Modulo - Conversão de Energia

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CONVERSÃO DE
ENERGIA
ORGANIZADORES GUSTAVO DE LINS E HORTA; SOFIA MARIA AMORIM FALCO RODRIGUES
Conversão de energia
GRUPO SER EDUCACIONAL
O objetivo deste livro é tratar dos aspectos mais importantes da conversão 
de energia aplicados às engenharias, como a elétrica e civil. 
Imprescindível para aprender sobre os transformadores e relações 
eletromecânicas; as relações de conjugado, força mecânica e força eletro-
motriz de conversores eletromecânicos; e os conversores eletromecânicos, 
que serão abordados de forma ampla, esta obra é repleta de �guras, 
equações, esquemas e exemplos para complementar o estudo dos 
conceitos apresentados. 
Bons estudos!
CONVERSÃO 
DE ENERGIA
ORGANIZADORES GUSTAVO DE LINS E HORTA; SOFIA MARIA AMORIM FALCO 
RODRIGUES
gente criando futuro
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CONVERSÃO DE ENERGIA
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou 
transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo 
fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de 
informação, sem prévia autorização, por escrito, do Grupo Ser Educacional. 
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Gerente de design instrucional: Paulo Kazuo Kato 
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Designers gráficos: Kamilla Moreira, Mário Gomes, Sérgio Ramos,Tiago da Rocha
Ilustradores: Anderson Eloy, Luiz Meneghel, Vinícius Manzi 
 
Horta, Gustavo de Lins.
 Conversão de energia / Gustavo de Lins e Horta ; Sofia Maria Amorim Falco Rodrigues. – 
São Paulo: Cengage, 2020.
 Bibliografia.
 ISBN 9786555580693
 1. Engenharia elétrica. 2. Engenharia civil. 3. Engenharias - Energias. 4. Rodrigues, Sofia 
Maria Amorim Falco.
Grupo Ser Educacional
 Rua Treze de Maio, 254 - Santo Amaro 
CEP: 50100-160, Recife - PE 
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“É através da educação que a igualdade de oportunidades surge, e, com 
isso, há um maior desenvolvimento econômico e social para a nação. Há alguns 
anos, o Brasil vive um período de mudanças, e, assim, a educação também 
passa por tais transformações. A demanda por mão de obra qualificada, o 
aumento da competitividade e a produtividade fizeram com que o Ensino 
Superior ganhasse força e fosse tratado como prioridade para o Brasil.
O Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e Emprego – Pronatec, 
tem como objetivo atender a essa demanda e ajudar o País a qualificar 
seus cidadãos em suas formações, contribuindo para o desenvolvimento 
da economia, da crescente globalização, além de garantir o exercício da 
democracia com a ampliação da escolaridade.
Dessa forma, as instituições do Grupo Ser Educacional buscam ampliar 
as competências básicas da educação de seus estudantes, além de oferecer-
lhes uma sólida formação técnica, sempre pensando nas ações dos alunos no 
contexto da sociedade.”
Janguiê Diniz
PALAVRA DO GRUPO SER EDUCACIONAL
Autoria
Gustavo de Lins e Horta
Possui graduação em Engenharia Eletrônica e de Telecomunicações pela Pontifícia Universidade 
Católica de Minas Gerais (2004). Possui Licenciatura Plena em Matemática pela Fundação de Educação 
para o Trabalho de Minas Gerais - UTRAMIG (2010). É pós-graduado em Didática e Metodologia do 
Ensino Superior pelo Centro Universitário Anhanguera (2009). É mestre em Modelagem Matemática e 
Computacional pelo CEFET MG (2014). Atualmente é aluno do doutorado em Modelagem Matemática 
e Computacional no CEFET MG. Foi professor da Faculdade Pitágoras, nos cursos de engenharia 
elétrica e engenharia de controle e automação. Foi coordenador do Pronatec na Faculdade Pitágoras. 
Foi professor na Faculdade UNIBH no curso de engenharia de produção. É professor efetivo no CEFET-
MG - campus IX. Tem experiência na área de eletrônica, telecomunicações, automação, modelagem 
matemática, inteligência artificial e machine learning.
Sofia Maria Amorim Falco Rodrigues
Graduada e mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de São João del Rei (UFSJ), 
doutoranda em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG). Atualmente é 
professora conteudista de Engenharia Elétrica e áreas afins nas empresas Sagah - Soluções Educacionais 
Integradas, DTCOM - Fábrica de Conteúdo & Estúdio, DP Content Consultoria em Produção Editorial 
Digital e na Evolke - Aprendizagem Corporativa. Também trabalho como professora particular de 
Matemática, Física e conteúdos de Engenharia Elétrica, realizando o acompanhamento de vários 
alunos, em aulas presenciais e online.
SUMÁRIO
Prefácio .................................................................................................................................................8
UNIDADE 1 - Transformadores e relações eletromecânicas ............................................................11
Introdução.............................................................................................................................................12
1. Introdução aos transformadores ...................................................................................................... 13
2. O transformador ideal ....................................................................................................................... 13
3. O funcionamento de um transformador monofásico real ................................................................14
4. O circuito equivalente de um transformador real ............................................................................. 15
5. Obtenção dos parâmetros de modelagem do transformador: ensaio a vazio e de curto circuito ....19
6. O sistema de medições por unidade ................................................................................................. 20
7. Regulação de tensão de um transformador ...................................................................................... 21
8. Eficiência do transformador .............................................................................................................. 21
9. Os transformadores trifásicos ........................................................................................................... 22
10. Introdução à conversão eletromecânica de energia .......................................................................23
11. Lei da Força de Lorentz ................................................................................................................... 23
12. Relações da conversão de energia e o balanço energético .............................................................25
13. Relações da conversão de energia com relés eletromagnéticos .....................................................26
PARA RESUMIR ..............................................................................................................................28
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................................................29
UNIDADE 2 - Relações de conjugado, força mecânica e força eletromotriz 
de conversores eletromecânicos ....................................................................................................31
Introdução.............................................................................................................................................32
1 Força eletromotriz induzida em uma espira única ............................................................................. 33
2 Conjugado em uma espira única ........................................................................................................ 36
3 Relação com a energia armazenada................................................................................................... 38
4 Outra forma de definir a energia mecânica .......................................................................................se mantém em 0,5 A e que deverá ser usada a 
seguinte equação para a indutância em função do deslocamento:
Deve-se então calcular o valor da força e note que, como esta é dada por
esta estará então em função do deslocamento linear também. Para simplificar, vamos 
considerar primeiramente os valores nos pontos específicos do deslocamento, conforme a tabela, 
mas, entretanto, salienta-se ao leitor que este cálculo deverá ser feito com auxílio de softwares de 
análise computacional como o Scilab, que permitirá então levantar uma função para a indutância, 
através de ajuste polinominal. Como neste caso foi fornecida o polinômio L(x), calcula-se então 
para cada um dos deslocamentos, o valor da força:
Ou seja, note que neste caso a força mecânica aumentou com o aumento do deslocamento e 
esta relação também pode ser vista com o auxílio de softwares gráficos, para plotar estes dados 
em função do deslocamento linear por exemplo.
No tópico a seguir será visto um outro exemplo prático, agora para obtenção do conjugado.
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12 CÁLCULO DO CONJUGADO DESENVOLVIDO 
POR UMA MÁQUINA ELÉTRICA
Considere a máquina representada pelo esquemático a seguir, com duas peças: o estator e o rotor.
Figura 6 - Circuito magnético para entendimento do funcionamento de uma máquina elétrica 
Fonte: UMANS, 2014, p. 138.
#ParaCegoVer: Visão frontal de uma máquina elétrica, representada pelo rotor e estator. O 
estator é uma coroa visto frontalmente, com o rotor dentro e um entreferro, sendo este um 
cilindro com base oval, que se torna um círculo oval visto de frente. Além disso, o estator está 
alimentado por dois fios externos, permitindo que circule então através deste a corrente i, que 
produzirá um fluxo magnético e movimentará o rotor, cuja posição angular é contabilizada 
conforme avaliação entre eixos do rotor e estator, pelo ângulo .
Assim, devido ao fato de o rotor ser oval isto também implicará que o entreferro não será 
uniforme, fazendo então com que a indutância da bobina varie conforme a posição angular do 
rotor, dada pelo ângulo medido entre os eixos das partes e fazendo com que a indutância seja 
dada pela seguinte equação:
Neste caso sabe-se ainda que a indutância mínima ( ) é 10,5 mH e que o valor constante 
 é igual a 2,5 mH e deverá ser então encontrado o valor do conjugado em função da posição 
angular, considerando que circula no circuito uma corrente de 2 A.
Observe a equação fornecida para o cálculo da indutância. O segundo termo desta corresponde 
à 2ª harmônica, já que como se sabe a função da indutância é geralmente senoidal. Assim, a 
variação da indutância é dada em função da relação de e isto pode ainda ser concluído se 
observado que em 180° de movimento do rotor embora a posição se altere a indutância não é 
alterada.
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Das deduções anteriores então tem-se a seguinte equação:
Logo, para cálculo do conjugado no exemplo, considerando que este será dado em função da 
posição, obtém-se:
Assim, supondo que o ângulo vale 0° por exemplo, tem-se que o conjugado vale:
Assim, está provado o que foi mencionado no início, que a rotação em 180° não altera o 
conjugado, já que a indutância não será alterada.
A seguir você verá a última parte desta unidade: a relação entre a modelagem através da 
função de transferência e os parâmetros de um dispositivo eletromagnético.
13 MODELAGEM MATEMÁTICA PELA FUNÇÃO DE 
TRANSFERÊNCIA
Assista o vídeo a seguir para compreender a relação entre modelagem matemática através 
da função de transferência e não só a compreensão do funcionamento como o projeto de 
dispositivos eletromecânicos, por exemplo:
Agora você irá entender diretamente quais as relações entre a função de transferência e os 
dispositivos eletromecânicos.
14 FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA DE SISTEMAS 
ELETROMECÂNICOS LINEARES
Assim, como já visto, existem variáveis de entrada no sistema, que no caso de um dispositivo 
eletromecânico, por exemplo, poderá ser o próprio sistema de excitação deste e a saída, que 
poderão ser as variáveis dependentes da excitação de entrada. Além disso, a própria Transformada 
de Laplace, conforme já visto, correlaciona a saída e a entrada do sistema pela função de 
transferência, mas lembre-se que isto será válido para sistemas lineares, ou considerados como 
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tais e sendo as condições iniciais destes nulas ou desprezíveis. Ademais, não é necessário que se 
relacione tensão de entrada com tensão de saída, por exemplo, já que a função de transferência 
permite analisar e correlacionar parâmetros de diferentes grandezas, além de que em regime 
permanente, a resposta do sistema, por sua vez, poderá relacionar em sua função de transferência 
os módulos de parâmetros importantes do sistema.
Agora considere a análise sob o ponto de vista físico. Assim um sistema considerado linear 
além de permitir a veracidade do Teorema da Superposição matematicamente, traduz isto 
nas relações de entrada e saída. Para compreender como isto ocorre considere um sistema 
eletromecânico, linear, cuja excitação de entrada é aplicada em duas ou mais bobinas. Neste caso, 
a saída referente à esta entrada pode ser contabilizada, em um ponto do sistema por exemplo, 
como a soma das respostas devido a cada uma destas contribuições de excitação isoladamente, 
demonstrando que, de fato, em sistemas lineares a resposta é proporcional às entradas, 
entretanto não é afetada diretamente por variações de intensidade na alimentação, por exemplo.
Quando extrapolamos tal análise física para sistemas que não podem ser considerados 
lineares, isto pode ser compreendido pelo fato de que a resposta não é diretamente proporcional 
à entrada, não sendo então válido o Teorema da Superposição. Entretanto, quando se considera na 
prática, nenhum sistema é completamente linear e, como já mencionado, existirão considerações 
acerca ou mesmo intervalos de funcionamento, que permitirão tomar como linear. Isto, como 
esperado, é também válido para sistemas eletromecânicos como os já vistos ao longo do capítulo.
Agora considere a análise do ponto de vista puramente matemático. No caso dos sistemas 
lineares, esta linearidade implicará a representação e modelagem destes pelas equações lineares 
algébricas ou pelas equações diferenciais. Por outro lado, agora considere exemplos de sistemas 
eletromecânicos não lineares, quanto a características e parâmetros de funcionamento. Desta 
forma, sabe-se que existem sistemas eletromecânicos nos quais a força eletromotriz induzida e 
a corrente de excitação não possuem característica linear, como é o caso de certos geradores de 
energia elétrica na prática. Assim, caso a fem destes geradores sejam diretamente proporcionais 
aos fluxos magnéticos, estabelecidos pelas excitações de entrada com circuitos magnéticos de 
fluxos magnetomotriz não lineares isto fará com que embora a intensidade da fem dependa 
da intensidade da corrente de excitação, esta força não será constante. Entretanto, como já 
mencionado, existem muitas considerações possíveis e pode-se admitir, frequentemente, uma 
linearização da curva de magnetização tornando esta característica como linear, pelo menos do 
ponto de vista da análise prática com relação à magnetização propriamente dita (FALCONE, 2004).
Então, para concluir as propriedades vistas para sistemas lineares, considere um sistema 
eletromecânico genérico formado por duas variáveis de entrada em função do tempo, dadas por 
, além de duas saídas também em função do tempo e destas, dadas por 
. Denominando-se o sistema como um processo G, o modelo matemático do sistema físico é dado 
53
pela seguinte relação,
onde G representa, matematicamente, a relação estabelecida entre entradas e saídas.
Assim, conforme a Superposição, um sistema será linear, considerando duas constantes α e β, 
caso seja possível estabelecer estas duas relações:
Além disso é preciso avaliar a invariância no tempo, que consiste em admitir que para 
qualquer variação no tempo, dada pelo acréscimo , a seguinte relação também é válida:
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Nesta unidade,você teve a oportunidade de:
• entender a relação básica por trás da força eletromotriz, na indução de tensão devi-
do ao campo magnético estabelecido, para dispositivos eletromecânicos em geral;
• aprender as relações entre energia armazenada devido ao campo magnético e a 
força e o conjugado desenvolvido;
• compreender as principais relações entre as energias envolvidas em todo o processo 
de conversão eletromecânica e os parâmetros de força e conjugado produzidos;
• estabelecer relações de força e conjugado pelos parâmetros dos circuitos magnéti-
cos envolvidos na modelagem dos dispositivos eletromecânicos;
• entender melhor a relação de coenergia e as deduções de força e conjugado, como 
artifício para a obtenção destes parâmetros;
• ver exemplos de análises de dispositivos eletromecânicos com relação à força pro-
duzida e ao conjugado estabelecido;
• compreender a modelagem matemática pela função de transferência, correlacio-
nando especialmente a entrada e saída de sistemas eletromecânicos lineares.
PARA RESUMIR
CHAPMAN, S J. Fundamentos de máquinas elétricas. AMGH Editora, 2013
FALCONE, A. G. Eletromecânica: transformadores e transdutores, conversão 
eletromecânica de energia, vol. 1. [S. l.]: Edgard Blucher, 2004.
TIMOTEO, S. P. M.; FAESARELLA, A. Conversão eletromecânica de energia. [S. l.]: Editora 
e Distribuidora Educacional S.A., 2017.
UMANS, S. D. Máquinas Elétricas de Fitzgerald e Kingsley-7. [S. l.]: AMGH Editora, 2014.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
UNIDADE 3
Conversores eletromecânicos
Introdução
Você está na unidade Conversores eletromecânicos. Conheça aqui um pouco mais 
sobre conversão eletromecânica de energia, sistemas de excitação simples e dupla 
excitação. Você também vai aprender o que é o balanço de energia e seus principais 
cálculos e, por fim, vai ver algumas aplicações a dispositivos de potência e controle.
Bons estudos!
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1 FUNDAMENTOS DA CONVERSÃO 
ELETROMECÂNICA DE ENERGIA
Segundo Del Toro (2009), a conversão eletromecânica de energia ocorre pela troca de energia 
entre um sistema elétrico e um sistema mecânico por meio de um campo magnético de acoplamento. 
Quando ocorre a conversão da forma elétrica para a mecânica, o dispositivo é chamado de motor. 
Quando a energia mecânica é convertida em energia elétrica o dispositivo é chamado de gerador.
Segundo Bim (2018), um sistema magnético com excitação única é constituído por uma 
bobina magnetizadora com N espiras, uma mola de constante K, e duas peças de ferro, sendo 
uma móvel e outra fixa. Quando a bobina é excitada pela corrente elétrica, o fluxo magnético, 
estabelecido no núcleo pelo campo magnético, atravessa o entreferro e desenvolve uma forma 
de atração entre as faces do núcleo que definem o comprimento x do entreferro.
Figura 1 - Dispositivo elementar 
Fonte: Bim (2018, p. 125).
#ParaCegoVer: a imagem mostra um dispositivo eletromecânico elementar de relutância, 
constituído por uma bobina magnetizadora com N espiras, uma mola de constante K, e duas 
peças de ferro, sendo uma móvel e outra fixa.
1.1 Campo magnético
Segundo Bim (2018), os campos magnéticos são o mecanismo fundamental pelo qual a 
energia é convertida de uma forma para outra em motores, geradores e transformadores. Quatro 
princípios básicos descrevem como os campos magnéticos são usados nesses dispositivos:
Princípio 1
Um fio que transporta corrente produz um campo magnético na área ao seu redor.
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Princípio 2
Um campo magnético de mudança de tempo induz uma tensão em uma bobina de fio, se 
passar através dessa bobina. (Essa é a base da ação do transformador).
Princípio 3
Um fio que transporta corrente na presença de um campo magnético tem uma força induzida 
nele. (Essa é a base de um motor).
Princípio 4
Um fio em movimento na presença de um campo magnético tem uma tensão induzida nele. 
(Essa é a base da ação do gerador).
Suponha que o sistema eletromecânico mostrado na figura anterior tenha uma parte móvel 
(isto é, armadura) que possa ser mantida em equilíbrio estático por uma mola. Se a parte móvel 
for mantida estacionária em alguma folga de ar e a corrente for aumentada de zero para um valor 
I, um fluxo Φ será mantido no sistema eletromagnético. Como nenhuma saída mecânica pode 
ser produzida,
Substituindo na equação temos,
Assim, se a perda de núcleo for ignorada, toda a entrada de energia elétrica incremental deve 
ser armazenada no campo magnético
1.2 Sistemas de excitação simples
Para ilustrar a aplicação dos princípios de conversão de energia eletromecânica em sistemas 
rotativos, considere um sistema rotativo bipolar elementar e excitado, como mostrado na figura 
a seguir. Esse sistema representa uma máquina de relutância elementar. Observe que o eixo do 
estator (polo) é chamado de eixo direto ou simplesmente o eixo d, e que seu eixo interpolar também 
é chamado de eixo em quadratura ou simplesmente o eixo q. Suponha que uma excitação senoidal 
seja fornecida ao enrolamento do estator, enquanto o rotor está livre para girar em seu eixo.
61
Figura 2 - Dispositivo magnético rotativo 
Fonte: Bim (2018, p. 146).
#ParaCegoVer:a imagem mostra um dispositivo magnético rotativo excitado por uma única 
fonte elétrica.
As variáveis são torque T e ângulo θ, e a saída diferencial de energia mecânica é Tdθ quando o 
torque e o ângulo são considerados positivos na mesma direção (isto é, ação do motor). O torque 
desenvolvido pode ser expresso como
De acordo com Gönen (2012), para cada rotação do rotor, existem dois ciclos de relutância, 
uma vez que a relutância varia senoidalmente. Como a indutância é uma função periódica de 2θ, 
ela pode ser representada por uma série de Fourier como
ignorando os termos de ordem superior. A corrente de excitação do estator é
que é uma excitação senoidal cuja frequência angular é ωs. De acordo com Gönen (2012), 
como a região do espaço de ar é linear, a coenergia no campo magnético da região do espaço de 
ar pode ser expressa como
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e, portanto, o torque desenvolvido pode ser expresso como
que, em termos de variações de corrente e indutância, pode ser expressa como
Ainda segundo Gönen (2012), aqui, supõe-se que o rotor gire a uma velocidade angular ωm, 
portanto, a qualquer momento
A expressão instantânea de torque pode ser expressa em termos de ωm e ωs, usando as 
seguintes equações trigonométricas:
Assim, o torque instantâneo (eletromagnético) desenvolvido se torna
Como pode ser observado, a equação de torque é composta pela soma das senoides de várias 
frequências. Portanto, na maioria dos casos, o torque médio durante um período é zero, pois o 
valor de cada termo integrado ao longo de um período é zero. Sob tais condições, a máquina não 
pode operar como um motor para fornecer um torque de carga ao seu eixo. O único caso em que 
o torque médio (carga) é diferente de zero é quando
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Figura 3 - Variação da indutância 
Fonte: Gönen (2012, p. 190).
#ParaCegoVer: a imagem mostra o gráfico da variação da indutância em relação à posição 
angular do rotor conforme o rotor gira, em uma máquina de relutância.
Além disso, pode ser observado, na figura anterior, que
em que Ld e Lq são definidos como a indutância do eixo direto e a indutância do eixo da 
quadratura, representando os valores máximo e mínimo da indutância, respectivamente. 
Portanto, o torque médio desenvolvido pode ser expresso como
FIQUE DE OLHO
O torque de carga é definido como um torque em oposição ao movimento do rotor. Também 
é interessante notar que o torque total em função do tempo tem componentes pulsantes 
mesmo quando ωm = ωs. No entanto, devido ao típico rotor de aço pesado de uma máquina 
síncrona, ele não pode reagir significativamente a esses componentes pulsantes. Portanto, 
eles não podem afetar o torque médio. Em resumo, a massa do rotor funciona como um 
filtro passa-baixo.
FIQUE DE OLHO
Em geral, a diferença básica entre várias máquinas rotativas é baseada em como o estator e 
do rotor são mantidos deslocados um em relação ao outro o tempo todo,de modo que eles 
se inclinam para alinhar continuamente e desenvolver um torque médio. Esse fenômeno é 
conhecido como princípio de alinhamento.
64
Segundo Mohan (2018), com base na revisão anterior, podemos obter o seguinte resumo e 
conclusões:
Somente a uma determinada velocidade, essa máquina pode desenvolver um torque médio em 
qualquer direção de rotação. Essa velocidade é definida como a velocidade síncrona, na qual a velocidade 
de rotação mecânica em radianos por segundo é igual à frequência angular da fonte elétrica.
Como o torque é uma função da variação da relutância com a posição do rotor, esse aparelho 
é chamado de máquina de relutância síncrona. Portanto, se não houver variação de indutância ou 
relutância com a posição do rotor (isto é, se Ld = Lq), o torque se torna zero.
O torque desenvolvido é uma função do ângulo δ, chamado de ângulo de torque. O torque varia 
senoidalmente com o ângulo δ. Portanto, o ângulo δ pode ser usado como uma medida do torque.
Quando δ 0, o torque desenvolvido está no sentido de rotação e a máquina 
opera como um motor, como pode ser visto na figura a seguir. Esse torque mantém a velocidade 
do rotor contra atrito, vento e qualquer torque de carga externo aplicado ao eixo do rotor.
Ignorando os efeitos do atrito e do vento, o torque da carga pode determinar o ângulo δ. Por 
exemplo, um torque de carga maior pode fazer com que o rotor opere com um valor δ negativo 
maior. Como a potência e o torque são proporcionais à velocidade constante, há definitivamente 
um limite de potência e, com cargas além da crista da curva, mostrada na figura a seguir, o motor irá 
parar. O torque máximo para a operação do motor ocorre em δ = −π/4 e é chamado de torque de 
tração. Como mencionado anteriormente, qualquer carga que exija um torque maior que o torque 
máximo causa uma operação instável da máquina, assim, máquina sai do sincronismo e fica parada.
Se o eixo da mesma máquina for acionado por um motor primário, o ângulo δ avançará e 
a máquina absorverá torque e energia e fornecerá energia elétrica como gerador. Em outras 
palavras, quando δ> 0 e Td (ave), o torque desenvolvido resiste à rotação. Portanto, um torque de 
acionamento externo deve ser aplicado ao eixo do rotor para manter o rotor a uma velocidade 
síncrona. A energia mecânica fornecida ao sistema após atender às perdas por atrito e vento é 
convertida em energia elétrica, ou seja, a máquina opera como um gerador. Porém, isso pode 
acontecer apenas se o enrolamento do estator já estiver conectado a uma fonte de corrente 
alternada, que atua como um dissipador quando o torque de acionamento externo é aplicado e 
a máquina começa a gerar. Como mostra a figura a seguir, o torque máximo para a operação do 
gerador ocorre em δ = π/4.
Se o torque de acionamento fornecido pelo motor primário for maior que a soma do torque 
desenvolvido e o resultado de atrito e vento, a máquina será acionada acima da velocidade 
síncrona. Portanto, ele pode fugir, a menos que a velocidade do motor primário seja controlada 
e o processo de conversão de energia contínua seja interrompido. Em resumo, uma determinada 
65
máquina pode desenvolver apenas uma certa potência máxima e é limitada à taxa de conversão 
de energia.
É interessante que uma velocidade mecânica ωm = ωs também forneça um torque médio 
desenvolvido diferente de zero. Portanto, esse motor de relutância não pode iniciar por si só, mas 
continuará a funcionar na direção em que é iniciado.
Figura 4 - Variação do torque 
Fonte: Elaborado pelo autor com base em Gönen (2012, p. 192).
#ParaCegoVer: a imagem mostra o gráfico da variação do torque desenvolvido por uma máquina 
de relutância síncrona, um sinal senoidal variando de menos pi sobre dois até pi sobre dois.
Devido à variação da relutância com a posição do rotor, a tensão induzida na bobina do estator 
terá um componente de terceiro harmônico. Tal característica indesejada torna as máquinas de 
relutância inúteis como geradores práticos e restringe seu tamanho como motores.
Porém, Chapman (2005) ressalta que pequenos motores de relutância, quando projetados 
para desenvolver torque de partida, podem ser usados para acionar relógios elétricos, toca-discos 
e outros dispositivos, pois fornecem velocidade constante.
66
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo:
1.3 Sistemas de excitação duplos
De acordo com Bim (2018), os princípios gerais desenvolvidos na seção anterior também se 
aplicam a sistemas de rotação de excitação dupla. Como exemplo, considere o sistema de rotação 
duplamente excitado mostrado na figura a seguir.
Figura 5 - Máquina elétrica elementar com dupla alimentação 
Fonte: Bim (2018, p. 150).
#ParaCegoVer: a imagem mostra uma máquina elétrica elementar com dupla alimentação e 
o sentido positivo das correntes.
Observe que esse sistema é igual ao mostrado na figura Dispositivo magnético rotativo, exceto 
que o rotor também possui uma bobina conectada à sua fonte elétrica por meio de escovas fixas 
(carbono) e anéis coletores montados no rotor (ou anéis coletores). Ainda segundo Bim (2018), as 
ligações de fluxo dos enrolamentos do estator e rotor, respectivamente, podem ser escritas como
67
Em que:
Conforme observado por Bim (2018), todas essas indutâncias dependem da posição θ do rotor 
(que é o ângulo entre os eixos magnéticos do estator e os enrolamentos do rotor). Como para um 
sistema magnético linear , as equações podem ser expressas na forma de matriz como
Bim (2018) ainda destaca que, se o rotor do sistema for impedido de girar para que não haja 
saída mecânica de seu eixo, a energia de campo armazenada Wf W do sistema pode ser encontrada 
estabelecendo as correntes i1 e i2 nos enrolamentos do estator e rotor, respectivamente. Portanto,
Assim, de acordo com Gönen (2012), para um sistema linear, a energia diferencial do campo 
pode ser encontrada, de modo que
Logo, Gönen (2018) conclui que a energia total (armazenada) do campo pode ser determinada 
integrando a anterior como
E, também segundo Gönen (2012), o torque desenvolvido pode ser determinado a partir de
Como em um sistema magnético linear, energia e coenergia são iguais, ou seja,
o torque instantâneo (eletromagnético) desenvolvido pode ser expresso como
68
Conforme observado por Gönen (2012), o primeiro e o terceiro termos da equação no 
lado direito representam torques desenvolvidos na máquina rotativa devido a variações de 
autoindutâncias em função da posição do rotor. Eles representam os componentes do torque de 
relutância. No entanto, o segundo termo representa o torque desenvolvido pelas variações da 
indutância mútua entre os enrolamentos do estator e do rotor. Além disso, os sistemas rotativos 
de excitação múltipla, com mais de duas bobinas, são tratados de maneira semelhante.
Considere o sistema de rotação duplamente excitado mostrado na figura Máquina elétrica 
elementar com dupla alimentação e assuma que R1 e R2 são as resistências dos enrolamentos do 
estator e rotor, respectivamente. As relações tensão-corrente para os circuitos do estator e rotor 
podem ser escritas, de acordo com Gönen (2012), como
Em geral, as indutâncias são funções da posição angular θ do rotor e as correntes 
são funções de tempo. Portanto, para o estator
Segundo Gönen (2012), nessas equações, os primeiros termos do lado direito representam a 
tensão de autoimpedância vz, os segundos termos representam a tensão de velocidade ou tensão 
de movimento vm e os terceiros termos representam a tensão do transformador vt.
Portanto, as equações de tensão para o estator e rotor podem ser expressas na forma
Observe que, em muitos casos, as autoindutâncias Lss e Lrr não dependem da posição angular 
do rotor. Assim, as equações se reduzem a
69
De acordo com Gönen (2012), se as resistências do estator e rotor são desprezíveis, essas 
equações reduzem ainda mais a
Na notação matricial, a energia total (armazenada) do campo, pode ser expressa como
2 BALANÇO DE ENERGIA
De acordo com Pinto (2011),o balanço de energia em sistemas eletromecânicos de excitação 
simples pode ser de quatro tipos:
FIQUE DE OLHO
A escolha e especificação de motores elétricos depende de vários fatores, como potência, 
utilização, carga, entre outros. A empresa WEG, líder na fabricação de motores elétricos 
disponibiliza um guia completo de especificação de motores elétricos.
70
Suponha um intervalo de tempo diferencial dt durante o qual um incremento de energia 
elétrica flui para o sistema. Então, a entrada elétrica líquida We pode ser equiparada ao 
aumento de energia Wm, de forma incremental, como
Essa equação também é conhecida como equação do balanço de energia incremental (ou 
diferencial). Ela fornece uma base para a análise da operação de máquinas eletromecânicas. 
Desde no tempo dt,
onde v é a tensão (reação) induzida nos terminais elétricos pela energia magnética 
armazenada variável. Portanto,
Segundo Pinto (2011), de acordo com a lei de Faraday, a tensão induzida v com base nas 
ligações de fluxo pode ser expressa como
Ainda segundo Pinto (2011), a entrada diferencial de energia elétrica líquida no tempo dt 
pode ser expressa como
71
Conforme observado por Pinto (2011), a saída de energia mecânica diferencial para um 
deslocamento virtual (isto é, movimento linear) dx quando a força é Ff pode ser expressa como
Substituindo na equação temos
Se a saída da energia mecânica diferencial for para um movimento rotativo, a força Ff é 
substituída pelo torque Tf e o deslocamento linear (diferencial) dx é substituído pelo deslocamento 
angular (diferencial) dθ de modo que
De acordo com Pinto (2011), a lei da conservação de energia pode ser aplicada nos conversores 
eletromecânicos (motor elétrico, gerador elétrico e freio). O fluxo de energia do motor elétrico, 
gerador elétrico e na condição de frenagem poderá ser regenerativa se a fonte elétrica aceitar 
o retorno de energia, ou, simplesmente, pode ser um freio dissipativo, com indução de energia 
elétrica e mecânica.
O mesmo autor apresenta um exemplo de balanço de energia do conversor eletromecânico 
na condição de frenagem. Esta análise serve tanto para as condições de motor quanto gerador. 
Por convenção, a energia elétrica ou mecânica introduzida no conversor será positiva e a energia 
retirada será negativa. O conversor eletromecânico na condição de frenagem possui dois 
enrolamentos.
72
Figura 6 - Conversor genérico com dois enrolamentos 
Fonte: Elaborado pelo autor com base em Pinto (2011, p. 100).
#ParaCegoVer: a imagem mostra um diagrama do circuito RL de um conversor genérico com 
dois enrolamentos.
Logo, temos:
Segundo Pinto (2011), em um intervalo de tempo dt temos o seguinte balanço de energia.
E ainda, conforme Pinto (2011), determinando o diferencial da energia elétrica introduzida 
73
Logo ficam
Portanto, segundo Mohan (2018), o diferencial da energia magnéticas pode ser 
calculado da seguinte forma. Quando se tem dois circuitos elétricos, cada um com a sua própria 
indutância e com uma mútua entre eles, a energia magnética armazenada é dada por:
FIQUE DE OLHO
A WEG disponibiliza uma página web para a escolha e seleção de motores elétricos. Desde 
motores residenciais e comerciais até motores industriais. É possível especificar várias 
características dos motores e selecionar o mais adequado para determinada aplicação.
74
3 APLICAÇÃO A DISPOSITIVOS DE POTÊNCIA E 
CONTROLE
De acordo com Del Toro (2005), o processo de conversão de energia normalmente envolve 
a presença de duas características em um determinado dispositivo eletromecânico. Essas 
características são o enrolamento de campo e o enrolamento de armadura. No primeiro, é 
produzida a densidade de fluxo e, no segundo, é induzida a fem (força eletromotriz) de trabalho.
3.1 Máquinas de indução
Conforme Bim (2018), o princípio de operação de uma máquina de indução pode ser explicado 
de maneira mais conveniente com o transformador de campo rotativo. Um transformador de campo 
rotativo é, de fato, uma máquina de indução com estator e rotor de um enrolamento multifásico 
simétrico (com obviamente o mesmo número de pares de polos e, na maioria dos casos, também 
o mesmo número de fases), mas em que o rotor está parado (bloqueado). O rotor pode ser girado 
em diferentes posições usando engrenagem helicoidal e pinhão. A figura anterior e as duas figuras a 
seguir representam a geometria básica do estator e dos rotores das máquinas de indução.
Figura 7 - Estator trifásico 
Fonte: Bim (2018, p. 164).
#ParaCegoVer: a imagem mostra um estator trifásico de camada simples.
De acordo com Bim (2018), um motor de indução possui o mesmo estator físico de uma 
máquina síncrona, com uma construção de rotor diferente.
De acordo com Del Toro (2009), existem dois tipos diferentes de rotores de motores de 
indução que podem ser colocados dentro do estator. Um é chamado de rotor de gaiola, enquanto 
o outro é chamado de rotor de ferida.
75
Figura 8 - Rotor de gaiola 
Fonte: Fouad A. Saad, Shutterstock, 2020.
#ParaCegoVer: a imagem mostra um rotor de gaiola de esquilo.
Ainda segundo Del Toro (2009), um rotor de motor de indução de gaiola consiste em uma 
série de barras condutoras dispostas em fendas entalhadas na face do rotor e em curto-circuito 
em ambas as extremidades por grandes anéis de tração. Esse projeto é chamado de rotor de 
gaiola, porque os condutores, se examinados por eles mesmos, se pareceriam com uma das rodas 
de exercício em que esquilos ou hamsters correm.
Figura 9 - Rotor bobinado 
Fonte: Bim (2018, p. 164).
#ParaCegoVer: a imagem mostra um rotor bobinado trifásico.
De acordo com o mesmo autor, outro tipo de rotor é um rotor enrolado. Um rotor de enrolamento 
possui um conjunto completo de enrolamentos trifásicos que são imagens em espelho dos enrolamentos 
no estator. As três fases dos enrolamentos do rotor são geralmente conectadas em V, e as extremidades 
dos três fios do rotor são amarradas a anéis deslizantes no eixo do rotor. Os enrolamentos do rotor 
em miniatura são curtos através de escovas montadas nos anéis coletores. Os motores de indução de 
rotor enrolado, portanto, têm suas correntes de rotor acessíveis nas escovas do estator que podem ser 
examinados e nos quais a resistência extra pode ser inserida no circuito do rotor. É possível aproveitar 
esse recurso para modificar a característica de velocidade do torque do motor.
76
Segundo Chapman (2005), os motores de indução com rotor externo são mais caros do que 
os motores de indução de gaiola e exigem muito mais manutenção devido ao desgaste associado 
às suas escovas e anéis deslizantes. Como resultado, raramente são usados motores de indução 
de rotor enrolado.
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo:
3.2 Máquinas de relutância variável e motores de passo
Segundo Umans (2003), máquinas de relutância variável (muitas vezes abreviadas como 
VRMs) são, talvez, as mais simples das máquinas elétricas. Elas consistem em um estator com 
enrolamentos de excitação e um rotor magnético com saliência. Os condutores do rotor não são 
necessários, porque o torque é produzido pela tendência do rotor de se alinhar com a onda de 
fluxo produzida pelo estator de maneira a maximizar as ligações do fluxo do estator resultantes de 
uma determinada corrente aplicada do estator. As indutâncias do enrolamento do estator dessas 
máquinas são funções da posição angular do rotor.
Ainda segundo o mesmo autor, embora o conceito de VRM exista há muito tempo, apenas 
nas últimas décadas essas máquinas começaram a ser amplamente difundidas em aplicações de 
engenharia. Isso se deve, em grande parte, ao fato de que, embora sejam de construção simples, 
são um pouco complicadas de controlar. Por exemplo, a posição do rotor deve ser conhecida para 
FIQUE DE OLHO
Máquinas de relutância variável são frequentemente chamadas de SRMs (comutadores de 
relutância comutada) para indicar a combinação de um VRM e o inversor de comutação 
necessário para acioná-lo. Este termo é popular na literaturatécnica.
77
energizar adequadamente os enrolamentos de fase para produzir torque. É a ampla disponibilidade 
e o baixo custo da computação digital, em combinação com a eletrônica de potência, que tornou o 
VRM competitivo com outras tecnologias de motores em uma ampla gama de aplicações.
E, ainda, ao excitar sequencialmente as fases de um VRM, o rotor irá girar passo-a-passo através 
de um ângulo específico por passo. Assim, os motores de passo são projetados para aproveitar essa 
característica. Esses motores geralmente combinam o uso de uma geometria de relutância variável 
com ímãs permanentes para produzir torque aumentado e precisão da posição de precisão.
Máquinas comuns de relutância variável podem ser categorizadas em dois tipos: singularmente 
saliente e duplamente saliente. Nos dois casos, suas características mais notáveis são que não há 
enrolamentos ou ímãs permanentes em seus rotores e que sua única fonte de excitação consiste 
em enrolamentos de estator. Isso pode ser uma característica significativa, pois denota que todas as 
perdas por enrolamento resistivo no VRM ocorrem no estator. Como o estator geralmente pode ser 
resfriado com muito mais eficiência e facilidade do que o rotor, o resultado geralmente é um motor 
menor para uma determinada classificação e tamanho de chassi, conforme Umans (2003).
A figura a seguir mostra a forma da variação das indutâncias do estator em função do ângulo 
do rotor θm para um VRM singularmente saliente. De acordo com Umans (2003), é possível 
observar que a indutância de cada enrolamento da fase do estator varia com a posição do rotor, 
de modo que a indutância é máxima quando o eixo do rotor está alinhado com o eixo magnético 
dessa fase e mínima quando os dois eixos são perpendiculares. A figura também mostra que a 
indutância mútua entre os enrolamentos da fase é zero quando o rotor está alinhado com o eixo 
magnético das duas fases, mas varia periodicamente com a posição do rotor.
Figura 10 - VRM bifásico básico, singularmente saliente 
Fonte: Elaborado pelo autor com base em Umans (2003, p. 462).
#ParaCegoVer: a imagem mostra um VRM bifásico básico, singularmente saliente, com o 
rotor, o estator, o eixo do rotor e os dois eixos magnéticos, da fase 1 e da fase 2.
78
Já, a figura a seguir mostra a vista em seção transversal de um VRM duplamente saliente 
em duas fases, no qual o rotor e o estator têm polos salientes. Nesta máquina, o estator possui 
quatro polos, cada um com um enrolamento. No entanto, os enrolamentos em polos opostos 
são da mesma fase, podendo ser conectados em série ou em paralelo. Assim, esta máquina é 
bastante semelhante à da figura anterior, pois existe um enrolamento de estator bifásico e um 
rotor saliente de dois polos. Da mesma forma, a indutância de fase dessa configuração varia de 
um valor máximo, quando o eixo do rotor está alinhado com o eixo dessa fase, a um valor mínimo, 
quando perpendicular, de acordo com Umans (2003).
Figura 11 - VRM bifásico básico, duplamente saliente 
Fonte: Elaborado pelo autor com base em Umans (2003, p. 462).
#ParaCegoVer: a imagem mostra um VRM bifásico básico, singularmente saliente, com o 
rotor, o estator, o eixo do rotor e os dois eixos magnéticos, da fase 1 e da fase 2.
Conforme Umans (2003), diferentemente da máquina da figura VRM bifásico básico, 
singularmente saliente, sob a suposição de relutância desprezível de ferro, as indutâncias mútuas 
entre as fases do VRM duplamente, destacado da figura VRM bifásico básico, duplamente 
saliente, serão zero, com exceção de um componente pequeno e essencialmente constante 
associado ao fluxo de vazamento. Além disso, a saliência do estator aumenta a diferença entre 
as indutâncias máxima e mínima, o que, por sua vez, melhora as características produtoras de 
torque da máquina duplamente saliente. A figura VRM bifásico básico, duplamente saliente 
mostra a forma da variação das indutâncias de fase para o VRM duplamente saliente da figura 
VRM bifásico básico, singularmente saliente. A relação entre ligação de fluxo e corrente para o 
VRM singularmente saliente é da forma
79
Em que:
Conforme aponta Umans (2003), todas essas indutâncias são periódicas com um período de 
180 graus, porque a rotação do rotor, através de 180 graus, a partir de qualquer posição angular, 
resulta em nenhuma alteração no circuito magnético da máquina.
De acordo com Chapman (2005), o torque eletromagnético deste sistema pode ser 
determinado a partir da coenergia como
Ainda segundo Chapman (2005), como as correntes de fase nessas máquinas são normalmente 
ligadas e desligadas por chaves de estado sólido, como transistores ou tiristores, e, como cada 
chave precisa lidar apenas com correntes em uma única direção, isso significa que o acionamento 
do motor requer apenas metade do número de chaves (e metade dos componentes eletrônicos de 
controle correspondentes) que seriam necessárias em um inversor bidirecional correspondente. 
O resultado é um sistema de acionamento menos complexo e mais barato.
E ainda, a suposição de indutância mútua desprezível é válida para o VRM duplamente destacado 
na figura anterior, tanto devido à simetria da geometria da máquina quanto à suposição de relutância 
negligenciável do ferro. Na prática, mesmo em situações em que a simetria pode sugerir que as 
indutâncias mútuas são zero ou podem ser ignoradas porque são independentes da posição do 
rotor (por exemplo, as fases são acopladas através de fluxos de vazamento), podem ocorrer efeitos 
significativos não lineares e de indutância mútua devido a saturação do ferro da máquina.
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo:
80
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
• aprender o que é um campo magnético;
• conhecer os fundamentos da conversão eletromecânica de energia;
• compreender como funcionam os sistemas de excitação simples e excitação duplos;
• aprender o que é o balanço de energia e como calcular;
• conhecer como funciona uma máquina de indução.
PARA RESUMIR
BIM, E. Máquinas elétricas e acionamentos. 4 ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2018.
CHAPMAN, S. J. Electric machinery fundamentals. 4 ed. Nova Iorque: McGraw-Hill, 2005.
DEL TORO, V. Fundamentos de máquinas elétricas. Tradução de Onofre de Andrade 
Martins. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
GÖNEN, T. Electrical machines with Matlab. 2 ed. Boca Raton: CRC Press, 2012.
MOHAN, N. Máquinas elétricas e acionamentos: curso introdutório. Rio de Janeiro: LTC, 
2018.
PINTO, J. R. Conversão eletromecânica de energia. São Paulo: Biblioteca 24 horas, 2011.
UMANS, S. D. Fitzgerald & Kingsley’s electric machinery. 7 ed. Nova Iorque: McGraw 
Hill, 2003.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
UNIDADE 4
Campos estacionários e rotativos
Você está na unidade Campos estacionários e rotativos. Conheça aqui um pouco mais 
sobre como são produzidos os campos estacionários e rotativos nas máquinas elétricas, 
sendo que a análise dos campos rotativos pode ser feita tanto pelo método gráfico 
quanto pelo método analítico. Você também vai aprender um importante conceito, 
o escorregamento do rotor, que ocorre devido ao o campo magnético do estator e o 
campo magnético do rotor serem estacionários um em relação ao outro. Além disso, 
você vai estudar as máquinas síncronas, seu funcionamento e aspectos construtivos e sua 
operação como gerador e motor síncrono. Por fim, você vai aprender como funciona uma 
máquina de corrente contínua, seus aspectos construtivos, a tensão de armadura e o seu 
funcionamento básico.
Bons estudos!
Introdução
85
1 PRODUÇÃO DE CAMPOS ESTACIONÁRIOS E 
ROTATIVOS
De acordo com Chapman (2005), se um campo magnético é produzido pelo estator de uma 
máquina de corrente alternada e outro é produzido pelo rotor da máquina, um torque será induzido 
no rotor, o que fará com que o rotor gire e se alinhe ao estator campo magnético. Se houvesse 
alguma maneira de fazer o campo magnético do estator girar, o torque induzido no rotor faria com 
que ele “perseguisse” constantemente o campo magnéticodo estator em um círculo. Isso, em 
poucas palavras, é o princípio básico de toda operação do motor de corrente alternada.
Como o campo magnético do estator pode ser feito para girar? Ainda segundo Chapman 
(2005), o princípio fundamental da operação da máquina de corrente alternada é que, se um 
conjunto trifásico de correntes, cada uma com uma magnitude igual e com uma diferença de fase 
de 120 graus, fluir em um enrolamento trifásico, ele produzirá um campo magnético rotativo de 
constante tensão. O enrolamento trifásico consiste em três conexões separadas, espaçadas em 
120 graus elétricos, em torno da superfície da máquina.
Figura 1 - Sinal senoidal trifásico 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020.
#ParaCegoVer:a imagem mostra um gráfico senoidal trifásico, cada fase com uma diferença 
de 120 graus. Fase a vermelha, fase b preta e fase c azul.
Devido ao espaçamento dos enrolamentos e à diferença de fase das correntes nos 
enrolamentos, a onda mmf (magnetomotive force) pulsante (distribuída senoidamente) 
produzida por cada fase se combina para formar um mmf F resultante, que se move em torno da 
86
circunferência interna da superfície do estator (ou seja, na folga de ar) a uma velocidade constante. 
O fluxo resultante é chamado de campo magnético rotativo. Se balanceada, a excitação trifásica é 
aplicada com a sequência de fases abc e as correntes podem ser expressas como
em que Im é o valor máximo da corrente e a origem do tempo é arbitrariamente assumida 
como o instante em que a corrente da fase a está no seu máximo positivo. A onda mmf resultante 
é uma função das ondas mmf de três componentes causadas por essas correntes, que pode ser 
determinado graficamente ou analiticamente.
1.1 Método gráfico
Como o campo magnético rotativo é produzido pela contribuição mmf dos enrolamentos 
de fase deslocados no espaço com correntes deslocadas no tempo apropriadas, é preciso levar 
em consideração vários instantes de tempo e determinar a magnitude e a direção da onda mmf 
resultante. Por exemplo, considere o instante de tempo t igual a t0 na figura acima e observe que 
as correntes nos enrolamentos de fase a, b e c, respectivamente, são
Observe que cada fase da figura a seguir, por conveniência e simplicidade, é representada 
por uma única bobina. Por exemplo, a bobina a - a’ representa toda a fase a de um enrolamento 
(normalmente distribuído acima de 60 graus elétricos), com seu eixo mmf direcionado ao longo 
da horizontal. A regra da direita confirma prontamente esta afirmação. Da mesma forma, o eixo 
mmf do enrolamento da fase b é 120 graus elétricos além da fase a, e o da fase c é 120 graus 
elétricos deslocados da fase b. Obviamente, as letras não escorvadas e preparadas se referem aos 
terminais inicial e final de cada fase, respectivamente. Observe também que as direções atuais 
nas bobinas correspondentes são indicadas por pontos e cruzes, como mostra a figura a seguir.
87
Figura 2 - Representação do campo magnético rotativo do estator 
Fonte: Gönen (2012, p. 215).
#ParaCegoVer: a imagem mostra a representação do campo magnético rotativo do estator no 
instante t igual a t0 igual a t4.
A corrente no enrolamento da fase a é máxima em t igual a t0 e é representada por um fasor 
Fa = Fm ao longo do eixo da fase a, como mostra a figura anterior. Os mmfs das fases b e c são 
representados pelos fasores Fb e Fc, respectivamente, cada um com uma magnitude de Fm/2 e 
localizados na direção negativa ao longo de seus eixos correspondentes. A soma dos três fasores 
é um fasor F igual a 1,5 multiplicado por Fm que afeta na direção positiva ao longo do eixo da fase 
a, como mostra a figura anterior.
Agora considere um instante posterior de tempo t1, como mostra a figura a seguir. As 
correntes e mmf associadas ao enrolamento de fase podem ser expressas como
A figura a seguir mostra as direções atuais, o componente mmfs e o mmf resultante em t 
igual a t1. Observe que a mmf resultante agora girou 90 graus no sentido anti-horário no espaço.
88
Figura 3 - Representação do campo magnético rotativo do estator 
Fonte: Gönen (2012, p. 215).
#ParaCegoVer: a imagem mostra a representação do campo magnético rotativo do estator 
no instante t igual a t1.
Da mesma forma, as duas figuras a seguir mostram as direções de corrente correspondentes, 
mmfs componentes e mmf resultantes nos outros instantes t igual a t2 e t igual a t3, 
respectivamente. É óbvio que, com o passar do tempo, a onda mmf resultante mantém sua 
forma e amplitude sinusoidal, mas avança em torno do espaço aéreo. Em um ciclo completo 
da variação atual, a onda mmf resultante volta à posição mostrada na figura Representação do 
campo magnético rotativo do estator. Assim, a onda mmf resultante completa uma rotação por 
ciclo da variação atual em uma máquina bipolar. Portanto, em uma máquina de p-polo, a onda 
mmf gira em 2/p rotações.
Figura 4 - Representação do campo magnético rotativo do estator 
Fonte: Gönen (2012, p. 215).
89
#ParaCegoVer: a imagem mostra a representação do campo magnético rotativo do estator 
no instante t igual a t2.
Figura 5 - Representação do campo magnético rotativo do estator 
Fonte: Gönen (2012, p. 215).
#ParaCegoVer: a imagem mostra a representação do campo magnético rotativo do estator 
no instante t igual a t3.
1.2 Método analítico
Suponha novamente que a máquina bipolar possui enrolamentos trifásicos em seu estator, 
de modo que o estator resultante mmf em um determinado instante seja composto pelas 
contribuições de cada fase. Cada enrolamento de fase faz uma contribuição que muda com o 
tempo ao longo de um eixo de espaço fixo.
A figura a seguir mostra um arranjo simplificado de enrolamento de estator bipolar e trifásico. 
A onda mmf resultante, em qualquer ponto do espaço de ar, pode ser definida por um ângulo 
θ. Observe a origem do eixo da fase a. O mmf resultante ao longo de θ pode ser expresso como
90
Figura 6 - Arranjo simplificado de enrolamento de estator bipolar e trifásico 
Fonte: Elaborado pelo autor com base em Gönen (2012, p. 217).
#ParaCegoVer: a imagem mostra a representação do arranjo simplificado de enrolamento de 
estator bipolar e trifásico, com os eixos das fases a, b e c.
em que cada termo no lado direito da equação representa as contribuições instantâneas dos 
mmfs alternados de cada fase. Assim, cada enrolamento de fase produz uma onda mmf senoidal 
distribuída com seu pico ao longo do eixo do enrolamento de fase e sua amplitude proporcional 
ao valor instantâneo da corrente de fase. Por exemplo, a contribuição da fase a ao longo de θ 
pode ser expressa como
em que Fm é o valor instantâneo máximo da fase de uma onda mmf. Portanto, essa equação 
pode ser escrita como
Como os eixos de fase mostrados na figura anterior são deslocados um do outro em 120 graus 
elétricos, as contribuições de mmf das fases b e fase c podem ser expressas, respectivamente, 
como
91
ou
Entretanto, as correntes instantâneas ia, ib e ic são funções do tempo e são expressas como
onde Im é o valor máximo da corrente e a origem do tempo é arbitrariamente tomada como 
o instante em que a fase a em que a corrente está se apresenta no seu máximo positivo.
A quantidade w é a frequência angular de oscilação das correntes do estator, que por 
definição é
onde f é a frequência das correntes do estator em hertz. Portanto, podemos expressar a 
equação como
cada termo no lado direito da equação pode ser reescrito como a soma de duas funções 
cosseno, uma envolvendo a diferença e a outra, a soma dos dois ângulos. O mmf resultante do 
enrolamento trifásico total pode ser expresso como
No entanto, essa expressão define um campo de espaço. Portanto, o segundo, quarto e sexto 
termos, sendo iguais em amplitude e separados por 120 graus, produzem um valor líquido de 
zero. Assim, a equação é simplificada a
92
que representa a onda mmf do campo resultante girando no sentido anti-horário com uma 
velocidade angular de ω rad/s no espaço de ar. A velocidade de tal campo rotativo é geralmenteindicada por ωs e é referida como velocidade síncrona (ωs igual a ω). Suponha que em um dado 
momento t1, a onda mmf resultante seja distribuída senoidalmente ao redor do espaço de ar, com 
seu pico positivo ocorrendo ao longo de θ igual a ωt1. Se, posteriormente, t2, o pico positivo da 
onda distribuída senoidalmente for ao longo de θ igual a ωt2, a onda mmf resultante se moverá 
por ω (t2 menos t1) em torno do espaço de ar. Portanto, correntes polifásicas fazem com que um 
campo magnético rotativo se desenvolva no espaço de ar como se houvesse um ímã permanente 
fisicamente rotativo presente dentro do estator da máquina.
1.3 Conceito de escorregamento de rotor
Como apresentado por Del Toro (2009), no caso de os enrolamentos do estator serem 
conectados a uma alimentação trifásica e o circuito do rotor ser fechado, as tensões induzidas 
nos enrolamentos do rotor produzem correntes trifásicas do rotor. Essas correntes, por sua 
vez, fazem com que outro campo magnético rotativo se desenvolva. Esse campo magnético do 
rotor induzido também gira na mesma velocidade síncrona, ns. Em outras palavras, o campo 
magnético do estator e o campo magnético do rotor são estacionários um em relação ao outro. 
Como resultado, o rotor desenvolve um torque de acordo com o princípio do alinhamento dos 
campos magnéticos.
Ainda segundo o mesmo autor, o rotor começa a girar na direção do campo rotativo do estator, 
devido à lei de Lenz. Aqui, o campo magnético do estator pode ser considerado como arrastando 
o campo magnético do rotor. O torque é mantido enquanto existir o campo magnético rotativo 
FIQUE DE OLHO
Sobre o campo magnético rotativo, é interessante notar que uma inversão da sequência de 
fases das correntes nos enrolamentos do estator faz com que a mmf rotativa (assim como o 
eixo do motor) gire na direção oposta. Por exemplo, se a corrente flui através do enrolamento 
da fase a como antes, mas as correntes ib e i, agora fluem através dos enrolamentos da fase 
c e fase b, respectivamente, a mmf rotativa (assim como o eixo do motor) girará no sentido 
horário. Em resumo, a direção da rotação de um motor trifásico pode ser revertida trocando 
qualquer uma das três linhas de alimentação do motor.
93
e as correntes do rotor induzidas. Além disso, a tensão induzida nos enrolamentos do rotor 
depende da velocidade do rotor em relação aos campos magnéticos. Em operação no estado 
estacionário, a velocidade do eixo do rotor (também chamada de velocidade do eixo mecânico 
do rotor) nm é menor que a velocidade síncrona ns na qual o campo rotativo do estator gira. A 
velocidade síncrona é determinada pela frequência do estator aplicada (em outras palavras, a 
frequência do sistema de alimentação trifásico aplicado) , em hertz, e pelo número de polos, p, 
do enrolamento do estator. Portanto,
Obviamente, em , não haveria tensões ou correntes induzidas nos enrolamentos do rotor e, 
portanto, nenhum torque. Assim, a velocidade do eixo do rotor nunca pode ser igual à velocidade 
síncrona, mas deve estar em algum valor abaixo dessa velocidade.
A velocidade de escorregamento (também chamada de rpm de escorregamento) é definida 
como a diferença entre a velocidade síncrona e a velocidade do rotor e indica quanto o rotor 
escorrega atrás da velocidade síncrona. Consequentemente,
Portanto, o termo escorregamento descreve esse movimento relativo em por unidade ou em 
porcentagem. Assim, o escorregamento por unidade é
E o escorregamento em porcentagem é
FIQUE DE OLHO
O termo “escorregamento” é usado porque descreve o que um observador andando com o 
campo do estator vê ao olhar para o rotor, que parece estar deslizando para trás.
94
Alternativamente, o escorregamento pode ser definido em termos de velocidade angular w 
(rad/s) como
2 MÁQUINAS SÍNCRONAS
Quase toda a energia trifásica é gerada por máquinas síncronas trifásicas operadas como 
geradores. Os geradores síncronos também são chamados de alternadores e, normalmente, 
são grandes máquinas que produzem energia elétrica em usinas hidrelétricas, nucleares ou 
térmicas. A eficiência e a economia de escala determinam o uso de geradores muito grandes. 
Por esse motivo, geradores síncronos classificados acima de 1.000 MVA (mega-volt-ampères) 
são comumente usados em estações geradoras. Os grandes geradores síncronos têm uma alta 
eficiência que, em classificações superiores a 50 MVA, geralmente excede 98%. O termo síncrono 
refere-se ao fato de que essas máquinas operam em velocidades e frequências constantes em 
operações no estado estacionário.
Segundo Del Toro (2009), uma determinada máquina síncrona pode operar como um gerador 
ou como um motor. Tais máquinas são usadas como motores em acionamentos de velocidade 
constante em aplicações industriais e também para estações de armazenamento bombeado. Em 
tamanhos pequenos, com apenas potência fracionada, eles são usados em relógios elétricos, 
temporizadores, toca-discos e em outras aplicações que exigem velocidade constante.
Motores síncronos com modificadores de frequência, como inversores ou cicloconversores, 
também podem ser usados em aplicações de inversores de velocidade variável. Um motor 
síncrono superexcitado sem carga pode ser usado como capacitor síncrono ou condensador 
síncrono para corrigir fatores de potência. Uma versão linear de um motor síncrono pode 
desenvolver movimento linear ou translacional. Atualmente, esse motor síncrono linear (LSM) 
está sendo desenvolvido para futuros sistemas de transporte público de alta velocidade no Japão. 
No entanto, em geral, o LSM não está sendo usado tanto quanto o motor de indução linear (LIM).
Em uma máquina síncrona, o enrolamento da armadura está no estator e o enrolamento de 
campo, no rotor. Em operação normal, as correntes tratoras do estator (no enrolamento trifásico 
distribuído do estator) configuram um campo magnético rotativo. Os rotores da máquina síncrona 
são simplesmente eletroímãs rotativos que têm o mesmo número de polos que o enrolamento 
95
do estator. O enrolamento do rotor é fornecido a partir de uma fonte CC externa através de anéis 
coletores e escovas, portanto, produz um campo magnético do rotor. Como o rotor gira em sincronia 
com o campo magnético do estator, o campo magnético total é o resultado desses dois campos.
Uma máquina síncrona é uma máquina de velocidade constante (isto é, velocidade síncrona). 
Sua estrutura de rotor depende, portanto, de sua classificação de velocidade. Por esse motivo, as 
máquinas de alta velocidade possuem rotores cilíndricos (ou polos não-salientes), enquanto as 
máquinas de baixa velocidade possuem rotores salientes. Com um rotor cilíndrico, a relutância do 
circuito magnético do campo é independente de sua direção real e em relação ao eixo direto.
No entanto, com polos salientes, a relutância é mais baixa quando o campo está ao longo do 
eixo direto, onde o intervalo de ar é o mínimo, e é mais alta quando o campo está diretamente na 
metade do caminho entre os polos, ou seja, ao longo do eixo da quadratura.
Como a estrutura do campo do rotor depende da classificação de velocidade da máquina 
síncrona, os turbogeradores (também conhecidos como turbo alternadores ou geradores de 
turbina), que são máquinas de alta velocidade, possuem rotores cilíndricos com dois ou quatro 
polos. A figura a seguir mostra um rotor cilíndrico. Os geradores hidrelétricos e diesel-elétricos são 
máquinas de baixa velocidade que possuem rotores de polos salientes com quatro ou mais polos. 
Esse tipo de estrutura do rotor normalmente possui um comprimento axial relativamente curto e 
um diâmetro relativamente grande.
FIQUE DE OLHO
Em máquinas rotativas, o termo armadura refere-se à parte da máquina na qual uma 
tensão alternada é gerada devido ao movimento relativo em relação a um campo de fluxo 
magnético.
FIQUE DE OLHO
A palavra saliente significa destacado. Assim, em um rotor de polo saliente, um polo magnético 
se projeta da superfície do rotor, enquanto um polo não saliente é construído alinhadocom a 
superfície do rotor; e seu enrolamento colocado em fendas na periferia do rotor.
96
Figura 7 - Rotor cilíndrico 
Fonte: Maksim Safaniuk, Shutterstock, 2020.
#ParaCegoVer: a imagem mostra um exemplo de um gerador de tração síncrona com rotor 
cilíndrico no salão de produção de uma fábrica de automóveis. Motores e equipamentos elétricos 
para caminhões de mineração para serviços pesados.
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo:
De acordo com Bim (2018), o estator de uma máquina síncrona é bem semelhante ao de uma 
máquina de indução trifásica. O enrolamento do estator é a fonte de tensão e energia elétrica quando 
a máquina está operando como gerador, e o seu enrolamento de entrada, quando está operando como 
motor. Geralmente, é feito de bobinas de estator pré-formadas em um enrolamento de camada dupla.
Em máquinas síncronas de polo saliente com construção de rotor laminado, em que correntes 
induzidas não podem fluir no corpo do rotor, barras pesadas de cobre são instaladas em fendas 
nas faces dos polos. Essas barras são todas em curto-circuito nas duas extremidades do rotor, 
semelhante ao rotor de gaiola de esquilo de um motor de indução. Esse enrolamento é conhecido 
como amortecedor. Os enrolamentos do amortecedor são instalados em quase todas as máquinas 
síncronas que possuem polos salientes
97
De acordo com Del Toro (2009), quando a carga em uma máquina síncrona muda, o ângulo de 
carga também muda. Como resultado, ocorrem oscilações no ângulo de carga e correspondentes 
oscilações mecânicas na rotação síncrona do eixo. Essas oscilações do rotor são conhecidas como 
caça. Os enrolamentos do amortecedor produzem torques de amortecimento para eliminar essas 
oscilações do rotor causadas por esses transientes e torques de partida em motores síncronos. 
Máquinas de rotor cilíndrico são formadas a partir de peças forjadas em aço sólido. Como as 
correntes transitórias do rotor podem ser induzidas no próprio corpo do rotor sólido, não há 
necessidade de um enrolamento mais úmido nessa máquina.
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo:
2.1 Excitação do campo em máquinas síncronas
Segundo Bim (2018), em uma máquina síncrona, os polos do rotor têm polaridade constante 
e devem ser alimentados com corrente contínua. A corrente pode ser fornecida por um gerador 
CC externo ou por um retificador. O excitador pode ser montado no eixo ou ser do tipo excitador 
piloto. O excitador piloto é, geralmente, usado em máquinas de baixa velocidade com grandes 
classificações, como hidrogeradores.
2.2 Velocidade síncrona
De acordo com Bim (2018), uma máquina síncrona opera apenas em velocidade síncrona, 
uma velocidade constante que pode ser determinada pelo número de polos e pela frequência de 
alternância da tensão do enrolamento da armadura. Máquinas síncronas são chamadas assim, 
porque sua velocidade está diretamente relacionada à frequência elétrica do estator. Portanto, a 
velocidade síncrona pode ser expressa como
98
ou
Observe que a frequência em hertz para uma máquina bipolar é igual à velocidade do rotor 
em rotações por segundo, isto é, a frequência elétrica é sincronizada com a velocidade de rotação 
mecânica. Portanto, uma máquina síncrona bipolar deve girar a 60 rps ou 3.600 rpm para produzir 
uma tensão de 60 Hz. Alternativamente, a frequência do radiano ω da onda de tensão em termos 
de ωm, a velocidade mecânica em radianos por segundo, é dada como
2.3 Operação do gerador síncrono
Considere que o gerador síncrono elementar possui três bobinas de estator idênticas (aa’, 
bb’, cc’), de uma ou mais voltas, deslocadas 120 graus no espaço entre si. Quando a corrente 
de campo flui através do enrolamento de campo do rotor, estabelece um fluxo distribuído 
senoidalmente. Se o rotor agora é acionado no sentido anti-horário a uma velocidade constante 
pelo motor primário, um campo magnético giratório é desenvolvido. Este campo magnético é 
chamado de campo de excitação devido ao fato de ser produzido pela corrente de excitação .
Conforme Del Toro (2009), o fluxo rotativo variará a ligação de fluxo dos enrolamentos da 
armadura aa’, bb’, cc’ e induzirá tensões nesses enrolamentos do estator. Essas tensões induzidas 
têm as mesmas magnitudes, mas são deslocadas em 120 graus elétricos. Portanto, as tensões 
resultantes em cada uma das três bobinas podem ser expressas como
99
O pico de tensão em qualquer fase de um estator trifásico é
No entanto, se o enrolamento for distribuído por vários slots, a tensão induzida será menor 
e será dada como
Assim, a tensão eficaz de qualquer fase deste estator trifásico é
Essa tensão é uma função da frequência ou velocidade de rotação, do fluxo existente na máquina 
e, é claro, da construção da própria máquina. Portanto, é possível reescrever a equação como
em que K é uma constante que representa a construção da máquina.
se ω é dado em radianos elétricos por segundo. Alternativamente,
se ω é dado em radianos mecânicos por segundo. Observe que Ea é a tensão interna gerada 
ou simplesmente a tensão gerada. Seu valor depende do fluxo e da velocidade da máquina. No 
entanto, o próprio fluxo depende da corrente que flui no circuito de campo do rotor. Portanto, 
para um gerador síncrono operando a uma velocidade síncrona constante, Ea é uma função da 
corrente de campo.
100
No início, a tensão aumenta linearmente com a corrente do campo. À medida que a corrente 
de campo aumenta ainda mais, o fluxo Φ não aumenta linearmente com If devido à saturação do 
circuito magnético e os níveis de Ea são desativados. Se os terminais da máquina são mantidos 
abertos, a tensão interna gerada Ea é a mesma que a tensão terminal Vt e pode ser determinada 
usando um voltímetro.
2.4 Funcionamento do motor síncrono
Segundo Pinto (2011), uma determinada máquina síncrona também pode operar como um 
motor. No entanto, quando a máquina síncrona faz a transição da ação do gerador para o motor, 
ocorre a reversão do fluxo de energia. Ao invés de a corrente fluir para fora dos terminais da 
armadura (estator), ela flui para os terminais da armadura.
A velocidade do motor síncrono é constante desde que a frequência da fonte seja constante. 
Assim, o circuito equivalente de um motor síncrono é exatamente o mesmo que o circuito 
equivalente de um gerador síncrono, com uma exceção: a direção da corrente Ia é invertida. As 
equações correspondentes para o motor são
FIQUE DE OLHO
No entanto, a tensão interna gerada Ea também é conhecida como tensão de excitação Ef. 
Como a tensão de excitação (às vezes chamada de tensão de campo) pode ser confundida 
com a tensão CC no enrolamento de campo, é preferível usar a primeira.
101
2.5 Características de potência e torque
De acordo com Del Toro (2009), em um gerador síncrono, a energia de entrada é fornecida 
por um motor primário em termos de potência do eixo. A potência mecânica de entrada do 
gerador pode ser expressa como
Por outro lado, a potência desenvolvida internamente da forma mecânica para a elétrica 
pode ser expressa como
A diferença entre a potência de saída e a potência de entrada gera as perdas da máquina, 
enquanto a diferença entre a potência de entrada e a potência desenvolvida gera as perdas 
mecânicas e do núcleo do gerador. A potência de saída elétrica do gerador pode ser encontrada 
em termos de quantidades de linha, conforme
Da mesma forma, a potência reativa pode ser encontrada em termos de quantidades de linha 
como
A potência real e reativa de um gerador síncrono também pode ser expressa em função da 
tensão do terminal, da tensão interna gerada, da impedância síncrona e do ângulo de potência 
ou ângulo de torque δ.
Isso também se aplica à potência real e reativa recebida por um motor síncrono. Como o Xs é 
muito maior que o Ra, pode ser facilmente comprovado que
102
Isso também é conhecido como limite de energia em estado estacionário ou limite de 
estabilidade estática. O torque desenvolvido da máquina síncrona pode ser encontrado como
Portanto, qualquer aumento na potênciamecânica do gerador síncrono ou na saída mecânica 
do motor síncrono após δ atingir 90 graus produz uma diminuição da energia elétrica real. O 
gerador acelera enquanto o motor desacelera e, de qualquer forma, o resultado é uma perda de 
sincronismo (também conhecido como pulling out of step - puxando para fora do passo). O torque 
máximo Tmax também é conhecido como torque de extração - mais precisamente, o torque de 
extração é o torque máximo sustentado que o motor desenvolverá em velocidade síncrona por 
um minuto, com a tensão nominal aplicada na frequência nominal e com excitação normal.
A figura a seguir mostra as características do ângulo de potência ou do ângulo de torque 
no estado estacionário de uma máquina síncrona com resistência de armadura insignificante. 
Observe que quando δ se torna negativo, o fluxo de energia reverte. Em outras palavras, quando 
a energia flui para os terminais elétricos, a máquina começa a atuar como um motor com um δ 
negativo. No modo gerador, a energia flui dos terminais elétricos e o ângulo δ se torna positivo. 
Esse comportamento pode ser explicado pela equação de . Da mesma forma, o torque inverte 
a direção (sinal) quando a máquina passa da operação do gerador para a operação do motor 
de acordo com a equação . No modo gerador, o torque é positivo, ou seja, um contra-torque e, 
portanto, o Td é oposto a ωm.
No modo motor, o torque é negativo, o que significa que está na mesma direção que ωm.
103
Figura 8 - Potência ou torque síncrono da máquina em função do ângulo de potência, δ 
Fonte: Elaborado pelo autor com base em Gönen (2012, p. 219).
#ParaCegoVer: a imagem mostra o gráfico da potência ou torque síncrono da máquina em 
função do ângulo de potência, δ. Quando o sinal senoidal varia de zero até 180 graus a máquina 
funciona como um gerador e quando o sinal senoidal varia de zero até -180 graus a máquina 
funciona como motor.
Observe que a potência máxima e o torque máximo ocorrem quando δ é 90 graus. Se o motor 
primário tender a conduzir o gerador a uma velocidade super síncrona por torque excessivo, a 
corrente do campo poderá ser aumentada para desenvolver mais contra-torque para superar essa 
tendência. Da mesma forma, se um motor síncrono estiver apto a sair do sincronismo devido ao 
torque de carga excessivo, a corrente do campo poderá ser aumentada para produzir um torque 
maior e evitar uma perda de sincronismo.
A potência reativa de uma máquina síncrona pode ser expressa como
Aqui, Q positivo significa fornecer vars (volt-amperes reactive) indutivos no modo gerador 
ou receber vars (volt-amperes reactive) indutivos no modo motor, enquanto Q negativo significa 
fornecer vars (volt-amperes reactive) capacitivos no modo gerador ou receber vars (volt-amperes 
reactive) capacitivos no modo motor.
104
3 MÁQUINAS DE CORRENTE CONTÍNUA
Conforme Del Toro (2009), uma máquina de corrente contínua (DC) é uma máquina versátil, 
ou seja, a mesma máquina pode ser usada como um gerador para converter energia mecânica em 
energia elétrica DC ou como um motor para converter energia elétrica DC em energia mecânica. No 
entanto, o uso de máquinas de corrente contínua, como geradores de corrente contínua para produzir 
energia a granel, desapareceu rapidamente devido às vantagens econômicas envolvidas no uso de 
geração, transmissão e distribuição de corrente alternada. Isso se deve, em parte, à alta eficiência e 
relativa simplicidade com que os transformadores convertem as tensões de um nível para outro.
Hoje, a necessidade de energia CC é frequentemente atendida pelo uso de retificadores 
controlados em estado sólido. No entanto, os motores CC são amplamente utilizados em 
muitas aplicações industriais, pois fornecem potência mecânica constante ou torque constante, 
velocidade do motor ajustável em amplas faixas, controle preciso de velocidade ou posição, 
operação eficiente em uma ampla faixa de velocidade, aceleração e desaceleração rápida e 
capacidade de resposta para sinais de feedback.
Essas máquinas podem variar em tamanho, desde motores de ímã permanente em miniatura 
até máquinas classificadas para operação contínua a vários milhares de cavalos de potência. 
Exemplos de pequenos motores de corrente contínua incluem aqueles usados para pequenos 
dispositivos de controle, motores de limpador de para-brisa, motores de ventilador, motores 
de partida e vários servomotores. Exemplos de aplicação para motores de corrente contínua 
maiores incluem motores de acionamento industrial em transportadores, bombas, talhas, pontes 
rolantes, empilhadeiras, ventiladores, laminadores de aço e alumínio, fábricas de papel, fábricas 
têxteis, vários outros laminadores, carrinhos de golfe, carros elétricos, carros de rua ou carrinhos, 
trens elétricos, elevadores elétricos e grandes equipamentos de movimentação de terra.
3.1 Aspectos construtivos
A construção de uma máquina de corrente contínua possui duas partes básicas, o estator 
(que fica parado) e o rotor (que gira). O estator aponta polos que são excitados por um ou mais 
enrolamentos de campo. O enrolamento da armadura de uma máquina de corrente contínua está 
localizado no rotor, com a corrente fluindo através dele por escovas de carvão, fazendo contato 
com os segmentos do comutador de cobre.
Os polos principais e o núcleo da armadura são compostos de materiais laminados para 
reduzir as perdas do núcleo. Com exceção de algumas máquinas pequenas, as máquinas CC 
também possuem polos de comutação (conhecidos como interpoles ou compoles) entre os polos 
principais do estator. Cada poste de comutação possui seu próprio enrolamento, conhecido como 
enrolamento de comutação.
105
De acordo com Bim (2018), os polos principais (ou de campo) estão localizados no estator 
e estão conectados ao garfo do estator (ou estrutura). O garfo do estator também serve como 
um caminho de retorno para o fluxo do polo. Por causa disso, os garfos estão sendo construídos 
com laminações para diminuir as perdas do núcleo em motores acionados por estado sólido. 
As extremidades dos postes são chamadas de bastões. A superfície da sapata do poste oposta 
ao rotor é chamada de face do poste. A distância entre a face do polo e a superfície do rotor é 
chamada de espaço físico de ar. Existe um enrolamento especial localizado nas fendas das faces 
dos polos, chamado enrolamento de compensação.
Os enrolamentos de campo estão localizados ao redor dos núcleos dos polos e são conectados 
em série e/ou em derivação (isto é, em paralelo) ao circuito da armadura. O enrolamento de 
derivação é composto de muitas voltas de fios relativamente finos, enquanto o enrolamento em 
série tem apenas algumas voltas e é composto de fios mais grossos. Conforme mostrado na figura 
anterior, se o campo tiver ambos os enrolamentos, o enrolamento em série está localizado no 
topo do enrolamento de derivação. Os dois enrolamentos são separados por material isolante 
extra, que, geralmente, é papel. Os enrolamentos em série e em derivação estão localizados no 
eixo d. Esse eixo é chamado de eixo de campo, ou eixo direto, porque a distribuição do fluxo de ar 
devido aos enrolamentos de campo é simétrica na linha central dos polos de campo. As escovas 
de enrolamento de compensação e comutação estão localizadas no eixo q. Esse eixo é chamado 
de eixo em quadratura porque fica a 90 graus elétricos do eixo d e representa a zona neutra.
O comutador está localizado na armadura e consiste em vários segmentos radiais montados 
em um cilindro que é anexado e isolado do eixo. Esses segmentos são bem isolados um do outro 
pela mica. Os fios das bobinas da armadura estão conectados a esses segmentos do comutador. 
A corrente é conduzida para as bobinas da armadura por escovas de carbono que circulam nos 
segmentos do comutador. As escovas são montadas na superfície do comutador e mantidas em 
porta-escovas. Esses porta-escovas usam molas para empurrar as escovas contra a superfície do 
comutador para manter pressão constante e condução livre de problemas.A conexão entre a 
escova e o porta-escova é feita por um cabo de cobre flexível chamado pigtail. O próprio rotor é 
montado em um eixo que roda nos rolamentos.
3.2 Máquina DC elementar
A figura a seguir mostra um gerador de corrente contínua bipolar. O enrolamento da armadura 
consiste em uma única bobina de N voltas. A tensão induzida nesta armadura rotativa é alternada. 
No entanto, usando um comutador, essa tensão é retificada mecanicamente para a tensão CC do 
circuito externo. Aqui, o comutador possui duas meias argolas compostas por dois segmentos de 
cobre isolados um do outro e do eixo.
106
Figura 9 - Representação simples de uma máquina DC 
Fonte: Elaborado pelo autor com base em Gönen (2012, p. 318).
#ParaCegoVer: a imagem mostra a representação simples de uma máquina DC, um gerador 
de corrente contínua bipolar, com a bobina de armadura, as escovas de carbono e os segmentos 
de comutador de cobre.
Conforme salienta Del Toro (2009), cada extremidade da bobina da armadura está conectada 
a um segmento. Escovas de carvão estacionárias presas contra a superfície do comutador 
conectam a bobina aos terminais da armadura externa. Como as escovas permanecem na mesma 
posição em que a bobina gira, cada terminal fixo é sempre conectado ao lado da bobina, onde o 
movimento relativo entre o lado da bobina e o campo é o mesmo.
Em outras palavras, a ação do comutador é reverter as conexões da bobina da armadura para 
o circuito externo quando a corrente reverter na bobina da armadura. Portanto, o comutador 
sempre conecta o lado da bobina sob o polo sul à escova positiva e o lado sob o polo norte ao 
polo negativo. Assim, a polaridade da diferença de tensão entre as duas escovas fixas é sempre a 
mesma e a tensão, agora, é unidirecional.
No entanto, um CC pulsante, como o produzido por esse tipo de gerador de bobina única, não 
é adequado para a maioria dos usos comerciais. A tensão interna total gerada entre as escovas 
(isto é, simplesmente a tensão da escova) pode ser praticamente constante usando um grande 
número de bobinas e segmentos do comutador com as bobinas distribuídas uniformemente em 
torno da superfície da armadura.
3.3 Tensão de armadura
Segundo Bim (2018), em uma máquina de corrente contínua, a tensão da armadura é a tensão 
interna gerada. Ao aplicar a lei de indução eletromagnética de Faraday, a tensão da armadura 
107
(também conhecida como tensão de velocidade) pode ser expressa como
Em que:
A tensão da armadura também pode ser expressa como
e é chamado constante de armadura. A velocidade da máquina pode ser dada em rotações 
por minuto (rpm) e não em radianos por segundo. Desde a
Portanto, a tensão da armadura é uma função do fluxo na máquina, da velocidade do rotor e 
de uma constante que depende da máquina.
A tensão da armadura, ou mais precisamente a tensão interna gerada, não é a tensão 
do terminal. Considere a representação do circuito de um gerador e motor CC excitados 
separadamente, como mostrado nas duas figuras a seguir, respectivamente.
108
Figura 10 - Representação simples de uma máquina DC 
Fonte: Gönen (2012, p. 320).
#ParaCegoVer: a imagem mostra a representação simples de uma máquina DC, com a 
representação de circuito de um gerador DC.
Figura 11 - Representação simples de uma máquina DC 
Fonte: Gönen (2012, p. 320).
#ParaCegoVer: a imagem mostra a representação simples de uma máquina DC, com a 
representação de circuito de um motor DC.
A tensão da armadura Ea pode ser expressa como
109
Em que:
Portanto, no caso de um gerador, a tensão da armadura é sempre maior que a tensão 
do terminal. Em um motor, a tensão da armadura é menor que a tensão do terminal. 
Independentemente de a máquina ser usada como gerador ou motor, existe uma queda de 
tensão em contato com a escova, geralmente assumida como 2 V, devido à queda de tensão 
resistiva entre as escovas e o comutador.
Além disso, o termo resistência do circuito de enrolamento de armadura pode incluir não 
apenas a resistência do enrolamento de armadura Ra, mas também as resistências do enrolamento 
de campo em série Rse, enrolamento de comutação Rcw, enrolamento de comutação Rcw, 
enrolamento de compensação Rcp, bem como a resistência de quaisquer fios externos (usados 
em laboratórios para fazer as conexões necessárias) . Portanto, a expressão geral para a 
tensão da armadura torna-se
e representa a resistência total do circuito de enrolamento da armadura. Na equação de Ea, 
o sinal de mais (+) é usado para um gerador e o sinal de menos (-) para um motor. Observe que a 
polaridade da tensão das escovas é uma função da direção de rotação e da polaridade magnética 
dos polos do campo do estator.
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo:
110
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
• aprender como são produzidos os campos estacionários e rotativos nas máquinas 
elétricas;
• saber como fazer a análise dos campos rotativos;
• conhecer o conceito de escorregamento do rotor;
• estudar o funcionamento, os aspectos construtivos e a operação como gerador e 
motor síncrono das máquinas síncronas;
• aprender como funciona uma máquina de corrente contínua, seus aspectos 
construtivos, a tensão de armadura e o seu funcionamento básico.
PARA RESUMIR
BIM, E. Máquinas elétricas e acionamentos. 4 ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2018.
CHAPMAN, S. J. Electric machinery fundamentals. 4 ed. Nova Iorque: McGraw-Hill, 2005.
DEL TORO, V. Fundamentos de máquinas elétricas. Tradução de Onofre de Andrade 
Martins. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
GÖNEN, T. Electrical machines with Matlab. 2 ed. Boca Raton: CRC Press, 2012.
PINTO, J. R. Conversão eletromecânica de energia. São Paulo: Biblioteca 24 horas, 2011.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
O objetivo deste livro é tratar dos aspectos mais importantes da 
conversão de energia aplicados às engenharias, como a elétrica e civil. 
Imprescindível para aprender sobre os transformadores 
e relações eletromecânicas; as relações de conjugado, força 
mecânica e força eletromotriz de conversores eletromecânicos; e os 
conversores eletromecânicos, que serão abordados de forma ampla, 
esta obra é repleta de figuras, equações, esquemas e exemplos para 
complementar o estudo dos conceitos apresentados. 
Bons estudos!
	Capa E-Book_Conservação de Energia_CENGAGE_V2
	E-Book Completo_Conservação de Energia_CENGAGE_V239
5 Força mecânica e conjugado mecânico em função das indutâncias ..................................................41
6 Exemplo de análise: sistema de excitação simples ............................................................................ 42
7 Força e conjugado mecânicos - excitação em corrente alternada .....................................................44
8 Força desenvolvida - relação com a coenergia ................................................................................... 45
9 Conjugado: relação com a coenergia ................................................................................................. 47
10 Últimas observações com relação à coenergia ................................................................................ 48
11 Cálculo de força em um solenoide ................................................................................................... 48
12 Cálculo do conjugado desenvolvido por uma máquina elétrica ......................................................50
13 Modelagem matemática pela função de transferência ...................................................................51
14 Funções de transferência de sistemas eletromecânicos lineares ....................................................51
PARA RESUMIR ..............................................................................................................................54
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................................................55
UNIDADE 3 - CConversores eletromecânicos ..................................................................................57
Introdução.............................................................................................................................................58
1 Fundamentos da conversão eletromecânica de energia ...................................................................59
2 Balanço de energia ............................................................................................................................. 69
3 Aplicação a dispositivos de potência e controle ................................................................................ 74
PARA RESUMIR ..............................................................................................................................80
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................................................81
UNIDADE 4 - Campos estacionários e rotativos ..............................................................................83
Introdução.............................................................................................................................................84
1 Produção de campos estacionários e rotativos .................................................................................. 85
2 Máquinas síncronas ........................................................................................................................... 94
3 Máquinas de corrente contínua ......................................................................................................... 104
PARA RESUMIR ..............................................................................................................................110
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................................................111
Este livro trata da conversão de energia e é imprescindível para aprender sobre 
os transformadores e relações eletromecânicas; as relações de conjugado, força 
mecânica e força eletromotriz de conversores eletromecânicos; e os conversores 
eletromecânicos, que serão abordados de forma ampla.
A primeira unidade apresenta os transformadores e relações eletromecânicas, 
onde você vai conhecer as principais informações sobre o transformador elétrico, um 
dos equipamentos mais importantes para a realização do fornecimento de energia 
elétrica. Serão estudados os fundamentos dos transformadores monofásicos e 
trifásicos, além dos fundamentos físicos e matemáticos para compreender as relações 
eletromecânicas estabelecidas em vários dispositivos e equipamentos importantes, 
como máquinas elétricas, relés, entre outros.
Na sequência, na segunda unidade, serão abordadas as relações de conjugado, 
força mecânica e força eletromotriz de conversores eletromecânicos. Apresentaremos 
os principais parâmetros do funcionamento de dispositivos eletromecânicos: a força 
mecânica, o conjugado e a força eletromotriz. Discutiremos ainda as mais importantes 
relações matemáticas estabelecidas para estimar esses dispositivos e compreender o 
funcionamento dos diversos equipamentos que realizam conversão eletromecânica, 
considerando a análise do ponto de vista da energia e de parâmetros do circuito 
magnético, por exemplo. As análises deduzidas para espiras únicas e as considerações 
necessárias para sistemas mais complexos finalizam esta unidade.
A unidade 3 tratará dos conversores eletromecânicos. Vamos falar um pouco mais 
sobre conversão eletromecânica de energia, sistemas de excitação simples e dupla 
excitação nesta unidade, além de ensinar sobre o balanço de energia e seus principais 
cálculos. São assuntos desta unidade também: campo magnético, fundamentos da 
conversão eletromecânica de energia e máquina de indução. Por fim, apresentaremos 
algumas aplicações a dispositivos de potência e controle.
Dando continuidade ao tema sobre os conversores eletromecânicos, vamos tratar 
na unidade 4 de como são produzidos os campos estacionários e rotativos nas máquinas 
elétricas, sendo que a análise dos campos rotativos pode ser feita tanto pelo método 
gráfico quanto pelo método analítico. Discutiremos, ainda, sobre um importante 
conceito, o escorregamento do rotor, que ocorre por conta do campo magnético do 
estator e o campo magnético do rotor serem estacionários um em relação ao outro. 
PREFÁCIO
Além disso, estudaremos as máquinas síncronas, seu funcionamento e aspectos 
construtivos e sua operação como gerador e motor síncrono. Por fim, explicaremos 
como funciona uma máquina de corrente contínua, seus aspectos construtivos, a 
tensão de armadura e o seu funcionamento básico.
Livro bastante ilustrado e com uma linguagem didática para que você aprenda de 
maneira eficiente os principais aspectos que envolvem a conversão de energia. Mão à 
obra! Bons estudos! 
UNIDADE 1
Transformadores e relações 
eletromecânicas
Olá,
Você está na unidade Transformadores e relações eletromecânicas. Conheça aqui as 
principais informações sobre o transformador elétrico, um dos equipamentos mais 
importantes para a realização do fornecimento de energia elétrica. Além disso, serão 
apresentados os fundamentos físicos e matemáticos para compreender as relações 
eletromecânicas estabelecidas em vários dispositivos e equipamentos importantes, como 
máquinas elétricas e relés, entre outros.
Bons estudos!
Introdução
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1. INTRODUÇÃO AOS TRANSFORMADORES
Os transformadores são equipamentos fundamentais, usados em sistemas de potência e em 
diversos tipos de sistemas, assim como equipamentos de uso industrial e doméstico. Além disso, 
sabe-se que uma das principais motivações de sua invenção surgiu na geração da energia elétrica, 
possibilitando que a energia produzida seja distribuída e transmitida de forma potencialmente 
mais eficiente.
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O transformador é composto basicamente por dois ou mais enrolamentos, acoplados por um 
fluxo magnético comum a eles. Geralmente, existirá um enrolamento de entrada, denominado 
primário, e outro de saída, o secundário do transformador e a relação de transformação 
é estabelecida conforme os números de espiras dos enrolamentos, dependendo também 
da magnitude e do fluxo comum, além da frequência. Ademais, o acoplamento entre os 
enrolamentos em geral é feito através de um núcleo de materialferromagnético, de maneira a 
conter o fluxo magnético no núcleo, para que o transformador funcione de forma eficiente. Ao 
fluxo adicional, produzido pelos enrolamentos, denomina-se fluxo disperso, um parâmetro que 
deverá ser considerado na construção do transformador para que, por exemplo, os enrolamentos 
sejam colocados de forma a minimizar os efeitos devido a estes fluxos.
2. O TRANSFORMADOR IDEAL
Um transformador ideal será um equipamento no qual é possível desconsiderar as perdas, 
formado por um enrolamento primário e outro secundário e as relações para tensão e corrente 
de entrada e saída são dadas em função de a, a relação de espiras (relação de transformação) 
(CHAPMAN, 2013; UMANS, 2014). 
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A figura a seguir exibe o desenho esquemático do transformador ideal, com as polaridades da 
tensão e da corrente no lado do enrolamento secundário.
Figura 1 - Transformador ideal 
Fonte: Elaborado pela autora (2020).
#ParaCegoVer: A imagem mostra um modelo esquemático de um transformador ideal.
A potência ativa de entrada do transformador ideal é dada por equação considerando o 
ângulo entre a tensão e a corrente no enrolamento primário, que é o mesmo no secundário 
pois as perdas são desprezíveis no caso do transformador ideal. A relação de como é visualizada 
a impedância será especialmente importante nos tópicos seguintes, para a compreensão do 
funcionamento de um transformador real, na prática, além do uso de circuitos equivalentes para 
a representação do equipamento.
3. O FUNCIONAMENTO DE UM TRANSFORMADOR 
MONOFÁSICO REAL
Assim, na prática um transformador não funciona exatamente como o transformador ideal 
visto e então em um transformador real são consideradas relações semelhantes e adicionalmente 
considera-se o efeito das perdas. Para compreender um transformador real, considere que este 
é formado por duas bobinas de fio enroladas no material ferromagnético, que será o núcleo do 
transformador. A bobina primária é conectada a uma fonte de potência em corrente alternada e 
a secundária está em aberto.
O funcionamento de um transformador se baseia na Lei de Faraday (CHAPMAN, 2013). 
Deve-se, ainda, analisar o funcionamento do transformador pelo parâmetro da corrente, 
considerando novamente o transformador real anterior, com a fonte CA e o secundário em 
aberto. Ao estabelecer a alimentação no primário, independentemente do circuito secundário irá 
circular uma corrente do primário, denominada corrente de excitação (iex), requerida para que 
seja produzido o fluxo magnético no núcleo do equipamento. Esta corrente produzida pode ainda 
ser dividida em duas componentes distintas: a corrente de magnetização (iM) e a corrente de 
perdas no núcleo (ih+p). A componente de magnetização é a responsável pelo fluxo produzido no 
núcleo e a componente de perdas é colocada como a parcela que contabiliza perdas por histerese 
e por correntes parasita no núcleo.
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Com relação à corrente de magnetização, sabe-se que esta tipicamente apresenta forma de 
onda não senoidal e as componentes de frequências mais elevadas são resultado da saturação 
magnética, em geral bem maior que a componente fundamental, onde o fluxo atinge o pico e um 
pequeno aumento nesse fluxo demandará um aumento muito grande da corrente. Além disso 
esta corrente estará 90° atrasada com relação à tensão aplicada. Já a componente de perdas no 
núcleo não será linear, devido à histerese e sua componente fundamental está em fase com a 
tensão aplicada. Ademais, na prática quando um transformador está corretamente dimensionado, 
a corrente de excitação à vazio será significativamente menor que a corrente à plena carga.
4. O CIRCUITO EQUIVALENTE DE UM 
TRANSFORMADOR REAL
Como já mencionado, é possível estabelecer um modelo para o transformador real, através de um 
circuito elétrico que será capaz de modelar todas as características apresentadas do funcionamento 
deste equipamento, bem como as perdas a serem consideradas. Assim, sabe-se que as perdas que 
serão contabilizadas ocorrem devido a alguns fatores principais, na prática (JORDÃO, 2002):
Perdas no cobre
• devido ao aquecimento da resistência dos enrolamentos;
Perdas por corrente parasita
• pelo aquecimento da resistência do núcleo do transformador
Perdas por histerese
• devido a variações no estabelecimento do fluxo magnético no núcleo;
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Perdas devido ao fluxo de dispersão
• contabilizadas na prática através de indutâncias, tanto no primário quanto no secundário.
Iniciando a obtenção do modelo, considere então que um transformador opera em regime 
permanente, com o primário em conexão com uma fonte de tensão senoidal de valor eficaz V1 e 
enrolamento secundário em aberto, ou seja, a vazio. Neste caso observa-se que o equipamento 
se comporta semelhantemente a um reator com resistência do enrolamento primário (R1) e 
reatância contabilizada a partir da reatância de dispersão do enrolamento primário (X1) e da 
reatância devido ao fluxo mútuo (Xm), representada como uma indutância mútua. As perdas 
ativas são contabilizadas pela resistência (Rp) e a corrente absorvida é denominada corrente a 
vazio (I0). Caso sejam contabilizadas as perdas no ferro e devido à magnetização esta corrente 
torna-se a corrente de magnetização (Im) e a corrente devido às perdas ativas Ip.
Além disso, o enrolamento secundário pode ser representado semelhantemente ao primário, 
como uma reatância (X2) e uma resistência (R2). A figura a seguir representa o circuito equivalente 
para o transformador monofásico real operando a vazio:
Figura 2 - Circuito equivalente de um transformador monofásico real a vazio. 
Fonte: Elaborado pela autora (2020).
#ParaCegoVer: A imagem mostra um circuito formado por uma resistência e uma indutância, 
representando o enrolamento primário que está conectado a uma fonte de potência CA. Logo em 
seguida tem-se em paralelo o ramo formado por uma resistência de perdas ativas e uma indutância, 
que representa a reatância de magnetização. Ao meio tem-se o transformador ideal e, do lado 
direito, por fim, a reatância do enrolamento, representada por outra indutância e a resistência deste 
enrolamento, com os terminais em aberto devido ao fato de o transformador estar a vazio.
Agora considere que o transformador esteja carregado, conectado a uma carga de impedância 
Zr. Neste caso a força eletromotriz induzida no secundário, representada por E2, provocará a 
circulação de uma corrente I2 e haverá a circulação da componente Ic. 
Como consequência, isto implica que a corrente no primário pode ser calculada, e haverá 
uma queda de tensão correspondente à tensão transformada V2. O circuito equivalente de um 
transformador carregado é visto na figura a seguir. 
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Figura 3 - Circuito equivalente de um transformador monofásico real a plena carga. 
Fonte: Elaborado pela autora (2020).
#ParaCegoVer: A imagem mostra um circuito equivalente de um transformador monofásico 
real a plena carga.
Após visualizar os circuitos equivalentes do transformador, é necessário entender que é 
comum expressar os termos do secundário em função do lado primário do transformador, 
conforme já apresentado anteriormente com o exemplo da impedância, para que então o 
transformador seja modelado em um circuito elétrico único através da relação de transformação. 
Assim, os parâmetros refletidos usualmente são escritos com o símbolo de apóstrofe e na reflexão 
ao primário, como esperado, circuito primário permanece o mesmo, o que inclui também o ramo 
de excitação, formado pela resistência de perdas e pela reatância de magnetização. 
Figura 4 - Circuito equivalente de um transformador monofásico real a plena carga, com as 
grandezas do secundário refletidas para o primário 
Fonte: Elaborado pela autora (2020).
#ParaCegoVer: A imagem mostra um circuito exatamente igual ao anterior, á plena carga, 
entretanto, neste caso, os parâmetros refletidos são dados pelas relações apresentadas 
anteriormente.
FIQUE DE OLHO
É possível aindapara expressar um modelo único para o transformador reescrever os 
parâmetros do primário refletidos em função do secundário, de forma análoga ao que foi 
feito anteriormente para refletir os parâmetros do secundário e da carga para o primário. 
Neste caso, a impedância do secundário permanece a mesma, assim como a impedância da 
carga caso o transformador esteja carregado.
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Por outro lado, é possível ainda estabelecer modelos aproximados que, dependendo da análise 
a ser realizada é capaz de oferecer uma boa aproximação ao transformador real, baseando-se no 
fato de que a corrente que circula no ramo de excitação é cerca de, na prática, 2 a 3% da corrente a 
plena carga (CHAPMAN, 2013). Assim, o que se faz em algumas análises é estabelecer um circuito 
para a modelagem com o ramo deslocado à frente da impedância do primário e esta virá após em 
série com a do secundário ou, ainda, estabelece-se um circuito sem o ramo de excitação.
Considere então a primeira proposta, de deslocamento do ramo de excitação e, assim como 
anteriormente os parâmetros do secundário poderão ser refletidos ao primário e vice-versa. 
Refletindo-se ao primário, tem-se além do ramo de excitação uma resistência equivalente 
definida por e uma reatância. O circuito resultante é visto na figura a seguir.
#ParaCegoVer: circuito elétrico formado à esquerda pelo ramo de excitação e por uma 
resistência e uma reatência equivalentes, em aberto tanto no primário quanto no secundário, 
sendo que no primário tem-se a queda de tensão V1 e no secundário a tensão refletida.
Caso seja possível ainda suprimir o ramo de excitação devido ao fato de as perdas contabilizadas 
por este ramo serem desprezíveis, o circuito aproximado anterior torna-se:
Figura 5 - Circuito equivalente aproximado, sem o ramo de excitação e com os parâmetros do 
secundário refletidos ao primário. 
Fonte: Elaborado pela autora (2020)
#ParaCegoVer: A imagem mostra um circuito elétrico formado por uma resistência e uma 
reatência equivalentes, em aberto tanto no primário quanto no secundário, sendo que no 
primário tem-se a queda de tensão V1 e no secundário a tensão refletida é dada por .
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No tópico a seguir serão vistas as principais formas experimentais de se obter os parâmetros 
para modelagem do transformador.
5. OBTENÇÃO DOS PARÂMETROS DE MODELAGEM 
DO TRANSFORMADOR: ENSAIO A VAZIO E DE 
CURTO CIRCUITO
Para a obtenção dos parâmetros utilizados na modelagem do transformador são feitos dois 
tipos de ensaio: a vazio e de curto-circuito. Assim, estas duas abordagens experimentais permitirão 
obter os valores das indutâncias e das resistências, que são usadas na modelagem do transformador.
No ensaio a vazio, como esperado, um enrolamento do transformador é mantido em aberto 
e o outro enrolamento é conectado a uma fonte de alimentação CA, que deverá fornecer 
tensão nominal, conforme o esquemático seguinte. Este ensaio é utilizado para determinar os 
parâmetros, na prática, do ramo de excitação, utilizado no modelo completo do transformador:
#ParaCegoVer: Na imagem há uma fonte de potência CA na entrada do esquemático de 
ligação do transformador, em seguida utiliza-se um voltímetro, naturalmente ligado em paralelo 
conforme é recomendado. Em seguida há um amperímetro na extremidade de cima do voltímetro, 
que está conectado a uma das bobinas do wattímetro e a outra bobina deste está em paralelo 
com o voltímetro. Os outros terminais restantes, da outra bobina, estão em aberto.
Note que, nesta configuração toda a corrente passa a circular no próprio ramo de excitação, 
pois na prática a impedância do enrolamento primário é muito pequena, comparada à impedância 
do ramo de excitação, ou seja, os valores de reatância e resistência do primário são muito baixos 
e ocorre uma queda de tensão no ramo (CHAPMAN, 2013).
Assim, para a realização do ensaio a vazio e obtenção de parâmetros a partir deste são então 
tomados, geralmente, os seguintes passos (JORDÃO, 2002; CHAPMAN, 2013; UMANS, 2014):
• Aplica-se a tensão nominal ao transformador;
• Mede-se os valores da tensão, corrente e potência de entrada, geralmente no lado de baixa 
tensão;
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• Calcula-se o fator de potência da corrente de entrada;
• Calcula-se a impedância ou ainda a admitância de excitação e a partir desta então os 
valores da resistência de perdas e da reatância de magnetização.
Agora considere o ensaio de curto-circuito. Neste caso os terminais de alta tensão são ligados 
à fonte de potência CA e os terminais de baixa tensão são curto circuitados, conforme visto no 
esquemático seguinte:
#ParaCegoVer: A imagem mostra uma fonte de potência CA na entrada do esquemático de 
ligação do transformador, em seguida utiliza-se um voltímetro, naturalmente ligado em paralelo 
conforme é recomendado. Em seguida há um amperímetro na extremidade de cima do voltímetro, 
que está conectado a uma das bobinas do wattímetro e a outra bobina deste está em paralelo 
com o voltímetro. Os outros terminais da outra bobina estão curto circuitados.
Para realizar o ensaio de curto-circuito devem ser tomados então os seguintes passos 
(JORDÃO, 2002; CHAPMAN, 2013; UMANS, 2014):
• Aplica-se um valor de tensão que seja capaz de fornecer o valor de corrente nominal no 
lado de baixa tensão em curto;
• Mede-se os valores da tensão, corrente e potência de entrada;
• Calcula-se o valor do fator de potência da corrente de entrada;
• Calcula-se a impedância ou a admitância equivalente, para obter a resistência e a reatân-
cia equivalentes, do circuito aproximado.
Assim, o ensaio de curto-circuito é capaz de fornecer o valor da impedância equivalente, fechando 
o processo de obtenção dos parâmetros do circuito aproximado do transformador, uma modelagem 
válida para a grande maioria de casos da análise e modelagem deste tipo de equipamento.
6. O SISTEMA DE MEDIÇÕES POR UNIDADE
Existe uma prática bastante comum na modelagem não só de transformadores mas também 
de equipamentos de potência como máquinas elétricas, o que incluem sistemas elétricos de 
potência em geral, que é a representação no sistema de medições por unidade. Este sistema é 
utilizado como uma forma de padronização.
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Ademais, considerando que um transformador possui impedância em série isto implicará que 
a tensão de saída fornecida variará conforme a carga acoplada, independente do valor da tensão 
de entrada do equipamento. Desta forma, surge a necessidade de analisar tais equipamentos sob 
o ponto de vista da regulação de tensão, conforme será visto adiante.
7. REGULAÇÃO DE TENSÃO DE UM 
TRANSFORMADOR
A regulação de tensão (RT) representa uma grandeza que será capaz de comparar as tensões 
de saída do transformador, a vazio e à plena carga, em função de uma razão. 
Logo, a regulação é um parâmetro que também pode ser utilizado na comparação e avaliação 
de transformadores. Em aplicações gerais é desejável que a regulação de tensão seja baixa ou 
até mesmo 0%, entretanto, existem casos específicos como no uso destes equipamentos para 
redução de corrente de falta, por exemplo, onde poderá ser exigido um transformador que 
ofereça uma alta relação de regulação. A seguir é visto um outro parâmetro muito usado para 
avaliação deste tipo de equipamento: a eficiência.
8. EFICIÊNCIA DO TRANSFORMADOR
A eficiência de equipamentos (representada pela letra η), em geral, é contabilizada pela 
relação entre a potência de entrada e a de saída (CHAPMAN, 2013; UMANS, 2014).
Entretanto, é necessário recordar que a potência de entrada deve ser calculada 
contabilizando-se não só a própria potência fornecida na saída mas também as perdas. Assim, 
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conforme já apresentado no modelo real do transformador, as principais perdas analisadas 
para o transformador e também para máquinas elétricas em geral, são reunidas em: perdas no 
cobre, perdas devido à histerese e as perdas geradas a partir de correntes parasitas. As perdas 
no cobre (PCu) são calculadas a partir das contribuições devido ao enrolamentodo primário e 
do secundário e podem ser contabilizadas diretamente em função da resistência equivalente em 
série, do circuito aproximado. Já as perdas devido à histerese são calculadas em função do resistor 
de perdas ativas, do ramo de magnetização, juntamente com as perdas por correntes parasitas, 
sendo frequentemente reunidas como um parâmetro único de perdas no núcleo (Pnúcleo). 
Por último, antes de estudar as relações eletromecânicas você verá uma introdução aos 
transformadores trifásicos e entenderá que muito do que aprendeu sobre os transformadores 
monofásicos é exatamente igual neste tipo de equipamento.
9. OS TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS
Considerando especialmente que quase todos os sistemas de geração e distribuição de 
energia elétrica são sistemas trifásicos que funcionam com corrente alternada, é necessário 
compreender um dos principais equipamentos utilizados nestes sistemas: o transformador 
trifásico. Assim, sabe-se que estes equipamentos podem ser construídos através de duas formas 
principais: um banco trifásico, resultado da junção de três transformadores monofásicos e através 
da construção de um equipamento trifásico, com três enrolamentos que envolverão um núcleo 
ferromagnético comum. Ambas as formas construtivas são bastante utilizadas e determinadas 
vantagens e desvantagens específicas tornarão uma opção mais adequada à outra dependendo 
da aplicação.
Agora considere um banco de transformadores que resultarão em um equipamento trifásico. 
Tipicamente como os sistemas trifásicos, esta ligação do banco poderá ser realizada de quatro 
maneiras diferentes, combinando ligações em estrela e em delta. Além disso, o estudo deste tipo de 
transformador resultante deve ser feito considerando um único transformador monofásico utilizado 
no banco. Para o entendimento de qual tipo de ligação será mais adequado, devem ser recordadas 
as relações estabelecidas nas ligações em delta e em estrela, pois estas implicarão não só na tensão 
e na corrente, mas também no modo como o equipamento deverá ser aterrado, por exemplo, 
tornando assim como o uso do banco, um tipo de ligação mais adequado que outro dependendo da 
aplicação. Ademais, em geral sabe-se que na prática a ligação Y-Y é pouco utilizada.
Por outro lado, quando ligados em configurações específicas é possível ainda realizar a 
transformação trifásica através do uso de apenas dois transformadores monofásicos, entretanto 
este tipo de ligação acarretará em redução na capacidade de potência, por exemplo, mas poderá 
ser uma boa solução em situações de economia ou mesmo áreas remotas. Estas ligações poderão 
ser feitas através de variações da estrela e triângulo, utilizando a ligação delta aberto, também 
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denominada V-V ou ainda pela ligação estrela e delta abertos. Por último, existem ainda duas 
novas configurações: a ligação T Scott e T trifásica (CHAPMAN, 2013).
10. INTRODUÇÃO À CONVERSÃO ELETROMECÂNICA 
DE ENERGIA
A este ponto você compreenderá o processo de conversão eletromecânica de energia através 
de um campo elétrico ou magnético estabelecido por um determinado equipamento, que 
pertencem à classe de equipamentos de conversão contínua de energia. Além disso, você irá 
ver especialmente os dispositivos e elementos que usarão o campo magnético para a conversão 
energética, algo essencial para a compreensão de equipamentos como máquinas elétricas, que 
incluirão motores e geradores. Ademais, o primeiro passo é compreender como são estabelecidas 
as forças e os conjugados em sistemas de campo magnético.
11. LEI DA FORÇA DE LORENTZ
A Lei da Força de Lorentz estabelece a seguinte relação para o cálculo da força (F), de uma 
partícula com uma carga q, à velocidade v, que está sujeita aos campos elétrico (E) e magnético 
(representado pela densidade de fluxo deste campo, dada por B) (BAUER; WESTFALL; DIAS, 2013; 
UMANS, 2014).
Além disso, caso seja desconsiderado o campo elétrico existente ou seja desejável que este 
seja desprezado, a equação anterior estabelece que a força é gerada devido apenas o campo 
magnético.
Note que em ambas as equações tem-se o produto vetorial, cujo módulo é dado pela 
multiplicação dos módulos da velocidade e da densidade e o seno do ângulo formado entre eles e, 
adicionalmente, estabeleceu-se que na prática que o sentido desta força poderá ser determinado 
através da Regra da mão direita. Neste caso o polegar a velocidade, a representação do vetor 
de densidade do campo magnético é feita pelo dedo indicador e a força é perpendicular. Assim, 
o polegar apontará o sentido da velocidade, o indicador o sentido da densidade e a orientação 
da palma da mão indicará o sentido da força, estabelecida como perpendicular. A figura a seguir 
ilustra um exemplo de aplicação da regra da mão direita:
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Figura 6 - Regra da mão direita para determinação do sentido da força estabelecida devido ao 
campo magnético 
Fonte: UMANS (2014, p. 124).
#ParaCegoVer: A imagem mostra como a velocidade está apontando para cima, o dedo 
polegar está apontando para cima. O dedo indicador está apontando para a esquerda, também 
no mesmo sentido do vetor que representa a densidade do campo magnético. Além disso a 
palma da mão está para frente, denotando a orientação “para fora”, neste caso, da força gerada. 
Ao lado é visto o diagrama fasorial, desta representação da regra da mão direita.
Além disso, convenientemente para uma grande quantidade de cargas, por exemplo, a força 
produzida devido ao campo magnético pode ser expressa em função da densidade de carga, 
dada por ρ e medida em Coulombs por metro cúbico. Por outro lado, recorde que a densidade de 
corrente (J) pode ser calculada também em função da densidade de carga e da velocidade. Logo, 
a densidade de força pode ser definida ainda como o produto vetorial da densidade de corrente 
e da densidade do campo magnético. 
A seguir você verá um dos principais fundamentos de estudo da conversão de energia: o 
balanço energético.
FIQUE DE OLHO
Na prática, você verá conforme o avanço nos estudos que, entretanto, esta equação não 
é a melhor e mais eficiente forma de se estimar esta força em elementos condutores que 
formam equipamentos como máquinas elétricas. Assim, em tópicos seguintes os conceitos 
vistos a este ponto serão retomados, de forma a compreender o que de fato ocorre quando 
forças são geradas neste tipo de equipamento.
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12. RELAÇÕES DA CONVERSÃO DE ENERGIA E O 
BALANÇO ENERGÉTICO
Note que, para qualquer que seja o equipamento estudado que realizará a conversão 
eletromecânica de energia, existe uma relação padrão de transferência de energia, que deverá analisar 
todo o processo de conversão. Logo, como esperado inclusive considerando as próprias leis físicas, a 
energia produzida a partir da fonte de potência CA, por exemplo, será convertida em uma potência de 
saída, responsável pela energia mecânica fornecida, além de uma fração energética convertida em calor 
e, no caso dos equipamentos especialmente compreendidos neste texto, um aumento da energia que 
é armazenada através do campo magnético. Estas relações são capazes de traduzir o fluxo energético, 
embora em equipamentos como geradores de energia elétrica estas relações estarão invertidas, por 
exemplo. Por outro lado, as conversões energéticas em calor ocorrem, nestes equipamentos, devido 
ao aquecimento ôhmico, circulação de corrente em enrolamentos e movimentação de componentes 
mecânicos, que poderá gerar atrito, por exemplo. Ademais, em geral sabe-se que as perdas podem ser 
desprezadas durante os cálculos da conversão eletromecânica de energia.
Considere agora este dispositivo, capaz de produzir força, que realiza a movimentação do êmbolo:
Figura 7 - Dispositivo simples, de conversão eletromecânica, onde há a produção de força 
Fonte: UMANS (2014, p. 124).
#ParaCegoVer: A imagem mostra um dispositivo formado por um núcleo ferromagnético 
retangular, com um enrolamento sem perdas enrolado em um de seus lados e no outro há uma 
abertura onde há um êmbolo, que semovimenta sob ação da força produzida e armazenada
Note que, no caso do dispositivo de exemplo a bobina representa o terminal elétrico e o 
êmbolo o terminal mecânico e esta representação pode ser válida para diversos sistemas práticos. 
Além disso, perceba que a movimentação é gerada pela força armazenada, denotada no desenho 
como a força de campo fcmp, devido ao campo magnético estabelecido.
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Então, considerando que não há necessidade de contabilizar-se as perdas intrínsecas a este 
ponto, considere um sistema onde seja possível o armazenamento total da energia magnética 
produzida, sem perdas. Neste caso então a potência elétrica poderia ser calculada em função da 
mecânica e da taxa de variação da energia armazenada pelo campo.
Por outro lado, note ainda que o terminal mecânico operará não só através da força do campo 
mas também sob o ponto de vista do deslocamento, dado pela posição x. Isto possibilita que a 
potência mecânica possa ser reescrita em função da variação da posição, junto com a força.
Além disso, como é induzida uma tensão e e é produzida pela alimentação a circulação de 
uma corrente i, a variação da energia elétrica é dada em função de ambos os parâmetros. Logo, 
obtém-se que a variação da energia armazenada também pode ser calculada. 
Assim, no tópico a seguir, será considerada a relação energética estabelecida em um sistema que 
possui campo magnético através de excitação única, como alguns tipos de relés eletromagnéticos.
13. RELAÇÕES DA CONVERSÃO DE ENERGIA COM 
RELÉS ELETROMAGNÉTICOS
Para entender as relações estabelecidas anteriormente, considere o relé eletromagnético 
visto na figura a seguir:
Figura 8 - Relé eletromagnético 
Fonte: Mikhail Abramov, Shutterstock, 2020.
#ParaCegoVer: A imagem mostra um relé eletromagnético aberto, onde é possível ver do 
lado esquerdo as peças que realizarão o deslocamento e, consequentemente, o contato. Ao lado 
direito está a bobina enrolada e devidamente instalada.
Este tipo de equipamento pode ser aproximado pelo seguinte esquemático, de um dispositivo 
com um êmbolo móvel:
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Figura 9 - Esquemático de um relé de êmbolo móvel, com aproximação para visualização do 
movimento do êmbolo 
Fonte: UMANS (2014, p. 124).
#ParaCegoVer: A imagem mostra um esquema que representa o mesmo equipamento visto 
no exemplo do dispositivo simples, onde há a produção de força. Entretanto neste caso denota-
se os parâmetros de dimensão do núcleo, como a altura do êmbolo, o espaço entre este e o 
núcleo, as dimensões do núcleo e na lateral da imagem há uma aproximação, demonstrando 
como funciona o deslocamento mecânico do êmbolo.
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Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
• entender o funcionamento de um transformador ideal e transportar este 
conhecimento para compreender como é, de fato, este equipamento real na prática;
• aprender a modelar os transformadores através de circuito elétricos;
• aprender a obter experimentalmente os parâmetros do circuito equivalente de um 
transformador;
• compreender melhor o funcionamento dos transformadores trifásicos;
• entender melhor a conversão eletromecânica por meio do campo magnético, de 
forma geral;
• compreender as relações básicas da força gerada devido ao campo magnético e 
estender estas relações para sistemas mais complexos;
• estudar o relé eletromecânico, com um êmbolo móvel, um sistema que realiza a 
conversão eletromecânica.
PARA RESUMIR
BAUER, W.; WESTFALL, G. D.; DIAS, H. Física para universitários – relatividade, oscilações, 
ondas e calor. Porto Alegre: Editora AMGH , 2013.
CHAPMAN, S. J. Fundamentos de máquinas elétricas. Porto Alegre: Editora AMGH, 2013.
JORDÃO, R. G. Transformadores. São Paulo: Editora Blucher, 2002.
UMANS, S. D. Máquinas elétricas de Fitzgerald e Kingsley-7. Porto Alegre: AMGH Editora, 
2014.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
UNIDADE 2
Relações de conjugado, força 
mecânica e força eletromotriz de 
conversores eletromecânicos
Você está na unidade Relações de conjugado, força mecânica e força eletromotriz 
de conversores eletromecânicos. Conheça aqui três dos principais parâmetros do 
funcionamento de dispositivos eletromecânicos: a força mecânica, o conjugado e a força 
eletromotriz.
Entenda as principais relações matemáticas estabelecidas para estimá-los e também 
para compreender o funcionamento dos diversos equipamentos que realizam conversão 
eletromecânica, considerando a análise do ponto de vista da energia e de parâmetros do 
circuito magnético, por exemplo. Veja, ainda, análises deduzidas para espiras únicas e as 
considerações necessárias para sistemas mais complexos.
Bons estudos!
Introdução
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1 FORÇA ELETROMOTRIZ INDUZIDA EM UMA 
ESPIRA ÚNICA
Assista ao vídeo para compreender, de antemão, algumas informações básicas acerca de uma 
das principais relações estabelecidas em dispositivos eletromecânicos: a força eletromotriz.
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo:
Para compreender melhor a força eletromotriz que pode ser induzida em um dispositivo 
eletromecânico, considere o exemplo a seguir, percebendo o fato de que a força eletromotriz 
induzida pode ser compreendida pela tensão que é induzida durante o funcionamento do 
dispositivo (FALCONE, 2004). Assim, considere uma espira única localizada em um campo 
magnético externo e note também o estabelecimento de polos. No esquemático a seguir, 
considerou-se o rotor de um motor, mas este será aproximado por uma espira de fio e volta 
únicos, onde B representa a densidade do campo magnético, r o vetor de distância do eixo e a 
velocidade angular de rotação:
Figura 1 - Tensão induzida em uma espira sujeita a um campo magnético 
Fonte: CHAPMAN, 2013, p. 153.
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#ParaCegoVer: Representação da tensão induzida, em vista frontal do esquemático da máquina, 
devido ao estabelecimento de um campo magnético por um polo norte à esquerda e o sul à direita, visto 
pelas setas com linhas pontilhadas ( ) saindo em direção ao polo sul. Este campo fará com que o rotor 
entre em rotação, como indicado pela seta da velocidade angular, em sentido anti-horário, representado 
aqui como um objeto circular. Ademais, é demonstrada o vetor distância r, do eixo de rotação e são 
considerados pontos a até d, demonstrando as contribuições de tensão induzidas, Vab e Vcd, sendo que 
a primeira aponta para cima e a segunda para baixo, denotando o sentido do movimento.
Então, analisando a figura, lembre-se que esta espira estará se movimentando exatamente 
devido a esta interação com o campo magnético, e o esquemático visto irá se modificar, conforme 
atração e repulsão com os polos, pois o campo magnético se inverte. Agora, note esta visão 
detalhada da espira, que é retangular, considerando cada um dos quatro cantos desta para análise 
de todas as contribuições e como, de fato, é estabelecida a tensão total induzida:
Figura 2 - Espira única vista de frente 
Fonte: Elaborado pela autora, 2020.
#ParaCegoVer: Na figura, tem-se a bobina vista de frente, demonstrando os quatro cantos 
desta de baixo pra cima no sentido anti-horário, de d até a. Embaixo, estão as extremidades, 
demonstrando um possível sentido de circulação do fluxo, com + e - dos lados esquerdo 
e direito respectivamente e assim como no esquemático anterior, indicou-se as tensões 
induzidas, representadas pelos potenciais entre os cantos da bobina. Além disso, a bobina tem o 
comprimento l e há uma linha mais fina ao meio, que representa o eixo de rotação, junto com o 
vetor distância r, apontando para a direita, que sai do eixo em direção ao canto b.
Note que, como é de se imaginar, para determinar a tensão total induzida (etot) é necessário considerar 
todas as contribuições, assim como a relação vista na equação seguinte e relembrando a regra da mão 
direita, semelhantemente ao que foi visto para a força eletromotriz produzida (CHAPMAN, 2013):
35
Note ainda que v representa o vetor de velocidade escalar e l o vetor de comprimento da 
dimensão. Assim, começando pelo segmento formado do ponto a até o b, a velocidadedo fio 
neste caso é tangente à rotação e o campo B aponta para a direita, o que faz com que o produto 
 aponte para dentro da página, coincidindo com o sentido do próprio segmento ab, fazendo 
com que a tensão induzida seja para dentro da página e:
Por outro lado, no segmento bc devemos considerar duas situações diferentes pois na 
primeira metade deste o produto estará apontando em direção à página e na outra parte 
para fora e como o vetor comprimento l está no plano, o produto é perpendicular em 
ambas as situações e então a tensão induzida no segmento é nula.
No segmento cd tem-se uma relação análoga ao visto para o ab, entretanto neste caso a 
tensão produzida apontará para fora da página e, por último, no segmento da ocorre a mesma 
situação vista no segmento bc e, com isto, a tensão induzida é nula.
Com isto, a tensão total induzida, dada pela soma das contribuições, torna-se
mas como o ângulo está a 180° do formado por c e d, isto permite concluir que,
pois além disso geralmente denomina-se a tensão total simplesmente como a induzida.
Agora considere novamente este sistema de espira única, entretanto deve-se analisar considerando 
a rotação estabelecida. Desta forma define-se o ângulo , relativo ao movimento, como:
Além disso, a velocidade escalar e a angular se correlacionam pelo raio do movimento de 
rotação,
o que permite redefinir a Equação 28 como
ou, ainda, em função da área da espira:
Agora, por último, considere o fluxo estabelecido através do laço desta espira. O valor máximo 
36
ocorrerá então quando o laço estiver exatamente perpendicular às linhas do campo magnético, 
de forma que é possível definir então que:
Agora, por último, considere o fluxo estabelecido através do laço desta espira. O valor máximo 
ocorrerá então quando o laço estiver exatamente perpendicular às linhas do campo magnético, 
de forma que é possível definir então que:
Ademais, a tensão induzida pode então ser calculada em função do fluxo, tal que,
e é possível concluir que a tensão produzida então em qualquer dispositivo eletromecânico, 
como um motor elétrico em corrente alternada, dependerá de três parâmetros: o fluxo magnético, 
a velocidade da rotação da parte móvel e relações construtivas como o número de espiras.
2 CONJUGADO EM UMA ESPIRA ÚNICA
Considere novamente a espira do exemplo prático anterior, entretanto neste caso considere 
também que nesta circula uma corrente elétrica i, que induz um conjugado que será compreendido 
a partir das deduções e do vídeo a seguir.
Assim, a força em cada segmento do laço da espira pode ser calculada por (CHAPMAN, 2013):
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo:
Esta força é responsável pela produção do conjugado, que pode então ser calculado pela 
relação entre a força aplicada e a distância perpendicular, tal que de forma geral,
37
onde é o ângulo formado entre a força e e o vetor distância r e note que o conjugado terá 
sentido horário ou anti-horário, gerando rotação no sentido horário ou anti-horária também.
Agora deve-se definir o cálculo do conjugado considerando todas as contribuições das partes 
da espira, exatamente como foi feito para a tensão induzida. Então no segmento ab o sentido 
da corrente é para dentro do plano da página e B aponta para a direita. Tem-se o sentido do 
comprimento e o produto aponta então para baixo, resultando na seguinte força produzida, 
também apontando para baixo:
O conjugado é definido analogamente, estando neste caso no sentido horário devido à força 
estabelecida:
Quando se analisa o segmento bc tem-se que a corrente estará no plano da página e que o 
campo aponta para a direita, de forma que o produto aponta da dentro do plano da página 
e, então, a força é dada pela relação vista na Equação 13, entretanto aponta para dentro da 
página. Por outro lado, como o vetor distância e o vetor da dimensão da espira são paralelos, isto 
implica que o conjugado neste segmento será nulo, já que o ângulo é nulo.
Prosseguindo a análise para o segmento cd observa-se que, neste caso, a o vetor que 
representa a corrente estará apontando para fora da página, enquanto o campo novamente 
aponta para a direita, resultando que aponte para cima e que a força produzida seja a 
mesma vista no cálculo da Equação 13 mas para cima. Já o conjugado resulta em:
Por último, quanto ao segmento de d até a tem-se que a corrente novamente está no plano 
da página e que o campo aponta para a direita, tornando que o produto aponte para fora 
da página, de forma que a força produzida é exatamente igual à relação matemática dada pela 
Equação 13, entretanto neste caso o vetor aponta para fora da página. Ademais, neste caso ainda 
o conjugado será nulo, novamente, pois similarmente ao segmento bc os vetores r e l tem o 
mesmo sentido, sendo paralelos e assim o ângulo é nulo.
Agora deve-se considerar todas as contribuições e, desta forma, note que os ângulos 
são iguais, permitindo tomar o conjugado total como,
38
da mesma forma que a tensão induzida, denomina-se simplesmente como o conjugado 
induzido na espira única. Adicionalmente também é possível definir este conjugado de outras 
formas, considerando o fluxo através da densidade do campo magnético no laço formado pela 
espira ( ). Assim, tem-se a seguinte relação válida para o cálculo de tal densidade,
onde G é um parâmetro construtivo, que dependerá diretamente da geometria do laço da 
espira μe é o valor da permeabilidade magnética do material, ou seja, outro parâmetro construtivo.
Além da densidade no laço, também é possível definir a densidade do fluxo magnético no 
estator ( ) de uma máquina por exemplo, a parte estática desta e então reescrever a Equação 
16 em função destas densidades, tal que:
Na equação anterior A novamente representa a área e pode-se, ainda, denominar como k 
um parâmetro único que represente todas as grandezas construtivas da espira, de forma que é 
possível calcular, ainda, o conjugado como o seguinte produto vetorial:
A seguir você verá uma nova perspectiva de análise do conjugado e também da força mecânica, 
considerando as relações de energia nos circuitos dos dispositivos, especialmente para os casos de 
excitação única e excitação dupla, mas que podem ser replicadas para exemplos mais complexos.
3 RELAÇÃO COM A ENERGIA ARMAZENADA
Certos dispositivos eletromecânicos serão capazes de converter de forma instantânea toda a 
energia elétrica de excitação do circuito em energia mecânica, por exemplo, através de relações de 
FIQUE DE OLHO
Note que expresso desta forma torna-se ainda mais claro que o conjugado induzido no 
laço será diretamente proporcional à intensidade do campo magnético no qual este está 
imerso, ao campo do laço e ao seno do ângulo entre os vetores que representam estes 
dois campos. Sabe-se que isto é realmente válido para máquinas elétricas que operam 
em corrente alternada e que então o conjugado depende basicamente: da intensidade do 
campo magnético do rotor, do campo magnético externo no qual o rotor está imerso, a 
relação entre ambos (seno do ângulo formado) e de aspectos construtivos do dispositivo 
eletromecânico, como a geometria do rotor.
39
força e conjugado. Assim, considere uma das principais relações baseadas na variação da energia 
armazenada pelo campo magnético já vista, dada em função do fluxo e da indutância envolvida, 
definida em função do deslocamento conforme será visto em outros exemplos adiante. Desta 
forma, relembre que a força mecânica que é produzida em função do campo magnético pode ser 
dada por (TIMOTEO; FAESARELLA, 2017):
Similarmente, é possível definir o conjugado em função da energia armazenada tal que
para o fluxo dado por , considerando um sistema magnético linear.
A seguir é vista a primeira proposição para compreendermos as diversas formas de análises 
das relações entre força mecânica, eletromotriz e o conjugado, pelo cálculo da energia mecânica.
4 OUTRA FORMA DE DEFINIR A ENERGIA MECÂNICA
A energia mecânica pode ser definida em função de indutânciase esta relação representa 
também a aplicação do balanço energético de conversão eletromecânica. Ademais, relembre que 
os sistemas eletromecânicos poderão dividir entre sistemas de excitação única e de múltiplas 
excitações, entretanto a este ponto deve-se considerar um circuito de dupla excitação e ressalta-
se que todas as definições aqui apresentadas poderão ser replicadas ao caso de excitação única, 
caso de equipamentos de uso frequente como os motores de relutância.
Assim, suponha um conversor eletromecânico genérico, que representa um equipamento 
como um eletroímã, por exemplo:
Figura 3 - Esquemático de um conversor eletromecânico genérico de dupla excitação 
Fonte: Adaptado de FALCONE, 2004, p. 178.
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#ParaCegoVer: núcleo ferromagnético formado por duas pernas e uma parte móvel, separadas pelo 
espaço de entreferro. Ambas as pernas do núcleo possuem um fio único enrolado, que forma o circuito 
único de alimentação, com uma resistência R e uma fonte de tensão V. A extremidade da perna esquerda 
é o polo sul, da perna direita o norte e a outra parte móvel, do núcleo ferromagnético, também possui 
os polos norte e sul dos lados esquerdo e direito, respectivamente, de forma a ser atraída pelo campo 
estabelecido. Ademais, um fluxo magnético ϕ percorre as partes do núcleo devido à excitação.
Este dispositivo pode ser aproximado pelo seguinte circuito equivalente:
Figura 4 - Circuito equivalente de um conversor eletromecânico genérico com excitação dupla 
Fonte: Elaborado pela autora, 2020.
#ParaCegoVer: O primeiro estágio, lado esquerdo, representa a alimentação dos dois circuitos 
RL que estão representando a excitação dupla, demonstrando as duas quedas de tensão e as duas 
correntes e M representa a indutância mútua. No estágio de saída, do lado direito, tem-se a força 
resultante e a posição, saídas que denotam a entrega de energia mecânica pelo sistema.
Considere que a energia elétrica, introduzida ao sistema devido à excitação, é resultado da 
soma da contribuição de cada um dos circuitos que formam o sistema, num intervalo de tempo 
infinitesimal dt e a este ponto considere a equação geral para cálculo do balanço da conversão 
eletromecânica de energia, dada por (FALCON, 2004):
onde dEele e dEmec_int representam as energia elétrica e mecânica introduzidas, 
respectivamente, dEmec a energia mecânica gerada, dEmag a magnética produzida e o somatório 
a variação da energia perdida. Além disso, em função do circuito é possível definir a energia 
elétrica como
sendo . Além disso, resolvendo-se 
as derivadas e considerando indutâncias mocionais, que variam conforme a posição ao longo do 
41
tempo, obtém-se a nova expressão para a energia elétrica:
onde o termo representa perdas que podem ser desprezadas por conveniência, dadas pelo 
efeito Joule, assim como pode-se considerar a este ponto, caso necessário, as perdas no núcleo.
Agora o próximo passo é analisar a variação da energia magnética, sob o mesmo ponto de 
vista, de forma que obtém-se:
Já considerando as perdas no ferro tem-se que a energia mecânica introduzida e a variação 
das perdas se relacionam de forma que:
Como pretende-se obter a expressão para a energia mecânica desenvolvida pelo sistema e 
pela relação entre energia fornecida e produzida, tem-se que a seguinte equação torna-se válida
E define-se como energia mecânica total o agrupamento das contribuições mecânicas, tal 
que:
onde d é a operação de diferenciação, I é a matriz das correntes , IT representa a 
transposta e L a matriz de indutâncias 
A seguir serão vistas ideias similares para analisar dois outros importantes parâmetros: a 
força mecânica e o conjugado de um sistema eletromecânico.
5 FORÇA MECÂNICA E CONJUGADO MECÂNICO 
EM FUNÇÃO DAS INDUTÂNCIAS
Para compreender como representar estes importantes parâmetros através do circuito 
equivalente, conforme visto na figura anterior, considere o trabalho mecânico desenvolvido pelo 
sistema como o produto da força desenvolvida (Fdes), na direção x, pelo deslocamento elementar 
(dx) no intervalo de tempo dt. Ou ainda é possível considerar o trabalho como o produto do 
42
conjugado desenvolvido (Cdes) pelo deslocamento angular na rotação, dθ (Falcone, 2004):
Note a relação com a Equação 29 e aqui também é possível expressar em notação matricial. 
Assim, observe o exemplo para a equação do conjugado,
sendo a matriz das indutâncias mocionais de rotação 
Ademais, no caso do deslocamento linear e da força tem-se dedução similar, sendo a matriz 
análoga, de indutâncias mocionais de translação e note ainda que tanto a força quanto o conjugado 
deduzidos representam o que é desenvolvido pelo sistema, mas não o que é de fato entregue a 
uma carga acionada, por exemplo. Logo, esta força e conjugado incluem as contribuições, assim a 
energia mecânica total, referente às perdas, valores úteis e reativos.
6 EXEMPLO DE ANÁLISE: SISTEMA DE EXCITAÇÃO 
SIMPLES
Considere neste caso um eletroímã linear simples, que possui entreferro de faces planas e 
paralelas, embora existam diversas aproximações válidas para sistemas não lineares como pode 
ser visto em um outro momento. O esquemático deste eletroímã pode ser visto na figura a seguir:
Figura 5 - Eletroímã simples de excitação única 
Fonte: FALCONE, 2004, p. 185.
#ParaCegoVer: núcleo ferromagnético com um entreferro na parte superior, também formado 
por uma parte móvel ao lado direito, que se desloca linearmente aumentando o entreferro devido 
à ação de uma força F. A excitação ocorre ao lado esquerdo, através de uma fonte de tensão que 
estabelece um fluxo magnético que circula em todo o conjunto.
43
Além disso considere que o deslocamento é linear e no mesmo sentido do eixo x e que o 
entreferro é suficientemente grande, de forma que a relutância no entreferro represente 
aproximadamente toda a relutância. Desta forma, a indutância L1 pode ser calculada como
sendo S a área da superfície correspondente ao entreferro e, considerando ainda o efeito do 
espraiamento (distorções das linhas de campo nas extremidades).
Caso o deslocamento linear seja infinitesimal e no sentido do eixo x, a seguinte relação torna-
se válida, pois a variação dx coincide com a variação no entreferro:
E então, através das relações já vistas obtém-se o cálculo da força desenvolvida:
Entretanto caso a relutância do entreferro não seja tão maior que a do núcleo, reescreve-se a 
equação anterior para a diferença de potencial magnético entre superfícies do entreferro ( ):
Ou ainda neste caso, é possível reescrever a Equação 28 em função do próprio fluxo, da 
intensidade do campo e da própria densidade deste no entreferro:
Ademais, note que o sinal negativo aparece no cálculo da força desenvolvida exatamente 
pelo fato de que o sentido desta é contrário ao da força exercida externamente e do eixo x. Além 
disso, o deslocamento, assim como as demais variações, são supostos virtuais para análise pois 
não há deslocamento da armadura, de fato e neste tipo de análise surge ainda o conceito de 
pressão magnética, referente à relação entre a força desenvolvida dividida pela área S. A seguir 
você verá as principais relações possíveis para a força e o conjugado desenvolvido, em função dos 
parâmetros do circuito magnético, ainda considerando um dispositivo de excitação única como 
neste exemplo.
Agora considere novamente então a Equação 33 e note que a partir desta e da própria 
relação para o cálculo da força desenvolvida é possível obter a seguinte expressão, em função da 
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permeância do circuito magnético (inverso da relutância) (Falcone, 2004):
Relembre que as expressões para o conjugado são obtidas de maneira similar, como 
mostrado anteriormente, considerando o deslocamento angular. Desta forma tem-se as seguintes 
expressões em função da permeância magnética,
Além disso, estas relações de força e conjugado são específicas para o dispositivo 
eletromecânico de excitação simples, tornando esta a força de excitação simples e o conjugado 
de excitação simples, emborao processo para cálculo de circuitos mais complexos seja análogo 
em algumas considerações. Ademais, a seguir são considerados os cálculos médios devido à 
excitação em corrente alternada.
7 FORÇA E CONJUGADO MECÂNICOS - EXCITAÇÃO 
EM CORRENTE ALTERNADA
Até o presente momento, todos os cálculos foram feitos conforme análise instantânea, 
considerando então que tanto a força quanto o conjugado podem ser calculados pelas seguintes 
expressões, em função do tempo e dos respectivos deslocamentos (Falcone, 2004):
Entretanto utilizando-se a excitação CA, uma nova estimativa destes parâmetros torna-
se necessária. Considere então que um dado dispositivo, também de excitação dupla como o 
eletroímã do primeiro exemplo está sujeito a uma fonte de excitação CA senoidal ou, ainda, um 
motor que opere em corrente alternada, pois nestes casos deve-se calcular então os valores 
médios. Além disso, define-se o cálculo da força média, por definição, mas é importante relembrar 
que a obtenção do conjugado é similar e logo, por definição, tem-se
Considerando o valor eficaz da corrente e a manipulação dos termos, obtém-se,
45
onde é o ângulo de fase entre as correntes 1 e 2.
Agora a análise prossegue, mas considerando a relação com a coenergia, onde serão obtidas 
as deduções para o conjugado e a força magnética
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo:
8 FORÇA DESENVOLVIDA - RELAÇÃO COM A 
COENERGIA
Até o presente momento então viu-se as relações matemáticas estabelecidas para o cálculo 
da força eletromotriz, do conjugado e da força mecânica, também incluindo parâmetros do 
circuito magnético e relações com a energia dos dispositivos eletromecânicos. A este ponto será 
considerada a relação estabelecida para a força magnética, utilizando o conceito de coenergia.
A coenergia é, então, uma forma manipulada das relações de energia, de forma a obter a força 
como uma função direta da corrente, por exemplo, além de estabelecer uma relação de conveniência, 
para uma análise mais simples em determinados tipos de sistemas e dispositivos. Assim, a coenergia 
( ) é definida como uma função da corrente e do deslocamento x, com a energia em função do 
fluxo concatenado ( ) e deste mesmo deslocamento linear, tal que (Umans, 2014):
Para que se obtenha uma analogia possivelmente simplificada, deve-se utilizar a diferenciação 
tal que considera-se a diferencial do produto da corrente e do fluxo concatenado,
46
além da própria diferencial da variação de energia armazenada pelo campo, para a qual 
obtém-se:
Agora deve-se introduzir um conceito novo a este ponto, pois note que a função para o 
cálculo da coenergia depende de dois parâmetros independentes: a corrente e o deslocamento 
linear. Matematicamente isto significa que esta é uma função de estado, pois que depende do 
estado de duas variáveis independentes i e x. Logo, é possível ainda considerar que a diferencial 
é dada como
e sabe-se que as Equações 48 e 49 deverão ser iguais para todos os valores de deslocamento 
e de corrente. Assim, tem-se que
Ou seja, a este ponto tem-se que a força mecânica também pode ser calculada diretamente 
pela coenergia, analogamente ao que foi visto anteriormente para a função da energia 
armazenada, neste caso diretamente em termos da corrente e do deslocamento linear.
Note ainda que a função de coenergia deve ser uma função conhecida de i e x, de forma que 
para qualquer sistema eletromecânico analisado obtenha-se o mesmo valor de força mecânica, 
tanto no cálculo pela energia quanto para a coenergia, pois trata-se, de fato, de um artifício 
matemático. Então, mais ainda, define-se que a coenergia pode ser calculada pela seguinte 
relação integral:
Logo, para sistemas magnéticos considerados lineares, onde a indutância pode ser definida 
em função do deslocamento linear tal que o fluxo concatenado seja , a coenergia pode 
ser calculada como,
o que implica que a força mecânica é, neste caso,
47
como esperado, exatamente a mesma equação de energia.
Por outro lado, deve-se considerar que para calcular a força mecânica em função da energia 
esta deve estar expressa em função do fluxo e caso calcule-se pela coenergia esta deve, então, 
estar expressa em função da corrente elétrica. E quando analisamos o conjugado, o que acontece 
é o que você verá no próximo tópico.
9 CONJUGADO: RELAÇÃO COM A COENERGIA
A este ponto então, considere também o deslocamento angular , de maneira que se 
torna necessário estabelecermos a relação do conjugado desenvolvido. Assim, em um 
sistema eletromecânico onde há o deslocamento rotacional, a coenergia poderá ser expressa 
analogamente ao que foi visto, tal que se tem a seguinte relação integral para calculá-la:
Assim, neste caso a coenergia estará em função da corrente e do deslocamento angular 
e o conjugado pode ser definido como a equação diferencial seguinte, analogamente à força 
proporcionada pelo campo:
Caso o sistema seja linear ou, ainda, é possível considerá-lo como tal, as equações anteriores 
tornam-se:
FIQUE DE OLHO
Agora, a este ponto, existem novas observações necessárias para a obtenção dos valores 
considerando a coenergia e também a energia, pois note que, no caso de sistemas lineares 
(ou que podem ser considerados como tais) a substituição do valor do fluxo concatenado em 
função da indutância linear e da corrente demonstra que, de fato, as energias são iguais. Logo, 
isto pode ser usado inclusive para obter-se, numericamente, o valor da energia armazenada.
48
Agora, no tópico a seguir você verá, semelhantemente ao que foi feito para a energia, 
considerou-se os parâmetros do circuito magnético também na análise de coenergia.
10 ÚLTIMAS OBSERVAÇÕES COM RELAÇÃO À 
COENERGIA
Ademais, agora veja as considerações pertinentes sobre a função coenergia quando 
analisam-se os parâmetros do circuito magnético. Primeiro considere a teoria de campo e que 
se tratam de dispositivos eletromecânicos constituídos por materiais magnéticos moles, o que 
implica a densidade de campo magnético é nula quando a intensidade deste também é e que a 
permeabilidade é constante e pode ser calculada por:
Logo, tem-se a seguinte integração para cálculo da função de coenergia:
Entretanto, quando considera-se materiais duros, onde para a densidade nula tem-se que 
a intensidade do campo vale um valor dado por Hc e sabe-se que a tanto a energia quanto a 
coenergia então, consequentemente, são iguais a zero quando a densidade é nula e também, por 
conseguinte, quando . Assim, a equação para coenergia neste caso torna-se:
Estas relações com os parâmetros magnéticos são importantes pois existem casos que o 
cálculo por meio das Equações 60 e 61 poderá ser mais indicado, embora nem sempre a obtenção 
dos parâmetros do circuito magnético para modelagem do dispositivo eletromecânico em análise 
seja uma tarefa simples.
No tópico seguinte você verá alguns exemplos resolvidos, que trarão exemplos de análises de 
dispositivos eletromecânicos considerando as deduções vistas até este ponto.
11 CÁLCULO DE FORÇA EM UM SOLENOIDE
Assim, neste exemplo prático será usada a relação de energia para o cálculo da força mecânica 
desenvolvida por um dispositivo eletromecânico bastante conhecido, o solenoide. Para isto 
também, deve-se usar os valores obtidos, considerando um ensaio experimental do dispositivo, 
para a indutância deste em função da relação do deslocamento linear, vistos na tabela a seguir. 
Considere ainda quanto ao deslocamento que, em x = 0 isto significa que o solenoide apresentou 
completa retração do dispositivo móvel:
49
Tabela 1 - Tabela de indutância em função do deslocamento linear para um solenoide 
Fonte: Elaborado pela autora, 2020.
#ParaCegoVer: Assim, observa-se na tabela que quando x = 0 cm a indutância é máxima e vale 3 mH. 
Para x = 0,2 cm tem-se L = 2,5 mH e x = 0,4 cm tem-se L = 1,9 mH. Para x = 0,6 cm a indutância vale 1,6 
mH e para x = 0,8 cm tem-se L = 1,4 mH e, por último, para x = 1 cm tem-se que a indutância é 1,2 mH.
Além disso, informou-se que a corrente