RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 5

Prévia do material em texto

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
Profa. Dra. Vânia Regina Salvini 
Engenharia Civil 
Araraquara 
Ementa 
1) Objetivos da Resistência dos Materiais 
2) Tipos de Estruturas 
3) Hipóteses da Resistência 
4) Componentes de tensão e de deformação: normal e cisalhante 
5) Propriedades mecânicas dos materiais 
Prova 1 – P1: 13/04/2016 
1) Propriedades geométricas de figuras planas 
2) Isostaticidade e hiperestaticidade 
3) Esforços solicitantes em vigas 
4) Tensões normais e cisalhantes em vigas 
5) Estado plano de tensão 
Prova 2 – P2 
Listas de exercícios 
17/03/2016 2 
17/03/2016 3 
Resumo 
 Identificar os vínculos ou apoios na viga 
 Identificar as forças reativas (Rh, Rv, M) em cada vínculo 
 Caso de estruturas com vínculos internos: 
a) fazer cortes nos vínculos internos da estrutura, 
b) desenhar diagrama de corpo livre de cada corte 
 Caso das forças distribuídas na estrutura: 
a) determina-se força equivalente (𝐹𝑒𝑞) e sua posição (𝑥) 
b) desenhar diagrama de corpo livre inserindo 𝐹𝑒𝑞 e 𝑥 
 Desenhar o Diagrama de Corpo Livre 
 Aplicar as equações de equilíbrio abaixo para determinar as forças reativas: 
 
 
 
 Determinar as tensões longitudinal (s) ou cisalhante (t) através das equações: 
𝝈 =
𝑭
𝑨
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜; 𝝉 =
𝑭
𝑨
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 
0
0
0
X
y
A
F
F
M
 







17/03/2016 4 
9) A escora de madeira mostrada na figura está suportada por uma haste de aço 
de 10 mm de diâmetro presa na parede. Se a escora suporta uma carga vertical de 5 kN, 
calcular a tensão de cisalhamento média da haste na parede e ao longo das duas áreas 
sombreadas da escora, uma das quais está identificada por abcd. 
 
Diagrama de corpo livre 
17/03/2016 5 
 
2
5000
63,7
0,005
méd
V N
MPa
A m
t

  
Tensão de Cisalhamento Média: 
 Na haste: cisalhamento simples 
 
  
2500
3,12
0,04 0,02
méd
V N
MPa
A m m
t   
 Na escora: cisalhamento duplo 
 
17/03/2016 6 
10) A peça mostrada na figura abaixo é feita de aço, cujo peso especifico é 
𝛾𝑎ç𝑜 = 80 𝑘𝑁 𝑚
3 . Determine a tensão de compressão média que age nos pontos A e B. 
 
Diagrama de corpo livre 
P
A
s 
Solução: O exercício pede tensão de compressão. Então, primeiro precisamos 
determinar o valor da força P para aplicar na equação de tensão 
17/03/2016 7 
Carga interna: A força peso (P) é determinada por 𝑊𝑎ç𝑜 = 𝛾𝑎ç𝑜 ∙ 𝑉𝑎ç𝑜 
Fz=0  
+ 𝑃 −𝑊𝑎ç𝑜=0 
𝑃 − 80𝑘𝑁 𝑚3 ∙ 0,8𝑚 ∙ 𝜋 ∙ 0,2𝑚 2= 0 
𝑃 = 8,042 𝑘𝑁 
Tensão de compressão média: A área da seção transversal é 𝐴 = 𝜋𝑟2. Então, a 
tensão de compressão média é: 
𝜎 =
𝑃
𝐴
=
8,042 𝑘𝑁
𝜋 0,2 𝑚 2
 
 
𝜎 = 64 𝑘𝑁 𝑚2 
17/03/2016 8 
Deformações e suas componentes: 
 
 Deformações Lineares são caracterizadas pela não mudança na geometria 
original do corpo. 
 
 Deformação Angular ou Distorção são caracterizadas pela mudança da 
forma da estrutura, mas não em seu volume. 
 
Quando um corpo deformável é submetido a uma força axial de tração, não 
apenas se alonga como também se contrai lateralmente, ou seja, tanto a largura 
quanto a espessura diminuem. 
Se este corpo for submetido a uma força de compressão, a carga fará com que 
ele se contraia na direção da força e seus lados expandam-se. 
17/03/2016 9 
Quando a barra é submetida a força de tração F (ver figura abaixo), a 
mesma sofre um alongamento ΔL na direção do eixo “x” e 
encurtamentos (Δb, Δh) nas direções dos eixos “y” e “z” 
respectivamente. 
Porém, o corpo mantém a mesma forma geométrica (prismática) depois 
de deformado. 
 
17/03/2016 10 
A deformação específica média na direção “x” da figura acima é dada pela 
equação: 
Nas direções “y” e “z” tem-se as seguintes deformações, respectivamente: 
 
17/03/2016 11 
lat
long



 
y x    
z x    
No início do século XIX, o cientista francês S.D. Poisson percebeu que na 
faixa de elasticidade a razão entre essas deformações é uma constante, visto que as 
deformações ΔL, Δb e Δh são proporcionais. 
 
Essa constante é denominada Coeficiente de Poisson (), que é adimensional, e pode 
ser expresso por: 
Calcula-se: 
(Material isotrópico) 
17/03/2016 12 
O sinal negativo na equação é usado porque o 
alongamento longitudinal (deformação positiva, DL) 
provoca contração na altura e espessura (deformação 
negativa, Db e Dh) e vice-versa. 
lat
long



 
17/03/2016 13 
 Propriedades Mecânicas dos Materiais 
 
 Hipótese do Contínuo: 
As estruturas são avaliadas em nível macroscópico, não sendo levada em 
consideração nas análises a existência de vazios. 
 Material Homogêneo: 
 
Um material homogêneo possui as mesmas propriedades físicas e mecânicas em 
todo o seu volume. Exemplos: cerâmica, vidro, ligas, entre outros. 
 Material Isotrópico: 
É aquele que possui as mesmas propriedades em todas as suas direções. 
Exemplo: aço, alumínio, entre outros. Contra-exemplo: madeira (material 
anisotrópico). 
17/03/2016 14 
 Material Elástico: 
 
É aquele que não grava deformações residuais, ou seja, quando o corpo é 
descarregado, o mesmo é capaz de retornar na configuração não-deformada. 
 
 Material Elástico-Linear: 
 
Tem a característica do material elástico e, ainda, apresenta proporcionalidade 
entre a força e deslocamento. Boa parte dos materiais de engenharia apresenta 
esta característica mediante certos níveis de solicitação. 
17/03/2016 15 
Material Dúctil: 
Caracterizado pela existência da região de escoamento. 
Qualquer material que possa ser submetido a grandes 
deformações antes da ruptura é chamado de material 
dúctil. Exemplo: aço doce, alumínio, entre outros. 
 
 
Material Frágil: 
Caracterizado pela não existência do escoamento, 
apresentado ruptura súbita. Exemplo: vidro, cerâmicas, 
alguns materiais compósitos, entre outros. 
 
 
 
 
Diagrama s - para os materiais: 
 
17/03/2016 16 
Relações Constitutivas 
 
 
Para a maioria dos materiais de engenharia, os diagramas tensão-deformação 
(s-) apresentam relação de proporcionalidade na região elástica. 
Conseqüentemente, um aumento na tensão (s provoca um aumento 
proporcional na deformação (. 
Tal fato foi descoberto por Robert Hooke, em 1676, com o auxílio de molas, 
sendo conhecida por Lei de Hooke. 
Esta lei é expressa matematicamente, por: 
Es  
17/03/2016 17 
A constante de proporcionalidade E é chamada módulo de elasticidade ou 
módulo de Young em homenagem a Thomas Young, pesquisador que 
publicou a explicação da lei de Hooke em 1807. 
Es  
17/03/2016 18 
A equação da lei de Hooke representa a porção inicial da reta do diagrama 
tensão-deformação até o limite de proporcionalidade. Por sua vez, o módulo 
de Young representa o declive desta reta. 
Para o cisalhamento também pode-se aplicar a 
lei de Hooke. 
 
Quando um elemento do material está submetido 
a cisalhamento puro, o equilíbrio requer esforços 
cisalhantes nas suas quatro faces do elemento. 
Esses esforços devem tanto se aproximar como 
afastar-se dos cantos diagonalmente opostos. 
 
A deformação por cisalhamento γxy mede a 
distorção angular (q do elemento em relação aos 
lados inicialmente retilíneos localizados ao longo 
dos eixos x e y. 
17/03/2016 19 
Como o comportamento elástico é linear a lei de Hooke para o cisalhamento é 
expressa por: 
Gt  
Onde,G é denominado módulo de elasticidade ao cisalhamento ou módulo de 
rigidez. Seu valor é obtido pelo declive da reta do diagrama τ-γ, ou seja: 
17/03/2016 20 
No gráfico acima, o material submetido ao cisalhamento exibirá 
comportamento elástico-linear até o limite de proporcionalidade τlp. Ocorrerá 
também endurecimento por deformação até que seja atingido o limite de 
resistência ao cisalhamento τr. Finalmente, o material começará a perder sua 
resistência de cisalhamento até alcançar o ponto em que ocorre a sua fratura 
τrup. 
17/03/2016 21 
Deve-se ressaltar que o módulo de resistência ao cisalhamento G pode ser 
obtido relacionando as três constantes do material (E, ν e G) através da 
equação: 
 
 2 1
E
G



17/03/2016 22 
Os Ensaios de Tração e Compressão 
 
 
A resistência de um material depende de sua capacidade de 
suportar a carga sem deformação excessiva ou ruptura. No 
intuito de se determinar as propriedades mecânicas dos 
materiais são efetuados alguns ensaios comuns na engenharia. 
Um dos mais importantes é o ensaio de tração, usado para 
determinar a relação entre a tensão normal média e a 
deformação normal média em muitos materiais, como metais, 
cerâmicas, polímeros e compósitos. 
17/03/2016 23 
Para a realização do ensaio de tração é confeccionado um corpo-de-prova 
de formato e tamanho padronizado, como figura abaixo. 
Antes do teste são feitas duas marcas de punção ao longo do comprimento 
do corpo de prova, eqüidistantes de suas extremidades. 
Mede-se a área da seção transversal inicial do corpo de prova A0 e o 
comprimento inicial L0. 
Antes do 
ensaio de 
tração 
Após o 
ensaio de 
tração 
17/03/2016 24 
 Para tanto, utiliza-se uma máquina de ensaio que traciona ou comprime 
o corpo-de-prova lentamente até o seu ponto de ruptura. 
 
17/03/2016 25 
Os dados são registrados a intervalos de tempo constantes, onde são 
aplicados de forma lenta e progressiva, pequenos incrementos de carga, 
gerando novas tensões normais na barra e consequentemente, novas 
deformações. 
 
Mede-se o alongamento δ = L – L0 entre as marcas de punção. 
 
Com posse deste conjunto de valores constrói-se o denominado 
Diagrama Tensão-Deformação, ilustrado a seguir. 
17/03/2016 26 
Diagrama σ x ε 
17/03/2016 27 
σlp : tensão limite de proporcionalidade. 
 
σE: tensão limite de escoamento. 
 
σr: tensão limite de resistência. 
 
σrup: tensão de ruptura. 
 
σ’rup: tensão de ruptura real. 
17/03/2016 28 
 Região (1): 
 
Região Elástica: caracterizada pela proporcionalidade entre σ e ε. O 
comportamento mecânico do material durante o desenvolvimento das 
tensões num regime elástico permite o retorno do corpo-de-prova à sua 
forma e dimensões originais, quando da ausência de carga aplicada. 
 
Este processo de carga e recarga poderia ser cíclico de modo que não 
ocorressem deformações residuais no corpo-de-prova. 
 
17/03/2016 29 
 Região (2): 
 
Região Plástica: caracterizada pelo comportamento não-linear entre σ e 
ε. Na Região Plástica, o material permaneceria com deformações residuais 
importantes, mesmo após o alívio das tensões. 
 
A Região Plástica pode ser dividida em três regiões distintas: 
• Escoamento 
• Endurecimento 
• Estricção 
 
 
17/03/2016 30 
2.1) Escoamento: a estrutura molecular se reacomoda, caracterizada por 
uma tensão “constante” capaz de provocar deformações no corpo-de-prova. 
 
2.2) Endurecimento: é a capacidade do material em resistir a tensões, com 
aumento progressivo, tendo o material comportamento não-linear. 
 
2.3) Estricção: a partir de valores de tensão superiores a σr, a área da seção 
transversal do corpo-de-prova diminui drasticamente, levando a tensão 
normal ao “infinito”, provocando a ruptura do corpo-de-prova. É calculada 
pela expressão: 
 
 0
0
100 %
fA A
A


 
onde: 
ψ: estricção; 
A0: área inicial da seção transversal do corpo-de-prova; 
Af: área da seção depois da ruptura. 
17/03/2016 31 
Diagrama σ x ε - materiais dúcteis e frágeis 
Em termos de comportamento mecânico, os materiais são 
comumente classificados em dois grandes grupos: os dúcteis e os 
frágeis. 
 
Os materiais dúcteis, experimentam grandes deformações antes 
de sofrerem ruptura, ao passo que os frágeis evidenciam 
deformações muito menores, pouco ou nenhum escoamento e, 
muito importante, apresentam uma resistência maior quando 
submetidos à compressão do que quando à tração. 
17/03/2016 32 
Assim, os materiais frágeis, ao contrário dos dúcteis, tendem a 
sofrer rupturas bastante bruscas, sem qualquer “aviso”, chegando 
até mesmo a romperem violentamente quando sob altas tensões 
de compressão. 
 
A seguir há alguns exemplos de gráficos tensão-deformação para 
materiais dúcteis com e sem patamar de escoamento (aço doce e 
alumínio), assim como para um material frágil (concreto). 
 
No caso do aço doce, a presença do patamar de escoamento 
permite uma fácil identificação da tensão de escoamento. Para o 
alumínio, esta tensão só é identificada graças a uma deformação 
específica residual convencional de 0,2% (ou 0,002). 
17/03/2016 33 
17/03/2016 34 
O gráfico abaixo mostra curvas σ versus ε para diferentes tipos de aço. 
Nota-se que com o aumento da tensão de escoamento de cada um dos aços, o 
módulo de elasticidade permanece constante, ou seja: E = 240 MPa / 0,0012 
(m/m) = 200GPa. 
17/03/2016 35 
Exercícios para entregar: 
 
1- O que é coeficiente de Poisson? 
 
2- Desenhe em um mesmo diagrama tensão-deformação o 
comportamento sob tração de um material dúctil e um material 
frágil. Indique no digrama as regiões elástica, plástica, de 
escoamento e a fratura para cada um dos materiais.