correto afirmar que o volume da droga colocado em cada frasco 
foi igual a:
a) 150 cm³
b) 160 cm³
c) 170 cm³
d) 180 cm³
e) 200 cm³
Por meio do enunciado, podemos descrever duas situações: o estado antes e depois de o 
recipiente ter parte de seu líquido retirado. Observe essas situações a seguir:
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Agora é possível perceber que o volume utilizado para preencher os frascos é calculado 
com os seguintes parâmetros:
• comprimento = 24 cm;
• largura = 15 cm;
• altura = 4 cm.
Assim, o volume total utilizado para encher os frascos será:
Esse volume total foi dividido entre 8 frascos. Dessa forma, o volume de cada frasco é de:
Letra d.
034. 034. (VUNESP/TJ-SP/2018/ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO) Um estabelecimento comercial 
possui quatro reservatórios de água, sendo três deles de formato cúbico, cujas respectivas 
arestas têm medidas distintas, em metros, e um com a forma de um paralelepípedo reto 
retângulo, conforme ilustrado a seguir.
Sabe-se que, quando totalmente cheios, a média aritmética dos volumes de água dos 
quatro reservatórios é igual a 1,53 m³, e que a média aritmética dos volumes de água dos 
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reservatórios cúbicos, somente, é igual a 1,08 m³. Desse modo, é correto afirmar que a 
medida da altura do reservatório com a forma de bloco retangular, indicada por h na figura, 
é igual a
a) 1,40 m.
b) 1,50 m.
c) 1,35 m.
d) 1,45 m.
e) 1,55 m.
Para a resolução, chamaremos os reservatórios cúbicos de A, B, C e o reservatório retangular 
de D. Pelo enunciado:
Por meio da equação (II):
Substituindo a equação (III) em (I):
Agora, precisamos descobrir o valor de h no reservatório D. Lembrando a fórmula de volume:
Temos:
• comprimento = 1,6 m;
• largura = 1,2 m;
• volume = 2,88 m3.
Por fim, basta calcular a altura do recipiente:
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Letra b.
035. 035. (VUNESP/TJ-SP/2017/ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO) As figuras seguintes 
mostram os blocos de madeira A, B e C, sendo A e B de formato cúbico e C com formato 
de paralelepípedo reto retângulo, cujos respectivos volumes, em cm³, são representados 
por VA, VB e VC.
5 cm 10 cm 18 cm
10 cm
h
Se VA + VB = 1/2 Vc, então a medida da altura do bloco C, indicada por h na figura, é, em 
centímetros, igual a
a) 15,5.
b) 11.
c) 12,5.
d) 14.
e) 16.
Sabe-se que o volume de um cubo é:
Logo, é possível calcular os volumes do bloco A e B:
• bloco A
• bloco B
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Para achar o volume do bloco C, basta substituir esses valores encontrados na fórmula 
dada no enunciado da questão:
Agora, sabendo que:
E que, para o bloco C, o comprimento = 18 cm e a largura = 10 cm, a altura do bloco C é:
Letra c.
036. 036. (VUNESP/TJ-SP/2015/ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO) Dois recipientes (sem tampa), 
colocados lado a lado, são usados para captar água da chuva. O recipiente A tem o formato 
de um bloco retangular, com 2 m de comprimento e 80 cm de largura, e o recipiente B tem 
a forma de um cubo de 1 m de aresta. Após uma chuva, cuja precipitação foi uniforme e 
constante, constatou- se que a altura do nível da água no reci piente B tinha aumentado 25 
cm, sem transbordar. Desse modo, pode -se concluir que a água captada pelo recipiente A 
nessa chuva teve volume aproxi mado, em m³, de
a) 0,40.
b) 0,36.
c) 0,32.
d) 0,30.
e) 0,28.
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Para esse problema, devemos perceber que a altura que representa a chuva captada será 
igual, independente do recipiente ser A ou B. Assim, o recipiente B também terá como nível 
de água os 25 cm ou 0,25 m.
Observe a figura a seguir:
Utilizando a fórmula de volume:
E sabendo que os dados são:
• comprimento = 2 m;
• largura = 8 cm = 0,8 m;
• altura = 25 cm = 0,25 m.
Letra a.
037. 037. (VUNESP/TJ-SP/2014/ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO) Considere um reservatório 
com o formato de um paralelepípedo reto retângulo, com 2 m de comprimento e 1,5 m 
de largura, inicialmente vazio. A válvula de entrada de água no reservatório foi aberta por 
certo período, e, assim, a altura do nível da água no reservatório atingiu 50 cm, preenchendo 
40% da sua capacidade total. Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura desse 
reservatório, em metros, é igual a:
a) 1,75.
b) 1,25.
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c) 1,65.
d) 1,50.
e) 1,35.
Sabemos que a altura de 50 cm resulta em um recipiente com 40% da sua capacidade total. 
Observe a figura a seguir:
Isso significa que essa altura de 50 cm é também 40% da altura total do recipiente, visto 
que a base do recipiente é constante. Logo:
Letra b.
038. 038. (ESAF/MPOG/2008/ESPECIALISTA EM POLÍTICAS PÚBLICAS E GESTÃO GOVERNAMENTAL) 
Beatriz aposentou-se e resolveu participar de um curso de artesanato. Em sua primeira 
aula, ela precisou construir uma caixa retangular aberta na parte de cima. Para tanto, 
Beatriz colou duas peças retangulares de papelão, medindo 200 cm² cada uma, duas peças 
retangulares, também de papelão, medindo 300 cm² cada uma e uma outra peça retangular 
de papelão medindo 600 cm². Assim, o volume da caixa, em litros, é igual a:
a) 48
b) 6
c) 36
d) 24
e) 12
Questão bastante interessante. Beatriz formou uma caixa de papelão em forma de 
paralelepípedo. Duas das faces medem 200 cm². Vejamos no detalhe:
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Agora, vejamos as duas faces de 300 cm²:
Por fim, foi utilizada uma única face retangular de 600 cm², que corresponde ao fundo da 
caixa:
Temos, portanto, algumas equações:
A questão pediu o volume da caixa, que é calculado por:
A forma mais simples de calcular o volume é multiplicando as três equações que temos 
acima. Vejamos:
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O(a) aluno(a) precisava saber também que 1 L = 1000 cm³.
Letra b.
039. 039. (FAURGS/TJ-RS/2017/TÉCNICO JUDICIÁRIO) No cubo de aresta 10, da figura abaixo, 
encontra-se representado um plano passando pelos vértices B e C e pelos pontos P e Q, 
pontos médios, respectivamente, das arestas EF e HG, gerando o quadrilátero BCQP. A área 
do quadrilátero BCQP, da figura acima, é:
a) 25√5
b) 50√2
c) 50√5
d) 100√2
e) 100√5
Questão bastante interessante. O quadrilátero BCQP é um retângulo. O lado BP é perpendicular 
ao lado BC porque pertence a uma face (BFEA) que é perpendicular à face ABCD à qual 
pertence o lado BC.
Lembre-se da regra: se o plano A é perpendicular ao plano B, então qualquer reta do plano 
A é perpendicular a qualquer reta do plano B.
Sendo assim, podemos calcular os lados do retângulo pelo teorema de Pitágoras.
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O lado BP é a hipotenusa do triângulo retângulo BFP. Portanto:
A área do retângulo BCPQ é dada pelo produto da base pela altura:
Letra c.
040. 040. (CESPE/TRE-MT/2010/PROGRAMADOR DE COMPUTADOR) A figura acima ilustra a 
eletrônica usada nas últimas eleições no Brasil. Ela contém um painel frontal retangular, ABGF, 
com inclinação Ө = 45º em relação à base ABCH - o vértice H, que não aparece explicitamente 
na figura, é comum às faces ABCH, CDEH e AFEH. As faces BCDG e AFEH são paralelas 
entre si e são trapézios retângulos; todas as outras faces são retângulos. O retângulo IJKL, 
correspondente ao monitor de vídeo, tem dimensões IJ = 20 cm e JK = 15 cm; a distância 
do segmento KL ao segmento AB é igual a 2 cm e a distância do segmento IJ ao segmento 
FG é igual a 3 cm.
B
I
J
L
K
C
D
E
F
A
G
θ
Considere que se deseje reformar a urna, de modo que o monitor seja um quadrado de 
20 cm de lado, aumentando-se o comprimento do segmento JK de 15 cm para 20 cm. 
O comprimento da aresta CD e as distâncias entre os segmentos AB e KL e entre IJ e FG 
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deverão manter-se fixas. Para isso, as arestas EF e DG serão diminuídas, as arestas BG e 
AF serão aumentadas, e o ângulo 2 deverá ser diminuído de 45º até um valor Ө0, de modo 
que o segmento JK passe a medir 20 cm. Com base nessas informações, é correto afirmar 
que o valor de sen Ө0 será igual a:
a) 1/2
b) 2√2/5
c) √2/2
d) 3/4
e) 4/5
Em relação a outras questões de concursos de Geometria Espacial, essa pode ser considerada 
uma questão ímpar de alto nível de dificuldade.
Podemos calcular a altura da urna.
B
I
J
L
K
C
D
E
F
A
G
h
θ
O tamanho do segmento BG é igual ao segmento JK = 15 cm acrescido das folgas que 
existem acima (3 cm) e abaixo (2 cm).
Podemos, então, calcular a altura da urna:
Para aumentar o comprimento do monitor, ou seja, o segmento JK até chegar em 20 cm, a 
urna será deitada, de modo a não variar a sua altura, pois o enunciado diz que a aresta CD 
ficou inalterada. Sendo assim, haverá a seguinte situação em que h = 10√2:
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B
I
J
L
K
C
D
E
F
A
G
h
θ
Nesse caso, o segmento BG ficou alterado, pois JK = 20 cm acrescido das duas folgas, uma 
de 3 cm acima e outra de 2 cm abaixo do monitor:
Podemos, portanto, calcular o seno do ângulo pedido pela expressão clássica da geometria 
plana.
Letra b.
041. 041. (FGV/IBGE/2016/TÉCNICO EM INFORMAÇÕES GEOGRÁFICAS E ESTATÍSTICAS) Uma 
pirâmide regular é construída com um quadrado de 6 m de lado e quatro triângulos iguais 
ao da figura abaixo.
6 m
10 m10 m
O volume dessa pirâmide em m3 é aproximadamente:
a) 84
b) 90
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c) 96
d) 108
e) 144
Para calcularmos o volume da pirâmide, precisamos calcular a sua altura, que não foi 
fornecida. De acordo com o enunciado, a pirâmide foi construída com o auxílio de quatro 
triângulos isósceles. Trata-se, portanto, de uma pirâmide reta, que pode ser representada 
a seguir:
A altura da face pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras:
Por fim, há o triângulo retângulo característico da pirâmide formado pela altura da pirâmide 
(H), o apótema (r) e a altura da face (hf).
Como a base é quadrada, o apótema é igual à metade da aresta da base:
Como a base é um quadrado de lado 6, a sua área éfacilmente calculada pelas expressões 
que conhecemos da geometria plana B = 6² = 36.
Sendo assim, o volume é igual ao produto base vezes altura dividido por 3:
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Letra d.
042. 042. (ESPCEX/2009) Um reservatório em forma de tronco de pirâmide regular de base 
quadrada e dimensões indicadas na figura deverá ter suas paredes laterais externas cobertas 
por uma tinta impermeável, cujo rendimento é de 11m² por galão.
Desenho fora de escala
Os pontos A e B representam os centros das bases do tronco de pirâmide
A
2,40 m
3,20 m
7,20 m
B
O número mínimo de galões que devem ser adquiridos para tal operação é:
a) 6
b) 7
c) 9
d) 10
e) 11
O primeiro ponto a se observar é que as faces laterais do tronco de pirâmide são trapezoidais. 
Sabemos calcular a área de um trapézio, mas, para isso, precisamos da altura de cada um 
deles, ou seja, a altura da face.
Podemos estabelecer os apótemas das bases quadradas como metade do lado:
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Desenho fora de escala
Os pontos A e B representam os centros das bases do tronco de pirâmide
A
2,40 m
3,20 m
7,20 m
B
3,6
hf
1,2
Chegamos a um trapézio que será útil para calcular a altura da face:
Temos um triângulo retângulo de hipotenusa hf e catetos 2,4 e 3,2. O modo mais fácil de 
calcular hf é reconhecendo a proporcional com o triângulo pitagórico 3-4-5.
Naturalmente, se você não notou a proporção, seria possível recorrer ao teorema de Pitágoras:
A área de cada face do tronco de pirâmide pode ser calculada pelas expressões conhecidas 
para o trapézio:
Como a pirâmide tem 4 faces laterais, a sua área lateral é de 76,8 m². Como é necessário 
um galão para cada 11 m², teremos que o número de galões a serem utilizados é:
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Portanto, são necessários pelos menos 7 galões.
Letra b.
043. 043. (ESAF/ATRFB/2009) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio 
está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. 
De quantos cm é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca 
na superfície?
a) 5
b) 7,5
c) 5 + 5√2/2
d) 5√2
e) 10
Questão muito difícil. Podemos fazer um corte no problema. A esfera encostada no cone 
significa que ela é tangente ao cone por fora:
Observe que a altura do cone o divide em um triângulo retângulo isósceles, portanto, o 
ângulo destacado é de 45º:
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Note que temos um triângulo retângulo com a hipotenusa D. Esse triângulo é isósceles 
porque tem um ângulo de 45º, portanto:
Letra d.
044. 044. (CESGRANRIO/PETROBRAS/2017/TÉCNICO DE ENFERMAGEM DO TRABALHO JÚNIOR) A 
Figura a seguir mostra um cilindro reto, um cone reto e uma esfera que tangencia a base do 
cilindro e as geratrizes do cilindro e do cone. O cone e o cilindro têm como base um círculo 
de raio 7 cm e a mesma altura que mede 24 cm.
Qual o volume, em centímetros cúbicos, da região interior ao cilindro e exterior à esfera e 
ao cone?
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a) 800π
b) 784π
c) 748π
d) 684π
e) 648π
Tomando uma secção plana transversal da figura, a esfera se torna uma circunferência que 
está inscrita em um triângulo retângulo.
A hipotenusa desse triângulo é a geratriz do cone, que pode ser calculada pelo teorema de 
Pitágoras. Vejamos:
O raio da esfera, por sua vez, é o raio da circunferência inscrita em um triângulo retângulo 
de catetos 7 e 24 e hipotenusa 25.
O modo mais fácil de calcular esse raio é pela reação entre área e raio da inscrita.
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A questão pediu o volume interior ao cilindro e exterior à esfera e ao cone. Esse valor é 
dado por:
O volume do cilindro pode ser facilmente calculado por área da base vezes altura:
O volume do cone é um terço do volume do cilindro, pois ele possui a mesma base e a 
mesma altura:
Por fim, temos o volume da esfera:
Agora, calculemos o volume pedido:
Letra c.
045. 045. (VUNESP/2019/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS-SP/FISCAL DE POSTURA E 
ÉTICA URBANA) Um prisma reto tem uma face quadrangular de área 121 cm². Se a soma 
dos comprimentos de todas as arestas desse prisma é igual a 144 cm, seu volume, em cm³, 
é igual a:
a) 726.
b) 968.
c) 1210.
d) 1452.
e) 1694.
Um prisma reto de base quadrangular é da seguinte forma:
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Como sua base tem área 121 cm² e é um quadrado, então o lado da sua base equivale a:
Além disso, o prisma reto quadrangular é formado por 8 arestas horizontais iguais que 
compõem a base quadrada e 4 arestas verticais, também de valores iguais entre si, já que 
o prisma é reto.
A figura a seguir ilustra isso:
Dessa forma, sendo a soma dos comprimentos de todas as arestas igual a 144 cm, então 
a aresta a equivale a:
Assim:
Portanto, o volume do prisma é:
Letra e.
046. 046. (UECE-CEV/2018/SEDUC-CE/PROFESSOR/MATEMÁTICA) A questão versa sobre geometria 
euclidiana plana e espacial, e está baseada nas seguintes informações e condições:
I. Três esferas sólidas repousam sobre um plano horizontal;
II. A esfera menor tem centro no ponto C1, é tangente ao plano no ponto P1 e a medida de 
seu raio é igual a 1 cm;
III. A esfera maior tem centro no ponto C3, é tangente ao plano no ponto P3 e a medida de 
seu raio é iguala 3 cm;
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IV. A terceira esfera tem centro no ponto C2, é tangente ao plano no ponto P2, e a medida 
de seu raio é igual a 2 cm;
V. Cada esfera é tangente externamente às outras duas.
O comprimento, em cm, da circunferência que contém os pontos C1, C2 e C3 é igual a:
a) 6π.
b) 4π.
c) 7π.
d) 5π.
Considerando uma vista superior do problema, a imagem obtida pode ser a seguinte:
3 cm
1 cm
2 cm
Perceba que os pontos C1, C2 e C3 formam um triângulo de lado 3, 4 e 5 cm, já que seus 
lados são: a soma dos raios das esferas 1 e 2, a soma dos raios das esferas 2 e 3 e a soma 
dos raios das esferas 1 e 3.
A imagem seguinte ilustra o triângulo formado em vermelho:
4 cm
3 cm
5 cm
Nota-se também que o triângulo em questão é retângulo, visto que ele obedece ao Teorema de 
Pitágoras, que diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, 
pois:
Assim, o ângulo entre os catetos de lado 3 cm e 4 cm é reto, ou seja, possui 90º.
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Pelo Teorema do ângulo inscrito, sabemos que, em uma circunferência, a medida do ângulo 
central é igual ao dobro da medida do ângulo inscrito que subtende o mesmo arco. Observe 
a figura:
Perceba também que a hipotenusa do triângulo é congruente ao diâmetro da circunferência 
circunscrita ao triângulo, como podemos visualizar a seguir:
Portanto, como o comprimento de uma circunferência é dado por:
E o raio da circunferência circunscrita é a metade da hipotenusa, ou seja, 2,5 cm, temos 
que a circunferência equivale a:
Letra d.
047. 047. (FGV/2019/PREFEITURA DE SALVADOR-BA/PROFESSOR/MATEMÁTICA) A figura abaixo 
mostra um quadrado ABCD e quatro triângulos isósceles iguais. Essa figura é a planificação 
de uma pirâmide regular de base quadrada.
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Sabendo que AB = 4 e que AE = EB = 5, a altura dessa pirâmide é igual a:
a) √17.
b) √18.
c) √19.
d) √20.
e) √21.
Primeiramente, vamos descobrir o apótema da pirâmide.
O ponto médio da base dos triângulos é:
Agora, podemos usar o teorema de Pitágoras:
Logo:
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Agora, é possível descobrir a altura. Observe um corte da pirâmide já montada:
Novamente usando Pitágoras:
Letra a.
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	Sumário
	Geometria Espacial
	1. Introdução à Geometria Espacial
	1.1. Conceitos Primitivos
	1.2. Posições Relativas
	1.3. Unidades de Medida
	2. Poliedros
	2.1. Relação de Euler
	2.2. Poliedros de Platão
	2.3. Prisma
	2.4. Paralelepípedo
	2.5. Cilindro
	3. Pirâmide
	3.1. Altura da Face
	3.2. Apótema
	3.3. Planificação da Pirâmide
	3.4. Área Lateral e Volume
	3.5. Cone
	3.6. Tronco de Pirâmide ou de Cone
	4. Esfera
	Questões Comentadas em Aula
	Questões de Concurso
	Gabarito
	Gabarito ComentadoThiago Cardoso
1 .1 .4 . ESPaÇO
O espaço é formado por um conjunto infinito de planos enfileirados um em cima do 
outro. Assim, surge uma nova dimensão, caracterizada simbolicamente pelo somatório 
das alturas dos infinitos planos. Em um espaço, é possível, então, desenhar figuras com 
comprimento, largura e altura.
O espaço é a base para a construção e o desenvolvimento da geometria espacial. O 
espaço tem direções infinitas e ilimitadas. Essas direções podem partir de um sistema de 
coordenadas, o qual será considerado referência dentro do espaço.
1 .2 . POSiÇÕES RELatiVaS1 .2 . POSiÇÕES RELatiVaS
O primeiro ponto que precisamos entender é a relação que um elemento primitivo tem 
em relação a outro, seja dentro de um espaço ou plano. É importante conhecer essas noções 
para compreender melhor a geometria espacial e como ela funciona.
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1.2.1. POSIÇÃO RELATIVA ENTRE: PONTO – RETA E PONTO – PLANO
Na relação ponto e reta, há duas possibilidades: o ponto pode pertencer à reta ou não 
pertencer. O mesmo se aplica à relação ponto e plano: o ponto pode estar contido no plano 
ou não estar contido.
1 .2 .2 . POSiÇÃO RELatiVa ENtRE PONtOS
Tome dois ou mais pontos quaisquer contidos no espaço. Eles podem ser:
• Colineares: quando os pontos pertencem a uma mesma reta;
• Coplanares: quando os pontos pertencem ao mesmo plano.
Agora, veja um exemplo de pontos colineares e coplanares simultaneamente.
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1 .2 .3 . POSiÇÃO RELatiVa ENtRE REtaS
Quando duas ou mais retas pertencem ao mesmo plano, são chamadas de retas coplanares. 
Quando não há pertencimento ao mesmo plano, são chamadas retas reversas.
As retas coplanares se subdividem em três casos de posição relativa: retas paralelas, 
coincidentes e concorrentes:
• Retas paralelas: quando não possuem pontos em comum;
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• Retas coincidentes: quando possuem todos os pontos em comum e, portanto, são 
consideradas retas iguais;
• Retas concorrentes: quando possuem um único ponto em comum.
1 .2 .4 . POSiÇÃO RELatiVa ENtRE PLaNOS
A posição relativa de dois planos pode ser: paralelo, coincidente ou secante.
Planos paralelos: não possuem elementos em comum. Isso significa que não há interseção 
entre os planos.
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Planos secantes: são planos que se interceptam em algum lugar do espaço.
Planos coincidentes: quando possuem todos os elementos em comum e, portanto, são 
considerados planos iguais.
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1 .2 .5 . POSiÇÃO RELatiVa ENtRE REta E PLaNO
As retas possuem três posições quando comparadas ao plano: paralela ao plano, 
pertencente ao plano ou secante ao plano.
Reta paralela ao plano: quando não há interseção entre a reta e o plano.
Reta pertencente ao plano: quando todos os pontos que formam a reta estão 
contidos no plano.
Reta secante ao plano: quando há apenas um ponto em comum entre a reta e o plano.
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1 .3 . UNiDaDES DE MEDiDa1 .3 . UNiDaDES DE MEDiDa
As unidades de massa e comprimento são também conhecidas como sistema decimal 
de unidades, porque são construídas a partir do metro utilizando potências de 10.
No caso do comprimento, o metro é a unidade principal que possui múltiplos (unidades 
maiores que o metro) e submúltiplos (unidades menores que o metro).
Nome extenso Unidade Conversão
Quilômetro km = 10³ m = 1000 m
MúltiplosHectômetro hm = 10² m = 100 m
Decâmetro dam = 10 m = 10 m
Metro m
Decímetro dm
= 10-1 m = 0,1 m
ou 1 m = 10 dm
SubmúltiplosCentímetro cm
= 10-2 m = 0,01 m
ou 1 m = 100 cm
Milímetro mm
= 10-3 m = 0,001 m
ou 1 = 1000 mm
Tabela 2: Conversão entre Unidades de Comprimento
Na tabela 2, perceba que, cada vez que subimos um degrau, multiplicamos por 10.
Por exemplo, quando subimos de metro para decâmetro, há a relação de que 1 dam = 
10 m. Quando subimos de decâmetro para hectômetro, também 1 ham = 1 dam = 100 m.
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Por outro lado, cada vez que descemos um degrau, dividimos por 10. É por isso que 1 
dm = 0,10 m e que 1 cm = 0,10 dm = 0,01 m.
É importante destacar que nem todas as unidades são frequentemente utilizadas. No 
dia a dia, as unidades mais utilizadas são o quilômetro, o metro, o centímetro e o milímetro.
As demais, embora existam, são pouco utilizadas. Isso não obsta que uma questão de 
prova seja feita com base nelas.
No caso das unidades de massa, a mesma regra é válida. Elas são centradas no grama, porém, 
é importante destacar que a unidade padrão do Sistema Legal de Medidas é o quilograma.
Sendo assim, devemos construir a tabela com base no grama. Porém, utilizaremos no 
dia a dia e nas questões, principalmente, o quilograma.
Nome extenso Unidade Conversão
Quilograma kg = 10³ m = 1000 m
MúltiplosHectograma hg = 10² m = 100 m
Decagrama dag = 10 m = 10 m
Grama g
Decigrama dg
= 10-1 m = 0,1 m
ou 1 m = 10 dm
SubmúltiplosCentigrama cg
= 10-2 m = 0,01 m
ou 1 m = 100 cm
Miligrama mg
= 10-3 m = 0,001 m
ou 1 = 1000 mm
Tabela 3: Unidades de Massa no Sistema Legal de Medidas
A minha recomendação é que, nas questões, você converta todas as unidades para 
metro. Vejamos alguns exemplos:
1,25 hm = 1,25.100 m = 125 m
3,7 dm = 3,7.0,10 m = 0,37 m
4,3 km = 4,3.1000 m = 4300 m
405 mm = 405.0,001 m = 0,405 m
350 cm = 350.0,01 m = 3,50 m
1 .3 .1 . UNiDaDES DE áREa E VOLUME
As unidades de área podem ser entendidas simplesmente como o quadrado de uma 
unidade de comprimento.
Sendo assim, se 1 dam = 10 m, se elevarmos ao quadrado, haverá a relação entre asunidades de área: 1 dam² = (10 m)² = 100 m².
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Desse modo, basta utilizar os fatores de conversão que aprendemos anteriormente 
elevados ao quadrado.
Uma unidade de área bastante usada é o hectare. O hectare é equivalente a um hectômetro 
quadrado, ou seja, 1 ha = 1 hm². Como 1 hm = 100 m e temos hm², podemos substituir. 
Então, temos:
1 ha = 1 hm² = (100 m)² = 10.000 m².
Vejamos outros exemplos:
1,25 hm² = 1,25.(100 m)² = 1,25.10000 m² = 12.500 m²
3,7 dm² = 3,7.(0,10 m)² = 3,7.0,01 m² = 0,037 m²
4,3 km² = 4,3.(1000 m)² = 4,3.1000000 m² = 4.300.000 m²
405 mm² = 405.(0,001 m)² = 405. 0,000001 m = 0,000405 m²
350 cm² = 350.(0,01 m)² = 3,50 m
Para as unidades de volume, uma unidade de volume será, de forma geral, o cubo de 
uma unidade de comprimento.
1250 dm³ = 1250.(0,1 m)³ = 1250.0,001 m = 1,25 m³
2,2 hm³ = 2,2.(100 m)³ = 2,2.1000000 = 2.200.000 m³
Um problema frequente em cálculo de unidades de medidas de volumes é o cálculo do 
volume de um paralelepípedo, também conhecido como prisma retangular reto.
Figura 6: Ilustração de um Paralelepípedo
O volume do paralelepípedo é simplesmente o produto de suas dimensões. Esse volume 
é considerado um assunto de matemática básica e pode ser cobrado, mesmo que seu edital 
não preveja expressamente a matéria de Geometria.
O cubo é um caso particular de paralelepípedo, cujas dimensões são todas iguais.
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1 .3 .2 . LitRO
É importante deixar claro que a unidade oficial de volume no SI é o metro cúbico (m³), 
porque o volume é o cubo de uma unidade de comprimento.
Porém, o litro (L) é uma unidade bastante comum no dia a dia. O volume equivalente a 
1 L no SI é o volume de 1 dm³.
Uma relação muito importante a saber é que 1 m³ é igual a 1.000 L.
Passando o fator 0,001 para o outro lado:
O interessante do litro é que existe também uma escala decimal em torno do litro muito 
semelhante à utilizada para o metro. Vejamos:
Nome extenso Unidade Conversão
Quilolitro kL = 10³ L = 1000 L = 1 m³
MúltiplosHectolitro hL = 10² L = 100 L
Decalitro daL = 10 L = 10 L
Litro L
Decilitro dL
= 10-1 L = 0,1 L
ou 1 L = 10 dL
SubmúltiplosCentilitro cL
= 10-2 L = 0,01 L
ou 1 L = 100 cL
Mililitro mL
= 10-3 L = 0,001 L
ou 1 L = 1000 mL
Tabela 4: Conversão de Unidades de Volume baseadas no Litro
No Brasil, as unidades mais frequentemente utilizadas são o metro cúbico, o litro e o 
mililitro. Porém, o centilitro é bastante utilizado na Europa, então, é útil saber, caso você 
pense algum dia em viajar para lá.
Vejamos alguns exemplos.
3,22 hL = 3,22.100 L = 322 L
6,7 dL = 6,7.0,10 L = 0,67 L
3,6 kL = 3,6.1000 L = 3600 L
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302 mL = 302.0,001 L = 0,302 L
620 cL = 620.0,01 L = 6,20 L
1 daL = 10 L, mas 1 dam³ = (10 m)³ = 1000 m³. Perceba que, na unidade daL, não aparece 
nenhuma expressão elevada ao cubo, por isso, não precisamos elevar o 10³ para chegar à 
unidade de conversão.
Então, só eleve as unidades de conversão a um expoente quando ele estiver expresso nas 
unidades de medida. Por exemplo:
1 cm² = (0,01 m)² = 0,0001
1 cm³= (0,01 m)³ = 0,000001
1 cL = 0,01 L
001. 001. (NOSSO RUMO/MGS/2017/ARTÍFICE) É correto afirmar que 32 km² equivalem a:
a) 320 ha
b) 32.000 ha
c) 320.000 ha
d) 3.200 ha
Basta lembrar-se de que o quilômetro está logo acima do hectômetro na tabela de unidades 
de comprimento. Portanto:
Letra d.
002. 002. (VUNESP/CETESB/2013/ESCRITURÁRIO) Um refresco é feito diluindo-se 750 mL de vinho 
em 2 litros de água. Para preparar 5,5 litros desse refresco (água + vinho), a quantidade 
necessária de vinho, em litros, será:
a) 0,9
b) 1,2
c) 1,5
d) 1,8
e) 2,2
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É uma questão simples de regra de três, porém, devemos primeiramente, converter 750 
mL de vinho em litros.
Dessa forma, o refresco é composto por 0,75 L de vinho e 2 L de água, somando 2,75 L do 
refresco. Como queremos 5,5 L, basta montar a regra de três:
Letra c.
003. 003. (VUNESP/CRO-SP/2015/AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS) Um total de 3150000 centímetros 
cúbicos de um produto líquido precisa ser igualmente dividido, sem desperdício, em frascos 
com capacidade máxima de 0,5 metro cúbico, cada um. Para fazer essa divisão, o número 
mínimo de frascos necessários deverá ser de:
a) 7
b) 63
c) 700
d) 6300
e) 70000
Precisamos converter a unidade de cm³ para m³.
Voltando seis casas para a esquerda, temos:
Como os recipientes possuem 0,5 m³, precisamos dividir:
Como não existem 6,3 recipientes, devemos usar 7 recipientes para armazenar todo o 
volume desejado.
Letra a.
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004. 004. (CESPE/INPI/2013/TÉCNICO EM PLANEJAMENTO, GESTÃO E INFRAESTRUTURA EM 
PROPRIEDADE INDUSTRIAL) Considere um reservatório de formato cilíndrico com volume 
de 60 m3 que esteja conectado a um cano para enchê-lo. Sabendo que a vazão do cano é 
definida como sendo o volume de água que sai do cano por segundo, julgue os itens seguintes.
Se o reservatório encontra-se vazio e o cano tem uma vazão de 40 dm3 por segundo, então 
serão necessários 30 minutos para que o tanque fique cheio.
Vamos fazer a conversão de unidades para o litro:
40 dm³ = 40 L. 60 m³ = 60 000 L.
Dessa maneira, basta fazer a regra de três:
Agora, vamos calcular o tempo em minutos dividindo por 60:
Errado.
005. 005. (CESPE/CAGE-RS/2018/AUDITOR DE CONTROLE INTERNO) O preço do litro de determinado 
produto de limpeza é igual a R$ 0,32. Se um recipiente tem a forma de um paralelepípedo 
retângulo reto, medindo internamente 1,2 dam x 125 cm x 0,08 hm, então o preço que se 
pagará para encher esse recipiente com o referido produto de limpeza será igual a:
a) R$ 3,84
b) R$ 38,40
c) R$ 384,00
d) R$ 3.840,00
e) R$ 38.400,00
Transformaremos todas as unidades fornecidas em metros. Para isso, basta lembrar-se 
de que:
1 dam = 10 m
1 cm = 10-² m
1 hm = 100 m
Sendo assim:
1,2 dam = 12 m
125 cm = 1,25 m
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0,08 hm = 8 m
Portanto, o volume do paralelepípedo é:
Também precisamos nos lembrar de que 1 m³ = 1000 L. Agora, basta multiplicar pelo preço 
do litro de detergente:
Letra e.
006. 006. (VUNESP/IPSM/2018/ANALISTA DE GESTÃO MUNICIPAL/CONTABILIDADE) Um tanque 
em formato de prisma reto retangular, cujas dimensões são 3,5 m, 1,2 m e 0,8 m, está 
completamente cheio de água. Durante 3 horas e 15 minutos, há a vazão de 12 litros por 
minuto de água para fora do tanque. Lembre-se de que 1 m³ é equivalente a 1000 litros. 
Após esse tempo, o número de litros de água que ainda permanecem no tanque é igual a
a) 980.
b) 1020.
c) 1460.
d) 1580.
e) 1610.
Um prisma reto retangular é um paralelepípedo. Seu volume é calculado pelo produto das 
suas dimensões.
Agora, precisaremos converter a unidade de tempo para saber quanto do volume de água 
foi drenado do tanque:
Em seguida, precisaremos calcular o volume drenado (Vd). Se, a cada minuto, são drenados 
12 litros de água, então, em 195 minutos, serão drenados proporcionalmente:
O volume que restará no tanque é igual à diferença entre o volume inicial e o volume drenado:
Letra b.
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2 . POLiEDROS2 . POLiEDROS
As principais figuras da geometria espacial são os poliedros, que são sólidos delimitados 
por polígonos. São exemplos de poliedros o cubo e o octaedro representados a seguir:
Em um poliedro, figuram alguns conceitos importantes.
Face: são os trechos planos de um poliedro. Todas as faces de um poliedro são polígonos. 
A seguir, temos algumas faces do cubo pintadas de rosa.
Aresta: são os segmentos de reta formados pela intersecção de duas faces. É interessante 
observar que uma aresta sempre será comum a duas faces. Isso ajudará bastante você a 
entender a relação de Euler. A seguir, há algumas arestas do cubo pintadas em vermelho:
Vértice: é formado pela intersecção de várias arestas.
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2 .1 . RELaÇÃO DE EULER2 .1 . RELaÇÃO DE EULER
A relação de Euler estabelece uma relação entre o número de faces, arestas e vértices 
de um poliedro fechado.
Essa relação pode ser lembrada pelo mnemônico: “vamos fazer amor a dois”.
Essa relação é frequentemente cobrada da seguinte forma: o examinador fornece o 
número de faces e o tipo de face no poliedro e pergunta quantos vértices ele possui.
Por exemplo, a bola de futebol é, na verdade, um poliedro conhecido como icosaedro 
truncado, que possui 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. Quantas arestas e vértices 
ela possui?
As faces pentagonais possuem 5 arestas cada e as hexagonais possuem 6 arestas cada. 
Levando em conta que uma aresta é sempre comum a duas faces, podemos escrever que 
o número de arestas é:
Agora, podemos aplicar na relação de Euler:
Portanto, o poliedro icosaedro truncado possui 60 vértices e 90 arestas.
Outro exemplo para você entender que podemos citar é o cubo snub, que é um poliedro com 
38 faces, sendo 6 quadrados e 32 triângulos equiláteros. Quantos vértices e faces ele possui? 
O número de arestas pode ser facilmente calculado considerando que cada face quadrada tem 
4 lados e que cada face triangular tem 3 lados. Além disso, cada aresta é comum a duas faces:
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São 60 arestas, portanto podemos aplicar a relação de Euler:
Assim, o cubo snub possui 24 vértices e 60 arestas.
2 .2 . POLiEDROS DE PLatÃO2 .2 . POLiEDROS DE PLatÃO
Os poliedros de Platão são aqueles que atendem às seguintes condições:
• todas as faces são formadas por polígonos congruentes, isto é, todas as faces são iguais;
• de cada vértice, partem o mesmo número de arestas.
Vejamos um exemplo do que seria um poliedro de Platão e do que não seria. A seguir 
um tronco de pirâmide e uma pirâmide:
Todas as faces do tronco de pirâmide são paralelogramos e são todas iguais entre si. 
Além disso, de todos os vértices, há o mesmo número de 3 arestas. Vejamos:
Por outro lado, a pirâmide não é um poliedro de Platão. Você consegue entender por quê?
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São dois motivos: o primeiro é que uma das faces é quadrada, enquanto as demais são 
triangulares. Logo, nem todas as faces são polígonos congruentes. Um deles é diferente.
Além disso, do vértice superior partem 4 arestas, enquanto dos demais partem apenas 3.
Dessa forma, a pirâmide viola as duas condições para um sólido de Platão.
2 .2 .1 . POLiEDROS REGULaRES
Os poliedros regulares são aqueles em que todas as faces são polígonos regulares e 
congruentes.
Os poliedros regulares convexos são necessariamente poliedros de Platão. Só existem 
cinco poliedros regulares convexos:
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DICA!
Você pode se lembrar dos poliedros regulares pelo 
mnemônico tHODi, que representa as iniciais:
t – tetraedro
H – hexaedro (ou cubo)
O – octaedro
D – dodecaedro
i – icosaedro
Algumas pessoas gostam de memorizar o tipo de face que eles apresentam. Nunca vi 
ser cobrado diretamente em provas, mas também temos uma técnica para facilitar essa 
memorização. Basta você escrever o mnemônico THODI e colocar 3 algarismos alternando.
T – 3
H
O – 3
D
I – 3
Agora, completaremos com 4 e 5.
T – 3
H – 4
O – 3
D – 5
I – 3
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Assim você poderá se lembrar de que o tetraedro, o octaedro e o icosaedro possuem 
faces trigonais; que o hexaedro possui faces quadradas e que o dodecaedro possui faces 
pentagonais.
007. 007. (VUNESP/PREFEITURA DE CERQUILHO-SP/2019/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Uma 
pirâmide tem n vértices. Logo, é correto afirmar, com relação a essa pirâmide, que ela tem
a) n + 1 faces.
b) n + 1 arestas.
c) n faces.
d) n arestas
e) n – 1 faces
Para facilitar a compreensão, observe algumas pirâmides:
Assim, é possível perceber que o número de vértices é igual ao número das faces de uma 
pirâmide. Logo, se uma pirâmide tem n vértices, ela tambémterá n faces.
Letra c.
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2 .3 . PRiSMa2 .3 . PRiSMa
O prisma é formado por dois polígonos congruentes paralelos entre si, que são chamados 
de bases. As arestas do prisma ligam as duas bases uma à outra.
Prisma 
triangular
Prisma 
pentagonal
Prisma 
hexagonal
Prisma 
quadrangular
Note que todas as faces de um prisma são paralelogramos.
Um caso especial muito importante de prisma são os prismas retos. Um prisma é reto 
quando o segmento de reta que une os centros das duas bases é perpendicular às bases.
Em termos de questões de prova, considero que o mais importante é saber calcular a 
área externa e o volume dessas figuras.
A área do prisma é dada pelo somatório das áreas de todas as faces que o constituem. 
Como as faces laterais são todas paralelogramos, a área de cada uma delas será a aresta 
vezes a altura do prisma. Somando-se tudo, temos que a área lateral do prisma é:
Já o volume do prisma é dado pelo produto base vezes altura:
2 .3 .1 . PLaNiFicaÇÃO DO PRiSMa
O prisma é formado por duas bases que são polígonos equivalentes. As faces laterais 
de um prisma são sempre retangulares.
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A planificação dos prismas também depende do número de lados que o polígono base 
desse sólido possui. No caso a seguir, foi exemplificado um prisma de base hexagonal.
Dessa forma, é possível perceber na imagem 6 retângulos, os quais comporão as faces 
laterais do prisma. As bases do prisma serão os dois polígonos, os quais devem estar em 
lados opostos na planificação.
Figura 8: Planificação de um Prisma Hexagonal
2 .4 . PaRaLELEPÍPEDO2 .4 . PaRaLELEPÍPEDO
É um caso especial de prisma reto em que as bases são retângulos.
Os paralelepípedos são bastante famosos porque são utilizados na construção de 
meios-fios.
A seguir, uma ilustração de um paralelepípedo e suas três dimensões:
• largura: a
• espessura: b
• altura: c
Uma medida muito importante em um paralelepípedo é a diagonal principal, ilustrada 
em vermelho, que corresponde à maior distância entre dois vértices de um paralelepípedo.
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O triângulo ABC é retângulo em B. Portanto, podemos aplicar o teorema de Pitágoras nele:
O lado d do triângulo ABC corresponde a uma diagonal de face do paralelepípedo que 
também pode ser calculada pelo teorema de Pitágoras:
Sendo assim, a diagonal principal é:
Além disso, considero assuntos-chave para as provas de concursos a área e o volume 
de um paralelepípedo.
O volume do paralelepípedo é calculado simplesmente pelo produto das suas três 
dimensões:
A área lateral do paralelepípedo, por sua vez, é formada pela soma das áreas das 6 faces. 
Tomemos as faces em azul:
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2 .4 .1 . cUBO
O cubo é um caso especial de paralelepípedo em que todas as dimensões das arestas 
são iguais. É um poliedro regular, mais precisamente, o hexaedro regular, que apresenta 6 
faces quadradas.
Como as arestas são todas iguais, fica mais fácil calcular as propriedades do cubo.
Diagonal de Face:
Diagonal do Cubo:
Área Lateral: 
Volume: 
Em provas de concursos, você pode ficar bem tranquilo(a) que esse assunto será cobrado 
sempre de forma bem básica.
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2 .4 .2 . PLaNiFicaÇÕES DO cUBO
O cubo ou hexaedro é um sólido geométrico com diversas possibilidades de planificações. 
Uma planificação pode ser obtida abrindo-se o cubo.
Pense, por exemplo, que você vai puxar a face superior do cubo para cima. Depois, você 
puxa a face inferior. E, por fim, você abre toda a figura pelas faces laterais.
Figura 1: Como Planificar um Cubo
Vale notar que a planificação não é única. Dependendo da forma que você abra o cubo, 
é possível obter diferentes planificações.
Figura 2: Outras Planificações do Cubo
Entretanto, note que todas as planificações do cubo devem possuir, obrigatoriamente, 
6 quadrados, porque o cubo é formado por 6 faces quadradas.
Vale lembrar que o fato de possuir 6 quadrados na planificação não é suficiente para 
garantir que aquela planificação constrói um cubo. Observe o contraexemplo a seguir.
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Figura 3: Exemplo de Planificação Impossível de um Cubo
2 .5 . ciLiNDRO2 .5 . ciLiNDRO
O cilindro pode ser entendido como um prisma de base circular.
Pode ser entendido ainda como um sólido de revolução. Essa denominação significa 
que pode ser construído a partir da rotação de uma figura plana específica em torno de um 
eixo. No caso do cilindro, essa figura é o retângulo. Observe, a seguir, a construção desse 
sólido por revolução:
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A área lateral e o volume do cilindro podem ser calculados pelas mesmas expressões 
que já havíamos apresentado para o prisma:
Agora, precisamos nos lembrar de que o perímetro do cilindro é igual ao perímetro da 
circunferência de sua base. Portanto, a sua área lateral é:
O volume do cilindro é igual ao produto da base vezes a altura. A área da base é igual à 
área do círculo:
2 .5 .1 . PLaNiFicaÇÕES DO ciLiNDRO
O cilindro é um sólido redondo, o que faz a presença de curvas ser um item obrigatório 
na sua planificação. Sempre haverá, na planificação do cilindro, dois círculos acoplados a 
um retângulo. Os círculos formarão as bases opostas do sólido e o retângulo formará o 
corpo ou o meio do sólido.
Note que, como as bases são opostas, uma planificação cujos círculos encontram-se 
na mesma aresta do retângulo está incorreta. Outra possibilidade incorreta é quando os 
círculos estão acoplados a duas arestas concorrentes doretângulo central. A única forma 
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correta é quando os círculos estão conectados a arestas paralelas desse retângulo. Observe 
um exemplo correto a seguir:
Figura 5: Planificação do Cilindro
008. 008. (UFRPE/2016/AUXILIAR EM ADMINISTRAÇÃO) Um reservatório tem a forma de um 
cubo e capacidade de 64m3. De quanto teria que se aumentar cada uma das arestas do 
reservatório para se obter um outro reservatório cúbico, com capacidade superior em 
152m3 ao anterior?
a) 20 dm
b) 18 dm
c) 16 dm
d) 14 dm
e) 12 dm
Podemos calcular o tamanho inicial da aresta do primeiro cubo a partir do seu volume:
Queremos construir um novo cubo que tenha um volume 152 cm³ maior que o primeiro. 
Portanto, esse volume será:
Agora, podemos calcular a nova aresta desse recipiente maior:
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Sendo assim, a aresta foi aumentada em:
Precisamos usar a conversão de unidades para converter de 2 m para 20 dm.
Letra a.
009. 009. (FGV/CODEBA/2016/GUARDA PORTUÁRIO) Um contêiner possui, aproximadamente, 
6,0 m de comprimento, 2,4 m de largura e 2,3 m de altura.
A capacidade cúbica desse contêiner é de, aproximadamente:
a) 31 m³
b) 33 m³
c) 35 m³
d) 37 m³
e) 39 m³
O contêiner é um paralelepípedo cujo volume pode ser calculado multiplicando suas dimensões:
Letra b.
010. 010. (FGV/PROCEMPA/2014/TÉCNICO EM TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO) 
A figura a seguir mostra um reservatório cilíndrico circular que tem 5,0 m de comprimento 
e 1,6 m de diâmetro.
A capacidade desse reservatório é de, aproximadamente,
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a) 7500 litros
b) 8600 litros
c) 9200 litros
d) 10000 litros
e) 12500 litros
O volume do cilindro é calculado de forma bastante semelhante à de um prisma, tendo em 
vista que pode ser considerado um prisma de base circular.
Usando o fato de que 1 m³ = 1000 L, o volume do recipiente é de aproximadamente 10.000 
litros.
Letra d.
011. 011. (ADM & TEC/PREFEITURA DE RIO LARGO-AL/2019/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/
ADAPTADA) Uma piscina em formato retangular possui dimensões iguais a 10m de 
profundidade, 16m de largura e 131m de comprimento. Assim, é correto afirmar que o 
seu volume é igual a 22.332 m³.
O problema pergunta qual o volume do seguinte sólido:
Para resolvê-lo, precisamos aplicar a fórmula de volume:
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Assim:
• comprimento = 131 m;
• altura (ou profundidade) = 10 m;
• largura = 16 m.
Então, substituindo esses valores na fórmula:
Errado.
012. 012. (VUNESP/PREFEITURA DE MORRO AGUDO-SP/2020/AGENTE DO SETOR DE ÁGUA E 
ESGOTO) Um reservatório de água, com capacidade máxima para 6000 litros, tem a forma 
de um prisma reto de base retangular, cujas medidas internas, em metros, estão indicadas 
na figura.
Figura fora de escala
2
1,5
h
Lembrando que 1 m³ = 1000 litros, a altura desse reservatório, indicada na figura pela letra 
h, é igual a
a) 0,5 m.
b) 1,0 m.
c) 1,5 m.
d) 2,0 m
e) 2,5 m.
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Lembrando a fórmula de volume:
Temos:
• comprimento = 2 m;
• largura = 1,5 m;
• volume = 6000 L.
Antes de fazer o cálculo, precisamos alterar a unidade de volume:
Agora, basta calcular:
Letra d.
3 . PiRÂMiDE3 . PiRÂMiDE
A pirâmide é formada por uma base plana e por um vértice externo ao plano da base. 
A seguir, há duas pirâmides: uma de base quadrangular e outra pentagonal.
Em questões de prova, o que é mais pedido a respeito de pirâmides são: a área lateral 
e o volume.
Para calcular a área lateral da pirâmide, devemos ter em mente que todas as suas faces 
laterais são triangulares. A base é a única face que não é triangular.
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O caso mais importante que será cobrado em provas são as pirâmides retas, que são 
aquelas em que o segmento de reta que une o vértice ao centro da base é perpendicular à 
base. Nesse caso, há o seguinte e famoso triângulo retângulo:
Podemos escrever uma relação muito importante entre a altura da pirâmide (H) e a 
altura da face (hf):
O termo r é o chamado apótema, que é o raio da circunferência inscrita na base. 
Dissecaremos os dois termos do lado direito nas próximas questões.
Vale muito a pena você conhecer o triângulo retângulo principal da pirâmide e lembrar-
se de que envolve:
• o apótema da base;
• a altura da pirâmide;
• a altura da face como hipotenusa.
Nas próximas seções, vamos estudar essas três importantes medidas.
3 .1 . aLtURa Da FacE3 .1 . aLtURa Da FacE
Conhecer a altura da face de uma pirâmide é indispensável para calcular a sua área lateral.
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Em uma pirâmide reta, todas as faces laterais são triângulos isósceles. Em questões 
de prova, é comum que a base seja um polígono regular. Nesse caso, todas as faces laterais 
são congruentes.
Considerando uma pirâmide reta, normalmente é fornecida a aresta lateral e a aresta 
da base da pirâmide. Nesse caso, também temos um interessante triângulo retângulo:
Como a face VBC é um triângulo isósceles, a altura é também mediana e divide o lado 
BC em duas partes iguais. Sendo assim, temos:
Você não necessariamente precisa ter decoradas essas expressões. Numa questão de 
prova, é mais fácil você aprender o jeito de encontrar os triângulos retângulos que precisará 
em uma pirâmide e deduzir na hora essas expressões, calculando a altura da face.
3 .2 . aPÓtEMa3 .2 . aPÓtEMa
O apótema é a distância de cada lado ao centro da base. Será o raio da circunferência 
inscrita no triângulo.
Numa questão de prova, é razoável cobrar apenas bases que sejam polígonosregulares. 
Vamos aos principais.
Triângulo equilátero: façamos o desenho em que S representa o centro do triângulo:
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Perceba que o triângulo ADC é semelhante ao triângulo AST. Dessa forma, podemos escrever:
Já aprendemos a calcular a altura de um triângulo equilátero:
Mais uma vez, acredito que é muito difícil para o(a) aluno(a) ter tantas fórmulas na 
cabeça. Por isso, não considero válido saber de cabeça o apótema do triângulo equilátero. 
Melhor você aprender a técnica de como obtê-lo.
Outra forma mais simples de obter o apótema do triângulo equilátero consiste em usar 
a relação entre área e raio da inscrita.
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Quadrado: esse caso é bem mais fácil de calcular, o apótema é simplesmente um corte 
no quadrado:
Note que o lado do quadrado é igual ao diâmetro da circunferência nele inscrita:
Hexágono: a apótema do hexágono pode ser calculada facilmente, pois ele pode ser 
dividido em 6 triângulos equiláteros.
Perceba que o segmento tracejado de comprimento r corresponde não só ao apótema 
do hexágono, mas também à altura de um triângulo equilátero de lado a.
Sendo assim, o apótema do hexágono é igual à altura de um triângulo equilátero:
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3 .3 . PLaNiFicaÇÃO Da PiRÂMiDE3 .3 . PLaNiFicaÇÃO Da PiRÂMiDE
Uma pirâmide é formada por uma base poligonal e por um vértice que fica em um plano 
externo a essa pirâmide. Embora a base possa ser qualquer polígono, as faces laterais de 
uma pirâmide são sempre triângulos formados por uma aresta da base e o vértice. Vejamos, 
como exemplo, uma pirâmide de base quadrada:
Figura 6: Pirâmide de Base Quadrada
Como a pirâmide é definida pelo número de lados do seu polígono base, cada tipo de 
pirâmide terá sua própria planificação. Vale notar que o número de lados do polígono será 
o número de faces triangulares laterais que a pirâmide terá.
No caso a seguir, foi planificada uma pirâmide de base quadrada. Portanto, há 4 triângulos 
na imagem.
Para obter a planificação da pirâmide, devemos seguir a técnica que já utilizamos 
anteriormente: abrimos a pirâmide pela base e a cortamos pelas suas faces.
Por exemplo, consideremos a planificação de uma pirâmide cuja base seja um quadrado 
com lado igual a 16 cm e cujas faces sejam triângulos isósceles com lado igual a 10 cm.
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Figura 7: Planificação de uma Pirâmide de Base Quadrada
3 .4 . áREa LatERaL E VOLUME3 .4 . áREa LatERaL E VOLUME
A área lateral pode ser calculada a partir da altura da face. Como a face é triangular, a 
sua área pode ser calculada pela célebre expressão base vezes altura dividido por 2.
É importante observar que o número de faces laterais da pirâmide é igual ao número 
de lados da base. Por exemplo, uma pirâmide de base quadrangular terá 4 faces laterais; 
uma pirâmide de base pentagonal terá 5 faces laterais.
Assim, devemos multiplicar a área do triângulo por 4 ou por 5.
Já o volume da pirâmide é calculado com o auxílio da altura da própria pirâmide. É 
equivalente a um terço do volume do prisma equivalente:
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A maior parte das questões de prova sobre pirâmides focará em calcular área lateral e 
volume. Porém, as questões mais sofisticadas exigirão que você as obtenha fazendo todo 
o procedimento de construção de triângulos retângulos que mostramos neste material.
013. 013. (IFRN/2017/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) O formato interno de um reservatório é 
de pirâmide regular hexagonal invertida cuja altura é de 50 cm e aresta da base, 20 cm. 
Nessas condições, a quantidade de líquido necessária para encher completamente esse 
reservatório, sem transbordar, é a mais próxima de:
Obs.: 1L = 1000 cm³
a) 17,30 litros.
b) 15,20 litros
c) 18,70 litros.
d) 20,40 litros.
Como a altura da pirâmide já foi fornecida, é fácil calcular o seu volume pelo produto:
Como a base é um hexágono de lado 20 cm, podemos calcular a área do hexágono, notando 
que ele pode ser dividido em seis triângulos equiláteros. Quando traçamos todas as diagonais 
do hexagonal, o ângulo cheio (360º) é dividido em seis partes iguais, portanto, seis partes 
de 60º.
Além disso, as diagonais são também bissetrizes do ângulo interno do hexágono, que é de 
120º, formando dois ângulos de 60º. Desse modo, todos os ângulos internos dos triângulos 
formados acima são triângulos equiláteros.
A área de um triângulo equilátero é dada pela seguinte expressão:
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Aplicando na expressão do volume:
Agora, devemos aplicar a conversão de que 1 L = 1000 cm³:
Letra a.
014. 014. (IFRN/2017/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/ADAPTADA) Qual a área lateral da pirâmide 
da questão anterior?
Como a base é um hexágono regular, o apótema pode ser calculado pela altura de um 
triângulo equilátero, como mostrado a seguir:
Por sua vez, a altura da face de uma pirâmide pode ser calculada a partir do triângulo 
retângulo principal, que envolve três importantes grandezas: o apótema, a altura da 
pirâmide e a altura da face.
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Assim, podemos calcular a altura da face como a hipotenusa desse triângulo:
Considerando que a pirâmide tem base hexagonal, ela terá 6 triângulos como faces laterais. 
A área de cada triângulo pode ser calculada como o produto da aresta da base pela altura:
180√7 cm².
3 .5 . cONE3 .5 . cONE
O cone é um caso particular de pirâmide em que a base é um círculo. Os elementos 
fundamentais do cone são: a geratriz, a altura e o raio da base.
A geratriz é bastante interessante. É a distânciado vértice a qualquer ponto da base. 
É igual em todos os pontos do cone.
É importante observar que existe um triângulo retângulo principal que relaciona 
a geratriz, o raio da base e a altura. Desse modo, esses três importantes segmentos se 
relacionam pelo teorema de Pitágoras. Assim, podemos escrever:
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Assim como o cilindro, o cone é classificado como sólido de revolução. A figura plana 
capaz de gerar esse sólido ao rotacionar é o triângulo. Observe a construção do cone por 
revolução a seguir:
A área lateral e o volume do cone podem ser calculados pelas mesmas expressões que 
conhecemos para a pirâmide:
No caso do cone, a altura da face é a própria geratriz. O semiperímetro corresponde 
à metade do perímetro da circunferência. Sendo assim, temos a expressão para a área 
lateral do cone:
O volume do cone também pode ser calculado pela mesma expressão:
3 .5 .1 . PLaNiFicaÇÃO DO cONE
O cone é um sólido redondo, portanto haverá presença de curvas na sua planificação. 
No caso do cone, essa planificação sempre terá uma circunferência acoplada a um arco de 
circunferência. Observe a imagem representativa a seguir:
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Figura 4: Planificação do Cone
A planificação do cone é obtida de forma semelhante à do cubo: puxamos a base circular 
do cone para baixo e depois o abrimos por sua geratriz.
O arco de circunferência obtido na planificação tem como centro o vértice do cubo e 
como raio a própria geratriz.
3 .6 . tRONcO DE PiRÂMiDE OU DE cONE3 .6 . tRONcO DE PiRÂMiDE OU DE cONE
É a figura obtida pelo corte de uma pirâmide por um plano paralelo à sua base:
A parte de cima do corte é uma pirâmide de aresta lateral b’. A parte de baixo do corte 
é um tronco de pirâmide.
A forma mais fácil de calcular o volume do tronco de pirâmide é utilizando a propriedade 
da semelhança entre a pirâmide grande e a pequena. Devemos nos lembrar de que a razão 
entre os volumes é o cubo da razão entre as medidas de comprimento.
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A razão de semelhança não precisa ser com a aresta lateral. Pode ser também entre as 
alturas ou entre as arestas da base.
Por fim, o volume do tronco de pirâmide pode ser obtido extraindo o volume da pirâmide 
menor da pirâmide maior:
Se, por acaso, você lidar com um tronco de pirâmide ou de cone numa questão de prova, 
sugiro que você prolongue as geratrizes ou arestas da base para formar uma pirâmide 
grande e uma pequena.
O volume do tronco poderá ser calculado pela diferença entre esses dois volumes.
015. 015. (CESPE/SEDU-ES/2010) O volume de um cone circular reto de altura 5 cm e raio da 
base 6 cm é 60π cm3
Questão bastante direta. O volume do cone é calculado diretamente a partir da área da 
base e da sua altura. A área da base é dada pela área de um círculo:
Agora, o volume do cone:
Certo.
016. 016. (AGIRH/PREFEITURA DE ROSEIRA-SP/2021/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) A figura 
geométrica abaixo representa um cone circular reto.
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h
r
g
Sabendo que neste cone, r = 3m e g = 5m, então, o seu volume é:
a) 3π m³
b) 5π m³
c) 9π m³
d) 12π m³
O volume do cone e a área da base do cone são, respectivamente:
Calculando primeiro a área da base:
Para calcular o volume, precisamos também saber o valor de h. Note que o triângulo gerado 
é reto:
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Assim, basta utilizar a fórmula de Pitágoras:
Por fim, calcularemos o volume:
Letra d.
017. 017. (CESPE/PC-ES/2011) Os policiais da delegacia de defesa do consumidor apreenderam, 
em um supermercado, 19,5 kg de mercadorias impróprias para o consumo: potes de 150 g 
de queijo e peças de 160 g de salaminho.
Com base nessa situação, julgue os itens a seguir.
Suponha que os potes de queijo tenham a forma de um tronco de cone de 7 cm de altura, 
em que o raio da base maior meça 4 cm e o da base menor, 3 cm. Nesse caso, tomando 3,14 
como valor aproximado para é correto afirmar que essas embalagens têm capacidade 
para, no máximo, 250 mL.
A representação de um tronco de cone:
O modo mais fácil de calcular o seu volume é completando o cone até formar um cone 
grande cortado em um tronco de cone e em um cone menor. Ao fazer isso, teremos um par 
de triângulos semelhantes. Vejamos:
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Pela semelhança de triângulos:
Aplicando meio pelos extremos:
Sendo assim, o tronco de cone da questão é originado a partir de um cone de 28 cm de 
altura que foi cortado em um cone menor de 21 cm de altura e nesse tronco.
O volume do cone grande é dado por:
O volume do cone menor pode ser calculado por semelhança de figuras geométricas:
Dessa forma, o volume do tronco de cone é a diferença entre os dois volumes:
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Errado.
4 . ESFERa4 . ESFERa
A esfera é o conjunto de todos os pontos do espaço equidistantes de ponto O, chamado 
de centro. Corresponde à versão 3D de uma circunferência.
Um fato importante sobre a esfera é que qualquer corte plano produz uma circunferência. A 
seguir, há uma figuração ilustrando um corte plano em uma esfera e a circunferência formada.
O raio da circunferência resultante da secção plana pode ser calculado pelo teorema 
de Pitágoras tendo em vista que se formou um triângulo retângulo:
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Além disso, é importante saber calcular o volume e a área da superfície esférica:
018. 018. (AMEOSC/PREFEITURA DE BARRA BONITA-SC/2021/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) O 
diâmetro de uma esfera é 18 cm. Seu volume, em m3, é, aproximadamente:
Dado: utilize π = 3.
a) 0,9.10-3
b) 1,3.10-3
c) 2,9. 10-3
d) 3,6.10-3
Primeiramente, o volume da esfera é:
Como o raio é a metade do diâmetro, o raio dessa esfera é:
Substituindo os valores do raio = 9 cm e = 3 na fórmula do volume de uma esfera, 
encontramos:
Note que o problema pergunta o volume em metros cúbicos e não em centímetros cúbicos. 
Transformando as unidades:
Letra c.
019. 019. (VUNESP/PREFEITURA DE SÃO JOSÉ DOS CAMPOS-SP/2019/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) 
Uma garrafinha de suco tem a parte interna no formato esférico, com diâmetro de 12 cm.
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Arredondando-se π para 3, tem-se o volume correto de suco que é colocado nessa garrafinha, 
para a comercialização. Se cada cm3 corresponde a 1 mL, no rótulo dessa garrafinha consta 
que o volume de suco nela contida é de
a) 144 mL.
b) 576 mL.
c) 864 mL.
d) 1256 mL.
e) 2592 mL.
Primeiramente, o volume da esfera é:
Como o raio é a metade do diâmetro, o raio dessa esfera é:
Dessa forma:
Substituindo os valores do raio = 6 cm e = 3 na fórmula do volume de uma esfera, 
encontramos:
Note que as alternativas indicam o volume em mililitros e não em centímetros cúbicos. 
Transformando as unidades:
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QUESTÕES COMENTADAS EM AULAQUESTÕES COMENTADAS EM AULA
001. 001. (NOSSO RUMO/MGS/2017/ARTÍFICE) É correto afirmar que 32 km² equivalem a:
a) 320 ha
b) 32.000 ha
c) 320.000 ha
d) 3.200 ha
002. 002. (VUNESP/CETESB/2013/ESCRITURÁRIO) Um refresco é feito diluindo-se 750 mL de vinho 
em 2 litros de água. Para preparar 5,5 litros desse refresco (água + vinho), a quantidade 
necessária de vinho, em litros, será:
a) 0,9
b) 1,2
c) 1,5
d) 1,8
e) 2,2
003. 003. (VUNESP/CRO-SP/2015/AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS) Um total de 3150000 centímetros 
cúbicos de um produto líquido precisa ser igualmente dividido, sem desperdício, em frascos 
com capacidade máxima de 0,5 metro cúbico, cada um. Para fazer essa divisão, o número 
mínimo de frascos necessários deverá ser de:
a) 7
b) 63
c) 700
d) 6300
e) 70000
004. 004. (CESPE/INPI/2013/TÉCNICO EM PLANEJAMENTO, GESTÃO E INFRAESTRUTURA EM 
PROPRIEDADE INDUSTRIAL) Considere um reservatório de formato cilíndrico com volume 
de 60 m3 que esteja conectado a um cano para enchê-lo. Sabendo que a vazão do cano é 
definida como sendo o volume de água que sai do cano por segundo, julgue os itens seguintes.
Se o reservatório encontra-se vazio e o cano tem uma vazão de 40 dm3 por segundo, então 
serão necessários 30 minutos para que o tanque fique cheio.
005. 005. (CESPE/CAGE-RS/2018/AUDITOR DE CONTROLE INTERNO) O preço do litro de determinado 
produto de limpeza é igual a R$ 0,32. Se um recipiente tem a forma de um paralelepípedo 
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retângulo reto, medindo internamente 1,2 dam x 125 cm x 0,08 hm, então o preço que se 
pagará para encher esse recipiente com o referido produto de limpeza será igual a:
a) R$ 3,84
b) R$ 38,40
c) R$ 384,00
d) R$ 3.840,00
e) R$ 38.400,00
006. 006. (VUNESP/IPSM/2018/ANALISTA DE GESTÃO MUNICIPAL/CONTABILIDADE) Um tanque 
em formato de prisma reto retangular, cujas dimensões são 3,5 m, 1,2 m e 0,8 m, está 
completamente cheio de água. Durante 3 horas e 15 minutos, há a vazão de 12 litros por 
minuto de água para fora do tanque. Lembre-se de que 1 m³ é equivalente a 1000 litros. 
Após esse tempo, o número de litros de água que ainda permanecem no tanque é igual a
a) 980.
b) 1020.
c) 1460.
d) 1580.
e) 1610.
007. 007. (VUNESP/PREFEITURA DE CERQUILHO-SP/2019/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) Uma 
pirâmide tem n vértices. Logo, é correto afirmar, com relação a essa pirâmide, que ela tem
a) n + 1 faces.
b) n + 1 arestas.
c) n faces.
d) n arestas
e) n – 1 faces
008. 008. (UFRPE/2016/AUXILIAR EM ADMINISTRAÇÃO) Um reservatório tem a forma de um 
cubo e capacidade de 64m3. De quanto teria que se aumentar cada uma das arestas do 
reservatório para se obter um outro reservatório cúbico, com capacidade superior em 
152m3 ao anterior?
a) 20 dm
b) 18 dm
c) 16 dm
d) 14 dm
e) 12 dm
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Geometria Espacial 
Thiago Cardoso
009. 009. (FGV/CODEBA/2016/GUARDA PORTUÁRIO) Um contêiner possui, aproximadamente, 
6,0 m de comprimento, 2,4 m de largura e 2,3 m de altura.
A capacidade cúbica desse contêiner é de, aproximadamente:
a) 31 m³
b) 33 m³
c) 35 m³
d) 37 m³
e) 39 m³
010. 010. (FGV/PROCEMPA/2014/TÉCNICO EM TECNOLOGIA DA INFORMAÇÃO E COMUNICAÇÃO) 
A figura a seguir mostra um reservatório cilíndrico circular que tem 5,0 m de comprimento 
e 1,6 m de diâmetro.
A capacidade desse reservatório é de, aproximadamente,
a) 7500 litros
b) 8600 litros
c) 9200 litros
d) 10000 litros
e) 12500 litros
011. 011. (ADM & TEC/PREFEITURA DE RIO LARGO-AL/2019/PROFESSOR DE MATEMÁTICA/
ADAPTADA) Uma piscina em formato retangular possui dimensões iguais a 10m de 
profundidade, 16m de largura e 131m de comprimento. Assim, é correto afirmar que o 
seu volume é igual a 22.332 m³.
012. 012. (VUNESP/PREFEITURA DE MORRO AGUDO-SP/2020/AGENTE DO SETOR DE ÁGUA E 
ESGOTO) Um reservatório de água, com capacidade máxima para 6000 litros, tem a forma 
de um prisma reto de base retangular, cujas medidas internas, em metros, estão indicadas 
na figura.
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Geometria Espacial 
Thiago Cardoso
Figura fora de escala
2
1,5
h
Lembrando que 1 m³ = 1000 litros, a altura desse reservatório, indicada na figura pela letra 
h, é igual a
a) 0,5 m.
b) 1,0 m.
c) 1,5 m.
d) 2,0 m
e) 2,5 m.
013. 013. (IFRN/2017/PROFESSOR DE MATEMÁTICA) O formato interno de um reservatório é 
de pirâmide regular hexagonal