Integrais Duplas

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DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de Integração Dupla.
PROPÓSITO
Definir a integral dupla e suas propriedades por meio das integrais simples iteradas em coordenadas cartesianas e em coordenadas polares, bem
como a integração dupla em alguns problemas de cálculo integral com duas variáveis.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Calcular a integral dupla
MÓDULO 2
Calcular a integral dupla na forma polar
MÓDULO 3
Aplicar o conceito de integração dupla
INTRODUÇÃO
Carregando conteúdo
MÓDULO 1
 Calcular a integral dupla
INTRODUÇÃO
A integração definida, estudada no cálculo de uma variável, foi uma operação criada por meio de um somatório para resolver problemas que
envolviam determinação de áreas.
AO SE APLICAR PROCEDIMENTOS ANÁLOGOS, SERÁ DEFINIDA A INTEGRAL DUPLA, POR
MEIO DE UM SOMATÓRIO DUPLO, COM O OBJETIVO PRINCIPAL DE CALCULAR VOLUME DE
UM SÓLIDO GERADO ENTRE O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ESCALAR DO R² E O PLANO XY
Este módulo definirá a integração dupla e ensinará a realizar o seu cálculo.
DEFINIÇÃO DE INTEGRAL DUPLA
Você já deve ter estudado o procedimento em que se substituía a área, que se desejava calcular, por um somatório de áreas retangulares. Esse
somatório era denominado soma de Riemann.
Vamos relembrar, rapidamente, esse procedimento.
SOMA DE RIEMANN PARA FUNÇÕES REAIS
Desejava-se obter a área entre uma função real f(x), isto é, de apenas uma variável real, e o eixo x, para um domínio definido pelo intervalo [a,b],
com a e b reais.
O primeiro passo foi a criação de uma partição P desse intervalo P= {u0, u1, ..., un}, que dividia [a,b] em n subintervalos [ui − 1, ui], tal que a = u00 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 3.
SOLUÇÃO
∬
S
3DXDY = LIM
∆ → 0
∑ N
I = 0∑ M
J = 0F PIJ ∆ XI ∆ YJ
( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Entretanto, f pij = 3, para todos pij
∬
S
3DXDY = LIM
∆ → 0
∑ N
I = 0∑ M
J = 03 ∆ XI ∆ YJ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∑ N
I = 0∑ M
J = 03 ∆ XI ∆ YJ = 3∑ N
I = 0∑ M
J = 0 ∆ XI ∆ YJ = 3∑ N
I = 0 ∆ XI∑
M
J = 0 ∆ YJ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela propriedade da soma telescópica:
∑ T
K = 0 ∆ ZK = ZT - Z0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
3∑ N
I = 0 ∆ XI∑
M
J = 0 ∆ YJ = 3(B - A)(D - C) = 3. (2 - 0). (3 - 0) = 18
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∬
S
3DXDY = LIM
∆ → 0
∑ N
I = 0∑ M
J = 03 ∆ XI ∆ YJ = LIM
∆ → 0
18 = 18
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DA MESMA FORMA QUE OCORREU COM O CÁLCULO DE INTEGRAIS SIMPLES, A
DETERMINAÇÃO DAS INTEGRAIS DUPLAS NÃO SERÁ FEITA PELO CÁLCULO DO LIMITE DE
SUA DEFINIÇÃO, CONFORME VISTO NO EXEMPLO ANTERIOR. EM TÓPICO POSTERIOR, SERÁ
ESTUDADO O TEOREMA DE FUBINI, QUE NOS PERMITE CALCULAR A INTEGRAL DUPLA POR
MEIO DO CÁLCULO DE DUAS INTEGRAIS SIMPLES.
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DUPLA
Podemos apresentar algumas propriedades para a integral dupla. A demonstração de todas elas é feita por meio de sua definição pela soma
dupla de Riemann.
Considere as funções f(x,y) e g(x,y) integráveis em S e k uma constante real:
( )
1)
∬
S
[F(X, Y) ± G(X, Y)]DXDY = ∬
S
F(X, Y)DXDY ± ∬
S
G(X, Y)DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2)
∬
S
KF(X, Y)DXDY = K∬
S
F(X, Y)DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3) Se f(x,y) ≥ 0 em S:
∬
S
F(X, Y)DXDY ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Pode-se utilizar a mesma analogia para f(x,y) ≤ 0, f(x,y) > 0 e f(x,y) g(x,y) e f(x,y)=
8
3 33 - 13 + 24(3 - 1)
∬
S
2X2 + 3Y DXDY =
8
3 . 26 + 24.2 =
208
3 + 48 =
352
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
( ) ( )
( )
( ) | | ( )
( ) ( )
( ) | ( )
( )
Calcule o volume do sólido formado por todos os pontos (x,y,z), tais que 1 ≤ x ≤ e, 1 ≤ y ≤ 2e e 0 ≤ z ≤ ln (xy).
SOLUÇÃO
Repare que o exercício está pedindo o cálculo do volume entre o gráfico de uma função z = f(x,y) e o plano xy. Observe que f(x,y) ≥ 0 para todo
seu domínio 1 ≤ x ≤ e, 1 ≤ y ≤ e.
Esse volume pode ser obtido por meio da integral dupla:
∬
S
LN(XY)DXDY = ∫E1∫2E
1 LN(XY)DY DX = ∫2E
1 ∫E1LN(XY)DX DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, inicialmente, em relação à variável x, mantendo a variável y constante:
∫E1LN(XY)DX = ∫E1(LNX + LNY)DX = ∫E1LNX DX + ∫E1LNY DX 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A segunda integral é mais rápida:
∫E1LNY DX = LNY ∫E1DX = LNY X|E1 = (E - 1)LNY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na primeira integral, devemos utilizar a integração por partes:
∫E1LNX DX , ONDE U = LN X → DU =
1
X E DV = DX → V = X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫E1LNX DX = [X LNX]E
1 - ∫E1X
1
XDX = [X LNX]E
1 - ∫E1DX = [X LNX]E
1 - [X]E
1
∫E1LNX DX = ELNE - 1LN1) - (E - 1) = E - 0 - E + 1 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma
(
∫E1LN(XY)DX = 1 + (E - 1)LNY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando:
∬
S
LN(XY)DXDY = ∫2E
1 1 + (E - 1)LNY DY
∫2E
1 1 + (E - 1)LNY DY = ∫2E
1 DY + (E - 1)∫2E
1 LNY DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
a) ∫2e
1 dy = [y]2e
1 = 2e - 1
b) (e - 1)∫2e
1 lny dy, usando a integral por partes já realizadas para o x:
∫LNY DY = YLN Y - Y + K, K REAL
(E - 1)∫2E
1 LNY DY = (E - 1) [Y LNY]2E
1 - [Y]2E
1
(E - 1)([2ELN2E - 1LN1] - [2E - 1]) = (E - 1)(2ELN2E - 2E + 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No entanto:
LN(2E) = LN2 + LNE = LN2 + 1
(E - 1)(2ELN2E - 2E + 1) = (E - 1)(2ELN2 + 2E - 2E + 1) = (E - 1)(2ELN2 + 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Finalmente:
( )
∬
S
LN(XY)DXDY = ∫2E
1 1 + (E - 1)LNY DY = 2E - 1 + (E - 1)(2ELN2 + 1)
∬
S
LN(XY)DXDY = 2E - 1 + 2E2LN2 + E - 2ELN2 - 1 = 3E - 2 + 2E2LN2 - 2ELN2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Até o momento, aplicamos o Teorema de Fubini para quando o domínio é um retângulo. Vejamos, agora, um corolário desse teorema que permite
calcular a integral dupla para qualquer domínio fechado de f(x,y).
Veremos que a única diferença em relação ao caso anterior é que, neste, os limites de integração da variável y dependerão da variável x, ou vice-
versa. A consequência disso é que não teremos mais a liberdade de escolher a ordem das integrações.
TEOREMA DE FUBINI – COROLÁRIO 1
Seja f(x,y) uma função escalar integrável no domínio S ⊂ R². Sejam c(x) e d(x) duas funções contínuas em [a,b] e tais que c(x) ≤ d(x).
Seja o conjunto
S = (X, Y) ∈ R2 / A ≤ X ≤ B E C X ≤ Y ≤ D X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∫BA∫D ( X )
C ( X )F(X, Y)DYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que, como a variação de y depende de x, obrigatoriamente a integração parcial em relação à variável y deve ser realizada primeiro.
TEOREMA DE FUBINI – COROLÁRIO 2
Seja f(x,y) uma função escalar integrável no domínio S ⊂ R2. Sejam a(y) e b(y) duas funções contínuas em [c,d] e tais que a(y) ≤ b(y).
Seja o conjunto
S = (X, Y) ∈ R2 / A Y ≤ X ≤ B Y E C ≤ Y ≤ D
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
{ ( ) ( )}
{ ( ) ( ) }
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∫DC∫B ( Y )
A ( Y )F(X, Y)DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma contrária, nesse caso, como a variação de x depende da variável y, a integração parcial em relação a x deve ser feita primeiramente.
EXEMPLO 4:
Determine o valor de ∬
S
2x2 + 3y dxdy, em que
S = {(X, Y) / 0 ≤ X ≤ 1 E 0 ≤ Y ≤ X}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
Observe que, diferentemente do exemplo já resolvido para essa função, não estamos mais integrando em um retângulo, mais, sim, em uma
região, como mostra a Figura 6:
 Figura 6
 ATENÇÃO
Como os limites da variável y dependerão de x, a integral parcial em y deve ser feita em primeiro lugar, uma vez que, para um x fixo, a variável y
irá variar de 0 até x.
Usando as integrais iteradas:
∬
S
2X2 + 3Y DXDY = ∫10∫X0 2X2 + 3Y DYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( ) ( )
Vamos integrar parcialmente ∫x0 2x2 + 3y dy em relação à variável y, mantendo x constante.
A(X) = ∫X0 2X2 + 3Y DX = 2X2Y
X
0 + 3 
1
2Y
2 X
0
= 2X2(X - 0) +
3
2 X2 - 02 = 2X3 +
3
2X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∬
S
2X2 + 3Y DXDY = ∫10 2X3 +
3
2X2 DX
∫10 2X3 +
3
2X2 DX =
2
4X4
1
0
+
3
2 .
1
3X3
1
0
=
1
2 14 - 04 +
1
2 13 - 03 =
1
2 +
1
2 = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É óbvio que a região S poderia ser analisada de outra forma, escolhendo um valor de y e fazendo x variar entre 0 e y. Assim, a integral também
poderia ser resolvida como:
∬
S
2X2 + 3Y DXDY = ∫10∫1
Y 2X2 + 3Y DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Só que, para esse caso, a integral parcial em relação à variável x deve ser feita primeiramente. Essa segunda solução ficará como exercício para
se verificar o mesmo resultado do anterior.
 ATENÇÃO
É preciso que as integrais sejam sempre separadas em regiões onde a dependência de uma variável em relação à outra seja igual. Veja o caso
representado na Figura 7 para um domínio S
( )
( ) | | ( )
( ) ( )
( ) | | ( ) ( )
( ) ( )
 Figura 7
Repare que a variação de y em relação a x tem uma composição para a ≤ x ≤ b e outra para b ≤ x ≤ c. Dessa forma:
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∫BA∫D1 ( X )
C1 ( X )F(X, Y)DYDX + ∫CB∫D2 ( X )
C2 ( X )F(X, Y)DYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 5
Determine o valor de ∬
S
2x2 + 3y dxdy, em que
S = {(X, Y) / 0 ≤ X ≤ 2 E 0 ≤ Y ≤ G(X)}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
, e g(x) =
x, 0 ≤ x ≤ 1
4, 1 ≤ x ≤ 2
SOLUÇÃO
Observe que, diferentemente do exemplo anterior, devemos dividir o intervalo de integração em razão de a dependência da variação de y em
relação a x ser diferente para cada intervalo.
∬
S
2X2 + 3Y DXDY = ∫10∫X0 2X2 + 3Y DYDX + ∫21∫40 2X2 + 3Y DYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A primeira integral ∫10∫x0 2x2 + 3y dydx já foi realizada no exemplo anterior e vale 1.
Vamos resolver a segunda integral que está faltando ∫21∫40 2x2 + 3y dydx
( )
{
( ) ( ) ( )
( )
( )
Integrando, inicialmente, em y, ∫40 2x2 + 3y dy, mantendo a variável x constante:
∫40 2X2 + 3Y DY = 2X2Y
4
0 + 3 
1
2Y
2 4
0
= 2X2(4 - 0) +
3
2 42 - 02 = 8X2 + 24
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∫21∫40 2X2 + 3Y DYDX = ∫21 8X2 + 24 DX
∫21 8X2 + 24 DX =
8
3X3
2
1
+ 24X|21 =
8
3 23 - 13 + 24(2 - 1) =
64
3 + 48
∬
S
2X2 + 3Y DXDY = 1 +
64
3 + 48 =
211
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESUMO DO MÓDULO 1
( )
( ) | | ( )
( ) ( )
( ) | ( )
( )
TEORIA NA PRÁTICA
Use a integração dupla para determinar o volume de um cilindro de raio de 3 cm e altura de 10 cm.
SOLUÇÃOVeja a seguir a solução desta questão:
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Calcular a Integral dupla na forma polar
INTRODUÇÃO
Em alguns problemas, devido à sua simetria, pode ficar mais fácil resolver a integral dupla transformando o integrando para sua forma polar.
Este módulo apresentará o cálculo da integral dupla por meio de sua forma polar.
INTEGRAL DUPLA EM COORDENADAS POLARES
O sistema de coordenada polares já foi estudado para representar curvas no plano. Para definirmos esse sistema, necessitamos de um ponto
(origem) e de uma semirreta, que parte dessa origem, denominada eixo polar.
UTILIZANDO OS EIXOS CARTESIANOS X E Y, COLOCAMOS A ORIGEM DO SISTEMA POLAR NA
ORIGEM DO SISTEMA CARTESIANO, ISTO É, NO PONTO O, QUE É A INTERSEÇÃO DOS DOIS
EIXOS, E O EIXO POLAR SERÁ O EIXO POSITIVO DO EIXO X.
As coordenadas polares de um ponto serão:
A distância do ponto à origem do sistema polar, representada por ρ.
O ângulo que a reta OP faz com o eixo polar, representada por θ, medido no sentido anti-horário.
Dessa forma, o ponto P em coordenadas polares será representado por P(ρ,θ).
 Figura 08
A relação entre o sistema cartesiano (x,y) e polar (ρ,θ) será dado pelas equações:
X = Ρ COSΘ
Y = Ρ SENΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
Ρ = √X2 + Y2
TG Θ =
Y
X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imaginemos, agora, a situação em que desejamos calcular a integral dupla ∬
S
f(x, y)dxdy, na qual a região S pode ser mais facilmente
representada por sua equação polar do que sua equação retangular.
PARA ESSES CASOS, SERIA MAIS FÁCIL TERMOS UM MÉTODO DE RESOLVER A INTEGRAL
DUPLA COM A FUNÇÃO NA SUA FORMA POLAR. NO ENTANTO, A INTEGRAL DUPLA É
DEFINIDA POR MEIO DE UMA SOMA DUPLA DE RIEMANN, QUE FOI DEFINIDA ATRAVÉS DE
UMA PARTIÇÃO DO DOMÍNIO DA FUNÇÃO EM RETÂNGULOS. DESSE MODO, TORNA-SE
{
{
NECESSÁRIO, PARA O CASO DA INTEGRAL EM COORDENADAS POLARES, RETOMARMOS À
DEFINIÇÃO DA INTEGRAÇÃO.
O desejo é obter os limites e integração determinados pelas variáveis polares ρ e θ. Assim, as partições da região S não poderiam mais serem
feitas na forma de retângulos que possuem áreas do tipo ∆x∆y , mas sim de retângulos polares, que serão definidos por ∆ρ e ∆θ.
Portanto, a partição será dividida em sub-retângulos polares do tipo:
RIJ = ΡI, ΘJ /ΡI - 1 ≤ Ρ ≤ ΡI E ΘJ - 1 ≤ Θ ≤ ΘJ 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Figura 09
A área desse retângulo polar pode ser calculada pela subtração de dois setores circulares:
∆ AIJ =
1
2Ρ2
I ∆ ΘI -
1
2Ρ 2
I - 1 ∆ ΘI =
1
2 ∆ ΘI Ρ2
I - Ρ 2
I - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
Ρ2
I - Ρ 2
I - 1 = ΡI + ΡI - 1 ΡI - ΡI - 1 = ΡI + ΡI - 1 ∆ ΡI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como vamos trabalhar com retângulo polares muito pequenos, pois faremos, posteriormente, o número de retângulo tendendo a infinito
ρi ≈ ρi - 1 → ρi + ρi - 1 = 2ρi
Assim
∆ AIJ =
1
2Ρ2
I ∆ ΘI -
1
2Ρ 2
I - 1 ∆ ΘI =
1
2 ∆ ΘI ΡI + ΡI - 1 ∆ ΡI =
1
2 ∆ ΘI2ΡI ∆ ΡI = ΡI ∆ ΘI ∆ ΡI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
{( ) }
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) )
( )
No caso das coordenadas retangulares, a área de Rij era dada por ∆ xi ∆ yi e deduzimos a soma dupla de Riemann como:
∑ N
I = 0∑ M
J = 0F PIJ ∆ XI ∆ YJ = ∑ N
I = 0∑ M
J = 0F XPI, YPI ∆ AIJ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para cada um desses sub-retângulos, será escolhido, arbitrariamente, um ponto pij, com coordenadas polares ρpi, θpj .
O valor da área infinitesimal em relação às coordenadas polares será ∆ Aij = ρi ∆ θi ∆ ρi.
Assim, a soma dupla de Riemann será dada por:
∑ N
I = 0∑ M
J = 0F XPI, YPJ ∆ AIJ = ∑ N
I = 0∑ M
J = 0F ΡPICOSΘPJ, ΡPISENΘPJ ΡI ∆ ΘI ∆ ΡI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando o limite da soma dupla de Riemann, temos:
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∬
SP
F(Ρ COSΘ, Ρ SENΘ) ΡDΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que S é o domínio da função f em coordenadas retangulares e Sp é o domínio da função f em coordenadas polares.
COMO AS INTEGRAIS SÃO CALCULADAS EM RELAÇÃO AOS LIMITES DE INTEGRAÇÃO
DIFERENTES, TORNA-SE NECESSÁRIO UM FATOR DE CORREÇÃO NO INTEGRANDO. PARA O
CASO DA TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADA RETANGULAR PARA POLAR, ESSE FATOR É Ρ,
CONFORME DEMONSTRAMOS PELOS NOSSOS CÁLCULOS.
Caso não fosse colocado o fator de correção ρ, os limites de integração em relação a ρ e θ não representariam uma região de forma polar, mas,
sim, um retângulo normal, não representando corretamente a região S.
 RESUMINDO
Seja f(x,y) integrável no retângulo polar definido por a≤ρ≤b e α ≤ θ ≤ β, com β- α menor do que uma volta completa, isto é, β- α ≤ 2π. Então:
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∫ΒΑ∫BAF(Ρ COSΘ, Ρ SENΘ) ΡDΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso de as variações angulares de θ dependerem da variável radial ρ, ou vice-versa, deve ser usado os corolários do Teorema de Fubini
para determinar a ordem de integração.
( ) ( )
( )
( ) ( )
EXEMPLO 1
Determine o volume do cilindro de raio de 3 cm e altura de 10 cm.
SOLUÇÃO
No item Teoria na Prática do Módulo 1, resolvemos esse exercício por meio de coordenadas retangulares, solucionando a integral dupla:
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∫ 3
- 3∫ √9 - X2
-√9 - X210 DYDX = 90Π CM3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No entanto, se observarmos o domínio S utilizado: x2 + y2 = 9, pela sua simetria, poderia ser representado pela curva polar ρ = 3, com 0 ≤ θ ≤ 2π.
Desse modo:
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∫2Π
0 ∫3010 ΡDΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como os limites são números, podemos resolver a integrais iteradas em qualquer ordem, inicialmente, resolvendo em relação à variável ρ:
∫3010 ΡDΡ = 10∫30 ΡDΡ = 10
1
2Ρ2
3
0
= 5 32 - 02 = 45
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∬
S
F(X, Y)DXDY = ∫2Π
0 45 DΘ = 45 Θ|2Π
0 = 45(2Π - 0) = 90Π CM3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 DICA
Compare as duas soluções e veja como foi muito mais rápido pelo uso das coordenadas polares.
EXEMPLO 2
| ( )
Determine ∬
s
2 cos x2 + y2 dxdy, sendo:
S = (X, Y) ∈ R2 /X2 + Y2 ≤ 1 E Y ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
A superfície S é uma semicircunferência de raio 1.
Como x2+y2=ρ2, em coordenadas polares, esta terá uma equação ρ = 1, com 0 ≤ θ ≤ π. O valor de θ foi limitado a π, pois é apenas metade da
circunferência e não ela inteira.
Convertendo a função cos(x2+y2 ) para coordenada polar, temos cos(ρ2 ).
Então:
∬
S
2 COS X2 + Y2 DXDY = ∫Π0∫10COS Ρ2 ΡDΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, primeiramente, a integral em θ, mantendo ρ constante:
∫Π0COS Ρ2 ΡDΘ = ΡCOS Ρ2 ∫Π0DΘ = ΡCOS Ρ2 Θ|Π0 = ΠΡCOS Ρ2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
∫10COS Ρ2 ΡDΡDΘ = ∫10ΠΡ COS Ρ2 DΡ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo a substituição u = ρ2 → du = 2ρdρ. Para ρ = 0 → u = 0 e ρ = 1 → u = 1
∫10ΠΡ COS Ρ2 DΡ =
Π
2 ∫10COS(U)DU =
Π
2 SEN(U)|10
∫10ΠΡ COS Ρ2 DΡ =
Π
2 SEN(U)|10 =
Π
2 (SEN(1) - SEN(0)) =
Π
2 
( )
{ }
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Caso montássemos a integral de forma errada, como:
∫Π0∫10COS Ρ2 DΡDΘ 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
isto é, sem colocar o fator ρ, não estaríamos integrando em relação a um semicírculo de raio 1, mas sim em relação a um retângulode lados (π -
0 = π) e lado (1 – 0 = 1). Não sendo isso o que foi pedido no problema.
EXEMPLO 3
Determine o valor da integral ∬
S
4 ρdρdθ, em que S é uma região definida por
S = (Ρ, Θ) / -
Π
4 ≤ Θ ≤
Π
4 E 0 ≤ Ρ ≤ 2COSΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
Π
4
∫
-
Π
4
2COSΘ
∫
0
4 ΡDΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a variação de ρ depende de θ, a integral de ρ deve ser feita primeiramente:
2COSΘ
∫
0
4 ΡDΡ = 4 
1
2Ρ2
2COSΘ
0
= 2(2 COSΘ)2 = 8 COS2Θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
( )
{ }
|
Π
4
∫
-
Π
4
2COSΘ
∫
0
4 ΡDΡDΘ =
Π
4
∫
-
Π
4
8 COS2Θ DΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a fórmula do arco duplo cos2θ =
1
2 cos 2θ +
1
2
Π
4
∫
-
Π
4
8 COS2Θ DΘ =
Π
4
∫
-
Π
4
(4COS(2Θ) + 4)DΘ = 4
Π
4
∫
-
Π
4
COS(2Θ) DΘ + 4
Π
4
∫
-
Π
4
 DΘ
Π
4
∫
-
Π
4
8 COS2Θ DΘ = 4 
1
2SEN 2Θ
Π
4
-
Π
4
+ 4 Θ)|
Π
4
-
Π
4
= 2 SEN
Π
2 - SEN -
Π
2 + 4
Π
4 - -
Π
4
Π
4
∫
-
Π
4
2COSΘ
∫
0
4 ΡDΡDΘ = 2(1 + 1) + 4
Π
4 +
Π
4 = 4 + 2Π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Este módulo apresentou apenas o caso das coordenadas polares. A análise também poderia ter sido feita com a obtenção da expressão geral
para mudança de variável em uma integral dupla, sendo a mudança de coordenadas retangulares para polares um caso particular dessa
expressão geral.
 DICA
As mudanças gerais não serão abordadas neste Tema, mas podem ser estudadas em nossa bibliografia de referência.
( )
( ) | ( ( ) ( )) ( ( ))
( )
RESUMO MÓDULO 2
TEORIA NA PRÁTICA
Um reservatório de água tem a forma de um paraboloide de concavidade para baixo. Sua forma pode ser modelada por meio de um sólido
formado entre o paraboloide de equação z = 4 – x2 – y2 e o plano z = 0. Determine o volume desse reservatório.
RESOLUÇÃO
Veja a seguir a solução desta questão:
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Aplicar o conceito de integração dupla
INTRODUÇÃO
Existem várias aplicações no cálculo diferencial e integral com duas variáveis em que a ferramenta da integração dupla é usada. Entre tais
aplicações, podemos citar: cálculo de área de superfície, densidades superficiais, momentos e centro de massa.
Este módulo apresentará algumas dessas aplicações na resolução de alguns problemas de cálculo.
CÁLCULO DE ÁREA DE UMA REGIÃO NO PLANO
A integral dupla pode ser utilizada para se calcular área de um conjunto de pontos em um plano.
Foi visto que ∬
S
f(x, y)dxdy representa o volume entre a função f(x,y) e o plano xy. Esse volume foi obtido dividindo-se o domínio da função em
retângulos com dimensões que tendiam a zero, desse modo, aproximando-se o volume por uma soma de paralelepípedos com base dxdy e
altura f(x,y).
Se fizermos o valor de f(x,y) = 1, o volume se converte apenas à área da base. Como estamos integrando em S, a área do conjunto de pontos
que compões a região S.
Assim, seja S ⊂ R²:
ÁREA S = ∬
S
DS = ∬
S
DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 1
Determine a área da superfície S definida por
S = (X, Y) ∈ R2 / 0 ≤ X ≤ 2 E 0 ≤ Y ≤ EX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SOLUÇÃO
A área S pode ser representada pela figura a seguir:
{ }
 Figura 11
Assim:
ÁREA S = ∬
S
DS = ∫20∫E
X
0 DY DX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o limite da variável y depende da variável x, a integral parcial em y deve ser resolvida primeiramente:
∫E
X
0 DY = Y|E
X
0 = EX
ÁREA S = ∫20EXDX = EX 2
0 = E2 - E0 = E2 - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, repetir a solução do exercício analisando a área S contendo uma variação de x dependendo da variável y.
 COMENTÁRIO
A resolução da integral por esse caminho é mais complexa do que a primeira solução, mas serve como exercício para fixar o conteúdo. Esse é
um bom exemplo de que, às vezes, a ordem escolhida para integração pode simplificar ou complicar a resolução de um problema.
Para tal caso, a área S deveria ser separada em duas regiões:
S = S1 ∪ S2
S1 = (X, Y) ∈ R2 / 0 ≤ Y ≤ E0 E 0 ≤ X ≤ 2
|
{ }
S2 = (X, Y) ∈ R2 / E0 ≤ Y ≤ E2 E LN Y ≤ X ≤ 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que, se y = ex → x = ln y
A região S1 é um retângulo de área 2e0 = 2 . 1 = 2
Para região S2
ÁREA S2 = ∬
S2
DS = ∫E
2
1 ∫ 2
LNYDX DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em x:
∫ 2
LNYDX = X| 2
LN Y = 2 - LNY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
ÁREA S2 = ∫E
2
1 (2 - LNY) DY = ∫E
2
1 2DY - ∫E
2
1 LNYDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A primeira parcela
∫E
2
1 2DY = 2Y|E
2
1 = 2E2 - 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para a segunda parcela, já foi calculado, neste tema, o valor da integral por meio da integração por partes
∫LNZ DZ = ZLN Z - Z + C, C CTE
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
{ }
ÁREA S2 = ∫E
2
1 LNY DY = (YLN Y - Y)|E
2
1 = E2LNE2 - E2 - 1LN1 - 1) = 2E2 - E2 + 1 = E2 + 1
A ÁREA S2 = 2E2 - 2 - E2 + 1 = E2 - 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, a área S = 2 + e2 – 3 = e2 – 1, que foi o mesmo resultado obtido anteriormente.
EXEMPLO 2
Determine, por meio de uma integração dupla, a área de um círculo de 2 cm de raio.
SOLUÇÃO
Para esse caso, pela simetria de S, é mais fácil usarmos as coordenadas polares. Assim, a região S será dada por ρ = 2 e 0 ≤ θ ≤ 2π.
Portanto:
ÁREA S = ∬
S
DS = ∬
S
DXDY = ∬
S
Ρ DΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obs.: Essa mudança de variável na integral já foi vista no módulo anterior.
Portanto:
ÁREA S = ∬
S
Ρ DΡDΘ = ∫20∫2Π
0 ΡDΘDΡ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, inicialmente, a integral em θ:
∫2Π
0 ΡDΘ = Ρ Θ|2Π
0 = Ρ (2Π - 0) = 2ΠΡ
ÁREA S = ∫202ΠΡ DΡ = 2Π 
1
2Ρ2
2
0
= Π Ρ2 2
0 = 4Π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) (
( )
| |
CÁLCULO DE MASSA E CENTRO DE MASSA
A massa de um objeto plano pode ser definida por meio de uma função que determina a densidade superficial de massa (δ).
Lembremos do conceito que estabelece que δ é a razão entre a massa e a área da superfície, de modo que:
Δ = LIM
∆ S → 0
∆ M
∆ S =
DM
DS KG /M²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se a massa se dividir igualmente em toda superfície, então δ será constante, e a massa pode ser obtida multiplicando-se δ pela área. Entretanto,
quando a superfície não é homogênea, tendo densidade superficial de massa diferente em cada ponto, devemos usar a integração dupla para
obter a massa.
Δ =
DM
DS → DM = ΔDS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
MASSA S = ∬
S
Δ(X, Y)DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Foi dado um exemplo de aplicação para densidade superficial de massa, mas ele pode ser estendido para várias grandezas estudadas na Física,
por exemplo, densidade superficial de carga, densidade superficial de corrente etc. Em todos os casos, o valor da grandeza será obtido pelo
cálculo de uma integral dupla similar à utilizada para calcular a massa.
A Física também nos ensina que o centro de massa de um objeto plano pode ser obtido pela divisão do momento pela massa total. Para um
objeto com densidade superficial e massa dada por δ(x,y), as coordenadas do centro de massa podemser obtidas pelas expressões:
X̄ =
∬
S
XΔ ( X , Y ) DXDY
M E Ȳ =
∬
S
YΔ ( X , Y ) DXDY
M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
( )
M = ∬
S
Δ(X, Y)DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos fazer um exercício para verificar a aplicação das expressões.
EXEMPLO 3
Uma chapa tem a forma de um triângulo retângulo de catetos 3, 4 e 5. Este triângulo possui vértices nos pontos (0,0), (3,0) e (0,4). Determine a
massa e o centro de massa da chapa, sabendo que
δ = 5 kg/m²
SOLUÇÃO
Se tem uma chapa homogênea, m = δ Área.
Como é um triângulo retângulo de catetos 3 e 4, a área será A = 
1
2 3.4 = 6
Logo, a massa será m = 5 . 6 = 30 kg.
Para centro de massa:
X̄ =
∬
S
XΔ ( X , Y ) DXDY
M =
1
30∬
S
5X DXDY =
1
6∬
S
X DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para sabermos os limites de integração, necessitamos da equação da reta que une os vértices (3,0) e (4,0), uma vez que, fixando o valor de x, a
variável y irá variar de zero até essa reta (hipotenusa do triângulo).
A geometria analítica nos ensina que a equação da reta poderá ser tirada através do determinante:
X Y 1
3 0 1
0 4 1
= 0 → 12 - 4X - 3Y = 0 → Y = 4 -
4
3X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, para o triângulo poderíamos definir os limites de duas formas:
i) 0 ≤ x ≤ 4 e 4 -
4
3 x
ou
ii) 0 ≤ y ≤ 3 e 0 ≤ x ≤ -
3
4 y
Usaremos o primeiro caso:
X̄ =
1
6∬
S
X DXDY =
1
6 ∫40∫4 -
4
3 X
0 XDYDX
| |
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em y:
1
6 ∫4 -
4
3 X
0 X DY =
1
6X Y|4 -
4
3 X
0 =
X
6 4 -
4
3X =
2
3X -
2
9X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
X̄ = ∫40
2
3X -
2
9X2 DX =
2
3 
1
2 X2 4
0 -
2
9 
1
3 X3 4
0 =
16
3 -
128
27 =
16
9
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Continuando:
Ȳ =
∬
S
YΔ ( X , Y ) DXDY
M =
1
6∬
S
Y DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já calculamos os limites de integração, mas usaremos a segunda configuração para esse caso:
Ȳ =
1
6∬
S
Y DXDY =
1
6 ∫30∫3 -
3
4 Y
0 YDX DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em x:
1
6 ∫3 -
3
4 Y
0 Y DX =
1
6Y X|3 -
3
4 Y
0 =
Y
6 3 -
3
4Y =
1
2Y -
1
8Y2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
Ȳ = ∫30
1
2Y -
1
8Y2 DY =
1
2 
1
2 Y2 3
0 -
1
8 
1
3 Y3 3
0 =
9
4 -
9
24 =
25
24
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( ) | |
( )
( ) | |
Desse modo, as coordenadas do centro de massa serão 
16
9 ,
25
24
EXEMPLO 4
Uma chapa tem a forma de um triângulo retângulo de catetos 3, 4 e 5. Esse triângulo possui vértices nos pontos (0,0), (3,0) e (0,4). Determine a
massa e o centro de massa da chapa sabendo que
δ(x,y) = (1 + x + y) kg/m²
SOLUÇÃO
Nesse caso, a chapa é não homogênea, de forma que:
M = ∬
S
Δ(X, Y)DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os limites de integração já foram definidos no exemplo anterior.
M = ∬
S
(1 + X + Y) DXDY = ∫40∫4 -
4
3 X
0 (1 + X + Y) DYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em y:
∫4 -
4
3 x
0 (1 + x + y )dy = (1 + x)y|4 -
4
3 x
0 +
1
2 y2 4 -
4
3 x
0 = (1 + x) 4 -
4
3 x +
1
2 4 -
4
3 x
2
= 4 -
4
3 x + 4x -
4
3 x2 + 8 -
16
3 x +
8
9 x2 = 12 -
8
3 x -
4
9 x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
M = ∫40 12 -
8
3X -
4
9X2 DX = 12X|40 -
8
3 
1
2 X2 4
0 -
4
9 
1
3 X3 4
0 = 48 -
64
3 -
256
27 =
464
27 KG
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para centro de massa:
X̄ =
∬
S
XΔ ( X , Y ) DXDY
M =
1
M∬
S
(1 + X + Y)X DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
| ( ) ( )
( ) | |
Substituiremos m apenas no fim:
X̄ =
1
M∬
S
(1 + X + Y)X DXDY =
1
M ∫40∫4 -
4
3 X
0 X + X2 + XY DYDX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral em y:
∫4 -
4
3 X
0 X + X2 + XY DY = X + X2 Y|4 -
4
3 X
0 + X 
1
2Y2
4 -
4
3 X
0
∫4 -
4
3 X
0 X + X2 + XY DY = X + X2 4 -
4
3X +
X
2 4 -
4
3X
2
= 4X -
4
3X2 + 4X2 -
4
3X3 + 8X -
16
3 X2 +
8
3X3 = 12X -
8
3X2 -
4
9X3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫40 12x -
8
3 x2 -
4
9 x3 dx = 12
1
2 x2
4
0
-
8
3 
1
3 x3 4
0 -
4
9 
1
4 x4 4
0 = 96 -
512
9 -
256
9 =
32
3 x3
x̄ =
1
m∬
S
(1 + x + y)x dxdy =
1
464
27
32
3 =
27
464 .
32
3 =
18
19
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Continuando:
Ȳ =
∬
S
YΔ ( X , Y ) DXDY
M =
1
M∬
S
(1 + X + Y) Y DXDY
Ȳ =
1
M∬
S
Y + XY + Y2 DXDY =
1
M ∫30∫3 -
3
4 Y
0 Y + XY + Y2 DXDY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( ) ( ) |
( ) ( )( ) ( )
( ) | | |
( ) ( )
Resolvendo a integral em x:
∫3 -
3
4 y
0 y + xy + y2 dx = y + y2 x|3 -
3
4 y
0 + y 
1
2 x2
3 -
3
4 y
0
= y + y2 3 -
3
4 y +
y
2 3 -
3
4 y
2
= 3y -
3
4 y2 + 3y2 -
3
4 y3 +
9
2 y -
9
4 y2 +
9
32 y3 =
15
2 y -
15
32 y3
∫30
15
2 y -
15
32 y3 dy = 
15
2
1
2 y2
3
0
-
15
32
1
4 y4
3
0
=
135
4 -
1215
128 =
3105
128
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CÁLCULO DE MOMENTO DE INÉRCIA
A MECÂNICA ESTUDA O MOMENTO DE INÉRCIA DE UM OBJETO. O MOMENTO DE INÉRCIA
QUANTIFICA A DIFICULDADE DE MUDAR UM ESTADO DE ROTAÇÃO DE UM OBJETO EM
TORNO DE UM EIXO E DE UM PONTO. QUANTO MAIOR FOR O MOMENTO DE INÉRCIA DE UM
OBJETO, MAIS DIFÍCIL SERÁ GIRÁ-LO OU ALTERAR SUA ROTAÇÃO.
Considere uma partícula pontual de massa m. O momento de inércia dessa partícula em torno de um eixo é dado por md2, em que d é a
distância da partícula ao eixo.
Vamos, agora, considerar um objeto no plano com massa dada por sua densidade superficial de massa δ(x,y). Esse objeto está definido por uma
área dada por S. Estamos interessados em calcular o momento de inércia do objeto em relação ao eixo x e ao eixo y.
Dividiremos o objeto em partículas pontuais de massa dm, localizada em um ponto (x,y). Dessa forma, o momento de inércia em relação ao eixo
x será dado por y2dm, do mesmo modo que em relação ao eixo x, será de x2dm.
Se somarmos os momentos de inércia de todas as partículas que compõem o objeto, obteremos o momento de inércia do corpo desejado.
Devemos lembrar que dm = δ dS
Assim:
IX = ∬
S
Y2DM = ∬
S
Y2Δ X, Y DS
IY = ∬
S
X2DM = ∬
S
X2Δ X, Y DS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Também podemos calcular o momento de inércia referente a origem, lembrando que a distância de um ponto (x,y) para origem é dada por
√x2 + y2. Assim, o momento de inércia em torno da origem é dado por:
( ) ( ) | ( )( ) ( )
( ) | |
( )
( )
IO = ∬
S
X2 + Y2 DM = ∬
S
X2 + Y2 Δ X, Y DS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 5
Determine o momento de inércia em torno da origem para o disco de 2 cm de raio e centro na origem, que apresenta densidade superficial de
massa de 4 kg/m².
SOLUÇÃO
IO = ∬
S
X2 + Y2 Δ X, Y DS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela simetria, é melhor trabalharmos com coordenadas cartesianas, da seguinte forma:
IO = ∬
S
Ρ2Δ(Ρ, Θ) ΡDΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas o disco é homogêneo, isto é, δ é constante e vale 4.
I0 = ∫20∫2Π
0 Ρ2 4Ρ DΡDΘ = 4∫20∫2Π
0 Ρ3 DΡDΘ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integralem θ:
4∫2Π
0 Ρ3 DΘ = 4Ρ3 2Π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
I0 = ∫208ΠΡ3DΡ = 8Π
1
4Ρ4
2
0
= 32Π KG CM2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( ) ( )
( ) ( )
|
RESUMO DO MÓDULO 3
TEORIA NA PRÁTICA
A placa de um capacitor tem a forma de um disco de 4 cm raio. Considere que a origem do sistema se encontra no centro do disco. Sabe-se que
esse disco é carregado eletricamente com uma densidade superficial de carga dada por σ(x,y)= 2x² + x + y + 2y², medido em C/m². Determine a
carga total da placa do capacitor.
RESOLUÇÃO
Veja a seguir a solução desta questão:
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste Tema, apresentamos e aplicamos o conceito da integral dupla de funções escalares.
No primeiro módulo, definimos a integral dupla e estudamos como se calcula a integral em coordenadas retangulares. Vimos que o Teorema de
Fubini permitiu o cálculo da integral dupla por meio de duas integrais simples iteradas.
No segundo módulo, apresentamos a integral dupla em sua forma polar, permitindo o cálculo mais simples para algumas simetrias.
Por fim, vimos exemplos de aplicação de integral dupla no cálculo de áreas, no cálculo de massa e centro de massa, bem como no momento de
inércia.
Acreditamos que você, neste momento, já saiba definir e trabalhar com a integração dupla de funções escalares.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
APOSTOL, T. M. Cálculo. 2 ed. Estados Unidos: John Wiley & Sons, 1969. Cap. 11, p. 353-378, 392-405. Vol 2.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. 5 ed. São Paulo: LTC, 2013. Cap. 2, p. 37-48; Cap. 3, p. 49-74 e Cap. 4, p. 75-104. Vol 3.
STEWART, J. Cálculo. 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. Cap. 16, p. 978-1019. Vol 2.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste Tema, pesquise sobre integrais duplas e suas aplicações na internet e em nossas referências.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
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