G1 1 Algarismos Significativos

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02/03/2016 
1 
Química Geral 
Cristiane Portella 
e-mail: crisport@puc-rio.br 
Profa.Cristiane Portella 
 Algarismos Significativos 
 Arredondamento 
 Erros 
 Exercícios 
 
 
 
OBJETIVOS: 
- Expressar os resultados de cálculos usando o número correto de algarismos 
significativos. 
 
- Revisar os conceitos de erro, precisão e exatidão. 
 
BIBLIOGRAFIA: 
Algarismos significativos – Site do CCEAD – Pasta: Material didático: Material 
complementar 
ABNT NBR 5891 DE2 1977 - Regras de arredondamento na numeração decimal 
 
 
Sumário da aula 
 
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02/03/2016 
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 Para realizar uma medida precisamos estabelecer a 
confiança que o valor encontrado para a medida 
representa. 
 Medir: ato de comparar – envolve erros dos instrumentos, 
do operador, do processo de medida, entre outros. 
 Objetivo de um bom processo de medição: adotar um valor 
que melhor represente a grandeza e uma margem de erro 
dentro do qual deve estar compreendido o valor real. 
Medidas 
Profa.Cristiane Portella 3 
 São os algarismos obtidos durante um processo de medição, 
obtidos através da escala do aparelho / instrumento onde se 
realiza a medida. 
 28 29 30 
 
 
 
 
 
 Régua com menor divisão de 0,1 cm: ex.: 29,6 cm 
 
 A altura da caixa mede entre 29,6 cm e 29,7 cm. Podemos dizer 
que mede 29,65 cm, onde os três primeiros algarismos são 
certos (exatos) e o último algarismos, que é estimado e está 
sujeito a um erro é chamado de duvidoso. 
Algarismos Significativos 
Profa.Cristiane Portella 4 
02/03/2016 
3 
 Definimos então, algarismos significativos de uma 
medida como todos os algarismos que temos certeza (os 
exatos) e mais um duvidoso (sempre o algarismo 
duvidoso é o último da direita). 
 
 
 
 
Algarismos Significativos 
Significativo = Exato (Correto) + duvidoso Profa.Cristiane Portella 5 
 Este número esta entre 2,5 e 2,6 e devemos acrescentar um algarismo 
duvidoso. 
Neste caso, por exemplo, a reta corta o eixo x no ponto 2,57 (2 algarismos 
exatos e 1 duvidoso, num total de 3 algarismos significativos). 
 
Obs.: O duvidoso pode ser qualquer entre 2,50 e 2,60, e deverá ser 
escolhido pela pessoa que está realizando a medição. 
Utilizando Gráficos 
Profa.Cristiane Portella 6 
02/03/2016 
4 
 Algarismos significativos são os algarismos corretos a 
contar do primeiro diferente de zero, e o último que é 
duvidoso 
 45,50 m  4 significativos 
 0,0025 m  2 significativos 
 
 O número de algarismos significativos não muda quando 
fazemos a conversão de unidades. 
 52,7 m  3 significativos 
 Para expressar este número em cm  5,27 x 103 cm 
Algarismos Significativos 
Profa.Cristiane Portella 7 
 
 O desvio padrão deve ser escrito com o mesmo 
número de casas decimais do valor medido: 
(1230 ± 5) mm (1227,67 ± 0,02) L 
(1,00 ± 0,02) kg (0,023 ± 0,001) g 
Algarismos Significativos 
Profa.Cristiane Portella 8 
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 Algarismos Significativos ≠ Casas Decimais; 
 
 Zeros a esquerda não são significativos: 
 
 0,0234 – 3 algarismos significativos 
 2 exatos e 1 duvidoso 
 4 casas decimais 
Algarismos Significativos 
Profa.Cristiane Portella 9 
 23,50 m  
 
 4 significativos 
 2 significativos 
 2 significativos 
 3 significativos 
 3 significativos 
 0,0043 m  
 67 cm  
  67,2 cm  
 2,00 x 10-2 m  
 200  3 significativos 
Algarismos Significativos 
Profa.Cristiane Portella 10 
02/03/2016 
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Arredondamento 
Somente no final; 
 
Cálculos intermediários devem ser feitos 
retendo o máximo de algarismos para evitar 
erros de arredondamento. 
Profa.Cristiane Portella 11 
Regras de 
Arredondamento 
Conserva-se apenas os algarismos necessários (de 
acordo com a precisão da medida). 
 Suponhamos que o resultado deva ser expresso com 2 
casas decimais: 
 Se o primeiro algarismo descartado for  5 
  acrescenta 1 ao último 
4,52713456 g  4,53 g 
 Se o primeiro algarismo descartado for  5 
  não se acrescenta nada 
4,5231321 g  4,52 g 
Profa.Cristiane Portella 12 
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 Se o primeiro algarismo descartado for = 5 e 
 os posteriores forem  de zero  aumenta 1 
unidade 
4,5557 ou 4,5552  4,56 g 
4,52I501 -> 4,53 g 
 os posteriores forem = 0, devemos olhar para o 
anterior: 
 Se for par permanece como está 
4,52500  4,52 
 Se for impar aumenta uma unidade 
4,57500  4,58 
Regras de 
Arredondamento 
Profa.Cristiane Portella 13 
 
 12,24438  
 12,24738  
 12,24500  
 12,23500  
 12,245000001  
12,24 
12,25 
12,24 
12,24 
12,25 
Arredondamento 
1) Arredondar para 2 casas decimais. 
 
(infinitos zeros após 5) 
(infinitos zeros após 5) 
Profa.Cristiane Portella 14 
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 Fator limitante: número com menor quantidade de casas 
decimais. 
 
 21,452 Fator limitante -> 2,1 
 + 2,1 
 23,6 
Operações 
Adição e Subtração 
Profa.Cristiane Portella 15 
 
 Ex.: 85,45 m + 56 m + 98,523 m = 239,973 
 
 
Fator Limitante  nenhuma casa decimal! 
 Logo, a resposta final é ! 
R: 240 m 
Operações 
Adição e Subtração 
Profa.Cristiane Portella 16 
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IMPORTANTE 
 Colocar os números na mesma potência para avaliação 
dos algarismos significativos 
 Exemplo: 
 Calcular 0,00251 + 2,3x10-3 = 
 Mesma potência 2,51x10-3 + 2,3x10-3 = 
 Resposta intermed. 4,81x10-3 
 Fator Limitante 1 casa decimal 
 Logo, resposta final 
4,8 x 10-3 
 
Operações 
Adição e Subtração 
Profa.Cristiane Portella 17 
 Fator limitante: número com menor quantidade de 
algarismos significativos. 
 
 Ex.: 1,72 x 0,21 = 0,3612 
 Fator limitante → 0,21 
 Logo, reportar com 2 algarismos 
significativos! 
 1,72 x 0,21 = 0,36 
Operações 
Multiplicação e Divisão 
Profa.Cristiane Portella 18 
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 Ex.: 
 
89 m2 / 5,469 m = 16,27354178095 m 
 
Fator Limitante  2 Algarismos Significativos 
 
Logo, a resposta final é ! 
Operações 
Multiplicação e Divisão 
R: 16 m. 
Profa.Cristiane Portella 19 
 Em operações em cadeia (passo a passo) fazer as 
operações separadamente e usar um algarismo 
significativo a mais nos cálculos intermediários. 
 Arredondar, no final para o número de algarismos 
significativos corretos. 
 Por exemplo: A x B x C 
 onde A = 2,34, B = 5,58 e C = 3,02 
 
A x B = 2,34 x 5,58 = 13,06 
(arredondar com 1 significativo a mais) 
13,06 x 3,02 = 39,4412 
3 Algarismos Significativos: 39,4412  
 
Operações em Cadeia 
39,4 
Profa.Cristiane Portella 
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4,0 x2 + 1,52 .10-5 x – 2,3 . 10-8 = 0 
x = - 1,52 .10-5 + raiz [(1,52 .10-5)2 – 4 . 4,0 (-2,3 . 10-8)] 
 2 . 4,0 
= - 1,52 .10-5 + raiz [(2,310 .10-10 + 3,68 .10-7)] 
 8,00 
= - 1,52 .10-5 + raiz [(0,002310 .10-7 + 3,68 .10-7)] 
 8,00 
= - 1,52 .10-5 + raiz [3,682 .10-7] 
 8,00 
= - 1,52 .10-5 + 6,0679 .10-4 
 8,00 
= - 0,152 .10-4 + 6,0679 .10-4 
 8,00 
= 5,9159 .10-4 x = 7,39 . 10-5  
 8,00 
 
Equações de 2° Grau 
7,4 x 10-5 
 
x = b ±b2 -4. a.c 
2a 
Profa.Cristiane Portella 
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 Mantissa: números que seguem a vírgula de um resultado de 
um logarítmo (decimal ou natural). 
log 2,45 x 1012 = 12,389 
 
Mantissa 
 Regra para Algarismos significativos 
 A mantissa do resultado de um logaritmo decimal ou neperiano 
tem o mesmo número de algarismos significativos que o 
número original. 
log 2,45 x 1012 = 12,3892 = 12,389 
 Um anti-logaritmo comum de um número tem o mesmo número 
de algarismos significativos que a mantissa do número original. 
100,389 = 2,45 
1012,389 = 1012 x 100,389 = 1012 x 2,449063241844,74 = 2,45 x 1012 
Logarítmo 
Profa.Cristiane Portella 
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 Quando multiplicamos ou dividimos valores medidos por 
um número inteiro ou exato, a incerteza do resultado é 
dada pelo valor medido. 
 
 
 A média de 12,31 g e 12,44 g é: 
 (12,31 g + 12,44 g)/ 2 = 12,38g 
 
 A massa de 3 objetos iguais é: 
 3 x 3,45 g = 10,4 g 
 
 Os números 2 e 3 são designados números puros, não 
afetando o número de algarismos significativos nas regras 
de cálculo. 
Números Inteiros 
Profa.Cristiane Portella 
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 Coeficientes estequiométricos são considerados números 
exatos. 
 
 Para conversão de unidades: 
 1 g = 1x103 mg; 
 1 m = 1x102 cm; 
 760 mmHg = 1,00 atm 
 
 Se pH + pOH = 14 (14 = número inteiro) 
 14 - 9,78 = 4,22 
Números Inteiros 
Profa.Cristiane Portella 24 
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 Muitas vezes é necessário colocar um número em notação 
cientifica para ajustar os algarismos significativos. 
 
 A fórmula geral de um número em notação científica é: 
A x 10n sendo 1  A  9 
 
 3456,45 = 3,45645x103 Não usar 34,5645 x102 
 0,0024738 = 2,4738 x10-3 Não usar 24,73 x10-4 
 
Notação Científica 
Profa.Cristiane Portella 25 
 
1)Calcule: 
 
a. 2,5401 + 0,57 + 253,1 = e. pH = - log [0,0037] 
 R = 256,2 pH = 2,43 
 
 
b. (0,55 / 231,22 ) / (25,00 x 10-3 ) = f. 103,45 = 
 (2,38 x 10-3) / 25,00 x 10-3 R = 2,8 x 103 
 R = 0,095 
 
c. (4,80x104 )(10/1000) = 
 (4,80x104 )( 1,0 x 10-2) 
 R = 4,8 x 102 
 
d. 25,6598 + 37,4 = 
 R = 63,1 
Exercícios de Algarismos Significativos 
Profa.Cristiane Portella 26 
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Exercícios 
2)Efetue os seguintes cálculos e dê o resultado com o número correto de 
algarismos significativos. 
 
a) 8,71 x 0,0301 / 0,056 
b) 0,71 + 81,8 
c) 934 x 0,00435 + 107 
d) (847,89 – 847,73) x 14.673 
e) 0,871 x 0,23 / 5,871 
f) 8937 – 8930 
g) 8937 + 8930 
h) 0,00015 x 54,6 + 1,002 
a) Resp. 4,7 
b) Resp. 82,5 
c) Resp. 111 
d) Resp. 2,3 10^3 
e) 0,034 
f) 7 
g) 17867 
h) 1,010 Profa.Cristiane Portella 27 
 Exemplo: X = teor de cloreto em uma solução com valor 
verdadeiro () = 5,0 g L-1. 
 
Amostra: x1 = 4,9 g L-1 
 x2 = 5,1 g L-1 
 x3 = 4,7 g L-1 
 x4 = 5,0 g L-1 
 
A média x obtida pode ser igual ou não ao . 
 
Erro = x -  
Estatísticas - Conceitos 
Profa.Cristiane Portella 28 
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Estatísticas - Conceitos 
 Queremos o valor  (valor verdadeiro). 
 
 Como sabemos que este valor pode não ser 
atingido pela estimativa x, precisamos 
conhecer o desvio padrão, s, do sistema de 
medição. 
 
Profa.Cristiane Portella 29 
Papel da estatística 
 Só podemos chegar perto do valor 
verdadeiro, , com um bom sistema de 
medição (que garanta exatidão) e com 
um grande número de repetições (para 
ter precisão). 
 
 A Estatística ajuda a ter maior 
confiabilidade com menor esforço. 
Profa.Cristiane Portella 30 
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Desvio Padrão 
Média 
Profa.Cristiane Portella 31 
Desvio Padrão Relativo 
DPR ou RSD (relative standard deviation) 
 
DPR = s 
 
 X 
 
 
Ex: 2,16 / 4,00 = 0,540 x 100 = 54,0 % 
Profa.Cristiane Portella 32 
02/03/2016 
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Causas da Variabilidade dos Resultados 
Os 5 M´s 
 Mão de obra: pessoal treinado, habilitado, motivado... 
 
Meio ambiente: temperatura, voltagem da rede, iluminação ... 
 
Máquinas: manutenção, calibração, sensibilidade... 
 
Método: normas, procedimentos, interferentes... 
 
Materiais: reagentes, vidraria, material de referência... 
Profa.Cristiane Portella 33 
Calculando o Erro 
Profa.Cristiane Portella 34 
Erro absoluto 
É a diferença em módulo entre o valor exato e o valor aproximado. 
 
 
 
Erro relativo 
É a razão entre o erro absoluto e o valor exato do número. 
 
 
 
Erro percentual relativo 
É o erro relativo expresso em percentagem. 
 
 
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 Erros Grosseiros: inabilidade do analista e 
são provenientes de enganos 
 
 Ex.: Uso inadequado de instrumentos. 
 
 
Erro Grosseiros 
Profa.Cristiane Portella 35 
Erro Aleatórios 
 
 
 Podem ser controlados, mas não eliminados. 
 
 Provêm de causas desconhecidas,(porém algumas 
vezes é conhecida) e inevitáveis. 
 
 Afetam a precisão do resultado. 
 
 Ex.: Flutuações na rede elétrica, 
 
 Variação da temperatura ambiente. 
 
Profa.Cristiane Portella 36 
02/03/2016 
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Seu sinal é sempre positivo ou sempre negativo; 
 
Suas causas são identificáveis e podem ser eliminadas 
pelo próprio operador. 
 
Podem afetar a exatidão do resultado; 
 
Ex.: Contaminação de reagente; 
Descalibração de instrumento de medição; 
Descontrole do sistema de aquecimento da estufa; 
Perda de parte da porção analisada; 
Erro de leitura na bureta. 
Erros Sistemáticos 
Profa.Cristiane Portella 37 
Exatidão 
É o grau de concordância ou 
compatibilidade entre valor médio obtido 
de uma série de resultados e o valor de 
referência aceito. 
 
Resultado exato é o resultado ideal sem 
erro sistemático. 
Profa.Cristiane Portella 38 
02/03/2016 
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Precisão 
É o grau de concordância entre resultados de medições 
independentes (replicata), em torno de um valor 
central, efetuadas várias vezes em uma amostra 
homogênea, sob condições experimentais pré 
estabelecidas. 
 
A precisão é medida indiretamente, através do seu 
inverso, que é a imprecisão. A imprecisão é 
quantificada pelo desvio padrão. 
 
Quanto menor o desvio padrão, maior a precisão. 
Profa.Cristiane Portella 39 
Exatidão e Precisão 
Profa.Cristiane Portella 40 
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Boa Precisão má exatidão 
Má Precisão Boa exatidão 
Boa Precisão Boa exatidão 
Má Precisão Má exatidão 
3) Olhando para figura diga se o método de ensaio tem uma 
boa ou má precisão e se tem uma boa ou má exatidão. 
Profa.Cristiane Portella 
41