Integrais Triplas

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DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de Integração Tripla.
PROPÓSITO
Definir integral tripla, calcular a integral tripla por meio de integrais iteradas em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, e aplicar a integração tripla em
alguns problemas de cálculo integral com três variáveis.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Calcular a integral tripla
MÓDULO 2
Calcular a integral tripla em coordenadas cilíndricas e esféricas
MÓDULO 3
Aplicar o conceito de integração tripla

TAGS
Integral tripla, coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas, aplicações integrais triplas.
MÓDULO 1
 Calcular a integral tripla
INTRODUÇÃO
Ao se aplicar procedimentos análogos à integral simples aplicada em funções reais e à integral dupla aplicada em funções escalares com duas variáveis, também
podemos definir a integral tripla por meio de um somatório triplo, que envolverá uma função escalar do R3
.
Este módulo definirá a integração tripla e ensinará a realizar o seu cálculo.
DEFINIÇÃO DE INTEGRAL TRIPLA
 ATENÇÃO
Para definição da integral simples e integral dupla, foi utilizado um somatório denominado Somatório de Riemann.
Para a definição da integral simples, foi criada uma partição P = {u0, u1, ..., un} que dividia um intervalo [a,b] em n subintervalos [ui − 1, ui], tal que a = u0 0 e f(x,y,z) g(x,y,z) e f(x,y,z)que e 
∭
B
[f(x, y, z) ± g(x, y, z)]dxdydz = ∭
B
f(x, y, z)dxdydz ±∭
B
g(x, y, z)dxdydz
∭
B
k f(x, y, z)dxdydz = k∭
B
f(x, y, z)dxdydz
∭
B
f(x, y, z)dxdydz ≥ 0
∭
B
f(x, y, z)dxdydz ≥ ∭
B
g(x, y, z)dxdydz
B1 B2 B1∪ B2 = B B1 ∩ B2 = ∅
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CÁLCULO DA INTEGRAL TRIPLA
No cálculo integral de uma variável, é possível calcular as integrais definidas de uma forma mais direta, usando as integrais imediatas por meio do Teorema
Fundamental do Cálculo.
Integral dupla
Para o caso da integral dupla, é usado o Teorema de Fubini por meio do cálculo de duas integrais simples iteradas.

Integral tripla
Para o caso da integral tripla, a solução será transformar a integral em uma integral dupla e uma integral simples.
Vamos dividir em dois casos:
Quando B é um paralelepípedo — neste caso, os três intervalos de integração serão definidos por números e sem dependência entre as variáveis.
Quando os intervalos de integração de, pelo menos, uma variável depende das demais.
INTEGRAL TRIPLA SOBRE UM PARALELEPÍPEDO
Seja f(x,y,z) uma função escalar, integrável, definida em B⊂R3. O conjunto B é um paralelepípedo definido por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, pelo Teorema de Fubini para integral tripla:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A integral que vemos ao lado direito da expressão apresentada é denominada Integrais Iteradas.
 DICA
O nome Integrais Iteradas, indica que, inicialmente, integramos parcialmente em relação a uma variável, depois, integraremos em relação à segunda e, por fim,
em relação à terceira variável.
Em cada caso, similar ao realizado na integração dupla, durante a integração parcial, as demais variáveis são consideradas como constantes.
 ATENÇÃO
Para este caso, tanto faz integrar-se parcialmente em relação à variável x, y ou z. Assim, teremos cerca de seis possibilidades, de acordo com a ordem escolhida
de integração.
∭
B
f(x, y, z)dxdydz = ∭
B
f(x, y, z)dxdydz +∭
B
f(x, y, z)dxdydz
B ={(x, y, z)  ∈ R3/ a ≤ x ≤ b ,  c ≤ y ≤ d  e g ≤ y ≤ h},  com a, b, c, d, g e h reais
∭
B
f(x, y, z)dV = ∭
B
f(x, y, z)dxdydz =
b
∫
a
d
∫
c
h
∫
g
f(x, y, z)dzdydx
Repare na notação: dependendo da ordem escolhida, a ordem de dx, dy e dz deve mudar.
Os limites de integração em cada integral da direita para esquerda correspondem às diferenciais da direita para esquerda.
No caso do exemplo, o intervalo [a,b] corresponde à variável x, o intervalo [c,d] corresponde à variável y e, por fim, o intervalo [g,h] corresponde à variável z.
Para fixar o conteúdo, vamos mostrar a integral quando escolhemos integral na ordem das variáveis x, z e y:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pode ser provado que, para o caso de se ter f(x,y,z) = g(x)h(y)q(z), a integral é tripla, para quando os limites são numéricos, ela pode ser analisada como um
produto de três integrais simples:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 EXEMPLO
Como visto, a integral tripla será calculada com a determinação de três integrais simples. É importante relembrarmos as integrais simples imediatas e os métodos
de integração estudados no cálculo de uma variável.
EXEMPLO 1
Determine o valor de , em que B está contido em uma caixa, definido por 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3 e 0 ≤ z ≤ 1.
SOLUÇÃO
Usando as integrais iteradas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos integrar parcialmente em relação à variável x, mantendo as variáveis y e z constantes:
∭
B
f(x, y, z)dxdydz =
d
∫
c
h
∫
g
b
∫
a
f(x, y, z)dxdzdy
∭
B
f(x, y, z)dxdydz =
d
∫
c
h
∫
g
b
∫
a
f(x, y, z)dxdzdy =
b
∫
a
g(x)dx
d
∫
c
h(y)dy
h
∫
g
q(z)dz
∫ h
g
∫ d
c
b
∫
a
8 x(z + 1)y2
dxdydz =(∫ b
a
8xdx)(∫ d
c
y2dy)(∫ h
g
(z + 1)dz)
∭
B
(3xy + zy − 2xz)dxdydz
∭
B
(3xy + zy − 2xz)dxdydz  = ∫ 1
0
∫ 3
1
∫ 2
1
(3xy + zy − 2xz)dxdydz
2
∫
1
(3xy + zy − 2xz)dx =
2
∫
1
3xy dx +
2
∫
1
zy dx −
2
∫
1
2xz dx
2
∫
1
(3xy + zy − 2xz)dx = 3y
2
∫
1
x dx + zy
2
∫
1
 dx − 2z
2
∫
1
x dz
2
∫
1
(3xy + zy − 2xz)dx = 3y  x2∣∣
2
1
+ zy  x|21 − 2z  x2∣∣
2
1
1
2
1
2
2
∫
1
(3xy + zy − 2xz)dx = y(22 − 12)+zy(2 − 1)−z(22 − 12)3
2
2
∫
1
(3xy + zy − 2xz)dx = y + zy − 3z9
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando, agora, parcialmente em relação ao y, mantendo z constante:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, resolvemos a integral em z:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTEGRAL TRIPLA SOBRE UM VOLUME GENÉRICO
Seja f(x,y,z) uma função escalar, integrável, definida em B⊂R3. O conjunto B é uma região espacial limitada, isto é, um sólido.
 COMENTÁRIO
Vamos considerar que o sólido B é um conjunto de pontos (x,y,z) tais que, ao fixar o valor de (x,y), o valor de z estará limitado entre duas funções.
Considere o conjunto S ⊂ R2 um conjunto fechado e limitado, e sejam duas funções escalares g(x,y) e h(x,y) contínuas em S, tais que, para todo (x,y) ∈ S, g(x,y)
≤ h(x,y).
Seja B o conjunto do R3, isto é, dos pontos (x,y,z) tais que g(x,y) ≤ z ≤ h(x,y), para todo (x,y) ∈ S. Na verdade, o conjunto S é a projeção do sólido B no plano XY,
conforme a figura:
Assim, de forma análoga à integral dupla:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O raciocínio também poderia ter sido feito de outras duas maneiras:
PELA PROJEÇÃO DE B SOBRE O PLANO XZ
Pela projeção de B sobre o plano XZ, isto é, mantendo (x,y) fixo, sendo g(x,z) ≤ y ≤ h(x,z). Assim:
3
∫
1
( y + zy − 3z) dy =
3
∫
1
y dy + z
3
∫
1
y dy − 3z
3
∫
1
 dy
9
2
9
2
3
∫
1
( y + zy − 3z) dy =   y2∣∣
3
1
+ z  y2∣∣
3
1
− 3z y|
3
1
9
2
9
2
1
2
1
2
3
∫
1
( y + zy − 3z) dy =  (32 − 12)+ (32 − 12)−3z(3 − 1)9
2
9
4
z
2
3
∫
1
( y + zy − 3z) dy = 18 + 4z − 6z = 18 − 2z9
2
1
∫
0
(18 − 2z) dz = 18 z|1
0 − 2  z2∣∣
1
0
= 18 − 1 = 171
2
∭
B
f(x, y, z)dV = ∭
B
f(x, y, z)dxdydz  = ∬
S
[∫ h(x,y)
g(x,y)
f(x, y, z)dz]dxdy
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PELA PROJEÇÃO DE B SOBRE O PLANO YZ
Pela projeção de B sobre o plano YZ, isto é, mantendo (y,z) fixo, sendo g(y,z) ≤ x ≤ h(y,z). Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em todos os casos, o cálculo da integral tripla iniciará pela solução de uma integral simples, em que uma variável terá limites de integração dependendo das duas
outras variáveis. Por fim, deve ser resolvida uma integral dupla sobre a área S.
Para se determinar a projeção S do sólido B em um dos três planos cartesianos, existe a necessidade de termos uma visão espacial.
 ATENÇÃO
Se existirem regiões, dentro da área S, onde g(x,y) ≤ h(x,y), e outras, onde g(x,y) ≥ h(x,y), a integral deve ser separada em integrais em que a ordem de g(x,y) e
h(x,y) seja mantida. Para isso, deve ser usada a propriedade 4, vista no item anterior.
EXEMPLO 2
Determine em que B é a região interna ao paraboloide de equação com 
SOLUÇÃO
O sólido B projetado no plano XY forma um círculo de centro na origem e raio 3, que chamaremos de S, com equação x2+y2 = 9, conforme a figura:
Fixando o valor de (x,y), a variável z irá variar do paraboloide até o plano z = 9, assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em z:
∭
B
f(x, y, z)dV = ∭
B
f(x, y, z)dxdydz  = ∬
S
[∫ h(x,z)
g(x,z) f(x, y, z)dy]dxdz
∭
B
f(x, y, z)dV = ∭
B
f(x, y, z)dxdydz  = ∬
S
[∫ h(y,z)
g(y,z) f(x, y, z)dx]dydz
∭
B
√x2 + y2 dxdydz, z  =  x2  +  y2  z  ≤  9
x2 + y2 ≤ z ≤ 9
∭B
√x2 + y2 dxdydz = ∬S ∫
9
x2+y2 √x2 + y2 dz  dxdy
∫ 9
x2+y2 √x2 + y2 dz  = √x2 + y2  ∫ 9
x2+y2 dz = √x2 +y2 z|9
x2+y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual S é o círculo de equação x2+y2 = 9.
Agora, o problema caiu na resolução de uma integral dupla. Como ela tem simetria polar, mudaremos para variável polar.
Lembrando que e , assim 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A região S em coordenadas polares vale com 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESUMO DO MÓDULO 1
TEORIA NA PRÁTICA
Uma das aplicações da integral tripla é o cálculo de massa de um sólido, definido por meio de uma densidade volumétrica de massa. Seja um objeto sólido que
possui a forma de uma esfera de equação . Esse objeto tem uma densidade volumétrica de massa dada por .
Determine a massa do objeto, sabendo que ela pode ser obtida pela integral:
∫ 9
x2+y2 √x2 + y2 dz  = √x2 + y2  (9 − x
2 − y2)
∭
B
√x2 + y2 dxdydz = ∬
S
 √x2 + y2  (9 − x
2 − y2) dxdy
x = ρcosθ y = ρsenθ ρ2 = x2 + y2
∬
S
 √x2 + y2  (9 − x
2 − y2) dxdy = ∬
Sp
 ρ (9 − ρ
2) ρdρdθ
0 ≤ ρ ≤ 3 0 ≤ θ ≤ 2π
∬
Sp
 ρ (9 − ρ
2) ρdρdθ =
2π
∫
0
3
∫
0
(9ρ2 − ρ4)dρdθ =
2π
∫
0
dθ 
3
∫
0
(9ρ2 − ρ4)dρ
∬
Sp
 ρ (9 − ρ
2) ρdρdθ =(θ|2π0 )(9  ρ3∣∣
3
0
− ρ5∣∣
3
0
)1
3
1
5
∬
Sp
 ρ (9 − ρ
2) ρdρdθ = 2π[3(33)− 35]= 2π(81 − )=1
5
243
5
324π
5
x2 + y2 + z2 = 4 δ(x, y, z)  =  x2 kg/m3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
CÁLCULO DE INTEGRAL TRIPLA
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Calcular a integral tripla em coordenadas cilíndricas e esféricas
INTRODUÇÃO
Em alguns problemas, devido à sua simetria, às vezes, fica mais fácil de se resolver a integral tripla transformando as coordenadas retangulares para
coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas.
Este módulo apresentará o sistema de coordenadas cilíndricas e esféricas, e o cálculo da integral tripla por meio dessas coordenadas.
INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
SISTEMA DE COORDENADAS CILÍNDRICAS
Antes de estudarmos o cálculo da integral tripla em coordenadas cilíndricas, vamos definir o sistema de coordenadas cilíndricas.
O sistema de coordenadas cilíndricas é um sistema que permite a representação de um ponto P, no espaço, por meio de três coordenadas .
Veja a figura a seguir:
m = ∭
V
δ(x, y, z)dxdydz
(ρ, θ, z)
 EM QUE:
z: A coordenada z do ponto P representa a cota, isto é, a distância entre o ponto P e o plano xy. Repare que essa coordenada z é a mesma do sistema de
coordenadas retangulares (x,y,z). O valor de z varia de até 
Q: O ponto Q é a projeção do ponto P no plano XY.
ρ: A coordenada ρ é a distância entre o ponto Q e a origem O. O valor de ρ varia de 0 até 
θ: A coordenada θ é o ângulo no plano XY, medido no sentido anti-horário, entre o segmento OQ e o eixo positivo x. O valor de θ varia de zero até 2π.
 ATENÇÃO
Observe que as coordenadas ρ e θ são as polares do ponto Q, isto é, são as coordenadas polares da projeção do ponto P no plano XY.
A relação entre o sistema de coordenadas retangulares (x,y,z) e o sistema de coordenadas cilíndricas pode ser obtida por meio de uma análise
geométrica da figura. Dessa forma, para se converter as coordenadas cilíndricas de um ponto para coordenadas retangulares, usamos as equações:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Igualmente, para se converter as coordenadas retangulares de um ponto para as coordenadas cilíndricas, devem ser usadas as equações:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
Converta as coordenadas do ponto P(x,y,z) = (– 1 , – 1, 3) para coordenadas cilíndricas.
SOLUÇÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
−∞ ∞
∞
(ρ, θ, z)
x = ρ cosθ,   y = ρ senθ  e  z = z
ρ = √x2 + y2,   θ = arctg   e  z = z
y
x
ρ = √x2 + y2 = √(−1)2 + (−1)2 = √2
 como e , isto é, o ponto P está no terceiro quadrante do plano XY, assim o valor de .
E, por fim, z = 3. Portanto, .
EXEMPLO 4
Converta as coordenadas cilíndricas do ponto para coordenadas retangulares.
SOLUÇÃO
Logo, 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CÁLCULO DE INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CILÍNDRICAS
As coordenadas cilíndricas são muito utilizadas em problemas do R3 que envolvem simetria em torno de um eixo, que colocaremos, normalmente, como eixo z.
 EXEMPLO
Problemas que envolvem um cilindro ou um cone.
A integral tripla foi definida por meio de uma Soma Tripla de Riemann, que usou uma filosofia de dividir o volume de integração por paralelepípedos com volumes
, usando coordenadas retangulares.
Para representação em coordenadas cilíndricas, o sólido será dividido em volumes que terão, na sua base, retângulos polares com área dada por .
Assim, o volume de cada sólido será dado pela área da base vezes a altura, dada por ∆θ.
Deste modo, a Soma Tripla de Riemann pode ser definida como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando o limite da Soma Tripla de Riemann:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
V é o volume de integração em coordenadas retangulares
VC é o volume de integração em coordenadas cilíndricas
Repare que, como as integrais são calculadas em relação a limites de integração diferentes, torna-se necessário um fator de correção no integrando. Para o caso
da transformação de coordenada retangular para cilíndrica, esse fator valerá , conforme apresentado na equação acima.
A resolução da integral tripla em integrais iteradas segue o mesmo raciocínio apresentado para a integral tripla em coordenadas retangulares.
tgθ = = 1,
y
x x raio  4 → 0 ≤ ρ ≤ 4  e  0 ≤ θ ≤ 2π
f(x, y, z)  =  y2 f(ρ, θ, z)= ρ2sen2θ
∭
VC
f(ρ, θ, z) ρdρdθdz =
4
∫
0
2π
∫
0
16
∫
ρ
ρ2sen2θ  ρ dzdθdρ =
4
∫
0
2π
∫
0
16
∫
ρ
ρ3sen2θ  dzdθdρ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em z, mantendo ρ e θ constantes:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
✓ 
✓ 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS ESFÉRICAS
SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS
Outro sistema de coordenadas para representar um ponto no espaço é o sistema de coordenadas esférica. Antes de estudarmos o cálculo da integral tripla em
coordenadas esféricas, vamos definir esse sistema.
O sistema de coordenadas esféricas é um sistema que permite a representação de um ponto P, no espaço, por meio de três coordenadas .
Veja a figura a seguir:
 EM QUE:
r: A coordenada r é a distância radial do ponto, isto é, a distância entre o Ponto P e a origem do sistema O. O valor de r varia de 0 até ∞.
16
∫
ρ
ρ3sen2θ  dz = ρ3sen2θ
16
∫
ρ
dz = ρ3sen2θ z|
16
ρ = ρ3sen2θ (16 − ρ)
∭
VC
f(ρ, θ, z) ρdρdθdz =
4
∫
0
2π
∫
0
ρ3sen2θ (16 − ρ)dθdρ
∭
VC
f(ρ, θ, z) ρdρdθdz =(
2π
∫
0
sen2θ dθ)(
4
∫
0
ρ3 (16 − ρ)dρ)
2π
∫
0
sen2θ dθ =
2π
∫
0
( − sen(2θ)) dθ = θ|2π0 +   cos  (2θ)|
2π
0
= π1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
∫ 4
0
ρ3 (16 − ρ)dρ = ∫ 4
0
(16ρ3 − ρ4)dρ = 16   ρ4∣∣
4
0
−   ρ5∣∣
4
0
= 4 44 − 45 =1
4
1
5
1
5
4096
5
∭
VC
f(ρ, θ, z) ρdρdθdz = π.     =4096
5
4096π
5
(r,φ, θ)
φ: A coordenada φ é um azimute vertical, isto é, é o ângulo entre o segmento OP e o eixo positivo do z. O valor de φ varia de zero até π.
θ: Por fim, a coordenada θ é um azimute horizontal, isto é, o ângulo que o segmento OQ forma com eixo positivo do x. Ele é a mesma coordenada θ do
sistema cilíndrico. O ponto Q é a projeção do ponto P no plano XY.
A relação entre o sistema de coordenadas retangulares (x,y,z) e o sistema de coordenadas esféricas pode ser obtida por meio de uma análise
geométrica da figura. Assim, para se converter as coordenadas esféricas de um ponto para coordenadas retangulares, usamos as equações:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da mesma forma, para se converter as coordenadas retangulares de um ponto para as coordenadas esféricas, devem ser usadas as equações:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 7
Converta as coordenadas do ponto para coordenadas esféricas.
SOLUÇÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 como e , isto é, o ponto P está no segundo quadrante do plano XY, assim 
 assim 
Portanto, 
EXEMPLO 8
Converta as coordenadas esféricas do ponto para coordenadas retangulares.
SOLUÇÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, 
CÁLCULO DE INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS ESFÉRICAS
As coordenadas esféricas são muito utilizadas em problemas do R3 que envolvem simetria em torno de um ponto.
(r,φ, θ)
x = r senφ cosθ,  y = r senφ senθ  e  z = r cosφ
r = √x2 + y2 + z2,  φ = arctg   e  θ = arctg
√x2+y2
z
y
x
P(x, y, z) = (− ,   , 1)√6
2
√6
2
r = √x2 + y2 + z2 = √ + + 1 = √4 = 26
4
6
4
tgθ = = −1,
y
x x   0 θ = π − = .π
4
3π
4
tgφ = = = √3,
√x2+y2
z
√3
1
φ = .π
3
P(r,φ, θ)=(2,   , )3π
4
π
3
P(r,φ, θ)=(4,   , )π
4
π
6
x = r senφ cosθ = 4 sen  cos = 4 = √2π
6
π
4
1
2
√2
2
y = r senφ senθ = 4 sen  sen = 4 = √2π
6
π
4
1
2
√2
2
z = r cosφ = 4 cos   = 4 = 2√3π
6
√3
2
P(x, y, z)=(√2, √2,  2√3).
 EXEMPLO
Problemas que envolvem esferas.
Para representação em coordenadas esféricas, o sólido será dividido em volumes que terão a forma de cunhas esféricas. O volume da cunha esférica será dado
por .
Assim sendo, a Soma Tripla de Riemann pode ser definida como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando o limite da Soma Tripla de Riemann:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
V é o volume de integração em coordenadas retangulares
VE é o volume de integração em coordenadas esféricas
Repare que, como as integrais são calculadas em relação a limites de integração diferentes, torna-se necessário um fator de correção no integrando.
Para o caso da transformação de coordenada retangular para esféricas, esse fator valerá , conforme apresentado na equação anteriormente
apresentada.
A resolução da integral tripla em integrais iteradas segue o mesmo raciocínio apresentado para a integral tripla em coordenadas retangulares.
EXEMPLO 9
Determine a integral , em que V é o sólido contido na esfera 
SOLUÇÃO
A montagem dessa integral em coordenadas retangulares tornaria a sua solução bastante complicada.
Em coordenadas esféricas, o volume V será representado pelas equações e 
A função 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
✓ 
✓ 
✓ 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolveremos essa integral usando duas vezes o método de integração por partes.
r2senφ  Δ r Δ φ Δ θ
∑n
i=0 ∑
m
j=0 ∑
p
k=0 f(xpi, ypj, zpj)Δxi Δ yj Δ zk = ∑n
i=0 ∑
m
j=0 ∑
p
k=0 f(rpi,φpj, θpj) r2senφ  Δ r Δ
∭
V
f(x, y, z)dxdydz = ∭
VE
f(r,φ, θ) r2 senφ drdφdθ
r2 senφ
∭
V
8e√x2+y2+z2
dV x2 + y2 + z2 = 4.
0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ φ ≤ π.
f(x, y, z)= 8e√x2+y2+z2
→ f(r,φ, θ) = 8er.
∭
V
8ex
2+y2+z2
dV = ∭
VE
8er r2senφ drdφdθ
∭
VE
8er r2senφ drdφdθ = ∫ 2π
0
∫ π
0
∫ 2
0
8r2 ersenφ drdφdθ
= 8(∫ 2π
0
dθ)(∫ π
0
senφdφ)(∫ 2
0
r2 er dr)
2π
∫
0
dθ = 2π
π
∫
0
senφdφ = cos0 − cosπ = 2
2
∫
0
r2 er dr
Inicialmente, faremos e Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo, agora, e Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando à integral inicial:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Este módulo apresentou apenas o caso da mudança de variável para coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas. No entanto, a mudança de variável na
integral tripla pode ser feita de uma forma mais geral. O que mudará em cada caso será o fato de correção que aparecerá no integrando, por causa da mudança
dos intervalos de integração. As mudanças gerais não serão abordadas neste tema, mas podem ser estudadas em nossa bibliografia.
 SAIBA MAIS
Pesquise, na internet e nas referências bibliográficas, a mudança de variável em integrais triplas.
RESUMO DO MÓDULO 2
TEORIA NA PRÁTICA
u = r2 → du = 2rdr dv = erdr → v = er.
2
∫
0
r2 er dr = (r2er∣∣
2
0
− 2
2
∫
0
r er dr = 4e2 − 2
2
∫
0
r er dr
u = r → du = dr dv = erdr → v = er.
2
∫
0
r er dr = (r er|20 −
2
∫
0
 er dr = (r er|20 − (er|20 = 2e2 −(e2 − 1)= e2 + 1
2
∫
0
r2 er dr = 4e2 − 2
2
∫
0
r er dr = 4e2 − 2(e2 + 1)= 2e2 − 2
∭
VE
8er r2senφ drdφdθ = 8(∫ 2π
0
dθ)(∫ π
0
senφdφ)(∫ 2
0
r2 er dr)= 8. 2π. 2.  (2e2 − 2)
∭
V
8e√x2+y2+z2
dV = 64π(e2 − 1)
Considere que uma laranja tenha a forma de uma esfera com raio de 4 cm. Sabe-se que a obtenção do volume de um sólido pode ser feita pela integral tripla:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considere um gomo da laranja como se fosse uma cunha dessa esfera com abertura de Determine o volume ocupado por este gomo.
RESOLUÇÃO
INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS ESFÉRICAS
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Aplicar o conceito de integração tripla
INTRODUÇÃO
Existem várias aplicações, no cálculo diferencial e integral com três variáveis, em que a ferramenta da integração tripla é usada.
Entre essas aplicações,podemos citar: cálculo de volume de um sólido, densidades volumétricas, momentos e centro de massa de objetos.
Este módulo apresentará algumas dessas aplicações na resolução de alguns problemas de cálculo.
CÁLCULO DO VOLUME DE UM SÓLIDO
A integral tripla foi definida, em módulo anterior, por meio da Soma Tripla de Riemann:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
V = ∭
V
dV = ∭
V
dxdydz
.π
4
∭
B
f(x, y, z)dxdydz = lim
Δ→0
 ∑n
i=0 ∑
m
j=0 ∑
p
k=0 f(pijk)Δxi Δ yj Δ zk
∆→0: representa que todas as amplitudes de e tendem para zero.
Se fizermos o valor de f(x,y,z) = 1, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
∆→0: representa que todas as amplitudes de e tendem para zero.
Como estudado, a Soma de Riemann será uma soma de paralelepípedos e, quando ∆→0, esse somatório dos paralelepípedos definidos pelo limite da Soma
Tripla de Riemann será igual ao volume do sólido B.
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 10
Determine o volume do conjunto dos pontos do espaço B definidos como
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
O volume de B será dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Verificando que a representação do sólido B é um paralelepípedo de lados a = 2 – 1 = 1, b = 3 – 0 = 3 e c = 1 – (– 1) = 2, o volume seria a.b.c = 1.3.2 = 6.
EXEMPLO 11
Determine o volume de um sólido V definido pelos pontos interiores ao paraboloide para .
SOLUÇÃO
O volume V é o paraboloide que tem boca virada para baixo, que será obtido por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A projeção do sólido sobre o plano XY é o círculo 
Para um ponto (x,y) desse círculo, o valor de z irá variar de e o paraboloide z = 4 – x2 – y2
Assim:
Δxi , Δyj Δzk
∭
B
dxdydz = lim
Δ→0
 ∑n
i=0 ∑
m
j=0 ∑
p
k=0 Δxi Δ yj Δ zk
Δxi , Δyj Δzk
VB = ∭
B
dV = ∭
B
dxdydz
B ={(x, y, z) 1 ≤ x ≤ 2,   0 ≤ y ≤ 3 e − 1 ≤ z ≤ 1}
VB = ∭
B
dV = ∭
B
dxdydz =
2
∫
1
3
∫
0
1
∫
−1
dzdydx
VB =
2
∫
1
3
∫
0
1
∫
−1
dzdydx =(
2
∫
1
dz)(
3
∫
0
dy)(
1
∫
−1
dz)=(2 − 1)(3 − 0)(1 −(−1))= 6  
z  =  4 –  x2 –  y2  z ≥ 0
V = ∭
V
dV = ∭
V
dxdydz
4–x2– y2 = 0 → x2 + y2 = 4
z  =  0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela simetria polar, converteremos a integral dupla na sua forma polar, com o círculo tendo a equação e 
Como 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CÁLCULO DE MASSA E CENTRO DE MASSA
Dependendo das dimensões de um objeto, podemos definir sua massa em relação à sua dimensão pela densidade de massa.
Quando o objeto tiver apenas uma dimensão, isto é, uma linha, a densidade linear de massa será utilizada , medida em kg/m. Assim, cada parte infinitesimal
do objeto (dl) terá massa dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, um objeto que tem a dimensão linear e varia desde x = a até x = b, terá massa dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso de um objeto planar, com duas dimensões, a densidade superficial de massa será definida por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para se obter a massa, devemos usar a integração dupla:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para um objeto com três dimensões, será definida a densidade volumétrica de massa:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se a massa se dividir igualmente em todo volume, então, δ será uma constante, e a massa pode ser obtida multiplicando-se δ pelo volume. No entanto, quando o
volume não é homogêneo, tendo densidade volumétrica de massa diferente em cada ponto, teremos:
V = ∭
V
dxdydz = ∬C
4 – x2 – y2
∫
0
dz dxdy = ∬
C
(4 –  x2 –  y2)dxdy
0 ≤ ρ ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2π
4 –  x2 –  y2 → 4 − ρ2
∬
C
(4 –  x2 –  y2)dxdy = ∬
Cp
(4 –  ρ2) ρdρdθ
∬
C
(4 –  x2 –  y2)dxdy =
2π
∫
0
2
∫
0
(4 –  ρ2) ρdρdθ =(
2π
∫
0
dθ)(
2
∫
0
(4ρ –  ρ3)ρdρ)
V = ∭
V
dxdydz = (2π)(2ρ2∣∣
2
0
− ρ4∣∣
2
0
)= 2π(8 − 4)= 8π1
4
δ(x)
δ = lim
ΔL→0
  = (kg/m)Δm
ΔL
dm
dL
dm = δ dL
Massa L = ∫
L
dm = ∫
L
δ(x)dx =
b
∫
a
δ(x)dx
δ = lim
ΔS→0
  = (kg/m2)Δm
ΔS
dm
dS
δ = → dm = δdSdm
dS
Massa S = ∬
S
δ(x, y)dS = ∬
S
δ(x, y)dxdy
δ = lim
ΔV→0
  = (kg/m3)Δm
ΔV
dm
dV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O exemplo de aplicação foi dado para grandeza de massa, mas pode ser utilizado para diversas grandezas físicas que podem ser definidas pelas duas
densidades, como carga elétrica, corrente elétrica etc.
EXEMPLO 12
Determine a massa de um sólido na forma de um cubo, definido por , e , com densidade volumétrica de massa
.
SOLUÇÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, inicialmente, a integral na variável z, mantendo x e y constantes:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, resolvendo a integral em y, mantendo x constante:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, resolvendo a integral em x:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a massa do sólido vale 24.
A densidade volumétrica de massa também pode ser usada para se obter as coordenadas do centro de massa de um objeto.
O centro de massa é um ponto hipotético, no qual, na mecânica clássica, considera-se que toda massa do sistema físico estará concentrada.
As coordenadas do centro de massa de um objeto são obtidas dividindo-se o momento pela massa total. Para um objeto com densidade volumétrica de massa
dada por δ(x,y,z), as coordenadas do centro de massa podem ser obtidas pelas seguintes expressões:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A seguir, vamos analisar a aplicação das expressões.
EXEMPLO 13
Determine as coordenadas do centro de massa do cubo da questão anterior.
SOLUÇÃO
No exemplo anterior, foi calculado que a massa valia 24.
Massa V = ∭
V
δ(x, y, z) dV = ∭
V
δ(x, y, z) dxdydz
 0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 2 0 ≤ z ≤ 2
δ(x, y, z)= x + y + z
Massa V = ∭
V
δ(x, y, z) dxdydz = ∭
V
 (x + y + z)dxdydz
Massa V =
2
∫
0
2
∫
0
2
∫
0
(x + y + z)dxdydz
2
∫
0
(x + y + z)dz =(x + y)z|2
0 + z2∣∣
2
0
=(x + y)(2 − 0)+ (22 − 02)= 2x + 2y + 21
2
1
2
2
∫
0
(2x + 2y + 2)dy =(2x + 2)y|2
0 + 2 y2∣∣
2
0
=(2x + 2)(2 − 0)+(22 − 02)= 4x + 81
2
2
∫
0
(4x + 8)dx = 8x|
2
0 + 4 x2∣∣
2
0
= 8(2 − 0)+2(22 − 02)= 16 + 8 = 241
2
x̄ = ,   ȳ =    e   z̄ =
∭V xδ (x,y,z )dxdydz
m
∭V yδ (x,y,z )dxdydz
m
∭V zδ (x,y,z )dxdydz
m
m =  ∭
V
δ(x, y, z)dxdydz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, inicialmente, a integral na variável z, mantendo x e y constantes:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, resolvendo a integral em y, mantendo x constante:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, resolvendo a integral em x:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O valor das coordenadas e será semelhante, pela simetria do problema:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, o centro de massa está localizado no ponto 
CÁLCULO DE MOMENTO DE INÉRCIA
O momento de inércia quantifica a dificuldade de mudar um estado de rotação de um objeto em torno de um eixo e de umponto.
 EXEMPLO
Quanto maior for o momento de inércia de um objeto, mais difícil será girá-lo ou alterar sua rotação. Podemos definir o momento de inércia para um sólido
definido no espaço.
Seja um objeto no espaço com massa dada por sua densidade volumétrica de massa . Este objeto está definido por um volume dado por V. Estamos
interessados em calcular o momento de inércia desse objeto em relação aos três eixos coordenados.
Dividiremos esse objeto em partículas pontuais de massa dm, localizadas em um ponto (x,y,z). Dessa forma, o momento de inércia, em relação ao eixo, será
dado pela distância ao quadrado de dm ao eixo vezes o valor de dm.
Se somarmos os momentos de inércia de todas as partículas que compõem o objeto, obteremos o momento de inércia do corpo desejado.
Desse modo, teremos:
O MOMENTO INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO X
O MOMENTO INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO Y
O MOMENTO INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO Z
x̄ = = ∭
V
xδ(x, y, z)dxdydz = ∭
V
x(x + y + z)dxdydz
∭
V
xδ (x,y,z )dxdydz
m
1
24
1
24
x̄ = ∫ 2
0 ∫
2
0 ∫
2
0 x(x + y + z)dxdydz = ∫ 2
0 ∫
2
0 ∫
2
0 (x
2 + xy + xz)dxdydz1
24
1
24
2
∫
0
(x2 + xy + xz)dz =(x2 + xy) z|2
0 + x z2∣∣
2
0
=(x2 + xy)(2 − 0)+ (22 − 02)1
2
x
2
2
∫
0
(x2 + xy + xz)dz = 2x2 + 2xy + 2x
2
∫
0
(2x2 + 2xy + 2x) dy =(2x2 + 2x)y|2
0 + 2x y2∣∣
2
0
=(2x2 + 2x)(2 − 0)+x(22 − 02)1
2
2
∫
0
(2x
2
+ 2xy + 2x) dy = 4x2 + 4x + 4x = 4x2 + 8x
2
∫
0
(4x2 + 8x)dx = 4 x3∣∣
2
0
+ 8 x2∣∣
2
0
= (23 − 03)+4(22 − 03)= + 16 =1
3
1
2
4
3
32
3
80
3
x̄ = ∫ 2
0
∫ 2
0
∫ 2
0
x(x + y + z)dxdydz = . =1
24
1
24
80
3
10
9
x̄ z̄
ȳ = ∫ 2
0
∫ 2
0
∫ 2
0
y(x + y + z)dxdydz = . =1
24
1
24
80
3
10
9
z̄ = ∫ 2
0
∫ 2
0
∫ 2
0
z(x + y + z)dxdydz = . =1
24
1
24
80
3
10
9
(x, y, z)=( , , )10
9
10
9
10
9
δ(x, y, z)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 14
Determine o momento de inércia em torno dos três eixos coordenados para o cubo dos exemplos anteriores.
RESOLUÇÃO
Solução
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, inicialmente, a integral na variável x, mantendo y e z constantes:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, agora, a integral em y, mantendo z constante:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por fim, resolvendo a integral em z:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em relação aos eixos y e z:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela simetria, as integrais resultarão no mesmo valor da integral de Ix.
Assim, .
Ix = ∭
V
(y2 + z2)dm = ∭
V
(y2 + z2)δ(x, y, z)dV = ∭
V
(y2 + z2)δ(x, y, z)dxdydz
Iy = ∭
V
(x2 + z2)dm = ∭
V
(x2 + z2)δ(x, y, z)dV = ∭
V
(x2 + z2)δ(x, y, z)dxdydz
Iz = ∭V (z
2 + y2)dm = ∭V (z
2 + y2)δ(x, y, z)dV = ∭V (x
2 + y2)δ(x, y, z)dxdydz
Ix = ∭
V
(y2 + z2)δ(x, y, z)dxdydz = ∫ 2
0
∫ 2
0
∫ 2
0
(y2 + z2)(x + y + z)dxdydz
2
∫
0
[(y2 + z2)(y + z)+(y2 + z2)x] dz =
2
∫
0
[(y3 + y2z + z2y + z3)+(y2 + z2)x] dz =
=(y3 + y2z + z2y + z3) x|20 +(y2 + z2) x2∣∣
2
0
= 2(y3 + y2z + z2y + z3)+2(y2 + z2)=1
2
= 2y3 + y2(2z + 2)+ 2yz2 + (2z3 + 2z2)
2
∫
0
[2y3 + y2(2z + 2)+2yz2 +(2z3 + 2z2)] dy = 2  y4∣∣
2
0
+(2z + 2)  y3∣∣
2
0
+ 2z2 y2∣∣
2
0
+1
4
1
3
1
2
+(2z3 + 2z2)y|2
0 = 8 + (2z + 2)+4z2 + 4z3 + 4z2 = + z + 8z2 + 4z38
3
40
3
16
3
2
∫
0
( + z + 8z2 + 4z3)dz = z|2
0 + z2∣∣
2
0
+ 8 z3∣∣
2
0
+ 4 z4∣∣
2
0
40
3
16
3
40
3
16
3
1
2
1
3
1
4
2
∫
0
( + z + 8z2 + 4z3)dz = . 2 + . 2 + . 8 + 16 = + + 32 + 16 =40
3
8
3
40
3
16
3
8
3
80
3
32
3
224
3
Iy = ∭V (x
2 + z2)δ(x, y, z)dxdydz =
2
∫
0
2
∫
0
2
∫
0
(x2 + z2)(x + y + z)dxdydz
Iz = ∭
V
(x2 + y2)δ(x, y, z)dxdydz =
2
∫
0
2
∫
0
2
∫
0
(x2 + y2)(x + y + z)dxdydz
Iy = Iz = 224
3
RESUMO DO MÓDULO 3
TEORIA NA PRÁTICA
Qual o momento de inércia de um sólido na forma de um cilindro de raio b e altura h, em relação a um eixo que passa pelo seu centro? Sabe-se que a densidade
volumétrica de massa do cilindro vale , em que d é a distância de um ponto do cilindro ao seu eixo central.
RESOLUÇÃO
APLICAÇÃO INTEGRAL TRIPLA – MOMENTO DE INERCIA
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão:
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
d2
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este tema apresentou e aplicou o conceito da integral tripla de funções escalares.
No primeiro módulo, definimos a integral tripla e estudamos como se calcula a integral em coordenadas retangulares. Vimos que a integral tripla pode ser obtida
por meio de três integrais simples iteradas.
No segundo módulo, apresentamos o sistema de coordenadas cilíndricas e esféricas, bem como a representação e o cálculo da integral tripla nesses dois
sistemas de coordenadas.
Por fim, vimos exemplos de aplicação de integral tripla no cálculo de volumes, no cálculo de massa e centro de massa, e no momento de inércia.
Consideramos que, ao fim deste tema, você saiba definir e trabalhar com a integração tripla de funções escalares.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
APOSTOL, T. M. Cálculo. 2 ed. Estados Unidos da América: John Wiley & Sons, 1969. cap. 11, p. 92-416. Vol 2.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. 5 ed. São Paulo: LTC, 2013. cap. 5, p. 105-140. Vol 3.
STEWART, J. Cálculo. 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. cap. 16, p. 1020-1051. Vol 2.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise nas referências e na internet.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
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