Lista de Exercícios Mecânica

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Instituto Federal de Santa Catarina Campus Joinville Mecânica dos Sólidos II INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA CAMPUS JOINVILLE MECÂNICA DOS SÓLIDOS II LISTA DE EXERCÍCIOS TRANSFORMAÇÕES INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO SANTA CATARINA Campus Joinville Professor: Miguel T. Bahia Curso: Engenharia Mecânica BLOCO 1: TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES (Método Analítico e Círculo de Mohr) Questão 1 Tensões em Elemento Inclinado O estado plano de tensão em um ponto da superfície de um componente mecânico é definido pelas seguintes componentes: 120 MPa, -60 MPa, Txy 80 MPa (a) Determine as tensões normais e de cisalhamento atuantes em um plano inclinado com orientação = 30° (sentido anti-horário a partir do eixo x), utilizando método analítico. (b) Determine as tensões principais σ₁ e e a orientação do plano principal correspondente. (c) Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e ângulo de rotação necessário para alcançar esse estado. (d) Resolva exercício usando Círculo de Mohr para estado de tensão dado e, a partir dele, confirme resultados obtidos anteriormente. (e) Esboce resultados em um elemento de tensão devidamente rotacionado em relação ao elemento original x-y. O esboço deve incluir a magnitude do ângulo entre eixos e n e uma indicação do sentido de rotação (ou seja, horário ou anti-horário). Questão 2 Estado Plano de Tensão a partir do Círculo de Mohr O Círculo de Mohr para um estado plano de tensão em um ponto de uma estrutura apresenta as seguintes características: Raio: R = 150 MPa Centro: C = 50 MPa A tensão principal máxima σ₁ está alinhada com eixo (ângulo de 90° em relação ao eixo x). (a) Determine as tensões principais e (b) Calcule as componentes do tensor de tensão para sistema de coordenadas original (x,y). (c) Determine a tensão normal e de cisalhamento para um plano cuja normal forma um ângulo de com O eixo x. (d) Esboce resultados em um elemento de tensão devidamente rotacionado em relação ao elemento original x-y. O esboço deve incluir a magnitude do ângulo entre OS eixos e n e uma indicação do sentido de rotação (ou seja, horário ou anti-horário). Engenharia Mecânica Página 1Instituto Federal de Santa Catarina Campus Joinville Mecânica dos Sólidos II Questão 3 Equações de Transformação de Tensões As equações de transformação de tensões para rotação de eixos são dadas por: Mostre que, para qualquer estado plano de tensão: (a) + (invariante de tensão). (b) A derivada da equação de em relação a Θ fornece a condição para OS planos principais. (c) O valor máximo da tensão de cisalhamento é Tmáx = 2 + BLOCO 2: TRANSFORMAÇÃO DE DEFORMAÇÕES (Método Analítico e Cír- culo de Mohr) Questão 4 Deformação de um Quadrado Infinitesimal Considere um quadrado infinitamente pequeno, de lado unitário no plano (x,y). As deformações no plano valem: (1/) Desenhe a figura deformada do quadrado. (2/) Determine as deformações principais e suas direções. (3/) Desenhe a figura deformada de um quadrado isolado nos eixos principais e de lado igual a 2. Quadrado de lado unitário 1 D C 1 A x Engenharia Mecânica Página 2Instituto Federal de Santa Catarina Campus Joinville Mecânica dos Sólidos II Questão 5 Análise Completa de Deformações O estado plano de deformação em um ponto de um componente estrutural é descrito pelo seguinte tensor: 2 600 150 X 10⁻⁶ 150 -200 2 Onde: deformação normal na direção Ey deformação normal na direção y = distorção angular (deformação de cisalhamento) Pede-se: (a) Determine as deformações normais e de cisalhamento para um sistema de coordenadas girado de = 30° no sentido anti-horário, utilizando: (i) As equações de transformação de deformações. (ii) O Círculo de Mohr para deformações. (b) Encontre as deformações principais (ε₁ e a deformação de cisalhamento máxima no plano e as respectivas orientações. (c) Considere agora que este mesmo ponto está submetido a um estado plano de tensão = 0) com módulo de elasticidade E = 200 GPa e coeficiente de Poisson = 0,3. Determine tensor de tensões correspondente a este estado de deformação. (d) Compare as orientações dos planos principais de deformação e de tensão obtidas no item (c). O que você conclui? Justifique fisicamente sua resposta. (e) Esboce em um único diagrama: (i) O círculo de Mohr para deformações; (ii) A indicação dos pontos correspondentes às deformações principais; (iii) A localização do ponto que representa as deformações no sistema girado de 30°. Questão 6 Determinação de Deformações a Partir de um Estado de Tensão Conhecido Um componente mecânico fabricado em liga de alumínio (E 70 GPa, v 0,33) está submetido ao seguinte estado plano de tensão em um ponto crítico: 120 MPa, MPa, Txy 40 MPa (a) Utilizando a Lei de Hooke generalizada para estado plano de tensão 0), determine tensor de deformações completo neste ponto. (b) Calcule as deformações principais e ε₂ no plano) e a deformação de cisalhamento máxima no plano. (c) Determine a deformação volumétrica e explique qualitativamente que este valor representa. (d) Se uma roseta retangular a 45° for instalada neste ponto, quais seriam as leituras esperadas nos extensômetros orientados a 0°, 45° e 90°? (e) Comparando este problema com item (c) da Questão 5, qual a principal diferença entre OS estados de tensão analisados e como isso afeta a deformação fora do plano? Engenharia Página 3Instituto Federal de Santa Catarina Campus Joinville Mecânica dos Sólidos II Questão 7 Relações entre Tensões e Deformações Planas Para um material isotrópico com módulo de elasticidade E = 210 GPa e coeficiente de Poisson v = 0,3, O estado plano de deformação em um ponto é dado por: 10⁻⁶, (a) Calcule tensor de tensões associado a este estado de deformação, considerando estado plano de deformação = 0). (b) A partir do tensor de tensões, determine ângulo dos planos principais de tensão. (c) Compare a orientação dos planos principais de tensão e deformação. O que se pode concluir? BLOCO 3: ROSETAS DE DEFORMAÇÃO Questão 8 Análise Comparativa de Rosetas de Deformação Uma estrutura metálica está sendo monitorada em um ponto crítico utilizando-se simultaneamente dois tipos diferentes de rosetas de deformação: uma roseta retangular a 45° e uma roseta delta a 60°. As leituras obtidas em ambas as rosetas, em foram: Roseta Retangular Roseta Delta 500 280 200 = 320 (a) Para cada roseta, determine separadamente estado plano de deformação no sistema de coordenadas x-y (com extensômetro 1/a alinhado com eixo x). (b) Calcule as deformações principais (ε₁ e ε₂) e a orientação dos eixos principais para cada uma das rosetas. (c) Compare OS resultados obtidos com OS dois tipos de roseta. Há diferenças significativas? Se sim, qual roseta você considera mais confiável para esta medição específica? Justifique sua resposta. (d) Discuta as vantagens e desvantagens de cada tipo de roseta em termos de (pesquisar!): (i) Sensibilidade a erros de alinhamento; (ii) Distribuição angular das medições; (iii) Facilidade de instalação; (iv) Precisão na determinação das deformações principais. (e) Se a estrutura for fabricada em aço (E 210 GPa, v 0,3), determine O estado plano de tensão considerando a superfície livre 0) e compare OS resultados obtidos a partir de ambas as rosetas. (f) Qual das duas rosetas você recomendaria para monitoramento contínuo de uma estrutura sujeita a carregamentos cíclicos? Justifique sua resposta com base na análise realizada. Engenharia Mecânica Página 4Instituto Federal de Santa Catarina Campus Joinville Mecânica dos Sólidos II Questão 9 Aplicação Prática: Roseta em Vaso de Pressão Um vaso de pressão cilíndrico de aço (E = 200 GPa, = 0,3) foi instrumentado com uma roseta retangular a 45° na superfície externa (estado plano de tensão). As leituras dos extensômetros foram: 450 (direção axial), 350 200 (direção circunferencial) (a) Determine as tensões axial e circunferencial atuantes no vaso. (b) Calcule a pressão interna sabendo que raio médio do vaso é r = 500 mm e a espessura da parede é t 10 mm. (c) Determine a tensão de cisalhamento máxima no plano e absoluta (3D) atuante no vaso. (d) Compare resultados com a teoria de vasos de pressão de paredes finas. BLOCO 4: LEI DE HOOKE Questão 10 Estado Tridimensional de Tensão Um elemento estrutural de alumínio (E = 70 GPa, v = 0,33) está submetido ao seguinte estado triaxial de tensão: MPa, 40 MPa, MPa, Txy MPa, Txz 10 MPa, Tyz 15 MPa (a) Determine tensor de deformação completo utilizando a Lei de Hooke Gene- ralizada. (b) Calcule a deformação volumétrica e módulo de compressibilidade (K) do material. (c) Determine a energia de deformação total armazenada no elemento. Questão 11 Estado Plano de Tensão e Deformação Fora do Plano Um elemento em estado plano de tensão 0) é feito de um material com E = 200 GPa e = 0,3. As deformações medidas na superfície são: (a) Determine as tensões e Txy. (b) Calcule a deformação (efeito de Poisson fora do plano). (c) Determine as deformações principais tridimensionais e a deformação de cisalhamento má- xima absoluta (d) Compare com Engenharia Mecânica Página 5Instituto Federal de Santa Catarina Campus Joinville Mecânica dos Sólidos II Questão 12 Relações Constitutivas e Invariantes Para a Lei de Hooke Generalizada em um material isotrópico: 1 1 (a) Mostre que primeiro invariante de deformação está relacionado ao primeiro invariante de tensão pela expressão: (b) Para um material com v = 0,5 (incompressível), que ocorre com a deformação volumétrica? Explique significado físico. (c) Derive a expressão para módulo de cisalhamento G em função de E e BLOCO 5: QUESTÕES COMPLEMENTARES Questão 13 Eixo de Transmissão com Carregamentos Combinados Um eixo circular maciço de aço (E = 210 GPa, = 0,3) com diâmetro d = 60 mm está submetido a um momento torçor T = 5 kN m, um momento fletor M = 3 kN m e uma força axial F = 50 kN simultaneamente. Considerando ponto mais crítico da superfície do eixo: (a) Determine tensor de tensões no ponto (b) Calcule as tensões principais e a tensão de cisalhamento máxima no plano. (c) Utilizando as leis de Hooke, determine estado de deformação no ponto. (d) Qual seria a leitura de uma roseta a 45° instalada na superfície do eixo? (e) Se um extensômetro for colado na direção axial (0°), qual deformação seria medida? Engenharia Mecânica Página 6Instituto Federal de Santa Catarina Campus Joinville Mecânica dos Sólidos II Questão 14 - Placa Submetida a Tensão Biaxial Uma placa de latão com espessura de 8 mm [E = 83 GPa; = 0,33] é submetida a um estado biaxial de tensões com σₓ = 180 MPa e = 65 MPa. As dimensões da placa são b = 350 mm e h = 175 mm (conforme figura). Determine: (a) A variação no comprimento das arestas AB e AD. (b) A variação no comprimento da diagonal AC. (c) A variação na espessura da placa. = 65 MPa D C Diagonal AC h = 175 mm = 180 MPa Espessura: b = 350 mm E = 83 GPa Engenharia Mecânica Página 7