DOC-20250407-WA0040

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1º Revisão de Resistência dos Materiais Aplicada 
Ensaio de Torção 
 
 O ensaio de torção é uma técnica 
experimental utilizada na área da 
engenharia e ciência dos materiais para 
avaliar a resistência de um material à 
deformação por torção. É um procedimento 
essencial para determinar a capacidade de 
um material suportar cargas torcionais e 
para obter informações sobre seu 
comportamento mecânico. 
 Durante o ensaio de torção, um corpo de 
prova é submetido a uma força de torque 
aplicado através de um dispositivo de teste 
especializado. Esse dispositivo aplica um 
torque ao corpo de prova, resultando em 
uma rotação ou torção do mesmo. 
 O objetivo é avaliar a resposta do material 
à torção e obter dados precisos sobre sua 
resistência torcional. 
 Durante o ensaio são registradas as 
medições de torque e ângulo de torção, 
permitindo a análise posterior dos 
resultados. 
- Conceitos Básicos. 
. Flexão: deformação elástica que ocorre 
em um corpo alongado. 
. Momento Fletor: é uma ferramenta de 
análise estrutural que mede a força de 
flexão. 
. Tensão: é a força interna aplicada a um 
material por unidade de área. 
 
- Torque: (N/m) 
 É uma medida de força que pode causar 
um objeto a girar ao redor de um eixo. 
 Torque = Força x Distância 
 
 # Convenção dos Torques: 
 
 horário anti-horário 
 : ↻ ↺ 
 Positivo Negativo 
 
 
- Torção. 
 É uma tensão de cisalhamento que resulta 
da aplicação de um torque. 
 Para calcular essa tensão, precisamos 
saber o momento polar de inércia. 
 
- Momento Polar de Inércia. (m^4) 
 É a resistência de um eixo ou viga de ser 
distorcido por torção, em função de sua 
forma. 
. Eixo Maciços: 
 Ip = π x raio^4 
 2 
. Eixos Tubulares: 
 Ip = π x (r.externo^4 - r.interno^4) 
 2 
 
- Tensão de Cisalhamento. (Pa) 
 Tensão = Torque x Raio 
 Momento Polar de Inércia 
 
- Raio em Função da Tensão 
 Raio = (raiz cúbica) de 2 x Torque 
 π x Tensão de Cisalhamento 
 
 
- Questão 01. 
O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine a tensão de 
cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção a–a do eixo 
 
 
 
1º Passo - Definir Valor do Torque no Ponto. 
 Cortando a barra no ponto que se deseja analisar e escolhendo a partir de qual lado você 
quer trabalhar. 
 
 Observamos somente um Torque de 1250 kN.mm, girando em direção horária e por isso 
possui sinal negativo para convenção, agora precisamos definir qual o torque teremos no 
ponto (a,a) que vai possuir uma direção contrária ao do Torque anterior, então dessa vez 
será no sentido anti-horário, portanto, positivo, e encontraremos seu valor pela seguinte 
afirmação, o somatório dos torques atuando na barra tem que ser igual a 0. 
 Então: 
 Torque(a,a) - 1250 kN.mm = 0 
 Torque(a,a) = 1250 kN.mm 
2º Passo - Momento Polar de Inércia. 
 O momento polar de inércia é definido baseado na forma do eixo do tubo, se são maciças, 
ou tubulares, como nesse caso ele possui forma maciça, seguiremos a fórmula. 
 Pi vezes Raio elevado a 4 dividido por dois. 
 
 Sabemos que o raio desse tubo é igual a 75 mm, e tendo em vista que o torque se 
apresenta em kN.mm, não modificamos esse valor quando aplicarmos na fórmula. 
 Momento polar de inércia = π x 75 mm^4 
 2 
 Momento polar de inércia = 49.700.977,42 ou 4,97 x 10^7. mm^4 
 
 
 
 
3º Passo - Tensão de Cisalhamento nos Pontos A e B. 
 A questão, pede exatamente em que ponto se deve calcular a tensão, e a medida do raio 
desses pontos, agora basta aplicar a fórmula da tensão: 
 Torque vezes Raio dividido pelo Momento Polar de Inércia. 
 Obs: Como o torque está em kN.mm, ela precisa ser representada como 10^3. 
. Tensão no Ponto A. Raio de 75 mm. 
 Tensão Cisalhamento A = 1250 x 10^3 x 75 
 4,97 x 10^7. 
 Tensão de Cisalhamento A = 1,88631 ou 1,89 MPa. 
 . Tensão no Ponto B. Raio de 15 mm. 
 Tensão Cisalhamento B = 1250 x 10^3 x 15 
 4,97 x 10^7. 
 Tensão de Cisalhamento B = 0,37726 ou 0,37 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Questão 02 
O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às 
engrenagens. Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo. 
 
 
1º Passo - Definir o Valor do Torque. 
 A questão não me indica o ponto exato que se deve trabalhar, porém ela pede o ponto 
máximo, analisando que o exemplo possui o mesmo raio por todo seu comprimento, o que 
vai determinar o ponto máximo é o lugar em que o Torque for maior. 
 Analisando isso podemos definir que a seção de ponto máximo seria a entre D e B. 
 Quando cortamos essa seção analisamos somente o torque de 
400 N.m, que gira no sentido anti-horário (positivo), então o tor- 
que DB gira pro sentido horário(negativo). 
 Se o somatório dos torques tem que ser igual a zero: 
 - Torque DB + 400 N.m = 0 
 Torque de DB = 400 N.m. 
 
2º Passo - Momento Polar de Inércia. 
 Sabendo se tratar de um eixo maciço, a fórmula a ser usada é para maciços, porém o eixo 
que foi dado agora o diâmetro de 30 mm, que ao ser dividido em dois se define o raio, e que 
precisará ser transformado em m para ficar de acordo com a unidade de Torque, de mm 
para m, dividos o valor por 1000. 
 Diâmetro para Raio = 30 mm = 15 mm 
 2 
 
 Milímetro para Metro = 15 mm = 0,015 m. 
 1000 
Aplicando a fórmula: 
 Pi vezes Raio elevado a 4 dividido por dois. 
 Momento polar de inércia = π x 0,015^4 
 2 
 Momento polar de inercia = 7,952 x 10^-8 m^4. 
 
3º Passo - Tensão de Cisalhamento Máxima. 
 Agora basta aplicar a fórmula da tensão, com as informações que estabelecemos. 
 Torque vezes Raio dividido pelo Momento Polar de Inércia. 
 Tensão Cisalhamento Máxima = 400 x 0,015 
 7,952 x 10^-8. 
 Tensão Cisalhamento Máxima = 75.452.716,30 ou 75,45 MPa. 
 
 
 
 
 
 
- Questão 03. 
 O eixo tubular tem diâmetro externo de 32 mm e diâmetro interno de 25 mm. Se ele for 
submetido aos torques mostrados na figura, determine a tensão de cisalhamento máxima 
absoluta desenvolvida no eixo. Os mancais lisos em A e B não resistem a torque. 
 
 
1º Passo - Definir o Valor do Torque. 
 Mais uma vez a questão não me indica o ponto exato que se deve trabalhar, porém ela 
pede o ponto máximo, o que vai determinar o ponto máximo é o lugar em que o Torque for 
maior. 
 Que identifiquei como sendo o ponto em que está o mancal A, porém partirei do lado mais 
longe desse ponto, para ilustrar melhor como funciona o esquema de somatória de torque. 
 L 
 
 Partindo da direitapara a esquerda para se descobrir o toque que está no ponto de corte A, 
devemos somar todas as forças e essa soma resultar em zero. Da direita pra esquerda, 
teremos um torque de 75 N.m girando no sentido horário (negativo), e depois um segundo 
torque de 260 N.m girando no sentido anti-horário (positivo), então o Torque que será 
gerado no ponto A girará no mesmo sentido que o menor desses torques(negativo). 
 - Torque A - 75 + 260 = 0 
 Torque A = 185 N.m 
2º Passo - Momento Polar de Inércia. 
 O exemplo em questão indica que o tubo possui medidas de diâmetro externo e interno 
porém o eixo que foi dado agora em diâmetro, que ao ser dividido em dois se define o raio, 
e que precisará ser transformado em m para ficar de acordo com a unidade de Torque, de 
mm para m, dividos o valor por 1000. 
 Diâmetro Externo para Raio Externo = 32 mm = 16 mm 
 2 
 
 Milímetro para Metro = 16 mm = 0,016 m. 
 
 
 1000 
 Diâmetro Interno para Raio Interno = 25 mm = 12,5 mm 
 2 
 
 Milímetro para Metro = 12,5 mm = 0,0125 m. 
 1000 
 A fórmula para momento polar para eixos tubulares é: 
 Pi vezes a diferença do raio externo elevado ao quadrado e do raio interno elevado ao 
quadrado dividido por dois 
 Momento Polar de Inércia = π x (0,016^4 - 0,0125^4) 
 2 
 Momento Polar de Inércia = 6,4594 x 10^-8 m^4 
3º Passo - Tensão de Cisalhamento Máxima. 
 Como a questão pede a tensão de cisalhamento máxima, logo ela se refere à tensão em 
relação ao raio externo, já que quanto mais distante do centróide da peça maior fica a 
tensão. Então basta aplicarmos a fórmula e usar a distância do raio externo. 
 Torque vezes Raio dividido pelo Momento Polar de Inércia. 
 Tensão Cisalhamento Máxima = 185 x 0,016 
 6,4594 x 10^-8 m^4 
 Tensão Cisalhamento Máxima = 48.824.689,60 ou 45,824 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Questão 04 
 Eixo BC é vazado, com diâmetros internos e externos de 90mm e 120mm, 
respectivamente. Os eixos AB e CD são sólidos e tem diâmetro d. Para o carregamento 
mostrado, determine: 
a) As tensões de cisalhamento máxima e mínima no eixo BC; 
b) O diâmetro d necessário para os eixos AB e CD, se a tensão de cisalhamento admissível 
nesses eixos for de 65MPa 
 
 
- Resolução Letra A. 
1º Passo - Definir Torque 
 Cortando a barra no ponto que se deseja analisar e escolhendo a partir de qual lado você 
quer trabalhar. 
 Como se pede o ponto entre C e B, vamos isolar um lado e 
analisarmos os Torques anteriores ao ponto. 
 Em D temos um Torque de 6 kN.m no sentido anti-horário.(+) 
 Em C temos um Torque de 26 kN.m no sentido horário.(-) 
 Então o Torque entre C e B vai assumir a direção do menor 
valor desses dois, anti-horária (+) 
 Torque BC + 6 - 26 = 0 
 Torque BC = 20 kN.m. 
 
2º Passo - Momento Polar de Inércia 
 A questão define que a seção entre B e C possui eixo vazado, com os valores de seus 
diâmetros externos e internos. o eixo que foi dado agora em diâmetro, que ao ser dividido 
em dois se define o raio, e que precisará ser transformado em m para ficar de acordo com a 
unidade de Torque, de mm para m, dividos o valor por 1000. 
 Diâmetro Externo para Raio Externo = 120 mm = 60 mm 
 2 
 Milímetro para Metro = 60 mm = 0,06 m. 
 1000 
 Diâmetro Interno para Raio Interno = 90 mm = 45 mm 
 2 
 Milímetro para Metro = 45 mm = 0,045 m. 
 1000 
 
 
 
 
 
 
 
 A fórmula para momento polar para eixos tubulares é: 
 Pi vezes a diferença do raio externo elevado ao quadrado e do raio interno elevado ao 
quadrado dividido por dois 
 Momento Polar de Inércia = π x (0,06^4 - 0,045^4) 
 2 
 Momento Polar de Inércia = 1,391 x 10^-5 m^4 
 
3º Passo - Tensões de Cisalhamento Máxima e Mínima. 
 Para tensão de cisalhamento máximo usamos o valor do raio externo, e para tensão de 
cisalhamento mínimo usamos o valor do raio interno. A fórmula segue sendo a mesma. 
Como os Torques tão em kN.m usamos (10^3) 
 Torque vezes Raio dividido pelo Momento Polar de Inércia. 
 Tensão Cisalhamento Máxima = 20 x 10^3 x 0,06 
 1,391 x 10^-5 
 Tensão Cisalhamento Máxima = 86.268.871,315 ou 86,268 MPa. 
 
 Tensão Cisalhamento Mínima = 20 x 10^3 x 0,045 
 1,391 x 10^-5 
 Tensão Cisalhamento Mínima = 67.701.653,486 ou 67,70 MPa. 
 
- Resolução Letra B. 
1º Passo - Definir Torque. 
 Agora os pontos a serem analisados possuem uma semelhança. 
 Em A temos um Torque de 6 kN.m no sentido anti-horário.(+) 
 Em D temos um Torque de 6 kN.m no sentido anti-horário.(+) 
 Então sua força de Torque para os dois casos vai ser a mesma 
 - Torque AB + 6 = 0 
 Torque AB = 6 kN.m 
 - Torque CD + 6 = 0 
 Torque CD = 6 kN.m. 
 
2º Passo - Raio em Função da Fórmula da Tensão. 
 Quando a questão não informa o raio, é preciso modificar a fórmula da tensão para que ela 
resulte no raio. A fórmula modificada fica assim. 
 Raiz Cúbica de ( 2 vezes o Torque dividido por Pi vezes Tensão de Cisalhamento) 
 Como a questão definiu a tensão de cisalhamento em 65 MPa para as duas seções, e 
também como vimos o Torque é igual para as duas seções, basta calcular uma seção que 
vai resultar igual para as duas seções. 
 Adotamos (10^3) já que o Torque está em kN; e (10^6) para a tensão em MPa. 
 Raio = (raiz cúbica) de 2 x 6 x 10^3 
 π x 65 x 10^6 
 Raio = raiz cúbica de 5,87 x 10^-5 
 Raio = 0,038 m. 
 Porém como a questão pede os valores de diâmetros, basta multiplicar por 2. 
 Raio = 2 x 0,038 = 0,076 ou 76 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Questão 05 
O conjunto é composto por duas seções de tubo de aço galvanizado interligadas por uma 
redução em B. O tubo AB tem diâmetro externo de 18,75 mm e diâmetro interno 17 mm, 
enquanto o tubo BC tem diâmetro externo de 25mm e diâmetro interno de 21,5 mm. Se o 
tubo estiver firmemente preso a parede em C, determine a tensão de cisalhamento máxima 
desenvolvida em cada seção do tubo quando o conjugado mostrado na figurafor aplicado 
ao cabo da chave 
 
 
1º Passo - Definir Torque nas Engrenagens 
 O torque nesse sistema é gerado pela rotação da alavanca, que no caso da imagem 
existem duas forças atuando no mesmo objeto de rotação, por isso o torque total desse 
sistema é a soma dos torques gerados em cada ponta. 
 que encontraremos pela fórmula. 
 Torque = Força vezes Distância. 
 Transformando a distância de mm para m(dividindo por 100), vamos descobrir os Torques 
gerados. 
 Torque 1 = 75 x 0,15 
 Torque 1 = 11,25 N.m 
 Torque 2 = 75 x 0,2 
 Torque 2 = 15 N.m 
 Como esses torques ocorrem no mesmo corpo, podemos somá-lo para definir como o 
Torque do Sistema em geral. 
 Torque = 11,25 + 15 = 26,25 N.m 
2º Passo - Momento Polar de Inércia 
 Como o tubo se trata de duas seções de diferentes tamanhos, precisa se definir momento 
polar de inércia para as duas seções, tendo em conta que ela nos foi informada pelos 
diâmetros, devemos primeiro definir os raios. 
- Seção AB 
 Diâmetro Externo para Raio Externo = 18,75 mm = 9,375 mm 
 2 
 Milímetro para Metro = 9,375 mm = 0,009375 m. 
 1000 
 Diâmetro Interno para Raio Interno = 17 mm = 8,5 mm 
 2 
 Milímetro para Metro = 8,5 mm = 0,0085 m. 
 1000 
 
 
 
- Seção CD 
 Diâmetro Externo para Raio Externo = 25 mm = 12,5 mm 
 2 
 Milímetro para Metro = 12,5 mm = 0,0125 m. 
 1000 
 Diâmetro Interno para Raio Interno = 21,5 mm = 10,75 mm 
 2 
 Milímetro para Metro = 10,75 mm = 0,01075 m. 
 1000 
 
 A fórmula para momento polar para eixos tubulares é: 
 Pi vezes a diferença do raio externo elevado ao quadrado e do raio interno elevado ao 
quadrado dividido por dois 
- Seção AB 
 Momento Polar de Inércia = π x (0,009375^4 - 0,0085^4) 
 2 
 Momento Polar de Inércia = 3,934 x 10^-9 m^4 
 
- Seção CD 
 Momento Polar de Inércia = π x (0,0125^4 - 0,01075^4) 
 2 
 Momento Polar de Inércia = 1,737 x 10^-8 m^4 
 
3º Passo - Tensão de Cisalhamento Máxima. 
 Como a questão pede a tensão de cisalhamento máxima, logo ela se refere à tensão em 
relação ao raio externo, já que quanto mais distante do centróide da peça maior fica a 
tensão. Então basta aplicarmos a fórmula e usar a distância do raio externo. 
 Torque vezes Raio dividido pelo Momento Polar de Inércia. 
- Seção AB 
 Tensão Cisalhamento Máxima = 26,25 x 0,009375 
 3,934 x 10^-9 
 
 Tensão Cisalhamento Máxima = 62.522.242 ou 62,52 MPa. 
 
- Seção CD 
 Tensão Cisalhamento Máxima = 26,25 x 0,0125 
 1,737 x 10^-8 
 Tensão Cisalhamento Máxima = 18.890.328,15 ou 18,890 MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Questão 06. 
O motor transmite um torque de 50 N·m ao eixo AB. Esse torque é transmitido ao eixo CD 
pelas engrenagens em E e F. Determine o torque de equilíbrio T’ no eixo CD e a tensão de 
cisalhamento máxima em cada eixo. Os mancais em B, C e D permitem rotação dos eixos e 
o motor impede a rotação dos eixos 
 
1º Passo - Definir Torque nas Engrenagens 
 O torque nesse sistema é transmitido de um para o outro por meio das engrenagens, 
Sabemos que no eixo AB tem um torque de 50 N.m, a fórmula para calcular tensão é: 
 Torque = Força vezes Distância. 
 Como sabemos o Torque de um, podemos descobrir a força, e a força se mantém a mesma 
para as duas engrenagens conectadas. 
 Então descobrindo a força pelo Torque em AB 
 Transformando as distâncias de mm para m 
 50 N.m = Força x 0,05 m 
 Força = 1000 N 
 Agora com a Força do sistema, jogamos ela na engrenagem CD. 
 Torque CD = 1000 x 0,125 
 Torque CD = 125 N.m 
 
2º Passo - Momento Polar de Inércia. 
 Como estamos trabalhando com com duas seções, de diferentes diâmetros precisamos 
definir o momento polar de inércia para as duas seções, como as duas se tratam de tubos 
maciços, a fórmula usada para calcular é: 
 Pi vezes Raio elevado a 4 dividido por dois. 
 Primeiro transformamos os diâmetros em raios para poder jogar na fórmula. 
 Seção AB - Diâmetro para Raio = 30 mm = 15 mm 
 2 
 
 Milímetro para Metro = 15 mm = 0,015 m. 
 1000 
 
 Seção CD - Diâmetro para Raio = 35 mm = 17,5 mm 
 2 
 
 Milímetro para Metro = 17,5 mm = 0,0175 m. 
 1000 
 
 
 
Agora basta Aplicar a fórmula. 
 Momento polar de inércia AB = π x 0,015^4 
 2 
 Momento polar de inercia AB = 7,952 x 10^-8 m^4. 
 
 
 Momento polar de inércia CD = π x 0,0175^4 
 2 
 Momento polar de inercia CD = 1,473 x 10^-7 m^4. 
 
3º Passo - Tensão de Cisalhamento Máxima. 
 Agora basta aplicar a fórmula da tensão, com as informações que estabelecemos. 
 Torque vezes Raio dividido pelo Momento Polar de Inércia. 
 Tensão Cisalhamento Máxima AB = 50 x 0,015 
 7,952 x 10^-8. 
 Tensão Cisalhamento Máxima AB = 9.431.589,53 ou 9,43 MPa. 
 
 Tensão Cisalhamento Máxima CD = 125 x 0,0175 
 1,473 x 10^-7 
 Tensão Cisalhamento Máxima CD = 14.850.644,94 ou 14,85 MPa.