Material 2_Função polin 1 e 2 graus

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Adaptação de material do Prof. Dr. Gabriel Loureiro de Lima – Profa. Maria Inez Miguel – PUC-SP 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º E 2º GRAUS – Aula 2 
 
Frequentemente utilizamos, em situações de diferentes áreas, funções cujas representações gráficas 
são retas, ou seja, funções polinomiais do primeiro grau, denominadas funções afins 
 
Exemplo 1: Durante os primeiros anos das Olimpíadas, a altura alcançada pelos vencedores da prova 
de salto com vara para homens aumentou aproximadamente 8 polegadas (cerca de 20 cm) a cada 
quatro anos. A tabela apresentada mostra que a altura começou em 130 polegadas (mais ou menos 
3,3 m) em 1900 e cresceu algo equivalente a 2 polegadas (perto de 5 cm) por ano, entre 1900 e 1912 
 
Ano 1900 1904 1908 1912 
Altura (polegadas) 130 138 146 154 
 
Em relação a esses dados, podemos dizer que, a altura se comportou como uma função do tempo. Se 
𝑦 é a altura alcançada pelo vencedor em polegadas e 𝑡 é o número de anos a partir de 1900, podemos 
escrever: 𝑦 = 𝑓(𝑡) = 130 + 2𝑡. Como 𝑦 aumenta, à medida em que 𝑡 aumenta, podemos dizer que 
𝑓 é uma função crescente. O coeficiente 2, que na expressão algébrica da função 𝑓 está multiplicando 
a variável independente 𝑡, nos diz qual é a taxa segundo a qual a altura varia, em polegadas, por ano. 
Geometricamente, essa taxa é interpretada como o coeficiente angular (ou inclinação) da reta que é 
o gráfico da função 𝑓. 
 
O coeficiente angular é obtido por meio do seguinte quociente: 
Coeficiente angular = 
variação vertical
variação horizontal
=
146 − 138
8 − 4
=
8
4
= 2 
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Na situação, a unidade do coeficiente angular é polegadas por ano. Observe que o coeficiente angular 
de uma reta pode ser sempre calculado utilizando-se dois pontos quaisquer da reta: o valor obtido 
será sempre o mesmo 
 
Utilizando: (0, 130) e (12, 154), em lugar de: (8, 146) e (4, 138) teremos: 
 
Coeficiente angular = 
variação vertical
variação horizontal
=
154 − 130
12 − 0
=
24
12
= 2 
 
Note que o número 130, presente na expressão algébrica da função 𝑓, representa a altura inicial, 
observada em 1900, quando 𝑡 = 0 (eixo das abscissas). Geometricamente, 130 é a intersecção do 
gráfico de 𝑓 com o eixo vertical (eixo das ordenadas) 
 
Há outra observação importante: será que a tendência linear prossegue depois de 1912? 
 
Não exatamente! Por meio da fórmula 𝑦 = 130 + 2𝑡 obtemos, por exemplo, que, nas Olimpíadas de 
2008, a altura vencedora seria de 346 polegadas (aproximadamente 8,8 m), valor consideravelmente 
maior do que o efetivamente observado (aproximadamente 5,9 m) 
 
Portanto, note que é perigoso, ao analisarmos um conjunto de dados, extrapolar as conclusões para 
valores distantes dos dados efetivamente obtidos. 
 
Outro aspecto a ser destacado é que os dados são discretos, já que só são obtidos em pontos 
específicos (a cada quatro anos). No entanto, tratamos a variável 𝑡 como se fosse contínua, já que a 
função 𝑦 = 130 + 2𝑡 faz sentido (isto é, está bem definida) para todos os valores de 𝑡, reais 
 
 
Exercício 1: Considere 𝑦 como sendo o recorde mundial de tempo da corrida de uma milha (1 milha 
corresponde à aproximadamente 1,6 km) em segundos e 𝑡 o número de anos desde 1900, quando as 
medições se iniciaram. Os resultados registrados mostram que 𝑦 é uma função de 𝑡 que satisfaz à 
seguinte expressão: 𝑦 = 260 − 0,4𝑡. Explique o significado do número 260 nessa expressão 
algébrica para 𝑦 e também o significado do coeficiente angular −0,4, em termos do recorde mundial 
da corrida de uma milha. Esboce o gráfico referente à função definida por 𝑦 
 
 
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Coeficiente angular e taxa de variação 
 
A ideia de taxa de variação é muito importante em problemas envolvendo aplicações do Cálculo nas 
mais diferentes áreas 
 
Vamos utilizar o símbolo ∆ (a letra grega delta maiúsculo) para indicar variação em, de modo que 
∆𝑥 significa variação em 𝑥 e ∆𝑦 significa variação em y 
O coeficiente angular de uma função afim 𝑦 = 𝑓(𝑥) pode ser calculado a partir dos valores assumidos 
por essa função em dois pontos, digamos 𝑥1 e 𝑥2, por meio da fórmula: 
 
m = Coeficiente angular = 
variação vertical
variação horizontal
=
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2)
𝑥1 − 𝑥2
 
 
 
A quantidade 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)
𝑥1−𝑥2
 é chamada de coeficiente de diferenças 
 
O coeficiente angular 𝒎 =
∆𝒚
∆𝒙
 representa a taxa de variação de y em relação à x. As unidades do 
coeficiente angular são as unidades de 𝑦 divididas pelas unidades de 𝑥 
 
A função afim geral 
 
Uma função afim é aquela que tem a forma 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒃 + 𝒎𝒙 
 
Seu gráfico é uma reta tal que: 
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 𝑚 é o coeficiente angular ou a inclinação ou taxa de variação de 𝒚 em relação à de 𝒙 
 
 𝑏 é a intersecção com o eixo vertical ou o valor de 𝑦 quando 𝑥 = 0. Esse número 𝑏 recebe o 
nome de coeficiente linear 
 
 
 
 
Em relação ao coeficiente angular, temos que: 
 
a) Se o coeficiente angular 𝑚 for positivo, a função 𝑓 será crescente 
b) Se 𝑚 for negativo, então 𝑓 será decrescente 
c) Se o coeficiente angular 𝑚 for nulo, teremos a reta 𝑦 = 𝑏, que é uma reta horizontal 
d) Se uma reta tem inclinação 𝑚 e contém o ponto (𝑥0, 𝑦0), então, para um ponto (𝑥, 𝑦) qualquer 
da reta, temos: 𝑚 =
𝑦−𝑦0
𝑥−𝑥0
, que é equivalente à: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) ou 𝑦 = 𝑦0 + 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
 
Exercício 2: A quantidade de lixo sólido gerada pelas cidades dos Estados Unidos vem aumentando. 
No ano 2000 esta quantidade, em milhões de toneladas, era de 238,3 e passou para 251,3 em 2006. 
(a) Supondo que a quantidade de lixo sólido gerado pelas cidades dos Estados Unidos é uma 
função afim do tempo, obtenha uma fórmula segundo a qual tal função possa ser representada. 
(b) Use a fórmula obtida no item (a) para prever qual será a quantidade de lixo no ano de 2020 
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Exercício 3: Para medir a temperatura são usados graus Celsius (℃) ou graus Fahrenheit (℉). Ambos 
os valores 0℃ e 32℉ representam as temperaturas em que a água congela e ambos os valores 100℃ 
e 212℉ representam as temperaturas de fervura da água. Suponha que a relação entre as temperaturas 
expressas nestas duas escalas pode ser representada por uma reta: 
a) Determine a função afim que dá a temperatura em ℉ quando for conhecida a temperatura em ℃; 
b) Qual a temperatura em ℉, correspondente a 25℃? 
c) Existe alguma temperatura que tem o mesmo valor numérico em ℃ e em ℉? 
 
Como reconhecer se um conjunto de dados satisfaz uma função afim? 
 
Os valores de 𝑥 e 𝑦 em uma tabela podem ser provenientes de uma função afim 𝑦 = 𝑏 + 𝑚𝑥 se as 
diferenças entre os valores de 𝑦 são constantes para diferenças iguais entre valores de 𝑥 
 
Exercício 4: Antigamente, a taxa máxima de batimento cardíaco (MHR, do inglês maximum heart 
rate) que é o número máximo de vezes que o coração de uma pessoa pode bater, em segurança, em 
um minuto, era calculada pelas seguintes expressões, sendo 𝑀𝐻𝑅 dado em batimentos por minuto e 
𝑎 a idade da pessoa em anos: Para mulheres: 𝑀𝐻𝑅 = 226 − 𝑎; Para homens: 𝑀𝐻𝑅 = 220 − 𝑎 
Recentemente, foi sugerido que uma previsão mais precisa para MHR, tanto de homens quanto de 
mulheres, é dada por: 𝑀𝐻𝑅 = 208 − 0,7𝑎 
a) Para qual idade as duas fórmulas fornecem a mesma MHR para as mulheres? E para os homens? 
b) Qual das afirmações a seguir é verdadeira? 
(i) A fórmula nova prevê uma MHR maior para as pessoas jovens e uma MHR menor para as 
pessoas mais velhas do que a fórmula velha 
(ii) A fórmula nova prevêuma MHR menor para pessoas jovens e uma MHR maior para pessoas 
mais velhas do que a fórmula velha 
c) Ao testar um paciente para doenças cardíacas, um médico pede que ele ande em uma esteira onde 
a velocidade e a inclinação são aumentadas gradativamente até que seu batimento cardíaco atinja 
85% da MHR. Para um homem com 65 anos, qual é a diferença, em batimentos por minuto, entre 
a taxa máxima encontrada com a fórmula antiga e a taxa encontrada com a fórmula nova? 
 
 
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Função polinomial do primeiro grau 
 
Uma função polinomial de primeiro grau é toda função que associa a cada número real o número real 
𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0. Note que a função polinomial de primeiro grau (ou grau 1) é uma função afim 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 
Já sabemos também que o gráfico de uma função polinomial de grau 1 é uma reta não paralela aos 
eixos coordenados 
A função polinomial de grau 1 será crescente se 𝒂 > 𝟎 e decrescente se 𝒂 𝑓(𝑥2) 
 
 
 
Exercício 5: Considere a função 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 6 
 
a) A função 𝑓 é crescente ou decrescente? Por quê? 
b) Em que ponto o gráfico de 𝑓 intercepta o eixo 𝑦? 
c) Em que ponto o gráfico de 𝑓 intercepta o eixo 𝑥? 
d) Para que valores de 𝑥, 𝑓(𝑥) = 0? E 𝑓(𝑥) 0? 
e) Esboce o gráfico de 𝑓 
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Função quadrática ou polinomial de grau 2 
 
Uma função quadrática é a função que associa a cada número real 𝑥 o número real: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎 ≠ 0 
O gráfico de uma função polinomial de grau 2 é uma parábola 
Se 𝒂 > 𝟎, a concavidade da parábola é voltada para cima 
se 𝒂 0) ou 𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ| 𝑦 ≤ 𝑦𝑉} (se a 𝟎, a função não possui duas raízes reais distintas e, portanto, o gráfico de 𝑓 não 
intercepta o eixo 𝑥 em dois pontos 
 
 
 
 
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Exercício 6: Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 
a) O gráfico da função 𝑓 é côncavo para cima ou para baixo? Por quê? 
b) Em que ponto o gráfico de 𝑓 intercepta o eixo 𝑦? 
c) Em que ponto o gráfico de 𝑓 intercepta o eixo 𝑥? 
d) Para que valores de 𝑥, 𝑓(𝑥) = 0? E 𝑓(𝑥) 0? 
e) Quais são as coordenadas do vértice da parábola que é o gráfico de 𝑓? 
f) Esboce o gráfico de 𝑓 
g) Determine o conjunto imagem de 𝑓 
 
Exercício 7: Considere a função 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 
a) O gráfico da função 𝑓 é côncavo para cima ou para baixo? Por quê? 
b) Em que ponto o gráfico de 𝑓 intercepta o eixo 𝑦? 
c) Em que ponto o gráfico de 𝑓 intercepta o eixo 𝑥? 
d) Para que valores de 𝑥, 𝑓(𝑥) = 0? E 𝑓(𝑥) 0? 
e) Quais são as coordenadas do vértice da parábola que é o gráfico de 𝑓? 
f) Esboce o gráfico de 𝑓. 
g) Determine o conjunto imagem de 𝑓 
 
Exercício 8: Uma empresa que vende ingressos para shows, descobre que o número médio de pessoas 
assistindo a um concerto é de 75 se o preço do ingresso é R$ 50,00 por pessoa. Ao preço de R$ 35,00, 
a audiência média é de 120 pessoas 
a) Sabendo que a curva de demanda relaciona a quantidade 𝑞 de um produto procurada pelos 
consumidores ao preço 𝑝 do produto e supondo que no caso que está sendo considerado nesse 
problema a curva de demanda é uma reta, obtenha uma fórmula que permita obter a demanda 𝑞 
em termos do preço 𝑝 do ingresso para o concerto 
b) Sabendo que a função receita fornece a receita total de uma empresa ao vender uma quantidade 
𝑞 de um produto ao preço de 𝑝 unidades monetárias a unidade, use a resposta do item (a) para 
escrever a receita 𝑅 em função do preço 𝑝 
c) Use o gráfico da função receita para determinar que preço deve ser cobrado pela empresa para 
cada ingresso do concerto para que ela obtenha a receita máxima