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Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 1 de 27 
 
IV – O transformador 
Os transformadores de força são os equipamentos utilizados para viabilizar a transmissão de energia elétrica 
em alta tensão. Desta forma, são instalados nas usinas de geração, para elevar a tensão em níveis de 
transmissão (no Brasil de 69 kV a 750 kV), nas subestações dos centros de consumo (subestações de 
distribuição ou subestações de grandes consumidores), para rebaixar o nível de tensão em níveis de 
distribuição (tipicamente 13,8 e 23 kV) e também nas subestações de interligação para compatibilizar os 
diversos níveis de tensão provenientes das diversas linhas de transmissão que aportam. 
 
Para se ter uma noção da importância destes equipamentos no setor elétrico, apresenta-se o Quadro IV.1 no 
qual a potência instalada em subestações corresponde aos equipamentos de transformação. 
 
 
Quadro IV.1 – Potência instalada em subestações do setor elétrico brasileiro. 
 
POTÊNCIA INSTALADA EM SUBESTAÇÕES - MVA
 Em 31.12 2001 
 1999 2000 2001 Entradas Retiradas
25 kV/outras (1) 74.196,0 75.109,0 75.109,0 0,0 0,0
69 kV/outras 18.777,1 18.902,1 19.094,4 192,3 0,0
88 kV/outras 5.717,2 5.717,2 5.717,2 0,0 0,0
138 kV/outras 46.251,6 46.707,1 47.384,0 676,9 0,0
230 kV/outras 34.732,7 35.928,7 36.779,7 851,0 0,0
345 kV/outras 33.610,4 34.480,4 34.480,4 0,0 0,0
440 kV/outras 15.137,0 15.437,0 15.437,0 0,0 0,0
500 kV/outras 47.636,9 49.538,9 53.510,9 3.972,0 0,0
750 kV/outras 16.200,0 16.750,0 18.250,0 1.500,0 0,0
 (1) Apenas transformadores elevadores de usinas 
 Fonte: Boletim Semestral do SIESE Síntese 2001 (disponível em: http://www.eletrobras.gov.br/mercado/siese/). 
 
O objetivo deste capítulo é a definição do modelo do transformador para estudos de transmissão de potência 
elétrica em regime permanente, ou seja, considerando tensões e correntes senoidais em freqüência industrial. 
Além disto, considera-se que os transformadores operam em condições equilibradas. Desta forma, os 
modelos e resultados apresentados a seguir não se aplicam a estudos de transitórios de alta freqüência, de 
curto-circuito ou de harmônicos. 
 
O modelo dos transformadores de força para estudos de fluxo de potência são similares aos transformadores 
de menor porte, desconsiderando-se os efeitos da corrente de magnetização. 
 
IV.1 – Transformador ideal de dois enrolamentos 
Em um transformador ideal considera-se que a resistência elétrica dos enrolamentos é nula (logo não existe 
queda de tensão na espira em função desta resistência e a tensão induzida pela variação do fluxo é igual à 
tensão terminal) e que a permeabilidade do núcleo é infinita (portanto todo o fluxo fica confinado ao 
núcleo e enlaça todas as espiras). Levando em conta as polaridades indicadas na Figura IV.1, têm-se as 
seguintes relações entre as tensões terminais: 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )t
dt
dNt
dt
dNtv
t
dt
dNt
dt
dNtv
m
m
φφ
φφ
2222
1111
==
==
 
Assim, a relação entre as tensões terminais é dada por: 
 
( )
( ) 2
1
2
1
N
N
tv
tv
= (IV.1) 
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( )ti1
( )tv1
+ 
– 
N1 espiras ( )tmφ 
( )φ
( )tv2 
+ 
– 
( )ti2
N2 espiras 
Fluxo em 1: 
( ) ( )tt mφφ =1 
Fluxo em 2: 
( ) ( )tt mφφ =2 
 
Figura IV.1 – Transformador ideal de dois enrolamentos. 
 
Como o transformador é ideal, a potência instantânea de entrada, ( )tp1 , é igual a potência instantânea de 
saída, ( )tp2 pois as perdas são desprezíveis, ou seja: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )titvtitvtptp 221121 ⋅=⋅⇒= 
logo, 
 
( )
( )
( )
( ) 1
2
1
2
2
1
N
N
tv
tv
ti
ti
== (IV.2) 
As expressões (IV.1) e (IV.2) definem o modo de operação dos transformadores ideais. 
 
Os enrolamentos onde se ligam as fontes de energia e as cargas são geralmente denominados primário e 
secundário, respectivamente. 
 
De forma alternativa, as relações (IV.1) e (IV.2) podem ser obtidas levando-se em consideração que um 
transformador ideal constitui um caso particular de circuitos magneticamente acoplados no qual o coeficiente 
de acoplamento entre os enrolamentos é igual a unidade, ou seja, 1=K . Para as polaridades indicadas na 
Figura IV.2, são válidas as seguintes expressões: 
( ) ( ) ( )ti
dt
dMti
dt
dLtv 2111 −= (IV.3) 
( ) ( ) ( )ti
dt
dLti
dt
dMtv 2212 −= (IV.4) 
 
( )
dt
tdi
M 2
1L
+ 
– 
+ 
2L
+ 
– 
• 
( )ti1
( )tv1
+ 
– 
• 
( )ti2
( )tv2
+ 
– 
K=1 
( )tv1 ( )tv2
( )ti1 ( )ti2
( )
dt
tdi
M i
21
21
LLM
LLKM
=
=
+ 
• • 
21 : NN
 
Figura IV.2 – Transformador ideal representado por circuito magneticamente acoplado. 
 
Isolando ( )ti
dt
d
2 em (IV.4) e substituindo em (IV.3), tem-se: 
 ( ) ( ) ( )





−= tvti
dt
dM
L
ti
dt
d
21
2
2
1
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tv
L
M
ti
dt
d
L
MLtvti
dt
dM
L
Mti
dt
dLtv 2
2
1
2
2
121
2
111
1
+







−=





−−= (IV.5) 
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Como 1=K , pode-se escrever: 
 
⇒=⇒= 21
2
21 LLMLLM 0
2
2
1 =− L
ML (IV.6) 
 ⇒=⇒== 2
2
2
1
22
1
2
21
2
2
22
2
11
N
N
L
M
L
L
L
LL
L
M NL
NL
α
α
 
2
1
2 N
N
L
M
= (IV.7) 
pois as auto-indutâncias são proporcionais ao quadrado do número de espiras ( )( )

=
ti
tNL
1
11
1
φ
, com 
( ) ( )tiNt 111 P=φ , sendo P a permeância do espaço atravessado pelo fluxo, então ( )[ ]( ) 

==
2
1
1
111
1 P
P N
ti
tiNNL . 
Substituindo (IV.6) e (IV.7) na expressão (IV.5), chega-se a expressão (IV.1): 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
11 0 N
N
tv
tv
tv
N
N
tv
N
N
ti
dt
d
tv =⇒=+= 
 
 
IV.1.1 – Transformador ideal em regime permanente senoidal 
A Figura IV.3 mostra um transformador ideal, em regime permanente senoidal. 
 
 
• 
1I 2I 
Transformador 
Ideal 
• 
Ideal 
1V 
+ 
– 
2V 
+ 
– 
21 : NN
 
 
Figura IV.3 – Transformador ideal em regime permanente senoidal. 
 
Considerando as polaridades indicadas na Figura IV.3 e as expressões gerais (IV.1) e (IV.2), o regime 
permanente senoidal do transformador ideal pode ser descrito por: 
 
 
2
1
2
1
N
N
V
V
= ⇒ 1
1
2
2 V
N
NV = 
 
1
2
2
1
N
N
I
I
= ⇒ 1
2
1
2 I
N
N
I = 
fazendo 
1
2
N
N
a = , a relação de espiras do transformador ideal, pode-se escrever: 
 
 12 VaV = ⇒ 21
1 V
a
V = 
 12
1 I
a
I = ⇒ 21 IaI = 
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Exemplo IV.1 – No circuito da Figura IV.3, 20001 =N , 5002 =N , V 012001 o=V e A 3051 o−=I , 
quando uma impedância 2Z é ligada ao secundário. Determinar 2V , 2I , 2Z e a impedância 
ref
2Z que é 
definida como sendo o valor de 2Z referido ao primário do transformador (impedância refletida). 
 
 
Solução Exemplo IV.1: Supondo que o transformador é ideal, tem-se: 
 V 030001200
2000
500
1
1
2
2
oo
=== V
N
NV 
 A 3020305
500
2000
1
2
1
2
oo
−=−== I
N
NI 
Pela definição de impedância,tem-se: 
 Ω=
−
== 3015
3020
0300
2
2
2
o
o
o
I
VZ 
 Ω=
−
== 30240
305
01200
1
1ref
2
o
o
o
I
VZ 
ou 
 Ω=





=





=





=== 302403015
500
2000 2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1ref
2
ooZ
N
N
I
V
N
N
I
N
N
V
N
N
I
VZ 
 
A expressão obtida no Exemplo anterior 
 2
2
2
1ref
2 Z
N
NZ 





= 
é empregada na reflexão de impedâncias, técnica que consiste em colocar no circuito primário uma 
impedância que produza o mesmo efeito que a impedância que está colocada no circuito secundário. 
Analogamente, é possível realizar a reflexão do primário para o secundário, ou seja, 
 1
2
1
2ref
1 Z
N
NZ 





= 
Observar que o efeito produzido pela impedância em qualquer um dos enrolamentos deve ser o mesmo. 
Assim, quanto maior a tensão do enrolamento (portanto, maior o número de espiras) maior deverá ser o valor 
da impedância em ohms. 
 
 
IV.1.2 – Modelo do transformador ideal em pu 
Utilizando a magnitude das tensões terminais nominais como tensões de base tem-se, os seguintes valores de 
base para o primário e secundário, respectivamente: 
pri
baseV – Tensão de base do primário [kV] 
sec
baseV – Tensão de base do secundário: 
pri
base
1
2sec
base VN
NV = [kV] 
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Sendo baseS a potência de base do sistema, as correntes de base para o primário e secundário, 
respectivamente, são: 
 pri
base
basepri
base V
S
I = 
 
pri
base
2
1
pri
base
1
2
base
sec
base
basesec
base IN
N
V
N
N
S
V
S
I === 
 
Desta forma, os valores em pu serão dados por: 
 pri
base
1
pu 1
V
VV = 
 ⇒=== pri
base
1
pri
base
1
2
1
1
2
sec
base
2
pu 2
V
V
V
N
N
V
N
N
V
VV pu 1pu 2 VV = (IV.8) 
 pri
base
1
pu 1
I
II = 
 ⇒=== pri
base
1
pri
base
2
1
1
2
1
sec
base
2
pu 2
I
I
I
N
N
I
N
N
I
II pu 1pu 2 II = (IV.9) 
 
Portanto, quando as grandezas estiverem em pu, o transformador ideal com relação nominal pode ser 
substituído por um curto-circuito, conforme mostrado na Figura IV.4, pois tanto a tensão quanto a corrente 
apresentam o mesmo valor em ambos enrolamentos – vide equações (IV.8) e (IV.9). 
 
– 
+ 
pu 1I pu 2I
pu 1V
+ 
– 
pu 2V
+ 
– 
Transformador 
Ideal 
em pu 
pu 2I
pu 2V
+ 
– 
pu 1I
pu 1V
 
Figura IV.4 – Circuito equivalente do transformador ideal de dois enrolamentos em pu. 
 
IV.2 – Circuito equivalente do transformador real de dois enrolamentos 
No transformador real de dois enrolamentos, as resistências dos enrolamentos não são nulas (serão notadas 
por 1r e 2r , respectivamente, para o primário e secundário), nem todo o fluxo que enlaça um enrolamento 
enlaça o outro pois a permeabilidade do núcleo não é infinita, isto é, existem fluxos dispersos nos 
enrolamentos cujos efeitos são representados por intermédio das reatâncias de dispersão 1x e 2x , 
respectivamente, para o primário e secundário. Além disto, ocorrem perdas devido às variações cíclicas do 
sentido do fluxo (histerese) e também devido às correntes parasitas induzidas no núcleo. Assim, mesmo 
com o secundário em aberto, existe uma pequena corrente circulando no primário quando este é energizado, 
denominada corrente de magnetização – o efeito deste fenômeno é representado pela impedância de 
magnetização mr e mx , colocada em derivação no primário do transformador (ou no secundário). 
 
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Considerando os efeitos anteriormente mencionados, o transformador real de dois enrolamentos pode ser 
representado por um circuito composto por transformador ideal de dois enrolamentos e algumas 
impedâncias para representar o efeito das perdas ôhmicas, devido ao fluxo disperso e à magnetização, 
conforme ilustra a Figura IV.5 
 
mjx
( )ti1
( )tv1
+ 
– 
N1 espiras 
( )tmφ 
( )φ
( )tv2 
+ 
– 
( )ti2
N2 espiras 
Fluxo disperso em 1: 
( )tdisp1φ 
Fluxo disperso em 2: 
( )tdisp2φ 
• 
1I 2I 
Transformador 
Real 
• 
Ideal 
1V 
+ 
– 
2V 
+ 
– 
21 : NN
(a) Transformador real de dois enrolamentos. 
(b) Transformador real de dois enrolamentos em regime permanente. 
11 jxr + 22 jxr +
mr
Figura IV.5 – Transformador real de dois enrolamentos. 
 
Quando todos os parâmetros ( 1r , 1x , 2r , 2x , mr e mx ) e grandezas ( 1V , 1I , 2V e 2I ) estão em pu, o 
transformador ideal pode ser omitido (substituído pelo seu circuito equivalente em pu que é um curto-
circuito), resultando no circuito da Figura IV.6. 
 
mjx
1I 2I 
Transformador 
Real em pu 
1V 
+ 
– 
2V 
+ 
– 
11 jxr + 22 jxr +
mr
mI
 
Figura IV.6 – Circuito equivalente em pu do transformador real de dois enrolamentos. 
 
Os parâmetros em série (resistência dos enrolamentos e reatância de dispersão: 1r , 1x , 2r , e 2x ) são 
determinados por intermédio do ensaio de curto-circuito no qual os enrolamentos são submetidos à 
corrente nominal. Neste ensaio, um dos enrolamentos é curto-circuitado enquanto aplica-se uma tensão 
variável em outro enrolamento até que a corrente que circule nestes dois enrolamentos do transformador seja 
igual ao seu valor nominal. Neste caso, a impedância de magnetização é desprezada pois a tensão empregada 
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neste ensaio é significativamente menor que o valor nominal e a corrente de magnetização corresponde a 
uma fração muito pequena do valor nominal. Considerando que o enrolamento secundário tenha sido curto-
circuitado e que a corrente que circula por este é igual ao seu valor nominal ( )pu 012 =I , o circuito 
equivalente do ensaio de curto-circuito é dado pela Figura IV.7. Neste circuito equivalente, a impedância 
medida nos terminais do enrolamento energizado é dada por: 
 2211
1
1 jxrjxr
I
VZ +++== 
 
mjx
pu 0121 =≈ II pu 012 =I
1V
+ 
– 
02 =V
+ 
– 
11 jxr + 22 jxr +
mr
0≈mI
Corrente nominal nos enrolamentos 
Magnetização 
desprezada 
 
Figura IV.7 – Ensaio de curto-circuito (circuito equivalente em pu). 
 
A impedância de magnetização é determinada por intermédio do ensaio de circuito aberto no qual os 
enrolamentos são submetidos à tensão nominal. No ensaio de circuito aberto é aplicada tensão nominal a um 
dos enrolamentos e mede-se a corrente que circula neste enrolamento enquanto o(s) outro(s) enrolamento(s) 
permanece(m) em circuito aberto. Considerando que o enrolamento primário tenha sido energizado com 
tensão nominal ( )pu 011 =V , o circuito equivalente do ensaio em vazio de um transformador é dado pela 
Figura IV.8. Neste circuito equivalente, a impedância medida nos terminais do enrolamento energizado é 
dada por: 
 
mm
mm
jxr
jxrjxr
I
VZ
+
⋅
++== 11
1
1
 
 
mjx
mII =1 02 =I
pu 011 =V
+ 
– 
2V 
+ 
– 
11 jxr + 22 jxr +
mr
mI
Tensão nominal nos enrolamentos 
 
Figura IV.8 – Ensaio de circuito aberto (circuito equivalente em pu). 
 
Como exemplo das características elétricas dos transformadores em nível de distribuição, têm-se os valores 
do Quadro IV.2. Em transformadores de maiorpotência e nível de tensão, as perdas em vazio e as perdas 
totais apresentam valores percentuais (em função da potência nominal) menores, sendo inferiores a 0,1 e 
0,5%, respectivamente. 
 
Levando em conta as características reais dos grandes transformadores, as perdas nos enrolamentos1 (devido 
a 1r e 2r ) e no núcleo2 (devido a mr e mx ) são muito pequenas quando comparadas com a potência do 
transformador sendo, geralmente, desprezadas. Desta forma, o modelo equivalente do transformador fica 
bastante simplificado, conforme mostra a Figura IV.9. 
 
1
 Cujo valor nominal corresponde à diferença entre as perdas totais e as perdas em vazio. 
2
 Ou perdas em vazio. 
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1I 2I 
1V 
+ 
– 
2V 
+ 
– 
jx
21 jxjxjx +=
 
Figura IV.9 – Circuito simplificado em pu do transformador real de dois enrolamentos. 
 
 
Quadro IV.2 – Características de perdas, correntes de excitação e impedâncias. 
 
TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE TENSÃO MÁXIMA 15 kV 
Potência 
[kVA] 
Corrente de 
excitação 
máxima [%] 
Perdas em vazio 
máximo [W] 
Perdas totais 
máximas [W] 
Impedância 
75° C [%] 
30 4,1 170 740 
45 3,7 220 1.000 
75 3,1 330 1.470 
112,5 2,8 440 1.990 
150 2,6 540 2.450 
3,5 
225 2,3 765 3.465 
300 2,2 950 4.310 
4,5 
TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS DE TENSÕES MÁXIMAS 24,2 e 36,2 kV 
Potência 
[kVA] 
Corrente de 
excitação 
máxima [%] 
Perdas em vazio 
máximo [W] 
Perdas totais 
máximas [W] 
Impedância 
75° C [%] 
30 4,8 180 825 
45 4,3 250 1.120 
75 3,6 360 1.635 
112,5 3,2 490 2.215 
150 3,0 610 2.755 
4,0 
225 2,7 820 3.730 
300 2,5 1.020 4.620 
5,0 
Fonte: Trafo Equipamentos Elétricos S.A. (disponível em http://www.trafo.com.br/) 
 
 
 
Exemplo IV.2 – Um transformador monofásico tem 2000 espiras no enrolamento primário e 500 no 
secundário. As resistências dos enrolamentos são Ω= 21r e Ω= 125,02r ; as reatâncias de dispersão são 
Ω= 81x e Ω= 5,02x . A carga ligada ao secundário é resistiva e igual a 12 Ω. A tensão aplicada ao 
enrolamento primário é de 1200 V. Determinar o fasor tensão secundária e a regulação de tensão do 
transformador: 
 %100%Regulação
carga
2
carga
2
vazio
2
V
VV −
= 
onde carga2V é a magnitude da tensão no secundário com plena carga e 
vazio
2V é a magnitude da tensão no 
secundário em vazio. 
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Solução Exemplo IV.2: Utilizando uma potência de base de 7500 VA e as tensões nominais, tem-se: 
 VA 7500base =S 
 V 1200pribase =V V 30012002000
500pri
base
1
2sec
base === VN
NV 
 
( ) Ω=== 192
7500
12002
base
2pri
basepri
base S
VZ ( ) Ω=== 12
7500
3002
base
2sec
basesec
base S
VZ 3 
 
Desta forma, os valores das impedâncias do circuito equivalente em pu são dados por: 
 ( ) pu 0417,00104,0
192
125,02
pri
base
11
1 jj
Z
jxrZ +=+=+= 
 ( ) pu 0417,00104,0
12
5,0125,0
sec
base
22
2 jj
Z
jxrZ +=+=+= 
 pu 1
12
1212
sec
base
carga
2 ===
Z
Z 
e o circuito equivalente em pu desconsiderando a impedância de magnetização é dado pelo circuito a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circuito secundário 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Circuito primário 
1I 2I
pu 11 =V
+ 
– 
2V 
+ 
– 
111 jxrZ += 222 jxrZ +=
Valores em pu 
carga
2Z
 
 
Com a carga conectada, a tensão nos terminais do secundário do transformador é dada por: 
 1
10417,00104,00417,00104,0
1
1carga
211
carga
2carga
2
++++
=
++
= jjVZZZ
ZV 
 pu 67,49764,0carga2 o−=V V 67,49,29267,49764,0300
carga
2
oo
−=−×=V 
 
Em vazio (sem a carga conectada), como não existe corrente circulando, não existe queda de tensão na 
impedância série e a tensão nos terminais do secundário do transformador é igual à tensão primária: 
 pu 11
vazio
2 == VV 
 
Daí, a regulação percentual do transformador é: 
 %100
9764,0
9764,01%100%Regulação
carga
2
carga
2
vazio
2
−
=
−
=
V
VV
 %42,2%Regulação = 
 
 
3
 Observar que a potência de base foi previamente escolhida para que a impedância da carga fosse igual a 1 pu. 
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O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 10 de 27 
 
Solução alternativa Exemplo IV.2: 
 
A solução anterior poderia ter sido obtida sem transformar as grandezas para pu, utilizando reflexão de 
impedâncias. 
 
A relação nominal do transformador é dada por: 4
500
2000
2
1
NOM === N
N
a 
 
Refletindo a impedância série do secundário para o circuito primário, tem-se a seguinte impedância série 
equivalente do primário e secundário: 
 ( ) Ω=⋅+=+= 44125,02 22NOM21 arrR 
 ( ) Ω=⋅+=+= 1645,08 22NOM21 axxX 
 ( ) Ω=⋅== 192412 22NOMcarga2cargaref aZZ 
 
Assim, tem-se o seguinte circuito equivalente do ponto de vista do primário. 
 
 
1I NOM
2
a
I
V 12001 =V
+ 
– 
2NOMVa
+ 
– 
jXR +
carga
refZ
 
 
Com a carga conectada, a tensão nos terminais do secundário do transformador é dada por: 
 
 V 67,46,11711200
192164
192
1carga
ref
carga
refcarga
2NOM
o
−=
++
=
+
= jVZZ
ZVa 
 
4
67,46,117167,46,1171
NOM
carga
2
oo
−
=
−
=
a
V V 67,49,292carga2 o−=V 
 
Em vazio (sem a carga conectada), como não existe corrente circulando, não existe queda de tensão na 
impedância série e a tensão nos terminais do secundário do transformador é igual à tensão primária: 
 
 V 12001
vazio
2NOM ==VVa 
4
12001200
NOM
vazio
2 ==
a
V V 300
vazio
2 =V 
 
Daí, a regulação percentual do transformador é: 
 
 %100
9,292
9,292300%100%Regulação
carga
2
carga
2
vazio
2
−
=
−
=
V
VV
 %42,2%Regulação = 
 
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O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 11 de 27 
 
 
Exemplo IV.3 (Provão 2000) – Questão relativa às matérias de Formação Profissional Específica (Ênfase 
Eletrotécnica). 
 
 
 
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O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 13 de 27 
 
 
Média (escala de 0 a 100) % escolha 
Brasil Região Sul Instituição Brasil Região Sul Instituição 
19,3 19,2 16,4 14,5 
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O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 14 de 27 
 
IV.3 – Transformador com relação não-nominal 
Com o objetivo de possibilitar um melhor controle da tensão no sistema elétrico, muitas vezes os 
transformadores operam com relação de transformação diferentes da nominal ( )NOM2NOM1 : NN . Neste caso, 
os transformadores apresentam um enrolamento especial provido de diversas derivações (taps), comutáveis 
sob carga ou não. Quando a seleção da derivação é realizada sob carga, o transformador apresenta um 
dispositivo denominado comutador de derivações em carga (ou comutador sob carga) que se encarrega de 
realizar as conexõesnecessárias para que seja selecionada a relação de transformação desejada. Para operar 
tais comutadores utilizam-se acionamentos motorizados, possibilitando comando local ou à distância, 
inclusive com controle automático de tensão. Quando a seleção da derivação é realizada sem carga o 
dispositivo é muito mais simples, sendo utilizada apenas uma chave seletora que opera quando o 
transformador está desligado. 
 
Por norma, as derivações são numeradas, sendo a derivação “1” a de maior tensão, conforme mostra o 
Quadro IV.3 no qual encontram-se exemplos de valores de derivações e relações de tensão para 
transformadores em nível de distribuição. Neste caso, no interior do tanque o transformador apresenta uma 
chave seletora que possibilita o ajuste do tap quando este estiver desligado. 
 
Quadro IV.3 – Derivações e relações de tensões. 
 
Tensão [V] 
Primário Secundário Tensão máxima do equipamento 
[KV eficaz] 
Derivação 
N° Trifásicos e 
Monofásicos (FF) 
Monofásicos 
(FN) Trifásicos Monofásicos 
1 13.800 7.967 
2 13.200 7.621 15,0 
3 12.600 7.275 
1 23.100 13.337 
2 22.000 12.702 24,2 
3 20.900 12.067 
1 34.500 19.919 
2 33.000 19.053 36,2 
3 31.500 18.187 
380/220 
ou 
220/127 
2 terminais 
220 ou 127 
ou 
3 terminais 
440/220 ou 
254/127 ou 
240/120 ou 
230/115 
(FF) - tensão entre fases 
(FN) - tensão entre fase e neutro 
Fonte: Trafo Equipamentos Elétricos S.A. (disponível em http://www.trafo.com.br/) 
 
 
Em nível transmissão de energia elétrica os transformadores podem possuir dispositivos para comutação sob 
carga, apresentando um maior número de derivações, conforme exemplifica a Tabela IV.1. Observar que as 
derivações são realizadas no enrolamento de maior tensão, visando operar com menores correntes no 
comutador sob carga. 
 
Tabela IV.1 – Derivações típicas da regulação sob carga. 
 
Tensão primária [kV] Tensão secundária [kV] 
138 %875,18230 ×± 69 
69 
23 %875,18138 ×± 
13,8 
23 %875,1869 ×± 
13,8 
 
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O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 15 de 27 
 
Considerando toda a impedância série concentrada em apenas um dos enrolamentos (refletida para o 
primário, por exemplo) e desprezando as perdas no núcleo, o circuito equivalente do transformador com 
relação não-nominal encontra-se na Figura IV.10. Observar, neste caso, que a relação de espiras dos 
enrolamentos 21 : NN pode ser diferente da relação nominal, dada por 
NOM
2
NOM
1 : NN . 
 
 
• 
1I 2I 
• 
Ideal 
1V
+ 
– 
2V 
+ 
– 
a
NN
:1
: 21jXR +
1E
+ 
– 
2E
+ 
– 
 
Figura IV.10 – Circuito equivalente de um transformador com relação não nominal. 
 
Para o transformador da Figura IV.10 são válidas as seguintes expressões: 
 
 
1
2
N
N
a = a
E
E
=
1
2
 
aI
I 1
1
2
= 
Utilizando as magnitudes das tensões nominais do primário e do secundário com tensões de base 








=
pri
baseNOM
1
NOM
2sec
base
pri
base e VN
NVV , define-se a relação nominal como sendo: 
 NOM
1
NOM
2
pri
base
sec
base
NOM N
N
V
V
a == 
Considerando a potência de base baseS , as correntes de base para o primário e secundário são dadas por: 
 pri
base
basepri
base V
SI = 
 
pri
base
NOM
pri
baseNOM
base
sec
base
basesec
base
1 I
aVa
S
V
SI === 
Assim, transformando as grandezas para pu, tem-se: 
 pri
base
1
pu 1
V
EE = 
 pri
base
1
NOM
pri
baseNOM
1
sec
base
2
pu 2
V
E
a
a
Va
Ea
V
EE === pu 1
NOM
pu 2 E
a
aE = (IV.10) 
 pri
base
1
pu 1
I
II = 
 pri
base
1NOM
pri
base
NOM
1
sec
base
2
pu 2 1
1
I
I
a
a
I
a
I
a
I
II === pu 1NOMpu 2 I
a
aI = (IV.11) 
Portanto, mesmo quando as grandezas estão em pu, o transformador com relação não nominal não pode 
ser substituído por um curto-circuito, pois tanto a tensão quanto a corrente apresenta valores distintos nos 
enrolamentos – vide equações (IV.10) e (IV.11). 
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O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 16 de 27 
 
IV.4 – Transformador de três enrolamentos 
Em sistemas de energia elétrica é bastante comum a presença de um terceiro enrolamento nos 
transformadores de força, além dos enrolamentos primário e secundário. Este enrolamento é denominado 
terciário e é empregado para fornecer caminho às correntes de seqüência zero, para a conexão dos 
alimentadores de distribuição, para alimentar os serviços auxiliares das subestações de energia ou para 
conexão dos equipamentos empregados na compensação de reativos (normalmente bancos de capacitores). 
 
A Figura IV.11 mostra um transformador monofásico de três enrolamentos juntamente com o seu circuito 
equivalente em pu. Observar que o ponto comum O representado no circuito equivalente, mostrado na Figura 
IV.11(b), é fictício e não tem qualquer relação com o neutro do sistema. 
 
mjx
( )ti1
( )tv1
+ 
– 
N1 espiras 
( )tmφ
( )tv2
+ 
– 
( )ti2
N2 espiras 
Fluxo disperso em 1: 
( )tdisp1φ 
Fluxo disperso em 2: 
( )tdisp2φ 
1I
 
3I
1V
 
+ 
– 
3V
+ 
– 
(a) Transformador de três enrolamentos. 
(b) Circuito equivalente em pu. 
111 jxrZ +=
333 jxrZ +=
mr
( )tv3
+ 
– 
( )ti3
N3 espiras 
Fluxo disperso em 3: 
( )tdisp3φ 
2I
 
+ 
222 jxrZ +=
2V
– 
O 
 
Figura IV.11 – Transformador de três enrolamentos. 
 
As impedâncias de qualquer ramo da Figura IV.11(b) podem ser determinadas através da impedância de 
curto-circuito entre os respectivos pares de enrolamentos, mantendo o enrolamento restante em aberto 
(ensaio de curto-circuito). Desta forma, sendo 12z a impedância obtida no ensaio no qual é aplicada tensão 
no enrolamento primário suficiente para fazer circular a corrente nominal quando o secundário está em curto-
circuito e o terciário aberto (vide Figura IV.12), tem-se (desprezando o ramo de magnetização): 
 2112 ZZZ += 
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O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 17 de 27 
 
 
mjx
pu 0121 =≈ II
3I
1V 
+ 
– 
3V
+ 
– 
111 jxrZ +=
333 jxrZ +=
mr
pu 012 =I
222 jxrZ +=
O 
0≈mI
02 =V
+ 
– 
 
Figura IV.12 – Exemplo de ensaio de curto-circuito em um transformador de três enrolamentos. 
 
Para as demais combinações, tem-se: 
 3223 ZZZ += 
 3113 ZZZ += 
As impedâncias de quaisquer ramos da Figura IV.11(b) podem ser determinadas resolvendo-se o sistema 
formado pelas três equações anteriores (três ensaios de curto-circuito), cuja solução é dada por: 
 ( )2313121
2
1 ZZZZ −+= 
 ( )1323122
2
1 ZZZZ −+= 
 
( )1223133
2
1 ZZZZ −+= 
Notar que este modelo pode apresentar resistências e/ou reatâncias negativas. O significado físico de tais 
parâmetros pode parecer contrariar a natureza do equipamento, mas deve-se levar em conta que o circuito 
equivalente representa o transformador a partir de seus terminais (portanto, os componentes não precisam 
possuir individualmente ligação direta com um enrolamento específico). 
 
Diferentemente dos transformadores de dois enrolamentos, os transformadores de três enrolamentos 
geralmente apresentam enrolamentos com potências nominais diferentes. 
 
IV.5 – Autotransformador 
Um autotransformador é um transformador no qual, além do acoplamento magnético entre os enrolamentos, 
existe uma conexão elétrica conforme mostra a Figura IV.13. São duas as formas possíveis de conexãoelétrica: aditiva ou subtrativa. 
 
• 
1I 2I 
• 
Ideal 
1V
+ 
– 
2V 
+ 
– a
N
N
I
I
aN
N
V
V
N
N
a
==
==
=
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
• 
• 
Conexões Aditivas Conexões Subtrativas 
• 
• 
a
NN
:1
: 21
• 
• 
• 
• 
 
Figura IV.13 – Transformador ideal conectado como autotransformador. 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 18 de 27 
 
Em geral utiliza-se a conexão aditiva nas duas formas de operação possíveis, ou seja, como 
autotransformador elevador ou rebaixador, conforme ilustra a Figura IV.14. 
 
xI
yI
xV
+ 
– 
yV
+ 
– 
• 
• 
(a) Autotransformador elevador. 
xI
yI
xV
+ 
– 
yV
+ 
– 
• 
• 
(b) Autotransformador rebaixador. 
1I 1V 
+ 
– 
2V
+ 
– 
2I 
2V
+ 
– 
1V
+ 
– 
1I 
2I
 
Figura IV.14 – Autotransformador elevador e rebaixador. 
 
Para o autotransformador elevador da Figura IV.14(a), tem-se: 
 11
2
1
121
11 I
a
I
N
NIIII x 





+=+=+= 
 222
2
1
21 1
1 V
a
VV
N
NVVV y 





+=+=+= 
Daí, as potências complexas de entrada, xS , e saída, yS , são dadas por: 
 
*
11
*
11
*
11
* 111111 IV
a
I
a
VI
a
VIVS xxx 





+=





+=











+== 
 1
11 S
a
S x 





+= 
 
*
22
* 11 IV
a
IVS yyy 





+== 
 2
11 S
a
S y 





+= 
onde 1S e 2S são as potências complexas de entrada e saída obtidas na conexão como transformador ideal. 
Assim, como a é sempre positivo, para a ligação aditiva, o autotransformador permite a transformação de 
maior quantidade de potência elétrica do que a conexão como transformador. A desvantagem é a perda de 
isolação elétrica entre o primário e o secundário. 
 
 
Exercício IV.1: Repetir o equacionamento da potência do autotransformador para a conexão rebaixadora da 
Figura IV.14(b). 
 
 
Exercício IV.2: Determinar a magnitude da tensão secundária e a potência nominal de um 
autotransformador construído a partir de um transformador monofásico de 30 kVA, 120/240 V, conectado 
conforme a Figura IV.14(a) (autotransformador elevador). Sabe-se que a tensão nominal é aplicada ao 
enrolamento de baixa tensão e que a corrente que circula nos enrolamentos é a nominal. 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 19 de 27 
 
IV.6 – O modelo do transformador em fase 
A representação de transformadores em fase, mostrada na Figura IV.15, consiste de um transformador ideal 
com relação de transformação kma:1 e uma impedância série kmZ . Observar que neste modelo as perdas no 
núcleo são desprezadas. 
 
k 
kmI kmkmkm
jxrZ += m 
mkI
kkk VV θ=
p 
pmI
kma:1
kkkmkkmp VaVaV θ==
mmm VV θ=
 
Figura IV.15 – Representação de um transformador em fase. 
 
Da relação do transformador ideal em fase4: 
 kkmp
kmp
k VaV
aV
V
=⇒=
1
 
 pmkmkmkmkm
pm
km IaIaa
I
I
=⇒== * 
As correntes pmI , kmI e mkI são obtidas a partir dos fasores tensão das barras k, p e m ( kkk VV θ= , 
kkkmppp VaVV θθ == e mmm VV θ= , respectivamente) e do valor da admitância série 
km
km
Z
Y 1= : 
 ( ) ( )mkkmkmmpkmpm VVaYVVYI −=−= 
 
( )mkkmkmkmpmkmkm VVaYaIaI −== mkmkmkkmkmkm VYaVYaI −= 2 (IV.12) 
 
( )mkkmkmpmmk VVaYII −−=−= mkmkkmkmmk VYVYaI +−= (IV.13) 
Deste modo, o transformador em fase pode ser representado por um circuito equivalente do tipo pi, conforme 
está ilustrado na Figura IV.16. 
 
k 
kmI
m 
mkI
kV mVA 
B C 
A, B, C admitâncias 
 
Figura IV.16 – Circuito equivalente pi de um transformador em fase. 
 
Para o modelo pi da Figura IV.16, onde A, B e C são as admitâncias dos componentes, as correntes kmI e 
mkI são dadas por: 
 
4
 Lembrar que não há dissipação de potência ativa ou reativa no transformador ideal, logo: 
 
*
*
*
**








=⇒=⇒=⇒=
k
p
pm
km
k
p
pm
km
pmpkmkpmkm
V
V
I
I
V
V
I
IIVIVSS 
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O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 20 de 27 
 
 ( ) ( ) mkkmkkm VAVBAVBVVAI −+=+−= ( ) ( ) mkkm VAVBAI −++= (IV.14) 
 ( ) ( ) mkmkmmk VCAVAVCVVAI ++−=+−= ( ) ( ) mkmk VCAVAI ++−= (IV.15) 
Comparando as expressões (IV.12) com (IV.14) e (IV.13) com (IV.15), tem-se: 
 
( )
( ) kmkm
kmkmkm
kmkm
YaC
YaaB
yaA
−=
−=
=
1
1 
Observar que o valor de a determina o valor e a natureza dos componentes do modelo pi da Figura IV.15: 
 1=kma pu, ou seja, NOMaakm = : kmyA = , 0== CB 
 1<kma pu, ou seja, NOMaakm < : 0<B (capacitivo) e 0>C (indutivo) 
 1>kma pu, ou seja, NOMaakm > : 0>B (indutivo) e 0<C (capacitivo) 
 
 
NOTA IMPORTANTE: As grandezas de base utilizadas para fazer a conversão da impedância série do 
transformador para pu devem ser obrigatoriamente relativos ao enrolamento no qual esta impedância está 
ligada. Mais especificamente, no modelo de transformador adotado, que é mostrado na Figura IV.15, deve-se 
utilizar a tensão de base do enrolamento conectado à Barra m. 
 
 
Exemplo IV.4 – Dado um transformador trifásico, 138/13,8 kV, 100 MVA, cuja reatância de dispersão vale 
5% (na base do transformador), determinar o circuito equivalente do transformador se as bases do sistema 
são: 
a) 138/13,8 kV, 100 MVA; 
b) 169/16,9 kV, 200 MVA; 
c) 169/15 kV, 250 MVA. 
 
Solução Exemplo IV.4: 
a) Como pu 05,0% 5 ==x , tem-se que: 
 pu 05,0jZ TR = 
 pu 20jY TR −= 
e o circuito equivalente é dado por: 
 
1I 2I 
1V 
+ 
– 
2V 
+ 
– 
20j−
Admitância em pu 
 
b) Observar que 1,0
138
8,13
169
9,16
NOM ==== aa , então pu 11,0
1,0
NOM
pu ===
a
a
a . 
 ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )1 basepu 3
2 basepu 3
2
2 basepu 
1 basepu 
1 basepu 2 basepu 
φ
φ
S
S
V
V
ZZ
L
L








= 
 pu 0667,0
100
200
169
13805,0
2
jjZ TR =





=
′
 
 pu 15jY TR −=′ 
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O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 21 de 27 
 
Solução Exemplo IV.4 (continuação): e o circuito equivalente é dado por: 
 
1I 2I 
1V 
+ 
– 
2V 
+ 
– 
15j−
Admitância em pu 
 
c) Neste caso, tem-se 0888,0
169
15
NOM ==a e 1,0138
8,13
==a . Calculando em pu, tem-se: 
 pu 1267,1
169
138
15
8,13
NOM
pu ===
a
a
a 
 ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )1 basepu 3
2 basepu 3
2
2 basepu 
1 basepu 
1 basepu 2 basepu 
φ
φ
S
S
V
V
ZZ
L
L








= 
Para o modelo de transformador adotado, que é mostrado na Figura IV.15, deve-se utilizar a tensão de base 
do enrolamento conectado à Barra m, ou seja, a tensão do lado de média tensão do transformador, sendo o 
valor em pu na base 169/15 kV, 250 MVA dado por: 
 pu 1058,0
100
250
15
8,1305,0
2
jjZ TR =





=
′
 pu 4518,9jY TR −=′ 
Os parâmetros do circuito equivalente pi são dados por: 
 
( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) pu 198,14518,91267,111
pu 349,14518,911267,11267,11
pu 65,104518,91267,1
pu
pupu
pu
jjYaC
jjYaaB
jjYaA
TR
TR
TR
=−−=
′−=
−=−−=
′
−=
−=−=
′
=
 
e o circuito equivalente correspondente é: 
 
1I 2I 
1V 
+ 
– 
2V 
+ 
– 
65,10j−
Admitâncias em pu 
349,1j− 197,1j
 
 
 
Exemplo IV.5 – Considerando que o transformador do Exemplo IV.4 alimenta uma carga de 50 MVA, com 
fator de potência 0,9 indutivo, no enrolamento de menor tensão e que este é representado pelos três modelos 
determinados na solução do Exemplo IV.4 (em função das bases adotadas para o sistema pu), determinar o 
valor da tensão no lado de alta tensão em pu e em kV quando a tensão na carga é igual a 13,8 kV. 
 
Solução Exemplo IV.5: 
a) Considerando os dados do problema, têm-se os seguintes valores em pu para a tensão, potência e 
corrente secundária, para a base 138/13,8 kV, 100 MVA: 
pu 1
8,13
8,13
2 ==V pu 84,255,02179,045,09,019,0
100
50 2
2
o
=+=




−+= jjS 
*
2
2
2
*
222 







=⇔==
V
SIIVS 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 22 de 27 
 
Solução Exemplo IV.5 (continuação): 
pu 84,255,02179,045,0
1
2179,045,0 *
2
o
−=−=




 +
= jjI 
Do circuito equivalente mostrado na solução do Exercício IV.4, a tensão no lado de alta é dada por: 
( ) pu 28,10111,10225,00109,12179,045,005,01221 o=+=−+=+= jjjIZVV TR 
kV 28,154,13911,350,13928,10111,11381 oo =+=×= jV 
 
b) Para a base 169/16,9 kV, 200 MVA, tem-se: 
pu 8166,0
9,16
8,13
2 ==V pu 84,2525,01090,0225,09,019,0
200
50 2
2
o
=+=




−+= jjS 
*
2
2
2
*
222 







=⇔==
V
SIIVS 
pu 84,253062,01335,02755,0
8166,0
1090,0225,0 *
2
o
−=−=




 +
= jjI 
Do circuito equivalente mostrado na solução do Exercício IV.4, a tensão no lado de alta é dada por: 
( ) pu 28,18257,00184,08255,01335,02755,00667,08166,0221 o=+=−+=′+= jjjIZVV TR 
kV 28,154,13911,350,13928,18257,01691 oo =+=×= jV 
Observar que o valor obtido em kV é idêntico ao do Item (a), mostrando que o resultado não depende das 
bases adotadas. 
 
c) Para a base 169/15 kV, 250 MVA, tem-se: 
pu 92,0
15
8,13
2 ==V pu 84,252,00872,018,09,019,0
250
50 2
2
o
=+=




−+= jjS 
*
2
2
2
*
222 







=⇔==
V
SIIVS 
pu 84,252174,00948,01956,0
92,0
0872,018,0 *
2
o
−=−=




 +
= jjI 
Do circuito equivalente obtido na solução do Exercício IV.4, a tensão no lado de alta é dada por: 
 
 
1I 2I 
1V 
+ 
– 
2V 
+ 
– 
Admitâncias em pu 
SH
I 2
65,10j−
349,1j− 197,1j
 
 
( ) ( )92,0197,10948,01956,0
65,10
192,011 2222221 ×+−
−
+=++=



 ++= jjjVCIAVIIAVV
SH
 
kV 28,154,13911,350,13928,18257,01691 oo =+=×= jV
 
Observar que o valor obtido em kV é idêntico ao dos Itens anteriores, mostrando que o resultado não 
depende das bases adotadas. 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 23 de 27 
 
Exemplo IV.6 – Dado um transformador trifásico, 230/69 kV, 50 MVA, cuja reatância de dispersão vale 
5%, determinar: 
a) o circuito equivalente do transformador, se as bases do sistema são 230/69 kV, 100 MVA; 
b) o valor da tensão no enrolamento de 69 kV (onde a carga está ligada), quando a tensão no enrolamento 
de 230 kV (onde a fonte está ligada) é igual a 200 kV e são fornecidos 50 MVA, com fator de potência 
igual a 0,8 indutivo; 
c) o valor da tensão no enrolamento de 69 kV (onde a carga está ligada), quando a tensão no enrolamento 
de 230 kV (onde a fonte está ligada) é igual a 250 kV e são fornecidos 10 MVA, com fator de potência 
igual a 0,8 capacitivo; 
d) nas situações operacionais dos Itens (b) e (c), determinar a potência complexa fornecida para a carga e as 
perdas no transformador; 
e) comentar as diferenças nos resultados obtidos nos Itens (b), (c) e (d). 
 
 
Solução Exemplo IV.6: 
a) Como pu 05,0% 5 ==x na base de 50 MVA, para a base de 100 MVA e tensões nominais tem-se: 
 pu 10,0
50
10005,0 jjZ TR == pu 10jY TR −= 
e o circuito equivalente é dado por: 
 
1S 2I 
1V 
+ 
– 
2V 
+ 
– 
10,0j 
Admitância em pu 
Lado 230 kV Lado 69 kV 
1I 2S 
 
b) A potência complexa fornecida ao transformador no enrolamento de 230 kV é dada por: 
 3,04,08,01
100
508,0
100
50 22
1 jjS +=−+= pu 
Levando em conta a tensão de operação no lado de 230 kV dada por 8696,00
230
200
1 ==V pu, a corrente no 
transformador é dada por: 
 
*
111 IVS = o87,365750,03450,04600,0
8696,0
3,04,0 *
*
1
1
1 −=−=




 +
=







= jj
V
SI 
Do circuito equivalente, pode-se obter a seguinte expressão para a tensão no enrolamento de 69 kV: 
 ( ) o15,38363,00460,08351,03450,04600,010,08696,0112 −=−=−−=−= jjjIZVV TR 
 
o15,371,572 −=V kV 
c) A potência complexa fornecida ao transformador no enrolamento de 230 kV é dada por: 
 06,008,08,01
100
108,0
100
10 22
1 jjS −=−−= pu 
Levando em conta a tensão de operação no lado de 230 kV dada por 0870,10
230
250
1 ==V pu, a corrente no 
transformador é dada por: 
 
*
111 IVS = o87,360920,00552,00736,0
0870,1
06,008,0 *
*
1
1
1 =+=




 −
=







= jj
V
SI 
Do circuito equivalente, pode-se obter a seguinte expressão para a tensão no enrolamento de 69 kV: 
 ( ) o39,00925,10074,00925,10552,00736,010,00870,1112 −=−=−−=−= jjjIZVV TR 
 
o39,038,752 −=V kV 
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O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 24 de 27 
 
 
 
Solução Exemplo IV.6 (continuação): 
 
d) A potência complexa fornecida para a carga nas situações dos Itens (b) e (c) são dadas por: 
 
*
12
*
222 IVIVS == 
e as perdas no transformador são dadas por: 
 21perdas SSS −= ou 
2
1perdas IZS TR= 
Para o Item (b), tem-se: 
 ( )( ) o72,334809,02669,04000,03450,04600,00460,08351,0 *2 =+=−−= jjjS 
 0331,0)2669,04000,0(3,04,0perdas jjjS =+−+= pu 
 0331,05750,01,0 2perdas jjS == pu 
 31,3perdas jS = MVA 
Para o Item (c), tem-se: 
 ( )( ) o26,371005,00608,00800,00552,00736,00074,00925,1 *2 =−=+−= jjjS 
 0008,0)0608,00800,0(06,008,0perdas jjjS =−−−= pu 
 0008,00920,01,0 2perdas jjS == pu 
 08,0perdas jS = MVA 
 
e) Fasor tensão – No Item (b) a magnitude da tensão em pu no enrolamento de 69 kV é menor do que no 
enrolamento de 230 kV, pois este fornece potência ativa e reativa para a carga, havendo queda de tensão em 
sua impedância de dispersão. No Item (c) o fluxo de potência reativa ocorre do enrolamento de 69 kV para o 
enrolamento de 230 kV (carga capacitiva) e isto faz com que a tensão em pu do enrolamento de 69 kV 
apresente magnitude superior. Em ambos os casos, o fluxo de potência ativa é em direção ao enrolamento de 
69 kV, sendo o ângulo de fase do fasor tensão 2V menor do que do fasor tensão 1V . 
 
Potência complexa na carga – Nos Itens (b) e (c) a potência ativa na carga é a mesma fornecida para o 
transformador, pois o modelo considera apenas a reatância de dispersão. A potência reativa difere, pois 
existe um consumo de potência reativa na reatância do transformador. 
 
Perdas ativas e reativas – Em ambos os casos não existem perdas de potência ativa e existe um consumo de 
potência reativa em função da reatância de dispersão do transformador ser percorrida pela corrente. No Item 
(b) as perdas são maiores, pois a corrente é maior. 
 
 
Exercício IV.4 – Dado um transformador trifásico, 230 (+4)(–8)×1,875%/69kV, 50 MVA, cuja reatância 
de dispersão vale 5%, determinar: 
a) o circuito equivalente do transformador, indicando os valores mínimos e máximos da relação de 
transformação em pu (a), se as bases do sistema são 230/69 kV, 100 MVA; 
b) o valor da tensão no enrolamento de 69 kV (onde a carga está ligada), quando a tensão no enrolamento 
de 230 kV (onde a fonte está ligada) é igual a 200 kV e são fornecidos 50 MVA, com fator de potência 
igual a 0,8 indutivo (nesta condição o transformador opera com o tap na posição 13); 
c) o valor da tensão no enrolamento de 69 kV (onde a carga está ligada), quando a tensão no enrolamento 
de 230 kV (onde a fonte está ligada) é igual a 250 kV e são fornecidos 10 MVA, com fator de potência 
igual a 0,8 capacitivo (nesta condição o transformador opera com o tap na posição 1); 
d) nas situações operacionais dos Itens (b) e (c), determinar a potência complexa fornecida para a carga e as 
perdas no transformador; 
e) comentar as diferenças nos resultados obtidos nos Itens (b), (c) e (d). 
 
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O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 25 de 27 
 
 
Como para a linha de transmissão, é possível escrever a expressão do fluxo de potência complexa da barra k 
para a barra m: 
 
[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )kmkmkmkmmkkmkmkmkkm
kmmkkmkmkmkmkmkkm
mkkmkmkmkkmmkmkmkkmkmk
mkmkmkkmkmkkmkkm
jjbgVVajbgVa
VVjbgajbgVa
VVYaYVaVYaVYaV
VYaVYaVIVS
θθ
θ
sencos
2
2
***22****2
*2*
+−−−=
−−−=
=−=




−




=
=−==
 
Separando as partes real e imaginária, chega-se a: 
 
( ) ( ) ( )kmkmkmkmmkkmkmkkmkm bgVVagVaP θθ sencos2 +−= (IV.16) 
 
( ) ( ) ( )kmkmkmkmmkkmkmkkmkm bgVVabVaQ θθ cossen2 −−−= (IV.17) 
O fluxo de potência complexa da barra m para a barra k é dado por: 
 
( ) ( )mkkmmkkmmkkmkmmmk bgVVagVP θθ sencos2 +−= (IV.18) 
 
( ) ( )mkkmmkkmmkkmkmmmk bgVVabVQ θθ cossen2 −−−= (IV.19) 
 
 
Exercício IV.5 – Conhecidos os parâmetros que definem o transformador em fase e os fasores das tensões 
terminais, mostrar como é possível determinar as perdas de potência ativa e reativa neste transformador. 
 
 
IV.7 – O modelo do transformador defasador 
Os transformadores defasadores são equipamentos capazes de controlar, dentro de determinadas limitações, a 
relação de fase entre o fasor tensão do primário e do secundário. Para um transformador defasador puro, a 
relação de transformação em pu é representada por um número complexo de módulo unitário e ângulo de 
fase ϕ , ou seja, é dada por kmt:1 , com ϕjkm et = , ou seja, ϕ1:1 . A representação de um transformador 
defasador puro está mostrada na Figura IV.15. 
 
 
k 
kmI kmkm
km jxrZ += m 
mkI 
kkk VV θ= 
p 
pmI 
mmm VV θ= 
kmj
km et
ϕ
=:1 
kmkkk
j
p VVeV km ϕθϕ +== 
 
Figura IV.15 – Representação de um transformador defasador puro. 
 
 
Da relação do transformador ideal: 
 kmkkkkkmk
j
kkmpj
kmp
k VVVeVtV
etV
V
km
km
ϕθθϕϕϕ +=⋅===⇒== 1
11
 
 pm
j
pmkmkm
j
km
pm
km IeItIet
I
I
kmkm ϕϕ −−
==⇒== ** 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 26 de 27 
 
As correntes pmI , kmI e mkI são obtidas a partir dos fasores tensão das barras k, p e m ( kkk VV θ= , 
kmkkppp VVV ϕθθ +== e mmm VV θ= , respectivamente) e do valor da admitância série 
km
km
z
y 1= : 
( ) ( )mkkmkmmpkmpm VVtYVVYI −=−= 
( ) mkmkmkkmkmkm
I
mkkmkmkmpmkmkm VYtVYttVVtYtItI
pm
****
−=−==
44 844 76
 
( ) mkmkmkkmkmkmkm VYtVYttI ** −+= (IV.20) ( ) mkmkkmkmmkkmkmpmmk VYVYtVVtYII +−=−−=−= ( ) mkmkkmkmmk VYVYtI +−= (IV.21) 
 
Assim, o transformador defasador não pode ser representado por um circuito equivalente do tipo pi, 
conforme está ilustrado na Figura IV.15, pois o coeficiente de mV da expressão (IV.20), kmkmYt*− , é 
diferente do coeficiente de kV da expressão (IV.21), kmkmYt− . 
 
Como anteriormente, é possível escrever a expressão do fluxo de potência complexa da barra k para a barra 
m: 
 
[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]kmkmkmkmkmkmmkkmkmk
kmmkkmkmkmkmkmk
mkkmkmkmkmkmkmkkmk
mkmkmkkmkkmkkm
jjbgVVjbgV
VVjbgjbgV
VVYtYVVYtVYV
VYtVYVIVS
ϕθϕθ
θϕ
+++−−−=
−−−=
=−=




−=
=−==
sencos
1
2
2
***2****
***
 
Separando as partes real e imaginária, chega-se a: 
 
( ) ( )[ ]kmkmkmkmkmkmmkkmkkm bgVVgVP ϕθϕθ +++−= sencos2 (IV.22) 
 
( ) ( )[ ]kmkmkmkmkmkmmkkmkkm bgVVbVQ ϕθϕθ +−+−−= cossen2 (IV.23) 
 
Exercício IV.6 – Determinar a expressão do fluxo de potência complexa da barra m para a barra k. 
Utilizando esta expressão equacionar as perdas de potência ativa e reativa neste transformador. 
 
IV.8 – Expressões gerais dos fluxos de corrente e de potência 
As expressões dos fluxos de corrente e potência em linhas de transmissão, transformadores em fase, 
defasadores puros e defasadores, podem ser generalizadas de forma tal que seja possível utilizar sempre a 
mesma expressão, fazendo algumas considerações para particularizar o equipamento em questão. Assim, os 
fluxos de corrente nestes equipamentos obedecem às seguintes expressões gerais: 
 ( ) ( ) mkmkmkshkmkmkmkmkm VYtVjbYttI ** −++= ( ) ( ) mkmjkmkshkmkmkmkm VYeaVjbYaI kmϕ−−++= 2 (IV.24) 
( ) ( ) mshkmkmkkmkmmk VjbYVYtI ++−= ( ) ( ) mshkmkmkkmjkmmk VjbYVYeaI km ++−= + ϕ (IV.25) 
 
De acordo com o tipo de equipamento, as variáveis kma , kmϕ e shkmb assumem valores particulares, mostradas 
na Tabela IV.2. 
 
Tabela IV.2 – Parâmetros para os diferentes equipamentos nas expressões gerais dos fluxos. 
Equipamento kma kmϕ shkmb 
Linha de transmissão 1 0 
Transformador em fase 0 0 
Transformador defasador puro 1 0 
Transformador defasador 0 
 
Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente 
O transformador – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 27 de 27 
 
 
Os fluxos de potência ativa e reativa em linhas de transmissão, transformadores em fase, defasadores puros e 
defasadores, obedecem às seguintes expressões gerais: 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]kmkmkmkmkmkmmkkmkmkkmkm bgVVagVaP ϕθϕθ +++−= sencos2 (IV.26) 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]kmkmkmkmkmkmmkkmshkmkmkkmkm bgVVabbVaQ ϕθϕθ +−+−+−= cossen2
 (IV.27) 
 
Assim, as expressões (IV.24) a (IV.27) podem ser utilizadas indistintamente para o cálculo dos fluxos de 
corrente e potência em linhas de transmissão, transformadores em fase, defasadores puros e defasadores, 
bastando utilizar os parâmetros conforme a Tabela IV.2.