Lista de Exercícios de Processos Estocásticos 2014 2

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1 
Universidade Católica de Petrópolis 
Centro de Engenharia e Computação 
Professor: André Alves Gandolpho 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Classe Social – O nível econômico de um homem é classificado em três categorias: rico (R), 
classe média (M) e pobre (P). Supõe que dos filhos de um homem rico, 95% são ricos e 5% são de 
classe média. No caso de um indivíduo da classe média, 10% são ricos, 70% da classe média e 20% 
são pobres. No caso de um homem pobre 30% são de classe média e 70% são pobres. Supondo que 
cada homem tem apenas um filho, pede-se: 
a) Construa o diagrama e a matriz de transições que representará uma família através da 1a geração; 
b) Calcule a probabilidade de um homem rico ter um neto de classe média. 
Solução: 
a) Matriz de Transição P = 










70,030,00
20,070,010,0
005,095,0
 
P
M
R
PMR
 
 
 Diagrama de Transição: 
 
 
 
b) Para isso devemos calcular a P2 e ver a célula correspondente a transição solicitada: 
P2 = 










55,042,003,0
28,05550,01650,0
01,00825,09075,0
 
P
M
R
PMR
 
 0,9075 0,0825 0,0100 
P2 = 0,1650 0,5550 0,2800 
 0,0300 0,4200 0,5500 
2) Depois de uma análise estatística sobre o clima e as chuvas em uma pequena cidade do interior 
do Brasil, um pesquisador sugeriu que uma cadeia de Markov de dois estados daria uma boa 
descrição da ocorrência de dias chuvosos e secos durante o período chuvoso de Dezembro, Janeiro e 
Fevereiro. Ele denominaram dia seco como estado 0 e dia chuvoso como estado 1. Realizando a 
amostragem de um período de 37 anos, eles descobriram que a probabilidade de ocorrência de um 
0,7 
 
0,3 
 
0,10 
 
0,95 
 
0,7 
 
0,2 
 
0,05 
 
R 
 
M 
 
P 
 
 
 2 
dia chuvoso após um dia seco era de 0.250 e a probabilidade de ocorrência de um dia seco após um 
dia chuvoso era de 0.340. A partir destas informações pede-se: 
a) Construa a matriz de transição; 
b) Calcule P2, P4 e P6. 
Solução: 
 a)







66,034,0
25,075,0
 
C
S
P
TS
 
 
 b) 







5206,04794,0
3525,06475,0
 
2
C
S
P
TS
 







4400,05600,0
4118,05882,0
 
4
C
S
P
TS
 







4242,05758,0
4234,05766,0
 
6
C
S
P
TS
 
 
3) Suponha a seguinte matriz de transição de estados: 













368,0368,0184,008,0
0368,0368,0264,0
00368,0632,0
368,0368,0184,008,0
3
2
1
0
3 2 1 0 
P 
 onde 0, 1, 2 e 3 são estados. Pede-se: 
a)Traçar o Diagrama de Transição de Estados; 
b)Calcular a Matriz de Transição para n = 2; 
c)Calcule 
n
n
P

lim
 
Solução: 
a) 
 
 
 
 3 
b) 













165,0300,0286,0249,0
097,0233,0319,0351,0
233,0233,0252,0283,0
165,0300,0286,0249,0
P 
c)
   166,0263,0285,0286,0 
1
3210
3210
3332321310303
3232221210202
3132121110101
3032021010000




















pppp
pppp
pppp
pppp
 
4) Uma Cadeia de Markov tem a seguinte matriz de transição P(1). 











5,02,03,0
010
001
)1(P
 Calcule P(2), P(3) e P(4). 
Solução: 

































0625,03750,05625,0
010
001
 
125,0350,0525,0
010
001
 
25,030,045,0
010
001
)4()3()2( PPP
 
5) Uma Cadeia de Markov tem a seguinte matriz de transição P(1). 











4,006,0
1,08,01,0
5,02,03,0
)1(P
 Calcule P(). 
Solução: 
 











3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
)(P
 
 
6) Uma Cadeia de Markov tem a seguinte matriz de transição P(1). 













0100
00
00
0010
3
1
3
2
3
2
3
1
)1(P
 Calcule P(2) e P(3). 
Solução: 













3
1
3
2
9
7
9
2
9
2
9
7
3
2
3
1
)2(
00
00
00
00
P 













00
00
00
00
9
7
9
2
27
7
27
20
27
20
27
7
9
2
9
7
)3(P 
 
 4 
 
7) Uma Cadeia de Markov tem a seguinte matriz de transição de uma etapa P(1). 













368,0368,0184,0080,0
0368,0368,0264,0
00368,0632,0
368,0368,0184,0080,0
)1(P 
Calcule: 
a) P(2) e P(4). 
b) As probabilidades de estado de equilíbrio 
 
j
 
Solução: 
a) 













165,0300,0286,0249,0
097,0233,0319,0351,0
233,0233,0252,0283,0
165,0300,0286,0249,0
)2(P 













164,0261,0286,0289,0
171,0263,0283,0284,0
166,0268,0285,0282,0
164,0261,0286,0289,0
)4(P 
b) 
       
       
       
       
   166,0264,0285,0285,0 
 
1
368,0000,0000,0368,0
368,0368,0000,0368,0
184,0368,0368,0184,0
080,0264,0632,0080,0
 
1
3210
3210
332313033
322212022
312111011
302010000
3210
3332321310303
3232221210202
3132121110101
3032021010000







































pppp
pppp
pppp
pppp
pppp
pppp
pppp
pppp
 
 
8) Em um pequeno município foi constatado, através de pesquisa da prefeitura, que a cada ano 7% da 
população rural migra para a zona urbana e 2% da população urbana migra para a zona rural. 
Considerando que estas taxas são constantes ao longo do tempo, pede-se determinar: 
a) Diagrama de Transição; 
b) Matriz de Transição; 
c) Em 5 anos, qual a probabilidade de um indivíduo, atualmente na zona urbana, ter migrado 
para a zona rural; 
d) Em 10 anos qual a probabilidade de um indivíduo, atualmente na zona rural, ter migrado para 
a zona urbana; 
e) A longo prazo, qual probabilidade de um indivíduo migre para a zona urbana; 
f) A longo prazo, qual será a taxa de migração da população para a zona urbana e para a zona 
rural desta cidade (desconsiderando o crescimento populacional desta cidade). 
 
 
 5 
Solução: 
0,98 0,02 0,9618 0,0382 0,930167 0,069833 0,916452 0,083548 0,864315 0,135685 
0,07 0,93 0,1337 0,8663 0,244417 0,755583 0,292419 0,707581 0,474899 0,525101 
 
P P2 P4 P5 P10 
 
a) 
 
 
b) 







0,930,07
0,020,98
P
 
 
c) aproximadamente 0,083 
d) aproximadamente 0,475; 
e) aproximadamente 0,77; 
f) a taxa de migração da população para a zona urbana será aproximadamente 77,78% e para a zona 
rural será 22,23%.