Propriedades de Conjuntos

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Análise Combinatória, Probabilidades e Aplicações
Curso de Verão 2024 - IME/USP
Conjuntos II:
Propriedades e Demonstrações
Principais propriedades
Teorema (Morgado et al. (2020)). Sejam A,B e C subconjuntos de Ω. Vale que
1. A ∪ ∅ = A;A ∩ ∅ = ∅
2. A ⊂ B se e somente se A ∩B = A
3. A ⊂ B se e somente se A ∪B = B
4. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C
5. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C
6. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
7. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
8. A ∪Ac = Ω;A ∩Ac = ∅; ∅c = Ω;Ωc = ∅
9. (Ac)c = A;A ⊂ B se e somente se Bc ⊂ Ac
10. (A ∪B)c = Ac ∩Bc
11. (A ∩B)c = Ac ∪Bc
Veremos as demonstrações de algumas dessas e de outras propriedades:
Demonstração 1: A ⊂ B se e somente se A ∩B = A
• Mostrar que A ⊂ B ⇒ A ∩B = A
Suponha que A ⊂ B. Vale que
x ∈ A ∩B ⇐⇒

x ∈ A
e
x ∈ B
É sempre válido que

x ∈ A
e
x ∈ B
⇒ x ∈ A. Por outro lado, como A ⊂ B, também é válido que

x ∈ A
e
x ∈ B
⇐ x ∈ A.
Portanto, x ∈ A ∪B ⇐⇒ x ∈ A, e conclúımos que A ∪B = A.
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• Mostrar que A ⊂ B ⇐ A ∩B = A
Suponha que A ∩B = A. Portanto, vale que
x ∈ A ⇒ x ∈ A ∩B ⇒

x ∈ A
e
x ∈ B
⇒ x ∈ B
Logo, A ⊂ B
Demonstração 2: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
• Mostrar que A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
Suponha que x ∈ A ∪ (B ∩ C). Vale que x ∈ A ou x ∈ (B ∩ C). Mostraremos que x ∈
(A ∪B) ∩ (A ∪ C) em qualquer um dos dois casos.
– x ∈ A ⇒

x ∈ A ou x ∈ B
e
x ∈ A ou x ∈ C
⇒ x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
– x ∈ (B ∩ C) ⇒

x ∈ B
e
x ∈ C
⇒

x ∈ A ou x ∈ B
e
x ∈ A ou x ∈ C
⇒ x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
Portanto, A ∪ (B ∩ C) ⊂ (A ∪B) ∩ (A ∪ C).
• Mostrar que A ∪ (B ∩ C) ⊃ (A ∪B) ∩ (A ∪ C)
Suponha que x ∈ (A ∪B) ∩ (A ∪ C). Então vale que
x ∈ A ou x ∈ B
e
x ∈ A ou x ∈ C
(1)
Será sempre válida uma das duas opções: x ∈ A ou x /∈ A.
– Caso x ∈ A, já é automaticamente válido que x ∈ A ∪ (B ∩ C)
– Caso x /∈ A, por (1) deve valer que x ∈ B e x ∈ C, portanto x ∈ A ∪ (B ∩ C)
Demonstração 3: A ⊂ B ⇐⇒ P (A) ⊂ P (B)
• A ⊂ B ⇒ P (A) ⊂ P (B)
Suponha que A ⊂ B. Seja C um conjunto que é elemento de P (A).
C ∈ P (A) ⇒ C ⊂ A
(∗)⇒ C ⊂ B ⇒ C ∈ P (B)
em que (*) segue pois
x ∈ C
C⊂A⇒ x ∈ A
A⊂B⇒ x ∈ B
• A ⊂ B ⇐ P (A) ⊂ P (B)
Suponha que P (A) ⊂ P (B). Se x ∈ A, vale que {x} ⊂ A. Portanto
x ∈ A ⇒ {x} ∈ P (A) ⇒ {x} ∈ P (B) ⇒ x ∈ B
Demonstração 4: Se A e B são disjuntos, C ⊂ A e D ⊂ B, então C e D são disjuntos
Suponha que C e D não sejam disjuntos, ou seja C ∩D ̸= ∅. Então existe x ∈ C ∩D. Note que
x ∈ C ∩D ⇒

x ∈ C
C⊂A⇒ x ∈ A
e
x ∈ D
D⊂B⇒ x ∈ B
⇒ x ∈ A ∩B
Note que x ∈ A ∩ B é sempre falso, pois A ∩ B = ∅. Como supor que C e D não são disjuntos
implica logicamente em um absurdo, o erro tem que estar na premissa. Portanto C e D são disjuntos.
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