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RACIOCÍNIO
LÓGICO E
MATEMÁTICO
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
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Sistemas De Numeração
Os sistemas de numeração são usados para representar a quantidade de determinados elementos. O
sistema mais usado pelas pessoas é o decimal. Esse sistema é formado por 10 algarismos. Para a
eletrônica digital e sistemas de computação os sistemas binário, hexadecimal e octal são muito utiliza-
dos.
Entender as diferentes formas de representação numérica é muito importante para se trabalhar com
eletrônica e programação. A seguir apresentaremos os detalhes de cada um desses sistemas de nu-
meração mencionados.
Sistema De Numeração Decimal
O sistema de numeração decimal utiliza 10 algarismos para sua representação: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
e 9.
Para formar um número, associa-se um ou mais algarismos, e a posição de cada algarismo terá um
peso de uma potência de 10. Dessa forma temos as unidades, dezenas, centenas e milhares. Cada
posição terá um peso na representação:
Figura 1 – Representação de um número em base 10
Como exibido na figura acima, o sistema decimal é representado na base 10 e cada posição é múltiplo
de uma potência de 10. A seguir são apresentados alguns exemplos:
Número 523:
Número 8079:
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Sistema De Numeração Hexadecimal
O sistema de numeração hexadecimal utiliza 16 algarismos para sua representação: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. Assim como no sistema decimal, a associação dos algarismos representam
diferentes números e a posição do algarismos será um múltiplo de potência de 16. Assim, o sistema
hexadecimal é um sistema de base 16. Podemos fazer uma relação entre o sistema hexadecimal e o
sistema decimal, como exibido na tabela abaixo:
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A seguir é exibida a representação de um número hexadecimal:
Figura 2 – Representação de um número em base 16
Como exibido figura acima, o sistema hexadecimal é representado na base 16 e cada posição é múltiplo
de uma potência de 16. A seguir são apresentados alguns exemplos:
Número 1FH:
Número ABCH:
Sistema de numeração Octal
O sistema de numeração octal utiliza 8 algarismos para sua representação: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Assim,
o sistema octal possui base 8. A seguir é apresentada a representação de um número octal:
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Figura 3 – Representação de um número em base 8
Como exibida figura acima, o sistema octal é representado na base 8 e cada posição é múltiplo de uma
potência de 8. A seguir são apresentados alguns exemplos:
Número 1238:
Sistema de numeração binário
O sistema de numeração binário utiliza apenas dois algarismos para sua representação: 0 e 1. Assim
é um sistema de base 2. Ele é muito usado para representação de valores em sistemas digitais. O seu
conhecimento é muito importante para a área de eletrônica. A seguir é apresentada sua representação:
Figura 4 – Representação de um número em base 2
Como exibido figura acima, o sistema binário é representado na base 2 e cada posição é múltiplo de
uma potência de 2. A seguir são apresentados alguns exemplos:
Número 102:
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CONJUNTOS NUMÉRICOS
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Conjuntos Numéricos
Os Números Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12...}
são números inteirospositivos (não-negativos) que se agrupam num conjunto chamado
de N, composto de um número ilimitado de elementos.
Quando o zero não faz parte do conjunto, é representado com um asterisco ao lado da letra N e,
nesse caso, esse conjunto é denominado de Conjunto dos Números Naturais Não-Nulos: N* = {1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}.
• Conjunto dos Números Naturais Pares = {0, 2, 4, 6, 8...}
• Conjunto dos Números Naturais Ímpares = {1, 3, 5, 7, 9...}
O conjunto de números naturais é infinito. Todos possuem um antecessor (número anterior) e um
sucessor (número posterior), exceto o número zero (0). Assim:
• o antecessor de 1 é 0 e seu sucessor é o 2;
• o antecessor de 2 é 1 e seu sucessor é o 3;
• o antecessor de 3 é 2 e seu sucessor é o 4;
• o antecessor de 4 é 3 e seu sucessor é o 5.
Cada elemento é igual ao número antecessor mais um, exceptuando-se o zero. Assim, podemos
notar que:
• o número 1 é igual ao anterior (0) + 1 = 1;
• o número 2 é igual ao anterior (1) + 1 = 2;
• o número 3 é igual ao anterior (2) + 1 = 3;
• o número 4 é igual ao anterior (3) + 1 = 4.
A função dos números naturais é contar e ordenar. Nesse sentido, vale lembrar que os homens,
antes de inventarem os números, tinham muita dificuldade em realizar a contagem e ordenação das
coisas.
O conjunto dos números naturais é formado por todos os números inteiros não negativos. Em
outras palavras, todo número que é inteiro e positivo é natural, além disso, como o zero é inteiro,
mas não é negativo, ele também é um número natural.
Assim, a lista dos números naturais é a seguinte:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …
E assim por diante, seguindo esse mesmo padrão de formação.
Note que essa sequência numérica é a que usamos para contar. Cada um desses símbolos
representa uma quantidade, portanto, partindo do nada, uma unidade, duas unidades etc. Uma outra
maneira de representar esse conjunto é usando a notação específica para conjuntos, na qual as
reticências significam que a sequência continua nessa mesma ordem e padrão de formação:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
Nessa notação, N é o símbolo que representa o conjunto dos números naturais.
A ideia de sucessor
O conjunto dos números naturais é formado apenas por números inteiros e não contém números
repetidos, por isso, é possível escolher, entre dois números naturais distintos, aquele que é maior e
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aquele que é menor. Quando um número natural x é maior do que um número natural y em uma
unidade, dizemos que x é sucessor de y. Assim:
x é sucessor de y se x + 1 = y
Se olharmos na lista dos números naturais, colocada em ordem crescente, o sucessor de um
número natural n é sempre o próximo número à sua direita. Logo:
O sucessor de 7 = 8
O sucessor de 20 = 21
etc.
Perceba também que todo número natural possui sucessor, assim, o sucessor do zero é 1, o
sucessorde 1 é 2 …
Essa característica garante que, independentemente do número natural escolhido, e por maior que
ele seja, sempre existirá um número natural uma unidade maior que ele. Portanto, o conjunto dos
números naturais é infinito.
A ideia de antecessor
Quando um número natural x é menor que um número natural y em uma unidade, dizemos que x é
o antecessor de y. Assim:
x é antecessor de y se x – 1 = y
Olhando a lista de números naturais em ordem crescente, verificamos que o antecessor de um
número natural n é o número à sua esquerda. Logo:
O antecessor de 7 = 6
O antecessor de 20 = 19
etc.
Nem todo número natural possui antecessor. Na realidade, apenas o zero não possui, pois ele é o
primeiro número natural e também porque 0 – 1 = – 1, que não é um número natural. Assim sendo,
concluímos que o conjunto dos números naturais é limitado.
Sim, é possível que um conjunto seja limitado e infinito ao mesmo tempo. O conjunto
dos números naturais é limitado inferiormente pelo zero, mas ilimitado superiormente e, por isso, é
infinito.
Subconjuntos dos números naturais
O conjunto dos números naturais possui alguns subconjuntos muito conhecidos:
1 – Conjunto dos números primos (P): é formado por todos os números que são divisíveis apenas
por 1 e por si mesmo.
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
2 – Conjunto dos números compostos (C): é formado por todos os números que não são primos.
C = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, …}
3 – Conjunto dos quadrados perfeitos (Q): é formado por todos os números que são resultados de
uma potência em que o expoente é 2.
Q = (1, 4, 9, 16, 25, 36, …)
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Números Inteiros
Os números inteiros são os números reais, positivos e negativos, representados no conjunto da
seguinte maneira:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Os pontos significam a infinidade dos números anteriores e posteriores existentes.
O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z (maiúscula).
Os números inteiros negativos são sempre acompanhados pelo sinal (-), enquanto os números
inteiros positivos podem vir ou não acompanhados de sinal (+).
O zero é um número neutro, ou seja, não é um número nem positivo e nem negativo.
Assim, a relação de inclusão no conjunto dos inteiros envolve o conjunto dos números naturais (N)
junto com os números negativos.
Classificação dos Números Inteiros (Z)
• Inteiros não-nulos: todos os números inteiros, com exceção do zero.
• São representados pelo acréscimo do '*' ao lado do Z: Z* = {-3,-2,-1, 1, 2, 3, 4, ...}
• Inteiros não-negativos: todos os números inteiros, com exceção dos negativos.
• São representados pelo acréscimo do '+' ao lado do Z: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
• Inteiros não-positivos : todos os números inteiros, com exceção dos positivos.
• São representados pelo acréscimo do '-' ao lado do Z: Z_= {..., -4,-3,-2,-1, 0}
• Inteiros positivos: todos os números inteiros, com exceção dos negativos e do zero.
• São representados pelo acréscimo de '*' e '+' ao lado do Z: Z*+ = {1,2,3,4, 5...}
• Inteiros negativos: todos os números inteiros, com exceção dos positivos e do zero.
• São representados pelo acréscimo de '*' e '-' ao lado do Z: Z*_= {..., -4,-3,-2,-1}
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Operações entre Números Inteiros
O conjunto dos números inteiros é formado pelos algarismos inteiros positivos e negativos e o zero.
Eles são importantes para o cotidiano, principalmente nas situações envolvendo valores negativos,
como escalas de temperatura, saldos bancários, indicações de altitude em relação ao nível do mar,
entre outras situações. As adições e subtrações envolvendo estes números, requerem a utilização de
regras matemáticas envolvendo os sinais positivos (+) e negativos (–). Devemos também dar ênfase
ao estudo do módulo de um número, que significa trabalhar o valor absoluto de um algarismo,
observe:
Vamos determinar o módulo dos números a seguir:
Módulo de + 4 = |+4| = 4
Módulo de –6 = |–6| = 6
Módulo de –10 = |–10| = 10
Módulo de +20 = |+20|=20
Adição e subtração de números inteiros sem a presença de parênteses.
1ª propriedade → sinais iguais: soma e conserva o sinal.
2ª propriedade → sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do número de maior módulo.
+ 5 + 6 = + 11 →1ª propriedade
+ 9 + 10 = +19 → 1ª propriedade
– 6 + 2 = – 4 → 2ª propriedade
+ 9 – 7 = +2 → 2ª propriedade
– 3 – 5 = –8 →1ª propriedade
–18 – 12 = –30 → 1ª propriedade
Adição e subtração de números inteiros com a presença de parênteses.
Para eliminarmos os parênteses devemos realizar um jogo de sinal, observe:
+ ( + ) = +
+ ( – ) = –
– ( + ) = –
– ( – ) = +
Após a eliminação dos parênteses, basta aplicarmos a 1ª ou a 2ª propriedade.
+ (+9) + (–6) → + 9 – 6 → + 3
– (– 8) – (+6) → +8 – 6 → +2
+ (– 14) – (– 8) → –14 + 8 → – 6
– (+ 22) − (– 7) → –22 + 7 → –15
– ( + 9 ) + (– 12) → – 9 – 12 → – 21
O conjunto dos Números Naturais N
O conjunto dos números naturais, inicialmente composto por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9... O primeiro povo
a fazer a representação do zero, os babilônios, a fizeram há mais de dois milênios antes de Cristo.
Hoje, temos este conjunto formado da seguinte maneira: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}. A partir
destes elementos podemos formar infinitas quantidades, apenas agrupando-os de maneira que cada
um represente determinado valor de acordo com a sua posição.
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É importante destacar, que o nosso sistema de numeração é decimal, isto é, a cada dez unidades
formaremos uma dezena, a cada dez dezenas formaremos uma centena, a cada dez centenas
formaremos um milhar, e assim sucessivamente.
Ancorando-se nos valores posicionais, podemos escrever números astronômicos e saber o que cada
um dos seus algarismos de composição representa naquele contexto. Vejamos um exemplo de
análise dos valores dos algarismos componentes de certo número.
Observem detalhadamente, que no número 2568, o algarismo 2 tem valor 2000, o 5 vale 500, o 6
vale 60 e 8 vale 8. Tudo isso se dá de acordo com a posição ocupada por cada um: o 8 ocupa a casa
das unidades simples, por isso vale apenas 8 unidades; o 6 ocupa a casa das dezenas, valendo 6
dezenas (6 x 10), 60 unidades; o 5 ocupa a casa das centenas, valendo 5 centenas (5 x 100), 500
unidades; e, por fim, o 2 ocupa a casa das unidades de milhar, valendo 2 milhares (2 x 1000), 2000
unidades.
Uma conclusão imediata deste fato é uma curiosidade que intriga a cabeça dos que com ela se
depara. Imagine se alguém lhe perguntasse “quem é maior: 1 ou 3?” Os apressados responderiam “3,
é claro”. Mas até que ponto isso está correto? Bem, a melhor resposta, ou pelos menos a mais
cautelosa, seria responder que para saber se 1 é maior ou menor que 3 seriamos obrigados a saber
do contexto no qual eles estão inseridos, por exemplo: no número 321, o 3 é maior que o 1, pois
enquanto o três representa 3 centenas, o 1 representa apenas uma unidade simples; já no caso do
número123, enquanto o 1 representa uma centena, o 3 representa apenas 3 unidades simples,
sendo, portanto, 1 maior que 3. Veja a resposta ideal:
- Marcos, quem é maior, o 3 ou o 1?
- Isso depende, Paulo. Antes que eu responda, preciso saber em qual número eles estão inseridos.
Podemos ainda representar um subconjunto dos Números Naturais utilizando a linguagem moderna
dos conjuntos. Este seria o conjunto dos Números Naturais Não-Nulos: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9...}. Neste novo conjunto, apenas omitimos a presença do zero.
Destaco também algumas características do conjunto dos Números Naturais, dentre elas temos: a
multiplicação é sempre permitida neste conjunto – toda multiplicação ou adição entre números
naturais resulta sempre outro número natural; a divisão nem sempre é permitida dentro deste
conjunto – nem toda divisão entre naturaisresulta em outro número natural (1/2, 3/5, 5/9 etc.); a
subtração nem sempre é permitida em N – nem toda subtração entre naturais resulta em um número
natural (1 - 2, 6 - 9, 5 - 8).
Muitas representações já foram feitas dos Números Naturais. Cada povo os representava de acordo
com os seus sistemas de escrita, suas interpretações das quantidades e dos recursos disponíveis à
época. A forma como escrevemos esses números hoje foi criada na Índia e difundida na Arábia,
sendo, por isso, chamados de Números Indo-Arábicos.
Últimas Considerações
Dá pra ver que a matemática sempre esteve, assim como qualquer outra ciência, a favor do homem
em suas tomadas de decisões e nas resoluções de problemas. Os artifícios matemáticos que
conhecemos hoje, e que achamos tão simples de compreender, foram criados numa época em que
as estruturas basilares do conhecimento, que nos levam a profundas interpretações, eram muito
escassas, mas nem por isso o homem deixou de criar, de inventar.
Somos uma espécie dotada de tanta sabedoria e inteligência, porém nem mesmo somos capazes de
medir essas características estampadas em nós mesmos. O fato é que raciocinamos, refletimos,
comparamos e relacionamos. Tudo isso em campos reais ou fictícios, através de um poder de
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2011/01/numeros-naturais1.jpg
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conversão do abstrato a ideias palpáveis, facilmente compreendidas sem muito esforço por leitores
secundários.
Através da matemática, e do raciocínio aguçado que o seu estudo nos traz, podemos desenvolver
ainda mais as percepções desse mundo de complexidades e realidades ainda pouco exploradas.
Podemos nos fortalecer como intelectuais, autoridades naquilo que nos propusermos a defender,
proprietários de um vasto conhecimento e compartilhadores dos saberes adquiridos ao longo das
várias jornadas acadêmicas.
Relação de Ordem
Sejam a e b dois números reais quaisquer. Dizemos que a é menor que b e escrevemos ,
quando é positivo. Geometricamente, isto significa que o número a está à esquerda do
número b na reta numerada. Equivalentemente, dizemos que b é maior que a e escrevemos b > a .
Logo, somente três casos podem acontecer: ou , ou ou .Neste sentido
dizemos que o conjunto dos números reais é ordenado. O símbolo , lê-se a é menor ou
igual a b , (ou b a, lê-se b é maior ou igual a a ) significa que ou a < b ou a = b ( b > a ou b = a ).
Se a , b e c são números reais, podemos demonstrar que:
( i ) Se a < b e b < c então a < c .
( ii ) Se a < b então .
( iii ) Se e então .
( iv ) Se e c > 0 então .
( v ) Se a < b e c < 0 então a c > b c .
( vi ) Se 0 < a < b então .
Regras de Divisibilidade
Dentre as propriedades operatórias existentes na Matemática, podemos ressaltar a divisão, que
consiste em representar o número em partes menores e iguais. Para que o processo da divisão
ocorra normalmente, sem que o resultado seja um número não inteiro, precisamos estabelecer
situações envolvendo algumas regras de divisibilidade. Lembrando que um número é considerado
divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero.
Regras de divisibilidade
Divisibilidade por 1
Todo número é divisível por 1.
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Divisibilidade por 2
Todo número par é divisível por 2, para isto basta terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplo:
24 : 2 = 12
132 : 2 = 66
108 : 2 = 54
1024 : 2 = 512
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de 3.
Exemplo:
33 : 3 = 11, pois 3 + 3 = 6
45 : 3 = 15, pois 4 + 5 = 9
156 : 3 = 52, pois 1 + 5 + 6 = 12
558 : 3 = 186, pois 5 + 5 + 8 = 18
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando for par e a metade do último algarismo adicionado ao penúltimo
for um número par ou terminar com zero nas duas últimas casas. Exemplo:
48 : 4 = 12, pois 8/2 + 4 = 8
288 : 4 = 72, pois 8/2 + 8 = 12
144 : 4 = 36, pois 4/2 + 4 = 6
100 : 4 = 25, pois possui na última e antepenúltima casa o algarismo 0.
Divisibilidade por 5
É todo número terminado em 0 ou 5.
25 : 5 = 5
100 : 5 = 20
555 : 5 = 111
75 : 5 = 15
Divisibilidade por 6
São todos os números divisíveis por 2 e 3 no mesmo instante.
24 : 6 = 4, pois 24 : 2 = 12 e 24 : 3 = 8
36 : 6 = 6, pois 36 : 2 = 18 e 36 : 3 = 12
132 : 6 = 22, pois 132 : 2 = 66 e 132 : 3 = 44
564: 6 = 94, pois 564 : 2 = 282 e 546 : 3 = 188
Divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 quando estabelecida a diferença entre o dobro do último e os demais
algarismos, constituindo um número divisível por 7. Exemplo:
161 : 7 = 23, pois 16 – 2*1 = 16 – 2 = 14
203 : 7 = 29, pois 20 – 2*3 = 20 – 6 = 14
294 : 7 = 42, pois 29 – 2*4 = 29 – 8 = 21
840 : 7 = 120, pois 84 – 2*0 = 84
Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando termina em 000 ou os últimos três números são divisíveis por 8.
Exemplo:
1000 : 8 = 125, pois termina em 000
208 : 8 = 26, pois os três últimos são divisíveis por 8
Divisibilidade por 9
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Será divisível por 9 todo número em que a soma de seus algarismos constitui um número múltiplo de
9. Exemplo:
81 : 9 = 9, pois 8 + 1 = 9
1107 : 9 = 123, pois 1 + 1 + 0 + 7 = 9
4788 : 9 = 532, pois 4 + 7 + 8 + 8 = 27
Divisibilidade por 10
Todo número terminado em 0 é divisível por 10.
100 : 10 = 10
500 : 10 = 50
500 000 : 10 = 50 000
2000 : 10 = 200
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 nas situações em que a diferença entre o último algarismo e o número
formado pelos demais algarismos, de forma sucessiva até que reste um número com 2 algarismos,
resultar em um múltiplo de 11. Como regra mais imediata, todas as dezenas duplas (11, 22, 33, 5555,
etc.) são múltiplas de 11.
1342 : 11 = 122, pois 134 – 2 = 132 → 132 – 2 = 11
2783 : 11 = 253, pois 278 – 3 = 275 → 27 – 5 = 22
7150: 11 = 650, pois 715 – 0 = 715 → 71 – 5 = 66
Divisibilidade por 12
Se um número é divisível por 3 e 4, também será divisível por 12.
192 : 12 = 16, pois 192 : 3 = 64 e 192 : 4 = 48
672 : 12 = 56, pois 672 : 3 = 224 e 672 : 4 = 168
Divisibilidade por 15
Todo número divisível por 3 e 5 também é divisível por 15.
1470 é divisível por 15, pois 1470:3 = 490 e 1470:5 = 294.
1800 é divisível por 15, pois 1800:3 = 600 e 1800:5 = 360.
Máximo divisor comum (mdc)
O máximo divisor comum é o maior divisor entre dois números, para identificar esse máximo
divisor é necessário realizar um processo de fatoração.
Para estudarmos o máximo divisor comum entre dois termos, precisamos saber o que é divisor de um
número. Todo número natural possui divisores, isto é, se ao dividirmos um número A pelo número B e
obtermos resto zero podemos afirmar que B é divisor de A. Por exemplo:
16 : 2 é igual a 8 e resto 0.
25 : 5 é igual a 5 e resto 0.
Podemos concluir que 2 e 5 são divisores de 16 e 25 respectivamente.
Exemplos de divisores de um número:
Divisores de:
32 = 1, 2, 4, 8, 16, 32
15 = 1, 3, 5, 15
45 = 1, 3, 5, 9, 15, 45
O MDC entre dois ou mais números é o maior divisor comum a eles.
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Exemplos:
MDC(12,36)
Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisores de 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Podemos verificar que o maior divisor comum entre 12 e 36 é o próprio 12.
MDC(18,24,54)
Divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18
Divisores de 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Divisores de 54 = 1, 2, 3, 6, 18, 27, 54
O maior divisor comum a 12, 24 e 54 é o 6.
Processo prático para a obtenção do máximo divisor comum
MDC(12,36)
Os números destacados na fatoração estão dividindo os dois números ao mesmo tempo, então
devemos realizar uma multiplicação entre eles para descobrirmos o máximo divisor comum.
2 x 2 x 3 = 12
MDC(12,36) = 12
MDC(70,90,120)
O máximo divisor comum a 70, 90 e 120= 2 x 5 = 10
Mínimo Múltiplo Comum
Para entendemos o que é mínimo múltiplo comum, temos que saber achar os múltiplos de um
número.
Por exemplo, quais são os múltiplos de 2?
São todos os números que resultam da multiplicação de um número natural por 2. Veja:
2 x 1 = 2 → 2 é múltiplo de 2.
2 x 5 = 10 → 10 é múltiplo de 2.
2 x 12 = 24 → 24 é múltiplo de 2.
2 x 30 = 60 → 60 é múltiplo de 2
↓
Nº
Natural
E quando é dado um número como iremos fazer pra saber se esse número será múltiplo de 2,3,4,5,6,
e assim por diante?
Basta fazer a operação inversa à multiplicação: divisão. Veja:
• 1232 será múltiplo de 2?
Neste caso podemos usar a operação de divisão pra descobrir ou usar a regra seguinte:
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Todo número múltiplo de 2 tem que terminar em número par. Então 1232 termina em par, ele será
múltiplo de 2.
• 1232 será múltiplo de 3?
Como no múltiplo de 2 podemos utilizar a operação da divisão pra descobrir ou usar a seguinte
regra: todo número múltiplo de 3, a soma de seus algarismos resulta em um número múltiplo de 3.
Se somarmos os algarismos do número 1232 teremos 1+2+3+2 = 8. 8 não é múltiplo de 3, então
1232 também não vai ser.
• 1232 é múltiplo de 5?
Para descobrir se um número é múltiplo de 5 além de usar a operação da divisão, também podemos
utilizar uma regra: todo número múltiplo de 5 termina em 0 ou 5. Então 1232 termina em 2, assim não
é múltiplo de 5.
Para descobrir se 1232 é múltiplo de outros números devermos utilizar a divisão se essa operação
der exata (resto igual a zero) é por que ele será múltiplo.
Agora o que é mmc? Calculamos o mmc de 2 ou mais números. Consistem em achar o menor
múltiplo comum (tirando o zero) entre esses números. Por exemplo:
MMC(15, 20) = ?
Devemos em primeiro lugar acharmos os múltiplos de 15 e depois de 20.
M(15) = 15, 30, 45, 60, 75, 90, ...
M(20) = 20, 40, 60, 80, 100, ...
Observando os seus múltiplos vemos que o menor múltiplo comum é o 60, portanto:
MMC(15, 20) = 60.
Existe outro método para acharmos o mmc de números. Ele consiste em dividir os números por
números primos, veja como funciona.
Número primo é aquele número que é divisível apenas por um e por ele mesmo. Como
2,3,5,7,11,13,17,19,23, e assim por diante. É interessante ressaltar que o único número par primo é o
2, os outro são todos ímpares.
Para calcularmos o mmc(15,20) utilizando esse método ficará assim:
Dividimos o 15 e 20 apenas por números primos em seqüência. Pegamos os números primos 2, 2,3
,5 é multiplicamos: 2 x 2 x 3 x 5 = 60 então o mmc(15,20) = 60.
Decomposição em fatores primos
A fatoração está diretamente relacionada com a multiplicação, haja vista que os fatores são os
termos que multiplicamos para gerar o produto. Veja:
2 → fator 26 → fator
x 3 → fator x 7 → fator
6 → Produto 182 → Produto
CONJUNTOS NUMÉRICOS
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Os fatores primos da decomposição são obtidos por meio de divisões sucessivas. Recorde-se de
que, para um número ser primo, ele deve ser divisível somente por 1 e ele mesmo, logo, os números
2, 3, 5, 7 e 11 são primos. O número primo é considerado um fator quando ele for o divisor no
algoritmo da divisão. A estrutura do algoritmo da divisão é a seguinte:
Dividendo | Divisor
Resto Quociente
Realizando a divisão de 4 por 2, temos a seguinte situação:
Utilizando as divisões sucessivas, obtemos a fatoração completa, que representa a decomposição de
um número em fatores primos. Veja um exemplo de divisões sucessivas do número 112 e, em
seguida, a fatoração completa.
Exemplo: Decomponha o número 112 em fatores primos:
112| 2
0 56 | 2
0 28 | 2
0 14 | 2
0 7 | 7
0 1
Toda vez que for realizar a decomposição de um número em fatores primos, lembre-se de que o
divisor sempre será um número primo e a ordem de sucessão desses divisores, que são fatores, é
crescente. Mudamos o número primo do divisor somente quando não é mais possível utilizá-lo na
divisão. No exemplo acima, houve a mudança do divisor de número 2 para sete, uma vez que o
dividendo passou a ser o sete e o único divisor para 7 é o próprio 7.
Ainda sobre o exemplo acima, a fatoração completa de 121 é:
112 = 2 . 2 . 2 . 2 . 7 = 24 . 7
Além da estrutura do algoritmo da divisão, existe outra que pode ser utilizada para fatorar um número.
Veja os três exemplos a seguir:
Exemplo: Encontre a forma fatorada completa dos números 234, 180 e 1620:
234|2
117|3
39|3
13|13
1|
A forma fatorada completa do número 234 é: 2 . 3 . 3 . 13 = 2 . 32 . 13
Observe que todos os fatores são números primos e que a sucessão dos fatores acontece de forma
crescente.
180|2
90|2
45|3
15|3
5|5
1|
CONJUNTOS NUMÉRICOS
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A forma fatorada completa do número 180 é: 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 22 . 32 . 5
Todos os termos que compõem a fatoração são números primos.
1620|2
810|2
405|3
135|3
45|3
15|3
5|5
1|
A forma fatorada completa do número 1620 é: 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 3 . 5 = 22 . 34 . 5
Todos os números que compõem a fatoração são primos.
Números racionais
O conjunto Q dos números racionais é formado por todos aqueles números que podem ser
expressos na forma de fração a/b, em que o e b são números inteiros e b é diferente de 0.
Ao calcular a expressão decimal de um número racional, dividindo o numerador pelo denominador,
obtêm-se números inteiros ou decimais.
Os números decimais podem ter:
• Um número finito de algarismos, número decimal exato, se os únicos divisores do denominador
forem 2 ou 5.
• Um número infinito de algarismos, que se repetem de forma periódica.
• a partir da vírgula, decimal periódico simples, se 2 ou 5 forem divisores do denominador;
• a partir do algarismo dos décimos, centésimos…, decimal periódico composto, se entre os
divisores do denominador estiver o 2 ou o 5 e houver, além desses, outros divisores.
Reciprocamente, qualquer número decimal exato ou periódico pode ser expresso na forma de fração.
Exemplo:
Expressar na forma de fração os seguintes números decimais:
CONJUNTOS NUMÉRICOS
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Representação canônica de um número racional
Dada uma fração, existem infinitas frações equivalentes a ela.
é o conjunto das frações equivalentes à fração irredutível .
Um conjunto de frações equivalentes representa um único número racional.
Cada fração do conjunto é um representante do número racional, e a fração irredutível com
denominador positivo é o representante canônico.
Assim, o número racional é formado pela fração e todas as suas equivalentes:
Todas elas são representantes do número racional .
Portanto, e o representante canônico.
Números irracionais
O conjunto I dos números irracionais é formado pelos números que não podem ser expressos em
forma de fração. São números cuja expressão decimal tem um número infinito de algarismos que não
se repetem de forma periódica.
Existem infinitos números irracionais: é irracional e, em geral, é irracional qualquer raiz não-
exata, como
também é irracional e podem-se gerar números irracionais combinando seus algarismos decimais;
por exemplo, o = 0,010010001… ou b = 0,020020002…
Com esses números, podem-se calcular soluções em equações do segundo grau (x2 = 2 —> x
= que não é racional), o comprimento de uma circunferência (C = 2 r, em que não é
racional) etc.
Teorema de Pitágoras
CONJUNTOS NUMÉRICOS
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Os números irracionais do tipo , sendo o um número natural, podem ser representados de
maneira exata na reta numérica utilizando-se o Teorema de Pitágoras; para os demais, calcula-se
sua expressão decimal e representa-se uma aproximação.
Exemplo:
Verificarse cada um dos seguintes números é racional ou irracional.
a) ; portanto, é um numero racional.
b) é um número irracional; se fosse um número racional poderia ser representado na forma de
uma fração irredutível: , em que a e b não têm fatores comuns.
que significa que a2 é divisível por b2, ou seja, têm divisores comuns,
contradizendo o fato de que a fração seja irredutível. Demonstra-se essa afirmação por absurdo.
Números complexos
Os números complexos formam um conjunto numérico que é mais abrangente que os números
reais. Eles surgiram após inúmeros estudos, sobretudo após tentativas de se resolver equações do
segundo e do terceiro grau. Nessa época, os matemáticos se depararam raízes quadradas de
números negativos, que não podem ser expressas no conjunto dos números reais. Assim, os
matemáticos passaram a denotar essas raízes usando a letra “i”. A base principal foi
adotar i=−1−−−√.
Definição
Quando vamos solucionar equações do tipo x2+1=0, nos deparamos com x=±−1−−−√. Como não
existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais, convencionou-se utilizar a
notação i2=−1 para representar esse número negativo. Com isso, o resultado da equação anterior
seria x=±i. Esse número “i” é conhecido como unidade imaginária.
Assim, um número complexo, que chamamos de Z, tem a forma
z=a+bi, a,b∈R
Chamamos o número a de parte real, Re(Z) = a, e b de parte imaginária, Im(Z) = b. Esta notação é
chamada de forma algébrica.
Adição de números complexos
A adição de números complexos é realizada através da adição dos termos semelhantes, ou seja,
somamos as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias. Sejam z1 e z2 dois
números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di.
Definiremos a adição de z1 e z2 da seguinte forma:
z1+z2=(a+bi)+(c+di)
z1+z2=(a+c)+(b+d)i
Exemplo:
Se z1=3+2i e z2=5−3i a soma será:
z1+z2=(3+5)+(2−3)i
CONJUNTOS NUMÉRICOS
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z1+z2=8−i
Subtração de números complexos
A subtração de números complexos é análoga à adição. Calculamos a diferença entre as partes reais
de cada número e depois as partes imaginárias.
Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di.
Definiremos a subtração de z1 e z2 da seguinte forma:
z1−z2=(a+bi)−(c+di)
z1−z2=(a−c)+(b−d)i
Exemplo:
Se z1=7+10i e z2=3+6i a diferença será:
z1−z2=(7−3)+(10−6)i
z1−z2=4−4i
Multiplicação de números complexos
Para multiplicar números complexos utilizamos o mesmo método adotado na expansão de um
produto notável, multiplicando cada termo do primeiro fator por todos os membros do segundo fator.
Assim:
Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di.
Definiremos a multiplicação de z1 e z2 da seguinte forma:
z1⋅z2=(a+bi)⋅(c+di)
z1⋅z2=(ac−bd)+(ad+bc)i
Exemplo:
Se z1=2+5i e z2=1+3i o produto será:
z1⋅z2=(2+5i)+(1+3i)
z1⋅z2=2⋅1+2⋅3i+5i⋅1+5i⋅3i
z1⋅z2=2+6i+5i+15i2
z1⋅z2=2+6i+5i+15⋅(−1)
z1⋅z2=2+6i+5i−15
z1⋅z2=(2−15)+(6+5)i
z1⋅z2=−13+11i
Divisão de números complexos
Para dividir números complexos multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor. O
conjugado de um número complexo z1=a+bi será z1=a−bi.
Sempre que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado, o denominador será um
número real.
Sejam z1 e z2 dois números complexos, tais que: z1=a+bi e z2=c+di
CONJUNTOS NUMÉRICOS
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Definiremos a divisão de z1 e z2 da seguinte forma:
z1z2=a+bic+di⋅c−dic−di
z1z2=(a+bi)⋅(c−di)c2−(di)2
z1z2=(ac−bd)+(ad+bc)ic2+d2=ac−bdc2+d2+ad+bcc2+d2i
Exemplo
Se z1=1+2i e z2=2+3i a divisão será:
z1z2=1+2i2+3i⋅2−3i2−3i
z1z2=(1+2i)⋅(2−3i)22−(3i)2
z1z2=8−i4+9=8−i13=813−113i
Argumento e módulo de um número complexo
Podemos representar um número complexo em um sistema de coordenadas. Esse sistema de
coordenadas é chamado de Plano de Argand-Gauss. É composto por dois segmentos de reta
perpendiculares. O segmento horizontal comporta as partes reais dos números complexos e o
segmento vertical, as partes imaginárias. Como exemplo, observe como será representado o número
complexo z=a+bi no Plano de Argand-Gauss:
O segmento de reta OZ é chamado de módulo do número complexo, representado por |z|. Na figura
abaixo, o ângulo entre o eixo Ox e o segmento OZ é chamado de argumento de Z, representado
por θ.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
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Argumento de Z
No Triângulo retângulo formado pelos vértices OâZ, temos que:
sen(θ)=b|z|
cos(θ)=a|z|
Sendo θ o argumento de Z.
Para encontrar o argumento de Z, podemos utilizar θ=arcsen(b|z|) ou θ=arcos(a|z|).
Módulo de Z
Aplicando o teorema de Pitágoras teremos:
(|z|)2=a2+b2
Então:
|z|=a2+b2−−−−−−√
Forma trigonométrica de um número complexo
Cada número complexo pode ser expresso em função do seu módulo e argumento. Quando isso
acontece dizemos que o número complexo está na forma trigonométrica ou polar.
Considere o número complexo z=a+bi, em que z ≠ 0,
Como vimos anteriormente:
sen(θ)=b|z|⟹b=|z|⋅sen(θ)
cos(θ)=a|z|⟹a=|z|⋅cos(θ)
Substituindo os valores de a e b no complexo z=a+bi.
z=a+bi
z=|z|⋅cos(θ)+|z|⋅sen(θ)i
z=|z|⋅(cos(θ)+i⋅sen(θ))
Produto de números complexos na forma polar
Considere dois números complexos na forma polar:
z1=|z1|⋅(cos(θ1)+i⋅sen(θ1))
z2=|z2|⋅(cos(θ2)+i⋅sen(θ2))
O produto entre será:
z1⋅z2=[|z1|⋅(cos(θ1)+i⋅sen(θ1))]⋅[|z2|⋅(cos(θ2)+i⋅sen(θ2))]
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)+i⋅sen(θ1))⋅(cos(θ2)+i⋅sen(θ2))
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)⋅cos(θ2)+cos(θ1)⋅i⋅sen(θ2)+i⋅sen(θ1)⋅cos(θ2)+i⋅sen(θ1)⋅i⋅sen(θ2))
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)⋅cos(θ2)+i⋅cos(θ1)⋅sen(θ2)+i⋅sen(θ0)⋅cos(θ2)+i2⋅sen(θ1)⋅sen(θ2))
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1)⋅cos(θ2)−sen(θ1)⋅sen(θ2)+i(sen(θ1)⋅cos(θ2)+sen(θ2)⋅cos(θ1)))
z1⋅z2=|z1|⋅|z2|⋅(cos(θ1+θ2)+i⋅sen(θ1+θ2))
CONJUNTOS NUMÉRICOS
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Assim, para multiplicar dois números complexos na forma polar, basta multiplicar seus módulos e
somar seus argumentos.
Exemplo:
Se z1=2(cos(π6)+i⋅sen(π6)) e z2=3(cos(π3)+i⋅sen(π3)):
z1⋅z2=2⋅3(cos(π6+π3)+i⋅sen(π6+π3))
z1⋅z2=6(cos(π2)+i⋅sen(π2))
Potência de um número complexo
Como vimos anteriormente, para multiplicar números complexos, basta multiplicar seus módulos e
somar seus argumentos.
Se multiplicarmos um número complexo Z por ele mesmo n vezes, teremos:
|z|⋅|z|⋅|z|⋅|z|⋅…⋅|z|=(|z|)n
e
θ+θ+θ+…+θ=n⋅θ
Assim, elevando Z a uma potência n, teremos que:
zn=(|z|)n⋅(cos(nθ)+i⋅sen(nθ))
Exemplo:
Calcular z3, sendo z=2(cos(π4)+i⋅sen(π4)).
z3=23(cos(3⋅π4)+i⋅sen(3⋅π4))
z3=8(cos(3π4)+i⋅sen(3π4))
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NÚMEROS RACIONAIS
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Números Racionais
Pertencem ao conjunto dos racionais os números positivos, negativos, decimais, frações e dízimas
periódicas. Representamos esse conjunto por meioda letra Q maiúscula:
Lê-se: O conjunto dos números racionais é igual a x, tal que x é igual a (a) sobre (b), (a) pertence ao
conjunto dos inteiros e (b) pertence ao conjunto dos inteiros com a ausência do zero.
É possível realizar as quatro operações com os números racionais. Entre essas operações, podemos
destacar:
• Soma de duas ou mais frações:
Para somar duas ou mais frações, é necessário que o denominador em todas as frações seja o
mesmo. Após verificar isso ou reduzir os denominadores a um mesmo valor por meio do Mínimo
Múltiplo Comum (MMC) ou das frações equivalentes, basta conservar o denominador e somar os
expoentes. Veja:
Utilizando o MMC para reduzir os denominadores:
1 + 2 + 4 = 1 + 2 + 4 = 3 + 4 + 24 = 31
2 3 2 3 1 6 6
Cálculo do MMC
2, 3, 1| 2
1, 3, 1| 3
1, 1, 1|
MMC (2, 3, 1) = 2 x 3 = 6
Para obter os números do numerador, foi feito o seguinte:
6 : 2 = 3 x 1 = 3
6 : 3 = 2 x 2 = 4
6 : 1 = 6 x 4 = 24
Utilizando as frações equivalentes:
1 x 3+ 2 x 2+ 4 x 6= 3 + 4 + 24 = 31
2 x 3 3 x 2 1 x6 6 6 6 6
• Soma de dois ou mais números decimais
Na soma de números decimais, juntamos número inteiro com inteiro, parte decimal com decimal,
parte centesimal com centesimal e assim por diante. Observe o exemplo abaixo:
2,57 + 1,63 =
2 e 1: partes inteiras
0,5 e 0,6: partes decimais
0,07 e 0,03: partes centesimais
Para resolver a soma de números decimais, podemos estruturar o algoritmo da adição.
2,57
+ 1,63
4,20
NÚMEROS RACIONAIS
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Podemos também somar números decimais por meio de frações. Para isso, basta transformar cada
número decimal em uma fração. Confira o exemplo abaixo:
2,57 + 1,63 = → Represente os números decimais na forma de fração;
= 257 + 163 = → Como o denominador em ambas as frações é 100, podemos somá-los.
100 100
= 420 = → Realize a divisão de 420 por 100.
100
= 4,20
• Subtração de duas ou mais frações:
O processo de subtração de fração é semelhante ao da soma. A diferença está no sinal da operação,
que será de menos. Observe:
5 – 3 – 2 = 5 +( – 3 ) + ( – 2 )= 20 – 9 – 24 = – 13
3 4 3 ( 4 ) 12 12
Cálculo do MMC:
3, 4, 1| 2
3, 2, 1|2
3, 1, 1|3
1, 1, 1|
Para obter os números do numerador, fizemos o seguinte:
12 : 3 = 4 x 5 = 20
12 : 4 = 3 x – 3 = – 9
12 : 1 = 12 x – 2 = – 24
• Subtração de dois ou mais números decimais:
Devemos subtrair número inteiro com inteiro, parte decimal com decimal, parte centesimal com
centesimal e assim por diante. Confira o exemplo abaixo:
3,15 – 2,04 – 1 =
Para resolver essa subtração de números decimais, devemos subtrair os dois primeiros termos da
esquerda para a direita (3,15 – 2,04).
3,15
- 2,04
1,11
Agora temos que subtrair 1,11 – 1 =
1,11
- 1,00
0,11
Podemos também resolver o exemplo anterior por meio da subtração de frações. Acompanhe:
3,15 – 2,04 – 1 = → Transforme os números 3,15 e 2,04 em frações.
= 315 – 204 – 1 = → Como os denominadores das frações são iguais, faça a subtração dos
numeradores.
100 100
= 111 – 1 = → Como os denominadores das frações são diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo
100 1 denominador. O MMC (100, 1) é 100.
= 111 – 100 = → Como reduzimos para o mesmo denominador, podemos subtrair os numeradores.
NÚMEROS RACIONAIS
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100
= 11 = → Faça a divisão de 11/100
100
= 0,11
• Multiplicação de frações
Na multiplicação de frações, devemos multiplicar os numeradores com numeradores e os
denominadores com denominadores. Confira:
3 x 6 = ( 3 x 6 ) = 18 → Como a fração não está na forma irredutível, temos que simplificá-la.
7 4 ( 7 x 4 ) 28
3 x 6 = ( 3 x 6 ) = 18 : 2 = 9
7 4 ( 7 x 4 ) 28 : 2 14
• Multiplicação de números decimais
Ao multiplicarmos números decimais, devemos estruturar o algoritmo. Para saber a posição da vírgula
no produto obtido, contamos quantas casas decimais possui cada número decimal e deslocamos a
vírgula em relação aos algarismos do produto da direita para a esquerda. Observe o exemplo:
2,4 x 1,2 = → Inicialmente estruture o algoritmo da multiplicação.
2,4
x 1,2
+ 48
24
2,88 → Observe que a vírgula ficou entre os algarismos 2 e 6. Isso aconteceu porque o número 2,4
possui uma casa decimal, e o número 1,2 também possui uma casa decimal. Assim, temos, no total,
duas casas decimais. Sendo assim, devemos deslocar a vírgula do produto obtido (288) duas casas
da direita para a esquerda (2,88).
Poderíamos também resolver esse exemplo por meio de frações.
2,4 x 1,2 = → Transforme os números decimais em frações.
= 24 x 12 = → Multiplique os numeradores (24 x 12) e os denominadores (10 x 10).
10 10
= 288 = → Faça a divisão de 288 por 100.
100
= 2,88
• Divisão de duas ou mais frações
Para dividirmos duas ou mais frações, utilizamos uma regra prática: conserva-se a primeira fração,
multiplicando-a pelo inverso da segunda. Recorde-se que o inverso de uma fração é dado ao
trocarmos o seu denominador pelo numerador. Veja:
13 : 9 = 13 x 2 = 26
7 2 7 9 63
1 : 4 : 2 = (1 : 4 ) : 2 = ( 1 x 5 ) : 2 = 5 : 2 = 5 x 6 = 30 :2 = 15
2 5 6 ( 2 5 ) 6 ( 2 x 4 ) 6 8 6 8 x 2 16 : 2 8
• Divisão de dois ou mais números decimais
Para realizar a divisão de números decimais, devemos igualar a quantidade de casas decimais dos
números e efetuar a divisão. Confira o exemplo abaixo:
1,23 : 0,5 = → O número 1,23 possui duas casas decimais, e o número 0,5 possui uma casa decimal.
Para igualar a quantidade de casas decimais, devemos multiplicar ambos os números pelo termo
NÚMEROS RACIONAIS
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decimal, ou seja, 10, 100, 1000..., que possui a maior quantidade de casas decimais. Sendo assim,
temos que multiplicar 1,23 e 0,5 por 100.
(1,23 x 100) : (0,5 x 100) = 123 : 50 → Utilizando o algoritmo da divisão, temos 123 : 50.
123 |50
- 100 2,46
230
- 200
300
- 300
0
1,23 : 0,5 = 2,46
Veja agora como transformar os números decimais do exemplo anterior em frações:
1,23 : 0,5 = → Transforme os números decimais em frações.
= 123 : 5 = → Aplicando a regra aprendida anteriormente, conserve a primeira fração e
100 10 multiplique-a pelo inverso da segunda.
= 123 x 10 = → Faça o produto dos numeradores e dos denominadores.
100 5
= 1230 = → Realize a divisão de 1230 por 500.
500
= 2,46
• Soma, subtração, multiplicação e divisão de dízimas periódicas
A dízima periódica é um número decimal em que os algarismos após a vírgula repetem-se
infinitamente. Exemplos: 1,222..., 1,2323..., 2,23562356...
A repetição desses algarismos após a vírgula é chamada de período. Veja:
• O período de 1,222... é 2.
• O período de 1,2323... é 23.
• O período de 2,23562356... é 2356.
Para realizar a soma, subtração, multiplicação e divisão de dízimas periódicas, devemos descobrir o
período e aplicar as definições aprendidas anteriormente para números decimais, haja vista que a
dízima periódica é um número decimal. Vejamos alguns exemplos:
• Soma de dízima periódica
2,333... + 1,555... =
O período de 2,333... é 3, e o período de 1,555... é 5. Realizando a soma, temos:
2,3
+1,5
3,8
• Subtração de dízima periódica
3,6565... - 1,222... =
O período de 3,6565... é 65, e o período de 1,222... é 2. Fazendo o algoritmo da subtração, temos:
3,65
- 1,22
2,43
• Multiplicação de dízima periódica
NÚMEROS RACIONAIS
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5,2323... x 1,111... =
O período de 5,2323... é 23, e o período de 1,111... é 1. Efetuando o produto, temos:
5,23
x 1,11
523
+ 523
523
5,8053
A multiplicação resultou em: 5,2323... x 1,111... = 5,23 x 1,11 = 5,8053
• Divisão de dízima periódica
2,5252 … : 0,555... =
O período de 2,5252... é 52, e o período de 0,555... é 5. Realizando a divisão, temos:
2,52 : 0,5 = (2,52 x 100) : ( 0,5 x 100) = 252 : 50
252 | 50
- 250 5,04
200
- 200
0
A divisão de: 2,5252 … : 0,555... = 2,52 : 0,5 = 5,04
Números Racionais
Racionais Positivos e RacionaisNegativos
O quociente de muitas divisões entre números naturais é um número racional absoluto.
Números racionais positivos e números racionais negativos que sejam quocientes de dois negativos
que sejam quocientes de dois números inteiros, com divisor diferente de zero.
Por exemplo:
(+17) : (-4) =
é um número racional negativo
Números Racionais Positivos
Esses números são quocientes de dois números inteiros com sinais iguais.
(+8) : (+5)
(-3) : (-5)
NÚMEROS RACIONAIS
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Números Racionais Negativos
São quocientes de dois números inteiros com sinais diferentes.
(-8) : (+5)
(-3) : (+5)
Números Racionais: Escrita Fracionária
têm valor igual a e representam o número racional .
Obs.: Todo número inteiro é um número racional, pois pode ser escrito na forma fracionária:
Denominamos número racional o quociente de dois números inteiros (divisor diiferente de zero), ou
seja, todo número que pode ser colocado na forma fracionária, em que o numerador e denominador
são números inteiros.
Os Números Irracionais (I) fazem parte do conjunto dos Números Reais (R) junto com os Números
Racionais (Q).
Entretanto, eles não são representados por meio de frações, pois não podem ser obtidos a partir da
divisão de dois números inteiros (Z).
Assim, os números irracionais são números decimais, infinitos e não-periódicos, por exemplo,
0,232526; 2,354224.
Interessante notar que a invenção dos Números Irracionais (I) fora considerado um marco nos
estudos da geometria. Isso porque preencheu lacunas ao ser descoberto a partir da diagonal de um
quadrado.
Ao pensarmos no "Teorema de Pitágoras" em que “A soma dos quadrados dos catetos é igual ao
quadrado da hipotenusa” podemos calcular a diagonal do quadrado, supondo que o lado = 1, seu
resultado será a √2, um número irracional infinito e inconstante: √2: 1,414213562373.... Do mesmo
modo, outros números irracionais: √3 = 1,7320508.... √7 = 2,645751...
Deve-se ter cuidado para não confundir um Número Irracional (I) com as dízimas periódicas,
consideradas Números Racionais (Q), uma vez que podem ser representados por meio de frações e
seus números são constantes, por exemplo: 0,03333... = 3/9.
Com isso, conclui-se que todas as dízimas não-periódicas são Números Irracionais (I).
Classificação Dos Números Irracionais (I)
Outra importante descoberta feita pelos matemáticos acerca dos Números Irracionais (I) foi o estudo
da circunferência, resultando na repetição de alguns números.
Um Número Irracional muito conhecido é o famoso Número Pi=3,141592..., denominado de
"Constante de Arquimedes" que faz parte das "Constantes Irracionais" ou "Números
Reais Transcendentais".
NÚMEROS RACIONAIS
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Outros exemplos notórios de "Constantes Irracionais" são: o "Número Áureo" ou "Número de Ouro" =
1,618033... e a "Constante de Euler" ou "Número de Neper" = 2,718281...
Já os "Números Reais Algébricos Irracionais" são as raízes inexatas dos números racionais, por
exemplo:√2, √5, √17, √103, dentre outras.
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NÚMEROS REAIS
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Números Reais
Chamamos de Números Reais o conjunto de elementos, representado pela letra maiúscula R, que
inclui os:
Números Naturais (N): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Números Inteiros (Z): Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Números Racionais (Q): Q = {...,1/2, 3/4, –5/4...}
Números Irracionais (I): I = {...,√2, √3,√7, 3,141592....}
Conjunto dos Números Reais
Para representar a união dos conjuntos, utiliza-se a expressão:
R = N U Z U Q U I ou R = Q U I
Onde:
R: Números Reais
N: Números Naturais
U: União
Z: Números Inteiros
Q: Números Racionais
I: Números Irracionais
Diagrama dos conjuntos numéricos
Ao observar a figura acima, podemos concluir que:
O conjunto dos números Reais (R) engloba 4 conjuntos de números: Naturais (N), Inteiros (Z), Racio-
nais (Q) e Irracionais (I)
O conjunto dos números Racionais (Q) é formado pelo conjuntos dos Números Naturais (N) e dos
Números Inteiros (Z). Por isso, todo Número Inteiro (Z) é Racional (Q), ou seja, Z está contido em Q.
O Conjunto dos Números Inteiros (Z) inclui os Números Naturais (N); em outras palavras, todo núme-
ro natural é um número inteiro, ou seja, N está contido em Z.
Definimos conjunto como sendo um agrupamento de elementos, que, nos conjuntos numéricos, são
números. O conjunto dos reais é representado pela letra maiúscula R e é formado pelos números
NÚMEROS REAIS
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naturais, inteiros, racionais e irracionais. Veja a representação numérica de cada um desses conjun-
tos:
Conjunto dos números naturais: É representado por todos os números positivos. Seu símbolo é
o N maiúsculo.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6 , 7...}
Conjunto dos números inteiros: Esse conjunto é formado pelos elementos do conjunto dos números
naturais e os números inteiros negativos. Ele é representado pela letra maiúscula Z.
Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}
Conjunto dos números racionais: É representado pela letra maiúscula Q. Pertencem a esse conjunto
os números naturais, inteiros, decimais, fracionários e dízima periódica.
Q = {-2, -1,23, -1, 0, + 1, + 2, + 2,5 ….}
2
Conjunto dos números irracionais: Esse conjunto é formado pelos números que são dízimas não pe-
riódicas, ou seja, decimais infinitos que não possuem uma repetição de números após a vírgula. É
representado pela letra maiúscula I.
I = {… - 1, 234537..., 3,34527..., 5,3456...}
Comoo conjunto dos números reais possui todos os conjuntos descritos acima, sua representação
numérica é:
R = {… -4, -3, -2, -1,23, 0, + 1, 1, 2, 3,34527..., 5 , 6 , 7}
2
Veja agora como podemos representar o conjunto dos reais por meio de diagramas. A relação esta-
belecida na imagem a seguir é de inclusão, isto é, um conjunto está contido em outro conjunto.
Números reais é o nome dado ao conjunto numérico mais conhecido e utilizado por todos, pois qual-
quer número inteiro ou decimal pertence também a esse conjunto. Sua definição mais utilizada é a
seguinte: A união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais.
Alguns exemplos de números reais:
1 – O conjunto dos números naturais. Todo número natural é também um número real, pois os núme-
ros naturais são também números racionais.
2 – O conjunto dos números inteiros. Todo número inteiro é também um número real, pois os núme-
ros inteiros são também números racionais.
3 – Números decimais. Todo número decimal é também um número real, pois os números decimais
pertencem ou ao conjunto dos números racionais ou ao conjunto dos números irracionais.
NÚMEROS REAIS
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4 – Raízes. Toda raiz, quadrada ou não, é um número racional ou irracional. Logo, pertence ao con-
junto dos números reais.
Propriedades dos Números Reais
O conjunto dos números reais apresenta as seguintes propriedades. Dados os números reais a, b e c:
1 – Comutatividade: a + b = b + a
2 – Associatividade: (a + b) + c = a + (b + c)
3 – Existência de elemento neutro da soma: a + 0 = a
4 – Existência de elemento inverso da soma: a + (– a) = 0
5 – Comutatividade: a·b = b·a
6 – Associatividade: (a·b)·c = a·(b·c)
7 – Existência de elemento neutro da multiplicação: a·1 = a
8 – Existência de elemento inverso da multiplicação: a·(– a)= 1, em que – a = 1/a
9 – Propriedade distributiva: a(b + c) = a·b + a·c
Para compreender o significado da definição “união entre o conjunto dos números racionais e irracio-
nais”, é importante conhecer o conceito de união, bem como os elementos pertencentes a cada um
desses conjuntos.
União entre conjuntos:
A união é um caso de operação entre conjuntos. Os elementos que pertencem à união entre dois
conjuntos pertencem a um conjunto ou a outro. A palavra ou indica que todos os elementos de ambos
os conjuntos pertencem à união entre eles, mas nenhum elemento é repetido na união.
Por exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}, a união entre A e B é representada por
AUB = {1, 2, 3, 4, 5} e designa os elementos que pertencem a A ou a B.
Conjunto dos números racionais:
O conjunto dos números racionais é formado por todos os números que podem ser escritos em forma
de fração. Existem três tipos de números que se encaixam nessa definição:
1 – números inteiros
2 – números decimais finitos
3 – dízimas periódicas
Isso ocorre porque qualquer número inteiro pode ser escrito na forma de fração, desde que o próprio
número inteiro seja o numerador e 1 seja o denominador. A partir dessa fração, é possível encontrar
infinitas frações com o mesmo resultado, bastando para isso multiplicar numerador e denominador
pelo mesmo número.
Já os decimais finitos podem ser transformados em fração ao cumprir o passo anterior e multiplicar a
fração por alguma potência de 10, em que o expoente é igual ao número de casas decimais do deci-
mal finito.
As dízimas periódicas, por sua vez, podem ser escritas na forma de fração utilizando-se um artifício
que envolve equações e sistemas de equações.
São subconjuntos do conjunto dos números racionais: O conjunto dos números naturais e o conjunto
dos números inteiros. Portanto, números naturais e inteiros também são números reais.
NÚMEROS REAIS
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Conjunto dos números irracionais:
O conjunto dos números irracionais é complementar ao conjunto dos racionais. Isso significa que os
números irracionais são o conjunto dos números que não são racionais. Dessa maneira, qualquer
número que não pode ser escrito na forma de fração é um número irracional. Os números que se
encaixam nessa definição são:
1 – decimais infinitos não periódicos;
2 – raízes não exatas.
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NÚMEROS REAIS
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PORCENTAGEM
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Porcentagem
O termo porcentagem é muito utilizado no cotidiano, principalmente em situações ligadas à
Matemática Financeira, correção monetária, investimentos, cálculo de juros, descontos, determinação
de valores de impostos entre outras situações. Dado um número qualquer x, temos que x%
corresponde à razão centesimal x/100. O símbolo % significa porcento ou divisão por cem. Observe:
15% (quinze porcento) = 15/100 = 3/20 = 0,15
20% (vinte porcento) = 20/100 = 1/5 = 0,20
25% (vinte e cinco porcento) = 25/100 = 1/4 = 0,25
40% (quarenta porcento) = 40/100 = 2/5 = 0,40
120% (cento e vinte porcento) = 120/100 = 6/5 = 1,2
Um número que possui a característica de porcentagem pode ser expresso das seguintes formas:
fração centesimal ou número decimal, a forma ficará a critério do estudante.
Exemplo 1
Uma determinada loja de eletrodomésticos vende seus produtos em até 10 vezes, incluído os juros.
No caso de pagamento à vista a loja oferece um desconto de 15% sobre o preço da mercadoria. Na
compra à vista de uma geladeira que custa R$ 1.200,00, qual o valor do desconto?
15% = 15/100= 3/20 = 0,15
Podemos resolver o problema de duas maneiras. Observe:
Multiplicando o valor de R$1200 por 15 e depois dividindo por 100.
1200 x 15/100 = 18000/100 = 180
Multiplicando o valor de R$1200 por 0,15.
1200 x 0,15 = 180
O desconto na compra à vista da geladeira é de R$ 180,00, dessa forma, o preço seria de 1200 – 180
= R$ 1.020,00.
Exemplo 2
O atraso no pagamento de qualquer imposto ou até mesmo de prestações particulares gera multas
que são calculadas com base em índices percentuais, regularizados pelos órgãos competentes. Qual
o valor de uma prestação de R$ 550,00 que foi paga com atraso de 10 dias, sabendo que sobre o
valor deverá ser acrescentado 4% de multa?
4% = 4/100 = 1/25 = 0,04
Resolvendo de duas maneiras:
1º) 550 x 4/100 = 2200/100 = 22
2º) 550 x 0,04 = 22
O acréscimo em razão do atraso será de R$22,00, portanto, a prestação passará de R$ 550,00 para
R$ 572,00.
Porcentagem é uma razão do tipo a/b, em que b = 100. Note que sempre é possível obter essa razão
utilizando a ideia de proporcionalidade ou de frações equivalentes. Por exemplo, em uma sociedade,
se investimos uma fração de um valor inicial de R$ 1000.00, é equivalente a dizer que a nossa parte
do investimento inicial foi de . Esta razão é chamada “taxa percentual” e pode ser
PORCENTAGEM
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expressa tanto com o símbolo % (por cento), quanto na forma de fração ( ) ou ainda, em forma
textual, que nesse caso seria 40 em 100.
A ideia de porcentagem é diretamente ligada aos assuntos financeiros, quando tratamos casos de
juros ou descontos obtidos nas compras, taxas pagas por um serviço, taxa de imposto ou mesmo em
taxas de variação de resultados. Lembrando que uma porcentagem é sempre sobre algum valor e
não existe porcentagem isolada, isto significa que não faz sentido falar 20%. Precisamos deixar claro
a que corresponde essa porcentagem. Ajuda muito fazer as seguintes perguntas: 20% de que? De
qual valor? De desconto ou de juro?
Exemplo 1
Pense na situação em que você deseja comprar um jogo que custa R$150,00, mas se comprar à
vista tem desconto de 10%. Quanto você pagaria pelo jogo, comprando sem parcelar?
Nesse caso, podemos escrever o problema da seguinte forma:
Assim, o valor do seu desconto é R$15,00 e, então, o valor a ser pago corresponde a R$ 150,00 - R$
15,00 = R$ 135,00.
Exemplo 2
Agora imagine que você quer comprar uma casa que à vista custa R$ 283.000,00. Mas você não tem
todo esse dinheiro e suas economias somam apenas R$77.500,00. Sendo assim, você precisa
recorrer a um empréstimo bancário. O banco cobra taxa de juros de 1,5% do valor emprestado, se o
montante for pago em até um ano, e 2,5%, se for pago em até 24 meses. Desse modo, para que você
consiga pagar o empréstimo nesse período, quanto custará cada parcela?
Primeiramente, vamos encontrar quanto você pegou emprestado, já que os juros são calculados
sobre esse valor e não sobre o valor total da casa. Você tinha R$ 77.500 e precisava de R$ 283.000,
então o valor emprestado foi de R$ 283.000,00 - R$ 77.500,00 = R$ 205.500,00. Desse valor, vamos
calcular quanto será acrescentado pelos juros. Para conseguir pagar o empréstimo em um ano, o
valor do juro será:
Então a dívida final será de R$ 205.500,00 + R$ 3.082,50 = R$ 208.582,50, que dividido em 12
meses, cada parcela ficaria no valor de R$ 208.582,50/12 = R$ 17.381,88. Mas esse valor de parcela
é muito alto e você decide pagar em 2 anos. Então o valor da dívida será calculado com a taxa de
juros de 3,5%. Assim, refazendo os cálculos acima, temos,
juros= 3,5% de 205500 = R$7.192,50. Então o valor da dívida será calculado como sendo
R$ 205500,00 + R$7.192,50 = R$ 212.692,50, que dividido por 24 meses, cada parcela sairia no valor
de R$ 8.862,19. Essa parcela é mais viável, apesar de que o valor final pago é maior que quando é
pago em um ano.
Exemplo 3
Em bares e restaurantes é muito comum a cobrança de taxa de serviços. Embora não haja previsões
legais no código de defesa do consumidor, essa taxa é estipulada em 10% do valor da conta. Assim,
se em uma churrascaria o gasto foi de R$190,00, ao somar a taxa de serviços temos uma conta a ser
paga de R$190,00+R$19,00=R$209,00. Agora, se esse valor já é o total, incluindo a taxa de serviços,
o valor gasto pode ser calculado a partir de uma regra de três simples. Basta fazer , de onde
temos que . E, portanto, o total gasto foi R$172,72.
Exemplo 4
PORCENTAGEM
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Numa determinada empresa, o faturamento de um mês para o mês seguinte aumentou em torno de
50% e, posteriormente, teve queda de 12%. Supondo que o faturamento inicial tenha sido de
R$1.323.227,19, qual foi o valor faturado no final dos três meses?
O aumento de 50% do faturamento deve ser calculado sobre o valor faturado inicialmente. Assim, no
segundo mês, temos um aumento de:
(50/100)*1.323.227,19 = 0.5*1.323.227,19 = 661.613,60.
Então o faturamento foi de R$1.323.227,19 + R$661.613,60 = 1.984.840,79. Agora o percentual de
queda não é mais calculado sobre o valor inicial e sim sobre o valor do faturamento no segundo mês.
Como a porcentagem de queda foi de 12%, fazemos 0.12 * 1.984.840,79 = 238.180,89 e subtraímos
do montante no segundo mês. Portanto, o faturamento final foi R$ 1.984.840,79 - R$ 238.180,89 =
R$1.746.659,90
Juros Simples e Compostos
Juros Simples
Regime De Juros Simples
O regime de juros simples não é muito utilizado pelo atual sistema financeiro nacional, mas ele se
relaciona à cobrança em financiamentos, compras a prazo, impostos atrasados, aplicações
bancárias, etc. Nesse regime, a taxa de juros é somada ao capital inicial durante o período da
aplicação. O cálculo para juros simples é dado pela fórmula:
J = PV x i x n
J = Juro
PV = Capital inicial, principal ou valor presente
i = taxa de juros
n = número de períodos em que foi aplicado o capital
No cálculo do juro simples, também chamado de juro comercial, o juro sob o capital aplicado é
diretamente proporcional ao capital e o tempo de aplicação. Através da taxa de juros, irá variar ao
longo do período. Assim, utiliza-se o ano comercial, sendo 360 dias no ano e 30 dias no mês. Ex.:
Saiba Calcular Juros Simples
1) Qual o valor dos juros aplicados a um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa taxa de
juros simples de 6% ao mês?
Dados Encontrados:
PV= R$ 200
i = 6 %a.m.
PORCENTAGEM
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n = 6 meses
J = ?
Conversão Da Taxa De Juros:
6% → 6/100 → 0,06
Resolução:
J = PV x i x n → J = R$ 200 x 0,06 x 6 → J = R$ 72,00
Explicação Do Problema Em Juros Simples
1º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
2º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
3º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
4º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
5º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
6º mês → R$ 200 x 0,06 = R$ 12,00 ( ou seja, R$ 200 de capital renderá R$ 12 de juros)
Na soma dos juros durante seis meses temos R$ 72,00 de juros. Com esse exemplo, verifica-se que
no cálculo de juros simples, os juros são iguais, pois ele sempre será acrescentado ao capital inicial.
Importante
Os períodos sempre devem estar na mesma unidade de tempo da taxa de juros:
Taxa de Juros = 6% ao mês (a.m.)
Número de Períodos= 6 meses
Caso contrário, é preciso ajustar os elementos. Veja:
Taxa de Juros = 0,06% ao semestre (a.s.)
Número de Períodos = 3 anos→ 6 semestres
Cálculo De Juros Simples Em Períodos Não Inteiros
Existem situações em que o prazo da aplicação é um número não inteiro, sendo preciso utilizar
frações de períodos para que não hajam erros no valor final. Supondo que o período de aplicação é 5
anos e 9 meses, é sugerido as seguintes soluções para transformá-lo de acordo com a taxa de juros:
1) transformar o período para semestres ou meses: 69 meses ou 11,5 semestres.
2) transformar o período e a taxa para a mesma unidade de tempo:
n = 5 anos e 9 meses → 69 meses
i = 20% a.s → 20/6 → 3,3 % ao mês
Juro Exato
O juro exato é utilizado quando o período de tempo da aplicação está expressa em dias ou quando é
considerado o ano civil (365 dias ou 366 dias para ano bissexto) para a realização do cálculo. A
fórmula a ser utilizada será:
J = Pv i n / 365
PORCENTAGEM
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Saiba Calcular Juro Exato
1) Qual é o juro exato de um capital de R$ 20.000 aplicado por 40 dias à taxa de 30% ao ano?
Dados Encontrados:
PV= R$ 20.000
i = 30 %a.a.
n = 40 dias
J = ?
Conversão Da Taxa De Juros:
30% → 30/100 → 0,3
Resolução:
J = Pv i n / 365 → J = R$ 20.000 x 0,3 x 40 / 365 → J = R$ 240.000 / 365 → J = R$ 657,53
Juros Compostos
Regime De Capitalização Composta
Esse regime é utilizado amplamente pelo sistema financeiro, no dia a dia e em diversos cálculos
econômicos. Os juros são gerados em cada período e acrescentados ao capital principal para o
cálculo dos juros no período posterior.
Nesse regime, diz-se que os juros são capitalizados, pois a cada período o juro é adicionado ao
capital inicial. Assim, não existe capitalização no regime de juros simples, pois apenas o capital inicial
rende juros.
Para o cálculo do juro composto é utilizado a seguinte fórmula:
M= C (1+i)ᵑ
Saiba Calcular Juros Compostos
1) Qual será o montante de um empréstimo de R$ 200, durante 6 meses, numa taxa de juros
composta de 6% ao mês?
Dados Encontrados:
PV= R$ 200
i = 6 %a.m.
N = 6 meses
M= ?
Conversão Da Taxa De Juros:
6% → 6/100 → 0,06
Resolução:
M = C (1+i)n → M = R$ 200 (1+ 0,06)⁶ → M = R$ 200 (1,06)⁶ → M = R$ 200 x 1,41 → M= R$283,70
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PORCENTAGEM
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O que é Juro?
Geralmente, os juros são determinados pelo Copom (Comitê de Política Monetária), um órgão
do Banco Central que estabelece as normas da política monetária e da taxa de juros.
Todos os anos, durante as reuniões feitas pelos membros do Copom são definidos os índices de
consumo e produção que afetam o crescimento do país. Eles publicam relatórios sobre a inflação e
informam sobre a situação econômica do país.
De acordo com Samanez (2002), em seu livro 'Matemática Financeira: Aplicações à Análise de
Investimentos' a definição de juro é:
“Juro É Remuneração Do Capital Empregado”
Segundo essa definição, se aplico ou empresto capital a outrem, existe um valor adicional a ser
cobrado pela utilização desse dinheiro. Por exemplo, ao aplicar um capital, em um período de tempo
específico, ao final dessa aplicação o capital terá adquirido outro valor, chamado de montante. O
montante é o capital aplicado mais os juros que foram acumulados durante o período da aplicação.
O juro, também chamado de remuneração, rendimento ou juros ganhos é dado pela diferença
entre o montante (M) e o capital (C). A fórmula utilizada para o cálculo do juros é:
J = C x i
Importante:
No mercado financeiro, a taxa de juros sempre é dada na forma percentual, mas para a realização
dos cálculos é preciso transformar a taxa em fracionária. Veja o quadro:
Outro fato que deve ser considerado no cálculo dos juros é o tempo da aplicação. Se os meses forem
de 30 dias, os juros sãocomerciais, referente aos anos comerciais (360 dias). Se for considerado o
ano civil (365 dias), os juros serão chamados deexatos.
Saiba como calcular juros:
1) Calcule os juros de uma aplicação de R$5.000 durante um ano à uma taxa simples de 25% a.a.
Dados Encontrados:
C = R$ 5.000
i = 25%a.a.
PORCENTAGEM
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J = ?
Conversão Da Taxa De Juros:
25% → 25/100 → 0,25
Resolução:
J = C x i → J = R$ 5.000 x 0,25 → J = R$ 1.250,00
2) Descubra o montante do capital aplicado de R$ 2.600 durante um ano à taxa simples de 55% a.a.
Dados Encontrados:
C = R$ 2.600
i = 55%a.a.
J = ?
Conversão Da Taxa De Juros:
55% → 55/100 → 0,55
Resolução:
J = C x i → J = R$ 2.600 x 0,55 → J = R$ 1.430,00 M = C + J → M = R$ 2.600 + R$ 1.430 → M = R$
4.030,00
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JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Juros Simples e Composto
Ao longo dos tempos constatou-se que o problema econômico dos governos; das instituições; das
organizações e dos indivíduos, decorria da escassez de produtos e/ou serviços, pelo fato de que as
necessidades das pessoas eram satisfeitas por bens e serviços
cuja oferta era limitada. Ao longo do processo de desenvolvimento das sociedades, o problema de
satisfazer as necessidades foi solucionado através da especialização e do processo de troca de um
bem pelo outro, conhecido como escambo.
Mais tarde surgiu um bem intermediário, para este processo de trocas que foi a moeda. Assim, o valor
monetário ou preço propriamente dito, passou a ser o denominador comum de medida para o valori-
zar os bens e os serviços e a moeda um meio de acúmulo deste valor constituindo assim a riqueza ou
capital.
Constatou-se assim, que os bens e os serviços poderiam ser consumidos ou guardados para o con-
sumo futuro. Caso o bem fosse consumido ele desapareceria e, caso houvesse o acúmulo, surgiria
decorrente deste processo o estoque que poderia servir para gerar novos bens e/ou riqueza através
do processo produtivo.
E começou a perceber que os estoques eram feitos não somente de produtos, mas de valores mone-
tários também, que se bem administrado poderiam aumentar gradativamente conforme a utilidade
temporal. Surge-se daí a preocupação e a importância do acúmulo das riquezasem valores monetá-
rios como forma de investimento futuro e aumento do mesmo conforme o surgimento das necessida-
des.
Com o passar dos tempos essa técnica foi sendo melhorada e aperfeiçoada conforme as necessida-
des de produção e tão quanto à necessidade mercantis que aflorava cada vez mais tornando os pro-
dutores mais competitivos quanto ao aumento de oferta de suas produções.
Atualmente a técnica utilizada para compreensão de como o capital se comporta em uma aplicação
ao longo do tempo é realizado pela Matemática Financeira. De uma forma simplificada, podemos
dizer que a Matemática Financeira é o ramo da Matemática Aplicada e/ou Elementar, que estuda o
comportamento do dinheiro no tempo. A Matemática Financeira busca quantificar as transações que
ocorrem no universo financeiro levando em conta, a variável tempo, quer dizer, o valor monetário no
tempo (time value money).
As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira são: o capital, a taxa de
juros e o tempo.
Capital
Capital é todo o acúmulo de valores monetários em um determinado período de tempo constituindo
assim a riqueza como expresso anteriormente. Normalmente o valor do capital é conhecido como
principal (P). A taxa de juro (i), é a relação entre os Juros e o Principal, expressa em relação a uma
unidade de tempo. (n)
Juros
Deve ser entendido como Juros, a remuneração de um capital (P), aplicado a uma certa taxa (i), du-
rante um determinado período (n), ou seja, é o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. Por-
tanto, Juros (J) = preço do crédito.
A existência de Juros decorre de vários fatores, entre os quais destacam-se:
a) inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado período de tempo;
b) risco: os juros produzidos de uma certa forma compensam os possíveis riscos do investimento.
c) aspectos intrínsecos da natureza humana: quando ocorre de aquisição ou oferta de empréstimos a
terceiros.
Costuma-se especificar taxas de juros anuais, trimestrais, semestrais, mensais, entre outros, motivo
pelo qual deve-se especificar sempre o período de tempo considerado.
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos que te-
mos um sistema de capitalização simples (Juros simples).
Quando a taxa de juros incide sobre o capital atualizado com os juros do período (montante), dizemos
que temos um sistema de capitalização composta (Juros compostos).
Na prática, o mercado financeiro utiliza apenas os juros compostos, de crescimento mais rápido (ve-
remos adiante, que enquanto os juros simples crescem segundo uma função do 1º grau – crescimen-
to linear, os juros compostos crescem muito mais rapidamente – segundo uma função exponencial).
Juros Simples
O regime de juros simples é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Este sis-
tema não é utilizado na prática nas operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdu-
ção à Matemática Financeira, é de uma certa forma, importante.
Considere o capital inicial P aplicado a juros simples de taxa i por período, durante n
períodos.
Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, podemos escrever a seguinte
fórmula, facilmente demonstrável:
J = juros produzidos depois de n períodos, do capital P aplicado a uma taxa de juros por período igual
a i.
No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial adicionado aos juros produzi-
dos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado MONTANTE (M).
Logo, teríamos:
Exemplo:
A quantia de R$ 3.000,00 é aplicada a juros simples de 5% ao mês, durante cinco anos. Calcule o
montante ao final dos cinco anos.
Solução:
Temos: P = 3000,
i = 5% = 5/100 = 0,05 e
n = 5 anos = 5 x 12 = 60 meses.
Portanto, M = 3.000,00 x (1 + 0,05 x 60) = 3.000,00 x (1+3) = R$ 12.000,00.
A fórmula J = Pin, onde P e i são conhecidos, nos leva a concluir pela linearidade da função juros
simples, senão vejamos:
Façamos P.i = k.
Teremos, J = k.n, onde k é uma constante positiva. (Observe que P . i > 0)
Ora, J = k.n é uma função linear, cujo gráfico é uma semi-reta passando pela origem. (Porque usei o
termo semi-reta ao invés de reta?). Portanto, J/n = k, o que significa que os juros simples J e o núme-
ro de períodos n são grandezas diretamente proporcionais.
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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M = P + J = P + P.i.n = P(1 + i.n)
Daí infere-se que o crescimento dos juros simples obedece a uma função linear, cujo crescimento
depende do produto P.i = k, que é o coeficiente angular da semi-reta J = kn.
É comum nas operações de curto prazo onde predominam as aplicações com taxas referenciadas em
juros simples, ter-se o prazo definido em número de dias. Nestes casos o número de dias pode ser
calculado de duas maneiras:
• Pelo tempo exato , pois o juro apurado desta maneira denomina-se juro exato, que é aquele que é
obtido quando o período (n) está expresso em dias e quando o período é adotada a conversão de
ano civil (365 dias)
• Pelo ano comercial, pois o juro apurado desta maneira denomina-se juro comercial que é aquele
calculado quando se adota como base o ano comercial (360 dias)
Exercício Proposto 01:
Calcule o montante ao final de dez anos de um capital R$ 10.000,00 aplicado à taxa de juros simples
de 18% ao semestre (18% a.s).
Resposta: R$ (?)
Vimos anteriormente, que se o capital (P) for aplicado por (n) períodos, a uma taxa de juros simples
(i), ao final dos n períodos, teremos que os juros produzidos serão iguais a J = Pin e que o montante
(capital inicial adicionado aos juros do período) será igual a M = P(1 + in).
O segredo para o bom uso destas fórmulas é lembrar sempre que a taxa de juros i e o período n têm
de ser referidos à mesma unidade de tempo.
Assim, por exemplo, se num problema, a taxa de juros for i =12% ao ano = 12/100 = 0,12 e o período
n = 36 meses, antes de usar as fórmulas deveremos colocá-las referidas à mesma unidade de tempo,
ou seja:
a) 12% ao ano, aplicado durante 36/12 = 3 anos , ou
b) 1% ao mês = 12%/12, aplicado durante 36 meses, etc.
Exemplos:
01 – Quais os juros produzidos pelo capital R$ 12.000,00 aplicados a uma taxa de juros simples de
10% ao bimestre durante 5 anos?
0
1º
mês
2º
mês
3º
mês
4º
mês
mese
s
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Solução 01:
Temos que expressar i e nem relação à mesma unidade de tempo.
Vamos inicialmente trabalhar com BIMESTRE (dois meses):
i = 10% a.b. = 10/100 = 0,10
n = 5 anos = 5 x 6 = 30 bimestres (pois um ano possui 6 bimestres) Então: J = R$ 12.000,00 x 0,10 x
30 = R$ 36.000,00
Solução 02:
Para confirmar, vamos refazer as contas, expressando o tempo em meses.
Teríamos:
i = 10% a x b = 10/2 = 5% ao mês = 5/100 = 0,05 n = 5 anos = 5 x 12 = 60 meses
Então: J = R$ 12.000,00 x 0,05 x 60 = R$ 36.000,00
02 – Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, a uma taxa mensal de 5%. Depois de
quanto tempo este capital estará duplicado?
Solução 01:
Temos: M = P(1 + in). Logo, o capital estará duplicado quando M = 2P. Logo, vem:
2P = P(1 + 0,05n); (observe que i = 5% a.m. = 5/100 = 0,05). Simplificando, fica:
2 = 1 + 0,05n 1 = 0,05n, de onde conclui-se n = 20 meses ou 1 ano e oito meses.
Exercício Proposto 02:
Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, a uma taxa anual de 10%. Depois de quanto
tempo este capital estará triplicado?
Resposta: (?) anos.
Juros Compostos
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modali-
dades, a saber:
a) Juros simples – ao longo do tempo, somente o principal rende juros;
b) Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua
vez, a render juros. Também conhecido como"juros sobre juros".
O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao
capital formando um montante, capital mais juros, do período.
Este montante, por sua vez, passará a render juros no período seguinte formando um novo montante
e assim sucessivamente. Pode-se dizer então, que cada montante formado é constituído do capital
inicial, juros acumulados e dos juros sobre juros formados em períodos anteriores.
Este processo de formação de juros compostos é diferente daquele descrito para os juros simples,
onde somente o capital rende juros, não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em perío-
dos anteriores.
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compos-
tos, com um exemplo:
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Suponha que R$ 1.000,00 são empregados a uma taxa de 20% a.a.,por um período de 4 anos a juros
simples e compostos Teremos:
P= R$ 1.000,00 i= 20% a.a n= 4 anos
n Juros Simples Juros Compostos
Juros por periodo Montante Juros por periodo Montante
1 1.000,00 x 0,2 = 200 1.200,00 1.000,00 x 0,2 = 200 1.200,00
2 1.000,00 x 0,2 = 200 1.400,00 1.200,00 x 0,2 = 240 1.440,00
3 1.000,00 x 0,2 = 200 1.600,00 1.440,00 x 0,2 = 288 1.728,00
4 1.000,00 x 0,2 = 200 1.800,00 1.728,00 x 0,2 = 346 2.074,00
O gráfico a seguir permite uma comparação visual entre os montantes no regime de juros simples e
de juros compostos. Verificamos que a formação do montante em juros simples é linear e em juros
compostos é exponencial:
Fonte: Elaborado pelo autor
Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimen-
to segundo juros compostos é EXPONENCIAL, portanto tem um crescimento muito mais "rápido".
Exemplo 2:
Um empresário faz uma aplicação de R$ 1.000,00 a taxa composta de 10% ao mês por um prazo de
dois meses.
1º Mês:
O capital de R$ 1.000,00 produz um juros de R$ 100,00 (10% de R$ 1.000,00), pela fórmula dos juros
simples já estudada anteriormente, ficaria assim:
M = C x (1 + i) M = 1.000,00 x (1 + 0,10) M = 1.100,00
2º Mês:
O montante do mês anterior (R$ 1.100,00) é o capital deste 2º mês servindo de base para o cálculo
dos juros deste período. Assim:
M = 1.100,00 x (1 + 0,10) M = 1.210,00
Tomando-se como base a fórmula dos juros simples o montante do 2º mês pode ser assim decom-
posto:
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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M = C x (1 + i ) x (1 + i ) M = 1.000,00 x (1 + 0,10 ) x (1 + 0,10 )
M = 1.000,00 x (1 + 0,10)2 M = 1.210,00
Exemplo 3:
A loja São João financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 16.00,00, sem entrada, pelo
prazo de 8 meses a uma taxa de 1,422. Qual o valor do montante pago pelo cliente.
M = C x (1 + i) n M = 16.000,00 x (1 + 1,422)8 M = 22.753,61
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as
quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros com-
postos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos.
Fórmula para o Cálculo de Juros compostos
Considere o capital inicial (P) R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10%
(i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês:
• Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1+0,1)
• Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1+0,1)2
• Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3
Dando continuidade ao raciocínio dos juros compostos, a evolução dos juros que incide a um capital
para cada um dos meses subseqüentes Após o nº (enésimo) mês o montante acumulado ao final do
período atingiria :
S = 1000 (1 + 0,1) n
De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros compostos i du-
rante o período n :
Ou
Onde:
S / M = montante;
P / C = principal ou capital inicial ; i = taxa de juros e
n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado.
NOTA: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (n), tem
de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido!
Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês
durante 3 x 12=36 meses.
Taxa Nominal e Taxa Real
Taxa nominal
A taxa nominal de juros relativa a uma operação financeira, pode ser calculada pela expressão:
Taxa nominal = Juros pagos / Valor nominal do empréstimo
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Assim, por exemplo, se um empréstimo de $100.000,00, deve ser quitado ao final de um ano, pelo
valor monetário de $150.000,00, a taxa de juros nominal será dada por:
Juros pagos = Jp = $150.000 – $100.000 = $50.000,00 Taxa nominal = in = $50.000 / $100.000 =
0,50 = 50%
Taxa Real
A taxa real expurga o efeito da inflação.
Um aspecto interessante sobre as taxas reais de juros é que, elas podem ser inclusive, negativas!
Vamos encontrar uma relação entre as taxas de juros nominal e real. Para isto, vamos supor que um
determinado capital P é aplicado por um período de tempo unitário, a uma certa taxa nominal in .
O montante S1 ao final do período será dado por S1 = P(1 + in).Consideremos agora que durante o
mesmo período, a taxa de inflação (desvalorização da moeda) foi igual a j. O capital corrigido por esta
taxa acarretaria um montante S2 = P (1 + j).
A taxa real de juros, indicada por r, será aquela que aplicada ao montante S2, produzirá o montante
S1. Poderemos então escrever:
S1 = S2 (1 + r)
Substituindo S1 e S2 , vem: P(1 + in) = (1+r). P (1 + j)
Daí então, vem que:
(1 + in) = (1+r). (1 + j), onde:
in = taxa de juros nominal
j = taxa de inflação no período r = taxa real de juros
Observe que se a taxa de inflação for nula no período, isto é, j = 0, teremos que as taxas nominal e
real são coincidentes.
Veja o exemplo a seguir:
Numa operação financeira com taxas pré-fixadas, um banco empresta $120.000,00 para ser pago em
um ano com $150.000,00. Sendo a inflação durante o período do empréstimo igual a 10%, pede-se
calcular as taxas nominal e real deste empréstimo.
Teremos que a taxa nominal será igual a:
in = (150.000 – 120.000)/120.000 = 30.000/120.000 = 0,25 =
25%
Portanto in = 25%
Como a taxa de inflação no período é igual a j = 10% = 0,10, substituindo na fórmula anterior, vem:
(1 + in) = (1+r). (1 + j)
(1 + 0,25) = (1 + r).(1 + 0,10)
1,25 = (1 + r).1,10
1 + r = 1,25/1,10 = 1,1364
Portanto, r = 1,1364 – 1 = 0,1364 = 13,64%
Se a taxa de inflação no período fosse igual a 30%, teríamos para a taxa real de juros: (1 + 0,25) = (1
+ r).(1 + 0,30)
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1,25 = (1 + r).1,30
1 + r = 1,25/1,30 = 0,9615
Portanto, r = 0,9615 – 1 = -,0385 = -3,85% e, portanto teríamos uma taxa real de juros negativa!
Valor Presente e Valor Futur
Deve ser acrescentado ao estudo dos juros compostos que o capital é também chamado de valor
presente (PV) e que este não se refere necessariamente ao momento zero. Em verdade, o valor pre-
sente pode ser apurado em qualquer data anterior ao montante também chamado de valor futuro
(FV).
As fórmulas do valor presente (PV) e do valor futuro (FV) são iguais já vistas anteriormente, basta
trocarmos seus correspondentes nas referidas fórmulas, assim temos:
ou
Onde (1 + i) n é chamado de fator de capitalização do capital, FCC (i,n) a juros compostos, e 1 / (1 +
i) n é chamado de fator de atualização do capital, FAC (i,n) a juros compostos.
A movimentação de um capital ao longo de uma escala de tempo em juros compostos se processa
mediante a aplicação destes fatores, conforme pode ser visualizado na ilustração abaixo:
Observe que FV no período n é equivalente a PV no período zero, se levarmos em conta a taxade
juros i. Esta interpretação é muito importante, como veremos no decorrer do curso. É conveniente
registrar que existe a seguinte convenção: seta para cima, sinal positivo (dinheiro recebido) e seta
para baixo, sinal negativo (dinheiro pago).
Esta convenção é muito importante, inclusive quando se usa a calculadora HP 12C. Normalmente, ao
entrar com o valor presente VP numa calculadora financeira, o fazemos seguindo esta convenção,
mudando o sinal da quantia considerada como PV para negativo, usando a tecla CHS, que significa
uma abreviação de "change signal", ou seja, "mudar o sinal".
É conveniente ressaltar que se entrarmos com o PV positivo, a calculadora expressará o FV como um
valor negativo e vice versa, já que as calculadoras financeiras, e aí se inclui a HP 12C, foram projeta-
das,
considerando esta convenção de sinais. Usaremos sempre a convenção de sinal negativo para VP e
em conseqüência, sinal positivo para FV. Veremos com detalhes este aspecto, no desenvolvimento
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do curso.
Exemplos Práticos:
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à
taxa de juros composta de 3,5% a .m.?
Solução:
PV = R$ 12.000,00
n = 8 meses
i = 3,5 % a . m. FV = ?
FV= PV (1 + i) n FV= 12.000,00 (1+0,035)8
FV= 12.000,00 X 1,316 FV= R$ 15.801,71
Se uma pessoa deseja obter R$ 27.500,00 dentro de um ano, quanto deverá ela depositar hoje numa
poupança que rende 1.7% de juros compostos ao mês?
Solução:
FV = R$ 27.500,00
n = 1 ano (12 meses) i = 1.7% a . m.
PV = ?
PV = FV.
PV = 27.500,00.
PV = 27.500,00 (1 + i) n(1 + 0,017) 12 1,224
PV = 22.463,70
Exercícios Propostos 03:
Aplicando-se R$ 1.000,00 por um prazo de dois anos a uma taxa de 5% ao semestre, qual será o
montante no fim do período?
Resposta: R$ (?)
Exercícios Propostos 04:
Um capital de R$ 2.000.000,00 é aplicado durante um ano e três meses à taxa de 2% a.m. Quais os
juros gerados no período?
Resposta: R$ (?)
Exercícios Propostos 05:
Determinado capital aplicado a juros compostos durante 12 meses, rende uma quantia de juros igual
ao valor aplicado. Qual a taxa mensal dessa aplicação?
Resposta: R$ (?)
Exercícios Propostos 06:
Calcule o montante de R$1.000,00 aplicados a 10% a.a. durante 50 dias.
Resposta: R$ (?)
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Equivalência Financeira
Diz-se que dois capitais são equivalentes a uma determinada taxa de juros, se os seus valores em
um determinado período n, calculados com essa mesma taxa, forem iguais.
Exemplo 01:
1º Conjunto 2º Conjunto
Capital (R$) Vencimento Capital (R$) Vencimento
1.100,00 1 º a.a 2.200,00 1 º a.a
2.420,00 2 º a.a 1.210,00 2 º a.a
1.996,50 3 º a.a 665,5 3 º a.a
732,05 4 º a.a 2.196,15 4 º a.a
Verificar se os conjuntos de valores nominais, referidos à data zero, são equivalentes à taxa de juros
de 10% a.a.
Para o 1.º conjunto:
P0 = 1.100 x FAC (10%; 1) + 2.420 x FAC (10%; 2) +
+ 1.996,50 x FAC (10%; 3) + 732,05 x FAC (10%; 4)
P0 = 1.000 + 2.000 + 1.500 + 500
P0 = 5.000,00
Para o 2.º conjunto:
P0 = 2.200 x FAC (10%; 1) + 1.210 x FAC (10%; 2) +
+ 665,50 x FAC (10%; 3) + 2.196,15 x FAC (10%; 4)
P0 = 2.000 + 1.000 + 500 + 1.500
P0 = 5.000,00
Logo os dois conjuntos de capitais são equivalentes, pois P0 de um é igual ao P0 de
outro.
Exemplo 02 :
Seja um capital de R$ 10.000,00, que pode ser aplicado alternativamente à taxa de 2%
a.m ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalen-
tes:
Solução:
Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2 anos teremos:
J1 = R$ 10.000,00 x 0,02 x 24 = R$ 4.800,00
Agora se aplicarmos o principal à taxa de 24% a.a. e pelo prazo de 2 anos teremos:
J2 = R$ 10.000,00 x 24 x 2 = R$ 4.800,00
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OBS: Na utilização das fórmulas o prazo de aplicação (n) e a taxa (i) devem estar expressos na
mesma unidade de tempo. Caso não estejam, é necessário ajustar o prazo ou a taxa.
Descontos Simples
Existem dois tipos básicos de descontos simples nas operações financeiras: o desconto comercial e o
desconto racional. Considerando-se que no regime de capitalização simples, na prática, usa-se sem-
pre o desconto comercial, este será o tipo de desconto a ser abordado a seguir.
• Desconto Racional: Nesta modalidade de desconto a “recompensa pela liquidação do título antes de
seu vencimento é calculada sobre o valor a ser liberado (Valor Atual).Incorpora os conceitos e rela-
ções básicas de juros simples. Veja”:
J = P . i . n => D = VD . d . n
• Desconto Comercial: Nesta modalidade de desconto a “recompensa pela liquidação do título antes
de seu vencimento é calculada sobre o Valor Nominal do título. Incorpora os conceitos de juros ban-
cários que veremos detalhadamente a seguir”:
J = P . i . n => D = VN . d . n
Vamos considerar a seguinte simbologia:
N = valor nominal de um título. V = valor líquido, após o desconto.
Dc = desconto comercial. d = taxa de descontos simples. n = número de períodos.
Teremos:
V = N - Dc
No desconto comercial, a taxa de desconto incide sobre o valor nominal N do título.
Logo:
Dc = Ndn Substituindo, vem: V = N(1 - dn)
Exemplo:
Considere um título cujo valor nominal seja R$10.000,00. Calcule o desconto comercial a ser conce-
dido para um resgate do título 3 meses antes da data de vencimento, a uma taxa de desconto de 5%
a.m.
Solução:
V = 10000 . (1 - 0,05 . 3) = 8500
Dc = 10000 - 8500 = 1500
Resp: valor descontado = R$ 8.500,00; desconto = R$1.500,00
Desconto Bancário
Nos bancos, as operações de desconto comercial são realizadas de forma a contemplar as despesas
administrativas (um percentual cobrado sobre o valor nominal do título) e o IOF - imposto sobre ope-
rações financeiras. É óbvio que o desconto concedido pelo banco, para o resgate de um título antes
do vencimento, através desta técnica, faz com que o valor descontado seja maior, resultando num
resgate de menor valor para o proprietário do título.
Exemplo:
Um título de R$ 100.000,00 é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de
desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como
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despesas administrativas e 1,5% a.a. de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário
do título e a taxa de juros efetiva da operação
Solução:
Desconto comercial: Dc = 100000 . 0,05 . 6 = 30000
Despesas administrativas: da = 100000 . 0,02 = 2000
IOF = 100000 . (0,015/360) . 180 = 750
Desconto total = 30000 + 2000 + 750 = 32750
Daí, o valor líquido do título será: 100000 - 32750 = 67250 Logo, V = R$ 67.250,00
A taxa efetiva de juros da operação será: i = [(100000/67250) - 1].100 = 8,12% a. m.
Observe que a taxa de juros efetiva da operação, é muito superior à taxa de desconto, o que é am-
plamente favorável ao banco.
Duplicatas
Recorrendo a um dicionário encontramos a seguinte definição de duplicata: Título de crédito formal,
nominativo, emitido por negociante com a mesma data, valor global e vencimento da fatura, e repre-
sentativo e comprobatório de crédito preexistente (venda de mercadoria a prazo), destinado a aceite
e pagamento por parte do comprador, circulável por meio de endosso, e sujeito à disciplina do direito
cambiário.
Observação:
a) A duplicata deve ser emitida em impressos padronizados aprovados por Resolução do Banco
Central.
b) Uma só duplicata não pode corresponder a mais de uma fatura.
Considere que uma empresa disponha de faturas a receber e que, para gerar capital de giro, ela diri-
ja-se a um banco para trocá-las por dinheiro vivo, antecipando as receitas. Entende-se como duplica-
tas, essas faturas a receber negociadas a uma determinada taxa de descontos com as instituições
bancárias.Exemplo:
Uma empresa oferece uma duplicata de R$ 50000,00 com vencimento para 90 dias, a um determina-
do banco. Supondo que a taxa de desconto acertada seja de 4% a. m. e que o banco, além do IOF de
1,5% a.a. , cobra 2% relativo às despesas administrativas, determine o valor líquido a ser resgatado
pela empresa e o valor da taxa efetiva da operação.
Solução:
Desconto comercial = Dc = 50000 . 0,04 . 3 = 6000
Despesas administrativas = Da = 0,02 . 50000 = 1000 IOF = 50000(0,015/360).[90] = 187,50
Teremos então:
Valor líquido = V = 50000 - (6000 + 1000 + 187,50) = 42812,50
Taxa efetiva de juros = i = [(50000/42812,50) - 1].100 = 16,79 % a.t. = 5,60% a.m. Resp: V = R$
42812,50 e i = 5,60 % a.m.
Exercícios Propostos 07:
Um título de R$ 5.000,00 vai ser descontado 60 dias antes do vencimento. Sabendo-se que a taxa de
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juros é de 3% a.m., pede-se calcular o desconto comercial e o valor descontado.
Resposta: R$ (?)
Exercícios Propostos 08:
Um banco realiza operações de desconto de duplicatas a uma taxa de desconto comercial de 12% a .
a., mais IOF de 1,5% a . a. e 2% de taxa relativa a despesas administrativas. Além disto, a título de
reciprocidade, o banco exige um saldo médio de 10% do valor da operação. Nestas condições, para
uma duplicata de valor nominal R$ 50000,00 que vai ser descontada 3 meses antes do vencimento,
pede-se calcular a taxa efetiva de juros da operação. Resposta: R$ (?)
Fluxo de Caixa
Conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. Um diagrama de fluxo de caixa,
é simplesmente a representação gráfica numa reta, dos períodos e dos valores monetários envolvi-
dos em cada período, considerando-se uma certa taxa de juros i.
Traça-se uma reta horizontal que é denominada eixo dos tempos, na qual são representados os valo-
res monetários, considerando-se a seguinte convenção:
• dinheiro recebido seta para cima
• dinheiro pago seta para baixo.
Exemplo:
Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir:
O diagrama da figura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve investimento inicial de
800, pagamento de 200 no terceiro ano, e que produz receitas de 500 no primeiro ano, 200 no se-
gundo, 700 no quarto e 200 no quinto ano.
Convenção: dinheiro recebido flecha para cima valor positivo
dinheiro pago flecha para baixo valor negativo
Vamos agora considerar o seguinte fluxo de caixa, onde C0, C1, C2, C3, ..., Cn são capitais referidos
às datas, 0, 1, 2, 3, ..., n para o qual desejamos determinar o valor presente (PV).
O problema consiste em trazer todos os capitais futuros para uma mesma data de referencia. Neste
caso, vamos trazer todos os capitais para a data zero. Pela fórmula de Valor Presente vista acima,
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concluímos que o valor presente resultante - NPV - do fluxo de caixa, também conhecido como Valor
Presente Líquido (VPL), dado será:
Esta fórmula pode ser utilizada como critério de escolha de alternativas, como veremos nos exercí-
cios a seguir.
Exercícios:
1 - Numa loja de veículos usados são apresentados ao cliente dois planos para pagamento de um
carro:
Plano A: dois pagamentos, um de $ 1.500,00 no final do sexto mês e outro de $ 2.000,00 no final do
décimo segundo mês.
Plano B: três pagamentos iguais de $ 1.106,00 de dois em dois meses, com início no final do segun-
do mês.
Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 4% a.m., qual o melhor plano de pagamento?
Solução:
Inicialmente, devemos desenhar os fluxos de caixa correspondentes:
Plano A:
Plano B:
Teremos para o plano A:
Para o plano B, teremos:
Como o plano A nos levou a um menor valor atual (ou valor presente), concluímos que este plano A é
mais atraente do ponto de vista do consumidor.
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Exercício:
1 - Um certo equipamento é vendido à vista por $ 50.000,00 ou a prazo, com entrada de $ 17.000,00
mais três prestações mensais iguais a $ 12.000,00 cada uma, vencendo a primeira
um mês após a entrada. Qual a melhor alternativa para o comprador, se a taxa mínima de atrativida-
de é de 5% a.m.?
Solução:
Vamos desenhar os fluxos de caixa:
À vista:
A prazo:
Vamos calcular o valor atual para esta alternativa:
Como o valor atual da alternativa a prazo é menor, a compra a prazo neste caso é a melhor alternati-
va, do ponto de vista do consumidor.
Exercício:
1 - Um equipamento pode ser adquirido pelo preço de $ 50.000,00 à vista ou, a prazo conforme o
seguinte plano:
Entrada de 30% do valor à vista, mais duas parcelas, sendo a segunda 50% superior à primeira, ven-
cíveis em quatro e oito meses, respectivamente. Sendo 3% a.m. a taxa de juros do mercado, calcule
o valor da última parcela.
Solução
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Teremos:
Resolvendo a equação acima, obtemos x = 19013,00
Portanto, o valor da prestação é $19013,00.
Exercício Proposto 09:
Uma loja vende determinado tipo de televisor nas seguintes condições: R$ 400,00 de entrada, mais
duas parcelas mensais de R$ 400,00, no final de 30 e 60 dias respectivamente. Qual o valor à vista
do televisor se a taxa de juros mensal é de 3% ?
Resposta: R$ (?)
Noção Elementar de Inflação e Saldo Médio Bancário
Outro conceito importante no estudo da Matemática Financeira é o de inflação.
Entenderemos como INFLAÇÃO num determinado período de tempo, como sendo o aumento médio
de preços, ocorrido no período considerado, usualmente medido por um índice expresso como uma
taxa percentual relativa a este mesmo período.
Para ilustrar uma forma simples o conceito elementar de inflação apresentamos acima, vamos consi-
derar a tabela abaixo, onde está indicado o consumo médio mensal de uma determinada família em
dois meses distintos e os custos decorrentes associados:
Indicadores Mês 01 Mês 02
Produto Quantidade Preço ($) Subtotal Preço ($) Subtotal
Arroz 5 kg 1,20 6,00 1,30 6,50
Carne 15 kg 4,50 67,50 4,80 72,00
Feijão 4 kg 1,69 6,76 1,80 7,20
Óleo 2 latas 2,40 4,80 2,45 4,90
Leite 20 litros 1,00 20,00 1,10 22,00
Café 1 kg 7,60 7,60 8,00 8,00
Açúcar 10 kg 0,50 5,00 0,65 6,50
Passagens 120 0,65 78,00 0,75 90,00
TOTAL ********** 195,66 ********** 217,10
A variação percentual do preço total desta cesta de produtos, no período considerado é igual a:
V = [(217,10 / 195,66) - 1] x 100 = 0,1096 = 10,96 %
Diremos então que a inflação no período foi igual a 10,96 %.
Notas:
a) Para o cálculo de índices reais de inflação, o número de itens considerado é bastante superior e
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são obtidos através de levantamento de dados em determinadas amostras da população, para se
determinar através de métodos estatísticos, a "cesta de mercado", que subsidiará os cálculos;
b) A metodologia sugerida no exemplo acima é conhecida como método de Laspeyres ;
c) Podemos entender agora os motivos que determinam as diferenças entre os índices de inflação
calculados entre instituições distintas tais como FIPE, FGV, DIEESE, entre outras.
Juros e Saldo Médio em Contas Correntes
Vamos considerar o caso de uma conta corrente, da qual o cliente saca e deposita recursos ao longo
do tempo. Vamos ver nesta seção, a metodologia de cálculo do saldo médio e dos juros mensais
decorrentes da movimentação dessa conta.
As contas correntes associadas aos "cheques especiais" são exemplos corriqueiros da aplicação
prática da metodologia a ser apresentada.
Juros em Contas Correntes (Cheques Especiais)
Considere os capitais C1, C2, C3, ... , Ck aplicados pelos prazos n1, n2, n3, ... , nk, à taxa de juros
simples i. A fórmula abaixo, permite o cálculo dos juros totais J produzidos no período considerado:
J = i.(C1.n1 + C2.n2 + C3.n3 + ... + Ck.nk)
O cálculo dos juros pelo método acima (conhecido como"Método Hamburguês") é utilizado para a
determinação dos juros sobre os saldos devedores dos "cheques especiais".
Serie de Pagamentos
Série de pagamentos - é um conjunto de pagamentos de valores R1, R2, R3, ... Rn,
distribuídos ao longo do tempo correspondente a n períodos, podendo esses pagamentos
serem de valores constantes ou de valores distintos. O conjunto de pagamentos (ou recebimentos) ao
longo dos n períodos, constitui - se num fluxo de caixa. Vamos resolver a seguir, os problemas nos
quais R1 = R2 = R3 = ... Rn = R, ou seja: pagamentos (ou recebimentos) iguais.
Quando a série de pagamentos (ou recebimentos) se inicia um período após a data
zero, o fluxo recebe o nome de POSTECIPADO. Quando o início dos pagamentos ou recebimentos
ocorre na data zero, o fluxo recebe o nome de ANTECIPADO.
Exemplos:
1 - Pagamentos no início dos períodos: Fluxo ANTECIPADO
2 - Pagamentos no final dos períodos: Fluxo POSTECIPADO
Fator de acumulação de capital – FAC
O problema a resolver é o seguinte:
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Determinar a quantia S acumulada a partir de uma série uniforme de pagamentos iguais a R, sendo i
a taxa de juros por período
Vamos considerar dois casos: fluxo postecipado e fluxo antecipado.
NOTA: na calculadora HP12C, R é expressa pela tecla PMT (pagamentos periódicos).
Portanto R e PMT possuem o mesmo sentido, ou seja, a mesma interpretação. Da mesma forma, S
corresponde a FV na calculadora HP 12C.
A) Fluxo postecipado
Considere o fluxo de caixa postecipado a seguir, ou seja: os pagamentos são feitos nos finais dos
períodos.
Vamos transportar cada valor R para o tempo n, supondo que a taxa de juros é igual a i, lembrando
que se trata de um fluxo de caixa POSTECIPADO, ou seja, os pagamentos são realizados no final de
cada período.
Teremos:
S = R(1+i)n-1 + R(1+i)n-2 + R(1+i)n-3 + ... + R(1+i) + R
Colocando R em evidencia, teremos:
S = R[(1+i)n-1 + (1+i)n-2 + (1+i)n-3 + ... + (1+i) + 1]
Observe que a expressão entre colchetes é a soma dos n primeiros termos de uma progressão geo-
métrica de primeiro termo (1+i)n-1, último termo 1 e razão 1/(1+i).
Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica, teremos:
Nota: em caso de dúvida, consulte sobre Progressão Geométrica (1+i)n-1 + (1+i)n-2 + (1+i)n-3 + ... +
(1+i) + 1 =
Substituindo o valor encontrado acima, vem finalmente que:
• o fator entre colchetes é denominado Fator de acumulação de capital – FAC(i,n).
• assim, teremos: S = R . FAC(i,n). Os valores de FAC(i,n) são tabelados. Na prática, utilizam-se as
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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calculadoras científicas ou financeiras, ao invés das tabelas.
Usando-se a simbologia adotada na calculadora HP 12C, onde R = PMT e S = FV, teremos a fórmula
a seguir:
Fator De Valor Atual – FVA
Considere o seguinte problema:
Determinar o principal P que deve ser aplicado a uma taxa i para que se possa retirar o valor R em
cada um dos n períodos subseqüentes.
Este problema também poderia ser enunciado assim: qual o valor P que financiado à taxa i por perío-
do, pode ser amortizado em n pagamentos iguais a R?
Fluxo postecipado (pagamentos ao final de cada período, conforme figura a seguir):
Trazendo os valores R para o tempo zero, vem:
O fator entre colchetes representa a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de
primeiro termo 1/(1+i), razão 1/(1+i) e último termo 1/(1+i)n.
Teremos então, usando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica.
O fato r entre colchetes será então igual a:
Substituindo, vem finalmente:
• o fator entre colchetes é denominado Fator de valor atual – FVA(i,n);
• assim, teremos: P = R . FVA(i,n). Os valores de FVA(i,n) são tabelados;
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• observe que P corresponde a PV e R corresponde a PMT na calculadora HP 12C.
Usando a simbologia da calculadora HP 12C, a fórmula acima ficaria:
Sistema De Amortização De Empréstimos
Sistema De Amortização Constante – (SAC)
Nesse sistema as parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados a cada perío-
do multiplicando-se a taxa de juros contratada pelo saldo devedor existente no período.
• Amortização numa data genérica t
Os valores são sempre iguais e obtidos por A= P/n onde A1 = A2 = A3 = ... An = A = cte e n = prazo
total
Isso implica que a soma das n amortizações iguais seja:
• Saldo Devedor numa data genérica t
No sistema SAC o saldo devedor decresce linearmente em um valor igual à amortização A = P/n .
Assim, o saldo devedor, logo após o pagamento da prestação (AMORTIZAÇÃO + JUROS ) corres-
pondente, será:
Assim, o valor dos juros pagos na referida data será:
ou então:
Onde: n = prazo total
t = o momento desejado
Somatório Dos Juros
Como a variação de juros no Sistema SAC se trata de uma progressão aritmética, o somatório dos
juros de um determinado período se faz utilizando a fórmula do somatório dos n termos de uma P.A.
Jt = Ai (n – t + 1)
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Com isso:
Prestação Numa Data Genérica T
Soma-se a amortização do momento desejado (que é constante em todos os momentos) como os
juros referentes a este momento.
R1 A + J1
R2 A + J2
R3 A + J3
Rt A + Jt
Assim , o pagamento de um financiamento pelo sistema SAC, num prazo de n períodos e à uma taxa
i por período seria como o diagrama e a tabela abaixo:
DATA S aldo Devedor Juros Amortização P res tação
T P t = P t- 1 - A Jt = P t- 1 . i At = A = P / n Rt = A + Jt
0 P 0 = P - - -
1 P 1 = P – A J1 = P . i A1 = A R1 = A + J1
2 P 2 = P 1 – A J2 = P 1 . i A2 = A R2 = A + J2
3 P 3 = P 2 – A J3 = P 2 . i A3 = A R3 = A + J3
4 P t = P t- 1 – A Jt = P t- 1 . i At = A R4 = A + J4
n P n = P n- 1 – A Jn = P n- 1 . i An = A Rn = A + Jn
Orde m de
Obte nção
das Parc e las
2.º
3.º
1.º
4.º
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Vejamos agora um exemplo numérico:
P = $ 1.000,00
n = 4 prestações i = 2% a.p.
t Saldo Devedor Amortização Juros P res tação
0 1.000,00 - - -
1 750,00 250,00 20,00 270,00
2 500,00 250,00 15,00 265,00
3 250,00 250,00 10.00 260,00
4 0,00 250,00 5,00 255,00
Sistema De Prestações Constantes - (PRICE) Prestação Numa Data Genérica T
No sistema PRICE a prestação é constante e em qualquer data t o seu valor é dado por:
Rt = R1 = R2 = ... = Rn = cte.
Rt = R = P x FPR(i,n) = constante
Juros Numa Data Genérica T
Os juros de um determinado período são calculados sobre o saldo devedor do período anterior.
Ou Jt = Rt - At Rt = R = cte.
Jt = R - At
Ou Jt = R - At = R - A1(1 + i)t-1 A1 = R – J1 = R – P.i
Assim: Jt = R – ( R – P.i ) ( 1 + i )t-1
Amortização numa data genérica t
No sistema PRICE o crescimento das amortizações é exponencial ao longo do tempo.
Dado que At=R – Jt e J= P.i, então:
DATA 1 – final do 1.º período
Juros = J1 = P.i
Amortização = A1 = R – J1 = ( R - P.i)
DATA 2 – final do 2.º período
Juros = J2 = P1.i = [ P (1 + i) – R ].i = [ P (1 + i).i – R.i ]
Amortização = A2 = R – J2 = R - P.( 1 + i).i + R = R.(1 + i ) – P.(1 + i).i
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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= (R – P.i) . (1 + i) = A2 = A1 (1 + i)
DATA 3 – final do 3.º período
Juros = J3 = P2.i = P.i – A1.i – A1 (1 + i).i
Amortização = A3 = R – J3 = R - [P.i – A1.i - A1 (1 + i).i] A3 = (R - P.i) + A1.i + A1 (1 + i).i
= A1 + A1.i + A1 (1 + i).i
= A1 (1 + i) + A1 (1 + i).i
= A1 (1 + i).(1 + i)
A3 = A1 (1 + i)2
Então teríamos:
A2 = A1 ( 1 + i ) A3 = A1 ( 1 + i )2 A4 = A1 ( 1 + i )3
... ..... ... An = A1 ( 1 + i )n-1
O que comprovaria a expressão:
At = A1.(1 + i)t-1 ; para uma data genérica t ou At = A1. FPS(i%, ( t - 1))
Para testar a consistência da fórmula acima:A1 = 22.192 t = 3
i = 8% a.a. A3 = ?
At = A1.(1 + i)t-1 A3 = 22.192.(1 + 0,08)2 A3 = 22.192 x 1,1664 = 25.884,75
Ou
At = A1 x FPS [ i , (t-1) ] pois (1 + i)t-1 = FPS [ i , (t-1) ] desse modo, no exemplo
anterior teríamos:
A3 = 22.192 x FPS( 8%,2) = 22.192 x 1,1664 = 25.884,75
Saldo Devedor numa data genérica t
O Saldo devedor de um determinado período é dado pela diferença entre o saldo devedor do período
anterior e a amortização do período.
Assim para um empréstimo P ;a taxa de juros i por período com um prazo de N períodos ; podería-
mos elaborar seguinte
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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Datas
Saldo Devedor Juros P res taçõ es Cons
tantes
Amortização
(t ) P t = P t- 1 - At Jt = P t- 1 . i Rt = R At = R – Jt
0 P o = P - - -
1 P 1 = P – A1 J1 = P .i R A1 = R – J1
2 P 2 = P 1 – A2 J2 = P 1.i R A2 = R – J2
3 P 3 = P 2 – A3 J3 = P 2.i R A3 = R – J3
T P t = P t- 1 – At Jt = P t- 1.i R At = R – Jt
. . . . . . . . . . . . . . . . .
N P n = P n- 1 – An Jn = P n- 1.i R An = R – Jn
TOTAIS
n
J t n.R P
1
R n.R t n
A t P
t 1
Ordem de
obtenção
de parcelas
4.º
2 .º
1.º
3 .º
Vejamos agora um exemplo numérico:
P = 1.000,00
i = 2% a.p.
n = 4 prestações
t Saldo Devedor Amortização Juros P res tação
0 1.000,00 - - -
1 757,38 242,62 20,00 262,62
2 509,91 247,47 15,15 262,62
3 257,49 252,42 10,20 262,62
4 - 257,49 5,15 262,62
Um financiamento pelo Sistema Price pode ser calculado utilizando-se máquinas financeiras, pois
suas prestações são constantes.
Sistema De Amortização Mista – (SAM)
Aqui o valor da prestação é obtido através da média aritmética das prestações obtido através do sis-
tema PRICE e SAC.
Ex.:
JUROS SIMPLES E COMPOSTO
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P = 1.000,00 i = 8 % a.a. n = 4 anos
S IS T. P RICE
ANO
S A LDO
DEVEDOR
Juros P res tação Amotização S aldo Final
1.000,00
1 1.000,00 80,00 301,92 221,92 778,08
2 778.08 62,25 301,92 239,67 538,41
3 538,41 43,07 301,92 258,85 279,56
4 270,56 22,36 301,92 279,56
S IS T. SAC
ANO
S A LDO
DEVEDOR
Juro s P res tação Amotização S aldo Final
1.000,00
1 100,00 80,00 330,00 250,00 750,00
2 750,00 60,00 310,00 250,00 500,00
3 500,00 40,00 290,00 250,00 250,00
4 250,00 20,00 270,00 250,00
SIST. SAM
Ano P res t . P RICE P REST. SAC S OMA P REST. S AM
1 301,92 330,00 631,92 315,96
2 301,92 310,00 611,92 305,96
3 301,92 290,00 591,92 295,96
4 301,92 270,00 571,92 285,96
Essa modalidade de pagamento é conhecida como Sistema de Amortização Mista
(SAM) e vem sendo utilizada na liquidação de financiamento imobiliário.
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REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
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Regra De Três Simples E Composta
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores
dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhe-
cidos.
Passos Utilizados Numa Regra De Três Simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na
mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplos:
1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia
solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual
será a energia produzida?
Solução: montando a tabela:
Área (m2) Energia (Wh)
1,2 400
1,5 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas
são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para
baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.
2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3
horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 3
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
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480 x
Identificação do tipo de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Au-
mentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumen-
tando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo,
colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e re-
solvendo a equação temos:
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do
mesmo tipo e preço?
Solução: montando a tabela:
Camisetas Preço (R$)
3 120
5 x
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspon-
dem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcio-
nais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o
número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo tra-
balho?
Solução: montando a tabela:
Horas por dia Prazo para término (dias)
8 20
5 x
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
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Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são in-
versamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Regra De Três Composta
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversa-
mente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão
necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em
cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas Caminhões Volume
8 20 160
5 x 125
Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém
o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto
a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação
é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o
termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão necessários 25 caminhões.
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA
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2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão
montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
Homens Carrinhos Dias
820 5
4 x 16
Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é direta-
mente proporcional(não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é di-
retamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o
termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, serão montados 32 carrinhos.
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e
aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se fle-
chas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordan-
tes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
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GRÁFICOS E TABELAS
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Gráficos e Tabelas
Os gráficos são recursos utilizados para representar um fenômeno que possa ser mensurado,
quantificado ou ilustrado de forma mais ou menos lógica. Assim como os mapas indicam uma
representação espacial de um determinado acontecimento ou lugar, os gráficos apontam uma
dimensão estatística sobre um determinado fato.
Por esse motivo, interpretar corretamente os gráficos disponibilizados em textos, notícias, entre
outras situações, é de suma importância para compreender determinados fenômenos. Eles,
geralmente, comparam informações qualitativas e quantitativas, podendo envolver também o tempo e
o espaço.
Existe uma grande variedade de tipos de gráficos, dentre os quais podemos destacar os de coluna,
em barras, pizza, área, linha e rede.
Gráficos De Coluna
Juntamente aos gráficos em barra, são os mais utilizados. Indicam, geralmente, um dado quantitativo
sobre diferentes variáveis, lugares ou setores e não dependem de proporções. Os dados são
indicados na posição vertical, enquanto as divisões qualitativas apresentam-se na posição horizontal.
Gráfico em colunas apontando as maiores populações do mundo por país
Gráficos em barra
Possuem basicamente a mesma função dos gráficos em colunas, com os dados na posição
horizontal e as informações e divisões na posição vertical.
Gráfico em barras indicando a taxa de mortalidade infantil no Brasil
Gráficos Em Pizza
É um tipo de gráfico, também muito utilizado, indicado para expressar uma relação de
proporcionalidade, em que todos os dados somados compõem o todo de um dado aspecto da
realidade.
GRÁFICOS E TABELAS
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Gráfico em pizza com a distribuição da água e da água doce no mundo
Semelhantes aos gráficos de pizza, existem os gráficos circulares. A lógica é a mesma, a divisão de
uma esfera em várias partes para indicar as diferentes partes de um todo em termos proporcionais.
Gráficos Em Linhas
O gráfico de linha é utilizado para demonstrar uma sequência numérica de um certo dado ao longo do
tempo. É indicado para demonstrar evoluções (ou regressões) que ocorrem em sequência para que o
comportamento dos fenômenos e suas transformações seja observado.
Distribuição residencial da população brasileira em um exemplo de gráfico em linhas
GRÁFICO DE ÁREAS
É semelhante ao gráfico em linhas, diferenciando-se apenas por evidenciar uma noção de proporção
sobre o todo. É também usado para apontar a relação dos diferentes dados entre si.
Gráfico ilustrativo sobre as taxas populacionais em casos de transição demográfica
Gráfico Em Rede
GRÁFICOS E TABELAS
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Esse tipo de gráfico não é tão comum na disciplina geográfica, sendo mais frequentemente utilizado
para medição de termos especificamente estatísticos e até em jogos de videogames, on-line ou do
tipo RPG. Sua utilidade é comparar valores distintos de uma mesma variável.
Gráfico em rede sobre a distribuição das atividades no meio rural em um país fictício
Além desses tipos acima apresentados, existem outras várias formas de representar dados e
informações sobre a realidade. O mais importante, além de conhecer cada tipo de gráfico, é procurar
observar com calma todos os dados fornecidos para uma correta leitura das informações disponíveis.
Evolução do número de alunos da escola
Esse exemplo revela claramente que para cada informação que se quer comunicar há uma
linguagem mais adequada- aí se incluem textos, gráficos e tabelas. "Eles são usados para facilitar a
leitura do conteúdo, já que apresentam as informações de maneira mais visual", explica Cleusa
Capelossi Reis, formadora de Matemática da Secretaria Municipal de Educação de São Caetano do
Sul, na Grande São Paulo.
Logo no início do Ensino Fundamental, as crianças precisam aprender a ler e interpretar esses tipos
de recurso com o qual elas se deparam no dia a dia. Além disso, esse é um conteúdo importante da
Matemática que vai acompanhá-las durante toda a escolaridade no estudo de diversas disciplinas.
Um Gráfico Mais Adequado Para Cada Tipo De Informação
Barras
Usado para comparar dados quantitativos e formado por barras de mesma largura e comprimento
variável, pois dependem do montante que representam. A barra mais longa indica a maior quantidade
e, com base nela, é possível analisar como certo dado está em relação aos demais.
Os Prédios Mais Altos Do Mundo
GRÁFICOS E TABELAS
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As espécies animais ameaçadas de extinção na mata Atlântica
Setor
Útil para agrupar ou organizar quantitativamente dados considerando um total. A circunferência
representa o todo e é dividida de acordo os números relacionados ao tema abordado.
Evolução do desmatamento na região da Amazônia
GRÁFICOS E TABELAS
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Linhas
Apresenta a evolução de um dado. Eixos na vertical e na horizontal indicam as informações a que se
refere e a linha traçada entre eles, ascendente, descendente constante ou com vários altos e baixos
mostra o percurso de um fenômeno específico.
Regularidades Ajudam A Compreender Os Fenômenos
Existem vários tipos de gráficos (como os de barras, de setor e de linha) e tabelas (simples e de
dupla entrada). O uso de cada um deles depende da natureza das informações. É importante que os
alunos sejam apresentados a todos eles e estimulados a interpretá-los. "Aqui tem mais quantidade
porque esta torre (barra) é maior que a outra" e "a pizza está dividida em três partes. Então são três
coisas representadas" são falas comuns e que revelam o quanto a turma já sabe a respeito.
Na EMEB Donald Savazoni, na capital paulista, Cláudia de Oliveira pediu que os estudantes do 3º
ano pesquisassem gráficos e tabelas em diversos portadores de texto, como os jornais, e analisou o
material com eles. Além dos diferentes visuais, ela trabalhou elementos imprescindíveis, como o título
(que indica o que está sendo representado), a fonte (que revela a origem das informações) e, no caso
dos gráficos, especificamente, a legenda (que decodificaas cores, por exemplo).
De que assunto trata o gráfico? Quantos dados são apresentados? Como eles aparecem? Esses são
questionamentos pertinentes para fazer aos alunos. Essas intervenções, apoiadas em exemplos, são
uma forma de encaminhar a turma a notar que há certas regularidades que permitem a interpretação
independentemente do conteúdo. Por exemplo: num gráfico de barras verticais, é a altura que mostra
a variação de quantidade e não a largura das barras. No caso dos eixos, presentes no gráfico de
barras e no de linhas, os intervalos entre as marcações são sempre do mesmo tamanho. Isso serve
para garantir a proporcionalidade das informações apresentadas.
Quanto às tabelas, há diversas formas de usá-las para organizar as informações. Elas podem
aparecer em ordem crescente ou decrescente, no caso de números, ou em ordem alfabética, quando
são compostas de nomes, por exemplo.
Ao selecionar o material para trabalhar em sala, lembre-se de atentar para a complexidade de cada
um. "Quanto mais informações reunirem, mais complicados são. Para essa faixa etária, melhor usar
material com poucos dados, dando preferência aos números absolutos", explica Leika Watabe,
assessora técnica educacional da Secretaria Municipal de Educação de São Paulo.
Escolher temas e assuntos que fazem parte do universo da garotada também é importante. Para as
crianças do 3º ano, Cláudia organizou um estudo do tempo de vida de uma série de animais e
organizou os dados em uma tabela e um gráfico de barras. Na tabela, elas tinham de identificar o
assunto tratado e verificar as informações sobre os bichos, relacionando os dados. Depois,
compararam no gráfico as diferenças entre a expectativa de vida de cada um deles. Por fim, a
educadora propôs alguns problemas para que todos calculassem a diferença de idade entre dois
animais. Os alunos confrontaram os resultados com o gráfico e concluíram que os valores eram
proporcionais ao intervalo entre as barras que representavam os bichos.
Importante: gráficos e tabelas podem ser explorados com muitos conteúdos, de diversas disciplinas -
desde que o material não seja simplesmente exposto em um cartaz na sala. Trabalhar a interpretação
é fundamental. Somente com essa estratégia em jogo, o grupo vai criar familiaridade com esse tipo
de representação, se apropriar dele com segurança e seguir em frente, construindo seus próprios
gráficos e tabelas.
Simples
Usada para apresentar a relação entre uma informação e outra (como produto e preço). É formada
por duas colunas e deve ser lida horizontalmente.
GRÁFICOS E TABELAS
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De Dupla Entrada
Útil para mostrar dois ou mais tipos de dado (como altura e peso) sobre um item (nome). Deve ser
lida na vertical e na horizontal simultaneamente para que as linhas e as colunas sejam relacionadas.
De Dupla Entrada
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MEDIDAS DE COMPRIMENTO
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Medidas de Comprimento
As medidas de comprimento são mecanismos de medição eficazes, uma vez que utilizam como re-
curso medidas convencionais, tais como milímetro, centímetro, metro, quilômetro.
Elas foram criadas justamente para mitigar a probabilidade de ocorrência de erros no momento em
que era necessário mensurar as coisas.
Aqui você vai conhecer essas unidades de medida e vai aprender como calcular cada uma delas.
Metro
A medida base no Sistema Internacional de Medidas (SI) é o metro. O metro possui múltiplos, que
correspondem a grandes distâncias e submúltiplos, que por sua vez correspondem a pequenas dis-
tâncias.
Assim, são múltiplos do metro: quilômetro (km), hectômetro (hm) e decâmetro (dam).
Enquanto são submúltiplos do metro: decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).
Como vimos, os múltiplos do metro são as grandes distâncias. Eles são chamados de múltiplos por-
que resultam de uma multiplicação que tem como referência o metro.
Os submúltiplos, ao contrário, como pequenas distâncias, resultam de uma divisão que tem igual-
mente como referência o metro. Eles aparecem do lado direito na tabela acima, cujo centro é a nossa
medida base - o metro.
Durante o cálculo em algum problema ou até mesmo no dia a dia pode ser necessário realizar a con-
versão de um dos múltiplos e submúltiplos do metro para outro.
Dessa forma, para converter de uma unidade maior para outra menor basta multiplicar por 10. Para
converter de uma unidade menor para uma maior basta dividir por 10. Veja o esquema na imagem a
seguir:
Exemplo:
Assim, se quisermos converter 1 km para metro devemos multiplicar por 10 três vezes.
km → hm → dam → m;
1 km . 10 . 10 . 10 = 1000 m.
Obviamente, caro leitor, você já sabe fazer isso de cabeça, correto? É apenas para demonstrar como
é na prática.
Exemplo:
Agora um exemplo mais difícil, converter 120 km em centímetro:
MEDIDAS DE COMPRIMENTO
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km → hm → dam → m → dm → cm;
120 km . 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 12.000.000 cm
Exemplo:
Outro exemplo é converter 1200 mm para metro:
mm → cm → dm → m
1200 mm ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 = 1,2 m
Perceba que para converter de unidades maiores para menores nós multiplicamos por 10, e para con-
verter de unidades menores para maiores nós dividimos, como já mencionamos acima.
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Raciocínio Lógico e Matemático
41 Sistemas de Númeração
01 Conjuntos Numéricos
03 Números Racionais
06 Números Reais
02 Porcentagem
01 Juros Simples e Composto
25 Regra De Três Simples E Composta
09 Gráficos e Tabelas
23 Medidas de ComprimentoMais conteúdos dessa disciplina
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A) (x^3)/3 - 5x + C
B) (x^2)/2 - 5 + C
C) (x^2)/3 - 5x + C
D) (x^3)/3 - 10x + C
