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Análise Combinatória, Probabilidades e Aplicações
Curso de Verão 2024 - IME/USP
Análise Combinatória:
Permutação simples
Permutação simples
O número de maneiras de se ordenar (permutar) n objetos é Pn = n! = n(n− 1)(n− 2)...1
um dos n objetos × um dos n objetos, exceto o primeiro × ... × o último objeto restante
n n− 1 1
Exemplo 1:
(a) Quantos são os anagramas (palavras que utilizam exatamente as mesmas letras) da palavra
CURSO?
Solução (a): P5 = 5! = 120, pois cada anagrama é uma ordenação diferente das letras C, U, R, S e
O
(b) Quantos anagramas da palavra CURSO terminam com uma vogal?
Solução (b):
Permutação das 4 letras restantes︷ ︸︸ ︷
× × × × O ou U
P4 = 4! 2
Portanto, a resposta é 4!.2=48
(c) Quantos anagramas da palavra CURSO possuem as letras RSO juntas e nessa ordem?
Solução (c): Podemos considerar que estamos permutando 3 elementos: ”C”, ”U” e ”RSO”. Por-
tanto a resposta é P3 = 3! = 6
(d) Quantos anagramas da palavra CURSO possuem as letras RSO juntas em qualquer ordem?
Solução (d): Para cada anagrama do item (c), temos 3! anagramas correspondentes em (d), pois
podemos permutas as letras RSO de P3 = 3! = 6 maneiras. Portanto a resposta é 6.6 = 36
(e) Quantos anagramas da palavra CURSO possuem as vogais e consoantes intercaladas?
Solução (e): Com 3 consoantes e 2 vogais, necessariamente as consoantes ocupam as posições 1,3 e
5; as vogais ocupam as posições 2 e 4. Resta permutar as consoantes de P3 = 3! maneiras e as vogais
de P2 = 2!, resultando em 3!2! = 12 combinações
(f) Quantos anagramas da palavra da palavra ILHADO possuem as vogais e consoantes intercal-
adas?
Solução (f): Se a primeira letra é vogal, permutamos as vogais nos espaços 1,3 e 5 e as consoantes
nos espaços 2,4 e 6, com um total de P3.P3 = 3!.3! = 36 maneiras. Se a primeira letra é consoante, o
procedimento é análogo, também com um total de 36 maneiras. Portanto, a resposta é 36+36=72
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Exemplo 2: Três livros de biologia, quatro de português e cinco de matemática serão colocados em
uma estante (dispostos em linha reta). De quantas maneiras distintas os livros podem estar dispostos:
(a) sem restrições?
Solução (a): Podemos reordenar 3 + 4 + 5 = 12 livros de P12 = 12! ≈ 479 milhões de maneiras
(b) de maneira que o primeiro e último livro sejam de biologia?
Dentre os 3 livros de biologia, escolhemos o primeiro de 3 maneiras e o último de 2 maneiras. Após
escolhido o primeiro e último livro, permutamos os 10 restantes de P10 = 10! maneiras
Portanto a resposta é 3.2.10! ≈ 22 milhões de maneiras.
(c) de maneira que os livros de cada assunto estejam juntos?
Solução (c): Podemos, de P3 = 3! maneiras, permutar três blocos, onde cada bloco é formado pelos
livros do mesmo assunto. Dentro do bloco de biologia, os 3 livros podem ser permutados de P3 = 3!
maneiras. Dentro do bloco de português, os 4 livros podem ser permutados de P4 = 4! maneiras.
Dentro do bloco de matemática, os 5 livros podem ser permutados de P5 = 5! maneiras.
Portanto a resposta final é 3!3!4!5! = 103680
(d) de maneira que os livros de cada assunto estejam juntos, e os 3 livros de biologia (Biologia 1,
Biologia 2 e Biologia 3) estejam na ordem?
Solução (d): Fazemos o mesmo procedimento anterior, mas sem permutar os livros dentro do bloco
de biologia. Agora, há apenas uma permutação permitida dentro desse bloco.
Portanto a resposta final é 3!4!5! = 17280 (também podeŕıamos considerar que para cada resposta
em d, há 3! = 6 respostas correspondentes no item c (que consideram também permutações dentre os
livros de biologia), e portanto teŕıamos 103680/6 = 17280 maneiras)
(e) de maneira que dois livros em espećıfico não estejam juntos?
Solução (e): Podemos considerar todas as permutações, exceto as quais os dois livros estejam
juntos. O resultado é P12 − P11P2, já que no primeiro caso, permutamos 12 livros; no segundo caso,
permutamos 11 coisas (os dois livros formam um bloco), onde os livros dentro do bloco podem permutar
de 2! maneiras.
Portanto, a resposta é P12 − P11P2 ≈ 399 milhões
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