APLICACOES EM PROCESSOS BIOLOGICOS USANDO MODELAGEM

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APLICAÇÕES EM PROCESSOS BIOLÓGICOS USANDO MODELAGEM 
MATEMÁTICA E COMPUTACIONAL 
 
APPLICATIONS IN BIOLOGICAL PROCESSES USING MATHEMATICAL AND COMPUTATION MODELING 
 
NASCIMENTO, Adriana Carla de Souza;SANTOS, Genilton Ferreira dos;NASCIMENTO, Arlyson Alves do1 
 
Grupo Temático 1. 
Subgrupo 1.1. 
 
Resumo: 
A matemática e a biologia têm grande relação e esta relação vem da contribuição que 
uma oferece à outra através de modelos matemáticos para explicar teoricamente os 
processos biológicos. Esse trabalho tem por objetivo apresentar como são aplicados os 
modelos matemáticos em alguns problemas biológicos reais com a utilização de 
recursos tecnológicos para facilitar a compreensão do problema e auxiliar no processo 
de ensino e aprendizagem. Para isso utilizaremos a modelagem matemática para a 
criação dos modelos e as equações de diferenças de primeira ordem baseadas na 
recursividade para formulá-los matematicamente. O software livre GNU Octave será 
utilizado com o intuito de apresentar o modelo de forma prática e contextualizada 
implementando os dados numéricos para a visualização do gráfico. Serão analisadas três 
aplicações onde duas serão estudadas de forma geral e teórica e uma, além de teórica, 
será estudada de forma prática para mostrar como os padrões funcionam bem próximos 
de situações reais. Observou-se que, de fato, o uso de recursos tecnológicos facilitou a 
compreensão e absorção dos conteúdos matemáticos e tornou o problema teórico em 
problema prático e visual. 
Palavras-chave: Biomatemática. GNU Octave. Matemática. Modelagem Matemática. 
 
Abstract: 
Mathematics and biology have a great relationship and this relationship comes from the 
contribution that one offers to the other through mathematical models to theoretically 
explain biological processes. This work aims to present how mathematical models are 
applied to some real biological problems with the use of technological resources to 
facilitate the understanding of the problem and assist the teaching and learning process. 
For this we will use mathematical modeling to create the models and first order 
difference equations based on recursiveness to formulate them mathematically. The free 
software GNU Octave will be used in order to present the model in a practical and 
contextualized way by implementing the numerical data for the graph visualization. 
Three applications will be analyzed where two will be studied in a general and 
theoretical way and one, besides theoretical, will be studied in a practical way to show 
how the patterns work very close to real situations. It was observed that, in fact, the use 
of technological resources facilitated the understanding and absorption of mathematical 
contents and turned the theoretical problem into a practical and visual problem. 
Keywords: Biomathematics. GNU Octave. Mathematical. Mathematical Modeling. 
 
 
1
 Graduanda do Instituto Federal de Alagoas (IFAL); Graduando do Instituto Federal de Alagoas (IFAL); Docente 
do Instituto Federal de Alagoas (IFAL) 
2 
 
 
1. Introdução 
A matemática e a biologia têm grande relação. Essa relação vem de problemas 
biológicos complexos onde se utiliza a matemática para modelar esses problemas e, ao 
serem modelados, a biologia testa esses modelos de forma real, podendo surgir novas 
informações e até novos questionamentos de acordo com (MANCERA, 2002). 
Essa relação mútua entre ambas deve-se ao fato de que a matemática contribui para 
que a biologia entenda as relações em seus fenômenos e a biologia contribui com novos 
conceitos e teorias para a matemática (SAMPAIO; SILVA, 2012). Dessa relação surge a 
Biomatemática que é o estudo dos processos biológicos através de modelos matemáticos 
onde esses modelos são inspirados nos processos em questão. 
Os modelos matemáticos surgem com o objetivo de buscar a interação entre a teoria 
matemática e outras ciências e essas interações acontecem por meio de situações reais 
(BARROS; BASSANEZI, 2010). São estudados e criados pela modelagem matemática através 
de etapas como escolha de tema, coleta de dados, análise de dados, formulação do modelo 
e a validação. A modelagem formaliza um contexto através do modelo e, assim, trabalha 
este modelo de forma intelectual, desenvolvendo e absorvendo as habilidades matemáticas 
adquiridas para sua resolução (BASSANEZI, 2011). 
Para formular um modelo é necessário ter um embasamento teórico matemático 
que, em nosso caso, serão as equações de diferenças de primeira ordem que são 
ferramentas matemáticas muito úteis na modelagem de casos em que precisamos definir de 
forma recursiva modelos matemáticos. Para auxiliar o processo de ensino e aprendizagem 
será utilizado o software livre GNU Octave, como recurso tecnológico, com uma breve 
introdução e para a ilustração do gráfico da aplicação escolhida para ser estudada 
numericamente. 
As aplicações contam com três problemas biológicos reais sobre uma população de 
bactérias, o crescimento de uma população de pulgões e a administração de drogas no 
organismo. Todas elas são modeladas a partir das equações de diferenças de primeira ordem 
no caso discreto. Para exemplificar a terceira aplicação, descrevemos uma situação para 
contextualizar com dados numéricos e proporcionar um caráter mais prático. O GNU Octave 
foi utilizado para dar uma resposta ao problema de forma gráfica. 
O artigo tem por objetivo a aplicação de modelos matemáticos em problemas 
biológicos reais com a utilização de recursos tecnológicos para facilitar a compreensão do 
problema e auxiliar no processo de ensino e aprendizagem. 
 
2. Modelagem matemática 
A modelagem matemática é a matemática em sua mais bela essência, retomando os 
princípios e ideias de como ela foi concebida ao longo de sua história, sendo assim utilizada 
para resolver problemas reais da humanidade. Esses problemas são descritos através de 
modelos matemáticos que seguem algumas etapas para sua resolução. 
De forma geral, um modelo matemático é uma descrição de algo do mundo físico, 
sendo essa descrição algo tão simples quanto uma função, de acordo com (ZILL; CULLEN, 
3 
 
 
2008). Mesmo que tenhamos inúmeros modelos matemáticos existentes, nos ateremos 
apenas aos modelos matemáticos específicos à biologia. 
O processo de modelagem matemática segue as seguintes etapas. 
 
2.1. Etapas da modelagem 
Tendo em vista que a modelagem matemática é um processo dinâmico, as etapas 
que destacamos se complementam. Assim, dão forma ao que chamamos de processo de 
matematização ou modelação de situações reais. 
A escolha, coleta, análise, formulação e validação de modelos são as etapas de 
essencial importância para construção de tais modelos matemáticos. 
- Escolha de temas: A escolha do tema é feita a partir dos levantamentos das 
possíveis situações de estudo nas quais gerem questionamentos. 
- Coleta de dados: Uma vez que escolhemos o tema, o passo seguinte é a busca de 
informações que estejam relacionadas com o assunto em questão. Para isso as coletas de 
dados, sejam qualitativos ou quantitativos, poderão ser efetuadas através de revistas, 
pesquisas bibliográficas ou utilizando conceitos básicos de estatística. É útil organizar um 
questionário para coletas de dados e fazer pesquisas bibliográficas em livros, revistas ou 
artigos. O uso de tabelas favorece uma melhor análise, visualização e identificação dos 
dados. Esses dados poderão ser implementados através de um software obtendo, assim, o 
estudo do problema através dos gráficos. 
- Análise de dados: Analisando estes dados podemos através deles prever situações 
comuns, diagnosticar as principais características do problema estudado e decidir a partir daí 
quais delas deverão ser consideradas para o modelo. 
- Formulação de modelos: Considera-se para uma primeira escolha um modelo 
simples na formulação inicial do fenômeno estudado com o intuito de ajudar no 
entendimento do problema. Contudo, nem sempreé possível que essa formulação conduza 
a resultados satisfatórios, sendo por vezes necessário acrescentar mais variáveis ao objeto 
de pesquisa. Tendo em vista que os modelos matemáticos podem melhor representar tal 
fenômeno é necessário uma reformulação nas leis estabelecidas do modelo para um melhor 
refinamento da modelagem. 
- Validação: Segundo (BASSANEZI, 2015), a validação de um modelo é um processo de 
aceitação ou rejeição do mesmo e esta análise é condicionada a vários fatores sendo 
preponderante o confronto dos dados reais com os valores do modelo. O uso de gráficos das 
soluções e a confecção de tabelas de dados modelados em confronto com os dados 
experimentais podem facilitar a validação de um modelo matemático ou mesmo sugerir 
modificações nos mesmos. 
Resumidamente, modelagem matemática é processada de forma teórica e, 
sobretudo, prática, motivando assim o entendimento da realidade. 
 
3. Equações de diferenças de primeira ordem e recorrência 
4 
 
 
As equações de diferenças são ferramentas matemáticas muito úteis na modelagem 
de casos em que precisamos definir de forma recursiva modelos matemáticos. 
De acordo com (HUNTER, 2011), existem muitos objetos na natureza com estruturas 
recursivas: um galho de uma árvore se parece com uma árvore menor, as ondas do oceano 
têm a mesma forma que as ondulações formadas por suas marolas, uma cebola guarda uma 
cebola menor embaixo de cada camada exterior. O fenômeno natural da recursão permeia 
muitas áreas da matemática. 
Vamos entender como identificar e trabalhar com estruturas recursivas, 
desenvolvendo assim habilidades de enxergar padrões recursivos em objetos matemáticos, 
mesmo não nos atendo às demonstrações matemáticas. Veremos adiante como definir uma 
relação de recorrência. 
 
3.1. Recorrência 
Em matemática, uma relação de recorrência é o tipo mais simples e concreto de 
objeto recursivo. Suponhamos que desejamos definir uma função :P   . O caminho 
mais curto para isso é utilizar uma função explícita 
 
 
 1
2
n n
P n

 . 
De onde, é suficiente substituir algum valor de n natural para calcular os valores de 
 P n na sua forma explícita. É sempre bom ter uma função explícita, mas algumas vezes elas 
são difíceis de aparecer. O mais comum em matemática são funções definidas naturalmente 
de forma recursiva. Apresentaremos agora uma segunda forma de definirmos nossa função 
 P n : 
 
 
 
1 se 1
1 se 1
n
P n
n P n n

 
  
. 
Acima temos uma definição recursiva, pois P é definida em termos de si mesma 
onde para todo n podemos utilizar a definição acima para calcular  P n . 
Como exemplo, vamos calcular o valor de  5P pela lei recursiva de duas maneiras 
diferentes. A primeira abordagem é chamada de “ascendente” porque começamos 
calculando o valor de  1P e vamos “subindo” até calcularmos o valor de  5P . Note que 
para 1n , a primeira parte da definição afirma que  1 1P  . Pela segunda parte da 
definição, tomando com 2n , temos que    2 2 1 2 1 3P P     . Em seguida, pela 
segunda parte da definição, tomando 3n  , temos que    3 3 2 3 3 6P P     . No caso 
em que 4n , temos que    4 4 3 4 6 10P P    
 
e, finalmente, quando 5n  , temos 
que    5 5 4 5 10 15P P     . 
5 
 
 
De forma alternativa, podemos fazer uma computação “descendente”. Sempre que 
n 1 , podemos aplicar a segunda parte da definição da função para substituir o valor de 
 P n por  1n P n  . Dessa forma, temos que 
 
   
 
 
 
5 5 4
5 4 3
5 4 3 2
5 4 3 2 1
5 4 3 2 1
15
P P
P
P
P
 
  
   
    
    

 ,
 
onde utilizamos a condição inicial  1 1P 
 
para calcular o valor de  5P . É importante 
destacar que uma relação de recorrência não define uma sequência se o primeiro elemento 
não for definido. Em outras palavras, a equação de recorrência não pode definir sequências 
sem as condições iniciais, isto é, não é uma relação de recorrência. Note que, por si mesma, 
a equação  1n P n  não definiria uma relação de recorrência, pois o cálculo ascendente 
não poderia nunca ser começado e o cálculo descendente nunca terminaria, segundo (ZILL; 
CULLEN, 2008). 
 
3.2. Equação de diferenças de primeira ordem 
As equações de diferenças têm significativa importância em áreas distintas do 
conhecimento, sendo utilizadas para descrever o comportamento ou a evolução de 
fenômenos cuja variação em cada intervalo de tempo se dá de forma discreta, se opondo ao 
tempo contínuo. Podemos encontrar esses fenômenos nas diversas áreas do conhecimento, 
tais como na física, biologia, medicina, dentre outras. Apresentaremos alguns conceitos 
importantes sobre as equações de diferenças de modo a facilitar a compreensão do nosso 
trabalho, para mais detalhes consultar (ELAYDI, 2005). 
Definição 3.2.1. Dada uma função :f   , definimos sistema dinâmico discreto de 
primeira ordem como sendo uma sequência de números reais denotados por  x n , para 
n , de modo que, cada número após o primeiro é relacionado ao anterior através da 
seguinte equação 
 
    1x n f x n  , 
denominada equação de diferenças. 
Vamos considerar uma população cujo crescimento seja entre gerações, ou seja, o 
tamanho da  1n  –ésima geração é relacionado com uma função que depende da  n –
ésima geração. Podemos modelar essa relação através da equação de diferenças 
       1 . 1x n f x n  
6 
 
 
Sendo   00x x uma população inicial, podemos gerar a sequência através da 
equação  1
 
do seguinte modo: 
 
 
      
       
        
         
0
0
0
0
0 0 0 0
0
1 0
2 1
3 2 .
. .
. .
, , , , ...
x x
x f x f x
x f x f f x
x f x f f f x
x f x f f x f f f x

 
 
  
Essa sequência acima representa o tamanho da população em cada geração. 
Adotaremos a seguinte notação 
 
          2 3
0 0 0 0, , ...f f x f x f f f x f x  
em que  0f x é chamada de primeira iteração de 0x em f ,  2
0f x é chamada de segunda 
iteração de 0x em f e, de forma geral,  0
nf x é chamada de enésima iteração de 0x em 
.f
 
As equações de diferenças podem ser classificadas em lineares e não lineares e 
também pela sua ordem. A solução de uma equação de diferenças é obtida por um processo 
recursivo e na maioria das vezes não conseguimos determinar uma solução de maneira 
explícita para essas equações, em particular as equações de diferenças não-lineares. Em 
particular, neste trabalho, daremos atenção às equações de diferenças lineares de primeira 
ordem. 
Definição 3.2.2. Uma equação de diferenças é linear e de ordem m , se for possível 
ser escrita da seguinte forma 
 
               1 11 1 ,m mx m n a n x m n a n x n a n x n F n         
com m ,  ia n e  F n funções reais e   0,ma n n   . 
Portanto, uma equação de diferenças linear de primeira ordem, é uma equação que 
pode ser expressa como: 
 
         1 , 2x n a n x n b n   
em que  a n e  b n são funções reais definidas para 0n  e   0a n  , para todo n . Se 
  0b n  , para todo n , a equação é denominada homogênea, caso contrário, será 
denominada não homogênea. Quando as funções  a n e  b n são constantes, se diz que a 
equação linear  2 é de coeficientes constantes. Esses tipos de equações são muito 
7 
 
 
interessantes para o estudo da dinâmicade populações, em que    a n x n representa o 
crescimento da população no tempo n e  b n é o número de indivíduos que no tempo n se 
incorporam na população como consequência da imigração (BARROS; BASSANEZI, 2010). 
 
4. Breve introdução ao GNU Octave e as aplicações em processos biológicos 
 
4.1. GNU Octave – breve introdução 
O GNU Octave é um software livre onde qualquer pessoa pode contribuir mediante a 
obediência de certas condições e regras. Pode-se executar, copiar, modificar os códigos já 
existentes e também pode criar novos códigos de alta qualidade para novos problemas. 
Foi criado em 1988 por John Eaton e outros colaboradores sendo inicialmente para 
resolver problemas relacionados a reações químicas e para computação numérica e, mais 
tarde, estendeu-se para problemas de álgebra linear, equações diferenciais, dentre outros. É 
uma linguagem de alto nível que possui uma boa interface para a resolução de problemas 
numéricos lineares e não lineares com base na linguagem compatível com a utilizada no 
MATLAB. O download pode ser feito através do site principal 
https://www.gnu.org/software/octave/ apresentado na Figura 1.
 
 
Figura 1. Site do GNU Octave. 
Fonte: Autoria própria. 
 
Além da possibilidade de implementar códigos online pelo site https://octave-
online.net/ como ilustra a Figura 2. 
 
https://www.gnu.org/software/octave/
https://octave-online.net/
https://octave-online.net/
8 
 
 
 
Figura 2. GNU Octave online. 
Fonte: Autoria própria. 
 
No GNU Octave podemos resolver problemas algébricos numéricos, obter as raízes 
de equações não-lineares, manipular polinômios dentre outras. As funções podem ser 
escritas pela própria linguagem ou escritas em outras linguagens, por exemplo, C++, C, 
usando módulos escritos e carregados nessas linguagens. 
Mesmo em sua gênese tendo sido criado para dar suporte a uma situação específica 
hoje vai mais além contribuindo assim para resolver problemas reais. No entanto, softwares 
científicos constituem um recurso mediador do modelo real para modelos matemáticos. 
Hoje, segundo (TEIXEIRA, 2012), milhares de pessoas no mundo usam o GNU Octave no 
ensino, na pesquisa e em aplicações comerciais. Para mais detalhes ver (SIQUEIRA, 2015) e 
(REAMAT, 2020). 
 
4.2. Aplicações em processos biológicos 
Apresentaremos algumas aplicações em processos biológicos em que os fenômenos 
são modelados por equações de diferenças com variáveis discretas. 
1. (BERTONE; BASSANEZI; JAFELICE, 2014) Imaginemos uma colônia de bactérias na 
qual cada bactéria se reproduz assexualmente, dividindo-se em duas bactérias após a 
duplicação do seu material genético. Esta divisão se produz a cada hora como na Figura 3. 
 
9 
 
 
 
Figura 3. Reprodução de bactérias. 
Fonte: Santos, 2020. 
 
Se a população inicial é de 100 bactérias, qual será o número de bactérias que terá a 
colônia quando tenha passado três horas? E quando tenham passado um número n de 
horas? 
A expressão geral da relação de recorrência que descreve este modelo de 
crescimento é dada por 
 1 2n nP P  , n  . 
Supondo que o número 0P é a população inicial e nP representa a população na hora 
n , um processo recursivo nos fornece as seguintes expressões 
 
1 0
2
2 1 0
1 0
2
2 2
. .
. .
2 2n
n n
P P
P P P
P P P

 
 
. 
Assim, obtemos que, para qualquer número n de horas, a expressão obtida para a 
população de bactérias é dada por 
 02n
nP P , n  . 
Portanto, nas três primeiras horas teremos 
3
3 02 8 100 800P P    bactérias. 
Observe que podemos interpretar a relação de recorrência 02n
nP P como uma 
Progressão Geométrica (PG), representada pela sequência  2
0 0 0 0,2 ,2 ,...,2 ,...nP P P P , cuja 
razão é 2 e o primeiro termo é 0P . Lembrando que para definir uma sequência 
10 
 
 
recursivamente, não basta fornecer a recorrência, mas é preciso dizer qual é o seu primeiro 
termo. Isto fica claro no caso de uma PG. 
 
2. (EDELSTEIN-KESHET, 2005) Os insetos geralmente têm mais de um estágio em seu 
ciclo de vida, desde a descendência até a maturidade. O ciclo completo pode levar semanas, 
meses ou até anos. No entanto, é habitual usar uma única geração como unidade básica de 
tempo ao tentar escrever um modelo para o crescimento da população de insetos. 
Vários estágios do ciclo de vida podem ser representados escrevendo várias 
equações de diferenças. Frequentemente, o sistema de equações condensa em uma única 
equação na qual aparecem combinações de todos os parâmetros básicos. Como exemplo, 
considere a reprodução de uma espécie de pulgão. Pulgões fêmeas adultas produzem 
inchaços redondos nas folhas dos choupos, onde os inchaços são chamados de galhas. 
Essencialmente, a galha é uma casa para os pulgões imaturos crescerem, como mostra a 
Figura 4. 
 
 
Figura 4. Pulgões e exemplo da galha dos pulgões. 
Fonte: Meus animais, 2019; Kazakovmaksim, 2019. 
 
Toda a progênie de um único pulgão está contida em uma galha. Alguma fração 
destes emergirá e sobreviverá até a idade adulta. Embora geralmente a capacidade de 
produzir descendentes (fecundidade) e a probabilidade de sobreviver até a idade adulta 
(sobrevivência) dependam de suas condições ambientais, da qualidade de seus alimentos e 
do tamanho da população, vamos ignorar momentaneamente esses efeitos e estudar um 
modelo ingênuo em que todos os parâmetros são constantes. 
Primeiramente, vamos definir as seguintes variáveis: 
 na é o número de pulgões fêmeas adultas na n-ésima geração. 
 np é o número de progenitores da n-ésima geração. 
 m é a mortalidade fracionada dos pulgões jovens. 
 f é o número de progenitores por pulgão fêmea. 
 r é a proporção de pulgões fêmeas em relação ao total de pulgões adultos. 
11 
 
 
Em seguida, descrevemos equações para representar as populações sucessivas de 
pulgões e as usamos para obter uma expressão para o número de fêmeas adultas na n-ésima 
geração, considerando que inicialmente temos 0a fêmeas, onde cada fêmea produz uma 
quantidade f de progênie. Dessa forma, temos que 
  1 . 3n np f a 
 
 1np  é o número de descendência na  1n  –ésima geração. 
 f é o número de descendentes por fêmea. 
 na
 é o número de fêmeas na geração anterior. 
Destes, a fração 1 m sobrevive à idade adulta, dando origem a uma proporção final 
de r fêmeas. Portanto, 
 
   1 11 . 4n na r m p   
Embora as equações  3 e  4 descrevam a população de pulgões, observe que elas 
podem ser combinadas em uma única sentença, ou seja, 
 
   1 1 . 5n na f r m a   
Considerando o caso, bastante teórico, onde ,f r e m são valores constantes, a 
solução é dada por 
 
 
   
     
1 0
2
2 1 0
1 0
1
1 1
. . ,
. .
1 1 6
n
n n
a f r m a
a f r m a f r m a
a f r m a f r m a
 
      
     
 
onde 0a é o número inicial de fêmeas adultas. 
A equação  5 é novamente uma equação de diferenças linear de primeira ordem, 
de modo que a solução  6 segue das observações anteriores. Vale a pena destacar que a 
constante  1f r m é o número per capita de fêmeas adultas que cada mãe pulgão produz. 
Para mais detalhes ver (MURRAY, 2002). 
 
3. (FERNANDES, 2015) Tome-se como exemplo a administração de uma droga, 
medicamento, em intervalos constantes de tempo (de 6 em 6 horas, a cada 12 horas...) 
representado pela Figura 5. 
 
12 
 
 
 
Figura 5. Administração de um medicamento. 
Fonte: Pharmahoje, 2015. 
 
Sabemos que nosso organismo tende a eliminar partedessa droga através da urina, 
suor, entre outras transformações e reações químicas e/ou fisiológicas de nosso organismo. 
Admite-se que essa eliminação seja constante. Seja 0Q a quantidade inicial de droga 
aplicada e reaplicada a cada intervalo de tempo, r a quantidade de droga eliminada por 
nosso organismo a cada intervalo de tempo e nQ a quantidade de droga presente no 
organismo no instante de aplicação n . Nestas condições, qual é a quantidade de droga 
presente no organismo após n aplicações e qual será essa quantidade ao longo do tempo 
considerando que uma pessoa tenha que receber a droga pelo resto de sua vida? 
A expressão geral da relação de recorrência que descreve este modelo é dada por 
 
   1 01 . 7n nQ r Q Q   
 
Vamos analisar a equação de diferenças de primeira ordem  7 e encontrar uma 
solução para o modelo. Substituindo 0n  na relação de recorrência  7 , temos que 
 
   1 0 01 . 8Q r Q Q   
Colocando em evidência o termo 0Q
r
 e manipulando algebricamente a expressão  8 ,
 
obtemos 
 
  0
1 0
1
1 1
Q
Q r Q
r r
 
    
 
. 
De modo análogo, fazendo 1n na relação de recorrência  7 e substituindo o valor 
de 1Q , temos que 
13 
 
 
 
 
2 0
2 0
1
1 1
Q
Q r Q
r r
 
    
 
. 
Em resumo, deduzimos que a solução da relação de recorrência  7
 
é dada pela 
expressão 
 
   0
0
1
1 1 . 9
n
n
Q
Q r Q
r r
 
    
 
 
Portanto, a quantidade de drogas nQ presente no organismo após n aplicações do 
medicamento é dada pela equação  9 . 
Uma observação que deve ser levada em conta é que não podemos eliminar mais de 
uma vez a droga do nosso organismo. Dessa forma, temos que 0 r 1  . A fim de determinar 
a quantidade de droga acumulada no organismo ao longo do tempo, vamos calcular o limite 
de nQ quando n tende ao infinito e analisar sua convergência. Note que, quando n , e 
usando o fato de que 0 r 1  , temos que  1 0
n
r  . Logo, 
 
  0 0
0
1
lim lim 1 1
n
n
n n
Q Q
Q r Q
r r r 
  
      
  
. 
Portanto, nQ converge para 0Q
r
 quando n tende ao infinito e, com isso, a 
quantidade de droga presente no organismo ao longo do tempo tende a se estabilizar. 
Para exemplificar nossa modelagem, vamos considerar que um paciente do Hospital 
Geral do Estado (HGE) é colocado em medicação que por sua vez é tomada uma vez por 
semana. A dose aplicada no paciente é de 7,5 mg. Além disso, considere também que a cada 
semana o seu metabolismo queima 12,5% da droga em seu organismo. Se o nível de 
medicamento no organismo atingir 69 mg as consequências são muito graves. É seguro para 
o paciente tomar este medicamento por tempo indeterminado? 
Para fazer um estudo com os dados fornecidos acima e dar uma resposta para o 
problema, escrevemos um algoritmo utilizando o GNU Octave. Para tal fornecemos os 
valores de entrada ao algoritmo implementado no GNU Octave. Sem perda de generalidade, 
vamos estudar o nosso problema no intervalo de tempo de um ano, ou seja, 
aproximadamente 52 semanas. 
Desta forma, vamos considerar os seguintes dados para o nosso problema 52n  , 
0,125r  e 0 7,5Q  . O algoritmo implementado para modelar nossa situação problema 
utilizou 52n  , 0,125r  e 0 7,5Q  como dados de entrada. A Figura 6 ilustra o gráfico do 
Modelo de Administração de Drogas para os valores de entrada considerados no problema. 
 
14 
 
 
 
Figura 6. Modelo de administração de drogas. 
Fonte: Autoria própria. 
 
A curva representada pela cor preta, ilustrada na Figura 6, mostra que a quantidade 
de droga nQ se estabiliza ao longo das 52 semanas. Note que, por volta da semana 30 a 
quantidade de drogas no organismo se torna um valor bem próximo de 60 mg e a partir da 
semana 30 até a semana 52 a quantidade de drogas se aproxima cada vez mais de 60 mg 
que, por sua vez, não ultrapassa o valor de 60 mg. 
Em outras palavras, ao longo das 52 semanas a quantidade de droga nQ
 se aproxima 
do limite de convergência apresentado pelo modelo, em que o limite de convergência é 
representado pela curva de cor azul. Sabemos que para valores de n muito grande nQ 
converge para 0Q
r
, onde 0 7,5
60
0,125
Q
r
  mg. 
Analisando o gráfico, ilustrado na Figura 6, percebemos que o limite de convergência 
do nosso modelo, curva de cor azul, está abaixo do limite tolerável pelo organismo do 
paciente que é de 69 mg, representado pela curva de cor vermelha. Portanto, é possível 
afirmar que é seguro para o paciente tomar este medicamento pelo intervalo de tempo de 
um ano. 
15 
 
 
Consequentemente, o paciente pode tomar o medicamento por tempo 
indeterminado. Uma vez que o modelo apresentado para este problema converge quando o 
número de semanas é muito grande, ou seja, tende ao infinito. Os códigos utilizados para 
estudar esse problema e gerar os resultados apresentados pelo gráfico, ilustrado na Figura 6, 
foram implementados no GNU Octave e estão disponíveis no link 
https://drive.google.com/drive/folders/1JFyF0p5G1ACr7x-
mDhM9J7uGwoPzehXK?usp=sharing. 
 
5. Considerações finais 
Esse trabalho apresentou aplicações de processos biológicos reais que são objetos de 
estudo da Biomatemática. Essas aplicações são realizadas através da modelagem 
matemática, seguindo algumas etapas, em conjunto com as equações de diferenças de 
primeira ordem como conteúdo matemático para a formulação dos modelos estudados. 
A primeira aplicação mostrou o crescimento de uma população de bactérias em 
relação ao tempo e como poderia ser esse crescimento matematicamente. A segunda 
aplicação retratou a reprodução de pulgões fêmeas adultas ignorando algumas condições 
naturais que afetariam o modelo deixando-o mais elaborado o que fugiria do escopo desse 
trabalho. Foi desenvolvido um modelo mais simples com parâmetros constantes apenas 
para mostrar como, na prática, seria essa reprodução. 
A terceira aplicação foi escolhida com caráter numérico para observar o que 
acontece com o modelo, a fim de mostrar, na prática, como os padrões funcionam bem 
próximos de situações reais. Essa aplicação partiu de uma situação-problema real sobre a 
administração de medicamentos no organismo, mostrando a estrutura teórica matemática 
relacionada à aplicação e depois sendo proposta uma nova situação para evidenciar com 
mais clareza o problema. No GNU Octave foram implementados os dados para explicar a 
matemática utilizada através do visual. 
Por fim, observamos que, de fato, o uso de recursos tecnológicos auxilia no processo 
de aprendizagem, facilitando a compreensão e absorção dos conteúdos matemáticos e pode 
transformar problemas teóricos em problemas práticos e visuais dependendo da natureza 
do problema. 
 
6. Referências bibliográficas 
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https://drive.google.com/drive/folders/1JFyF0p5G1ACr7x-mDhM9J7uGwoPzehXK?usp=sharing
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16 
 
 
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