Aula 02 - Vibrações Não Amortecidas Livres

Prévia do material em texto

Mecânica Aplicada - UNIFACS Vibrações Mecânicas - UNIFACS 
Vibrações Não-amortecidas 
Livres – 1GL
2
• Força Elástica:
 Restauradora;
 Converte energia cinética em potencial;
 Lei de Hook.
• Não dissipativo;
• Não possui força externa (excitação).
1. Movimento Harmônico Simples:
 Sistema Massa-mola:
xkFel .
 Segunda Lei de Newton:
amRF . 
 k = constante de rigidez;
 X = deslocamento ou elongação.
 m = massa;
 a = aceleração.
3
2. MHS – Abordagem Matemática :
 Equação Diferencial que Descreve o Movimento da
Massa:
0..  xkxm 
• Seja o sistema massa-mola e a aplicação das Leis de 
Newton, teremos:
4
 Solução da Equação Diferencial:
).cos(.).(.)( tBtsenAtx  
• Freqüência circular ou freqüência natural: (rad/s) 
m
k
).(.)(   tsenXtx
• Considerando:




)(.
)cos(.


senXB
XA  




A
Barctg
BAX

22











)().()cos().cos()cos(
)().cos()().cos()(
)().()cos().cos()cos(
)().cos()().cos()(
bsenasenbaba
bsenaasenbbasen
bsenasenbaba
asenbbsenabasen
• Usando a Trigonometria:
5
 Condições de Contorno:
  ).cos(.).(.)( 00 txtsenxtx  

 
).(.)(   tsenXtx










0
0
2
0
2
0
.
x
xarctg
xxX




• Sejam as condições iniciais:




0
0
)0()0(
)0(
xvx
xx

6
 Obs:
 O movimento é harmônico;
 O movimento é periódico;
 X é a amplitude do movimento;
  é o ângulo de fase e contém
a informação do início do movimento.
7
)2.(.).cos(.)(
  tsenXtXtx 
 Velocidade e Aceleração:
).(.).(.)( 2   tsenXtsenXtx 
8
3. Vibração Torcional :
• Eixo elástico de rigidez torcional kT com 
massa desprezível;
• Disco rígido com momento de inércia I 
(kg.m2);
• Momento torsor por unidade do ângulo
de torção (N.m/rad):
 Considerações:
 
TkT 
 Equação Diferencial: 0.  
I
kT
9
 Solução da Equação Diferencial:
).(.)(   tsent
 Obs:
 A resposta é idêntica ao massa-mola;
  representa a amplitude do deslocamento angular;
  e  são as constantes da solução obtidas a partir das
condições iniciais;
 A freqüência natural é dada por: (rad/s) 
I
kT
10
4. Vibração Angular :
• Fio de comprimento “L”, inextensível e de 
massa desprezível;
• Considerar a massa pequena e concentrada.
 Considerações:
 .mLI 2
 Equação Diferencial: 0)(sen.
L
g 
 Momento de inércia:
 Equação Diferencial não-linear.
11
 Linearização:
• Sabemos que:

!9!7!5!3
)(
9753 sen

!8!6!4!2
1)cos(
8642 
• Para pequenos valores de  podemos considerar:




1)cos(
)(

sen
 Equação Diferencial: 0.
L
g 
 Solução: ).(.)(   tsent
12
5. Molas Equivalentes :
 Em sistemas vibratórios pode
ser conveniente substituir o
elemento elástico por uma mola
equivalente.
3eq L
I.E.3k 
 Viga Engastada com Massa na Extremidade :
 E = módulo de elasticidade;
 I = momento de inércia da seção;
 L =comprimento da viga.
13
 Viga Bi-apoiada nas Extremidades:
 Barra com Massa na Extremidade:
3eq L
I.E.48k 
 E = módulo de elasticidade;
 I = momento de inércia da seção;
 L =comprimento da viga.
L
A.Ekeq 
 E = módulo de elasticidade;
 I = momento de inércia da seção;
 L =comprimento da viga.
14
 Molas em Paralelo:




n
n
FFFFP 

321
321



n
i
ieq kk
1
• Condições:
15
 Molas em Série:




n
n
FFFFP 

321
321
neq kkkkk
11111
321
 
• Condições:
16
6. Método da Energia:
 A equação diferencial pode ser obtida através do
princípio da Conservação da Energia. Para o caso das
vibrações livres sem amortecimento, a energia total do
sistema deve permanecer constante.
PCM EEE 
 EM = Energia mecânica;
 EC = Energia cinética;
 EP = Energia potencial.
• Sabemos que:
2
. 2xmEC

2
. 2xkEP 
  0
dt
EEd
dt
dE PCM Energia Constante: