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Faculdade de Tecnologia e Ciências de Feira de Santana DISCIPLINA: Calculo numérico Turma: _______________ DOCENTE: Daniel Alves de Brito DATA: ___/____/2016 DISCENTE: ________________________________________________________________ Método de Newton-Raphson ou Tangente Nosso objetivo em Cálculo Numérico é utilizar os métodos numéricos na solução de problemas matemáticos, através de algorítmos. Isaac Newton (1642–1727) publicou seu método para encontrar raı́zes de equaçõesnão-lineares em 1687. Este método também é conhecido como Newton-Raphson, devido à sistematização apresentada por Joseph Raphson em 1690. O método de Newton combina duas idéias comuns nas aproximações numéricas: linearização e iteração. A linearização substitui a curva y = f (x) por sua reta tangente. Seja x0 uma aproximação inicial da raiz, como ilustra a figura abaixo. Aproximando a curva y = f (x) por sua reta tangente traçada no ponto (x0 , f (x0)) obtemos a aproximação linear. Encontrando o ponto de intersecção desta reta com o eixo x, obteremos uma nova aproximação para a raiz, o ponto x1 da figura. Algorítmo Convergência Características Esse método não trabalha com intervalos Se um ponto inicial xo não converge, procurar outro ponto. Em algunso caso a convergência é bem rápida. Vantagens e desvantagens do método de Newton-Raphson Vantagens: ➔ Quando converge, tem convergência quadrática .➔ Necessita apenas de um ponto, para estimativa inicial. Desvantagens: ➔ Exige uma boa aproximação inicial. Caso contrário pode divergir, ou encontrar outra raiz. ➔ Exige o cálculo da derivada em cada iteração, o que pode ser lento ou mesmo impossível. ➔ Exige que a derivada (no denominador) nunca se anule. Note que, mesmo para valores da derivada próximos de zero, a intersecção da tangente com o eixo dos XX é um ponto muito afastado.. Atividades 01. Utilize o método de Newton-Raphson para obter a função f(x) = x4 – 3x3 + 5x - 1 sendo xi = 3. 02. Utilize o método de Newton-Raphson para obter a função f(x) = e2x - 3 - 2x sendo xi = 2. 03. Verifique se a função f(x) = x4 – 3x3 - x + 1 possui raiz no intervalo I =[0;1] e I = [3;4] 04. Calcule o numero de iterações necessárias para a função f(x), com erro de ε = 10-2 no intervalo I = [0;1] e I = [3,4]. Atividade avaliativa em grupo (20,0 pontos) – ENG4AN Os alunos deverão criar um roteiro de estudos sobre o método da Falsa Posição, nesse roteiro deverá conter: A descrição do algorítmo. O gráfico mostrando o processo do algorítmo. A convergência. As características. Exemplos de equações resolvidas. Comparação desse método com o método da bisseção (quanto a convergência). Comparação desse método com o método de Newton-Rapson (quanto a convergência). Calculo Numérico ENG4AN – Sala 37 Segunda e Terça Data de entrega do trabalho: 09 de maio de 2016. Atividade avaliativa em grupo (20,0 pontos) – CIV4AN Os alunos deverão criar um roteiro de estudos sobre o método da Secante, nesse roteiro deverá conter: A descrição do algorítmo. O gráfico mostrando o processo do algorítmo. A convergência. As características. Exemplos de equações resolvidas. Comparação desse método com o método da bisseção (quanto a convergência). Comparação desse método com o método de Newton-Rapson (quanto a convergência). Observações: Turmas ENG4N e CIV4AN - Este trabalho é será em equipe (5 pessoas). - Você deverá citar as referencias bibliográficas. - Em hipotese nenhuma esse trabalho será aceito antes nem depois da data estabelecida. - O grupo de pesquisa não deverá compartilhar o trabalho com outros grupos, não havendo prejuzido no resultado final. - Lembre-se que esse trabalho sobre a criação de um roteiro de estudos já foi trabalhado em sala de aula com o método da bisecção e Newton-Raphson. Calculo Numérico CIV4AN – Sala 22 Terça Data de entrega do trabalho: 10 de maio de 2016. � � � � � �
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