Ajuste de curvas

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AAJJUUSSTTEE DDEE CCUURRVVAASS 
Ajuste de Curvas é um conjunto de técnicas numéricas que tem como objetivo ajustar 
curvas a um conjunto de dados para se obter estimativas intermediárias. As técnicas 
comumente utilizadas são: 
� Regressão: aplicada nos casos dos dados possuírem erros significativos. A 
curva obtida não intercepta, necessariamente, todos os pontos. 
� Interpolação: aplicada nos casos dos dados serem bastante precisos. A 
curva obtida deve interceptar todos os pontos. 
4.1 REGRESSÃO 
4.1.1.REGRESSÃO LINEAR 
Esse método consiste em determinar uma função linear que se ajuste aos pares de 
dados (x1, y1), (x2, y2), ..., (xN, yN): 
exaay ++= 10 , i = 1,2,3, ..., N. (4.1) 
N representa o número de pares. 
Os coeficientes 0a e 1a representam o ponto de interseção e a inclinação da 
função, respectivamente. O termo e representa o erro ou resíduo, entre o modelo 
desejado e os dados: 
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xaaye 10 −−= . (4.2) 
 Uma estratégia para determinar os coeficientes que melhor se ajustam ao 
modelo desejado é minimizar a soma dos quadrados dos resíduos: 
( )
2
1
10
1
2
∑∑
==
−−==
N
i
ii
N
i
i xaayeS . 
(4.3) 
Para se determinar os valores de 0a e 1a que melhor se ajustam a reta, 
diferencia-se a expressão (4.3) em relação a cada coeficiente: 
( )∑ −−−=∂
∂
ii xaay
a
S
10
0
2 . (4.4) 
( )[ ]∑ −−−=∂
∂
iii xxaay
a
S
10
1
2 . (4.5) 
 Igualando as equações (4.4) e (4.5) a zero, tem-se: 
∑ ∑ ∑ =−− 0i10i xaay . (4.6) 
∑ ∑ ∑ =−− 02i1i0ii xaxaxy . (4.7) 
 Resolvendo o sistema formado por essas duas últimas expressões, obtém-se: 
( )∑ ∑
∑ ∑ ∑
−
−
= 221
ii
iiii
xxN
yxyxN
a 
(4.8) 
xaya 10 −= , (4.9) 
sendo x e y médias de x e y, respectivamente. 
4.1.2.REGRESSÃO QUADRÁTICA 
Uma regressão quadrática consiste em determinar um polinômio de segundo grau 
que se ajuste aos dados disponíveis. Tem-se então: 
exaxaay +++= 2210 . (4.10) 
O erro ou resíduo entre o modelo desejado e os dados é obtido por: 
2
210 xaxaaye −−−= . (4.11) 
 Utilizando a mesma estratégia adotada anteriormente, obtém-se: 
( )2
1
2
210
1
2
∑∑
==
−−−==
N
i
iii
N
i
i xaxaayeS . 
(4.12) 
Diferenciando, tem-se: 
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( )∑ −−−−=∂
∂ 2
210
0
2 iii xaxaay
a
S
. 
(4.13) 
( )∑ −−−−=∂
∂ 2
210
1
2 iiii xaxaayx
a
S
. 
(4.14) 
( )∑ −−−−=∂
∂ 2
210
2
1
2 iiii xaxaayx
a
S
. 
(4.15) 
 Igualando a zero: 
( ) ( ) ( ) ∑∑∑ =++ iii yaxaxaN 2210 (4.16) 
( ) ( ) ( ) ∑∑∑∑ =++ iiiii xyaxaxax 23120 (4.17) 
( ) ( ) ( ) ∑∑∑∑ =++ 2241302 iiiii xyaxaxax , i = 1, 2, ..., N. (4.18) 
4.2 INTERPOLAÇÃO 
A equação geral que define um polinômio é da forma: 
( ) NN xa...xaxaaxf ++++= 2210 . (4.19) 
Embora para n+1 pontos exista apenas um polinômio de ordem n que 
intercepte todos os pontos, existe uma grande variedade de formas de expressar esse 
polinômio. As duas técnicas comumente utilizadas são: interpolação linear e 
quadrática. 
4.2.1.INTERPOLAÇÃO LINEAR 
A maneira mais simples de interpolação é conectar dois pontos através de uma reta, 
ou seja: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
01
01
01 xx
xx
xfxf
xfxf −
−
−
+= . 
(4.20) 
Em geral, quanto menor o intervalo entre os pontos interpolados, melhor a 
precisão. 
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4.2.2. INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA 
A interpolação quadrática consiste em encontrar os coeficientes da seguinte 
expressão: 
( ) ( ) ( )( )1020102 xxxxbxxbbxf −−+−+= . (4.21) 
 Expandido essa equação: 
( ) 12021022201102 xxbxxbxxbxbxbxbbxf −−++−+= . (4.22) 
 Comparando a equação (4.22) com a equação (4.19) tem-se: 
( ) 01222 axaxaxf ++= . (4.23) 
1020100 xxbxbba +−= . (4.24) 
120211 xbxbba −−= . (4.25) 
22 ba = . (4.26) 
 Os coeficientes b’s são obtidos por: 
( )00 xfb = . (4.27) 
( ) ( )
01
01
1
xx
xfxfb
−
−
= . 
(4.28) 
( ) ( ) ( ) ( )
02
01
01
12
12
2
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
b
−
−
−
−
−
−
= . 
(4.29) 
4.3 AVALIAÇÃO DOS MÉTODOS 
A avaliação dos métodos de regressão foi feita com os dados mostrados na tabela 4.1. 
O desempenho dos métodos é apresentado nas tabelas 4.2 e 4.3 e figuras 4.1 e 4.2. 
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Tabela 4.1. Dados para regressão. 
i xi yi 
1 1 4 
2 3 5 
3 5 6 
4 7 5 
5 10 8 
6 12 7 
7 13 6 
8 16 9 
9 18 12 
10 20 11 
Tabela 4.2. Regressão linear (a0 = 3,3888; a1 =0,3725). 
i xi yi ei2 
1 1 4 0,0570 
2 3 5 0,2438 
3 5 6 0,5606 
4 7 5 0,9925 
5 10 8 0,7854 
6 12 7 0,7374 
7 13 6 4,9784 
8 16 9 0,1216 
9 18 12 3,6339 
10 20 11 0,0260 
 Σ ei2 12,1367 
 
 37 
 
 
Figura 4.1. Dados e sua função de regressão linear. 
Tabela 4.3. Regressão quadrática (a0 = 4,4442; a1 = 0,0662; a2 =0,0146) 
i xi yi ei2 
1 1 4 0,2756 
2 3 5 0,0509 
3 5 6 0,7383 
4 7 5 0,3897 
5 10 8 2,0479 
6 12 7 0,1191 
7 13 6 3,1579 
8 16 9 0,0618 
9 18 12 2,6379 
10 20 11 0,3847 
 Σ ei2 9,8637 
 38 
 
 
Figura 4.2. Dados e sua função de regressão quadrática. 
A avaliação dos métodos de interpolação foi feita com os dados mostrados na 
tabela 4.4, os quais são provenientes da função ( ) xlogxf = . 
 O desempenho dos métodos é apresentado nas tabelas 4.5 e 4.6 e figuras 4.3 e 
4.4. 
Tabela 4.4. Dados para interpolação. 
i xi yi 
1 1 0 
2 2 0,6931 
3 3 1,0986 
4 4 1,3863 
5 5 1,6094 
6 6 1,7918 
Tabela 4.5. Interpolação linear. 
x0 x1 f(2) erro (%) 
1 3 0,5493 20,75 
1 4 0,4621 33,33 
1 5 0,4024 41,94 
1 6 0,3584 48,29 
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Figura 4.3. Interpolação linear. 
Tabela 4.6. Interpolação quadrática. 
x0 x1 x2 f(2) erro (%) 
1 3 4 0,6365 8,17 
1 3 5 0,6228 10,15 
1 3 6 0,6130 11,57 
1 4 5 0,5816 16,10 
1 4 6 0,5658 18,37 
1 5 6 0,5344 22,90 
 
 
 
 40 
 
Figura 4.4. Interpolação quadrática. 
 Nos exemplos apresentados de regressão utilizou-se a soma do quadrado dos 
erros para avaliar o erro obtido no ajuste. Quanto menor o erro, melhor o ajuste. 
Ao se interpolar dados deve-se, sempre que possível, utilizar pontos próximos 
daquele que se deseja estimar. Com esse procedimento, diminui-se o erro local, o 
qual é diretamente proporcional ao produto da diferença entre os pontos utilizados.