Conjuntos e Operações Matemáticas

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Análise Combinatória, Probabilidades e Aplicações
Curso de Verão 2024 - IME/USP
Conjuntos I
Conjuntos
Um conjunto é um modelo matemático para caracterizar coleções não ordenadas de elementos.
Exemplos:
• O conjunto dos números naturais de 1 a 5: A = {1, 2, 3, 4, 5}.
• O conjunto das vogais: B = {”A”, ”E”, ”I”, ”O”, ”U”}.
• O conjunto de todas as palavras da ĺıngua portuguesa: C = {”a”,”aba”,...,”zurros”,”zurrou”}.
Utilizamos o śımbolo ”∈” (ou ”/∈”) para denotar que um elemento pertence (ou não) a um conjunto.
Exemplos:
• 5 ∈ A e 43 /∈ A
• ”I” ∈ B e ”P” /∈ B
• ”verde”∈ C e ”green”/∈ C
Definindo conjuntos a partir de propriedades
É muito comum denotar um conjunto por elementos que satisfazem alguma propriedade, no estilo
A = {x |x possui determinada propriedade}
Teŕıamos que
x ∈ A ⇐⇒ x possui determinada propriedade
x /∈ A ⇐⇒ x não possui determinada propriedade
OBS: Também é posśıvel utilizar ; no lugar de — para esse tipo de notação.
Exemplos:
• Conjunto dos números pares positivos: D = {2, 4, 6, ...} = {x |x = 2k para algum k ∈ {1, 2, 3, ...}}.
– 100 ∈ D, pois 100 = 2k quando k = 50.
– 50 ∈ D, pois 50 = 2k quando k = 25.
– 51 /∈ D, pois não existe k ∈ {1, 2, 3, ...} tal que 51 = 2k.
• Conjunto dos pares maiores do que 50: E = {x > 50 |x = 2k para algum k ∈ {1, 2, 3, ...}}, ou,
de maneira equivalente, E = {x ∈ D |x > 50}.
– 100 ∈ E, pois 100 ∈ D e 100 > 50.
– 50 /∈ E, pois, apesar de 50 ∈ D, não vale que 50 > 50.
– 51 /∈ E, pois 51 /∈ D.
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Conjuntos famosos na matemática
• Números naturais: N = {1, 2, 3, ...}.
• Números inteiros: Z = {...,−2,−1, 0, 1, 2, ...}.
• Números racionais: Q = {x
y |x ∈ Z, y ∈ N}.
• Números reais: R.
• Números complexos: C.
• Conjunto vazio: ∅ = {}
Conceitos importantes
Subconjuntos
Dizemos que A é subconjunto de B, ou que A está contido em B quando
x ∈ A =⇒ x ∈ B (x ∈ A implica que x ∈ B).
Essa relação é denotada por A ⊂ B, e pode ser interpretada como na figura: Exemplo: A = {1, 2} e
B = {1, 2, 3, 4}. Vale que
• A ⊂ B pois todo elemento de A está em B, isto é:
x ∈ A =⇒

x = 1
ou
x = 2
=⇒ x ∈ B
• B ̸⊂ A pois existe ao menos um x (por exemplo, x = 4) tal que x ∈ B e x ̸∈ A, portanto x ∈ B
não implica em x ∈ A.
OBS:
1 Para qualquer conjunto A, vale que ∅ ⊂ A.
– Podemos mostrar isso ao perceber que NÃO vale ∅ ̸⊂ A, já que é imposśıvel exibir um x ∈ ∅
e x /∈ A.
2 Dois conjuntos são iguais quando cada um está contido no outro, isto é
A = B ⇐⇒

A ⊂ B
e
B ⊂ A
Conjunto das partes
Seja A um conjunto, definimos o conjunto das partes, denotado por P (A) ou 2A, como
P (A) = {B|B ⊂ A}.
Portanto, os elementos de P (A) também são conjuntos, aqueles que estejam contidos em A.
Exemplo: A = {1, 2, 3}. Vale que
• P (A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Note que {1, 2} ∈ P (A), mas {1, 2} ̸⊂ P (A)
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Cardinalidade
Seja A um conjunto, dizemos que sua cardinalidade, denotada por |A| ou #A, é o número de elementos
do conjunto.
Exemplos:
• |{1, 2, 3, 4, 5}| = 5
• |∅| = 0
• Sejam A = {0, 1, 2}, B = {25, 27, 47} e C = {x ∈ (1, 7)|x é par}. Então
|A| = |B| = |C| = 3
Além disso, um conjunto A é dito finito se existe um n ∈ N tal que |A| = n.
Operações entre conjuntos
União e intersecção
Para dois conjuntos A e B, podemos definir a união deles por
A ∪B = {x |x ∈ A ou x ∈ B}
e a intersecção deles por
A ∩B = {x |x ∈ A e x ∈ B}
Exemplo: Se A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}, então
• A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5}
• A ∩B = {3}
Similarmente, para n conjuntos A1, A2,..., An, podemos definir a união de todos eles por
∪n
i=1Ai = A1 ∪A2 ∪ ... ∪An = {x |x ∈ A1 ou x ∈ A2 ou ... ou x ∈ An}
e a intersecção de todos eles por
∩n
i=1Ai = A1 ∩A2 ∩ ... ∩An = {x |x ∈ A1 e x ∈ A2 e ... e x ∈ An}
x ∈ ∪n
i=1Ai se x pertence a PELO MENOS UM dos conjuntos A1, A2, ..., An. x ∈ ∩n
i=1Ai se x
pertence a TODOS os conjuntos A1, A2, ..., An.
Exemplos:
• Seja Ai = {i} para i = 1, 2, 3, ..., n. Então
∪n
i=1Ai = {1} ∪ {2} ∪ ... ∪ {n} = {1, 2, ..., n}
∩n
i=1Ai = {1} ∩ {2} ∩ ... ∩ {n} = ∅
3
• Sejam B1 = {0, 1, 2}, B2 = {0, 2, 3} e B3 = {0, 3, 4}. Então
∪3
i=1Bi = {0, 1, 2} ∪ {0, 2, 3} ∪ {0, 3, 4}
= {0, 1, 2, 3, 4}
∩3
i=1Bi = {0, 1, 2} ∩ {0, 2, 3} ∩ {0, 3, 4} = {0}
Conjuntos disjuntos
Dois conjuntos A e B são ditos disjuntos quando A ∩B = ∅.
Dizemos que os conjuntos A1, A2,..., An são dois a dois disjuntos quando cada par é disjunto, ou
seja, Ai ∩Aj = ∅ para todo i, j ∈ {1, 2, ..., n} com i ̸= j
Exemplo: A = {1, 5}, B = {2, 6}, C = {3, 7}, D = {4, 5}.
No exemplo, A,B e C são dois a dois disjuntos, assim como B,C e D. Porém A,B,C e D não são
dois a dois disjuntos.
OBS: A1, A2,..., An dois a dois disjuntos =⇒ ∩n
i=1Ai = ∅, mas ∩n
i=1Ai = ∅ ̸ =⇒ A1, A2,..., An
dois a dois disjuntos
Conjunto diferença
Sejam dois conjuntos A e B. A diferença entre A e B, escrita como A \B ou A−B, é dada por
A \B = {x |x ∈ A, x /∈ B}
Exemplos: Se A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}, então
• A \B = {1, 2}
• B \A = {4, 5}
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Complementar
Usualmente, existe um conjunto (as vezes impĺıcito) universal denominado Ω, e todos os conjuntos em
um determinado contexto estão contidos em Ω. Nesse caso, podemos definir o conjunto complementar
de A, denotado Ac ou Ā, como
Ac = Ω \A = {x ∈ Ω|x /∈ A}
Exemplo: um experimento consiste em jogar duas moedas, seja A o evento em que as duas moedas
apresentam resultados diferentes.
• A = {(cara,coroa),(coroa,cara)}
• Ac = {(cara,cara),(coroa,coroa)}
onde Ω = A ∪Ac é o conjunto de todos os posśıveis resultados.
Produto cartesiano
Sejam A e B dois conjuntos. O produto cartesiano entre A e B, denotado por A×B, é dado por
A×B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}
em que (a, b) é um par ordenado. Isso significa que, enquanto {a, b} = {b, a} pois conjuntos são não
ordenados, vale que (a, b) ̸= (b, a) se b ̸= a pois pares ordenados são ordenados.
Exemplo: A = {5, 10, 15} e B = {10, 20}
• A×B = {(5, 10), (5, 20), (10, 10), (10, 20), (15, 10), (15, 20)}
• B ×A = {(10, 5), (10, 10), (10, 15), (20, 5), (20, 10), (20, 15)}
OBS: É posśıvel utilizar a notação de elevado para descrever o produto cartesiano de um mesmo
conjunto repetidas vezes. Exemplo: B2 = B ×B = {(10, 10), (10, 20), (20, 10), (20, 20)}
Partição
Seja A um conjunto finito não vazio. Uma famı́lia de conjuntos A1, A2, ..., Ak é uma partição de A se:
1) Ai ̸= ∅ para todo i ∈ {1, 2, ..., k}
2) A1 ∪A2 ∪ ... ∪Ak = A para todo i ∈ {1, 2, ..., k}
3) A1, A2, ..., An são dois a dois disjuntos.
Exemplos:
• Os conjuntos {0}, {1, 7} e {4} formam uma partição de {0, 1, 4, 7}.
• Os conjuntos {x ∈ N|x é par} e {x ∈ N|x é ı́mpar} formam uma partição de N
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