Matemática - Resumos

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Matemática APRO FUN DADO Critérios de divisibilidade Relação fundamental Regra de Regra de 3- composta Outras razões Matriz de Vandermonde PFC Triângulos quaisquer Matriz inversa Fatorial Arcos cóngruos Sistemas lineares Arranjo Função seno Escalonamento Permutação Função cosseno Problemas contextualizados Combinação Função tangente Regra de Cramer Funções injetora, sobrejetora e bijetora Adição e subtração de arcos Classificação Função composta Arco duplo sistemas homogêneos Função inversa Equações fundamentais Discussão de um sistema Inequação - grau Equações redutíveis fundamentais entre dois pontos Inequação 2. grau Equações em um intervalo definido Mediana e baricentro Inequação - exponencial Inequações trigonométricas Areas e alinhamento de pontos Inequação - logaritmos Matrizes Equação geral da reta Números binomiais Operações Equação reduzida Triângulo de Pascal Operações Equação com ponto. Binômio de Newton Determinantes relativa Circun ferência trigonométriaas Propriedades las Forma segmentária. Razões trigononiétricas Propriedades 6 a 10 Distância entre ponto e retaAngulo entre duas retas Parábola - eq. reduzida Equação geral da circunferência Parábola - exercícios Multiplicidade Equação reduzida - eq. geral Relações de Girard Posição relativa entre ponto Módulo de número real Equações Algébricas Posição relativa entre reta Propriedades Raizes complexas de modular Prismas Equações modulares Paralelepípedo e Cubo Inequações modulares Cilindro Números complexos Pirâmide Operações Cone Forma trigonométrica semelhantes Operações Esfera Polinômios Elipse - eq. reduzida Operações Elipse - exercícios Operações - divisão Elipse - geral Divisão por binômios- Hipérbole - eq. reduzida Briot- Ruffini Hiperbole exercícios Divisões sucessivas Hipérbole - eq. geral Divisão por binômios - tipo Kx-aCRITÉRIOS por 2 5 por 8 Um número é por 2 Se 0 algarismo das unidades Se número formado pelos se esse número for par, ou seja, for 0 OU 5. seus três últimos algarismos se 0 algarismo das unidades também for divisivel terminar em 0,2,4,6 e 8. por 6 Se 0 número for por 9 por 3 por 2 e por 3. Quando a soma dos algarismos Um número é divisível por 3 resultar em um número divi- se a soma de seus algarismos por 7 sivel por 9. for um número divisível por 3. 46067172109 109÷7=4 (resto) por 10 por 4 172÷7=4 (resto) se 0 algarismo das unidades Um número é divisível por 4 67÷7=4 (resto) for O. se número formado pelos dois 46÷7=4 (resto) últimos algarismos forem também +4-4+4-4=0 divisíveis por 4. é divisível 7Regra COMPOSTA de 3 Numa gráfica existem 3 impressoras off set Se 2 impressoras trabalhando 10 horas que funcionam sem parar, 10 horas por dia, por dia levam 6 dias para fazer deter- durante 4 dias, imprimindo 240.000 folhas. minado trabalho, então 3 impressoras Tendo-se quebrado umas das impressoras (com a mesma eficiência das anteriores) e necessitando-se imprimir, em 6 dias, 480. trabalhando 8 horas por dia levarão 000 folhas, quantas horas por dia deverão quantos dias para fazer mesmo tra- funcionar ininterruptamente as duas móqui- balho ? nas restantes? processo produto processo produto imp n/dia dias trabalho 2 folhas 10 6 1 imp 3 10 4 240.000 3 8 1 2 X 6 480.000 3.8 = 2.10.6.1 = 24x = 120 120 =5 dias X= 3.10.4.48 = 120 = = 24 2.6.24 6PEC Existem três cidades A,B,C. Há duas Cinco atletas participam de Uma sala possui 10 rodovias que ligam Ae B e três que uma corrida. Quantos resulta- padas. De quantas manei- ligam BeC. Partindo de A e passan- dos existem para 1; e ras diferentes essa sala do por B, de quantas formas podemos lugares? pode estar iluminada por chegar até C? 5.4.3=60 = essas A=B=C 2.3=6 possibilidades - = Quantos números de dois algarismos Com algarismos 1,2,3, e 7, 210 = 1024 distintos podemos formar com 1024 = 1023 meros 1,2,3,4e5? 5.4 = 20 possibilidades Quantos números naturais pares de quatro algarismos podem ser Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual formados ? 0 número de sequências possíveis de cara e 2.2.2=8 Quantos números naturais pares de quatro algarismos distintos podem ser formados? 5.4.3.2=120 =Fatorial Seja n um número natural,com 8! = 8! = 1 Calcule - = Define-se 0 fatorial de n, 10! 10.9.8! 90 12! representado por n!, por meio da 12! = (1-13) = 12! 12! 8!.6! = n!= 3.2.1 90 = 15 (n+1)! = Por = e 0!=1. Nao 6 (n+2)! existe fatorial de número negativo. (n+1)! = Resolva a equação (n+1)! = 20 (n+2). (n+1)! Simplifique as seguintes (n-1)! (n+1). (n) = 20 1 = 1 9! = 9.8.7! = 72 (n-1)! (n+1)! (n+2) (n+2) 7! 7! (n+1) n = 20 n²+n-20=0 = n"=4 = (-s) + (4) (-s)arranjo Dados n elementos distintos do Em um campeonato de futebol, Com 05 algarismos 1,2, conjunto I= a3, an}, chama- participam 20 times. Quantas são 3, 4,5 e 6, quantos arran- se arranjo simples de elementos as possibilidades para 05 três desses algarismos toma- de I toda sequência formada por primeiros dos 4a 4 têm 0 algarismo elementos distintos de I com = 20! = 20.19.18.17! 1 antes do 4? 17! 14 = 12 n! = 6840 1_4_=12 = (n-p)! 1 4 = 12 12.6=72 Existem 10 cadeiras numeradas 14 = 12 Quatro jogadores de futebol con- de la 10. De quantas formas 1-4 = 12 correm a um dos de duas pessoas podem se sentar, 14 = 12 melhor jogador de um devendo haver ao menos uma De quantas maneiras diferentes esses cadeira entre elas? A 2 4 = u! = 2! = 12 títulos podem ser distribuídos? 2! 2! ABCD maneiras 12345678910 1° 10. = 90 18 = 72 = = 4! = 4! = 12 A B (4-2)! 2! = 10! = 10.9.8! = 90-18=72 8! 8!Permutação simples com repetição Quantos anagramas começam Dados n elementos distintos com a letra A? do conjunto I= n! A chama-se permutação simples dos = 7! = n elementos de I todo arranjo sim- 2!2! ples desses n elementos tomados Quantos anagramas podemos = 1260 nan. formar com a palavra ABA? P3 = 3! 3 Quantos anagramas têm as Pn = n! 2 vogais juntas ? AAAINTLN De quantas formas 6 pessoas Em relação a palavra x podem se sentar numa fileira de 6 cadeiras se duas delas, Ar- Quantos anagramas existem? 2! 2 naldo e Samuel, se recusam a = 8! = 240 sentar um ao lado do outro? 2!3! ASBCDE = 3360 x 2 720 240 zuo 480Combinação Dados on elementos distintos do Se a alteração obteve um Em um encontro de amigos, conjunto I= an}, chama- agrupamento diferente do cada pessoa cumprimentou se combinação simples de p elemen- original, é arranjo. todas as outras, havendo 00 tos de I, todo subconjunto formado todo apertos de mão. por p elementos distintos de I com Se a alteração obteve um Quantas pessoas havia no p≤n. agrupamento igual ao ori- ? ginal, é combinação. = us n! 11 us = n! (n-p)! p! Uma prova consta de 10 das quais aluno n. = combinação deve escolher apenas 6 para responder. De quantas formas 1. Forme um dos grupos sugeridos ele poderá escolher as 6 ques- n.(n-1)=90 (n-1) =90 = pelo problema; ? = 10! = n' n'=10 10 2. Altere a ordem dessa 4!6! = 210 3. Faça a seguinte análise:Função INJETORA, BIJETORA E SOBREJETORA sobrejetora bijetora Uma função B é injetora Uma função f:A B é Uma função f: A B é bije- quando elementos diferentes de quando todo elemento de B for ima- tora quando ela for, simulta- A possuem correspondentes dife- gem de algum A, ou seja, Im (f)=B. neamente, injetora sobre- rentes em B, ou seja, # X₂ A B jetora. em A, então f(x1) # f(x2) em B. A B IR f(x) f(x) = 3x+1 X injetora bijetora Im (f) # B sobrejetora Analise a seguinte Analise a seguinte função quanto quanto a sua injetividade. a sua sobrejetividade. R tal que f(x) = 3x + 1 f:R R tal que f(x)=3x+1 f(2) = + = Im=R 2. NFunção COMPOSTA Dadas as funções f: e Sejam as funções Sejam as funções reais denomina-se função composta de e (x) = f(x) =3x+1 = f a função h: A-C, tal que h=(goh) x2-2. Determine g(3). (x) = com XEA. = A C = = f(g(2))=1 39 = 9 (x) = (f(2)) = 3 f g = = (x)) .f(x) = = 2x2 +1-2 (3) = 32-3 = = 3 h(x) = 9 (f(x)) = = 7Função INVERSA Dados conjuntos A= = {1,2} e B= {2,5}, regra f = 2.2+3 consideremos a função f de A em B definida por f(x) = 3x dois passos simples para (7) = 7-3 =2 = A B determinar a inversa de uma 2 .2 2. Determine a função inversa da 1. Trocar por y ey por x; função f(x)= = 4x-1 t-1 2. Isolar Y. 2x -> - = = + 1 Determine a função inversa da 2x 3 função f(x) = + = - 4y = 3 x=2y+3 = + 3 Y (2x = = 3 y= (x) X-3 2x-4 -4 2 Somente funções bijetoras admitem a A + B (x) = -1 existência da função inversa; + 2x-4 D(f) = Im ) e = Im (f).1°GRAU Resolva a inequação 2x-3>5. - + f(x) + - + - 2x >8 2 x g(x) + -1 + - + + g(x) - x>4 > x - + 3 - f(a) + -31 x - + -1 -31 produto ou x>3 Sendo f(x) e 9 (x) duas funções na variável x, as inequações do quociente tipo f(x). f(x) Sendo f(x) e g(x) duas funções A dupla dade f(x). ≥ 0 e f(x). (x) são na variável as inequações do se decompoe em duas inequações. denominados inequações produto. tipo >0, f(x), ≤ ≤0 são Resolver -2-2 - f(x) 2x +2 3x-10. 3x+1>0 + > 2x+2=0 x=3 2 -3 -1/3 x +3=0 -1/32. GRAU Resolva a inequação - f(x) + + + + + + - g(x) 1 - x + - + - 3 - 5 -3 -z A D=64-60 :. D=4 S= { x E IR -3 ≤ x ≤ f(x) X= -11 0 2a 2 quociente f/g -1' 1 4 x Resolva a inequação ou x>2 } x²-3x+2 produto f(x) = +1 Resolva a inequação (x+2) + f(x) = - -1 D= (-1) 3 x=-2 = 4 + 12 9 (x) = x2-3x+2 -2 -3 + , 2+1=3 = -7 - - -2 = =método da a inequação Resolver a inequação a base (0,25) ≤ A função exponencial é crescente f(x)= = 25 = b = = se a>1, Ou decrescente, se 10 2 100 4 = Se b ec são números reais, 3x-1 2 Caso a>1: ab >ac b>c b 2 + 2 ≤ 23/4 a=1 Caso 2: ac b1 + 1 4x+3 ≤ + 12x ≤10 ≤ 10/12 5/6 2x +10 + x>4 4 4x + + S= IR X≤ 2x 7 7/2LOG ARITMOS tipo A Sea>1: loga f(x) > K - Inequação no formato loga f(x) > Se loga f(x) + - 3/2 + loga (x). Resolver a inequação Se a>1; loga loga g(x) -> 3/2 Se loga f(x) > loga g(x) -> -1/2 0 3/2 2 Resolver a inequação 0 X1=0log = 3y +2 > 0 + + 1 + 2 = 3 4 - 2 1 = 2 ou >2 > log > log 9Binomiais Chama-se número binomial Dois binomiais iguais número com p e n natu- se tiverem 0 mesmo nume- Se m = (m) calcule (m) 17 rais e tal que: rador e: 9+8 = m (5) = 5! seus denominadores forem iguais, ou (5) = (17) = 17!0! 17! Dois números binomiais de são binomiais complemen- mesmo numerador e cuja soma tares. (5) 1=1=1 = = dos denominadores é igual ao numerador são chamados bino- miais complementares. Obtenha valor de saben- 3+5=8 do que (6) 2 = x=2 2+x=6 x=4 4Pascal TRIANGULO É uma tabela onde podemos dispor A partir da 3° linha, cada ordenadamente números binomiais. elemento (exceto primeiro e último) é a soma dos 0 = 1 elementos da linha anterior, 0 1 0 (1) n=1 1 1 1 acima dele. ON 2 0 (2) n=2 1 2 1 (3) 3 3 n=3 1 3 3 0 2 3 1 relação de 40 4 4 4 n=4 1 4 6 4 1 1 2 3 stifel : ... = nt = 1 = 1 = 1 (p) n = p-1 - + n-1 P 0 1 Numa mesma linha do ( n n = n! = 1 de Pascal, dois números equidistantes dos extremos são iguais.Binomio de Toda poténcia da forma (x Desenvolva com IR, e n E IN, é conhe- [x + (-2)]4 cida como binômio de Newton. (-2) - Desenvolvimento de (x +a)" Para n=0, 1 = X + (n) + Para n=1, Para n=2, (x = Para n=3, (x +a)³= + + + geral Para n=4, 4, (x + = + 4x3a + = 0 desenvolvimento de (x tem Qual é termo no desenvolvimento de + termos. Ts=? K+1 K=4 Em cada termo expoente de = = = 81 = somado ao expoente de aé igual a n. = 5! = 5Circunferência TRIGONOMÉTRICA radiano comprimento circunferência É a medida de um arco cujo do arco trigonometrica comprimento é igual ao raio 0 comprimento do arco de 90° (0,1) da circunferência. Q1 A uma circunferência de raio Qz (-1,0) (1,0) r pode ser determinado assim: 180 TTRAD Q3 Q4 2TT R 180° TT RAD 270 (0,-1) IRAD R medida em rad 2 e R comprimento Transformar arcos abaixo na R: raio Em relação ao eixo vertical unidade correspondente: A' 60° em radianos; RAD Calcule 0 comprimento de um x = RAD arco de 120' numa cia de raio 12 cm. Em relação ao eixo horizontal RAD em graus. e = 2IT rad IT = 180 = x 3 A 6 6 12cmTRIGONOME TRICAS RAZÕES relações redução ao 1° cosseno 45° guadraute P sen 1/2 V2/2 V3/2 Obtem-se por simetria. 4 x = OP' 1/2 P' tan V3/3 1 53 30 60 30 60 315' P seno sen sen sen 315'= p' e' P P macete sen = op' Tal como aconteceu no seno, fulta F valor máximo para cosseno a passa P F falta eo valor mínimo é P' P is P seja, ≤ 1, para todo Quais são valores de sen 210; [0. 2 Como 0 do ciclo sen e sen trico é unitário, temos que valor sen = - sen = - 1/2 Quais são valores de cos máximo para 0 seno e 1 e va- sen = sen e COS 225? mínimo seja, -1≤ - sen sen 315 = - sen = - V2/2 ≤1, para todo = - cos = -tangente to tg = - V3/3 P = - tg = - T + = AT to = tg = A - P T + a A a A A - P I T P T A tangente não possui valor máximo ou mínimo. A tangente não está definida para OU = Quais são valores de tg 330' e tg UTT ? 3Frigonometria RELAÇÃO FUNDAMENTAL Sendo cos 315,com = 9 5 = + 9 5Frigonometria cotangente tgx = e cotga = cosa Sabendo sen X = ecossec X = 1 = 3 sen 2 sec = 1 =-3. = - cosa V5 5 cotg α= 1 cotg = - V5 tga 2Quaisquer dos senos lados é igual a soma dos As medidas dos lados de um triân- cm quadrados das medidas dos gulo proporcionais aos senos outros dois, diminuída do dos respectivos opostos, ea dobro do produto da me- constante de proporcionalidade é igual dida desses lados pelo cos- à medida do diâmetro da X = V128 = 2R seno do ângulo por eles cia circunscrita ao triângulo. sen 30° formado. = = B B sen a C = = 2R a C b R 1/2 C = 8V2 :. = 8cm b A 2 2 A a = b = = 2R 8 = 2R 12 = 8 R=8cm sen senc 1/2 B No triângulo ABC abaixo, determine as lei dos cossenos medidas do lado AB e do raio da circun- Em todo triângulo, 0 quadrado ferência circunscrita. da medida de qualquer um dosDeterminar na figura abaixo: 14cm 6cm 120° X 142 = 6 + 2 - 2.6 196 = 36 + - 160 = +6 + 6x - 160 = F = P F = - 1/2 -16 + 10 = -6 X1 = 10 -16 . 10 =arcos Côngruos demais voltas Um determinado ponto do Indique no ciclo trigono- no ciclo ciclo trigonométrico pode métrico a localização dos trigonométrico corresponder a uma infini- seguintes arcos: dade de ângulos. A = 25 B= 2 60' 420 E 3 = + A 2 2 2 = + IT 2voltas 2 B = = SIT = - 60+ = = + TT ... 3 3 3 1140 1360 - = - 1080 3 voltas - = 2370 1360 - + K. 360; KEZ 2160 6 voltas 210Função Seja x um número real e P a No 40 quadrantes a função f(x) = (-x) sen = 1/2 sua imagem na circunferência é crescente e no e 3° é de- sen (-30) = -1/2 Denomina-se fun- crescentes. sen = sen seno a função IR que associa a cada número real x 0 A função seno é periódica e gráfico número real OP' = sen X, seja, seu período é 0 gráfico da função = f(x) = sen recebe o nome de senoide. 0 da função seno é IR. P senx Porém, 0 conjunto imagem dessa função é 0 intervalo real 1], pois sempre teremos - -1 ≤ sen π/2 TT 2T ≤ 1; propriedades 0 sinal da função f(x) = sen é É uma função impar, pois sen = positivo quando pertencer ao 10 - sen (-x). 2. quadrantes, e negativo quando pertencer ao ou 4 quadrantes; 30 + + -gráfico de outras tipo seno A partir da senoide, é possível construir 0 gráfico de outras funções que possuem 0 seno como razão trigonométrica. Y= a + b sen (cx + d) Im = [a-b, a+b] P = 2π Construa 0 gráfico da função f(x) = 3. sen 31 a=0 b=3 c=1 IT d=0 Im = 0+3] Im = [-3,3] -3 P= = = 2 IT 1Cosseno Seja x um número real e P a sua No 1'e 2° quadrantes a função f(x) = f (-x) imagem na circunferência trigo- é decrescente e no 1/2 nométrica. Denomina-se função quadrantes a função é crescente. (-60) = 1/2 cosseno a função f:IR IR que associa a cada número real A função cosseno é periódica e gráfico número real OP' = ou seja, seu período é gráfico da função = = X. recebe nome de cossenoide. P 0 domínio da função cosseno é IR. Porém, 0 conjunto imagem P' dessa função é 0 intervalo real pois sempre teremos -1≤ 0 TT 1; propriedades -1 sinal da função f(x) = x é po- E uma função par, pois COS = sitivo quando pertencer ao OU COS (-x). quadrantes, e negativo quando perten- cer ao ou 3 quadrantes. - + +grafico de outras Im = [1-1, 1+1] 1] funções tipo Im = [0.2] cosseno P = ZTT = TT A partir da cossenoide, é possível 2 constrair 0 gráfico de outras fun- ções que possuem 0 cosseno como TT + = = razão 2 2 4 a + b + d) 1+ (2,0) = 2 = [a-b, at b] = 1 + =1 Construa gráfico da função = + cos 2x. 1 0 3TT/4 TTFunção Fangente Consideremos D= # + KIT, 0 conjunto imagem de gráfico }. Denomina-se função tangen- A função fé sempre crescente. 0 gráfico da função y=tgx te a função - IR que associa a recebe nome de tangen- cada número real XE D 0 número 0 sinal da função tangente toide. real AT = tg x, seja, f(x) = é positivo no quadran- tes e é negativo no e 4. T quadrantes. tgx A A função tangente é periódica ZIT e seu período é TT. propriedades É uma função impar, pois tg = 0 de fé {x # + KTT, -tg (-x). K E pois quando + KTT, com K inteiro, a função tangente não está A definida; f(x) (-x) -1 tg = 1 to (45) = to =-1Esboce 0 gráfico da função tg determinando 0 seu do- mínio, conjunto e período. π/2 3TT/2 x D: - # + IT # π/2 + + KTT D = { E # IT + KTT, KEZ } P = = IT = ICI 1arcos ADIÇÃO E seno da soma cosseno da soma Calcule 195: = tg ou diferença ou diferença sen = sen cosb sen b b sena.senb F = macete Calcule 15: P F Minha terra tem palmeiras onde = 45'+ sen sen to tg canta 0 sabiá, seno a cosseno b, = 1 . VZ + V3 . V2 + seno b cosseno a. 2 2 2 V3/3 = 3-V3/3 Calcule sen 75°. = + V6 = + V6 1+1. V3/3 3+ V3/3 sen (30+45) = sen + sen 30' 4 4 4 = . + . 1 . (3-V3) = 2 2 2 tangente da soma ou diferença = + V6 = Vz + V6 (a+b) = tg a + tgb +3 = = 4 4 4 9-3 6 2-V3arco Duplo seno 2x= - + = +1 = 2x = 2 sen x sen + =1 1+ 4/3 + Qual é 0 valor de A= = sen + - = -1/7 = +2. sen + senz 8/9 7/3 * sen * 1/9-8/9 AZ = sen 2x = - 7/9 AZ =1+ 1/2 = 3/2 A= 2 3 = V2 V2 tangente 2x = 2. tg 1- 2 Dado a=2, calcule to cosseno to + = to Za + COS = 2a. Sabendo que = 1/3 quanto vale (2a) = = 2.2 = COS 2x. 1-22 1-4 3 COS 2x=TRIGONOMETRICAS FUNDAMENTAIS Equação sen Equação x=a = Equação tg tg 1 a a X= α + 2 K IT a + 2 KTT + 2KTT DU X = α + 2 = + IT + + 2 KIT KEZ x KEZ 1 -α kez Resolver a equação sen = Resolver a equação x=- - Resolver a equação = to 1 = + 2KTT 3TT = ZII = = - + + 2KTT = + 2 KTT x -3TT - 4 = + KTT ou x= +2 KIT, kez} = { XE / = + KEZ} S= = = + KIT, kez}Equações REDUTIVEIS AS FUNDAMENTAIS Resolver, em IR, a equação cossec = 1. 1 sen x=1 Y =0 cossec = sen = Y X= π/2 + 2 KTT ou senx 2 sen - 1 = 1 2 sen 1/2 senx ou 1 x=0 2 sen2x = sen x X= -π/6 + KTT + KTT 2 senz 1=0 { XE = + 2 KTT 2 cos D= (-1) (-1) + OU +2 = TT + 2 KTT D=1+8 :: D=9 = E X= + KIT ou Resolva a equação, em X= IT+ KE IR} = Y1=1 + =1 = cos = 4 = -1/2 sen2x = cos cos2 X + COS +Equacões EM DEFINIDO Deve-se encontrar a solução geral e K=2 K=1 depois atribuir valores convenientes X= + X= + = + = para fim de determinar as so- = luções que pertencem ao intervalo K=O dado. K=2 + = a equação sec = no inter- 5= valo ≤ 2T. = sec = Resolver a equação sen no conjunto universo U= 1 = COS 1 . :. 4x = π/2 + 2KTT x VZ 2 = + + K=-1 = - = = K-1 = + 2TT = k=0 = + 2TT = OK! = OK!NO T RICAS Resolva a seguinte inequação sen x> 1/2, Resolva a seguinte inequação sen X ≤ 52/2, considerando 0 intervalo considerando sen X= 1/2 sen = SIT 4 19 6 6 S { XEIRMatrizes Amxn m linhas n colunas matriz aij i refere-se à linha j refere- se à coluna lei de formação Construa a matriz tal que ais i+j, se i-2,seiOperações MATRIZ Só soma matrizes se estas Só é possível multiplicar duas A3x4. Buxz = C3x2 tiverem a mesma ordem. matrizes se 0 número de colu- : OK! Para obter a matriz oposta da 1° matriz for igual ao de A, troca- se sinal dos número de linhas da elementos. Calcule seguinte produto: macete Resolva a equação matricial = D3x3 + = = + 23 1-1 A= 12 3) 1 5 2 -1 4 7 Azx3. = Czxz 1 -1 2 1 -5 23 -1 22 25 4-5 Czz 13 -3-1-6 multiplica e soma!Propriedades P6: : quando Ae B são tais MATRIZ se Aé uma matriz quadrada matriz de ordem n: que AB=BA, diz-se que AeB = A⁻¹. A = In In = In. An = An comutam. Se uma matriz não for P2: se uma matriz mxn, Determine xe y de modo que inversível, dizemos que ela com m In= Amxn (12) 10 e xy 01 1) comutem: é uma matriz singular. Determine a inversa da associativa (AB)C = A (BC) AB= (2x 1+2y) matriz A= distributiva 2x = A(B+C) = AB + AC (A+B)C : AC + BC : - 2x=1 1/2 a multiplicação de matrizes 1+2y = b+3d=1 x(-2) não é comutativa, ou seja, para duas matrizes quaisquer A e Bé falso que b=-5Se uma matriz A for de ordem teorema de seu determinante é dado pelo pro- A11= 33 4 8 = duto dos elementos da D.P. menos = - 28 0 produto da D.S. Menor complementar Seja M= = 2 13-1 calcule DM e D21 34 = 5 -30 2 3 = 75 1 2 1 4 7 - (10-21) = 11 regra Ole sarrus = -30 - 47 3 4 1 3 5 2 3 5 2 = 4 2 1 4 = 4 3 -1 7 = 21 + 4 = 25 4-9 + 80 - 8 + 12 - 30 = 49 Cofator (A) (-1) Dij Seja M= calcule 148 75 3Propriedades P1: matriz transposta P3: se multiplicarmos uma Pu: troca de filas paralelas Se M é uma matriz de ordem n fila qualquer de uma matriz Se trocarmos de posição e Mt a sua det M. M de ordem n por um número duas filas paralelas de uma teremos uma nova matriz M' matriz M de ordem n, tere- Seja 24 calcule det det M'= K. det M mos uma nova matriz 3 Se M é uma matriz de ordem n, det M' = - det M det = 21 então: det (K.M) = det M. 5 3 = 2 35 =-2 = det =6-4=2 = 43 M = 1 3 M' 19 -2-4 -2 4 - fila nula det M= 10 det M' 30 filas paralelas iguais Se elementos de uma fila qual- proporcionais quer de uma matriz M de ordem n Seja A uma matriz quadrada Se uma matriz M de ordem n forem todos nulos, então det de ordem 3 e det Determine possui duas filas paralelas valor sabendo que det iguais det det A = 8.5 = 40 det x 0 40 = 10 + x 1 I x=30 x 30 2 y 9 = 0 1 7Propriedades P6: combinação linear de filas P₈: teorema de binet Seja A= calcule det paralelas Se Ae são matrizes qua- -1 3 Se uma matriz M de ordem dradas de ordem n, então det = 1 = 1 = 1 n possui uma fila que é com- det (A.B) = detA. detB detA 9-5 4 binação linear de outras filas paralelas, então det Seja A= 24 P10: teorema de jacobi , M= 123 2° coluna=3° 13 42 Adicionando a uma fila de 437 1+2=3 = determine det (3A. uma matriz M, de ordem n, 235 det A" = (det uma outra fila paralela, pre- det 3A. det det viamente multiplicada por matriz triangular det A. det (B.B) det B=10 uma constante, obteremos 0 determinante de uma matriz -det A. (det uma nova matriz M', tal que triangular é produto dos ele- = 1800 det M det M! mentos da D.P. 1 a Pa: teorema da matriz inversa 12-54 12-54 1 047 = 12 Se M é uma matriz quadrada 2789 03 18 1 = 0 0 3 de ordem n e é então 0 2 6 0026 det = 1 000-1 000-1 det MRegra de Chio passos 5. Calcule esse novo determinante 1. Escolher um elemento igual a e multiplique por Esses 1 da matriz. Se não tiver um índices correspondem à posição elemento igual a utilize O teo- do elemento escolhido. rema de Jacobi para obter uma nova matriz que possua 1 242 7-6 5 - 12 6-6 mento igual a 1. 3 756 = 10-2 -4-4 5 - 2 = 1 8-6 2-12 3-6 2. Suprima a linha e a coluna no 3 823 qual se encontra elemento 1 escolhido. 7 0 1 8 8 3 8 - 3. Forme uma nova matriz ape- 2 -10-3 is has com elementos restantes. (-1) 4. Subtraia de cada um desses elementos 0 produto dos elemen- tos correspondentes que foram suprimidos.de Os elementos da segunda linha são chamados de elementos caracteristicos da matriz. Calcule 1 1 1 1 matriz das potencias 2 1 -3 5 4 1 9 25 a° 2° 3° 8 1 -27 125 1 1 1 1 a Z 3 (2,1,-3,5) a² 4 9 det 8 ,27 det V = - 1920 0 deter minante de uma matriz de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças possíveis entre elementos característicos, com a condição de que nas diferenças, se subtraia 0 termo de maior índice pelo de menor índice.DE e a matriz inversa Dada uma matriz M, de ordem n, a inversa dessa matriz representada A= 2) A'= por M⁻¹, só existe se det M #0. = Dij Para 05 valores m existe a inversa da matriz 3)? 3 3 m = = 131=-3 = det #9 m matriz inversa matriz dos cofatores Se M é uma matriz quadrada de ordem n e det a inversa -2 . -2 1 Seja M uma matriz quadrada de de M⁻¹= 1 . n. Chamamos de matriz dos detM M cofatores de M, e indicamos por MI, 2 -3 4 1 a matriz que se obtém substituindo cada elemento de M por seu cofator. A= 3 1 4 2) det A= 3/2