Gabarito Métodos Determinísticos

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AP2 — Métodos Determinísticos II — 1º Semestre/2026 • GABARITO
AP2-GABARITO-2026/1
Métodos Determinísticos II
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1
E 2.
Considere a função descrita por
f(x) =

x2 − 1
x + 1 se x ̸= −1
0 se x = −1
,
.
Questão 1. [1,0 pto] Determine os pontos onde a função é contínua.
Solução:
Note que o limite de f se x → −1 é indeterminado, 0/0. Se x ̸= −1, temos f(x) =
x2 − 1
x + 1 = (x − 1)(x + 1)
x + 1 , donde, cancelando o fator x + 1, obtemos que f(x) = x − 1.
Portanto, limx→−1 f(x) = −1 − 1 = −2. Dado que o limite da função é diferente da
imagem de f em −1, então f não é contínua neste ponto, mas é contínua em todos os
outros números reais diferentes de −1.
Questão 2. [2,0 pto] Considerando sua resposta na questão anterior, determine os
valores das derivadas f ′(0) e f ′(−1), caso existam. Se não existirem, justifique.
Solução:
Na questão 1, vimos que f não é contínua em −1. Logo, não existe a derivada f ′(−1).
Entretanto, f ′(0) pode ser calculada utilizando a Regra do Quociente:
f ′ = (g/h)′ = h · g′ − g · h′
h2 = (x + 1) · (2x) − (x2 − 1) · 1
(x + 1)2 .
Já que desejamos saber o valor apenas de f ′(0), basta substituir 0 na expressão en-
contrada acima, e portanto f ′(0) = 1.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 3
E 4.
Considere a função f(x) = 4x3 + x2 − 2x.
Questão 3. [1,5 pto] Determine onde a função f(x) é crescente/decrescente em seu
domínio, utilizando as técnicas de derivação aprendidas.
Solução:
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Temos f ′(x) = 3 · 4x2 + 2x − 2 = 12x2 + 2x − 2. Para encontrar pontos críticos, devemos
procurar os zeros desta função derivada: no caso, 12x2 + 2x − 2 = 2(6x2 + x − 1) = 0 se
6x2 + x − 1 = 0. Daí, ∆ = 1 − 4 · 6 · (−1) = 25, donde os zeros são x1 = −1 + 5
2 · 6 = 1/3 e
x2 = −1 − 5
2 · 6 = −1/2.
Vamos fazer um estudo de sinal: como y = 12x2 + 2x − 2 tem como gráfico uma parábola
com a concavidade para cima, temos y > 0 antes de x2 = −1/2 e y