Lista 2 Matemática

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UFRPE/UAST - 2016.1 Lista 2 - Matema´tica - Administrac¸a˜o Prof. Renato Augusto
1. Seja f a func¸a˜o definida por f(x) = 5x + 6. Calcule f(3), f(a), f(−a) e f(a + 3).
2. Seja s a func¸a˜o definida por s(t) =
2t
t2 − 1. Calcule s(4), s(0), s(a), s(2 + a) e s(t + 1).
3. Seja g a func¸a˜o definida por
g(x) =
 −
1
2
x + 1, se x < 2
√
x− 2, se x ≥ 2
Encontre g(−2), g(0), g(2) e g(4).
4. Determine o domı´nio da func¸a˜o.
(a) f(x) = x2 + 3 (b) f(x) =
3x + 1
x2
(c) f(x) =
√
x2 + 1 (d) f(x) =
1
x2 + x− 2
(e) f(x) =
√
x− 1
(x + 2)(x− 3)
5. Determine a func¸a˜o composta f(g(x)).
(a) f(x) = 3x2 + 2x− 6, g(x) = x + 2 (b) f(x) = x2 + 4, g(x) = x− 1
(c) f(x) =
√
x + 1, g(x) = x2 − 1 (d) f(x) = x2, g(x) = 1
x− 1
6. (Custo de Produc¸a˜o) O custo total para produzir q unidades de certo produto e´ C(q) reais, em que
C(q) = 0, 01q2 + 0, 9q + 2
(a) Calcule o custo total e o custo me´dio para produzir 10 unidades.
(b) Calcule o custo para produzir a de´cima unidade.
7. (Custo de Produc¸a˜o) Responda a`s perguntas do problema 6 supondo que a func¸a˜o de custo e´
C(q) = q3 − 30q2 + 400q + 500.
8. (Rentabilidade) Nos itens abaixo, a func¸a˜o demanda p = D(x) e a func¸a˜o custo total C(x) de certos
produto sa˜o dadas em termos do n´ıvel de produc¸a˜o x. Em cada caso, determine: a receita R(x), lucro
L(x) e todos os valores de x para os quais a fabricac¸a˜o do produto e´ lucrativa:
(a) D(x) = −0, 02x + 29 e C(x) = 1, 43x2 + 18, 3x + 15, 6
(b) D(x) = −0, 37x + 47 e C(x) = 1, 38x2 + 15, 15x + 115, 5.
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9. (Prec¸os de Ac¸o˜es) A Apple Inc. fabrica produtos muito populares como o iPhone, o iPad e os compu-
tadores Laptot MacBook. Entretanto, a empresa teve um comec¸o dif´ıcil. Levando em conta os desdobra-
mentos, o prec¸o em do´lares das ac¸o˜es da Apple podem ser representadas pela seguinte func¸a˜o:
S(t) =
{
14, 7 + 0, 6t, se t ≤ 4
14, 2t2 − 128t + 304, se t > 4
em que t e´ o tempo em anos apo´s 2000.
(a) De acordo com essa func¸a˜o, qual era o prec¸o das ac¸e˜s da Apple em 1990? E em 2006?
(b) Em que ano as ac¸o˜es atingiram o valor de 200 do´lares?
(c) Qual era o valor das ac¸o˜es em 2012?
10. (Demanda do Consumidor) Um importador norte-americano de cafe´ brasileiro estima que os consu-
midores locais comprara˜o aproximadamente
Q(p) =
4374
p2
quilogramas do cafe´ por semana se o prec¸o for p do´lares por quilograma. O prec¸o estimado do cafe´ apo´s t
semanas e´
p(t) = 0, 04t2 + 0, 2t + 12
do´lares por quilograma.
(a) Expresse a demanda semanal de cafe´ (quilogramas vendidos) em func¸a˜o de t.
(b) Quantos quilogramas de cafe´ os consumidores estara˜o comprando apo´s 10 semanas?
(c) Apo´s quantas semanas a demanda de cafe´ sera´ 30,375 quilogramas?
11. (Custo de Produc¸a˜o) O gerente de uma fa´brica de mo´veis, estima que o custo para produzir q estantes
no turno da manha˜ e´
C(q) = q2 + q + 500
reais. Em um dia de trabalho t´ıpico,
q(t) = 25t
estantes sa˜o produzidas durante as primeiras t horas de uma jornada de trabalho, para 0 ≤ t ≤ 5.
(a) Expresse o custo de produc¸a˜oo C relativo a t.
(b) Qual sera´ a quantia gasta em produc¸a˜oo ate´ o final da terceira hora? Qual sera´ o custo me´dio de
produc¸a˜o durante as primeiras treˆs horas?
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(c) O orc¸amento do gerente preveˆ um gasto de no ma´ximo R$ 11.000,00 em produc¸a˜o no turno da manha˜.
Em que instante esse limite sera´ atingido?
Sugesto˜es e Respostas
1. f(3) = 21, f(a) = 5a + 6, f(−a) = −5a + 6 e f(a + 3) = 5a + 21.
2. s(4) =
8
15
, s(0) = 0, s(a) =
2a
a2 − 1 , s(2 + a) =
2a + 4
a2 + 4a + 3
e s(t + 1) =
2t + 2
t2 + 2t
.
3. g(−2) = 2, g(0) = 1, g(2) = 0 e g(4) =√2.
4. (a) R (b) D(f) = {x ∈ R : x 6= 0} (c) R (d) D(f) = {x ∈ R : x 6= 1, x 6= −2}
(e) D(f) = {x ∈ R : x ≥ 1, x 6= 3, x 6= −2}.
5. (a) 3x2 + 14x + 10 (b) x2 − 2x + 5 (c) |x| (d) 1
(x− 1)2 .
6. (a) C =R$ 12.000,00; CM =R$ 1.200,00 por unidade.
(b) C(10)− C(9) =R$ 1.090,00.
7. (a) C =R$ 2.500,00; CM =R$ 250,00 por unidade.
(b) C(10)− C(9) =R$ 101,00.
8. (a) R(x) = −0, 02x2 + 29x, L(x) = −1, 45x2 + 10, 7x− 15, 6 e L(x) > 0 para 2 < x < 5, 38.
(b) R(x) = −0, 37x2 + 47x, L(x) = −1, 75x2 + 31, 85x− 115, 5 e L(x) > 0 para 5 < x < 13, 2.
9. (a) R$ 8,70 em 1990 e R$ 47,20 em 2006.
(b) No in´ıcio de 2008.
(c) R$ 812,80.
10. (a) Q(p(t)) =
4374
(0, 04t2 + 0, 2t + 12)2
.
(b) Q(p(10)) = 13, 5 quilogramas por semana.
(c) t = 0.
11. (a) C(q(t)) = 625t2 + 25t + 500.
(b) 6.200 e 2.066,7
(c) Aproximadamente 4,07 horas.
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