ESTUDO 3

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SISTEMAS 
ESTRUTURAIS I
SISTEMAS 
ESTRUTURAIS I 
Sistem
as Estruturais I
Adjane Brito Alves Adjane Brito Alves 
GRUPO SER EDUCACIONAL
gente criando o futuro
Tanto para o arquiteto como para outros pro� ssionais das áreas de engenharia, 
como construção civil, mecânica, entre outras, é fundamental o conhecimento e 
domínio sobre alguns campos de exatas a � m de solucionar problemas cotidianos 
e pro� ssionais, principalmente quando se trata da aferição de medidas, cálculos 
decorrentes destas e situações que envolvam as leis da física.
Entender como uma determinada grandeza se comporta no espaço físico, como 
relacioná-la a dados numéricos e expressá-la matematicamente, bem como saber 
identi� car se ela tem algum tipo de intensidade ou movimento dará ao pro� ssional 
uma visão mais abrangente sobre as leis da física e abrirá ainda mais seus horizontes a 
novos conhecimentos.
Outro fator importante para o desenvolvimento do conhecimento do pro� ssional 
é saber interpretar mapas e projetos, associando sua grandeza real àquela que é 
exposta em um mapa ou em páginas da web.
Tais conhecimentos são muito relevantes para o desenvolvimento de cada 
pro� ssional, fomentando a busca pela ciência e pela informação, e sendo um 
diferencial importante no competitivo mercado de trabalho.
Para tanto, o convidamos a desbravar os conhecimentos aqui contidos, analisando 
com atenção cada informação e exemplo apresentado e tirando o maior proveito 
possível da matéria.
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ASSISTA
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple-
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
CITANDO
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado.
CONTEXTUALIZANDO
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
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Unidade 1 - Grandezas escalares e vetoriais
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12
As grandezas escalares e vetoriais .................................................................................. 13
Grandezas vetoriais ........................................................................................................ 13
Sistema Internacional de Unidades (SI) e escalas ........................................................ 27
Sistema Internacional de Unidades (SI) ...................................................................... 28
Escalas .............................................................................................................................. 34
Sintetizando ........................................................................................................................... 40
Referências bibliográficas ................................................................................................. 41
Sumário
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Sumário
Unidade 2 - Forças aplicadas em um ponto, forças aplicadas em uma barra e leis 
de Newton
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 43
Forças aplicadas em um ponto .......................................................................................... 44
Determinação de resultante de um sistema de forças ............................................. 45
Caso de duas forças não colineares ............................................................................ 48
Caso de duas forças colineares ................................................................................... 49
Força de tração aplicada em um corpo ....................................................................... 51
Forças aplicadas em uma barra ........................................................................................ 56
Força de compressão aplicada a uma barra .............................................................. 57
Força de tração aplicada em uma barra ..................................................................... 61
Intensidade do momento de uma força em relação a um ponto ............................. 63
Condições de equilíbrio de um corpo rígido ............................................................... 67
Leis de Newton ..................................................................................................................... 68
Primeira Lei de Newton: inércia ................................................................................... 68
Segunda Lei de Newton: lei fundamental da dinâmica ............................................ 69
Terceira Lei de Newton: lei da ação e reação .......................................................... 71
Sintetizando ........................................................................................................................... 74
Referências bibliográficas ................................................................................................. 75
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Sumário
Unidade 3 - Tipos de apoio, vigas isostáticas e esforços
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 77
Tipos de apoio ....................................................................................................................... 78
Apoios estruturais no plano cartesiano ...................................................................... 78
Apoio articulado móvel (apoio de primeiro gênero) .................................................. 81
Apoio articulado fixo (apoio de segundo gênero) ...................................................... 82
Apoio engastado (apoio de terceiro gênero) .............................................................. 83
Vigas isostáticas .................................................................................................................. 85
Classificação das estruturas: isostática, hiperestática e hipostática 87
Esforços normais e cortantes............................................................................................. 91
Esforços normais (ou axial) ........................................................................................... 94
Alguns exemplos de cálculos ........................................................................................de força passam uns sobre os outros.
Assim, se a extremidade do último segmento orientado coincidir com 
a origem do primeiro (linha poligonal fechada), a resultante de forças será 
nula, pois o sistema de forças estará em equilíbrio. 
Além da determinação gráfica e do uso da linha poligonal das forças, 
outra forma conhecida para determinar as resultantes de um sistema de 
forças é o método das projeções, utilizado em casos de forças coplanares, 
em um sistema cartesiano (0) xy.
a)
F1
F2
F3
P
b)
F1
F2
F3
c)
F1
F2
F3
FR
Figura 2. Linha poligonal das forças. Fonte: CHAVANTE, 2015, p. 220. (Adaptado). 
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A) B)
F3y
F3
FR
F2F1
F1y
0 x
F2y
F1x
FRx
FRy
F2x F3x
Fy
FX
θ
F
0 x
y
Figura 3. Projeção das linhas poligonais das forças em um plano cartesiano. Fonte: NUNES, 1996, p. 128. (Adaptado). 
No plano cartesiano, determinamos a projeção das forças em F1, F2, F3 
segundo o eixo 0x. Ao serem projetadas no eixo x, essas forças se tornam 
F1x, F2 x, F3x. Já as projeções de F1, F2, F3 em relação ao eixo 0y, projetadas 
no eixo y, tornam-se F1y, F2y, F3y (Figura 3, a). Esse procedimento pode ser 
utilizado para quantos números de seguimentos orientados coplanares 
existirem no sistema, ou seja, Fn.
Ainda na Figura 3 (b), podemos observar nos planos cartesianos que FRx e 
FRy são as projeções de FR em relação aos eixos 0x e 0y. Sendo assim, a projeção 
da resultante FR em qualquer um dos eixos (x ou y) é a soma algébrica das pro-
jeções das forças componentes. Dessa forma:
FRx = F1x + F2x + F3x → FRy = F1y + F2y + F3y 
A intensidade da força resultante é dada por:
FR = FR²x + FR²y√
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 47
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Ao realizar a aplicação do teorema de Pitágoras ao triângulo (Figura 3, b) 
para encontrar FR, verifi ca-se que FR possui uma inclinação diagonal em relação 
aos eixos 0x e 0y. Tendo em vista essa inclinação, ao analisá-la isoladamente 
como sendo uma única força (F), verifi camos a existência de um determinado 
ângulo em relação ao eixo 0x e ao eixo 0y. Sendo assim, a projeção ortogonal 
será determinada por seno e cosseno, sendo:
Fx = F · cosƟ
Fv = F · senƟ
Ao analisarmos a direção que FR forma com os eixos 0x e 0y, respectivamen-
te, temos os ângulos 0x e 0y, tais que:
Cos 0x =
FRx
FR
Cos 0y =
FRy
FR
Caso de duas forças não colineares
Para entendermos melhor como encontrar FR em um sistema de forças não 
colineares, considere que o ponto material P esteja sob a ação de duas forças 
não colineares, sendo essas F1 e F2. Podemos obter a resultante FR tanto por 
meio da linha poligonal das forças quanto mediante ao uso da regra do para-
lelogramo, em que a resultante FR é representada pela diagonal orientada do 
paralelogramo partindo do ponto P, cujos lados orientados são representados 
por F1 e F2 (Figura 4).
Regra do paralelogramo: 
“FR = F1 + F2” 
“FR
2 = F1
2 + F2
2 + 2 F1 · F2 · cos (α)” 
F1
A
F2
B
P
FR
α
C
Figura 4. Força resultante obtida mediante regra do paralelogramo. Fonte: NUNES, 1996, p. 165. (Adaptado). 
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 48
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Assim, para determinar a intensidade da resultante, podemos usar a lei dos 
cossenos do triângulo.
FR² = F1² + F2² + 2F1 · F2 · Cos (π – α)
Em que:
Cos (π – α) = - Cos (α)
Logo:
FR² = F1² + F2² + 2F1 · F2 · Cos (α)
Vamos admitir, então, que em um ponto (P) estão sendo aplicadas duas for-
ças F1 = 10N e a F2 = 20N, e que o ângulo entre elas seja de 70º. Para determinar 
a intensidade da força resultante devemos realizar o seguinte cálculo:
 
FR
2 = F1
2 + F2
2 + 2F1 · F2 · Cos (α)√
FR = 25,2 N
FR = F1 + F2 
FR = F1² + F2² + 2F1 · F2 · Cos (α)√
FR = 102 + 202 + 2 · 10 · 20 · Cos (70º)√
Além de obtermos o resultado da intensidade da força de 25,2 N, podemos 
observar que no sistema de forças apresentado, a direção da força resultante 
corresponde à reta que contém o segmento PC, e que o sentido desse seg-
mento é de P para C. Sendo assim, as duas forças F1 e F2 têm um ângulo de 
70º entre si, o que produz uma resultante que forma um ângulo entre cada 
força de 35º. 
EXPLICANDO
A lei dos cossenos é uma parte do teorema de Pitágoras. Essa lei pode ser 
adotada em cálculos de qualquer triângulo, não somente nos triângulos 
retângulos, a fi m de determinarmos uma resultante. 
Caso de duas forças colineares
Os vetores colineares são aqueles que possuem uma mesma direção, em 
um mesmo sentido ou em um sentido oposto. Se as forças F1 e F2 contempla-
rem a mesma direção e o mesmo sentido, a resultante FR terá a mesma direção 
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e sentido das forças componentes, além do que a intensidade será igual à soma 
das intensidades das duas forças (Figura 5). Assim: 
FR = F1 + F2
a)
F1
F1
FR
A C
BF2
F2
Figura 5. Força resultante por forças com mesma direção e sentido. Fonte: NUNES, 1996, p. 165. (Adaptado). 
No entanto, se as forças F1 e F2 estiverem na mesma direção, mas em sen-
tidos opostos, a resultante FR terá a mesma direção das forças componentes e 
terá o mesmo sentido da força componente que apresentar maior intensida-
de. Nesse sentido, sua intensidade será igual à diferença (subtração) entre as 
intensidades, ou seja, a intensidade da maior menos a intensidade da menor 
(Figura 6).
Supondo:
F2 > F1 resulta: FR = F2 – F1 → (Figura 6, a)
Supondo: 
F1 > F2 resulta: FR = F1 – F2 → (Figura 6, b)
F1
F2
a)
b)
F2
F1
F2
F1
F1
F2
F
F
P
P
A
A
B
B
C
C
Figura 6. Força resultante por forças com mesma direção e sentidos opostos. Fonte: NUNES, 1996, p. 165. (Adaptado). 
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Força de tração aplicada em um corpo
Podem existir um ou mais corpos envolvidos no sistema tracionado. Outro 
fator importante é o ângulo existente entre os corpos que estão sendo tracio-
nados e a direção, além de como esses corpos se movimentam. Isso signifi ca 
que corpos do mesmo sistema, ligados por um cabo, movimentam-se juntos e 
com a mesma aceleração.
Exemplo três: um modelo clássico desse sistema de forças ocorre quando 
dois corpos são içados mutuamente por uma corda em plano horizontal, incli-
nado ou vertical (Figura 7). 
Assim, para entendermos o comportamento dos diferentes meios de se 
empregar a força de tração sobre um corpo, admitiremos os mesmos valores 
para todas as variações da Figura 7. Além disso, desprezaremos a resistência do 
ar e adotaremos uma aceleração de 2 m/s² em todos os sistemas. Dessa forma, 
veremos a diferença de resultado, comparando cada sistema de forças.
a.1)
c) d) e) f)
a.2) b.1) b.2)
Figura 7. Força de tração. Fonte: NUNES, 1996, p. 182-193. (Adaptado).
a) Tração aplicada sobre um corpo apoiado em uma superfície (com ou sem atrito).
Nessa aplicação da força de tração, o corpo é puxado por uma corda sobre 
uma superfície plana. A superfície pode não apresentar atrito (a. 1) ou apresen-
tar atrito (a. 2). Para ambos os casos será adotada uma massa 10 kg, a fi m de 
verifi carmos a diferença da resultante de tração em uma superfície sem atrito 
comparada a uma superfície com atrito. 
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a. 1) Para calcularmos a tração de um corpo em uma superfície sem atrito, 
temos três forças atuantes. A força peso (P), que puxa o corpo para baixo, e a 
força normal que a superfície aciona, aplicadas sobre o mesmo corpo. Há tam-
bém a força de tração, o dado que desejamos descobrir. 
Sabemos que:
P = m · g
Gravidade = 9,8 m/s²
Massa = 10 kg
Assim:
P = 10 kg · 9,8 m/s² → P = 90,8 N
Como o corpo está em movimento retilíneo uniforme (MRU), consideramos 
a 1ª Lei de Newton, em que: 
R = N – P
Ou seja: 
R = 90,80 N – 90,80 N
R = 0
O que significa que a força normale a força peso estão em equilíbrio por 
não haver aceleração na vertical. A partir desse momento, consideramos a 2ª 
Lei de Newton, onde: 
T = tração (N)
T = m · a
m = massa (kg)
a = aceleração (m/s²)
Assim:
T = m · a → T = 10 kg · 2 m/s² → T = 20 N
a. 2) Para cálculo de tração do corpo em uma superfície com atrito, te-
mos quatro forças atuantes. Além da força peso (Fat) gerada pela superfície 
rugosa sobre a qual o corpo está apoiado, esta atua em sentido contrário à 
força de tração. 
Para o caso da força de atrito estático existem duas situações: se a força 
de tração for menor que a força de atrito, o corpo continua em equilíbrio; en-
tretanto, se a força de tração for maior que a força de atrito, a força de atrito 
passa a ser força de atrito dinâmico. Assim, se Fat = μeN (coeficiente de atrito 
estático), adotemos Fat = 2 N.
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Dessa forma: 
T - Fat = m · a → T – 2 N = 10 kg · 2 m/s² → T - 2 N = 20 N
T = 20 N + 2 N → T = 22 N
T - Fat = 0 (equilíbrio) → 22 N – 2 N = 20 N (não há equilíbrio)
Sendo assim, T > Fat (há força de atrito dinâmico).
b) Tração entre corpos do mesmo sistema. Para o sistema de forças (b. 1), vamos 
supor uma superfície sem atrito e considerar a força de aceleração como 2 m/s², somen-
te da direção horizontal, e a força de tração como 20 N, encontrada no item (a), com o 
objetivo de encontrar a aceleração de cada bloco e as forças trocadas entre os corpos. 
Assim, temos:
NA = força normal aplicada pela superfície no corpo A;
PA = força peso aplicada pelo corpo A na superfície;
TBA = força de tração que o corpo B aplica sobre o corpo A; 
NB = força normal aplicada pela superfície no corpo B;
PB = força peso aplicada pelo corpo B na superfície;
TAB = força de tração que o corpo A aplica sobre o corpo B; 
T = força de tração aplicada no corpo B.
Se: T = m · a, então: TBA = mA · a e TAB = mB · a usando o sistema em forma 
escalar, temos: 
TAB = mB · a
T = (mA + mB) · a
{ +
→
a = a = 1,67 m/s²
T - TBA = mA · a T = (mA + mB) · a →
20
12
 = a → a =
T
(mA + mB)
20
(10 + 2)
Substituindo a aceleração nas equações:
TAB = mA · a → TAB = 10 · 1,67 = 16,7 N → TAB = TBA = 16,7 N
Neste sistema de forças (b. 2), os dois corpos se movimentam simultanea-
mente e com a mesma aceleração. Como eles estão ligados por cabos, realiza-
mos o cálculo da força resultante para cada um deles, objetivando descobrir a 
força de tração que um corpo exerce sobre o outro.
A metodologia de cálculo segue-se exatamente igual a (b. 1):
 
T - TAB = mB · a
T = (mA + mB) · a
{ +
→ = a → a =
a = a = 1,67 m/s²
TBA = mA · a T = (mA + mB) · a → T
(mA + mB)
20
(10 + 2)
20
12
 
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 53
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Substituindo a aceleração nas equações:
TBA = mA · a → TBA = 10 · 1,67 = 16,7 N → TBA = TAB = 16,7 N
O resultado será igual ao (b. 1), pois consideramos os mesmos fatores em 
ambos os corpos.
c) Tração entre corpo suspenso e corpo apoiado. Nesse caso, além da força 
normal, da força de tração entre os corpos que estão ligados por um cabo, te-
mos de considerar a força do peso do corpo B. 
Dessa forma, teremos uma nova variante no sistema:
PB = mB · g → PB = 2 · 9,81→ PB = 19,62 N
PB - TAB = mB · a
PB = (mA + mB) · a
{ +
→ = a → a =
a = a = 1,63 m/s²
TBA = mA · a PB = (mA + mB) · a → PB 
(mA + mB)
19,62
(10 + 2)
19,62
12
Substituindo a aceleração nas equações:
TBA = mA · a → TBA = 10 · 1,63 = 20 N → TBA = TAB = 16,3 N
d) Tração no plano inclinado. Nesse sistema, as forças aplicadas sobre o cor-
po são a força normal (N) e a força peso (P). A força peso é decomposta em dois 
componentes: (Px) paralelo ao plano inclinado e (Py) perpendicular ao plano 
inclinado, formando dois triângulos em relação a (P).
Assim, temos:
Px = P · sen Ɵ
Py = P · cos Ɵ
Sabendo-se que Px equilibra a força normal (N), a resultante das forças que 
agem sobre o corpo é:
FR = Px
FR = P · sen Ɵ
Como a resultante é igual a massa vezes aceleração, ou seja, FR = m · a:
FR = P · sen Ɵ m · a = m · g · sen Ɵ m · a = g · sen Ɵ
M
A intensidade da força normal que o plano inclinado aplica sobre o corpo é 
equilibrado pela componente Py, assim:
Py = - N N = P · cos Ɵ
E a tração aplicada no bloco é dada por: T - Px = m · a
e) Tração entre um corpo suspenso por cabo e um corpo em plano inclina-
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do. Nesse sistema, um corpo sobre um plano inclinado traciona outro corpo 
suspenso por meio de um cabo e polia. Assim, podemos determinar a acele-
ração de cada corpo calculando primeiramente o componente tangencial do 
peso do corpo A:
PAx · sen Ɵ → mA · g · sen 45º → 10 · 9,81 · 0,707 = 69,37 N
Posteriormente, calculamos o peso do corpo B:
PB = mB · g → PB = 2 · 9,81 → PB = 19,62 N
Para determinar o sentido da aceleração, comparamos PAx · sen Ɵ com PB: 
PAx · sen Ɵ = 69,37 N > PB = 19,62 N
Logo, o sentido da aceleração será o mesmo sentido de PAx. Assim, usamos 
o sistema:
T - PAx · sen Ɵ = mA · a{ +PB + T = mB · a
PB + PAx · sen Ɵ = (mB + mA) · a 
Substituindo a aceleração nas equações:
PB + PAx · sen Ɵ = (mB + mA) · a
(mB · g) + (mA · g) · sen Ɵ = (mB + mA) · a → (mB + mA · sen Ɵ) · g = (mB + mA) · a
(mA + mB) (10 + 2) 12
a = (mB - mA · sen Ɵ) · g → a = (2 + 10 · 0,707) · 9,81 = 88, 9 → a = 7,4m/s²
Objetivando encontrar as trações nos cabos, substituímos a aceleração nas 
equações:
PB - T = mB · a → T = PB – mB · a → T = 19,62 – 2 · 7,4 N → T = 4,82 N
f) Tração no pêndulo. Nesse sistema, a força de tração é relacionada à tra-
jetória circular, produzindo uma componente de força centrípeta. A força resul-
tante, por sua vez, é produzida pela diferença entre a tração e o peso, sendo: 
T - P = Fcp
Onde: 
Fcp = força centrípeta (N).
Iniciamos os cálculos verificando a velocidade escalar do pêndulo. Para 
isso, vamos admitir que o cabo possui comprimento de 1 m e o ângulo en-
tre a força vertical e o movimento seja de 20º. Inicialmente, observamos a 
existência da força peso (P) e a força de tração (T). Além disso, tendo em 
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 55
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Forças aplicadas em uma barra
Se observarmos uma gangorra, percebemos que o equilíbrio dela ocorre 
quando duas crianças com pesos (massas) praticamente iguais se sentam em 
suas extremidades. Se uma criança com massa superior se sentar em outra 
extremidade da gangorra, esta tenderá para baixo.
Imaginemos agora uma barra suspensa. Ao aplicarmos uma força sobre 
uma barra suspensa, podemos observar que há apenas um ponto onde 
essa força pode ser aplicada, o que possibilita que a barra permaneça na 
horizontal, sem pender para um lado ou para o outro. Esse ponto é deno-
minado centro de gravidade ou baricentro.
Nesse sentido, podemos defi nir o 
centro de gravidade como o ponto em 
que está concentrado todo o peso de um 
corpo. Isso signifi ca que em uma barra 
rígida e homogênea, o centro de gravida-
de coincide com o ponto médio da barra, 
uma vez que a barra está em um campo 
gravitacional uniforme, o que faz com 
que o centro gravitacional do corpo es-
teja próximo da região em que há maior 
concentração de massa (Figura 8).
vista que o pêndulo promove movimentos circulares (RC = mv² / r), a sua 
componente será tangencial. Assim:
Determina-se r: r = 2 · sen 20º → r = 2 · 0,34 → r = 0,68
√Tg 20º = Tg 20º = Tg 20º =→ → → v = g · r · Tg 20º
P 
Rc
g · r
v2
m · g
mv²/r
v = 9,81 · 0,68 · 0,36 → v = 1,55 m/s√
Para determinar a tração, seguimos a seguinte fórmula:
cos 20º = T = T = T =→ → → → T = 20,87 N
T 
P
cos 20º 0,94
m · g 2 · 9,8
cos 20º
P
Para determinar a força centrípeta, seguimos a seguinte fórmula:
T - P = Fcp → 20,87 – 19,62 = Fcp → Fcp = 1,25 N
I/2
I
G
P
Figura 8. Barra homogênea num campo gravitacional 
uniforme. Fonte: NUNES,1996, p. 311. (Adaptado). 
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 56
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Onde: 
G = baricentro (centro de gravidade)
I = comprimento
P = peso
Força de compressão aplicada a uma barra
Quando uma força é aplicada sobre uma barra, e sua direção, sentido e intensi-
dade seguem para o ponto material, surge a compressão física, também chamada 
de força de compressão. Ela, por sua vez, causa a redução das dimensões no local 
em que está sendo aplicada (se a peça for deformável).
Primeiramente, vamos pensar em um objeto deformável em estado de com-
pressão. Por exemplo, ao colocarmos uma esponja sobre uma mesa e a pressio-
narmos com as pontas dos dedos. Nessa situação, podemos verifi car que a força 
aplicada sobre a esponja a comprime em direção à mesa, fazendo com que aquela 
seção transversal, local em que a força está sendo aplicada, seja comprimida e 
reduza de dimensão. 
Importante ressaltar, contudo, que embora a força de compressão da esponja 
reduza suas dimensões em um ponto, a esponja não perde o seu volume ou se 
expande na seção longitudinal.
O mesmo fenômeno ocorre com elementos estruturais, tais como pilares, que 
recebem cargas sobre suas extremidades superiores, ocasionando uma força 
axial que tende a se dissipar perpendicularmente na seção transversal dos pilares 
e a comprimi-los ao longo de suas seções longitudinais (eixos), dirigindo a força 
para o interior de suas bases. Por esse motivo, faz-se necessário um bom dimen-
sionamento estrutural, no intuito de evitar que as forças aplicadas sobre um pilar 
causem deformações ou o colapso de um elemento estrutural.
DICA
Lembrando que peso é uma força que atrai os corpos em direção ao 
centro da Terra, determinado pela massa de um corpo multiplicada pela 
gravidade. Isso signifi ca que o sentido vertical sempre aproximará os 
corpos. Podemos observar isto quando deixamos um objeto cair e ele 
segue em direção a Terra. A força (peso) é uma unidade derivada, em que 
usamos as unidades quilograma-força (kgf) ou newton (N). 
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A B
Figura 9. Sistema de forças aplicadas a um ponto material. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 19/10/2020. 
Ao submetermos uma barra de aço às forças axiais consideráveis, comprimindo 
uma barra contra a outra por dois lados, sendo a força (F1) proveniente da esquerda e 
a força (F2) proveniente da direita, a barra receberá forças da mesma direção, porém 
em sentidos opostos (Figura 9, a). Nesse caso, a barra sofrerá deformação, tanto no 
sentido transversal, quanto no sentido longitudinal. 
Em alguns casos, inclusive, dizemos que um metal é indeformável devido à 
sua rigidez, mas esse pensamento está equivocado. O aço, por exemplo, ao ser 
submetido às forças axiais, apresenta inicialmente deformações elásticas, re-
tornando ao seu estado original. Contudo, conforme as forças se intensificam 
continuamente sobre a peça, o material atinge a tensão de escoamento, isto 
é, a deformação plástica. Nesse momento, a peça não retorna ao seu estado 
original, e caso continue submetida às tensões axiais, pode sofrer uma ruptura, 
já que a resistência dos materiais fica comprometida (Figura 9, b).
A compressão também pode ocorrer no sentido longitudinal de uma barra, 
em que a força aplicada em sua extremidade se distribui uniformemente ao 
longo do corpo. Em relação ao sentido vertical, o corpo também sofre com a 
deformação elástica e a deformação plástica. 
Dessa forma, como mencionado, quando um corpo sofre uma deformação 
e retorna ao seu estado original, temos um caso de deformação elástica (ΔLe) 
(Figura 10, a). Por outro lado, quando um corpo recebe uma força e não volta ao 
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seu estado original, possuímos um caso de deformação plástica (ΔLp) (Figura 
10, b). Assim, na deformação plástica, o comprimento final será menor que o 
comprimento inicial, ou seja:
Lfinalnormal (Pa);
F = força normal aplicada (N).
Logo a deformação longitudinal pode ser dada por:
 ɛ = Δl = σ
I E
Já para definir o alongamento da seção longitudinal, temos:
A = Lf – Lo
Lo
Onde: 
A = alongamento
Lo = comprimento inicial do corpo 
Lf = comprimento final do corpo
Lo – Lf = variação do comprimento do corpo
Exemplo quatro: quando uma barra de aço, presa por um cabo 
de aço, é içada para o alto de um edifício com o uso de 
uma grua, a força que a grua exerce para puxar o cabo é 
aplicada à barra de aço. A barra, por sua vez, exercerá 
força em sentido contrário. Por esse motivo, precisa-
mos calcular a resultante nos corpos.
Embora no cálculo de tração sejam utilizados conhecimentos posteriores 
nas três leis de Newton, por ser parte pertinente ao assunto, podemos analisar 
a fórmula a seguir:
T = m · a
Onde: 
T = tração (N)
m = massa (kg) 
a = aceleração (m/s²)
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Intensidade do momento de uma força em relação a 
um ponto
Quando uma força é aplicada em direção perpendicular ao plano do objeto, 
essa força gera a intensidade do momento, como observado na Figura 12. 
Exemplo cinco, a: ao realizarmos a troca de um pneu, verifi camos que existe 
uma força aplicada pelo mecânico, como também uma força aplicada pela chave 
de boca. Se imaginarmos essas forças sobre um plano cartesiano inclinado, po-
demos observar que a força aplicada pelo mecânico tem direção vertical (eixo y) e 
sentido para baixo (vetor em amarelo). 
A chave de boca, por sua vez, recebe a força aplicada pelo mecânico. Esta 
força percorre a extensão da chave, na direção horizontal (eixo x) com sentido 
para a esquerda, em direção ao eixo (0xy), local do parafuso que está sendo solto 
(vetor em azul).
F
d
Figura 12. Intensidade do momento de uma força. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 19/10/2020. 
Empiricamente, podemos concluir que, quando uma força é aplicada na 
chave de boca, surge uma tendência de rotação em relação ao ponto onde 
está o parafuso, ou seja, ao ponto ou polo. Essa tendência trata-se do mo-
mento (M) da força em relação ao polo (0), sendo que sua intensidade é cal-
culada pela relação:
M = +/- F · b
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Ou:
M = +/- F · d
Onde: 
M = momento da força;
F = força, grandeza vetorial;
b = base, ou braço da força em relação ao polo ou eixo;
d = distância entre o ponto de aplicação da força e o eixo.
Ainda na Figura 12 podemos observar que a rotação em relação ao polo (0) 
pode ter sentido. Assim, a intensidade do momento pode ser positiva ou nega-
tiva, de acordo com o sentido da rotação gerado pela força. Quando o sentido 
da rotação é anti-horário, adotamos o sinal (+); já quando o sentido da rotação 
é horário, adotamos o sinal (-). No quinto exemplo, como a rotação produzida 
pela força segue no sentido anti-horário, adotamos o sinal (+).
Outro dado importante que precisa ser lembrado é que toda força aplicada 
em um ponto é um vetor que possui uma direção, partindo de um determinado 
local sentido a um outro local, possuindo tamanho e intensidade. Sendo assim, 
um vetor é uma grandeza. Nesse caso, sabemos que toda grandeza possui uma 
unidade de medida correspondente. No caso do momento, a unidade SI é new-
ton · metro, ou seja, N · m.
Vamos admitir que a chave de boca mede 25 cm, ou seja, a distância em re-
lação ao eixo corresponde a 25 cm e a força suficiente aplicada pelo mecânico 
para soltar o parafuso corresponde a 250 N. Tendo em vista que a posição da 
força indica uma rotação anti-horária, o sinal adotado será (+).
M = + F · d
M = + 250 N · 25 cm = 6.250 N.cm
Ou: (convertendo cm em m) 25 cm = 0,25 m
M = + 250 N · 0,25 cm = 62,50 N.m
Exemplo cinco, b: o mecânico utiliza uma chave de boca de maior compri-
mento para facilitar o trabalho. Ele deseja soltar o mesmo parafuso, sem alte-
rar o momento. Se ele utilizar uma chave de boca com 40 cm, qual será a força 
necessária para soltar o parafuso? 
M = + F · d → M/d = F → F = M/d 
F = + = 156,25 N
6.250 · N cm
40 cm
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Ou: (convertendo cm em m) 40 cm = 0,40 m
F = + = 156,25 N
62,50 N · m
0,40 cm
Interessante observarmos que quanto maior a distância do braço de força, 
mais a força se dissipa pelo comprimento da chave de boca, significando que o 
mecânico empregará menos força para retirar o parafuso do pneu, isto é:
Uma chave de d = 25 cm, produz M = 6.250 N · cm, mediante F = 250 N.
Uma chave de d = 40 cm, produz M = 6.250 N · cm, mediante F = 156,25 N.
Agora, vamos entender como essa força poderia aparecer em uma barra ou 
viga. Nesse exemplo, verificaremos que o procedimento é exatamente o mesmo.
Força aplicada a uma barra produzindo momento
Exemplo seis: uma arquiteta está estudando como içar uma viga metálica 
utilizando uma grupa para cima de um edifício em construção. Sendo assim, 
ele está investigando qual o melhor ponto para fixar o cabo de aço, a fim de 
evitar que a viga penda para um dos lados. 
Frente a esse problema, a arquiteta resolve estudar três comportamentos 
prováveis que a viga venha a sofrer durante esse processo. Para entender me-
lhor as forças aplicadas sobre os pontos da barra, ela faz três desenhos ilustra-
tivos da viga e realiza os cálculos pertinentes para cada um (Figura 13).
b =
b = b =
A
A
B B
A B
F = 20 N
F = 20 N F = 20 N
Ft FA150O
150O
Sentido horário 
M (-)
a)
b =
b =
2mA B
F = 20 N
A
30O
B
F = 20 N
b)
Figura 13. Força aplicada em uma barra produzindo momento. Fonte: NUNES, 1996, p. 312-313. (Adaptado). 
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Para a situação (a), a arquiteta observa o que aconteceria se a viga fosse 
içada apenas por uma extremidade (ponto A), e verifica que existe uma tendên-
cia para rotação em relação ao (ponto B). Ela observa a convenção e descobre 
que essa tendência é negativa, já que segue o sentido horário. Sendo assim, 
introduz-se o sinal (-) à força, em cálculo: (- 20 N). 
Nesse sentido, ao içar a viga, a força exercida no cabo de aço pela grua será 
de 20 N, no sentido vertical (eixo y) na direção positiva (para cima). Assim, a 
arquiteta inicia os cálculos, considerando a viga ainda em repouso, analisando 
o momento (M) em que essa força, ao içar a viga no ponto (A), exercerá força 
em relação ao ponto (B) da viga:
MB = F · b → MB = - 20 · 4 → MB = - 80 N · m
A arquiteta verifica também que ao içar a viga ocorrerão diversos com-
ponentes de ângulos de inclinação entre a viga e o cabo de aço. Por 
isso, toma inicialmente para o seu cálculo o ângulo de 160º 
entre o cabo de aço e a viga. Assim, ela deve decompor a 
força em uma direção perpendicular e paralela ao braço. 
Nesse caso, apenas a componente de força perpendicular 
promoverá a rotação. 
Assim:
FA = componente de força que está perpendicular ao braço (base da vida);
Ft = componente de força tangencial ao braço (base da viga).
Sabendo que a componente de força FA está a 90º perpendicularmen-
te ao braço e que a força de 20 N está a um ângulo de 160º do braço, para 
achar o ângulo entre a força a arquiteta precisa, primeiramente, subtrair 
os ângulos:
150 - 90 = 60º
Assim, a componente FA, tem ângulo de 60º em relação à força de 20 N. E é 
importante saber se devemos usar o seno ou cosseno para esse cálculo. 
DICA
Usa-se seno quando o ângulo está afastado da componente que precisa-
mos encontrar, e usa-se cosseno quando o ângulo está junto ao compo-
nente que necessitamos encontrar, isso porque o seno é o cateto oposto / 
hipotenusa e o cosseno é o cateto adjacente/ hipotenusa. 
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Nesse caso devemos usar o cosseno, pois a componente da força que que-
remos é adjacente a ela.
Logo:
MB = FA · b → MB = F · cos 60º · b → MB =- 20 · 0,50 · 4 → MB = - 40 N · m
Na situação (b), a arquiteta decide inferir sobre a colocação do cabo de aço 
no meio da viga para içá-la. Assim, decide analisar os momentos da força (F) 
caso ela seja aplicada no centro de cada viga. Além disso, ela resolve verifi car 
o momento da força em relação ao ponto (A), sendo assim, de acordo com a 
conversão, o sinal é positivo (+), pois segue o sentido anti-horário (+ 20 N).
Ela identifi ca, então, que quando uma força é aplicada no meio da barra, 
a força terá metade da intensidade em cada polo da barra antes de ser içada. 
Logo:
M A = FB · → MA = + 20 · → MA = 40 N · m b
2
4
2
Ela decide também analisar o valor dos momentos quando, de alguma 
forma, a viga pende para um dos lados e a componente da força passa pe-
los pontos da viga. A arquiteta também inferiu um ângulo de 30º, devido à 
inclinação da barra. Assim, ela verifi cou que quando a barra é içada, sofren-
do uma força na direção vertical (eixo y), para cima (sentido positivo), essa 
força aplicada no meio da barra terá metade da intensidade em cada polo 
da barra antes de ser içada, de acordo com as componentes obtidas pela lei 
do seno e cosseno. 
Logo:
M A = FB · → MA = FB · sen 30º · → MA = 20 · → MA = 20 N · m ·b
2
b
2
1
2
4
2
Condições de equilíbrio de um corpo rígido
Em qualquer corpo com dimensões não desprezíveis (corpo extenso), que não 
apresente modifi cações em seu estado de repouso ou movimento, a resultante 
das forças e o momento resultante são nulos. Resumindo, as condições de equilí-
brio de um corpo são:
Resultante nula (R = O)
Momento resultante nulo (Mr = 0)
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Leis de Newton
Há cerca de 300 anos, Isaac Newton publicou o livro Os princípios matemá-
ticos da fi losofi a natural, que até os dias atuais é utilizado na Física. Nessa épo-
ca, o mundo estava passando por um processo de expansão comercial, o que 
favorecia o estudo de diversas áreas da ciência, em busca de novos conhe-
cimentos que pudessem contribuir para maximizar os avanços comerciais e 
econômicos (NUNES, 1996). 
Assim, Newton inferiu em sua obra sobre a dinâmica, uma parte da mecâ-
nica que estuda os movimentos dos corpos e suas causas (HALLIDAY; WALKER, 
2006, p. 80-86).
Primeira Lei de Newton: inércia
“Todo corpo tende a manter seu estado de repouso ou movimento re-
tilíneo e uniforme, a menos que forças externas provoquem variação nesse 
movimento” (Isaac Newton).
A primeira Lei de Newton é muito importante porque ela está presente em 
nosso dia a dia, correspondendo à relação entre a força aplicada sobre um 
corpo e a relação entre força e o movimento.
A inércia diz respeito à tendência que um corpo em velocidade nula tem de 
permanecer em repouso. Também pode se referir à tendência que um corpo 
tem de permanecer em movimento constante caso não haja aplicação de for-
ças externas que alterem seu estado inicial. 
Assim, quando uma força externa é aplicada sobre um objeto em repouso, 
esse objeto mudará o seu estado inicial, iniciando um movimento. Tomemos, 
por exemplo, a marcação de um pênalti.
Exemplo sete: durante uma partida de futebol, um jogador sofreu um 
pênalti e colocou a bola sobre o ponto determinado. A bola permaneceu em 
repouso até que o jogador a movimentou quando tocou nela com o seu pé, 
já que a força externa proveniente do seu corpo foi aplicada. Assim, o corpo 
que estiver em movimento retilíneo uniforme se alterará se uma força exter-
na que atuar sobre ele o impedir de prosseguir um movimento, ou fazer com 
que ele sofra uma aceleração.
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Exemplo oito: pensando em um carrinho de brinquedo apoiado sobre uma 
superfície plana, sem que haja força de atrito entre a superfície e o carrinho, ve-
rifi camos que, pela lei da inércia, o carrinho permanecerá em repouso. Quando 
empurramos o carrinho, aplicamos uma força externa, que o tira da condição de 
repouso. A partir daí o carrinho ganhará velocidade. 
Como estamos levando em consideração uma superfície sem atrito, o carrinho 
só parará e entrará novamente em repouso se outra força o puxar ou o impedir de 
continuar o movimento.
Entretanto, se levarmos em consideração algum atrito entre o carrinho e a su-
perfície, o carrinho começará a perder velocidade até entrar em estado de repou-
so. Nesse caso, a força de atrito entre o carrinho e a superfície tira o carrinho da 
condição de movimento retilíneo uniforme, levando-o ao repouso gradativo.
Outro ponto importante a se observar durante a verifi cação da inércia de um 
corpo corresponde à massa. Isso porque a massa é uma medida que quantifi ca a 
inércia, já que dependendo da massa é possível que haja maior ou menor difi cul-
dade para fazer com que um objeto entre em movimento ou em repouso.
Segunda Lei de Newton: lei fundamental da dinâmica
“A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida 
e é produzida na direção de linha reta na qual aquela força é aplicada” 
(Isaac Newton).
A segunda Lei de Newton é conhecida como o princípio fundamental da 
dinâmica e apresenta a relação entre força e aceleração, haja vista que a exis-
tência da aceleração signifi ca que uma força foi aplicada sobre um corpo. A 
aceleração, portanto, é a grandeza que determina a variação da velocidade.
A aceleração sempre ocorre em função do tempo, medindo de quanto em 
quanto tempo o valor da velocidade tende a aumentar ou diminuir, dado pela 
equação matemática:
FR = m . a
Onde: 
FR = N (newtons)
m = kg (quilograma)
a = m/s² (metros por segundo ao quadrado)
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 69
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Ao contrário de quando se aplica uma força sobre um ponto ou uma 
barra, a segunda Lei de Newton nos mostra que, para alguns casos, a força 
resultante é originada do produto da massa e da aceleração. Sendo assim, a 
força existirá apenas se houver aceleração e massa, visto que ela é a medida 
quantitativa da inércia vezes a aceleração, o que resulta em força.
Tendo em vista que a força resultante faz a função de todas as forças 
atuantes sobre um corpo, a partir dessa equação é possível encontrar a mas-
sa e a aceleração, caso só haja o valor da força. Assim:
Para encontrar a massa de um corpo: 
FR = m . a → = m
FR
a
Para encontrar a aceleração: 
FR = m . a → a
FR
m
Exemplo nove: uma retroescavadeira que possui massa de 250.000 kg 
é acelerada a partir do seu repouso até uma velocidade de 10 m/s, em um 
intervalo de tempo de 20 s. 
Quando falamos “a partir do seu repouso”, sugere-se que a primeira ve-
locidade da retroescavadeira é (0) zero, e que após 20 segundos ela 
chega a uma velocidade de 10 m/s. Tendo em vista que a 
velocidade da retroescavadeira aumenta com o passar 
do tempo, faz-se necessário encontrar a força resul-
tante média que atuou sobre a retroescavadeira, fa-
zendo com que a velocidade aumentasse de 0 até 10 
m/s em um intervalo de 20 s.
Pensando na equação: FR = m . a, vamos reunir os dados que possuímos. 
Temos a massa (m = 250 mil kg), mas não temos aceleração. Nesse sentido, 
tendo em vista que a aceleração é a variação da velocidade dividida sobre a 
variação do tempo, podemos obtê-la: 
a = Δv
Δt
Onde: 
Δv = vf – vo (velocidade final – velocidade inicial)
Δt = tf – to (tempo final – tempo inicial)
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 70
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Temos:
Δv = vf – vo → Δv = 10 m/s – 0 m/s → Δv = 10 m/s
Sabendo-se que essa variação de velocidade ocorreu em 20 segundos:
Δt = tf – to → Δt = 20 s – 0 s → Δt = 20 s
Logo: 
a = Δv
Δt
10 m/sa
20 s
→ a = = 0,50 m/s²
x 
Verifi cou-se que a aceleração é igual a 0,50 m/s², ou seja, a cada segundo 
de tempo que passa, a velocidade da retroescavadeira aumenta gradativa-
mente de 0, 50 m/s em 0, 50 m/s. Agora, de posse do valor da aceleração, será 
possívelencontrar a força que incidiu sobre a retroescavadeira, utilizando a 
segunda Lei de Newton: 
FR = m · a → FR = 250.000 kg · 0,5 m/s²
FR = 125.000 N
Diante disso, podemos observar que a força que atuou sobre a retroesca-
vadeira, fazendo com que ela acelerasse de 0 a 10 m/s no período de 20 s, foi 
de 125.000 N. 
Terceira Lei de Newton: lei da ação e reação 
“Toda ação produz uma reação de mesma intensidade, porém com sen-
tido oposto” (Isaac Newton).
Podemos entender que força corresponde a toda ação aplicada sobre um 
corpo que produzirá uma reação, ou seja, outra força da mesma intensidade 
(valor numérico), mas com sentido oposto ao sentido da força aplicada ao corpo.
Sabendo-se que forças são grandezas vetoriais, seus valores numéricos po-
dem ser chamados de módulo, intensidade ou tamanho, em direção que pode 
ser horizontal, vertical ou diagonal, e em sentido que pode ser para a esquerda, 
para a direita, para baixo ou para cima.
Como a 3ª Lei de Newton diz, quando uma ação é realizada, uma força é apli-
cada produzindo outra com a mesma intensidade, ou seja, com o mesmo valor, 
contudo, em sentido oposto. Assim, se uma ação implica na aplicação de uma 
força de cima para baixo, a reação será de baixo para cima, no sentido oposto e 
com o mesmo valor numérico. 
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 71
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Exemplo dez: digamos que uma arquiteta dimensionará uma fundação 
para uma residência de quatro pavimentos. Em um dos métodos que ela está 
pesquisando, ela precisa entender um pouco sobre o procedimento de cra-
vação de estacas por percussão. Esse procedimento é realizado por meio de 
equipamentos bate-estacas, em que golpes de martelo de gravidade são apli-
cados na extremidade superior da estaca, a fim de que ela seja cravada. 
Assim, a força em azul (Figura 14) é a força que está sendo aplicada sobre 
a estaca pelo equipamento, e a força em amarelo é a reação à força sobre o 
bate-estaca. O valor das duas forças é exatamente o mesmo, logo: se a força 
aplicada é de 900 N, a reação também será de 900 N. 
Pode-se observar, também, que a ação e a reação atuam em corpos di-
ferentes, ou seja, a primeira força está sendo feita pelo bate-estaca sobre a 
estaca; já a reação produzida pela estaca sobre o equipamento é visível na 
estaca, sendo, portanto, duas forças aplicadas em dois corpos distintos. 
Reação
Ação
Figura 14. Ação e reação em procedimento de cravação de estaca pré-moldada. Fonte: TEC GEO SONDAGENS E FUN-
DAÇÕES. Acesso em: 19/10/2020. 
É importante ter em mente que força peso e força normal não são a mes-
ma coisa que ação e reação, pois o peso corresponde à atração gravitacional 
exercida sobre um corpo em relação à terra. Ou seja, quando um corpo está 
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em repouso, significa que está exercendo uma força peso para baixo sobre 
uma superfície que, por sua vez, responderá à ação da força peso com a ação 
de uma força normal para cima em direção ao objeto. Essa força normal será 
responsável por sustentar a força peso.
Embora a força peso seja respondida pela força normal, elas não compõem 
um par de ação e reação, não obedecendo à terceira Lei de Newton, porque 
a força peso é resultado da atração gravitacional da Terra sobre o corpo, ao 
mesmo tempo que a normal é a força feita pela superfície também sobre algo. 
Sendo assim, as duas forças estão no mesmo corpo (Figura 15). 
Normal
Peso
Figura 15. Força peso e força normal. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 19/10/2020. (Adaptado). 
Assim, para que forças sejam consideradas como ação e reação elas 
têm que estar em dois corpos distintos, como no caso do bate-estaca e da 
estaca pré-moldada.
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Sintetizando
Nesta unidade, pudemos verificar que toda força é uma grandeza vetorial 
que possui direção, sentido módulo (tamanho), intensidade e unidade de me-
dida. Além disso, vimos que a força pode ser aplicada em barras, dissipando-se 
pelo interior do corpo, provendo outros componentes de força. Descobrimos, 
também, que pode ocorrer a compressão, que pode causar deformações elás-
ticas ou plásticas em corpos. 
Estudamos também sobre a força de tração, em que a barra é esticada, 
dependendo da intensidade da força. Além disso, vimos que as forças aplica-
das sobre as barras, sejam de compressão ou tração, produzem um efeito de 
rotação, denominado momento da força. O momento acontece quando existe 
uma força aplicada perpendicularmente em uma barra. 
Aprendemos também sobre a importância das Leis de Newton, entendendo 
o que é inércia, o princípio fundamental da dinâmica e a lei de ação e reação.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 74
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TEC GEO SONDAGENS E FUNDAÇÕES. Estacas pré-moldadas de concreto, 
[s.d.], [s.l.]. Disponível em: . Acesso em: 23 jul. 2020.
WINTERLE, P.; STEINBRUCH, A. Geometria analítica. São Paulo: Makron Books, 2000.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 75
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TIPOS DE APOIO, 
VIGAS ISOSTÁTICAS E 
ESFORÇOS
3
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Apresentar os tipos de apoio e elementos estruturais;
 Identificar os esforços de trabalho aplicados nos tipos de apoio e elementos 
estruturais;
 Explicar os fundamentos dos métodos de análise e cálculos de esforços 
externos aplicados às estruturas.
 Tipos de apoio
 Apoios estruturais no plano 
cartesiano
 Apoio articulado móvel (apoio 
de primeiro gênero)
 Apoio articulado fixo (apoio de 
segundo gênero)
 Apoio engastado (apoio de 
terceiro gênero)
 Vigas isostáticas
 Classificação das estruturas: isos-
tática, hiperestática e hipostática
 Esforços normais e cortantes
 Esforços normais (ou axial)
 Esforços cortantes
 Alguns exemplos de cálculos
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Tipos de apoio
Nas estruturas de concreto armado 
ou metálicas, as ligações apresentam 
comportamentos diferenciados umas 
das outras, dependendo das tensões 
às quais são submetidas. Quando uma 
estrutura exerce uma força sobre um 
determinado apoio, uma reação se de-
senvolve no apoio e retorna para a es-
trutura, isto é, aos pontos de contato 
entre a estrutura e o apoio
Na ocorrência desse fenômeno é preciso haver o equilíbrio para que a es-
trutura não se desloque em algum movimento diferente daquele determinado 
em projeto. Sendo assim, existem alguns tipos de apoio que, juntamente com a 
estrutura, proporcionam o equilíbrio adequado. 
É necessário, primeiramente, estabelecer qual tipo de estrutura será proje-
tado, a fi m de estabelecer, então, o tipo de apoio e as forças de reação geradas 
por cada um deles por meio do cálculo estrutural.
Apoios estruturais no plano cartesiano 
Os apoios são utilizados para compor um sistema estrutural, podendo 
ser, ainda, parte de uma única peça tendo como uma das funções limitar 
os movimentos, por exemplo, de uma viga que está apoiada ou engastada 
sobre ele. 
Os movimentos nos apoios são restringidos apenas emrelação à fi nalidade 
para a qual será aplicado. Ou seja, dependendo do apoio, pode haver impe-
dimento no deslocamento na direção perpendicular ou paralela à viga, assim 
como na direção de rotação ou até mesmo em todas as direções. Portanto, os 
movimentos das articulações (pontos vinculados) dos apoios podem ocorrer 
por translação (na direção horizontal e sentido positivo ou negativo [← →]; na 
direção vertical e sentido para cima ou para baixo [ ↑↓ ]; rotação [ ], nos 
dois sentidos).
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Os apoios podem ser classificados como articulado móvel, articulado fixo e 
de engaste (Figura 1).
a.1) Movimento
vertical restrito
a.2) Movimento
horizontal
a.3) Giro no
elemento estrutural
b.1) Movimento
vertical restrito
c.1) Movimento
vertical restrito
b.2) Movimento
horizontal restrito
c.2) Movimento
horizontal restrito
b.3) Giro no 
elemento estrutural
c.3) Giro no elemento
estrutural restrito
Figura 1. Apoios estruturais no plano cartesiano: (a) apoio articulado móvel; (b) apoio articulado fixo; (c) apoio de 
engaste. Fonte: SUSSEKIND, 1979. (Adaptado).
Os apoios também podem ser definidos pelos seus gêneros, ou seja, em re-
lação ao grau de liberdade que a estrutura dispõe para se movimentar. Quando 
existe restrição significa que a estrutura não pode se movimentar em um sentido 
específico. Assim, se houver restrição na horizontal, o sistema não pode desen-
volver movimento nessa direção. O mesmo ocorre caso haja restrição na vertical.
O Quadro 1 expõe as especificações dos apoios por gênero.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 79
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Apoio Tipo de apoio Símbolo 
idealizado Reação Graus de 
liberdade
Nº de 
incógnitas
1º
 g
ên
er
o
0
Cabo
F
0
Uma incógnita: F 
1 incógnita.
1 reação =
Força em di-
reção ao cabo.
Rolete
Uma incógnita: F 
F 
1 incógnita.
1 reação =
Força em di-
reção à barra.
0
Apoio liso Uma incógnita: F 
0
F
1 incógnita.
1 reação =
Força perpen-
dicular.
RV
Força perpen-
dicular à barra.
2º
 g
ên
er
o
Pino externo
RV
Rh 2 incógnitas.
2 reações =
Forças na verti-
cal e horizontal.
Pino interno f
m
Fx
Fy
Duas incógnitas: Fx, Fy
2 incógnitas.
2 reações =
Forças na verti-
cal e horizontal.
3º
 g
ên
er
o
Apoio fixo
Fx
Fy
M
Três incógnitas: Fx, Fy, M
3 incógnitas.
3 reações =
Forças na verti-
cal e horizontal, 
e momento.
QUADRO 1. ESPECIFICAÇÕES DOS TIPOS DE APOIO
Fonte: CARMO, 2017. (Adaptado).
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Apoio articulado móvel (apoio de primeiro gênero)
O apoio de primeiro gênero trata-se de um apoio articulado móvel. Contudo, 
o movimento na vertical é restringido e, então, produz-se uma reação de apoio 
na direção vertical, mas em sentido contrário ao carregamento proveniente da 
estrutura (Figura 1a.1). É permitido que haja movimento na direção horizontal 
(Figura 1a.2), produzindo-se uma reação de apoio, e o giro do elemento estru-
tural que estiver apoiado sobre ele também é permitido (Figura 1a.3). Dessa 
maneira, pode-se dizer que este apoio possui um grau de liberdade impedido, 
pois a estrutura conectada a ele não consegue se mover na vertical, mas é pos-
sível mover-se na horizontal e no sentido rotacional em torno do próprio apoio. 
Exemplo 1: ao dimensionar uma estrutura de concreto pré-moldado ou 
pré-fabricado, o pilar conterá consolo, que consiste no apoio em que a viga 
será colocada. No consolo, geralmente é colocada uma espuma de neoprene 
de alta densidade, de forma a impedir que um elemento estrutural entre em 
atrito com outro provocando tensões que gerem ruptura tanto em um elemen-
to quanto em outro. Tendo em vista que a viga está simplesmente apoiada, ou 
seja, não está engastada no pilar, pode-se relacionar o consolo do pilar como 
sendo o apoio, e que o neoprene é a sua articulação.
Figura 2. Viga pré-fabricada, simplesmente apoiada. Apoio móvel. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 14/10/2020.
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Figura 3. Viga pré-fabricada, simplesmente apoiada. Apoio móvel. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 14/10/2020.
EXPLICANDO
A norma ABNT NBR 9062 esclarece que estruturas compostas por con-
creto pré-moldado correspondem aos elementos fabricados em local 
diferente àquele onde será utilizado defi nitivamente. Ou seja, pode ser 
produzido em um determinado setor no canteiro de obras, com rigor 
quanto ao controle de qualidade e transportado para a posição fi nal em 
obra. Em contraponto, o concreto pré-fabricado, como o próprio nome já 
diz, trata-se de um elemento estrutural produzido em fábricas com um alto 
controle de qualidade, posteriormente transportado para o local da obra e 
colocado na posição para a qual foi projetado.
Apoio articulado fixo (apoio de segundo gênero)
O apoio de segundo gênero trata-se de um apoio articulado fi xo, uma vez 
que o movimento na vertical é restringido, não sendo possível o deslocamento 
neste sentido, assim, ocorre a produção de reação de apoio em sentido con-
trário ao carregamento proveniente da estrutura (Figura 1b.1). Também não 
permite que haja movimento, ou deslocamento na direção horizontal, ocasio-
nando a produção de reação de apoio no sentido horizontal contrário ao car-
regamento proveniente da estrutura (Figura 1b.2) – são produzidas, portanto, 
duas reações de apoio. Além disso, permite o giro (articulação) do elemento 
estrutural que estiver apoiado sobre ele (Figura 1b.3). Logo, pode-se dizer que 
este apoio possui um grau de liberdade.
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Exemplo 2: pense em uma ponte de madeira sobre um rio. Para que ela 
possa ser elevada no momento em que um barco passar e abaixada para 
que os pedestres possam atravessá-la, os apoios das vigas da ponte que 
estiverem em uma das extremidades da margem devem ser fi xos em uma 
plataforma de concreto. 
No entanto, apesar de as vigas estarem fi xadas, são restringidos apenas os 
movimentos no sentido horizontal e vertical, pois, por meio de articulações, 
a ponte é abaixada e levantada, realizando um movimento de giro (Figura 4).
Figura 5. Apoio fi xo de uma viga de ponte. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 14/10/2020. (Adaptado).
Apoio engastado (apoio de terceiro gênero)
O apoio de terceiro gênero trata-se de um apoio engastado, uma vez que o 
movimento na vertical é restringido, não sendo possível deslocamento neste 
sentido. Há, assim, uma reação de apoio em sentido contrário ao carregamento 
proveniente da estrutura (Figura 1c.1). Também não permite que haja desloca-
mento na direção horizontal, produzindo reação de apoio no sentido horizon-
tal contrário ao carregamento proveniente da estrutura (Figura 1c.2). Também 
não é permitido o giro (articulação) do elemento estrutural que estiver apoiado 
sobre ele (Figura 1c.3). Ou seja, produz três reações de apoio.
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Figura 5. Escada engastada. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 16/10/2020.
É possível verificar, a partir da observação da Figura 5, que se houvesse 
qualquer grau de liberdade no apoio da escada, não haveria estabilidade do 
sistema e a escada rotacionaria. Assim, pode-se concluir que: 
• Apoio de primeiro gênero: possui um grau de liberdade impedido, gerando 
apenas uma reação de apoio (vertical) e podendo girar em torno do seu próprio 
apoio no sentido rotacional produzindo momento que satisfaça a equação de 
equilíbrio (M=0);
• Apoio do segundo gênero: possui dois graus de liberdade impedidos, geran-
do, assim, duas reações de apoio (vertical e horizontal), podendo girar em torno 
do seu próprio apoio no sentido rotacional e produzindo momento que satisfaça 
a equação de equilíbrio (M=0);
Exemplo 3: pensemos em uma escada flutuante fixa em uma parede. Ela é 
projetada para permanecertotalmente inerte, sem movimentar-se para a ho-
rizontal ou vertical. Não realiza giro em nenhuma direção, o que significa que 
cada degrau da escada flutuante possui três restrições de movimento em seu 
apoio (Figura 5). Essa situação estrutural também pode ser observada nas vi-
gas que sustentam uma sacada: há três restrições de movimento, ou seja, três 
graus de liberdade impedidos.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 84
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• Apoio do terceiro gênero: apresentam três graus de liber-
dade impedidos, gerando três reações de apoio (vertical, hori-
zontal, momento) e, pelo fato de ser impedido de rotacionar, 
o momento é diferente de zero, ou seja, (M≠0).
Vigas isostáticas
Vigas são elementos estruturais que se enquadram na classifi cação de bar-
ras. Diferentemente dos elementos de placa (como os panos de lajes) e dos ele-
mentos de blocos (como as sapatas ou blocos de fundação), as vigas possuem 
o comprimento muito maior que as outras duas dimensões (largura e altura).
Tanto as vigas quanto os demais elementos estruturais de barras podem 
ser retilíneos ou curvilíneos, uma vez que, de acordo com a concepção arqui-
tetônica, os cálculos serão realizados para garantir a estabilidade, segurança e 
rigidez da estrutura (Figuras 6 e 7).
Vigas curvas em arco
Vigas retilíneas
Figura 6. Vigas em arco e retilíneas. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 18/10/2020. (Adaptado).
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Pilares curvilíneos
Figura 7. Pilares curvilíneos. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 18/10/2020. (Adaptado).
Em Mecânica Estrutural, diz-se que uma estrutura é isostática quando o 
número de restrições (reações) é exatamente igual ao número de equações 
da estática. Essas estruturas são, portanto, estruturas estáveis. São exem-
plos: as vigas biapoiadas, em que um dos apoios pode movimentar-se hori-
zontalmente, ou seja, pode ser do primeiro gênero, mas o outro deve ser do 
segundo ou do terceiro gênero, como as vigas engastadas, em que há apoio 
do terceiro gênero, podendo ser em balanço, por exemplo, no caso de saca-
das e escadas flutuantes.
Vale salientar que os elementos estruturais não se restringem apenas aos 
elementos lineares ou curvos, podendo ser, também, elementos de superfícies 
cuja uma de suas dimensões é muito pequena, por exemplo placas, chapas, 
cascas e pilar-parede. 
Todas essas estruturas, inclusive as vigas, devem receber algumas das se-
guintes análises: 
• Análise linear: no caso da viga em concreto armado, é verificada a seção 
bruta do concreto; 
• Análise linear com redistribuição: após os resultados das análises lineares, 
são refeitos os cálculos utilizando-se combinações de ações de acordo com o ELU;
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• Análise plástica: adotada quando existe ductilidade do elemento estrutu-
ral, em que seu comportamento é rígido-plástico;
• Análise não linear: adotada quando tanto o material quanto a geometria 
do elemento estrutural não oferecem linearidade;
• Análise por meio de modelos físicos: o comportamento estrutural é ob-
servado mediante ensaios de laboratórios, por experimentação de testes me-
cânicos. 
As análises e verifi cações visam à garantia de estabilidade e segurança do 
elemento estrutural. A NBR 6118 (item 15.10) estabelece que “a segurança à 
instabilidade lateral de vigas deve ser garantida através de procedimentos 
apropriados. Como procedimento aproximado pode-se adotar, para vigas de 
concreto, com armaduras passivas ou ativas, sujeitas à fl ambagem lateral”.
Classificação das estruturas: isostática, hiperestática e 
hipostática
No segmento da Mecânica Vetorial, é possível classifi car as estruturas como 
isostática, hiperestática e hipostática. Para distinguir entre esses três tipos de 
estruturas precisamos considerar os seguintes fatores:
• Estrutura isostática: contém, pelo menos, um apoio articulado fi xo ou 
engastado. Pode ser calculada usando as três equações de equilíbrio: 
• ∑Fx = 0 ou ∑FH = 0: somatória de forças em x ou na horizontal igual a zero;
• ∑Fy = 0 ou Fv = 0: somatória de forças em y ou na vertical igual a zero;
• ∑MA = 0: somatória de momentos em relação a um ponto (no caso, ponto 
A) igual a zero.
• Estrutura hiperestática: contém dois ou mais apoios articulados fi xos ou 
engastados. Não pode ser calculada de forma simples, pois possui mais incóg-
nitas do que equações.
• Estrutura hipostática: geralmente contém dois apoios articulados mó-
veis e três equações. Porém, não há possibilidade de equilíbrio, pois, devido 
à falta de vínculo, ∑Fx ≠ 0, ∑Fy = 0, ∑M ≠ 0. Se houver alguma força incidindo ho-
rizontalmente em direção à estrutura, ela tende a se movimentar no sentido 
horizontal. Para que isso não aconteça, deve-se substituir pelo menos um dos 
apoios móveis por um apoio fi xo.
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Quantidade Isostática Hiperestática Hipostática
Equações 3
∑Fx = 0
3
∑Fx = 0
3
∑Fx ≠ 0
∑Fy = 0 ∑Fy = 0 ∑Fy = 0
∑M = 0 ∑M = 0 ∑M ≠ 0
Incógnitas 3
VA
4
VA
2
VA
HA HA
VB
VB
VB
HB
QUADRO 2. ESTATICIDADE
Exemplo 4: para compreendermos melhor a condição de estaticidade, ex-
pressaremos o sistema estático em forma de vetor. Considere dois touros se 
confrontando, aplicando força um contra o outro, ou seja, em sentido oposto. 
Para que um sistema esteja em equilíbrio, a somatória das forças deve ser igual 
a zero (Figura 8).
Figura 8. Exemplo de estaticidade: duas forças em sentidos opostos. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 18/10/2020.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 88
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Ou seja, se:
Força em x = + 10 Reação em x = - 10
Assim: Σfx = 0 ↔ Σfx = + 10 - 10 = 0 (1)
Visto que as forças se anulam, o sistema de vetores permanece imóvel. Se 
um dos dois touros for mais forte que o outro, o mais forte empurrará o mais 
fraco, o que significa que uma das forças do sistema é maior que a outra e, 
portanto, o sistema não está em equilíbrio estático. Quando ele se movimenta 
está caracterizado o equilíbrio dinâmico.
Estrutura isostática 
Para entender o conceito de uma viga isostática, primeiramente deve ser ob-
servado o grau de liberdade, o que consiste em apontar a permissibilidade con-
ferida à uma estrutura para que possa se locomover no espaço. Sendo assim, em 
um plano cartesiano tridimensional, a estrutura pode se mover na direção dos 
eixos x, y e z, e rotacionar na direção dos eixos x, y, z. Tendo em vista que foram 
verificados seis sentidos de locomoção no espaço, pode-se dizer que há, portan-
to, seis graus de liberdade no espaço. Assim, há seis graus de liberdade no plano 
tridimensional e três graus de liberdade no plano bidimensional. 
Deve-se observar, ainda, se a estrutura atende às três equações de equilí-
brio: ∑Fx = 0, ∑Fy = 0, ∑M = 0. Em uma única viga isostática, é preciso observar a 
presença da combinação dos dois ou mais dos tipos de apoio: apoio do primei-
ro gênero, apoio do segundo gênero e/ou apoio do terceiro gênero.
Além disso, é necessário analisar a estaticidade, que corresponde à quan-
tidade de incógnitas apresentada pelo sistema em relação à quantidade de 
equações de equilíbrio. Vejamos:
• nº incógnitas = equações de equilíbrio → estrutura isostática;
• nº incógnitas equações de equilíbrio → estrutura hiperestática.
As vigas são sujeitas a cargas que podem ser acidentais ou permanentes, distri-
buídas ou pontuais. Por exemplo, uma parede sobre uma viga é uma carga distri-
buída; uma viga apoiada em outra viga, ou um pilar apoiado em outra viga, é uma 
carga pontual. Para ambos os tipos de cargas, a metodologia de cálculo é distinta.
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Para melhor entendimentodo comportamento da viga enquanto elemento 
estrutural de barra, observa-se que algumas vigas isostáticas possuem núme-
ro de incógnitas igual à quantidade de equações de equilíbrio da estática, e, 
portanto, possuem número de restrições iguais.
As vigas isostáticas podem estar sujeitas a diversos tipos de combinação de 
ações. Contudo, as condições de restrição sempre serão as mesmas. Na maior 
parte dos casos, as vigas isostáticas apresentam apenas dois apoios. Assim, a 
Figura 9 representa algumas das diversas formas em que é possível encontrar 
esses tipos de vigas e seus carregamentos.
a)
B
q = kN/m
RA,H
I
b) Q = kN
RA,H
RA,VRA,V RB,V
I/2
I = m
I/2
c)
B
Q1 = kN Q2 = kN
RA,H
I
d) Q = kN
RA,H
RA,VRA,V RB,V
I/2
I = m
I/2
e)
B
q = kN/m
RA,H
I
f)
BA C
Q1 = kN Q2 = kN
RA,H
RA,VRA,V I = m
Figura 9. Tipos de vigas isostáticas.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 90
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Podemos observar na Figura 9d uma carga pontual tangencial, que deve ser 
decomposta no sentido x e y, gerando, além de um esforço cortante, também 
um esforço normal. Na Figura 9e é possível observar um carregamento distri-
buído inclinado triangular, em que sua metodologia para cálculo é um pouco 
diferenciada em relação às cargas distribuídas lineares ou pontuais. Na Figura 
9f, é possível observar que no lado do apoio engastado aparece uma reação 
vertical. Essa reação no apoio auxilia no equilíbrio do sistema, uma vez que o 
outro lado é livre, sem nenhum apoio. 
Deve-se levar sempre em consideração as condições de equilibro no mo-
mento dos cálculos:
• A primeira condição de equilíbrio estático é que a soma de todas as forças 
tanto em x quanto em y deve resultar em zero, anulando-se entre 
si, ou seja, todas as combinações de carregamento devem ser 
inversamente iguais às reações nos apoios;
• A segunda condição de equilíbrio estático é que a soma-
tória dos momentos em relação ao ponto A ou B resulte em zero.
Esforços normais e cortantes
São denominados como esforços as forças que incidem em um elemento 
estrutural ou corpo geométrico que esteja em equilíbrio. Consistem em carre-
gamentos que podem atuar tanto na seção longitudinal como na transversal 
do elemento ou conjunto de sistema estrutural.
São tipos de carregamentos:
• Carregamento especial: transitório (por exemplo, vento);
• Carregamento excepcional: curto e catastrófi co; 
• Carregamento de construção: ocorrência na fase de construção;
• Carregamento normal: permanente + variável (g + q).
Ao determinar esses carregamentos, deve-se majorá-los ou seja, multipli-
cá-los por um coefi ciente de ponderação estipulado na NBR 6118 (ABNT, 2014). 
Essa majoração aumenta o valor das cargas encontradas, de modo que o di-
mensionamento do elemento estrutural suporte essa carga majorada. A majo-
ração dos carregamentos é realizada pelo coefi ciente de ponderação das ações 
que atuam na estrutura.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 91
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Esse cálculo denomina-se Estado-Limite Último (ELU), cujos coeficientes 
de ponderação são considerados no Quadro 3. Os coeficientes têm como valor 
mais usual 1,4 para combinações de carregamento normal.
Combinações
Ações
Permanentes Variáveis Protensão Recalques e 
temperaturas
D
es
fa
vo
rá
ve
l
Fa
vo
rá
ve
l
G
er
al
Te
m
pe
ra
tu
ra
D
es
fa
vo
rá
ve
l
Fa
vo
rá
ve
l
D
es
fa
vo
rá
ve
l
Fa
vo
rá
ve
l
Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0
Especiais 
Construção 1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 1,0 1,2 0,9 0 0
QUADRO 3. VALORES REPRESENTATIVOS PARA ELU DE ACORDO COM O 
COEFICIENTE DE PONDERAÇÃO DAS AÇÕES
Fonte: ABNT, 2014, p. 65. (Adaptado).
EXPLICANDO
O Estado-Limite Último (ELU) deve ser verificado a fim de se garantir a 
segurança da estrutura, de acordo com a norma da ABNT, NBR 6118:2014 
(item 10.3), de cálculos que determinam o esgotamento da capacidade que 
a estrutura detém para resistir a solicitações de esforços cortantes, nor-
mais, tangenciais de compressão solicitações dinâmicas, ações sísmicas 
e exposição ao fogo. Essa verificação visa estipular o limite da solicitação 
resistida pela estrutura antes de colapsar.
Ações
Nos elementos estruturais, as ações atuantes podem ocorrer horizontal ou 
verticalmente. Nesta última, é aplicado sobre o elemento estrutural um con-
junto de ações que somam as ações variáveis e as permanentes (Diagrama 1). 
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 92
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DIAGRAMA 1. AÇÕES NOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Trânsito de pessoas
Aç
õe
s v
ar
iá
ve
is
Aç
õe
s p
er
m
an
en
te
s
Impactos Revestimentos
Frenagem de automóveis Pisos
Vento Empuxos
Trânsito de veículos Peso próprio
Força centrífuga Equipamentos
Variação de temperatura Paredes
 Abalos sísmicos
As ações variáveis e permanentes seguem o seguinte caminho:
Lajes Vigas Pilares
Ações Verticais:
Suportadas
predominantemente
pelas lajes.
Transmitidas para as vigas 
através das reações de apoio. 
As vigas suportam as reações 
das lajes, seu próprio peso e 
alvenarias.
Transmitidas para os pilares 
através das reações de apoio. 
Eles suportam a reação das
vigas e seu próprio peso e 
transmitem para andares
inferiores e para as fundações.
Fonte: ABNT, 2014, p. 51-52. (Adaptado).
Assim, os panos de laje travam o sistema de vigas e pilares e distribuem as 
ações verticais que foram aplicadas sobre elas nas vigas. As vigas, por sua vez, 
distribuem os carregamentos nos pilares, que distribuem o carregamento na 
fundação e, então, para o solo.
Já as ações horizontais são vento, empuxos e abalos sísmicos, dependendo 
da região ou do sistema estrutural no qual está sendo dimensionado. Nos cál-
culos de algumas pontes, por exemplo, devem ser consideradas dimensões para 
resistir a abalos sísmicos. Estas ações visam resistências de elementos de grande 
rigidez, como pórticos, paredes estruturais e estrutura de contraventamento.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 93
SER_ARQURB_SEI_UNID3.indd 93 11/12/2020 14:49:05
O conjunto de esforços aplicado à superestrutura somado às ações ver-
ticais empregadas sobre a viga do pórtico resulta em reações nos apoios, ou 
seja, nas cargas fi nais a serem aplicadas na fundação (Figura 10).
Ação horizontal
Pórtico
Caminhamento das
tensões para as vigas
Ações
Caminhamento
das tensões
para os pilares
Reações nas fundações
Figura 10. Caminho das ações no sistema estrutural.
EXPLICANDO
Superestrutura corresponde ao sistema de estruturação que está acima 
da fundação. No caso de edifícios ou residências, consiste no conjunto de 
lajes, vigas, pilares e contraventamentos. Já no caso de pontes e viadutos, 
correspondem a vigas, longarinas, transversinas, lajes e pilares.
Algumas combinações não são tão usuais, como os casos de combinações 
excepcionais, uma vez que são de baixa probabilidade, como explosões, cho-
ques de veículos, incêndios e abalos sísmicos. Elas são utilizadas para cálculos 
de pontes, viadutos, túneis e grandes edifícios. Quando essas ações incidem e 
percorrem o interior do elemento, pode-se denominar este comportamento 
como esforços internos, que se dividem em esforço normal e esforço cortan-
te, promovendo no elemento estrutural uma determinada deformação.
Esforços normais (ou axial) e esforços cortantes
Esforços normais
Quando as combinações de carregamentos incidem em um elemento es-
trutural, as forças aplicadas percorrem, internamente, a estrutura em diversas 
direções, decompostas no interior da estrutura, e passam a ser denominadas 
esforços solicitantes, ou solicitações.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 94
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No caso da solicitação dos esforços normais (N) ou axial, esta percorre a 
estrutura sempre no sentido longitudinal do elemento estrutural, viabilizando 
que se apresentem tanto como de tração como tensão a compressão, sejam 
em vigas ou pilares.
Exemplo 5: imaginemosuma viga protendida em que os cabos de aço estão 
sendo tracionados em seu sentido longitudinal. Nessa situação, os cabos estão 
sofrendo esforços axiais de tração e tendem a alongar-se (Figura 11). Os cabos 
de aço (cordoalhas) são tracionados até seu limite elástico, antes que eles so-
fram deformações e entrem no limite plástico.
Essas tensões às quais os cabos são submetidos devem ser previamente 
calculadas, de modo que, quando o equipamento de protensão é removido, os 
cabos tendem a voltar para suas dimensões anteriores, comprimindo o concre-
to e deixando a estrutura mais resistente.
Bainha
Fretagem
Cordoalhas
Injetor
Nata de cimento
TraçãoTração Tração
Macaco hidráulico 
Bomba hidráulica 
de alta pressão 
Manômetro
Bloco
Cunha
Placa11a
11c
11b
11d
Figura 11. Esforço normal (tração axial na viga protendida). Fonte: GIOVANAZ; FRANSOZI, 2017, p. 312. (Adaptado).
A Figura 11 expressa o encaminhamento do esforço normal ao qual as cor-
doalhas são submetidas. No caso do pilar do sistema estrutural, o esforço nor-
mal está à compressão, uma vez que esse esforço, no elemento estrutural, não 
pode ser maior do que aqueles para o qual o elemento foi dimensionado.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 95
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Quando o elemento é submetido a maiores tensões devido ao excesso de 
carga, ou por erro de cálculo estrutural, o elemento tende a ser comprimido e 
a desenvolver diversas patologias que produzem a perda de estabilidade da 
estrutura, que podem acarretar em colapso progressivo ou ruptura brusca.
Em casos de pilares esbeltos, por exemplo, os esforços normais podem oca-
sionar o efeito de flambagem lateral, ou seja, o pilar pode “embarrigar” para um 
lado ou para o outro (Figura 12a). Outra situação que pode ocorrer em pilares 
mais robustos são as trincas. Quando a solicitação é maior do que a resistência 
da estrutura, após as trincas, pode ocorrer também o esmagamento ou cisa-
lhamento do elemento (Figura 12b e c).
Flambagem
(a)
Trincas e rachaduras
(b)
Cisalhamento
(c)
Esforço normal
à compressão
Figura 12. Esforço normal. 
Nos ensaios de compressão em corpos de prova de concreto, é possível 
entender melhor a atuação dos esforços normais, pois eles geram tensão de 
compressão e fazem com que o corpo de prova se rompa. Nesse momento de 
teste, o corpo de prova é levado ao Estado-Limite Último para verificar a resis-
tência à compressão.
Vale ressaltar que erros de cálculos no projeto estrutural podem fazer com 
que elementos estruturais sofram colapso progressivo ou ruptura brusca.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 96
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Esforços cortantes
As combinações de forças, quando empregadas no sentido transversal ou 
tangencial a um elemento estrutural, produzem esforços cortantes que tendem 
a romper o elemento, provocando o deslizamento de uma das partes deste ele-
mento. Ao contrário dos esforços nor-
mais, que seguem no sentido longitudi-
nal do elemento, os esforços cortantes 
(Q) sempre ocorrerão no sentido trans-
versal do elemento e no sentido per-
pendicular à força normal, ainda que a 
força aplicada seja tangencial.
Alguns exemplos de cálculos
Exemplo 6: imaginemos o seccionamento de uma viga no meio. Ao tomar 
uma das metades, deve ser multiplicada a carga distribuída (q) pelo compri-
mento da viga, para transformá-la em uma carga pontual ou cortante (Q). E 
uma vez que esta esteja gerada, será aplicada no centro da viga (Figura 13b). O 
comprimento também deve ser dividido por dois, tendo em vista que, como a 
carga será aplicada no centro da viga, será como se houvesse metade do com-
primento para cada um dos lados.
Se Σf = 0, tanto em x quanto em y, e também as reações nos apoios devem 
ser iguais, pois, nesse caso, a carga (q) está distribuída uniformemente ao lon-
go da viga. Assim, podemos admitir que as reações nos apoios serão dadas por:
RA = RB = q · l
2
Assim:
RA = RB = 10 · 5
2 = 10 · 2,5 = 25 kN (2)
Logo:
RA = RB = 25 kN.
Podemos perceber que se somarmos as duas reações no apoio, teremos o 
valor do esforço cortante (Q), que é igual a 50 kN, para o caso do exemplo na 
Figura 13b.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 97
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Figura 13. Exemplos de cálculos de vigas isostáticas.
a) q = 10 kN
BA I = 5 m
Q = 50 kN
2,5 m
RA RB
2,5 m
l = 5 m
b)
Q = q . I = 10 . 5 = 50 kN
l/2 = 5/2 = 2,5
c) Q1 = kN
l
l1
A B
l2 l3
RA, H
Q2 = kN d)
l/2 l/2
RA, H
RA, V RB, V
Q = kN
e)
q = kN/m
RA, H
l B
Q1 = kN Q2 = kN
l2
A B Cl2
RA, V l = m
RA,H
f)
g)
Linha neutra
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 98
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Exemplo 7: vejamos os cálculos para as hipóteses de quando houver duas 
cargas pontuais sendo aplicadas em uma viga isostática, biapoiada (Figura 13c). 
Digamos que a viga tenha um comprimento total de (l = 5 m) e que as cargas (Q1 
= 40 kN) estão sendo aplicadas a uma distância do ponto A (l1 = 1 m) e a carga 
(Q2 = 20 kN) está sendo aplicada em relação ao ponto B uma distância de 2 m.
É sabido que no apoio fixo têm-se duas reações RAV e RAH, enquanto no apoio 
móvel tem-se apenas uma reação (RBV). Então, iniciamos os cálculos utilizando 
as equações de equilíbrio:
Σfx = 0 ↔ RAH = 0
Se as forças que temos no eixo y são RAV, RBV, Q1 = 40 kN e Q2 = 20 kN, temos:
+↑ Σfy = 0 (3) 
Observação: pela convenção, temos que toda força para cima é positivo.
RA,V + RB,V - 40 kN - 20 kN = 0
Nesse momento, deve-se passar os números para o outro lado do sinal de 
igual e somá-los:
RA,V + RB,V = 40 kN + 20 kN
RA,V + RB,V = 60 kN
Visto que restaram duas incógnitas, não é possível determinar o valor de 
RA,V + RB,V separadamente sem realizar o cálculo da terceira equação de equilíbrio 
(ΣMA = 0). A partir desta equação, é possível isolar apenas uma das reações a fim 
de obter o valor de outra. A primeira reação no apoio a ser encontrada é a RBV.
Sabendo-se que o momento é a força multiplicada pela distância, cada for-
ça que está sendo aplicada é multiplicada pela distância dela mesma até o pon-
to (A), pois no apoio (A) há mais de uma reação. Assim, a força Q1 = 40 kN está a 
uma distância de 1 m do ponto A, e a força (Q2 = 20 kN) está a uma distância 1 m 
+ 2 m = 3 m do ponto A. Logo, tem-se:
 + ΣMA = 0 (4)
A convenção diz que, no sentido horário, M é positivo.
40 · 1 + 20 · 3 - RBV · 5 = 0 
A incógnita é isolada, passando para o outro lado do sinal de igual:
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 99
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40 + 60 = 5 · RBV ↔ 100 = 5 · RBV
O número que está sendo multiplicado passa para o outro lado do sinal de 
igual dividindo: 100
5 = RBV ↔ RBV = 20 kN
Tendo encontrado a reação de apoio no ponto B, deve ser substituir o valor 
de RBV na primeira equação que encontramos: 
 RA,V + RB,V = 60 kN, então: (5)
RA,V + 20 = 60 
Isolando a incógnita, temos:
RA,V = 60 - 20 ↔ RAV = 40 kN
Assim, é possível concluir que para a viga submetida a esforços cortantes 
(Q1 = 40 kN e Q2 = 20 kN) permanecer em equilibro, os valores correspondentes 
às reações nos apoios são RBV = 20 kN e RAV = 40 kN, ou seja:
 Σfy = 0
Q1 = -40 kN e Q2 = -20 kN + RBV = 20 kN + RAV = 40 kN = 0
 -40 - 20 + 20 + 40 = 0
Exemplo 8: na Figura 13d, podemos observar que a carga pontual (centra-
lizada) está sendo aplicada tangencialmente à viga. Nesse exemplo, considera-
remos que a carga também está tangencial em relação ao eixo xy.
Então, antes de calcularmos as reações de apoio, é necessário decompor 
essa força em duas componentes, sendo uma componente de força em x e 
outra componente de força em y. Para isso, deve-se conhecer um dos ângulos 
de inclinação dessa força tangencial:
40 kN
y
x
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 100
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Iremos adotar para modelo de cálculo um ângulo de 45º. A viga tem97
Sintetizando ......................................................................................................................... 107
Referências bibliográficas ............................................................................................... 108
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Sumário
Unidade 4 – Diagramas tensão-deformação, de esforço cortante e de momento fletor
Objetivos da unidade ......................................................................................................... 110
Introdução ao diagrama tensão-deformação ............................................................... 111
Ductilidade, fragilidade e maleabilidade ...................................................................112
Deformação elástica e deformação plástica ...........................................................112
Diagrama tensão-deformação ....................................................................................123
Diagrama de esforço cortante e de momento fletor .................................................... 126
Sintetizando ......................................................................................................................... 141
Referências bibliográficas ............................................................................................... 142
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Olá, estudantes!
Tanto para o arquiteto como para outros profi ssionais das áreas de engenha-
ria, como construção civil, mecânica, entre outras, é fundamental o conhecimen-
to e domínio sobre alguns campos de exatas a fi m de solucionar problemas co-
tidianos e profi ssionais, principalmente quando se trata da aferição de medidas, 
cálculos decorrentes destas e situações que envolvam as leis da física.
Entender como uma determinada grandeza se comporta no espaço físico, 
como relacioná-la a dados numéricos e expressá-la matematicamente, bem 
como saber identifi car se ela tem algum tipo de intensidade ou movimento 
dará ao profi ssional uma visão mais abrangente sobre as leis da física e abrirá 
ainda mais seus horizontes a novos conhecimentos.
Outro fator importante para o desenvolvimento do conhecimento do pro-
fi ssional é saber interpretar mapas e projetos, associando sua grandeza real 
àquela que é exposta em um mapa ou em páginas da web.
Tais conhecimentos são muito relevantes para o desenvolvimento de cada 
profi ssional, fomentando a busca pela ciência e pela informação, e sendo um 
diferencial importante no competitivo mercado de trabalho.
Para tanto, o convidamos a desbravar os conhecimentos aqui contidos, 
analisando com atenção cada informação e exemplo apresentado e tirando o 
maior proveito possível da matéria.
Bons estudos!
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 9
Apresentação
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A caminhada acadêmica é longa e requer perseverança, fé, força e foco. Muitos 
acabam desistindo pelo caminho antes de alcançar seus objetivos. Sendo assim, 
atribuo muito do que vivo hoje àqueles que me apoiaram e me deram força para 
que eu pudesse continuar; àqueles que não me abandonaram nos momentos 
mais difíceis.
Dedico esta obra, primeiramente a Deus, por ter me sustentado e me fortalecido 
para superar todas as difi culdades com coragem e fé durante essa caminhada, sem 
desistir jamais.
À minha mãe, fi lhas e esposo, pelo amor, paciência e incentivo incondicionais.
Dedico também aos amigos e mestres que continuam comigo nessa jornada.
A todos os professores que me acompanharam durante a longa trajetória 
acadêmica, e que continuaram comigo como professores e amigos, em especial a 
Professora Doutora Andreza Portella Ribeiro, minha sempre orientadora.
E a todos que fazem parte de minha vida, parentes, amigos e irmãos, meu 
muito obrigado.
A professora Adjane Brito Alves pos-
sui Mestrado em Cidades Inteligentes 
e Sustentáveis pela Universidade Nove 
de Julho – Uninove (2019). É especialista 
em Engenharia de Estruturas pela Uni-
nove (2017), e graduada em Engenharia 
Civil, também pela Universidade Nove 
de Julho (2019).
Atua na área de Engenharia Civil, rea-
lizando projetos estruturais, hidráu-
licos e elétricos, além de atuar na 
área de consultoria ambiental.
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/5003426739744527
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 10
A autora
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GRANDEZAS 
ESCALARES E 
VETORIAIS
1
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Entender o que são grandezas escalares e vetoriais e como se aplicam no dia a dia;
 Compreender os procedimentos de quantificações das grandezas escalares 
e vetoriais;
 Analisar a finalidade e aplicabilidade do Sistema Internacional de Unidades 
(SI) e das escalas;
 Compreender o que são escalas, suas atribuições e finalidades.
 As grandezas escalares e 
vetoriais
 Grandezas vetoriais
 Sistema Internacional de Uni-
dades (SI) e escalas
 Sistema Internacional de Uni-
dades (SI)
 Escalas
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 12
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As grandezas escalares e vetoriais
As grandezas fazem parte de tudo o que vemos e vivenciamos e estão 
presentes em muito de nosso dia a dia: na física, na matemática, na enge-
nharia e até mesmo na informática. Um dos motivos para que isso ocorra 
se deve ao fato de “grandeza” representar tudo aquilo que se pode medir, 
determinar ou estimar.
Grandezas escalares
Um dos tipos de grandeza que será estudado neste capítulo é a grandeza 
escalar, caracterizada por conter apenas um valor numérico, isto é, um núme-
ro real (que pode ser inteiro ou fracionário) acompanhado de uma unidade de 
medida. Essa característica identifi ca a grandeza escalar como uma grandeza 
física, como ocorre, por exemplo, com uma casa com 200 m2 de área ou um 
portão com 2 m de largura, entre outras (VENTURI, 1990).
Outro exemplo de grandeza do tipo escalar é o comprimento de um deter-
minado objeto que pode ser aferido. Isso ocorre quando um marceneiro usa 
sua trena para medir uma distância entre dois pontos, totalizando determina-
do valor numérico (0,20). Ao transcrever em um papel a sua observação, acres-
centa ao valor numérico observado sua respectiva unidade de medida (m). 
Assim, o marceneiro transcreve o comprimento de 0,20 m e, somente com 
essa informação, sua grandeza é completamente caracterizada e entendida por 
ele. Pelo fato de não haver necessidade de informações complementares às ob-
servadas, pode-se dizer que comprimento é uma grandeza do tipo escalar.
Existem diversos tipos de grandezas escalares. A elas, o Sistema Internacio-
nal de Unidades (SI) atribuiu as unidades de medidas, simplifi cando a leitura e 
a identifi cação de cada grandeza. No Brasil, as mais usuais são comprimento, 
área, volume, massa, energia, temperatura, tempo e pressão, segundo Winterle 
e Steinbruch, em seu livro Geometria Analítica de 2000.
Grandezas vetoriais
Dentre as grandezas, também existem aquelas que precisam de algo a 
mais para explicar um fenômeno, pois apenas um valor numérico e uma uni-
dade de medida não as defi nem completamente. Essas são denominadas 
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 13
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grandezas vetoriais e são representadas por seguimentos que partem de 
um ponto a outro, necessitando de distância, direção e sentido.
Para compreender as grandezas vetoriais mais adequadamente, notan-
do o quanto elas fazem parte do cotidiano, ao longo deste tópico explora-
remos alguns possíveis trajetos que um ciclista pode percorrer ao sair para 
passear em uma manhã de domingo. 
Imagine que um ciclista que habite a cidade de São Paulo trace uma rota 
no Google Maps para conhecer determinado trajeto que deseja percorrer, 
de um ponto a outro. Ele identifica o ponto de partida como sendo a Rua da 
Consolação,compri-
mento total de 5 m. Digamos que esta carga pontual ou concentrada (Q = 40 kN) 
está sendo aplicada tangencialmente no centro da viga, distando do ponto (A) 
em 2,5 m. 
 F1,Y
Então, vamos decompor essa força inclinada:
 
F1,x
Considerando que as componentes resultantes da decomposição serão 
componentes x e y, traçamos o plano cartesiano e, em seguida, as componen-
tes F1,y e F1,x. Como o ângulo de decomposição da força é de 45º em relação ao 
eixo x, podemos iniciar os cálculos utilizando os conceitos de trigonometria, 
sendo que para a componente de força adjacente ao ângulo adota-se cosseno, 
e para a componente de força oposta ao ângulo adota-se seno. Ou seja:
40 kN
hipotenusa
Cateto adjacente
Cateto
oposto
sen = cat. op.
hip (6)
cat. op. = hip · sen45 (7)
cos = cat. adj.
hip (8)
cat. adj. = hip · cos45 (9)
Assim, tem-se que:
cat. adj. = hip · cos45 e cat. op. = hip · sen45
F1,x = 40 · cos45 e F1,y = 40 · sen45
F1,x = 40 · 0,707 = 28,28 kN e F1,y = 40 · 0,707 = 28,28 kN 
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 101
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Observe que a viga tem um comprimento total de l = 5 m e a carga Q = 40 kN 
foi decomposta em duas forças F1,y e F2,y = 28,28 kN e estão sendo aplicadas a uma 
distância do ponto A de l = 2,5 m. Considere, ainda, que no apoio fixo têm-se duas 
reações RAV e RAH, enquanto no apoio móvel tem-se apenas uma reação, que é RBV. 
Então, iniciamos os cálculos utilizando as equações de equilíbrio:
+ Σfx = 0 
 RAH + 28,28 = 0
→ 
↔ RAH = - 28,28 kN
Se as forças que temos no eixo y são RAV, RBV, Q = 28,28 kN, temos:
 +↑ Σfy = 0 
Observação: pela convenção, toda força para cima é positiva.
RA,V + RB,V - 28,28 kN = 0
Agora, os números são passados para o outro lado do sinal de igual e so-
mados:
RA,V + RB,V = 28,28 kN 
Restam duas incógnitas, portanto, não é possível determinar o valor de RA,V 
+ RB,V separadamente sem realizar o cálculo da terceira equação de equilíbrio 
(ΣMA = 0). A partir dela, podemos isolar apenas uma das reações a fim de obter 
o valor da outra. A primeira reação no apoio a ser encontrada é a RBV.
Sabendo-se que o momento é a força multiplicada pela distância, cada for-
ça que está sendo aplicada, é multiplicada pela distância dela mesma até o 
ponto (A), pois no apoio (A) pelo fato de que nele, tem-se mais de uma reação.
A força Q = 28,28 kN está a uma distância de l = 2,5 m do ponto (A). Assim: 
 + ΣMA = 0
28,28 · 2,5 - RBV · 5 = 0
A convenção diz que no sentido horário M é positivo.
Isolamos a incógnita passando para o outro lado do sinal de igual:
 70,70 = 5 · RBV
O número que está sendo multiplicado passa para o outro lado do sinal de 
igual dividindo:
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 102
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70,70
5 = RBV ↔ RBV = 14,14 kN
Tendo encontrado a reação de apoio no ponto B, o valor de RBV é substituído 
na primeira equação que encontramos: 
RA,V + RB,V = 28,28 kN
RA,V + 14,14 = 28,28
Isolando a incógnita, temos:
RA,V = 28,28 - 14,14 ↔ RAV = 14,14 kN
Logo, é possível concluir que para a viga submetida a esforços cortantes, Q 
= 40 kN, permaneça em equilibro, os valores correspondentes às reações nos 
apoios são: RBV = 14,14 kN, RAV = 14,14 kN e RAH = 28,28 kN.
Exemplo 9: na Figura 13e, observa-se uma viga de comprimento l = 4 m, 
biapoiada, com um apoio móvel e outro fixo. A viga está recebendo uma carga 
triangular distribuída (Q1 = 40 kN/m).
Para a realização desse cálculo, será necessário decompor a carga distribuí-
da triangular em carga pontual. Para isso, primeiramente obteremos a área do 
triangulo, em que a base é a distância l = 4 m, a altura é igual a Q1 = 40 kN/m.
Se a área do triângulo é:
A = base · altura 
2 (10)
Temos:
B · A
2 = 4 · 40
2 = 160
2 = 80 kN
Essa força encontrada de 80 kN deve ser aplicada a 1/3 do lado maior da for-
ça triangular. A partir dessas informações, iremos definir x, que será x = 1/3 · l, 
assim, temos: 
 x = 1 · 4
3 x = 1,33 m do apoio B. 
Então, redesenhando a viga, temos:
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 103
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RA, H
RA, V
80 kN
I = 5 m
3,67 m 1,33 m
Agora, vamos resolver: 
Σfx = 0 ↔ RAH = 0
Se as forças que temos no eixo y são RAV, RBV, Q = 80 kN, temos:
 +↑ Σfy = 0 
Observação: pela convenção, temos que toda força para cima é positivo.
RA,V + RB,V - 80 kN = 0
Agora, vamos passar os números para o outro lado do sinal de igual e so-
má-los:
RA,V + RB,V = 80 kN
Assim como no exemplo anterior, restam com duas incógnitas e não é pos-
sível determinar o valor de RA,V + RB,V separadamente sem realizar o cálculo da 
terceira equação de equilíbrio (ΣMA = 0). A partir dela, podemos isolar apenas 
uma das reações a fim de obter o valor da outra reação. A primeira reação no 
apoio que vamos encontrar é a RBV.
Sabendo-se que o momento é a força multiplicada pela distância, cada for-
ça aplicada é multiplicada pela distância dela mesma até o ponto A.
A força Q = 80 kN está a uma distância de l1 = 3,67 m do ponto A, tem-se:
 + ΣMA = 0
80 · 3,67 - RBV · 5 = 0
A convenção diz que no sentido horário M é positivo.
Isolamos a incógnita passando para o outro lado do sinal de igual:
293,60 = 5 · RBV
O número que está sendo multiplicado passa para o outro lado do sinal de 
igual dividindo:
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 104
SER_ARQURB_SEI_UNID3.indd 104 11/12/2020 14:49:09
293,60 
5 = RBV ↔ RBV = 58,72 kN
Tendo encontrado a reação de apoio no ponto B, vamos substituir o valor de 
RBV na primeira equação que encontramos: 
RA,V + RB,V = 80 kN
RA,V + 58,72 = 80 
Isolando a incógnita, temos:
RA,V = 80 - 58,72 ↔ RAV = 21,28 kN
Nesse cálculo é possível perceber que: RA,Vos esforços internos atuam a compressão, e abaixo 
da linha neutra os esforços internos atuam a tração (Figura 13e). Esse raciocínio 
é usado para dimensionar vigas em qualquer tipo de material, 
seja concreto armado, madeira ou aço.
Para a realização desses e outros cálculos estruturais, 
pode ser usada também a ferramenta gratuita FTOOL para 
fins de conferência dos cálculos manuais.
DICA
O FTOOL é uma das mais conhecidas ferramentas para análise estrutural bi-
dimensional. Com ele é possível montar uma grande variedade de esquemas 
estruturais, pois ele calcula automaticamente os esforços cortantes e esfor-
ços normais, além das reações de apoio e momentos fletores resultantes no 
sistema estrutural, linha elástica e gráfica de configuração deformada. 
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Sintetizando
Profissionais como engenheiros e arquitetos têm grandes responsabilida-
des quanto à durabilidade e resistência de uma edificação, seja ela uma resi-
dência de pequeno porte ou um edifício. Neste sentido, é fundamental que 
o profissional desenvolva um conhecimento aprofundado em questões que 
envolvam os sistemas estruturais das edificações. O profissional deverá desen-
volver cálculos precisos e que levem sempre como prioridade a segurança da 
estrutura e das pessoas que irão ocupá-la.
Portanto, é muito importante o conhecimento em relação aos elementos que 
compõem o sistema estrutural, como os tipos de apoio, os movimentos com res-
trições para cada um deles, ou seu grau de liberdade, pois a escolha do apoio 
correto proporciona o desempenho adequado do sistema estrutural.
É relevante, também, o conhecimento dos tipos de viga e suas característi-
cas e, como vimos nesta unidade, aprender e entender sobre vigas isostáticas e 
como diferenciá-las das vigas hiperestáticas e hipostáticas. Além disso, é preciso 
analisar e entender as forças que atuam nesses elementos estruturais e como 
os conjuntos deles interagem entre si. Assim, vimos como os esforços normais e 
cortantes se comportam quando aplicados em um elemento estrutural.
Dessa maneira, para saber o que acontece no interior do elemento estru-
tural, devemos realizar um corte imaginário neste e tomar a seção que deseja-
mos estudar isoladamente. Isso permite que observemos o interior da peça e 
os esforços internos.
O conhecimento desses esforços levará ao dimensionamento correto da estru-
tura. Por exemplo, no caso do concreto armado, será possível estimar a armaduras 
que serão utilizadas, as dimensões de área de cada elemento estrutural, de modo 
que a estrutura venha a resistir aos esforços solicitantes ao longo de sua vida útil.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 107
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Referências bibliográficas
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Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2014.
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 9062:2017 – 
Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado. 3. ed. Rio de Janei-
ro: ABNT, 2017.
CARMO, P. F. B. Introdução de análise estrutural e estabilidade – conceitos e 
fundamentações – aplicação à queda da ciclovia Tim Maia. In: Congresso Bra-
sileiro de Engenharia de Avaliações e Perícias, 19., 2017, Foz do Iguaçu. Anais... 
Foz do Iguaçu: Instituto Brasileiro de Avaliações e Perícias de Engenharia, 
2017. Disponível em: . Acesso em: 31 jul. 2020.
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de caso no contexto da disciplina de estágio supervisionado I. Revista Desta-
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preenchidos de seção circular submetidos à compressão simples, segundo a 
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SUSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. 4. ed. Porto Alegre: Editora Glo-
bo, 1979, v. 1.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 108
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DIAGRAMAS TENSÃO-
-DEFORMAÇÃO, DE 
ESFORÇO CORTANTE E DE 
MOMENTO FLETOR
4
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Conhecer os diversos tipos de apoios e elementos estruturais;
 Aprender a identificar os esforços de trabalho aplicados nos elementos 
estruturais;
 Conhecer os métodos de análise e cálculos de esforços externos aplicados às 
estruturas.
Introdução ao diagrama
tensão-deformação
 Ductilidade, fragilidade
e maleabilidade
 Deformação elástica e
deformação plástica
 Diagrama tensão-deformação
 Diagrama de esforço cortante e 
de momento fletor
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 110
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Introdução ao diagrama tensão-deformação
Existem diversos aspectos complexos que precisam ser analisados quando 
tratamos de estruturas. Eles são relacionados às dimensões de cada elemento 
que compõe o sistema estrutural, as seções desses elementos, os materiais e 
as forças externas envolvidas, entre outros aspectos relevantes.
As tensões-deformações ocorrem devido aos esforços solicitantes nas se-
ções transversal e longitudinal do elemento estrutural. As tensões oriundas 
dos esforços normais são as tensões de tração e compressão, dadas por σ; e 
as tensões oriundas dos esforços cortantes são a tensão de cisalhamento, a 
tensão de torção e a tensão de fl exão, que atuam no sentido tangencial da área 
da seção transversal do elemento, e são dadas por Ʈ. Veja a Figura 1:
Figura 1. Esquema das direções das tensões internas. 
Todo elemento sofre alguma deformação em decorrência de esforços inter-
nos gerados por ações aplicadas a ele. Essas deformações têm menor ou maior 
intensidade, e podem causar variações no volume, comprimento e largura. 
As deformações nos corpos rígidos ocorrem em menor grau. Já as defor-
mações em elementos não tão rígidos são maiores e mais depressíveis que as 
deformações nos elementos rígidos.
σ
τ
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 111
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Ductilidade, fragilidade e maleabilidade
Materiais que suportam pouco ou nenhum grau de deformação, rompendo-se 
com facilidade e sem sofrer grandes deformações antes de romper são chamados 
de materiais frágeis. Exemplos desses materiais são o papel, a cerâmica e o vidro. 
Os materiais que suportam um alto grau de deformação são chamados de 
materiais dúcteis. A propriedade de se deformar antes de se romper é chama-
da de ductilidade.
A propriedade de ductilidade corresponde ao momento em que o material 
está sofrendo deformação (sendo submetido a tensões elevadas) e vai até o 
instante de sua ruptura. Ou seja, quanto mais o material suportar a tensão sem 
se romper, mais dúctil ele é. 
Materiais metálicos, como ligas metálicas, aço, cobre, alumínio e ouro, são 
considerados materiais dúcteis, pois, ao sofrem esforços de tração, deformam 
antes de serem levados à ruptura. Alguns dos materiais dúcteis têm a capaci-
dade de serem esticados sem se romper, ao serem tracionados. Eles chegam a 
formar um fi o em algum trecho de sua seção geométrica.
Outros materiais também podem apresentar maleabilidade. A propriedade 
de maleabilidade corresponde ao momento em que o material está sofrendo 
deformação, sendo submetido a tensões de compressão, até o instante em que 
ele forma uma lâmina. Esse processo pode ser controlado a fi m de se obter a 
espessura de lâmina que se deseja.
Deformação elástica e deformação plástica
Quandoum determinado elemento está submetido a uma força que tende 
a comprimi-lo ou esticá-lo, a resistência desse elemento tende a sofrer uma 
alteração, seja à tração ou à compressão. 
Todos os elementos possuem um limite máximo de elasticidade (limite elás-
tico). Alguns elementos possuem mais e outros menos elasticidade. Ainda que 
um elemento tenha um aspecto rígido, ele sofre alguma tensão de elasticidade.
Exemplo 1
Como exemplo, é possível observar o efeito de elasticidade quando obser-
vamos um elástico de academia sendo puxado (Figura 2a). O objeto se deforma, 
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alongando-se e diminuindo a sua seção longitudinal. Já quando observamos 
uma corda sendo puxada nos seus dois lados (brincadeira de cabo de guerra, 
por exemplo), não é possível verificar a olho nu as deformações provenientes 
da tração exercida (Figura 2b).
No entanto, quando a corda está submetida a grande esforço normal de 
tração, as fibras internas da corda tendem a se estender e se comprimir longi-
tudinalmente, ou seja, ainda que em menor proporção, existe a deformação.
Figura 2. Tração em um elástico (a) e tração em uma corda (b). Fonte: Shutterstock. Acesso em: 19/11/2020.
A deformação elástica ocorre quando um elemento volta ao seu estado ori-
ginal de comprimento e largura após ser submetido a um esforço normal de 
tração ou compressão, posteriormente ao encerramento da aplicação dessa 
força. Isso significa que a força a qual o elemento foi sujeito não superou a 
tensão de elasticidade. É o que é descrito na Lei de Hooke.
A Lei de Hooke descreve a relação linear tensão-deformação até o limite 
elástico. Ou seja, nesse domínio, o comportamento do material é semelhante 
ao de uma mola, em que a deformação não é permanente. Assim, o material 
consegue retornar ao estado original, conforme a Equação (1):
σ = E ∙ ε (1)
Em que:
• E é o módulo de elasticidade ou módulo de Young;
• ε é a deformação.
a b
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No momento em que os elementos são submetidos a uma força maior 
que o seu limite elástico, ocorre a transição da fase elástica para a fase 
plástica e o elemento não retorna ao seu estado original, permanecendo 
deformado perenemente. 
A esse fenômeno dá-se o nome de deformação plástica. Isso significa que 
esse elemento foi submetido à tensão de plasticidade, ou seja, quando um 
elemento é submetido a uma determinada ação (carregamento), essas forças 
externas que estão sendo aplicadas ao elemento produzem esforços de solici-
tação internos, que são esforços normais, cortantes e momento. 
Esses esforços internos geram componentes de força (intensidade das for-
ças) denominados: tensão de compressão, tensão de tração, tensão de cisa-
lhamento e tensão de flexão. Essas tensões, por sua vez, produzem efeitos de 
deformação que podem ser elásticos ou plásticos.
Os efeitos de deformação, por sua vez, geram na geometria do elemento 
forças por unidade de área, que são: o alongamento, a compressão ou a tor-
ção. Elas ocorrem em um determinado trecho do elemento, e não em toda a 
sua geometria.
Existe, também, a deformação por ruptura, que ocorre quando o elemento 
é submetido a uma tensão superior à tensão plástica. Essa deformação produz 
a ruptura do elemento, dividindo-o em duas ou mais partes. 
Tanto as tensões provenientes da tração, quanto as provenientes da com-
pressão atuam no sentido normal, perpendiculares à seção transversal do ele-
mento (σ). Já as tensões de cisalhamento e torção atuam tangencialmente à 
seção transversal dos elementos (Ʈ).
Deformação por tensão de tração 
O elemento submetido a esforços solicitantes normais de tração tende a re-
ceber uma tensão de tração e, consequentemente, apresenta alongamento em 
sua seção geométrica longitudinal e estreitamento de sua seção transversal.
Exemplo 2
Por exemplo, se duas pessoas puxarem as mãos de outra pessoa no sentido 
contrário, tanto as pessoas que estão nas extremidades quanto a pessoa ao 
centro sentirão os efeitos da tensão de tração, contudo, a pessoa no centro 
sentirá a tensão de tração nos dois braços, e as pessoas que estão aplicando 
a força de tração sentirão a tensão em apenas um de seus braços (Figura 3a). 
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Essa tensão não produzirá deformação no corpo da pessoa no centro, ou seja, 
a força aplicada é inferior ao limite de deformação elástica. 
Já no caso da tração aplicada a uma barra de aço, se a força de tração que 
estiver sendo aplicada for superior ao limite elástico do material, ele entrará 
na deformação plástica e tenderá a se romper. Contudo, no caso da barra de 
aço, por ser um material muito dúctil e que possui um módulo de elasticidade 
muito alto, ela tende a, primeiramente, estreitar a sua seção longitudinal antes 
de se romper (Figura 3b). Devido a esse alongamento da sua seção longitudinal 
(comprimento - L), verifica-se a presença da força tênsil no elemento.
Figura 3. Efeito da tensão de tração (a) e alongamento ou dilatação devido a força tênsil (b). Fonte: Shutterstock. 
Acesso em: 19/11/2020.
Na Figura 3b, a tensão de tração (tensão de dilatação) é dada pela grandeza 
escalar de força sobre a área em que essa força está sendo aplicada:
F
Ai
σ = (2)
Em que:
• σ é a tensão (Pa ou N/m²);
• F é a foça aplicada à área;
• Ai é área de aplicação da força na seção reta.
Ai
Li
Lf
Af
a b
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O aumento de comprimento do elemento é dado pela deformação por tra-
ção (deformação por dilatação ou deformação relativa):
ΔL
Li
ε = (3)
Em que: 
• ΔL é a variação do comprimento (m, cm, mm etc.);
• Li é o comprimento original (m, cm, mm etc.). 
Ou seja: 
ΔL
Li
Lf - Li
Li
ε = = ε = (4)
Em que: 
• Lf é o comprimento final;
• Li é o comprimento inicial ou original.
Assim, a deformação longitudinal é definida por:
Lf - Li
Li
ε = . 100 (%) (5)
Para descobrir o quanto este elemento alongou-se em relação ao seu esta-
do original, basta realizar a subtração conforme a Equação (6): 
ΔL - Lf (6)
Ao serem encontradas a tensão e a deformação, é possível encontrar o 
comportamento linear do material, denominado módulo de Young ou módulo 
de elasticidade:
F/Ai
∆L/Li
Ƴ = E = (7)
Ou seja:
Tensão
Deformação (8)
Ou seja: 
E = E = .(o que está dividindo passa a multiplicar) F
Ai
Li
(Lf - Li)
F/Ai
Li
Lf - Li
(9)
Quando um elemento está submetido à tensão de tração, ele tende a resis-
tir antes de ser romper, ou seja, o elemento apresenta resistência à tração. Essa 
resistência à tração é a reação à tensão de tração.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 116
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Nesse momento, antes que o elemento atinja a tensão de ruptura, ocorre à 
estricção, pois a seção transversal do elemento fica estreita e o material perde 
a resistência, dada por:
Ai - Af
Ai
Ψ = (10)
• Ai é a área da seção transversal inicial (m², cm², mm² etc.);
• Af é a área da seção transversal final (m², cm², mm² etc.).
EXPLICANDO
A força tênsil corresponde à resistência que um elemento possui ao ser 
submetido a uma força. Ou seja, durante as tensões de tração, o elemento 
sofre deformação, alongando-se e tendendo a formar um fio. A força tênsil 
corresponde à capacidade de resistência que mantém o elemento unido, 
sem que ele sofra a ruptura.
Deformação por tensão de compressão 
O elemento submetido a esforços solicitantes normais de compressão ten-
de a receber uma tensão de compressão e, consequentemente, apresenta o 
encurtamento em sua seção geométrica longitudinal e o aumento em sua se-
ção transversal, devido à deformação de compressão (Figura 4). 
Figura 4. Encurtamento provocado pela tensão de compressão. 
Ai
Af
Li
Lf
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O método para se encontrar a tensão de compressão é o mesmo utilizado 
para se encontrar a tensão de tração, por meio da Equação (2).
O encurtamento de comprimento do elemento é dado pela deformação 
por compressão (deformação por dilatação ou deformação relativa), também 
usando o método expresso na Equação (3).
Ou seja: 
ΔL
Li
Li - Lf
Li
ε = = ε = (11)
Em que: 
• Lf é o comprimento final;
• Li é o comprimento inicial ou original.
Para descobrir o quanto este elemento alongou-se em relação ao seu esta-
do original, basta realizar a subtração conforme a Equação (12): 
Lf - ΔL (12)
Quando um elemento está submetido à tensão de compressão, ele tende a 
resistir antes de ser romper na sua seção transversal, isso devido à compres-
são. Ou seja, o elemento apresenta resistência à compressão. Essa resistência 
à compressão é a reação à tensão de compressão.
Deformação por tensão de cisalhamento (ou corte) 
O elemento submetido a esforços solicitantes cortantes tende a receber 
uma tensão de cisalhamento, ou corte, em sua seção transversal. É semelhan-
te a uma guilhotina, em que as partes do elemento se dividem paralelamente, 
porém em sentidos opostos. Essa tensão produz deformação por ruptura.
O método para se encontrar a tensão de cisalhamento é o mesmo utilizado 
para se encontrar a tensão de tração e a tensão de compressão, ou seja:
Ai
VƮ = (13)
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Em que:
• Ʈ é a tensão de cisalhamento (dada pela equação Pa = N/m2);
• V ou Q é o esforço cortante (força aplicada);
• Ai é a área de aplicação da força na seção reta.
A tensão de cisalhamento não impli-
ca, necessariamente, na ruptura do ele-
mento, pois a ruptura só ocorre caso o 
material que compõe o elemento não 
resista à tensão. Assim, durante a ten-
são de cisalhamento, o elemento pode 
sofrer deformação sem se romper.
Exemplo 3 
Por exemplo, imaginemos um pilar que esteja engastado na sua extremida-
de inferior e esteja livre em sua extremidade superior (Figura 5a). Ao ser apli-
cada uma força no sentido tangencial em sua extremidade inferior, é gerada 
uma força de reação na extremidade inferior, que está engastada. Como essa 
força está sendo aplicada tangencialmente, ela promoverá uma deformação 
resultante da tensão de cisalhamento (Figura 5b):
Figura 5. Tensão de cisalhamento aplicada tangencialmente em pilar. 
L
θ
ΔX
Fs
a b
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Ao serem encontradas a tensão e a deformação, é possível encontrar o 
comportamento linear do material, denominado módulo de cisalhamento (Ms):
tg θ 
Ʈ
tg θ 
Fs/A
∆X/L
Fs/AMs = = = (15)
Deformação por tensão de torção 
A torção pode ocorrer, em um elemento, de forma voluntária ou involuntá-
ria. Equipamentos como manivelas ou pedais de bicicletas são submetidos ao 
momento de torção, também chamado de torque, devido à necessidade de que 
ocorra a rotação da peça sobre o seu eixo, a fim de produzir uma determinada 
força. Assim, o material que compõe esses equipamentos deve garantir a resis-
tência a essas tensões.
No caso de algumas estruturas submetidas a esforços solicitantes cortan-
tes e normais, pode ocorrer a tensão de torção, com rotação sobre seu próprio 
eixo axial. Geralmente, a tensão de torção ocorre quando o elemento é muito 
esbelto, tanto em vigas quanto em pilares, e dependendo de como as cargas 
estão sendo aplicadas (Figura 6).
CURIOSIDADE
Tendo em vista que as unidades de mediadas de ΔX e L são unidades de 
comprimento, elas se anulam durante o cálculo da razão entre os dois 
comprimentos. Assim, a deformação não é acompanhada de nenhuma 
unidade SI. 
Ainda na Figura 5b, pode-se observar que quando ocorre esse tipo de 
deformação, é gerado um ângulo entre a posição original do elemento e a 
posição em que o elemento está enquanto a tensão de cisalhamento está 
atuando. 
Então, se entende que o ângulo θ (em radianos) corresponde à deformação 
produzida pela tensão:
L
∆X = tg θ (14)
Em que: 
• ΔX é a variação do deslocamento (m);
• L é o comprimento original (m).
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Figura 6. Perfil metálico apresentando deformação por tensão de torção. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 19/11/2020. 
Essa é uma situação indesejada e, portanto, as tensões admissíveis devem 
ser inferiores a máxima deformação de torção. O momento torsor produz o 
giro da seção em relação ao seu eixo longitudinal e pode ser dado por:
(16)Mt = ∑mx
ext
Em que:
• Mt é o momento torsor;
• ∑mx
ext é a somatória dos momentos existentes no eixo x.
Deformação por tensão de flexão 
O elemento submetido a esforços solicitantes cortantes tende a apresen-
tar momento fletor. Ou seja, ao receber uma tensão de flexão, consequen-
temente ele apresenta um giro do seu corpo em relação ao ponto de apoio, 
como acontece em um trampolim. É possível verificar esse efeito por conta 
da força exercida na extremidade do trampolim durante o salto do atleta, e 
também é possível ver como o material do trampolim tende a girar em rela-
ção ao apoio. 
Na Figura 7, é possível observar que no momento em que a pessoa se im-
pulsiona para pular na piscina, o trampolim tente a flexionar no sentido de seu 
apoio, em um movimento de rotação. Essa mesma situação ocorre em um ele-
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mento estrutural (viga) submetido a cargas (em menor grau). Dependendo do 
grau de liberdade do apoio, o elemento estrutural tente a desenvolver esforço 
solicitante interno de momento fletor, o que produz a tensão de flexão.
Figura 7. Comportamento de flexão em um trampolim. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 19/11/2020.
O exemplo da Figura 7 denota a flexão simples do elemento, pois a carga está 
atuando perpendicularmente ao eixo longitudinal da prancha. Esse comportamen-
to de deformação também é verificado em vigas que recebem cargas verticais. 
A viga também pode ser submetida à flexão composta, que ocorre quando 
uma carga diagonal é aplicada sobre ela. Essa carga diagonal é decomposta 
em normal e cortante. O esforço cortante produz tensão de flexão, e o esforço 
normal produz tensão de tração. Ou seja, uma mesma carga produz dois tipos 
de tensão (flexão e tração). Por esse motivo, essa é uma flexão composta. A 
fórmula de flexão em regime elástico é dada pela Equação (17):
M . y
IσF = (17)
Em que:
• I é o momento de inércia da seção transversal;
• M é o momento fletor calculado;
• y é a distância da linha neutra do elemento.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 122
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Tensão admissível 
A fi m de garantir a segurança ao se dimensionar uma estrutura, o profi ssio-
nal deve se certifi car de que o carregamento que será aplicado ao longo da vida 
útil da estrutura será menor do que o que o material (que compõe a estrutura) 
pode suportar. 
Assim, a tensão admissível é justamente o carregamento menor, pois 
quando a carga é aplicada, as tensões devem solicitar uma determinada 
parcela do material, e outra parcela deve corresponder à garantia de segu-
rança durante o uso. Além disso, é preciso garantir que as tensões atuantes 
sejam mantidas no domínio elástico, minimizando as possibilidades de de-
formação permanente.
Para os materiais frágeis, a tensão admissível é dada por:
σadm = σR /Sg (18)
Em que:
• Sg é o coefi ciente de segurança;
• σR é a tensão de ruptura.
Para os materiais dúcteis, a tensão admissível é dada por:
σadm = σE/Sg (19)
Em que:
• Sg é o coefi ciente de segurança;
• σE é a tensão de escoamento.
Os coefi cientes de segurança (Sg) são estabeleci-
dos pela Associação Brasileira de Normas Técnicas 
(ABNT), por meio das NBRs 8681 e 6118, e levam 
em consideração fatores materiais, carregamen-
to,ambiente, tipo de uso e tipo do elemento em 
que se está projetando (ABNT, 2004; ABNT, 2014).
Diagrama tensão-deformação
Sabendo que a tensão provoca deformação em um determinado elemento, 
é possível expressar essa relação grafi camente. No diagrama tensão-deforma-
ção, uma curva expressa o comportamento de deformação de um determina-
do material quando submetido a tensões de tração uniaxial. 
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 123
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Cada material possui um determinado comportamento quando submetido 
a tensões. Isso significa que, quando se relaciona tensão e deformação, para 
cada material diferente teremos gráficos distintos. Cada material irá apresen-
tar sua própria curva tensão-deformação.
Exemplo 4
Analisemos os diagramas tensão-deformação do Gráfico 1:
GRÁFICO 1. COMPARATIVO DOS DIAGRAMAS
TENSÃO-DEFORMAÇÃO DE MATÉRIAS DÚCTEIS E FRÁGEIS
Fonte: HIBBELER, 2010, p. 67–78. (Adaptado). 
Em que:
• A é o limite de proporcionalidade, ou módulo Young;
• B é o limite elástico;
• C é a deformação plástica;
(d) material frágil (cerâmica e concreto)
σ
Dσt
σR
ε
εR
0
(b) material dúctil (liga de alumínio)
σ
A
B
C
D
Escoamento
σt
σR
εεR
σe
0
(a) material dúctil (barra de aço)
Comportamento 
elástico
Comportamento 
plástico
σ Tensão
A
B C D
E
Re
gi
ão
 e
lá
st
ica
Es
co
am
en
to
Es
tri
cç
ão
De
fo
rm
aç
ão
 
pe
rm
an
en
te
σmáx
σR
ε
σe
0
(c) material elástico (borracha)
σ
A
B
C
D
Es
co
am
en
to
Re
cu
pe
ra
çã
o
Es
tri
cç
ão
σmáx
σR
ε
εR
σe
0
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 124
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• D é o ponto de ruptura;
• E é o limite de resistência à tração;
• ε é a deformação;
• σ é a tensão;
• σmáx é a tensão máxima (pode ser atingida antes da ruptura);
• σt é a tensão de tração;
• σR é a tensão de ruptura (se atingida junto à deformação de ruptura, o 
material se rompe);
• σe é a tensão de escoamento (entre y e o limite elástico);
• εR é a deformação de ruptura (ocasiona o rompimento do material).
Tomemos alguns materiais para análise do diagrama de tensão-defor-
mação. Uma barra de um material dúctil submetida a uma tensão de tra-
ção, por exemplo. Analisando o gráfico, verificamos que existe uma pro-
porcionalidade entre tensão e deformação (até certo ponto), conforme o 
Gráfico 1a, em que:
Tensão
DeformaçãoƳ = (20)
Assim, a região em que existe uma proporcionalidade entre tensão e defor-
mação, que vai até o ponto A, é denominada lei de Hooke, devido ao compor-
tamento semelhante à uma mola espiral. Ou seja, a deformação, nesse caso, é 
retroativa e não permanente.
Ainda que entre A e B não haja mais deformação proporcional, se a tensão 
que está incidindo no material cessar, o material retornará ao seu estado inicial 
de comprimento. A deformação ocorrida ainda é reversível.
Se esse mesmo material continuar sofrendo ações de cargas, e elas aumen-
tarem até o ponto C, o material continuará sofrendo deformações que serão 
permanentes, ainda que as cargas sejam removidas. Conforme as cargas são 
aumentadas, atinge-se o ponto D, em que acontece a ruptura, ou seja, a tensão 
superou o limite plástico do material.
O mesmo ocorre com um material de liga de alumínio (Gráfico 1b), porém, 
nesse caso, a proporcionalidade entre tensão e deformação é bem menor, pas-
sando também do limite plástico para o limite elástico rapidamente. Contudo, 
o intervalo de deformação até a sua ruptura é alto, assim, promovendo melhor 
trabalhabilidade do material sob tensões.
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No caso da borracha, que é um material elástico (Gráfi co 1c), observa-se um 
comportamento gráfi co bem semelhante ao de um material dúctil como o aço, 
contudo, existem importantes diferenças a serem observadas. 
A proporção tensão-deformação é menor, e a tensão de escoamento ini-
cia-se passando mais rapidamente para a deformação plástica. Durante uma 
deformação plástica mais acentuada, ocorre a recuperação do material, contu-
do, as borrachas não retornam ao mesmo formato dimensional anterior. 
EXPLICANDO
Tensão de escoamento, ou limite de escoamento, é a verifi cação da re-
sistência do material entre a proporcionalidade tensão-deformação, até 
chegar ao limite elástico.
EXPLICANDO
A estricção ocorre quando o material sofre alto grau de deformação plás-
tica antes de ser levado à ruptura. Nesse estágio, ainda antes do rompi-
mento do material, a deformação geométrica sofrida por ele é perene, até 
o ponto de rompimento. 
Ao se manter e aumentar a força aplicada sobre a borracha, ela entra em 
deformação por estricção. Devido a essa capacidade, o material elástico é mui-
to utilizado para absorver vibrações e tensões. 
O gráfi co de tensão-deformação de materiais frágeis é bem diferente dos 
outros três apresentados, pois nele não é possível verifi car o limite de escoa-
mento, somente a tensão máxima e tensão de ruptura (Gráfi co 1d). Essa situa-
ção é verifi cada em materiais cerâmicos e concreto, por exemplo, que quando 
submetidos a uma tensão máxima, sofrem ruptura facilmente, sem que haja 
fases de deformação elástica ou deformação plástica.
Diagrama de esforço cortante e de momento fletor
As vigas são elementos estruturais que recebem ações de carregamentos 
provenientes de alvenarias, lajes, outras vigas que estejam apoiadas sobre 
elas, pilares que estejam apoiadas sobre elas, telhados, guarda-corpos e outras 
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 126
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estruturas. Essas cargas se dissipam pela seção da viga e incidem sobre o pilar, 
que se encarregará de levar essas cargas até a fundação.
Representação gráfi ca de cargas nas vigas
A fi m de facilitar os cálculos, esses carregamentos podem ser reproduzidos 
grafi camente no Quadro 1, em que A e B são tidos como os apoios em que as vi-
gas descansam (podendo haver mais de dois apoios, ou apenas um). Os apoios 
podem ser pilares, outras vigas, consolos, articulações de pontes etc.:
Tipos de carregamento Reprodução gráfi ca
Distribuída (retangular) A
L
B
q
Distribuída (triangular) A
L
B
q
Distribuída
(trapezoidal = retangular + triangular) A
L
B
q
Pontual (concentrada) A
L
B
q q q
Distribuída (retangular)Distribuída (retangular)Distribuída (retangular)Distribuída (retangular)Distribuída (retangular)
Distribuída (triangular)
Distribuída (retangular)
Distribuída (triangular)Distribuída (triangular)Distribuída (triangular)
(trapezoidal = retangular + triangular)
Distribuída (triangular)
(trapezoidal = retangular + triangular)
Distribuída (triangular)
Distribuída
(trapezoidal = retangular + triangular)
Distribuída
(trapezoidal = retangular + triangular)
A
Distribuída
(trapezoidal = retangular + triangular)(trapezoidal = retangular + triangular)
Pontual (concentrada)
(trapezoidal = retangular + triangular)
Pontual (concentrada)
(trapezoidal = retangular + triangular)
Pontual (concentrada)
(trapezoidal = retangular + triangular)
Pontual (concentrada)Pontual (concentrada)
q
Pontual (concentrada)
L
B
L
A
B
q q
L
QUADRO 1. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
DOS TIPOS DE CARREGAMENTOS
Ao receber esses carregamentos, serão produzidos esforços solicitantes in-
ternos às vigas: esforço cortante (Q ou V), esforço normal ou axial (N), momen-
to fl etor (M ou Mf) e, em alguns casos, momento torsor (T).
Quando esses esforços solicitantes internos atuam, produzem outras 
componentes de forças, que podem provocar tensão e deformação.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 127
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Esforço cortante
Denomina-se esforço cortante as atuações de forças internas à seção trans-
versal de um elemento que tende a cortá-lo. A finalidade de se encontrar esses 
esforços é a de prevenir que a viga, ou outro elemento estrutural, seja rompido 
em um determinado ponto.
Assim, calculam-se os esforços cortantes para encontrara cortante máxi-
ma. Isso garantirá que, naquele determinado ponto, a estrutura será dimensio-
nada a fim de resistir a esses esforços.
Conhecendo os pontos onde estão localizados os esforços cortantes, no 
elemento, é possível compor o diagrama de esforço cortante, que define a in-
tensidade da força de cisalhamento naqueles pontos.
Momento fletor
Ao se dimensionar um elemento estrutural que esteja submetido às tensões de 
flexão, as deformações produzidas pelas tensões devem permanecer no domínio 
elástico, a fim de garantir a segurança da estrutura, limitada pela tensão admissível.
A fim de encontrar os pontos onde o elemento é mais solicitado à flexão, 
utiliza-se o método das seções ou tabelas que auxiliam encontrar o momento 
fletor máximo (Mmáx) nas regiões mais críticas.
Conhecendo os pontos onde estão localizados os momentos, no elemento, 
é possível compor o diagrama de momento fletor, que define a intensidade das 
tensões à flexão naqueles pontos.
Para melhor entendimento de como essas equações de momento são pro-
duzidas, é preciso entender, primeiramente, o que é momento e o trabalho 
desse esforço em relação ao elemento.
Quando uma força é aplicada em um elemento, ela tende a produzir tensões 
de deformação à compressão acima da linha neutra e tração abaixo da linha neu-
tra. Essas tensões, por sua vez, geram momentos para combater as tensões so-
fridas pelo material, e tendem a fazer com que aquele elemento gire em relação 
ao seu próprio eixo ou em relação ao ponto em que ele está fixado (Figura 8a).
Nesse momento, as fibras do material estão sofrendo a tensão de tração em uma 
região e compressão em outra, o que produz o movimento de rotação (Figura 8a).
O momento é dado pela força multiplicada pela distância. Chamamos a dis-
tância de braço da força. Ou seja, quando uma grandeza vetorial de força é 
aplicada em algum ponto de um determinado corpo que apresenta restrição 
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 128
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Nos estudos do diagrama, é muito importante encontrar o momento máxi-
mo, pois ele representa a pior situação a que a viga pode ser submetida. 
No diagrama de esforço cortante e momento fletor, a intensidade dos es-
forços é relacionada no eixo cartesiano. Assim, o diagrama de esforço cortante 
está diretamente relacionado ao diagrama de momento fletor.
Existe uma relação intrínseca entre esforço cortante e momento fletor, pois 
no momento em que a força cortante corta o eixo (x), o momento é máximo.
Figura 8. Momento fletor. Fonte: HIBBELER, 2010, p. 201–215. (Adaptado). 
de apoio em uma das extremidades, essa força aplicada percorrerá o corpo 
em direção à restrição. Desta forma, esse encaminhamento da força ao longo 
do corpo produzirá um movimento de rotação em relação à restrição. Sendo 
assim, o momento é dado pela força multiplicada pela distância (Figura 8b).
Compressão
+Q
P
d
+N
+M +M
+N
- -
+Q
LN
Linha neutra
Grandeza vetorial de força peso 
aplicada sobre o elemento
Braço da força = distância
Logo
Momento = F · d
(SI) M = N · m
a)
b)
Tração
+
-
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Método das seções 
Para investigar a resistência inter-
na de elementos sólidos submetidos 
a carregamentos, e as deformações 
que eles irão apresentar, é necessário 
estudar as forças internas que apare-
cem produzidas pelas forças externas 
que foram aplicadas (incluindo as rea-
ções nos apoios).
Para isso, prepara-se um esquema 
apresentando todas as forças que es-
tão atuando sobre o elemento e em 
que ponto do elemento elas estão 
sendo aplicadas. Essa primeira repre-
sentação gráfica é denominada dia-
grama de corpo livre, que, para uma 
viga biapoiada em equilíbrio, conside-
ra que as equações de equilíbrio es-
tão satisfeitas.
Em seguida, simula-se que a viga esteja sendo seccionada em partes (tantas 
quantas forem as forças que estão atuando sobre ela). As seções arbitrárias 
devem ser realizadas imediatamente antes ou depois das forças externas que 
estão sendo aplicadas, onde se deseja descobrir a intensidade da tensão. As-
sim, o corte atuará como se estivesse separando as partes. À essa metodolo-
gia, dá-se o nome de método das seções.
Com as partes da viga separadas, analisa-se cada trecho individualmente, 
considerando as forças aplicadas em função dos respectivos comprimentos.
Exemplo 5
Vamos tomar como exemplo uma viga cujo vão teórico é L = m (m é a unida-
de de média de L para esse exemplo. Pode ser dado por cm, km etc.), e em que 
está sendo aplicada uma carga distribuída de q = kN (kN é a unidade de média 
de q para esse exemplo. Pode ser dado por k, tf etc.). Deseja-se encontrar as 
reações de apoio, cortantes e momento máximo, a fim de construir o diagrama 
de forças cortantes e momento fletor. Veja a Figura 9:
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Figura 9. Demonstração do método das seções para cargas uniformemente distribuídas. Fonte: HIBBELER, 2010, 
p. 201–215. (Adaptado).
l/2
x
N
N
V
V
M
M
RA =
RA =
Q =
Q = q . x
q . l
2
q . l
2
q . l
2
(d) Seção 1 (0 ≤ x ≤ L) 
(c) seção na viga
ΣFx = 0, pois N = 0
ΣFx = 0, pois N = 0
ΣFy = 0, em que: 0 e V = 0V - + =q . l
2
q . l
2
ΣFy = 0, em que: V - +q . l
2 q . x = 0
M = q . l2
2
= 0
q . l
2
q . l
2ΣMA = 0, em que: M + -• •
l
4
l
2
V = q . l
2 - q . x
RA = RB = 
RA = RB =
Q = kN
l = m
l = m
l/2 m l/2
q = kN
(a) diagrama de corpo livre
(b) aplicação de carga pontual encontrada
A B
q . l
2
q . l
2
q . l
2
q . l
2
M = q . x2
2
q . l
2
. x - . x
q . l
2ΣMA = 0, em que: M + q . x . . x = 0x
2 -
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Primeiramente, constrói-se o diagrama de corpo 
livre para uma viga submetida a cargas uniforme-
mente distribuídas (Figura 9a).
Em seguida, como a carga que está sendo apli-
cada é uma carga distribuída, para o cálculo precisa-
mos transformá-la em pontual, multiplicando a carga 
distribuída pelo comprimento. Para essa carga especí-
fica, por se tratar de uma carga distribuída, é possível en-
contrar as reações de imediato, conforme expressão dada 
(Figura 9b).
Cortamos a peça na seção desejada. Sendo assim, o corte será realizado 
exatamente no meio da viga, devendo tomar para análise o lado da viga em 
que o apoio é articulado fixo. Trata-se do apoio A (Figura 9c).
Após esse processo, aplicam-se as equações de equilíbrio:
∑Fx = 0 (21)
∑Fy = 0 (22)
∑M = 0 (23)
Se, ainda nessa viga, for necessário conhecer as solicitações em outros 
trechos (ao longo do comprimento da viga), a distância da seção cortada 
não seria mais a metade do comprimento (L/2) e sim x, pois se trata de uma 
distância desconhecida. Essa seção seria realizada em qualquer distância, 
a partir de 0 m e antes do final do comprimento da viga de (L = m), ou seja, 
0 ≤ x ≤ L (Figura 9d).
Em seguida, utilizando as equações de equilíbrio, obtêm-se as equações 
de força cortante e de momento fletor, em que se pode substituir a variá-
vel x por qualquer valor que seja menor que o comprimento L = m, sendo 
possível descobrir qual a força cortante e o momento atuante exatamente 
naquele trecho. 
Exemplo 6
Tomemos, agora, um exemplo de uma viga biapoiada, com uma carga pon-
tual descentralizada. Assim, a carga está aplicada em relação ao comprimento 
(L = m), na distância a, em relação ao apoio A, e na distância b, em relação ao 
apoio B. Ou seja, a carga está aplicada entre a e b, que são comprimentos dis-
tintos (Figura 10a):
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Figura 10. Demonstração de método das seções para carga pontual descentralizada. Fonte: HIBBELER, 2010, 
p. 201–215. (Adaptado).
P
(a) carga pontual descentralizada
P = kN
A B
RA =
P . b
l RB =
P . al
l = m
a b
(b) seção 1 antes de P e seção 2 antes de B
P = kN
A B
RA =
P . b
l RB =
P . a
l
l = m
a b
(c) seção 1 (0p. 201–215. (Adaptado).
(a) carga pontual em viga em balanço
P
l = mA
X
A
RAV = P
X
A P . L
(b) carga uniformemente distribuída
em viga em balanço
X
A
Q . L
A
L
Q
X
A Q . L2/2
M
X
Q . L2/2
A L
M
(c) carga momento em viga em balanço
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Observando os diagramas apresentados nas Figuras 12 e 13, é possível no-
tar que existem diferenças entre a relação da representação dos esforços cor-
tantes e dos momentos fletores.
Assim, quando uma carga momento é aplicada na extremidade da uma 
viga, os diagramas produzidos formam uma força cortante negativa, que é uni-
forme em todo o trecho da viga, e um diagrama de momento negativo, igual 
ao valor do momento dado na região do apoio. Nessas regiões de solicitação, 
a viga deve ser armada com armadura negativa a fim de resistir ao momento 
no apoio (Figura 12a).
Já na Figura 12b, pode-se observar, no diagrama de momento fletor, que 
a carga uniformemente distribuída produzirá um momento não no apoio e 
sim no centro da viga, girando-a no sentido do apoio engastado. Assim, essa 
rotação partirá do centro da viga, onde a força está sendo aplicada. A força 
percorre o comprimento da viga a partir do ponto de aplicação da força até o 
apoio engastado. Essa atuação do momento produzirá uma reação de apoio 
contrária ao sentido do momento aplicado, portanto, produzindo também um 
diagrama de momento descontínuo.
Para as cargas distribuídas triangulares (Figura 12c e 12d), o diagrama de 
esforço cortante é realizado como uma parábola de 2º grau, e o diagrama de 
momento fletor é realizado como uma curva de 3º grau com a concavidade 
voltada para cima.
Para as vigas em balanço, as aplicações de cargas produzem outras varia-
ções nos diagramas, visto que todas as vigas em balanço devem ter apoios 
engastados.
Quando uma carga pontual é aplicada na extremidade da viga, automati-
camente ocorre um momento na extremidade, que tende a girar a viga em 
relação ao apoio engastado. Nesse momento, nota-se, no diagrama de mo-
mento, que o apoio engastado produziu um momento em função da distância. 
No diagrama de força cortante, na região do engaste, foi gerada uma reação 
igual à carga aplicada, porém negativa, a fim de que as duas possam se anular 
(Figura 13a).
Quando uma carga uniformemente distribuída é aplicada ao longo de uma 
viga engastada, o fato de que a carga distribuída deve ser primeiramente con-
vertida em pontual e aplicada no centro da viga (carga concêntrica ou concen-
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 139
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trada), produz um momento no centro da viga tendendo a rotacioná-la em re-
lação ao apoio engastado. 
No diagrama de momento, observa-se que no engaste o momento produzido 
é a carga distribuída em função do comprimento no sentido contrário, tendendo 
a anular o momento proveniente da carga aplicada sobre a viga (Figura 13b). 
Observa-se, também, que no diagrama de força cortante, a cortante é cons-
tante sobre a viga, isso porque um dos lados da viga não possui apoio, portanto 
não apresenta reação (Figura 13b).
Quando a carga momento é aplicada diretamente sobre a extremidade de 
uma viga em balanço, ela não produz o diagrama de força cortante. O único 
diagrama que é produzido é o diagrama de momento, em que o momento na 
região engastada tende a rotacionar a viga em sentido contrário à carga mo-
mento aplicado (Figura 13c).
Em todos os diagramas apresentados, não houve digrama de esforço 
normal, pois em nenhuma dessas situações houve tensão normal atuante, 
o que geralmente ocorre com ações do vento ou cargas diagonais que preci-
sam ser decompostas.
ASSISTA
Como complemento, assista ao vídeo Estática - gráficos de for-
ça cortante e momento fletor - explicação detalhada, postado 
pelo canal Labozilla. O vídeo traz uma explicação aprofundada 
sobre a composição dos gráficos que acabamos estudar, com 
o benefício do apoio visual sendo criado na hora.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 140
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Sintetizando
Nesta unidade, foi possível compreender o comportamento de um elemento 
estrutural quando submetido a forças externas, e que os esforços normais e 
cortantes produzem tensões que atuam tanto no sentido tangencial quanto no 
sentido longitudinal de sua seção, no interior do elemento. Foi possível obser-
var, também, a importância de conhecer essas tensões, visto que elas produzem 
deformações que podem ser permanentes e até causar a ruptura do elemento.
Assim, conhecemos as fórmulas utilizadas para determinar essas tensões, e a 
relação entre essas tensões e a deformação que elas produzem, dada pela curva 
tensão-deformação. Observamos, também, que essa curva tensão-deformação 
é variável de acordo com o material do elemento que se está analisando, ou seja, 
a curva tensão-deformação de materiais dúcteis não é igual a curva tensão-de-
formação de materiais frágeis.
Essa curva reflete a resistência de cada material, ou seja, o quanto ele resiste 
antes de se romper, no domínio elástico e no domínio plástico. De posse dessa 
informação, é possível dimensionar a tensão admissível para trabalhar sempre 
no domínio elástico.
Vimos a importância de realizarmos o diagrama de força cortante e momen-
to fletor para encontrar os pontos críticos de atuação das forças no elemento. 
Descobrindo o momento máximo, é possível realizar o dimensionamento do ele-
mento estrutural para resistir às tensões de flexão naquele determinado ponto. 
Conhecendo a cortante máxima, é possível dimensionar o elemento a fim de re-
sistir a tensões de cisalhamento naquele determinado ponto. Esses dimensiona-
mentos posteriores se darão mediante a definição das dimensões do elemento e 
a resistência do material escolhido para suportar todos esses esforços e tensões.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 141
SER_ARQURB_SEI_UNID4.indd 141 11/12/2020 15:40:08
Referências bibliográficas
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estruturas de concreto — procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2014.
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6120: cargas 
para cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 1980.
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8681: ações e 
segurança nas estruturas — procedimento. Rio de Janeiro: ABNT, 2004.
BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R. Resistência dos materiais. 3. ed. São Paulo: 
Pearson Makron Books, 1995.
CARMO, P. F. B. Introdução de análise estrutural e estabilidade – conceitos 
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Iguaçu. Anais... Foz do Iguaçu: COBREAP, 2017. 16 f. Disponível em: . 
Acesso em: 24 nov. 2020.
ESTÁTICA - gráficos de força cortante e momento fletor - explicação detalhada. 
Postado por Labozilla. (36min. 2s.). son. color. port. Disponível em: . Acesso em: 03 nov. 2020.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
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POPOV, E. P. Introdução à mecânica dos sólidos. 1. ed. [s. l.]: Blucher, 1978.
TIMOSHENKO, S. Resistência dos materiais. 1. ed. [s. l.]: Ao livro técnico, 1966, v. 1.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros: mecânica, osci-
lações e ondas. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017, v. 1.
TRUESDELL, C.; NOLL, W. The non-linear field theories of mechanics. 3. ed. 
Berlin: Springer, 2004.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 142
SER_ARQURB_SEI_UNID4.indd 142 11/12/2020 15:40:08em direção ao Museu de Arte de São Paulo Assis Chateaubriand 
(Masp). Essa marcação resulta em uma distância entre os dois pontos da 
ordem de 1 km. Além disso, verifica-se que, em relação à bússola do Google 
Maps, a direção a ser percorrida é sudeste (Figura 1).
Figura 1. Captura de tela do Google Maps mostranho o deslocamento da Rua Consolação até o Masp.
O ciclista verificou que, para chegar ao Masp, partindo da Rua da Consola-
ção, deverá percorrer a distância de 1 km, na direção sudeste e no sentido 
da Rua da Consolação-Masp. Analogamente, pode-se dizer que a Rua da Con-
solação corresponde ao ponto A e o Masp corresponde ao ponto B. Então, o 
seguimento AB é um vetor que parte do ponto A em sentido ao ponto B, na 
direção sudeste, com distância entre os dois pontos de 1 km.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 14
SER_ARQURB_SEI_UNID1.indd 14 11/12/2020 13:31:58
Esse deslocamento pode ser representado no plano cartesiano, inferindo-se 
que o norte magnético da bússola apresentada no Google Maps seja o eixo y no 
sentido positivo, com o trajeto a ser percorrido pelo ciclista apontando para a 
direção sudeste (diagonal), sendo possível verificar sua componente horizontal 
e vertical (Figura 2b). 
Quando conhecemos o ponto de origem e o ponto de extremidade, repre-
senta-se o vetor com uma seta posicionada sobre letras maiúsculas AB. Quando 
os pontos não são conhecidos, a representação é feita com letra minúscula: u, 
v ou w (Figura 2a). Portanto, o vetor é um segmento de reta que possui direção 
(horizontal e vertical), sentido (para cima ou para baixo) e pode apresentar mó-
dulo de intensidade (deslocamento, aceleração, velocidade, força, força peso, 
torque, campo eletromagnético, capacidade elétrica, quantidade de movimen-
to, intensidade luminosa, fluxo luminoso, indutância, entre outros) (Figura 2c). 
→
→
→
→
a) Representação do vetor b) Componente horizontal e vertical
c) Alguns tipos de módulo de intensidade
Direção vertical (y)
Direção horizontal (x)
(+)
(+)
Sentido positivoSentido negativo
(-)
(-)
Ponto (A)
Ponto (B)
0
AB
u
A
B
Vetor força Vetor velocidade Vetor aceleraçãoF av
Figura 2. Componente horizontal e vertical e módulo de intensidade de um vetor. Fonte: HELERBROCK, 2019. (Adaptado).
Módulo │ u │, versor e vetor oposto
Ao falar sobre o módulo de um vetor, é necessário entender que o vetor 
que representa uma grandeza numérica também possui módulo (tamanho), ou 
→
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 15
SER_ARQURB_SEI_UNID1.indd 15 11/12/2020 13:31:58
seja: cada seguimento de determinada grandeza vetorial com origem e fim tem 
um tamanho, e este recebe o nome de módulo. No exemplo anterior, o ciclista 
percorreu do ponto A ao ponto B a distância de 1 km. Então, podemos inferir 
que 1 km equivale a um vetor unitário de módulo igual a 1 (módulo │ u │ = 1). 
Agora, para entender melhor a relação de tamanho do vetor e suas direções 
em conjunto com seus sentidos, é importante considerar outro exemplo.
Digamos que o ciclista mencionado anteriormente resolva realizar um 
percurso de 3 km na mesma direção e no mesmo sentido, parando a cada 1 
km para descansar e beber água. E que, ao final dos 3 km, ele retorne ao pon-
to de partida, realizando, assim, um percurso em direção e sentido contrários 
ao do primeiro percurso realizado. Neste exemplo, é possível observar três 
casos distintos: 
• Caso 1: quando o ciclista percorre o trajeto total de 3 km, na mesma dire-
ção e sentido, parando para descansar a cada 1 km, o conjunto de vetores de 
mesma direção e mesmo sentido com módulo │ u │ = 3 (3 km) pode ser dese-
nhado. Isso significa que o vetor 3u é um conjunto de segmentos com mesma 
direção, sentido e tamanho, contendo três vetores unitários (Figura 3a); 
• Caso 2: quando o ciclista decide parar a cada 1 km para descansar ao lon-
go dos 3 km de trajeto, ele está dividindo o trajeto em três unidades de 1 km 
cada, isto é, ele está fracionando o trajeto de 3 km. Assim, cada 1 km percorrido 
corresponde a um vetor unitário que tem a mesma direção u e o mesmo senti-
do que o vetor 3u. É preciso ter em mente que um vetor unitário se trata de um 
versor, ou seja: uma fração do vetor. Sendo assim, quando o ciclista terminou 
o primeiro trajeto, ele percorreu, consecutivamente, 3 km = um vetor ( 3u ), e 
cada 1 km percorrido corresponde a um versor (vers u) (Figura 3 b);
• Caso 3: para o novo trajeto que o ciclista irá percorrer, re-
tornando ao ponto de origem, o percurso teria a mesma a mes-
ma distância de 3 km, porém partindo do ponto B 
para o ponto A, na direção noroeste (Masp-Rua 
da Consolação). Nessa situação temos a mes-
ma distância e direção, mas com sentidos 
diferentes, posto que no primeiro percurso 
o sentido percorrido correspondia à sudeste 
(Rua da Consolação-MASP). Relacionando os tra-
→
→
→
→
→
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 16
SER_ARQURB_SEI_UNID1.indd 16 11/12/2020 13:31:58
jetos de ida e volta a grandezas vetoriais, verifica-se que o vetor do segundo 
trajeto é oposto ao vetor do primeiro trajeto. Portanto, ambos são opostos, 
podendo ter mesma direção e sentido diferente (Figura 3c).
a) Módulo | u | do tamanho de um vetor
u
3u
u
u u u
Então: | u | = 1
Então: | u | = 3
vers u u
b) Conceito de versor
|Então: vers u = u
3
c) Representação de vetores opostos
A
B
AB
BA
Figura 3. Módulo, versor e vetor oposto. Fonte: VENTURI, 1990, p. 67. (Adaptado).
Vetores paralelos (colineares contraversos e equiversos)
Ainda pensando no exemplo anterior, no qual o ciclista decide voltar 
ao ponto de origem após atingir 3 km de distância do ponto original (pon-
to A), ao realizar esse novo trajeto de retorno pelo mesmo caminho, ele 
está traçando um vetor de mesma direção, mas sentido diferente. Essa 
característica define esses vetores opostos como paralelos colineares e 
contraversos, sendo:
• Paralelos, pois são dois trajetos coplanares (estão no mesmo plano) e que 
não se cruzam perpendicularmente;
• Colineares, por estarem na mesma direção;
• Contraversos, por estarem em sentidos opostos.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 17
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Não obstante, os vetores paralelos colineares equiversos são coplanares e 
não se cruzam. Eles têm a mesma direção e, por possuírem o mesmo sentido, 
são chamados equiversos. Esses vetores podem partir do mesmo ponto de 
origem, porém seus tamanhos (módulos) podem ser iguais ou diferentes.
Agora, imagine que dois corredores partam do ponto de largada em uma 
mesma direção e sentido, correndo paralelamente. Ignorando a perspectiva 
do ângulo da imagem, Figura 4, e levando em consideração aquele que ultra-
passou primeiro a reta de largada, verifica-se que o corredor 1 ultrapassa o 
corredor 2 em uma distância qualquer. 
Tracemos então um vetor para o corredor 1 e outro para o corredor 2. Des-
sa ação de deslocamento realizada pelos corredores, pode-se verificar que os 
vetores, apesar de terem tamanhos diferentes, são paralelos, coplanares, coli-
neares e equiversos (Figura 4). 
u e v são paralelos e equiversos u e v são colineares
u
v
vu
Corredor 1
Corredor 2
Figura 4. Corredores com distâncias diferentes entre si. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 11/09/2020. (Adaptado).
Operações com vetores
Por serem grandezas que possuem tamanho, direção e sentido, os vetores po-
dem ser mensurados. E, por serem mensuráveis, também podem ser utilizados 
em diversas operações, obtendo-se os resultados mais variados de acordo com o 
tipo de vetor usado no cálculo.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 18
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Para a realização dos cálculos, é necessário conhecer as coordena-
das do vetor no plano cartesiano. Elas podem ser coplanares, 
no plano bidimensional, em que as coordenadas são dadas 
em (x, y); ou estarem presentes no plano tridimensional, 
em que as coordenadas são dadas em (x, y, z).
Sempre haverá duas coordenadas, sendo uma o ponto de partidae a 
outra o ponto final, independentemente de tratar-se de um plano bidi-
mensional ou tridimensional. Deve-se lembrar que uma das coordenadas 
deste vetor pode ser nula, o que ocorre quando o vetor parte do ponto 0, 
em que os eixos x e y se encontram. 
Essas coordenadas são dadas em valores reais, representando pontos 
que se distanciam um do outro e que possuem uma direção qualquer. As-
sim, para entendermos melhor os procedimentos de cálculo dos vetores, 
é necessário relembrar as operações que podem ser realizadas e como 
realizá-las: adição, subtração e multiplicação.
Adição de vetores 
A adição de vetores pode ser realizada tanto para vetores que são pa-
ralelos colineares equiversos quanto nos casos em que os vetores têm 
tamanho, direção e sentido diferentes.
Imagine a seguinte situação: uma arquiteta precisa localizar as coor-
denadas de uma edificação em formato de paralelogramo. Para isso ela 
utiliza um drone que sobrevoará a área a ser analisada, a fim de definir os 
pontos de coordenadas, descobrir o comprimento de cada lado da edifica-
ção e, assim, fechar o perímetro. 
Por um motivo qualquer, não foi possível que o drone sobrevoasse todo 
o quadrante da área, percorrendo apenasdois trajetos: do ponto A ao pon-
to B e do ponto B ao ponto C.
Assim, a arquiteta resolveu transcrever a trajetória aérea do drone pe-
los pontos marcados, identificando o ponto A e a distância, a direção e 
o sentido percorridos até o ponto B, bem como a distância, a direção e 
o sentido percorridos até o ponto C (Figura 5a). Em seguida, a arquiteta 
utilizou a regra do paralelogramo para inferir os demais vetores, as tra-
jetórias e o ponto D. Ademais, fazendo uso da propriedade comutativa, 
considerou os vetores semelhantes (Figura 5b).
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 19
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EXPLICANDO
Na regra do paralelogramo, redesenha-se o vetor u na origem do vetor ν, 
indicada pelo ponto A em direção ao ponto D. A seguir, redesenha-se o 
vetor ν na origem do novo vetor u, indicada pelo ponto D em direção ao 
ponto C. Assim, o vetor u é paralelo ao vetor u e o vetor ν é paralelo ao 
vetor ν.
→ →
→→
→→
→
→
a) Definição de pontos e vetores encontrados 
b) Adição de vetores usando a regra do paralelogramo
Assim, para calcular a resultante, é 
preciso usar a lei dos cossenos:
Logo:
R2 = u2 + v2 - 2 · u · v · cos(180º - α)
R2 = u2 + v2 + 2 · u · v · cos(α)
cos(180º - α) = - cos(α)
R 180º - α
α
v
u u
v
C
A
D 
B
O vetor v corresponde à distância AB
O vetor u corresponde à distância BC
O vetor v + u = (C - B) + (B - A)
R = Resultante
R = u + v
v
u
C
A
B
= (C - B) + (B - A) = (C - A)
Figura 5. Adição de vetores. Fonte: VENTURI, 1990, p. 70. (Adaptado). 
Após definido que será necessário encontrar a resultante, a arquiteta trans-
creve os valores fornecidos pelo drone.
Então: │ u │ = 40 α = 60º → cos(α) = 
│ v │ = 62 R2 = u2 + v2 + 2 · u · v · cos(α)
R2 = 40² + 62² + 2 · 40 · 62 ·
R2 = 1600 + 3844 + 2480
R2 = 7924 → R = 7924 → R = 89,02
1
2
1
2
→
→
√
Logo, a resultante entre os dois vetores é: R = 89,02.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 20
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Subtração de vetores 
Suponha que agora a arquiteta precise realizar o mesmo procedimento 
para aferir as coordenadas do parque. O drone sobrevoa o parque, par-
tindo da esquina entre as duas ruas que corresponderiam ao ponto X. Ela 
marca, então, a distância do ponto X até o ponto A, além da distância do 
ponto X ao ponto C. Após isso, a arquiteta transcreve os dados registrados 
pelo drone (Figura 6).
α
v
uR
B X
A
u = A - X
V = B - X
R = u - v
Figura 6. Subtração de vetores utilizando a regra do paralelogramo. Fonte: VENTURI, 1990, p. 70. (Adaptado). 
Então: │ u │ = 6 α = 60º → cos(α) = 
│ v │ = 7 R2 = u2 + v2 + 2 · u · v · cos(α)
R2 = 25 + 49 + 35
1
2
R2 = 52 + 72 + 2 · 5 · 7 · 1
2
R2 = 109 → R = √ 109 → R = 10,44
→
→
Logo, a resultante entre os dois vetores é: R = 10,44.
Multiplicação de vetor por um escalar
A realização da multiplicação de vetores por um escalar muitas vezes pode 
alterar o módulo e o sentido do vetor. Desse modo, para realizarmos essa veri-
ficação, tomemos vetores e escalares adimensionais. 
Ao multiplicarmos o vetor u pelo escalar 3, temos que: 3 · u = 3u. O vetor 3u 
possui módulo três vezes maior que o módulo do vetor u. 
Na situação apresentada, somente há alteração no módulo e não ocorre 
mudança de sentido, porque tanto o vetor quanto o escalar possuíam o mesmo 
sentido (ambos são positivos), conforme Figura 7a.
→
→
→ →
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 21
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Ao multiplicarmos o vetor 2v pelo escalar -2, temos que: -2 · 2v = -4v. E o 
vetor 2v possui sentido oposto e metade do módulo do vetor -4v. Nos casos 
em que o vetor ou o escalar tem sentidos diferentes (isto é, quando um deles 
é negativo), a multiplicação entre eles gera um vetor com módulo diferente, 
também ocorrendo alteração de sentido do vetor resultante (Figura 7b).
→
→
→ →
→
u
u u u
A
B
Mutiplicando: 
u · 3 = 3u
Mutiplicando: 
2v · (-2) = -4v
 3u
 2vv
v
v
v v v -4v
Figura 7. Multiplicação de vetor por um escalar. Fonte: VENTURI, 1990, p. 70. (Adaptado). 
Existem outras possibilidades de multiplicação entre vetores: quando resul-
ta em um escalar — ou seja, um número real —, denomina-se produto escalar 
ou produto interno; quando resulta em outro vetor, denomina-se produto 
vetorial, como vemos a seguir.
Produto escalar ou produto interno (multiplicação de vetor que resulta 
em um escalar)
Nesse procedimento de multiplicação de vetores, o resultado será um esca-
lar. Para melhor entendimento, tomemos dois vetores m e n. 
O procedimento de multiplicação entre eles gerará o produto dos vetores 
m escalar n, representado por m · n. E, ao organizarmos os dois vetores, encon-
tramos o menor ângulo entre eles (Ɵ). Isso significa que m escalar n é igual ao 
produto mn · cosƟ, ou seja, m · n = mn · cosƟ, em que m e n são os módulos de 
m e n, sendo: 
m · n = m · n · cosƟ em que: m = │ m │; n = │ n │
→ →
→ →
→
→ →
→→
→
→ →
→
→ →
→
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 22
SER_ARQURB_SEI_UNID1.indd 22 11/12/2020 13:32:05
Assim, chegamos à conclusão que m escalar n é igual a n escalar m (Figura 8a):
 m · n = n · m (1)
Visto que n · cosƟ é a projeção do vetor n sobre o vetor m, podemos definir 
m escalar n como sendo um produto do módulo de m pela projeção de n sobre 
m, ou seja (Figura 8b):
m · n = m · (n · cosƟ) (2)
Isso também ocorre ao trocarmos os vetores, obtendo-se (Figura 8c):
m · n = n · (m · cosƟ) (3)
a) b) c)
m m m
m
θ
nn n
θ
n • cos θ
n
θ
m • cos θ
Figura 8. Multiplicação de vetor que resulta em um escalar. Fonte: VENTURI, 1990, p. 70. (Adaptado). 
Para esse caso, em que os vetores formam um ângulo agudo, o produto 
escalar será positivo:
m · n > 0 (4)
Dessa forma, é possível decodificar o produto escalar como uma medida do 
grau de paralelismo entre dois vetores. Assim, quando m e n forem paralelos 
(Ɵ = 0º), a projeção de n sobre m é igual ao próprio módulo de m. Consequente-
mente o produto escalar terá o seu valor máximo, ou seja (Figura 9a): 
m · n = m · n (5)
Contudo, quando m e n forem ortogonais (ângulo reto), ou seja, Ɵ = 90º, não 
haverá projeção de k sobre j e o produto escalar será 0 (Figura 9b): 
m · n = 0 (6)
Quando m e n formarem um ângulo obtuso, em que ƟVENTURI, 1990, p. 70. (Adaptado). 
Agora, observe os exemplos a seguir. 
No caso 1, vamos considerar: 
m · n > 0 (8)
Sendo as coordenadas (x, y, z):
Vetor m = (3, 2, 4);
Vetor n = (-2, 1, 2). 
Assim:
m · n = (3, 2, 4) · (-2, 1, 2) → 3 · (-2) + 2 · 1 + 4 · 2 → -6 + 2 + 8 = 4
Como o produto escalar resultou em um número positivo, m · n forma um 
ângulo agudo.
 No caso 2, vamos considerar:
m · n = 0 (9)
Sendo as coordenadas (x, y, z):
Vetor m = (4, 1, 6);
Vetor n = (-3, 0, 2). 
Assim: 
m · n = (2, 3, 0) · (-3, 2, -5) → 2 · (-3) + 3 · 2 + 0 · (-5) → -6 + 6 + 0 = 0
Como o produto escalar resultou em um número negativo, m · n forma um 
ângulo reto. 
No caso 3, vamos considerar:
m · nkg
Temperatura termodinâmica Kelvin K
Tempo Segundos s
Intensidade de corrente elétrica Ampère A
Intensidade luminosa Candela cd
Quantidade de substância 
(matéria) Mol mol
Grandezas Terminologia da unidade Símbolo
Área Metro quadrado m2
Volume Metro cúbico m3
Velocidade Metros por segundo m/s = m · s-1
Aceleração Metros por segundo
ao quadrado m/s2 = m · s-2
Massa específi ca Quilograma por metro cúbico Kg/m3 = kg · m-3
Volume específi co Metro cúbico por quilograma m3/kg = m3 · kg-1
ComprimentoComprimento
Temperatura termodinâmica
Comprimento
Massa
Temperatura termodinâmica
Comprimento
Massa
Temperatura termodinâmica
Intensidade de corrente elétrica
Massa
Temperatura termodinâmica
Intensidade de corrente elétrica
Temperatura termodinâmica
Tempo
Intensidade de corrente elétrica
Temperatura termodinâmica
Tempo
Intensidade de corrente elétrica
Intensidade luminosa
Temperatura termodinâmica
Tempo
Intensidade de corrente elétrica
Intensidade luminosa
Quantidade de substância 
Temperatura termodinâmica
Intensidade de corrente elétrica
Intensidade luminosa
Quantidade de substância 
Temperatura termodinâmica
Intensidade de corrente elétrica
Intensidade luminosa
Quantidade de substância 
Intensidade de corrente elétrica
Intensidade luminosa
Quantidade de substância 
(matéria)
Metro
Intensidade de corrente elétrica
Intensidade luminosa
Quantidade de substância 
(matéria)
Metro
Quilograma
Intensidade de corrente elétrica
Intensidade luminosa
Quantidade de substância 
(matéria)
Quilograma
Quantidade de substância 
Quilograma
Kelvin
Quantidade de substância 
Quilograma
Kelvin
SegundosSegundosSegundos
Ampère
Segundos
AmpèreAmpère
CandelaCandela
m
Mol
kg
K
s
A
cd
mol
ÁreaÁrea
Volume Volume 
VelocidadeVelocidade
Aceleração
Velocidade
Aceleração
Massa específi ca
Aceleração
Massa específi ca
Volume específi co
Aceleração
Massa específi ca
Volume específi co
Massa específi ca
Volume específi co
Massa específi ca
Volume específi co
Metro quadrado
Massa específi ca
Volume específi co
Metro quadrado
Volume específi co
Metro quadrado
Metro cúbico
Metros por segundo
Metro quadrado
Metro cúbico
Metros por segundo
Metros por segundo
Metro quadrado
Metro cúbico
Metros por segundo
Metros por segundo
Quilograma por metro cúbico
Metro cúbico
Metros por segundo
Metros por segundo
ao quadrado
Quilograma por metro cúbico
Metros por segundo
Metros por segundo
ao quadrado
Quilograma por metro cúbico
Metro cúbico por quilograma
Metros por segundo
Metros por segundo
ao quadrado
Quilograma por metro cúbico
Metro cúbico por quilograma
Metros por segundo
ao quadrado
Quilograma por metro cúbico
Metro cúbico por quilograma
Metros por segundo
Quilograma por metro cúbico
Metro cúbico por quilograma
Quilograma por metro cúbico
Metro cúbico por quilograma
m2
Quilograma por metro cúbico
Metro cúbico por quilograma
m
m/s = m · s
Quilograma por metro cúbico
Metro cúbico por quilograma
m/s = m · s
Metro cúbico por quilograma
m/s = m · s
m/s
Metro cúbico por quilograma
m/s = m · s-1
 = m · s
Kg/m
 = m · s
Kg/m
m
-2
 = kg · m
/kg = m
 = kg · m
/kg = m
 = kg · m-3
/kg = m3 · kg · kg
QUADRO 1. UNIDADES DE BASE DO SI
QUADRO 2. UNIDADES DERIVADAS EM QUE SE ADMITEM TANTO OS 
SÍMBOLOS QUANTO A EXPRESSÃO
Fonte: ROZENBERG, 2002, p. 39. (Adaptado).
Partindo-se dessas grandezas correspondentes a unidades de base, confor-
me apontado no Quadro 1, por meio de relações algébricas obtiveram-se várias 
unidades derivadas e outras nas quais são admitidos tanto os símbolos quanto 
a expressão. Algumas delas estão exemplifi cadas no Quadro 2.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 29
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Luminância Candela por metro quadrado cd/m2 = cd · m-2
Concentração Mol por metro cúbico mol/m3 = mol · m-3
Densidade de corrente Ampère por metro quadrado A/m2 = A · m-2
Campo magnético Ampère por metro A/m = A · m-1
Grandeza Terminologia da 
unidade Símbolo Expressão usual
Força Newton N kg.m/s2 = kg · m · s-2
Pressão Pascal Pa N/m2 = N · m2
Trabalho, energia Joule J kg · m2 · s-2 = N · m
Potência Watt W kg · m2 · s-1 = J · s-1
Carga elétrica Coulomb C A · s
Diferença de potencial elétrico Volt V J/C = J · C-1
Capacidade elétrica Farad F C/V = C · V-1
Fluxo de indução magnética Weber Wb V · s
Indutância Henry H Wb/A = Wb · A-1
Resistência elétrica Ohm Ω V/A = V · A-1
Fluxo luminoso Lúmen Im cd
Iluminamento Lux lx Im/m2 = Im · m-2
Frequência Hertz Hz s-1
LuminânciaLuminância
Concentração
Densidade de corrente
Luminância
Concentração
Densidade de corrente
Luminância
Concentração
Densidade de corrente
Campo magnético
Concentração
Densidade de corrente
Campo magnético
Concentração
Densidade de corrente
Campo magnético
Densidade de corrente
Campo magnético
Densidade de corrente
Campo magnético
Candela por metro quadrado
Campo magnético
Candela por metro quadradoCandela por metro quadradoCandela por metro quadrado
Mol por metro cúbico
Ampère por metro quadrado
Candela por metro quadrado
Mol por metro cúbico
Ampère por metro quadrado
Candela por metro quadrado
Mol por metro cúbico
Ampère por metro quadrado
Candela por metro quadrado
Mol por metro cúbico
Ampère por metro quadrado
Ampère por metro
Candela por metro quadrado
Mol por metro cúbico
Ampère por metro quadrado
Ampère por metro
Candela por metro quadrado
Mol por metro cúbico
Ampère por metro quadrado
Ampère por metro
Ampère por metro quadrado
Ampère por metro
Ampère por metro quadrado
Ampère por metro
cd/m
Ampère por metro quadrado
Ampère por metro
cd/m
mol/m
 = cd · m
mol/m
 = cd · m
 = mol 
A/m
-2
 = mol 
2 = A 
A/m = A 
· m
 = A 
A/m = A 
m-2
A/m = A m
ForçaForça
Pressão
Trabalho, energia
Pressão
Trabalho, energia
Pressão
Trabalho, energia
Diferença de potencial elétrico
Trabalho, energia
Potência
Carga elétrica
Diferença de potencial elétrico
Trabalho, energia
Potência
Carga elétrica
Diferença de potencial elétrico
Trabalho, energia
Carga elétrica
Diferença de potencial elétrico
Carga elétrica
Diferença de potencial elétrico
Newton
Carga elétrica
Diferença de potencial elétrico
Newton
Diferença de potencial elétrico
Newton
Pascal
Diferença de potencial elétrico
Pascal
Joule
Diferença de potencial elétrico
Joule
WattWatt
Coulomb
N
CoulombCoulomb
Volt
Pa
Volt
J
kg.m/s
W
kg.m/s2
C
 = kg 
N/m
 = kg · 
N/m2 = N 
kg 
V
· 
 = N 
m2
kg 
m2
s-2
m2 
 = N 
s-1
m
 = J 
A 
J/C = J 
 = J · 
s
J/C = J J/C = J · C
Capacidade elétrica
Fluxo de indução magnética
Capacidade elétrica
Fluxo de indução magnética
Capacidade elétrica
Fluxo de indução magnética
Capacidade elétrica
Fluxo de indução magnética
Indutância
Resistência elétrica
Capacidade elétrica
Fluxo de indução magnética
Indutância
Resistência elétrica
Capacidade elétrica
Fluxo de indução magnética
Indutância
Resistência elétrica
Fluxo luminoso
Fluxo de indução magnética
Indutância
Resistência elétrica
Fluxo luminoso
Fluxo de indução magnética
Resistência elétrica
Fluxo luminoso
Iluminamento
Resistência elétrica
Fluxo luminoso
Iluminamento
Fluxo luminoso
Iluminamento
Frequência
Farad
Iluminamento
Frequência
Farad
Weber
Frequência
Weber
HenryHenryHenry
OhmOhm
Lúmen
F
Lúmen
Wb
Lux
H
HertzHertz
C/V = C C/V = C 
Im
C/V = C 
Wb/A = Wb 
lx
 V-1
· 
Wb/A = Wb Wb/A = Wb 
V/A = V 
Hz
Wb/A = Wb 
V/A = V 
A-1
V/A = V · 
Im/m
cd
Im/m = Im = Im m-2
Fonte: ROZENBERG, 2002, p. 62-63. (Adaptado).
EXPLICANDO
Os símbolos, vale lembrar, não são abreviaturas, mas, sim, sinais con-
vencionais adotados para viabilizar a padronização da escrita e leitura 
das unidades do SI. Eles podem ser substituídos durante um cálculo 
por sua expressão usual. 
Decompondo as unidades de medida, chegamos às seguintes unidades 
de base:
Velocidade → m/s, em que:
m (unidade de comprimento)
s (unidadede tempo)
Aceleração → m/s2, em que:
m (unidade de comprimento)
s (unidade de tempo)
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 30
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Volume → m3, em que: 
m (unidade de comprimento)
Força → N = kg · m
s2
 , em que:
Kg (unidade de massa)
m (unidade de comprimento)
s (unidade de tempo)
As unidades derivadas também podem ser provenientes da relação entre 
unidades derivadas, tendo como exemplo a grandeza “massa específica”:
Massa específica → μ = m
V
 (12)
Tem-se que:
m = massa → kg, em que: kg (unidade de base)
m3 (unidade derivada)
V = volume → m3
Assim, temos:
Massa específica → μ = m
V
 kg/m3 (quilograma por metro cúbico)
Existe ainda outro grupo de grandezas, denominadas adimensionais e ca-
racterizadas por não admitir nenhuma unidade de medida. Algumas dessas 
grandezas são apresentadas na física, como a permeabilidade magnética re-
lativa, o intervalo de potência, a densidade, o índice de refração estudado na 
óptica, entre outras. 
No caso do índice de refração, o resultado da razão das duas velocidades 
que compõem sua unidade de medida deve ser anulado. Por definição:
Índice de refração → n = C
V
 (13)
Tem-se que:
C = velocidade da luz no vácuo → em m/s
v = velocidade da luz em um meio qualquer → em m/s
Assim, temos:
Índice de refração → n = C
V
 m/s
m/s
 → As unidades de medidas se anulam 
Logo, o resultado será um número sem unidade de medida. Isso ocorre por-
que essa grandeza é proveniente da razão de duas velocidades, sendo, portan-
to, uma grandeza adimensional.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 31
SER_ARQURB_SEI_UNID1.indd 31 11/12/2020 13:32:07
Conforme afi rma Rozenberg (2002), existem outras unidades que são admi-
tidas e, embora não façam parte do SI, são reconhecidas pelo Comitê Interna-
cional de Pesos e Medidas, tais como:
• Área = hectare (ha = 10.000 m);
• Comprimento = quilômetro (1 km = 1.000 m), decímetro (1 dm = 0,1 m), 
centímetro (1 cm = 0,01 m), milímetro (1 mm = 0,001 m);
• Tempo = minuto (1 min = 60 s), hora (1 h = 60 min = 3.600 s), dia (1 d = 24 h = 
86.400 s). 
Em relação ao ângulo plano, há outras unidades que não pertencem ao SI, 
mas que são aceitas:
• Ângulo = grau, símbolo (º) e valor em unidade no SI de 1º = )(π rad
180
 = minuto, símbolo (‘) e valor no SI de 
60
1º = π rad
10.800)(
= segundo, símbolo (“) e valor no SI de 
60
1º = π rad
648.000)(
 
• Volume = litro, símbolo (l) e valor em unidade no SI de 1 l = 1 dm³ = 10³ m³;
• Massa = tonelada, símbolo (t) e valor em unidade no SI de 1 t = 1.000 kg;
 = (grama), símbolo (g) e valor em unidade no SI de 1 g = 0,001 kg.
Transformação de unidades de medida
Para realizar a conversão de unidade, basta somente dividir ou multiplicar o 
valor da grandeza por 10, conforme Quadro 3.
Múltiplos Unidade 
fundamental Submúltiplos
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
km hm dam m dm cm mm
quilômetroquilômetroquilômetroquilômetro
km
hectômetro
km
hectômetrohectômetrohectômetro
hm
decâmetro
hm
decâmetrodecâmetrodecâmetro
damdam
metrometro
m
decímetrodecímetrodecímetrodecímetro
dm
centímetro
dm
centímetrocentímetrocentímetro milímetro
cm
milímetromilímetromilímetro
mmmm
QUADRO 3. TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADE DE MEDIDA
×10
÷10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10
×10 ×10 ×10 ×10 ×10 ×10
Fonte: ALMEIDA, 1988. (Adaptado).
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Prefixos de unidade
Existem outras unidades que são admitidas, mas não fazem parte das uni-
dade do SI, sendo reconhecidas apenas pelo Comitê Internacional de Pesos e 
Medidas, como o hectare (ha). Em alguns casos, para facilitar o cálculo, é pos-
sível substituir os valores que correspondem às grandezas do SI por prefixos 
decimais com potências na base dez. Assim, quando se tem um número muito 
grande, pode-se representá-lo utilizando este artifício.
EXPLICANDO
No campo da física, por exemplo, as potências na base 10 são imprescin-
díveis para expressar grandezas tanto em números inteiros quanto em 
números decimais.
Imagine que um topógrafo aferiu a área de uma determinada fazenda e ve-
rificou que sua medida seria de 60.000 m2. Ele também pode representar essa 
medida com potências na base dez:
60.000 m2 → 6 · 104 m2
→ 6 · 10.000
→ 6 ha = hectare 
→ 6 hm2 = hectômetro quadrado 
Agora, digamos que um cientista da área de nanotecnologia está desenvolven-
do produtos tecnológicos para melhoria de imagem dos exames diagnósticos. As 
nanopartículas são tão pequenas que são quase inimagináveis, correspondendo 
a partículas entre 1 e 100 nanômetros. Sendo assim, para que o cientista possa 
expressar esse valor em números, ele utiliza expoentes na base dez, como:
0,000.000.001 → 1 nm
→ 1 · 10-9 n
→ 1 · 1 = 0,000.000.001
109
Ou, então, consideremos que uma arquiteta irá realizar o 
projeto de um clube em que os lados do terreno são iguais, 
medindo cada um 100 m. Como ela poderia represen-
tar a área desse terreno? Se tivermos uma casa de lados 
iguais, teremos:
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100 m
100 m
 
Logo: 100 m · 100 m = 1.000 m2
Multiplico os algarismos
Multiplico as unidades
Para escrever essa mesma área utilizando prefi xos, teríamos:
1.000 m2 → 1 · 103 m2
Escalas
Para alguns profissionais, como o arquiteto e o engenheiro, os mapas 
e projetos são de suma importância no desempenho de algumas ativida-
des, posto que mediante seu uso é possível obter informações de regiões, 
bairros, ruas, lotes, entre outros. Assim, ao consultar um mapa ou projeto, 
pode-se saber a distância real existente entre dois pontos distintos ou a 
proporção de áreas reais. Tal observação ocorre por meio da análise da 
escala na qual o mapa ou projeto se encontra.
Essa mesma situação aplica-se na construção de um mapa ou projeto. 
Isso porque, mediante o entendimento e uso correto da escala, é possí-
vel projetar qualquer objeto real, independentemente de seu tamanho, 
em uma folha de papel. Embora a definição de escala não seja a mesma 
que a de grandeza escalar, devemos lembrar das grandezas escalares e 
do Sistema Internacional de Unidades, pois a escala é utilizada para ex-
pressar uma determinada grandeza mensurável em um padrão reduzido 
ou ampliado.
As escalas são divididas em dois tipos, escalas gráficas e escalas nu-
méricas, que irão relacionar as medidas de um objeto real à sua represen-
tação gráfica. Ademais, as escalas são utilizadas para relacionar 
a distância real de um determinado ponto até outro com 
comprimento expresso no mapa ou projeto. Geralmen-
te, a escala numérica é empregada em projetos de lo-
teamentos e mapas cartográficos ou planialtimétricos. 
Escala numérica
Segundo Dourado e Fonseca (2019), alguns dados muito importantes em 
relação às escalas gráfi cas e às escalas numéricas são descritos como:
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• O número 1 sempre se fará presente em todas as escalas;
• Normalmente as unidades de medidas usadas são cm, km e m (cm 
é utilizado em mapas ou projetos; m e km são utilizados na medida do 
que é real);
Podem ser utilizadas outras unidades como, por exemplo, hectôme-
tro, milímetro, entre outros. Contudo, elas não são muito usuais.
Como a escalas trabalham com duas medidas distintas que se 
relacionam, pode-se entender que a distância no mapa 
do ponto A até o ponto B é dada em cm e correspon-
de à distância na vida real do ponto A até o ponto B, 
dada em km. Assim, obtém-se a escala fazendo uso da 
fórmula:
dE = D
Em que:
d → dado em cm: distância no mapa ou projeto;
D → dado em km ou m: distância real;
E ou Esc → é a escala.
Apesar de D ser dado em km ou m, no momento de inclui-lo na fórmula, 
ele deve ser convertido para centímetros. Para entender melhor esta relação, 
observe o exemplo a seguir.
Ao tomar um mapa-múndi físico, verificamosque uma descrição na legen-
da aponta para uma escala aproximada de 1:36.500.000, ou seja: cada 1 cm 
no mapa corresponde a 365 quilômetros. Assim:
cm
cm
Esc. 1:36.500.000 → dE = →D
1
36.500.000
Para cada 1 cm, temos 36.500.000 cm
Ou seja,
1:36.500.000 → cada 1 cm no mapa equivale a 36 milhões e 500 mil cm reais
Sendo que:
36.500.000 cm = 365.000 m
365.000 m = 365 km
Sendo assim:
1:36.500.000 → cada 1 cm no mapa corresponde a 365 km no mundo real
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Escala gráfica
A mesma escala pode ser representada graficamente no mesmo mapa ou 
no projeto em que se encontram as escalas numéricas, podendo aparecer 
nos seguintes modelos:
No caso do mapa-múndi
Para cada 1 cm 
se tem 1 km 
Para cada 1 cm 
se tem 365 km 
Para cada 1 cm 
se tem 50 m 
No caso de projetos
0
0
0
0 1 2 3
365
50 100 150 200 m
4 cm
730 1.095 km
1 km
Figura 11. Escala gráfica. Fonte: DOURADO; FONSECA, 2019. (Adaptado).
Escalas grandes e escalas pequenas
Outro fator importante ao estudarmos as escalas é saber distinguir 
quando são usadas escalas grandes e escalas pequenas. No caso de um 
mapa que contemple uma cidade ou estado, a melhor escala a ser utilizada 
é a 1:100.000 ou 1:200.000. Essas são denominadas escalas pequenas, pois, 
à medida que o número aumenta, afasta-se da medida real existente. Para 
projetos que contemplem uma quadra ou loteamento, a melhor escala a ser 
utilizada é de 1:10.000.
No entanto, quando falamos de um projeto de uma casa ou apartamen-
to, a escala utilizada será de 1:100. Nos detalhamentos dos projetos, pode-
-se usar escalas de 1:50 ou 1:25. Essas escalas são consideradas escalas 
grandes, pois, como estão mais próximas do mundo real, o número decres-
ce. Uma escala 1:1, por exemplo, é uma escala muito grande, pois é a mais 
próxima possível do real.
Para melhor compreensão das escalas gráficas, observe os exemplos 
a seguir:
Se tentarmos localizar no Google Maps a cidade de Peruíbe (Figura 12), 
podemos observar toda a linha de sua divisa. Isso porque a escala que está 
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sendo utilizada é uma escala pequena. Além disso, no canto inferior direito, é 
possível observar a escala gráfica existente:
5 km│ │
Essa escala gráfica tem o mesmo significado que a escala numérica 
1:500.000, ou seja: a cada 1 cm temos a equivalência de 5 km reais.
Figura 12. Figura 12. Captura de tela do Google Maps, mostrando a escala gráfica da região de Peruíbe. 
Ao nos aproximarmos um pouco mais, utilizando o zoom, observamos que 
não é mais possível discernir as divisas da cidade, uma vez que a visualização 
está mais próxima. No entanto, é possível observar as divisões de ruas. Assim, 
a representação da escala gráfica no canto inferior direito indica que a escala 
diminuiu para:
2 km│ │
Essa escala gráfica tem o mesmo significado que a escala numérica, 
1:200.000, ou seja: a cada 1 cm temos a equivalência de 2 km reais. A exibição 
das divisões de ruas nessa escala se tornou visível porque a escala 1: 200.000 é 
uma escala maior que a escala 1:500.000.
Além de permitir que grandes distâncias sejam projetadas, correlacionan-
do-as com as medidas reduzidas do tamanho real, o uso das escalas possibi-
lita realizar uma ampliação do mapa sem que haja distorções, uma vez que 
há linhas perpendiculares com divisões precisas entre escalas para expressar 
distâncias reais.
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Agora, imagine a seguinte situação: para solicitar o licenciamento ambiental 
de um lote na cidade de Peruíbe, um arquiteto precisou levantar um mapa dos 
recursos hídricos da região. Ao observá-lo, ele verificou na parte inferior que 
a escala gráfica indicava os números 0, 50, 100, 150 m, e que, no desenho do 
mapa, existiam linhas que se cruzavam precisamente.
Figura 13. Projeto planialtimétrico georreferenciado de lote.
Como essas medidas reais não caberiam em uma folha de papel, fez-se 
necessária a redução. Frente a essas observações, o arquiteto concluiu que 
as linhas perpendiculares representavam as distâncias de 50 em 50 metros, 
uma vez que a inscrição na escala gráfica inferior indica que para cada 1 cm 
temos 50 m, ou seja, a escala utilizada é 1:500. Logo, quanto maior o núme-
ro, menor é a escala (escala pequena); e quanto menor o número, maior é a 
escala (escala grande).
Considerando a escala gráfica da Figura 13, cada cm corresponde a 50 
metros, conforme mencionado. Contudo, para saber a quanto essa escala 
gráfica corresponde na escala numérica, é necessário realizar a conversão de 
unidade utilizando o sistema métrico decimal.
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro
×10
m
×10
dm cm
×10
dam
×10
hm
×10
km
1 = 100 cm
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 38
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Aplicando-se a regra de três em que 1 está para 100, assim como 50 está para x:
 
=1
100
50
x
1x = 50 · 100
x = 5.000
Logo, a escala numérica referente à escala gráfica contida no projeto da 
Figura 11 é de 1:5.000.
Imagine que, ao analisarmos um mapa, verificamos que a 
distância entre a cidade de São Paulo e a cidade de Manaus, 
medida com uma régua, é de exatamente 10,748 cm. É sabido 
que a distância entre as duas cidades é de 3.822 km. Contudo, 
essa distância em linha reta é de 2.687 km na vida real.
Desprezando a distância percorrida por rodovias e levando-se em conside-
ração a distância em linha reta, é possível concluir em que escala este mapa foi 
projetado da seguinte forma:
• Primeiramente, é preciso converter os 2.687 km em cm. Para isso, é neces-
sário conhecer o sistema métrico decimal, realizando-se a multiplicação por 10 
da esquerda para direita:
 
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro
×10 ×10×10×10×10
D = 2.687 km em cm = 2.687 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 2.687 · 100.000 = 268.700.000
 
d
D
Esc = 10,748 cm
2.687 km
10,748 cm
268.700.000 cm==
Se escala corresponde a 1:(algum número), substitui-se Esc por 1
x
.
10,748 cm
268.700.000 cm
1
x = = 10,748x = 268.700.000 
10,748 cm
268.700.000 cmx =
x = 25.000.000
Logo, o mapa está na escala 1:25.000.000.
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Sintetizando
O conhecimento em relação às grandezas e suas respectivas unidades é 
importante tanto para o uso no dia a dia como para a execução de ativida-
des profissionais, uma vez que tudo que nos cerca é mensurável, e o enten-
dimento correto sobre esse assunto possibilita a elaboração e a execução 
de diversos trabalhos.
Vimos que as grandezas escalares são compostas por um valor unitário 
e uma unidade de medida, enquanto as grandezas vetoriais são aquelas 
que, além do valor unitário e de sua respectiva unidade de medida, neces-
sitam também de direção e sentido. Além disso, elas são divididas em duas 
classes básicas: as unidades de base (7 unidades) e as unidades derivadas 
(22 unidades). Há também grandezas que não possuem unidades, chama-
das de adimensionais. 
Tanto as grandezas escalares quanto as vetoriais possuem unidades de me-
dida designadas pelo Sistema Internacional de Unidades, representadas por 
símbolos correspondentes a cada uma. Os símbolos e unidades também po-
dem ser representados por prefixos com expoente na base dez, para facilitar 
alguns cálculos.
Algo importante a ser observado é que não se pode confundir grandezas 
escalares com escalas. Isso porque as escalas podem ser numéricas ou gráfi-
cas. Elas são utilizadas para representar um determinado elemento, objeto ou 
local real em tamanho reduzido, fazendo-o caber em uma folha de papel, por 
exemplo, ou para representar algo pequeno em tamanho maior. Isso depende 
do tamanho da escalautilizada: grande ou pequena. 
Geralmente as escalas são utilizadas em mapas e projetos de engenharia e 
arquitetura. Elas sempre correspondem a um valor unitário acompanhado de 
uma unidade do SI em que a grandeza real é representada em escala numérica 
ou gráfica, podendo também ser grande ou pequena.
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Referências bibliográficas
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físicas – terminologia, símbolos e recomendações. Lisboa: Plátano Editora. 1988.
DOURADO, M. V. S.; FONSECA, I. D. Escalas, fusos horários e coordenadas geo-
gráficas: possibilidades no ensino de geografia e matemática. Interdisciplinary 
Scientific Journal, [s. l.], v. 6, n. 2, p. 151-162, 2019.
HELERBROCK, R. Sistema Internacional de Unidades. Brasil Escola, [s. l.], 17 fev. 
2020. Disponível em: . Acesso em: 04 jul. 2020.
HELERBROCK, R. Vetores. Mundo Educação, [s. l.], 11 jun. 2019. Disponível 
em: . Acesso em: 01 
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MARQUES, M. S. Cartografia antiga: tabela de equivalências de medidas: cálcu-
lo de escalas e conversão de valores de coordenadas geográficas. Lisboa: Biblio-
teca Nacional, 2001.
MIRANDA, D.; GRISI, R.; LODOVICI, S. Geometria analítica e vetorial. Santo An-
dré: Universidade Federal do ABC, 2015.
PILLING, S. Parte A – unidades, grandezas, escalas e gráficos. [S. l.], [s. d.]. Dispo-
nível em: . Acesso em: 11 set. 2020.
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tuto Mauá de Tecnologia, 2002.
VENTURI, J. J. Álgebra vetorial e geometria analítica. 8. ed. Curitiba: Scientia et 
Labor, 1990.
WINTERLE, P.; STEINBRUCH, A. Geometria Analítica. São Paulo: Makron 
Books, 2000.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 41
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FORÇAS
APLICADAS EM UM 
PONTO, FORÇAS 
APLICADAS EM UMA 
BARRA E LEIS DE 
NEWTON
2
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Entender o que são forças e como elas atuam;
 Compreender como as forças são distribuídas em uma barra;
 Compreender a finalidade e aplicabilidade das Leis de Newton.
 Forças aplicadas em um ponto
 Determinação de resultante de 
um sistema de forças
 Caso de duas forças não coli-
neares
 Caso de duas forças colineares
 Força de tração aplicada em 
um corpo
 Forças aplicadas em uma barra
 Força de compressão aplicada 
a uma barra
 Força de tração aplicada em 
uma barra
 Intensidade do momento de 
uma força em relação a um ponto
 Condições de equilíbrio de um 
corpo rígido
 Leis de Newton
 Primeira Lei de Newton: inércia
 Segunda Lei de Newton: lei 
fundamental da dinâmica
 Terceira Lei de Newton: Lei da 
ação e reação 
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Forças aplicadas em um ponto
Forças
Para melhor entendimento do comportamento das forças aplicadas a um pon-
to, é preciso ter em mente que forças são grandezas vetoriais que possuem módulo 
(tamanho), isto é, valor numérico, direção, sentido e intensidade. O sentido pode ser 
voltado ou contrário ao ponto, ou seja, a força pode ir tanto ao encontro como a partir 
do ponto em um sentido oposto.
Djalma Nunes (1996) diz que a interação entre os corpos ocorre devido à força, 
que pode produzir variação de velocidade, deformação e equilíbrio. Nesse sentido, é 
importante ressaltar que os corpos em si não possuem força, mas que ela é resultado 
da interação entre os corpos em questão. 
Sendo assim, os princípios dos estudos das forças aplicadas em um ponto 
material (corpos) foram apresentados por Newton, e podemos ver sua aplica-
ção em nosso cotidiano.
Exemplo um: imaginemos que em um campo de golf, o jogador bata com seu taco 
na bola, arremessando-a em direção ao buraco. A força proveniente do braço que se 
estende até o taco só aparece quando o taco encosta na bola. Nesse instante, essa 
força produz velocidade, o que faz com que a bola saia de seu estado de repouso, des-
locando-se de sua base e ganhando velocidade. Em seguida, assim que o taco é afas-
tado da bola, a força que foi aplicada é extinta. Sendo assim, as forças que foram tro-
cadas entre a bola e o taco se fi ndam quando a interação entre os dois corpos acaba. 
É preciso entender, também, que um corpo é considerado um ponto ma-
terial e que no fenômeno em estudo podemos desprezar algumas de suas di-
mensões. A massa, contudo, deverá ser sempre considerada, pois é necessária 
para a realização dos cálculos. Além disso, um ponto pode estar em movimen-
to ou pode sofrer a força que o impulsionará ao movimento quando parado; 
isso signifi ca que o ponto pode estar em movimento ou em repouso.
O sistema de forças aplicadas a um ponto material, fazendo com que 
resulte no equilíbrio de um ponto, é denominado estática; e o sistema de 
forças aplicadas a um ponto material que resulte em movimento é deno-
minado dinâmica. Sendo assim, pode-se entender que todo o sistema de 
forças aplicadas a um ponto material possui uma resultante que pode ser 
calculada matematicamente.
SISTEMAS ESTRUTURAIS I 44
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Determinação de resultante de um sistema de forças
As forças podem ser representadas como um sistema de diversos veto-
res com direções, sentidos, módulos e intensidades, diferentes ou iguais, 
defi nidos por Fn. 
Sistema de forças aplicadas a um ponto material
Se uma força é um vetor, podemos considerar um sistema de forças 
como: F1, F2, F3, ..., Fn, que devem partir de um determinado ponto, tais 
como: P1, P2, P3, ..., Pn, respectivamente (Figura 1, a). Além disso, podemos 
considerar as operações e as regras que são realizadas como vetores. No 
caso da soma vetorial de uma variedade de forças, em que F1, F2, ... Fn pro-
duzirá um único escalar ou vetor, denominado resultante (R), a soma das 
diversas forças produzirá o efeito de apenas uma. 
Organizando os vetores e agrupando-os a partir de um único ponto, pode-
mos perceber que, se o sistema de forças estiver aplicado a um ponto material 
de origem, a resultante corresponderá à força que, aplicada ao ponto, produzi-
rá o mesmo efeito que o sistema de forças separado (Figura 1, b). Sendo assim, 
a resultante (R) pode ser representada por FR:
FR = F1 + F2 + F3
P1
P3
F3
P2 F2
F1
a) Sistema de forças b) Sistema de forças aplicadas a um ponto
F3
F2P
F1
Figura 1. Sistema de forças aplicadas a um ponto material. Fonte: NUNES, 1996, p. 164. (Adaptado). 
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Exemplo dois: digamos que um sistema de três forças conhecidas (F1, F2, F3) 
seja aplicado a um ponto material P qualquer (Figura 2, a). Para obtenção da resul-
tante, devemos somar os segmentos orientados e consecutivos que representam 
as forças (a extremidade final do primeiro vetor coincidente com a origem do se-
gundo vetor e assim sucessivamente). Dessa forma, obtemos uma linha de segui-
mentos de vetores, denominada linha poligonal das forças (Figura 2, b).
Traçando-se um segmento orientado, partindo do ponto P até o final do 
último vetor, obtemos um vetor resultante, representado pelo segmento 
orientado (FR), que deve ser correspondente ao primeiro sistema, mesmo 
após a sua colocação (Figura 2, c).
EXPLICANDO
A linha poligonal das forças pode ser aberta ou fechada. Ela é fechada quan-
do o sistema de forças está em equilíbrio, sendo unido por três forças que 
formam um triângulo fechado; e aberta quando no sistema existem forças 
não colineares, classificadas em: linha poligonal aberta simples, em que os 
segmentos de forças não se cruzam, ou linha poligonal aberta não simples ou 
complexa, quando os segmentos