Slides Matemática Financeira2

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Unidade II
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Maurício Felippe Manzalli
Taxa efetiva
Exemplo 01 – Uma instituição financeira faz 
empréstimos e cobra 8% a.m. de juros simples, 
que devem ser pagos antecipadamente pelo 
tomador. Qual a taxa efetiva que o tomador paga 
por empréstimos de R$ 50.000,00 por três meses?
Solução:ç
 J = PV . i . n
 J = 50.000,00 . 0,08 . 3
 J = R$ 12.000,00 (juros retidos na data do 
empréstimo)
Empréstimo efetivo = PV – JEmpréstimo efetivo PV J
Empréstimo efetivo = 50.000,00 – 12.000,00
PV efetivo = R$ 38.000,00
Pagamento final = R$ 50.000,00 (FV efetivo)
E a taxa efetiva?
Taxa efetiva
Exemplo 02 – Uma instituição financeira faz 
empréstimos e cobra 8% a.m. de juros simples 
que devem ser pagos antecipadamente pelo 
tomador. Qual a taxa efetiva que o tomador paga 
por empréstimos de R$ 50.000,00 por três meses?
Solução:ç
 FV = PV . (1 + i . n)
 50.000,00 = 38.000,00 . (1 + i . 3)
 3i = (50.000,00/38.000,00) – 1
 3i = 1,3158 – 1
 3i = 0,3158
 i = 0,3158 / 3
 i = 0,1053
 i = 0,1053 x 100
 i = 10,53% a.m
Resposta: Paga a taxa efetiva de 10,53%a.m.
Juros comerciais 
Exemplo 03 – Calcular os juros comerciais 
produzidos por um capital de R$ 500.000,00, 
aplicado à taxa de 270% a.a., durante 25 dias. 
Juros comerciais:
 J = PV . i . nJ PV . i . n
 Lembrando que i = 270/100 = i = 2,7
J = 500.000,00 . (2,7/360) . 25
J = 500.000,00 . 0,0075 . 25
J = 93.750,00,
Juros comerciais = R$ 93.750,00 
Juros comerciais e juros exatos
Exemplo 04 – Calcular os juros comerciais e os 
juros exatos produzidos por um capital de R$ 
500.000,00, aplicado à taxa de 270% a.a., durante 
25 dias. 
Juros exatos:
 J = PV i nJ PV . i . n
 Lembrando que i = 270/100 = i = 2,7
J = 500.000,00 . (2,7/365) . 25
J = 500.000,00 . 0,0073972 . 25
J = 92.465,00
Juros comerciais = R$ 92 465 00Juros comerciais = R$ 92.465,00
Comparações:
 Juros comerciais = R$ 93.750,00
 Juros exatos = R$ 92.465,00
 Diferença = R$ 1.285,00
Juros compostos: 
conceitos básicos 
 Conceito: segundo o critério de cálculo 
denominado composto, ao final de cada 
período, o juro do período é adicionado 
ao principal do período e o montante, 
assim formado, é reaplicado, como 
principal no período seguinteprincipal, no período seguinte.
Consequências da definição do critério 
composto:
Juros compostos: 
conceitos básicos 
Denominações – as denominações desse 
critério seguem as ideias passadas pela 
definição:
 juro sobre juro;
 juro capitalizado;juro capitalizado;
 juro exponencial.
Nesse caso, o juro não é diretamente 
proporcional à taxa e ao número de 
períodos e os cálculos serão feitos sempre 
utilizando o divisor 100 para a taxa de jurosutilizando o divisor 100 para a taxa de juros.
Juros compostos: 
conceitos básicos 
 Montante: relembrando seu conceito, 
faremos sua aplicação período a período, 
construindo a fórmula. 
 Vamos indexar o montante ao final de 
cada período, com o número do período.
2
1º - M1 = P + Pi = P.(1+ i)
2º - M2 = M1 + M1 .i = P.(1 +i) + P.(1+i).i = P.(1+ i)
3º - M3 = M2 + M2 .i = P.(1+ i) + P.(1+ i) .i = P.(1+ i) 2 2 3
Juros compostos: fórmula 
Seguindo essa linha de raciocínio 
concluímos que, para n períodos,
teremos:
M = P.(1+i)
n
M P.(1 i)
Juros compostos
Exercício – Qual o montante produzido por um 
capital de R$ 250.000,00 que ficou aplicado 
durante um ano e dois meses à taxa de 7,5% 
a.m. de juros compostos?
Fórmula M = P . (1 + i)n
Lembrando que:
 i = 7,5/100 = 0,075
 1 ano e dois meses = 14 meses
Solução:
 M = P . (1 + i)nM P . (1 i)
 M = 250.000,00 . (1 + 0,075)14
 M = 250.000,00 . (1,075)14
 M = 688.111,01
Resposta: O montante é de R$ 688.111,01.
Interatividade
Que capital devo aplicar hoje em uma 
instituição que remunera as aplicações à 
taxa de juros compostos de 4% ao mês 
para ter R$ 5.000,00 de montante daqui a 
dez meses? 
Fórmula M = P . (1 + i)n
a) R$ 3.377,82.
b) R$ 3.575,00.
c) R$ 2.890,92.
$d) R$ 1.495,00.
e) R$ 3.400,00.
Juros simples e juros compostos
O Sr. Maurício emprestou $ 2.000,00 a seu 
amigo a uma taxa de 10% ao mês, para ser 
pago daqui a 4 meses. Quanto o Sr. Maurício 
irá receber se cobrar o empréstimo pelo 
regime de juros simples? E pelo regime de 
juros compostos?juros compostos?
Prazo Juros simples Saldo
1º Mês 2.000,00 x 10% = 
200.00 2.000,00 + 200,00 = 2200,00
2º Mês 2.000,00 x 10% = 
200,00 2.000,00 + 200,00 = 2400,00
3º Mês 2.000,00 x 10% = 
200 00 2 000 00 200 00 2600 00200,00 2.000,00 + 200,00 = 2600,00
4º Mês 2.000,00 x 10% = 
200,00 2.000,00 + 200,00 = 2800,00
Juros simples e juros compostos
O Sr. Maurício emprestou $ 2.000,00 a seu 
amigo a uma taxa de 10% ao mês, para ser 
pago daqui a 4 meses. Quanto o Sr. Maurício 
irá receber se cobrar o empréstimo pelo 
regime de juros simples? E pelo regime de 
juros compostos?juros compostos?
Prazo Juros compostos Saldo
1º Mês
2000,00 x 10% = 200.00 2000,00 + 200,00 = 2200,00
2º Mês
2200,00 x 10% = 220,00 2200,00 + 220,00 = 2420,00
3º Mês
2420 00 x 10% = 242 00 2420 00 + 242 00 = 2662 002420,00 x 10% 242,00 2420,00 + 242,00 2662,00
4º Mês
2662,00 x 10% = 266,20 2662,00 + 266,20 = 2928,20
Juros simples e juros compostos
O Sr. Maurício emprestou $ 2.000,00 a seu 
amigo a uma taxa de 10% ao mês, para ser 
pago daqui a 4 meses. Quanto o Sr. Maurício 
irá receber se cobrar o empréstimo pelo 
regime de juros simples? E pelo regime de 
juros compostos?juros compostos?
Conclusão:
 Regime de juros Juros auferidos
 Simples 800,00
 Compostos 928 20 Compostos 928,20
 Diferença 128,20
Juros simples e juros compostos
Juros compostos: 
valores atual e nominal
 Existe uma forte segmentação na 
sociedade, em muitos aspectos.
 Profissionais que atuam na área de 
investimentos utilizam as expressões 
montante e principal ou capital. 
 Profissionais de áreas de pagamento 
preferem os vocábulos “atual” e 
“nominal”.
Juros compostos: 
valores atual e nominal
n
O valor nominal está associado a uma ideia
de valor futuro, de montante do valor atual. 
Operacionalmente, podemos escrever:
N = A . (1+i) ou A = N/(1+i)nN A . (1 i) ou A N/(1 i)
Obs.: não podemos esquecer que o valor 
nominal de um dívida será o montante de 
cada um dos seus valores atuais, aplicados 
às taxas em que foram calculados pelo seuàs taxas em que foram calculados, pelo seu 
prazo de antecipação. 
Juros compostos: 
calculadoras financeiras
 Existe uma correspondência entre os 
parâmetros financeiros e as funções 
presentes nas teclas de uma calculadora 
financeira.
 De maneira geral, introduzidos os 
valores de três desses parâmetros, a 
calculadora fornecerá o valor do quarto 
parâmetro. 
Essa correspondência é a seguinte:
Juros compostos: 
calculadoras financeiras
Montante (M)  FV
Principal (P)  PV
Taxa de juros ( i )  i
Número de períodos ( n )  n
D l b l d t d Devemos lembrar que valores de entrada 
ou saída no fluxo de caixa deverão 
figurar com sinais diferentes (+ ou –).
Juros compostos: 
calculadoras financeiras
O investimento de $ 650.000 será remunerado 
com a taxa de juro de 1,35% ao mês durante os 
quatro primeiros meses, e com a taxa de juro 
de 1,24% ao mês durante os oito meses 
restantes da operação. 
a) Calcule o resgate desse investimento noa) Calcule o resgate desse investimento no 
final de um ano.
Juros compostos: 
calculadoras financeiras
O investimento de $ 650.000 será remunerado 
com a taxa de juro de 1,35% ao mês durante os 
quatro primeiros meses, e com a taxa de juro 
de 1,24% ao mês durante os oito meses 
restantes da operação. 
a) Calcule o resgate desse investimento noa)Calcule o resgate desse investimento no 
final de um ano.
n = 4 i = 1,35 PV = 650.000 FV = ?
Visor = 682,82
8 i 1 24 PV 685 817 19 FV ?n = 8 i = 1,24 PV = 685.817,19 FV = ?
Visor = 756.877,27
O resgate do investimento ao final
de um ano será de R$ 756.877,27.
Interatividade
Foram investidos $ 10.000 durante três meses 
com a taxa de juro de 2% ao mês. Calcule o 
valor resgatado considerando o regime de juros 
compostos.
Dados:
VP C 10 000 3 i 2%VP = C = 10.000 n = 3 meses i = 2% a.m
VF = M = ?
Fórmula
M = P . (1 + i)n
a) R$ 10.500,00.a) R$ 10.500,00.
b) R$ 10.612,00.
c) R$ 10.415,00.
d) R$ 10.000,00.
e) R$ 10.112,00.
Juros compostos e 
calculadora financeira
Calcule o montante composto de um 
principal de R$ 10.000,00 à taxa de 5% ao 
mês, ao final de 7 meses
Entradas Teclas Visor
10000 CHS PV -10000,00
5 i 5,00
7 n 7,00
FV 14071 00FV 14071,00
Juros compostos e 
calculadora financeira
A que taxa mensal de juros compostos 
devo aplicar um capital qualquer para 
dobrá-lo em dez meses?
Entradas Teclas Visor
1 CHS PV -1,00
2 FV 2,00
10 n 10,00
i 7 18i 7,18
Juros compostos e 
calculadora financeira
Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à 
taxa mensal de 2% num regime de 
capitalização composta. Após um período 
de 2 meses, os juros resultantes dessa 
aplicação serão?
Entradas Teclas Visor
2 n
2 i
2500 PV
Os juros resultantes são de R$ 101,00.
2500 PV
FV 2601
Juros compostos e 
calculadora financeira
Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à 
taxa mensal de 2% num regime de 
capitalização composta. Após um período 
de 2 meses, os juros resultantes dessa 
aplicação serão?
Fórmula: M = P . (1 + i)n
 M = 2.500 . (1 + 0,02)²
 M = 2.500 . (1,02)²
 M = 2.500 . 1,0404 = 2.601
J = M – C = 2.601 – 2.500 = 101
Os juros resultantes são de R$ 101,00.
Séries de capitais: 
conceitos básicos
Conceito de série: qualquer sequência de 
capitais reunidos sob uma determinada 
propriedade pode ser considerada uma 
série, também denominada anuidade. 
Exemplos:
 aluguel;
 condomínio;
 mensalidade escolar;
 pagamentos parcelados em geral;
 seguros.
Séries de capitais: 
conceitos básicos
 Esses capitais podem ser valores que 
saem ou entram em um fluxo de caixa, 
caracterizando uma série de 
pagamentos, que tem como objetivo a 
quitação de uma dívida ou uma série de 
aplicações denominada série de rendasaplicações, denominada série de rendas, 
que tem como objetivo a capitalização de 
um valor futuro.
Séries de capitais: 
conceitos básicos
 Uma série de pagamentos tem como 
principal característica seu valor atual na 
data zero, também denominado valor à 
vista, que é igual à soma de todos os 
valores (termos) da série na data zero; 
valor esse que depende do número e dovalor esse que depende do número e do 
valor dos pagamentos, assim como da 
taxa de juros utilizada no financiamento.
Séries de capitais: 
conceitos básicos
 A série de rendas tem como parâmetro 
importante o montante ou valor futuro, 
que é a soma de todas as aplicações na 
data do último depósito. Esse valor 
dependerá do número e do valor dos 
depósitos assim como da taxa utilizadadepósitos, assim como da taxa utilizada 
para corrigi-los. 
Séries de capitais: modelo básico
 Série periódica: seus termos ocorrem a 
períodos iguais.
 Temporária: a série tem uma duração 
determinada.
 Constante: todos os termos da série têmConstante: todos os termos da série têm 
o mesmo valor.
 Imediata: o primeiro termo da série está 
no primeiro período do prazo.
 Postecipada: cada termo se localiza no 
final do período de vencimentofinal do período de vencimento.
Interatividade
Podemos afirmar que o montante composto 
gerado por um capital de R$ 1.000,00, 
aplicado a 1% a.m. em 12 meses será de 
quanto?
a) R$ 1.126,83.
b) R$ 1.216,83.
c) R$ 1.315,00.
d) R$ 1.186,83.
e) R$ 1.197,00.
Outra resolução para 
o exercício anterior
Podemos afirmar que o montante composto 
gerado por um capital de R$ 1.000,00, 
aplicado a 1% a.m. em 12 meses será de 
quanto?
 M = 1000 . (1 + 0,01)¹²
 M = 1000 . (1,01)¹²
 M = 1000 . 1,1268 = 1.126,80
Resposta: O montante composto
será de R$ 1.126,83.
Séries de capitais modelo básico:
fórmula do valor atual
 Valor presente ou à vista (A): 
teoricamente, o valor à vista da série de 
pagamentos poderia ser calculado, por 
meio da sua definição, termo a termo. 
 Na prática isso seria complicado, pois 
podemos ter séries com um grande 
número de termos. 
 Para evitar esse transtorno, 
estabeleceremos uma fórmula que fará 
isso por nós.
Séries de capitais modelo básico: 
fórmula do valor atual
Adotando R para representar as prestações, 
n para o número de prestações e i para a 
taxa de juros e aplicando a definição de 
valor atual na data zero, teremos:
A = R/(1+i) + R/(1+i) + R/(1+i) + ... + R/(1+i)
Fatorando e agrupando os termos da 
expressão acima, teremos:
2 3 n
A = R . n
n
ii
i
)1.(
1)1(


Séries de capitais modelo básico:
fórmula do montante
 Valor futuro ou montante (S): o valor 
futuro ou montante de uma série de 
rendas poderia ser calculado pela 
definição, corrigindo-se os valores dos 
depósitos para a data do último depósito 
e somando os nessa datae somando-os nessa data. 
 Esse procedimento seria, no entanto, 
impraticável para uma série com um 
número grande de termos. 
 Vamos então estabelecer uma fórmula 
que efetue todo esse cálculo para nós.
Séries de capitais modelo básico:
fórmula do montante
Adotando S para denominar o montante da 
série, poderíamos escrever, de acordo com 
a definição:
S = RiRiRiRiR nn   )1.()1.(...)1.()1.( 221S 
Fatorando e simplificando a expressão, 
teremos: 
i
iRS
n 1)1(. 
)()()()(
i
Séries de capitais modelo básico:
calculadora financeira
 Montante da Série (S)  FV
 Valor à Vista da Série (A)  PV
 Taxa de juros ( i )  i
 Número de termos da Série ( n )  n Número de termos da Série ( n )  n
 Valor dos Termos da Série (R)  PMT
Devemos lembrar que valores de entrada ou 
saída no fluxo de caixa deverão figurar com 
sinais diferentes (+ ou –) e que asinais diferentes (+ ou –) e que a 
calculadora deverá estar na opção END.
Séries de capitais modelo básico:
calculadora financeira
Quanto devo aplicar mensalmente à taxa de 
juros compostos de 1,5% a.m., para 
resgatar daqui a seis meses a quantia de R$ 
3.000,00, em termos postecipados?
g end
n = 6
i = 1,5
PMT = ?PMT = ?
FV = 3.000
PMT = 481,58
Séries de capitais modelo básico:
calculadora financeira
Um aparelho de som é anunciado com um 
preço à vista de R$ 1.200,00 ou três 
parcelas mensais iguais a R$ 500,00. 
Calcule a taxa de juros cobrada pela loja, 
supondo que a primeira parcela seja paga
a) no ato.
b) 30 dias após a compra.
Séries de capitais modelo básico:
calculadora financeira
Um aparelho de som é anunciado com um 
preço à vista de R$ 1.200,00 ou três 
parcelas mensais iguais a R$ 500,00. 
Calcule a taxa de juros cobrada pela loja, 
supondo que a primeira parcela seja paga 
no atono ato.
Entradas Teclas Visor
3 n
1200 PV
-500 FV
i 27,47
Séries de capitais modelo básico:
calculadora financeira
Um aparelho de som é anunciado com um 
preço à vista de R$ 1.200,00 ou três 
parcelas mensais iguais a R$ 500,00. 
Calcule a taxa de juros cobrada pela loja, 
supondo que a primeira parcela seja paga 
30 dias após a compra30 dias após a compra.
g end
Entradas Teclas Visor
3 n
1200 PV
-500 FV
i 12,04
Interatividade
O preço de uma motocicleta é de R$ 
20.000,00 à vista ou, caso o cliente desejar as 
facilidadesdo crediário, poderá pagá-la a 
prazo. No segundo caso, exigem-se 24 
prestações mensais consecutivas e iguais de 
R$ 1 245 46 De quanto é a taxa mensal deR$ 1.245,46. De quanto é a taxa mensal de 
juros compostos que está sendo cobrada?
a) 3,0%.
b) 2,0%.
c) 1,0%.c) 1,0%.
d) 3,5%.
e) 0,5%.
ATÉ A PRÓXIMA!