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* * Estudo de Vigas Contínuas: MÉTODO DE CROSS UNIVERSIDADE PAULISTA – CAMPUS BRASÍLIA CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: TEORIA DAS ESTRUTURAS PROFESSORA: NÍVEA ALBUQUERQUE * * Estudo de Vigas Contínuas SOLUÇÃO: Criar relações entre o carregamento e a deformação. Método das Forças Método das Deformações Hipóteses Preliminares Quando as cargas são todas verticais e não há deformações axiais, as reações das vigas contínuas são todas verticais. n Reações = n Apoios GH = (n-2) Redundantes Excesso de reações nulo * * Eliminação do Apoio Central Viga hiperestática: Nº incógnitas > Nº Eq. Estática (Fv=0 e M=0) A terceira equação é montada a partir do seguinte modelo: Supõe-se a eliminação do apoio central; Calcula-se a deformação que a viga, agora isostática (estrutura primária: eliminação das redundantes), teria no ponto em que o apoio existia; Supõe-se a aplicação de uma força de baixo para cima que anulasse a deformação no ponto em que ocorre o apoio na viga real; Determinada a força, define-se a reação que ocorre no apoio inicialmente eliminado, restando apenas duas outras reações, que podem ser determinadas pelas equações da estática. * * Método de Cross Introdução Processo iterativo para solução de estruturas hiperestáticas desenvolvido pelo Prof. Hardy Cross em 1932. Trata-se de um algoritmo que parte do conhecimento prévio dos momentos fletores em apoios engastados de vigas de um só vão. É aplicável a elementos rígidos que possuem continuidade e nós indeslocáveis. Libera-se o giro no apoio engastado, transfomando-o em apoio articulado; Calcula-se o giro que a viga sofre no apoio. Determina-se o valor do momento fletor que causa a mesma rotação, de maneira que se reproduza a situação original, ou seja, giro igual a zero, cujo valor é correspondente a momento de engastamento perfeito devido ao carregamento. (Método da Distribuição dos Momentos) * * Método de Cross Momentos de Engastamento Perfeito Engaste-Apoio: Bi-Engastado: Em Balanço: MEP * * Método de Cross E quando não há engaste? Há rotação nos apoios. Condição de Continuidade da Viga: O giro é igual, mas com sinal contrário. * * Método de Cross Como os momentos de engastamento perfeito podem ser conhecidos, pode-se considerar os apoios internos das vigas contínuas como inicialmente engastados. Isso pressupõe que não há qualquer espécie de giro. Na realidade, quando a viga está em equilíbrio, o giro existe, podendo ser horário ou anti horário. MEP MEP * * Método de Cross Como o momento de engastamento de um lado do apoio é normalmente diferente do outro, pois os vãos e carregamentos são normalmente diferentes, significa que o nó considerado engastado não está equilibrado, resultando um momento desequilibrado positivo ou negativo. Para equilibrar o nó deve-se distribuir a diferença M entre os tramos adjacentes, de maneira que resulte o momento do tramo esquerdo igual ao do direito, a menos dos sinais. Convenção de Sinais: Lado Esquerdo (-); Lado Direito (+) M * * Método de Cross Princípio Importante: “O elemento mais rígido sempre absorve mais esforços.” Coeficiente de Rigidez A rigidez de um elemento é proporcional à quantidade de esgastamento e inversamente proporcional ao comprimento. Usa-se uma redução de 25% na rigidez do tramo que apresenta uma articulação e um engaste 1 2 1 2 * * Método de Cross FD=1 FD=1 FD=0 * * Método de Cross Procedimento de Cálculo Segue o passo-a-passo da aplicação do método, dada a viga abaixo: Tramo 1 Tramo 2 * * Método de Cross Procedimento de Cálculo Cálculo do coeficiente de rigidez de cada tramo: * * Método de Cross Procedimento de Cálculo Tomando-se os MEPs e os FDs, distribui-se a diferença em cada tramo (momento desequilibrado) proporcionalmente à rigidez de cada tramo. Esse procedimento significa, fisicamente, liberar o nó inicialmente engastado, de forma que alcance a posição de equilíbrio. * * Método de Cross Procedimento de Cálculo Soma-se algebricamente (considerando os sinais) os valores dos momentos de cada lado do apoio. Esses valores deverão ser iguais e com sinais contrários, de tal forma que a sua soma resulte zero, condição de equilíbrio. * * Método de Cross Procedimento de Cálculo De posse do momento no apoio interno, determinam-se as reações de apoio, usando as equações da estática. Para isso, considera-se cada tramo como independente, calculando-se inicialmente as reações sem levar em conta o momento no apoio. * * Método de Cross Procedimento de Cálculo O momento no apoio interno alivia as reações dos apoios extremos e sobrecarrega as do apoio interno. * * Método de Cross Procedimento de Cálculo Após esse procedimento, tem-se automaticamente determinadas as forças cortantes nos apoios para o traçado dos diagramas. * * Método de Cross * * Método de Cross Procedimento de Cálculo Quando a viga contínua apresenta mais de dois tramos, a liberação dos nós é feita para um nó de cada vez, mantendo os demais perfeitamente engastados. O nó, depois de equilibrado, volta a ser imobilizado. O momento distribuído para cada lado do nó é propagado para os nós vizinhos, que permaneceram engastados. * * Método de Cross Procedimento de Cálculo O momento propagado provoca alteração no valor do momento desequilibrado, sendo algebricamente somado a este. Processo de propagação: * * Método de Cross Exemplo Numérico Obter o Diagrama de Momentos Fletores e o Diagrama de Esforços Cortantes da viga contínua abaixo, usando o Método de Cross: * * Método de Cross Exemplo Numérico 1) Cálculo do coeficientes de rigidez de cada tramo: * * Método de Cross Exemplo Numérico 2) Cálculo dos fatores de distribuição: Considera-se: E x I = 1 * * Método de Cross Exemplo Numérico 3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito: Tramo 1 * * Método de Cross Exemplo Numérico 3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito: Tramo 2 * * Método de Cross Exemplo Numérico 3) Cálculo dos momentos de engastamento perfeito: Tramo 3 * * Método de Cross Exemplo Numérico 4) Distribuição dos momentos desequilibrados: OBS Para melhorar a precisão, foram alteradas as unidades de momento de tf.m para tf.cm. * * Método de Cross Exemplo Numérico 5) Transmissão dos momentos equilibrantes aos nós adjacentes: * * OBS As iterações continuam até que, em cada nó, a diferença entre os valores absolutos dos momentos do lado esquerdo e direito seja desprezível ( 5% de diferença) Exemplo Numérico 6) Somatório dos momentos nos nós equilibrados: * * Exemplo Numérico 7) Somatório das reações considerando vãos isostáticos independentes: * * momentos nos apoios reações isostáticas efeitos dos momentos das vigas contínuas Exemplo Numérico 8) Somatório das reações considerando o efeito dos momentos negativos nos apoios centrais: * * Método de Cross Exemplo Numérico 9) Traçado do DEC: * * Método de Cross Exemplo Numérico 10) Traçado do DMF: * * * * * * * * * * *
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