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UNERJ – Centro Universitário de Jaraguá do Sul Departamento de Engenharia Elétrica Circuitos Elétricos Jaraguá do Sul João Marcio Buttendorff 2 Sumário 1 INTRODUÇÃO 6 2 VARIÁVEIS ELÉTRICAS 6 2.1 Sistema Internacional de Unidades 6 2.2 Corrente 7 2.3 Tensão 7 2.4 Potência 7 2.5 Energia 7 2.6 Notação 8 3 CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 8 3.1 Definição: 8 3.2 Fonte de Tensão Independente 8 3.3 Fonte de Corrente Independente 8 3.4 Fontes Dependente de Tensão e Corrente 9 3.5 Elementos Ativos no Circuito 9 3.6 Elementos Passivos no Circuito 10 4 RESISTÊNCIA ELÉTRICA (LEI DE OHM) 10 4.1 Características dos Resistores 11 4.1.1 Tipos de Resistores 12 4.1.2 Código de Cores 12 4.1.3 Interpretação do Código de Cores 12 4.1.4 Casos Especiais de Código de Cores 13 4.2 Exercícios 14 5 LEIS DE KIRCHHOFF 14 5.1 Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) 15 5.2 Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) 15 5.3 Exercícios 17 6 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES E RESISTÊNCIA EQUIVALENTE 20 6.1 Associação em Série de Resistores 20 6.2 Associação em Paralelo de Resistores 21 6.3 Associação Mista de Resistores 22 6.4 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Independentes 23 6.5 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Dependentes e Independentes 24 6.6 Transformação Estrela-Triângulo 25 6.6.1 Conversão de Triângulo para Estrela 25 6.6.2 Conversão de Estrela para Triângulo 25 6.7 Exercícios 26 7 DIVISOR DE TENSÃO E CORRENTE 29 7.1 Divisor de Tensão 29 7.2 Divisor de Corrente 30 7.3 Exercícios 32 8 MÉTODO DE ANÁLISE DE MALHAS 34 8.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso 34 8.2 Aplicação da LTK para as Malhas 34 8.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 34 8.4 Solução do Sistema de Equações 35 8.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos 35 João Marcio Buttendorff 3 8.6 Exemplo de Aplicação 35 8.6.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso 36 8.6.2 Aplicação de LTK para as Malhas 36 8.6.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 36 8.6.4 Solução do Sistema de Equações 37 8.6.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos 37 8.7 Análise de Malhas com Fontes de Corrente 38 8.8 Exemplo de Aplicação 39 8.9 Exercícios 41 9 MÉTODO DE ANÁLISE NODAL 45 9.1 Seleção do Nó de Referência 45 9.2 Aplicação da LCK aos Nós 45 9.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 45 9.4 Solução do Sistema de Equações 46 9.5 Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos 46 9.6 Exemplo de Aplicação 46 9.6.1 Seleção do Nó de Referência 47 9.7 Aplicação da LCK aos Nós 47 9.7.1 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos 47 9.7.2 Solução do Sistema de Equações 47 9.7.3 Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos 48 9.8 Análise Nodal com Fontes de Tensão 48 9.9 Exercícios 51 10 SUPERPOSIÇÃO 54 10.1 Exemplo de Aplicação 54 10.2 Exercícios 55 11 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E NORTON 57 11.1 Introdução 57 11.2 Circuito Equivalente de Thévenin 57 11.3 Circuito Equivalente de Norton 58 11.4 Exemplo de Aplicação 59 11.5 Exercícios 60 12 Indutores e Capacitores 63 12.1 Indutor 63 12.2 Associação de Indutores 65 12.3 Capacitor 67 12.4 Associação de Capacitores 69 12.5 Exercícios 71 13 ANÁLISE DE CIRCUITOS SENOIDAIS 72 13.1 Fontes Senoidais 72 13.2 Exemplo de Aplicação 74 13.3 Exercícios 75 14 FASORES 76 14.1 O Conjugado de um Número Complexo 77 14.2 Soma de Números Complexos 78 14.3 Subtração de Números Complexos 78 14.4 Multiplicação de Números Complexos 78 14.5 Divisão de Números Complexos 79 14.6 Exercícios 79 João Marcio Buttendorff 4 15 RESPOSTAS DOS COMPONENTES PASSIVOS A FONTES SENOIDAIS 80 15.1 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Resistivo 80 15.2 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Puramente Indutivo 81 15.3 Comportamento da Tensão e da Corrente em um Circuito Puramente Capacitivo 83 15.4 Impedância e Reatância 84 15.5 Exemplo de Aplicação 85 15.6 Exercícios 86 16 ASSOCIAÇÃO DE IMPEDÂNCIAS 87 16.1 Associação em Série de Impedâncias 87 16.2 Associação em Paralelo de Impedâncias 88 16.3 Transformação Estrela-Triângulo 89 16.3.1 Conversão de Triângulo para Estrela 89 16.3.2 Conversão de Estrela para Triângulo 89 16.4 Exemplo de Aplicação 90 16.5 Exercícios 92 17 MÉTODO DE ANÁLISE DE MALHAS NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA 95 17.1 Exemplo de Aplicação 95 17.2 Exercícios 96 18 MÉTODO DAS TENSÕES DE NÓ NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA 99 18.1 Exemplo de Aplicação 99 18.2 Exercícios 100 19 TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO 102 19.1 Exemplo de Aplicação 1 102 19.2 Exemplo de Aplicação 2 104 19.3 Exercícios 106 20 TRANSFORMAÇÃO DE FONTES 108 21 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E NORTON NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA 108 21.1 Exemplo de Aplicação 109 21.2 Exercícios 110 22 RESSONÂNCIA 112 22.1 Ressonância Série 112 22.2 Ressonância Paralela 113 22.3 Exemplo de Aplicação 114 22.4 Exercícios 115 23 POTÊNCIAS E FATOR DE POTÊNCIA 117 23.1 Potência Instantânea 117 23.2 Potência Complexa e Triângulo das Potências 122 23.3 Correção do Fator de Potência 124 23.4 Exemplo de Aplicação 124 23.5 Exercícios 127 24 CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS 128 24.1 Tensões Trifásicas Equilibradas 129 24.2 Fonte de Tensão Trifásica 130 24.3 Análise do Circuito Ligado em Y-Y 131 24.4 Correntes de Linha em um Circuito Ligado em Triângulo (∆) 133 24.5 Potência em Carga Trifásica Equilibrada 134 24.6 Exemplo de Aplicação 135 João Marcio Buttendorff 5 24.7 Exercícios 136 João Marcio Buttendorff 6 1 INTRODUÇÃO Esta apostila foi escrita, baseada na literatura atual, a fim de auxiliar nas aulas de circuitos elétricos, apresentando um resumo dos principais tópicos abordados nesta cadeira. Dá-se especial ênfase às leis básicas, teoremas e técnicas clássicas. No próximo item são apresentados conceitos básicos indispensáveis para a assimilação dos conhecimentos que posteriormente serão apresentados. 2 VARIÁVEIS ELÉTRICAS 2.1 Sistema Internacional de Unidades O Sistema Internacional de Unidades, ou SI, é adotado pelas principais sociedades de engenharia e pela maioria dos engenheiros do mundo inteiro. Neste sistema existem seis unidades principais, das quais as unidades para todas as outras quantidades físicas podem ser derivadas. A tabela 2.1 apresenta as seis unidades, seus símbolos, e a quantidade física que elas representam. Tabela 2.1 – Unidades Básicas no SI. Grandeza Unidade Símbolo Comprimento metro m Massa quilograma kg Tempo segundo s Corrente Elétrica ampère A Temperatura kelvin k Intensidade Luminosa candela cd As unidades derivadas comumente utilizadas em teoria de circuitos elétricos são apresentadas na tabela 2.2. Grandeza Unidade Símbolo Carga Elétrica coulomb C Potencial Elétrico volt V Resistência ohm � Condutância siemens S Indutância henry H Capacitância farad F Freqüência hetz Hz Força newton N Energia, Trabalho joule J Potência watt W Fluxo Magnético weber Wb Densidade de Fluxo Magnético tesla T João Marcio Buttendorff 7 2.2 Corrente A corrente em um componente do circuito é definida como a quantidade de carga elétrica que atravessa seus terminais por unidade de tempo. A unidade física utilizada é o ampère, simbolizado por A. dqi dt = (2.1) i = ampère (A), q = coulomb (C), t = segundos (s). (O elétron possui carga de 191,602.10− C). 2.3 Tensão A tensão (diferença de potencial) entre dois pontos de umcircuito é definida como a variação do trabalho realizado por unidade de carga para movimentar esta carga entre estes dois pontos. A unidade utilizada é o volt, simbolizado por V. dw v dq = (2.2) v = volt (V), w = energia (J), q = coulomb (C). 2.4 Potência Potência é a variação da energia (liberada ou absorvida) em função da variação do tempo. Nos circuitos elétricos ela é definida pelo produto entre tensão e corrente em dois terminais. A unidade utilizada é o watt (ou joule/s), simbolizado por W. . . dw dq dwp v i dq dt dt = = = (2.3) 2.5 Energia Energia é definida como a integral da potência ao longo do tempo. A unidade utilizada é o joule. Outra unidade bastante utilizada na prática é o watt-segundo (W.s) e demais unidades dela derivadas, tais como o kW.hora.� 0 0 . . . t t w p dt v i dt= =� � (2.4) João Marcio Buttendorff 8 2.6 Notação É comum em análise de circuitos distinguir-se entre quantidades constantes e variáveis com o tempo através da utilização de letras maiúsculas e minúsculas. Por exemplo, uma corrente constante no tempo, ou contínua, de dez ampères deverá ser escrita I=10A, enquanto uma corrente senoidal de mesma amplitude deverá ser escrita i=10A. 3 CONCEITOS BÁSICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 3.1 Definição: Um circuito elétrico pode ser definido como uma interligação dos seguintes componentes básicos: – Fontes de tensão dependentes ou independentes; – Fontes de corrente dependentes ou independentes; – Resistores; – Capacitores; – Indutores. 3.2 Fonte de Tensão Independente A fonte ideal de tensão é um elemento que mantém uma tensão especificada constante entre seus terminais para qualquer que seja a corrente que a atravesse. As fontes independentes podem ser do tipo contínua ou alternada. Uma bateria pode ser considerada como um exemplo de fonte de tensão contínua. A tensão fornecida pela concessionária de energia elétrica, por outro lado, é um exemplo de fonte de tensão alternada. V Tensão Contínua V Tensão Alternada Fig. 3-1 - Fontes de Tensão. 3.3 Fonte de Corrente Independente Uma fonte ideal de corrente é um elemento que é atravessado por uma corrente especificada, para qualquer que seja a tensão entre seus terminais. As fontes de corrente também podem ser do tipo contínuo ou alternado. João Marcio Buttendorff 9 I Corrente Alternada I Corrente Contínua + + Fig. 3-2 - Fontes de Corrente. 3.4 Fontes Dependente de Tensão e Corrente São aquelas que estabelecem uma tensão ou corrente em um circuito cujo valor depende do valor da tensão ou da corrente em outro ponto do circuito. Não é possível especificar o valor de uma fonte dependente a menos que se conheça o valor da tensão ou corrente da qual ela depende. Como exemplo de fontes dependentes podem-se citar unidades geradoras, pois a tensão induzida no enrolamento do estator é função da corrente no rotor e, o transistor, onde a corrente de coletor é proporcional à corrente de base. + I=b.IxV=a.Vx _ Fonte de CorrenteFonte de Tensão Dependente Dependente Fig. 3-3 - Fontes Dependentes. 3.5 Elementos Ativos no Circuito São fontes de tensão e corrente capazes de fornecer energia elétrica para os demais componentes do circuito. Em componentes ativos, deve-se definir se a potência está sendo fornecida ou absorvida pelo mesmo. Se a corrente estiver entrando no terminal positivo da fonte, diz-se que a fonte está absorvendo energia, resultando em uma potência negativa. Para o caso em que a corrente estiver saindo do terminal positivo, diz-se que a fonte está fornecendo potência, ou seja, a potência é positiva. V I V I Fornecendo Absorvendo Potência Potência P=V.I P=-(V.I) Fig. 3-4 - Convenção para fontes. João Marcio Buttendorff 10 3.6 Elementos Passivos no Circuito São dispositivos capazes de absorver ou armazenar a energia elétrica fornecida pelos elementos ativos (fontes). Os resistores, indutores e capacitores são elementos passivos. Em componentes passivos, a corrente entra pelo lado de maior potencial (positivo) e sai do mesmo pelo lado de menor potencial. + VC - C + VL - L + VR - R I I I Fig. 3-5 - Convenção para elementos passivos. 4 RESISTÊNCIA ELÉTRICA (LEI DE OHM) Resistência é a propriedade dos materiais de se opor à passagem de corrente elétrica, mais precisamente, ao movimento de cargas elétricas. O elemento ideal usado como modelo para este comportamento é o resistor. A Fig. 4-1 mostra o símbolo do resistor. A letra R indica a resistência do resistor. R Fig. 4-1 - Símbolo do resistor. A Lei de Ohm é uma homenagem a Georg Simon Ohm, um físico alemão que a formulou pela primeira vez no início do século XIX. A lei de Ohm é a relação algébrica entre tensão e corrente em um resistor e é medida em ohms no sistema internacional (SI). O símbolo de ohm é a letra grega Omega ( )� . A equação (4.1) descreve esta lei. .V R I� (4.1) Onde: V = Tensão em volts (V); I = Corrente em ampères (A); R = Resistência em ohms ( )� . A potência dissipada por um resistor consiste em calcular o produto da tensão entre os terminais do resistor pela corrente que o atravessa. A unidade da potência é watts (W). .P V I� (4.2) Substituindo-se a equação (4.1) na (4.2) pode-se obter a equação da potência em função da corrente e da resistência e a potência em função da tensão e da resistência. João Marcio Buttendorff 11 2 .P I R� (4.3) 2VP R � (4.4) O recíproco da resistência é chamando de condutância, representado pela letra G e medido em Siemens (S). Assim: 1G R = (4.5) Exemplos 2.1: Calcule nos circuitos da Fig. 4-2 os valores das tensões nos resistores e as potências dissipadas nos mesmos. 8R 1A 20R1A (A) (B) Fig. 4-2 – Exemplos. Aplicando-se a Lei de Ohm aos circuitos, obtém-se: . 8.1 8 RA RA V R I V V � � � . 20.1 20 RB RB V R I V V � � � (4.6) . 8.1 8 RA RA RA P V I P W � � � . 20.1 20 RB RB RB P V I P W � � � (4.7) 4.1 Características dos Resistores Em geral os fabricantes de resistores fornece três parâmetros que caracterizam os mesmos: • Resistência ôhmica; • Percentual de tolerância; • Potência. Resistência Ôhmica – O valor específico da resistência do componente é indicada numericamente ou por código de cores. Os resistores são fabricados em valores padronizados. Os valores comerciais no Brasil são múltiplos de dez de: 1 – 1,2 – 1,5 – 1,8 – 2,2 – 2,7 – 3,3 – 3,9 – 4,7 – 5,6 – 6,8 – 8,2. Percentual de Tolerância – Os resistores estão sujeitos a diferenças em seus valores decorrentes aos processos de fabricação. Estas diferenças se situam em 5 faixas de percentual: ± 20%, ± 10%, ± 5%, ± 2%, ± 1% de tolerância. João Marcio Buttendorff 12 Os três primeiros são considerados resistores comuns, enquanto os demais são chamados resistores de precisão. Deve-se notar que a tolerância pode ser tanto acima como abaixo do valor padrão do resistor. Potência – A dissipação de potência do resistor indica a capacidade de suportar calor sem se danificar e sem que o valor se altere. O calor é produzido pela potência desenvolvida no resistor e pela capacidade do mesmo de transferir essa potência para as redondezas. 4.1.1 Tipos de Resistores Resistores de Filme de Carbono: Constituído por um corpo cilíndrico de cerâmica que serve como base para uma fina camadaespiral de material resistivo (filme de carbono ou grafite em pó) que determina seu valor ôhmico. O corpo do resistor pronto recebe um revestimento que dá acabamento na fabricação e isola o filme de carbono da ação da umidade. As principais desvantagens dos resistores de carbono são o baixo percentual de precisão e a baixa dissipação de potência. Em geral apresentam tolerância de 5 e 10%, apesar de existir também 1 e 2%. Resistores de Carvão: São constituídos por um corpo de porcelana. No interior da porcelana são comprimidas partículas de carvão que definem a resistência do componente. Neste tipo de resistor os valores das resistências não são precisos. Resistores de Fio: Constituem-se de um corpo de porcelana que serva como base. Sobre o corpo é enrolado um fio especial (por exemplo, níquel – cromo) cujo comprimento e seção determinam o valor da resistência. Nos resistores de fio obtém-se maior precisão, e maior dissipação de potência. 4.1.2 Código de Cores O valor ôhmico dos resistores e sua tolerância podem ser impressos no corpo do componente através de anéis coloridos. A cor de cada anel e a sua posição com relação aos demais anéis, corretamente interpretada fornece dados sobre o valor do componente. A disposição em forma de anéis permite a leitura do valor em qualquer posição do componente. 4.1.3 Interpretação do Código de Cores O código se compõe de três anéis usados para representar o valor ôhmico e um para representar o percentual de tolerância. Para uma correta leitura, os anéis devem ser lidos na seqüência correta, sendo que o primeiro é aquele que estiver mais próximo da extremidade. A Fig. 4-3 apresenta um resistor codificado por cores. 1 2 3 4 1 - Unidade; 2 - Dezena; 3 - Número de zeros; 4 - Percentual de tolerância. º º º º º º º º Fig. 4-3 - Resistor codificado por cores. João Marcio Buttendorff 13 Cada cor representa um número, como segue: Valor Tolerância Preto 0 Marrom 1% Marrom 1 Vermelho 2% Vermelho 2 Dourado 5% Laranja 3 Prata 10% Amarelo 4 Sem a quarta faixa 20% Verde 5 Azul 6 Violeta 7 Cinza 8 Branco 9 Tabela 1 – Código de cores. O código é interpretado da seguinte forma: • Os dois primeiros anéis são números; • O terceiro anel é o fator multiplicativo por dez, ou seja, “n” números de zeros que virão após os dois primeiros números; • O quarto anel é a tolerância do valor da resistência. Exemplo: 1º anel – amarelo = 4 2º anel – violeta = 7 3º anel – vermelho = 2 zeros (00) 4º anel – dourado = 5% de tolerância. Resistor de 4700 Ohms ± 5%, 4,7k Ohms ± 5% ou 4k7 Ohms ± 5%. 4.1.4 Casos Especiais de Código de Cores Resistores de 1 a 10 Ohms: Para representar resistores de 1 a 10 Ohms, o código estabelece o uso da cor dourada no terceiro anel. Esta cor no terceiro anel indica a existência de uma vírgula entre os dois primeiros números ou também pode ser considerado como um fator de multiplicação de 0,1. Exemplo: Marrom, cinza, dourado, dourado = 18 x 0,1 = 1,8 Ohms ± 5%. Resistores abaixo de 1 Ohm: Para representar resistores abaixo de 1 Ohm, o código determina o uso do prateado no terceiro anel. Esta cor no terceiro anel indica a existência de um zero antes dos dois primeiros números ou um fator de multiplicação de 0,01. Exemplo: Marrom, cinza, prata, dourado= 18 x 0,01 = 0,18 Ohms ± 5%. Resistores de cinco anéis: Em algumas aplicações são necessários resistores com valores mais precisos, que se situam entre os valores padronizados. Nestes resistores, os três primeiros anéis são dígitos significativos, o quarto anel representa o número de zeros (fator multiplicativo) e o quinto anel é a tolerância. Exemplo: Azul, cinza, vermelho, laranja, marrom = 682.000 Ohms ± 1%. João Marcio Buttendorff 14 4.2 Exercícios 1-) Determine a corrente e a potência dissipada nos resistores. 12V 1k 40V 120R (A) (B) Respostas: (A) I=12mA e P=144mW; (B) I=333,33mA e P=13,33W. 2-) Determine a tensão das fontes. 2A V 50R 10A V R P=200W (A) (B) Respostas: (A) V=100V; (B) V=20V. 3-) Determine a tensão sobre os resistores e a potência dissipada pelos mesmo. 3A 100R 100mA 2,2k (A) (B) Respostas: (A) V=300V e P=900W; (B) V=220V e P=22W. 5 LEIS DE KIRCHHOFF Os comportamentos dos circuitos elétricos são governados por duas leis básicas chamadas Leis de Kirchhoff. Elas estabelecem relações entre as tensões e correntes entre os diversos elementos dos circuitos, servindo assim como base para o equacionamento matemático dos circuitos elétricos. Antes do enunciado das referidas Leis, torna-se, entretanto, necessário à introdução de algumas definições básicas: – Nó: É um ponto de junção de dois ou mais componentes básicos de um circuito (ramos). Na Fig. 5-1 está representado um circuito simples composto de dois nós (nós 1 e 2); – Ramo: É a representação de um único componente conectado entre dois nós, tal como um resistor ou uma fonte de tensão. Na Fig. 5-1, o componente dois (R2) conectado entre os nós 1 e 2 é um ramo do circuito. – Malha: É qualquer percurso de um circuito que permita, partindo de um nó escolhido arbitrariamente, voltar ao ponto de partida sem passar mais de uma vez pelo mesmo nó. João Marcio Buttendorff 15 R1 R2 1k Vcc 1 2 I1 I2 I3 Fig. 5-1 - Circuito com dois nós. 5.1 Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) A lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que chegam a um nó é igual à soma das correntes que saem do mesmo nó. Considerando-se as correntes que chegam a um nó como positivas e as que saem como negativas, a Lei das Correntes de Kirchhoff estabelece que a soma algébrica das correntes incidindo em um nó deve ser nula. Baseado no enunciado da LCK e considerando-se o circuito mostrado na Fig. 5-1, pode-se escrever a seguinte equação para o nó marcado como 1: 1 2 3 0I I I� � � 1 2 3I I I� � (5.1) 5.2 Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK) A lei das tensões de Kirchhoff estabelece que a soma algébrica das tensões em qualquer malha de um circuito é sempre nula. + VR1 - Vcc R3 + R1 R2 + VR2 - VR2 - I Fig. 5-2 - Circuito com uma malha. Baseado no enunciado da LTK e considerando-se o circuito da Fig. 5-2, pode-se escrever a seguinte equação: 1 2 3 0R R RVcc V V V� � � � � 1 2 3R R RVcc V V V� � � (5.2) Exemplo 3.1: Use as lei de Kirchhoff e a lei de Ohm para determinar o valor da corrente I1 no circuito da Fig. 5-3. João Marcio Buttendorff 16 R2=50R 6A120V R1=10R I1 Fig. 5-3 - Exemplo 3.1. Antes de iniciar a resolução do circuito, deve-se associar uma corrente ao ramo formado pelo resistor R2. Como se têm duas correntes entrando no nó superior, formado por I1 e pela fonte de corrente (6A), será considerado que a corrente em R2 está saindo do nó. Também deve-se acrescentar tensões desconhecidas aos resistores. O circuito passa a ser o apresentado na Fig. 5-4. 6A120V VR1 I1 I2 VR2 + + _ _ Nó 1 Nó 2 Fig. 5-4 - Circuito resultante. Aplicando a LCK ao nó 1 e considerando que as correntes entrando no nó são positivas e as que saem são negativas, obtém-se: 1 26 0I I� � � 1 26I I� � (5.3) Aplicando a LTK a malha da esquerda e considerando o caminha percorrido no sentido horário, obtém-se: 1 2120 0R RV V� � � � 1 2 120R RV V� � (5.4) Substituindo-se a lei de Ohm na equação (5.4). 1 1 2 2 1 2 . . 120 10. 50. 120 R I R I I I � � � � (5.5) Substituindo-se a equação (5.3) na (5.5) e resolvendo-se as equações, obtém-se: 1 2 3 3I A I A �� � (5.6) O resultado negativo de I1 representa que o sentido real da corrente é o contrário do sentido apresentado na Fig. 5-3. Outro detalhe importante neste exemplo consiste no fato que a corrente esta entrando no terminal positivo da fonte de tensão, o que resulta que a mesma está absorvendo potência ao invés de estar fornecendo potência para o circuito. João Marcio Buttendorff 17 Exemplo 3.2: Calcule no circuito da Fig. 5-5 as tensões sobre os resistores, a corrente da malha e a potência fornecida pela fonte de tensão. 3R + VR1 - 2RVR3 7R + VR2 - 24V + -I Fig. 5-5 - Exemplo 3.2. Aplicando-se a LTK ao circuito, obtém-se: 1 2 3 1 2 3 24 0 24 R R R R R R V V V V V V � � � � � � � � (5.7) Substituindo a Lei de Ohm na equação (5.7) e resolvendo-se a equação, obtém-se a corrente do mesmo. 1 2 3. . . 24 3. 7. 2. 24 2 R I R I R I I I I I A � � � � � � � (5.8) Aplicando a Lei de Ohm para cada resistor do circuito, determina-se a tensão sobre os mesmos. 1 1 2 2 3 3 . 3.2 6 . 7.2 14 . 2.2 4 R R R V R I V V R I V V R I V � � � � � � � � � (5.9) A potência da fonte é obtida pelo produto da tensão fornecida pela mesma e pela corrente que circula por ela. . 24.2 48P V I W� � � (5.10) 5.3 Exercícios 1-) Calcule as grandezas desconhecidas indicadas nos circuitos abaixo. 20V V=? 1V 6V 20A 2A 10A I=? 1V 2V I Respostas: I=8A e V=10V. João Marcio Buttendorff 18 2-) Calcule a corrente e as quedas de tensão através de R1 e R2. 10R 20V 20R 50V40V R1R2 Respostas: I=1A; VR1=10V e VR2=20V. 3-) Use a lei de Ohm e a lei de Kirchhoff para determinar o valor de R no circuito abaixo. 8R R 120V 24R200V + _ Resposta: 4R� � 4-) Calcule a corrente, as tensões nos resistores e a potência fornecida pela fonte. VR3 2R + VR1 - 3R + VR2 - 7R 24V + _ Respostas: I=2A, VR1=6V, VR2=14V, VR3=4V e P=48W. 5-) Para o circuito abaixo, calcule: a) As correntes da fonte e no resistor de 80� ; b) A tensão no resistor de 90� ; c) Verifique que a potência fornecida pela fonte é igual à potência dissipada nos resistores. I 90R 30R 1,6A 80RI Respostas: a) I=4A, I1=2,4A; b) V=144V; c) Ptot=768W. 6-) Dado o circuito, determine: a) O valor de Ia; b) O valor de Ib; c) O valor de Vo; d) As potências dissipadas nos resistores; e) A potência fornecida pela fonte. João Marcio Buttendorff 19 80R 4R 20R50V Vo + _ Ib Ia Respostas: a) Ia=2A; b) Ib=0,5A; c) Vo=40V; d) P4R=25W, P20R=80W e P80R=20W; e) P=125W. 7-) A corrente I0 no circuito é 4A. a) Determine a corrente I1; b) Determine as potências dissipadas nos resistores; 8R 5R 25R 70R 10R 180V I0 I1 Respostas: a) I1=2A; b) P25R=400W, P5R=320W, P70R=280W, P10R=360W e P8R=800W. 8-) Determine no circuito abaixo a corrente I1 e a tensão V. 6k 54k + V - 5V 1,8k1V 8V I1 30.I1 Respostas: I1=25uA e V=-2V. 9-) A corrente I1 no circuito abaixo é de 2A. Calcule: a) A tensão Vs; b) A potência recebida pela fonte de tensão independente; c) A potência fornecida pela fonte de corrente independente; d) A potência fornecida pela fonte de corrente dependente; e) A potência total dissipada pelos dois resistores. 30R 2.I1 10R Vs5A I1 Respostas: a-) Vs=70V; b-) P=210W; c-) P=300W; d-) P=40W; e-) P=130W. João Marcio Buttendorff 20 6 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES E RESISTÊNCIA EQUIVALENTE A análise e projeto de circuitos requerem em muitos casos a determinação da resistência equivalente a partir de dois terminais quaisquer do circuito. Além disso, pode-se numa série de casos práticos solucionar o circuito a partir da associação dos resistores que compõem determinadas partes do circuito. Esta técnica é denominada de redução dos circuitos e será brevemente apresentada aqui, junto com as técnicas básicas de determinação da resistência equivalente. 6.1 Associação em Série de Resistores Neste caso, todos os resistores são percorridos pela mesma corrente, sendo que o terminal final do primeiro é conectado ao início do segundo e assim por diante, conforme mostra a Fig. 6-1. O resistor equivalente é o resistor que quando conectado aos terminais da fonte possui as mesmas características elétricas que a associação série dos resistores 1 a n, sendo n o número total de resistores em série. Portanto, para a fonte conectada aos resistores, a corrente no resistor equivalente será a mesma da associação série dos n resistores. R1 R2 R3 Rn V + VR1 - + VR2 - + VR3 - + VRn - I Fig. 6-1 - Circuito série. A Lei das tensões de Kirchhoff estabelece que a soma das tensões em um circuito fechado é igual a zero. Deduz-se daí que a soma das quedas de tensões em todo o circuito da Fig. 6-1 é igual a tensão da fonte V. 1 2 3 ...R R R RnV V V V V� � � � (6.1) Substituindo-se as quedas de tensões nos resistores pela Lei de Ohm, Obtém-se: 1 2 3. . . ... . nV I R I R I R I R� � � � � (6.2) 1 2 3.( ... )nV I R R R R� � � � � (6.3) A resistência vista pela fonte de alimentação é a resistência equivalente (Req) do circuito. Desta forma, tem-se: . eqV I R� (6.4) João Marcio Buttendorff 21 Substituindo-se a equação (6.4) na (6.3) e dividindo-se ambos os lados da equação por I, determina-se a equação da resistência equivalente do circuito. e 1 2 3R ...q nR R R R� � � � � (6.5) A Fig. 6-2 apresenta o circuito equivalente da Fig. 6-1. ReqV I Fig. 6-2 - Circuito equivalente. 6.2 Associação em Paralelo de Resistores Na Fig. 6-3 é mostrado um circuito paralelo na qual todos os resistores estão conectados em paralelo. Desta maneira, cada um dos resistores está conectado diretamente a fonte de tensão e, portanto a tensão sobre cada resistor é igual à tensão da fonte. Por outro lado, a corrente através de cada resistor é determinada pelo valor de cada um deles. R2 R1 Rn V R3 I1 I2 I3 In I Fig. 6-3 - Circuito paralelo. A Lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem do nó. Assim: 1 2 3 ... nI I I I I� � � � � (6.6) A corrente que circula pela fonte de alimentação é a corrente total (I) do circuito. Desta forma, tem-se: eq VI R � (6.7) Substituindo-se cada termo da equação (6.6) pela Lei de Ohm e substituindo-se a corrente total pela equação (6.7), obtém-se: João Marcio Buttendorff 22 e 1 2 3 ... R q n V V V V V R R R R � � � � � (6.8) Dividindo-se ambos os lados da equação (6.8) por V, obtém-se: 1 2 3 1 1 1 1 1 ... R R R R Req n � � � � � (6.9) 1 2 3 1R 1 1 1 1 ... R R R R eq n � � � � � (6.10) Esta equação é usada para determinar o valor da resistência equivalente dos resistores conectados em paralelo. Deduz-se desta equação que o valor total da resistência é menor que o menor valor das resistências individuais. Para o caso particular de dois resistores em paralelo, pode-se utilizar a equação (6.11) para determinar a resistência equivalente. 1 2 1 2 . eq R RR R R � � (6.11) 6.3 Associação Mista de Resistores No caso de haver partes do circuito que estão conectadas em série e partes que estão conectadasem paralelo deve-se aplicar sucessivamente as equações (6.5), (6.10) e (6.11) até que se obtenha a resistência equivalente nos terminais desejados. O exemplo a seguir ilustra este procedimento. Considere o circuito da Fig. 6-4 onde se deseja calcular a resistência equivalente a partir dos terminais a-b. RB RA R1 R3 R1 R2 R1 R3 RD R5 R2 R2 RC R4 R1 a a aa a b b b b (A) (B) (C) (D) (E) b Fig. 6-4 - Associação mista de resistores. João Marcio Buttendorff 23 Pela Fig. 6-4, os resistores R4 e R5 estão em série, podendo-se determinar a resistência equivalente RA pela equação (6.5) (vide figura A). 4 5AR R R� � (6.12) O circuito possuirá agora a forma mostrado na Fig. 6-4(B), onde observa-se que os resistores RA e R3 estão conectados em paralelo, podendo ser associados utilizando-se a equação (6.11), resultando na resistência RB: 3 3 .A B A R RR R R � � (6.13) Após esta operação o circuito assumirá a forma mostrada na figura (C). Os resistores RB e R2 estão agora em série e a resistência equivalente RC correspondente a estes dois é dada pela equação (6.5): 2C BR R R� � (6.14) O circuito assume agora a forma mostrada na figura (D), onde os resistores RC e R1 estão em paralelo e podem ser associados pela equação (6.11), resultando na resistência equivalente do circuito a partir dos terminais a-b, a qual é denominado de RD. 1 1 .C D C R RR R R � � (6.15) Deve-se salientar que a resistência equivalente está sempre relacionada a dois terminais específicos do circuito. Existe para cada par de terminais um valor de resistência equivalente diferente. Não existe, portanto, o conceito da resistência equivalente do circuito ou resistência total do circuito, mas sim uma resistência equivalente a partir de dois terminais do circuito. 6.4 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Independentes Nos casos anteriores, a resistência equivalente foi determinada para um circuito (ou parte dele) onde não existiam fontes de corrente ou tensão. Mesmo quando houver fontes independentes, pode-se determinar a resistência equivalente a partir de um par de terminais. Neste caso a resistência equivalente será determinada anulando-se todas as fontes independentes do circuito. Para isso, as fontes de tensão serão substituídas por terminais em curto-circuito e as fontes de corrente por terminais em circuito aberto. Por exemplo, a resistência equivalente para o circuito mostrado na Fig. 6-5(A), será obtido a partir do circuito mostrado na Fig. 6-5(B), onde as fontes foram anuladas. João Marcio Buttendorff 24 R3 R1 R2 R1 I R2 Vcc R3 a b (A) (B) a b Fig. 6-5 - Resistência equivalente contendo fontes. 6.5 Resistência Equivalente de Circuitos Contendo Fontes Dependentes e Independentes Neste caso deve-se, como no caso anterior anular as fontes independentes e, contudo, manter as fontes dependentes no circuito, uma vez que estas dependem de tensões e correntes do circuito. Deve-se calcular a resistência equivalente aplicando-se uma fonte de tensão aos terminais onde a resistência equivalente deve ser calculada e em seguida determinar a corrente da mesma. A resistência equivalente será a relação entre a tensão aplicada e a corrente. A fonte aplicada poderá ter um valor qualquer, devendo-se optar por um valor que simplifique o calculo (1V, por exemplo). O exemplo a seguir ilustra este procedimento. Considere o circuito apresentado na Fig. 6-6 para o qual deseja-se determinar a resistência equivalente a partir dos terminais a-b. O circuito original é mostrado na Fig. 6-6(A) e o circuito utilizado para o cálculo da resistência equivalente é mostrado na Fig. 6-6(B). Neste caso foi aplicado aos terminais a-b uma tensão de 1V. 12V 3R 4R 2R a b + _ 5.Vx + Vx - 1V 2R 3R 5.Vx4R + Vx - + _ a b (A) (B) I Fig. 6-6 - Circuito exemplo. Aplicando-se a Leis das Tensões de Kirchhoff, obtém-se: 1 5. 0 0,1667 Vx Vx Vx V − + + = = (6.16) Aplicando-se a LCK no nó formado pela fonte de tensão e pelos resistores de 2� e 4�, obtém: 2 4 1 0,1667 0,3333 4 2 I I I I A Ω Ω= + = + = (6.17) Assim, a resistência equivalente é obtida por: João Marcio Buttendorff 25 1 3 0,3333eq VR I = = = Ω (6.18) 6.6 Transformação Estrela-Triângulo Existem muitos casos práticos em que a resistência equivalente necessita ser determinada e não é possível utilizar as regras de associação série nem as de associação em paralelo. Nestes casos pode-se simplificar o problema utilizando as regras de conversão estrela-triângulo. A conexão de resistores em estrela é mostrado na Fig. 6-7(a), ao passo que a conexão em triângulo é mostrado na Fig. 6-7(b). A conexão em estrela também é denominada de conexão Y ou ainda conexão T. Por outro lado, a conexão triângulo também é denominada de conexão delta ou ainda conexão �. R1 R3 Rb R2 Ra Rc 1 1 2 2 3 3 4 4 (a) (b) Fig. 6-7 - Equivalência entre a conexão (a) estrela e (b) triângulo. 6.6.1 Conversão de Triângulo para Estrela Quando o circuito original está na conexão triângulo, pode-se converter o circuito para estrela utilizando-se as seguintes relações: 1 .b c a b c R RR R R R = + + (6.19) 2 .a c a b c R RR R R R = + + (6.20) 3 .a b a b c R RR R R R = + + (6.21) A regra para a conversão triângulo-estrela é, portanto: cada resistor do circuito em estrela é o produto dos resistores dos dois ramos adjacentes do triângulo dividido pela soma dos três resistores do triângulo. 6.6.2 Conversão de Estrela para Triângulo Quando o circuito original está na conexão estrela, pode-se converter o circuito para triângulo utilizando-se as seguintes relações: João Marcio Buttendorff 26 1 2 2 3 3 1 1 . . . a R R R R R RR R + + = (6.22) 1 2 2 3 3 1 2 . . . b R R R R R RR R + + = (6.23) 1 2 2 3 3 1 3 . . . c R R R R R RR R + + = (6.24) A regra para a conversão estrela-triângulo é, portanto: cada resistor do circuito em triângulo é o produto dos resistores da estrela dois a dois dividido pelo resistor oposto da estrela. 6.7 Exercícios 1-) Calcule a tensão sobre cada resistor dos circuitos abaixo. 110V R2 10R R3 7R 115V 1RR1 5R 2R 3R 4R (a) (b) Respostas: (a) V1=25V; V2=50V e V3=35V (b) V1=11,5V; V2=23V; V3=34,5V e V4=46V. 2-) Um circuito paralelo é formado por uma cafeteira elétrica (15�), um torrador de pão (15�) e uma panela de frituras (12�) ligados às tomadas de 120V de uma cozinha. Que corrente fluirá em cada ramo do circuito e qual é a corrente total consumida por todos os eletrodomésticos? Respostas: ICaf=8A; ITor=8A; IPan=10A e Itot=26A. 3-) Determine a resistência equivalente para o circuito abaixo: a) Como está desenhado; b) Com o resistor de 5� substituído por um curto-circuito; c) Com o resistor de 5� substituído por um circuito aberto. 4R 9R 4R 10R 3R 5R 2R 1R 4R Respostas: a) 10eqR � � ; b) 9,933eqR � � e c) 10,2eqR � � . João Marcio Buttendorff 27 4-) Determine a resistência equivalente para os dois circuitos abaixo. 20k12R 2R 30k 30k15k 7k 24k24R 6R Respostas: (A) 16eqR � � ; (B) 6eqR k� � . 5-) Determine a resistência equivalente do circuito abaixo. 8R 10R20R 5R 15R Resposta: Req=12,162�. 6-) Determine para os três circuitos abaixo: a) A resistência equivalente; b) As potências fornecidas pelas fontes. 48R 18R 20V 6R 10R 15R 6R 15R20R 48R 20R 6R 10R 60R 18R 14R4R 16R 12R 15R 8R 10R 15R 18R 144V 10R 8R 30R6A (A) (B) (C) Respostas: (A) 10eqR � � e P=40W; (B) 27eqR � � e P=768W; (C) 24eqR � � e P=864W. 7-) Determine Vo e Vg no circuito abaixo. João Marcio Buttendorff 28 25A 30R 25R 60R 12R 30R Vo 50R Vg + _ + _ Respostas: Vo=300V e Vg=1050V. 8-) Calcule a tensão Vx no circuito. 60k 15k1k 30V 5k - Vx + Resposta: Vx=1V. 9-) A corrente no resistor de 9� do circuito abaixo é 1A, como mostra a figura. a) Calcule Vg; b) Calcule a potência dissipada no resistor de 20� . 25R 20R 10R Vg 5R 32R 2R 4R 40R 3R 1R 9R 1A Respostas: a) Vg=144V; b) P=28,8W. 10-) Calcule a potência dissipada pelo resistor de 3k� do circuito abaixo. 5k 3k 25k 750R 15k 5k 192V Resposta: P=300mW. João Marcio Buttendorff 29 11-) Obtenha a resistência equivalente do circuito abaixo e utilize-a para encontrar a corrente I. 20R 30R 10R 120V 5R 12,5R 15R I Respostas: Req=9,632� e I=12,458A. 7 DIVISOR DE TENSÃO E CORRENTE A solução de circuitos, ou partes dele, pode ser simplificada por meio da aplicação de técnicas conhecidas como divisor de tensão e divisor de corrente. As regras de aplicação dos divisores são obtidas a partir das regras de associação série e paralela de resistores vistas anteriormente, as quais por sua vez derivam diretamente das Leis de Kirchhoff. 7.1 Divisor de Tensão A regra do divisor de tensão se aplica a componentes (resistores) conectados em série, como no caso do circuito mostrado na Fig. 7-1(A), e destina-se a determinar a tensão sobre cada componente individual. A resistência equivalente vista pela fonte V é mostrada na figura (B), sendo dada pela relação: e 1 2 3 4R ...q nR R R R R� � � � � � (7.1) R3 Req Rn +VR1- R1 R4R2 +VR2- +VR3- +VR4- +VRn- +VReq- + _ V + _ V (A) (B) I I Fig. 7-1 - Divisão de tensão entre resistores em série. Em um circuito em série a corrente em todos os componentes é a mesma, sendo dada pela equação: 1 2 3 4( ... )eq n V VI R R R R R R � � � � � � � (7.2) João Marcio Buttendorff 30 Desta forma, a tensão sobre cada resistor será dada pelas seguintes equações: 1 1 1 1 2 3 4 . . ( ... )R n R VV R I R R R R R � � � � � � � (7.3) 2 2 2 1 2 3 4 . . ( ... )R n R VV R I R R R R R � � � � � � � (7.4) 3 3 3 1 2 3 4 . . ( ... )R n R VV R I R R R R R � � � � � � � (7.5) ... 1 2 3 4 . . ( ... ) n Rn n n R VV R I R R R R R � � � � � � � (7.6) As equações anteriores permitem determinar diretamente a tensão sobre cada resistor a partir da tensão aplicada à associação. A regra é: a tensão sobre cada componente é a tensão aplicada aos terminais de entrada multiplicada pela resistência e dividida pela soma das resistências dos componentes. Ao aplicar-se a regra é fundamental observar que as polaridades das tensões e sentidos das correntes sobre os componentes são conforme mostra a Fig. 7-1. 7.2 Divisor de Corrente Analogamente ao caso de resistências em série, a regra do divisor de corrente se aplica a componentes (resistores) conectados em paralelo, como no caso do circuito mostrado na Fig. 7-2, e destina-se a determinar a corrente que circula por cada componente individual. A resistência equivalente é mostrada na figura (B), sendo dada pela relação: 1 2 3 4 1R 1 1 1 1 1 ... R R R R eq n R � � � � � � (7.7) R3 Req RnR1 R4R2 I I1 I2 I3 I4 In + _ V I + _ V (A) (B) Fig. 7-2 - Divisão de corrente entre resistores em paralelo. João Marcio Buttendorff 31 A tensão em todos os componentes é mesma, sendo então determinada pela equação (7.8): e 1 2 3 4 1 .R . 1 1 1 1 1 ... q n V I I R R R R R � � � �� �� � � � � � � � (7.8) Desta forma, a corrente em cada um dos resistores será dada pelas seguintes equações: 1 1 1 1 2 3 4 1 . 1 1 1 1 1 ... n V II R R R R R R R � � � �� �� � � � � � � � (7.9) 2 2 2 1 2 3 4 1 . 1 1 1 1 1 ... n V II R R R R R R R � � � �� �� � � � � � � � (7.10) 3 3 3 1 2 3 4 1 . 1 1 1 1 1 ... n V II R R R R R R R � � � �� �� � � � � � � � (7.11) 4 4 4 1 2 3 4 1 . 1 1 1 1 1 ... n V II R R R R R R R � � � �� �� � � � � � � � (7.12) ... 1 2 3 4 1 . 1 1 1 1 1 ... n n n n V II R R R R R R R � � � �� �� � � � � � � � (7.13) As equações anteriores permitem, assim, determinar a corrente em cada resistor a partir da corrente total. A regra geral pode ser expressa da seguinte forma: a corrente em cada componente é a corrente de entrada multiplicada pela resistência equivalente e dividida pela resistência na qual deseja-se obter a corrente. Ao aplicar-se a regra é fundamental observar que as polaridades das tensão e sentidos das corrente sobre os componentes são conforme apresentado na Fig. 7-2. Para o caso particular de apenas dois resistores conectados em paralelo, podem-se obter as seguintes expressões: 2 1 1 2 . RI I R R � � (7.14) 1 2 1 2 . RI I R R � � (7.15) João Marcio Buttendorff 32 7.3 Exercícios 1-) Calcule através do método do divisor de tensão a queda de tensão através de cada resistor. R2 6k 10V R1 2k Respostas: VR1=2,5V e VR2=7,5V. 2-) Calcule as correntes I1 e I2 utilizando divisor de corrente. 3k 6k I1 I2It=18mA Respostas: I1=12mA e I2=6mA. 3-) Determine no circuito abaixo: a) O valor de Vo na ausência de carga. b) Calcule Vo quando 150LR k� � . c) Qual é a potência dissipada no resistor de 25k� se os terminais da carga forem acidentalmente curto circuitados? d) Qual a potência máxima dissipada no resistor de 75k� ? Vo75k RL 200V 25k + _ Respostas: a) Vo=150V; b) Vo=133,33V; c) P=1,6W e d) P=300mW. 4-) Determine a potência dissipada no resistor de 6� do circuito abaixo. 6R4R16R 1,6R 10A Resposta: P=61,44W. João Marcio Buttendorff 33 5-) No circuito divisor de tensão da figura abaixo, o valor de Vo sem carga é 6V. Quando a resistência de carga RL é inserida ao circuito, a tensão cai para 4V. Determine o valor de R2 RL. RLR2 40R 18V Vo + _ Respostas: 2 20R � � e 26,67LR � � . 6-) Calcule no circuito divisor de tensão abaixo: a) A tensão de saída Vo sem carga; b) As potências dissipadas em R1 e R2; R2 3,3k 4,7k 160V R1 Vo Respostas: a) Vo=66V e b) PR1=1,88W e PR2=1,32W. 7-) Muitas vezes é necessário dispor de mais de uma tensão na saída de um circuito divisor de tensão. Assim, por exemplo, as memórias de muitos computadores pessoais exigem tensões -12V, 6V e +12V, todas em relação a um terminal comum de referência. Escolha os valores de R1, R2 e R3 no circuito abaixo para que as seguintes especificações de projeto sejam atendidas: a) A potência total fornecida ao circuito divisor detensão pela fonte de 24V deve ser de 36W quando o circuito não está carregado. b) As três tensões, todas medidas em relação ao terminal comum de referência, devem ser V1=12V, V2=6V e V3=-12V. R2 R1 24V R3 V3 V1 V2 Comum Respostas: 1 4R � � , 2 4R � � e 3 8R � � . João Marcio Buttendorff 34 8-) Calcule a corrente no resistor de 6,25� , no circuito divisor de corrente apresentado abaixo. 6,25R1142mA 20R0,25R 1R 10R2,5R Resposta: I=32mA. 8 MÉTODO DE ANÁLISE DE MALHAS A análise de malhas envolve sempre os cinco passos descritos a seguir. 8.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso Inicialmente devem ser determinadas quantas malhas contém o circuito. Para um circuito contendo b ramos (componentes) e n nós existirão sempre (b-n+1) malhas, as quais permitirão escrever um número de equações independentes também igual a (b-n+1). Uma vez identificadas às malhas, deve-se numerá-las e designá-las como I1, I2, I3...Ib-n+1. Além disso, deve-se escolher um sentido de percurso para cada malha. A escolha do sentido não interfere com as equações que serão obtidas, mas é importante na determinação das correntes e tensões de ramo. Também nesta etapa serão definidas polaridades para as tensões nos ramos, as quais definem as correntes de ramo que serão consideradas positivas. 8.2 Aplicação da LTK para as Malhas Após a definição das malhas, deve-se percorrê-las de acordo com o sentido atribuído para cada uma delas, retornando-se ao ponto de partida após a malha ter sido percorrida. Pode-se adotar a seguinte convenção quanto às diferenças de potencial: quedas de potencial ao longo deste percurso serão consideradas positivas, ao passo que elevações de potencial serão consideradas negativas. Como resultado desta etapa haverá (b-n+1) equações que representam os somatórios das tensões sobre os componentes que compõem cada malha, de acordo com a convenção adotada. 8.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos Considerando que as equações da etapa anterior foram escritas em função das tensões dos ramos e as incógnitas são correntes de malha, devem-se utilizar as relações de tensão-corrente (Lei de Ohm) para substituir as tensões dos ramos por relações envolvendo as correntes de malha. Como resultado desta etapa, obtém-se (b-n+1) equações envolvendo as correntes de malha. Deve-se observar que existe uma relação tensão corrente para cada ramo (componente), existindo, portanto b relações deste tipo. João Marcio Buttendorff 35 8.4 Solução do Sistema de Equações Após a obtenção das equações de malha, deve-se utilizar algum método de solução de sistemas lineares para determinar as (b-n+1) incógnitas. 8.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos Depois de solucionado o sistema de equações e obtido as correntes das malhas, pode-se obter todas as correntes e tensões de ramo do circuito a partir das correntes de malha. Por exemplo, a corrente de ramo IK, percorrido por um lado pela corrente de malha Ix e por outro pela corrente de malha IY do circuito conforme mostra a Fig. 8-1, pode ser obtida pela seguinte equação: k x yI I I� � (8.1) Fig. 8-1 - Tensão e corrente de ramo. Na equação (8.1), foi considerada como positiva a corrente de malha que circula no mesmo sentido que a corrente do ramo, ao passo que foi considerada negativa a que circula em sentido contrário. Deve-se também atentar que a equação pode ser obtida aplicando-se a LCK a qualquer um dos nós do ramo k. Considerando-se os sentidos associados, a tensão no ramo k será dada como: . ( ).k k k x y kV I R I I R� � � (8.2) Rk – Resistência do ramo k (ohms, � ) 8.6 Exemplo de Aplicação O método exposto será ilustrado por meio de um exemplo simples ilustrado na Fig. 8-2, onde todas as etapas citadas serão realizadas passo a passo. João Marcio Buttendorff 36 8.6.1 Definição das Malhas e Sentidos de Percurso Para o circuito da Fig. 8-2, existem n=4 nós e b=5 componentes. Desta forma, o número de malhas fechadas é (5-4+1)=2. Os sentidos adotados para os percursos das malhas serão todos no sentido horário, conforme mostra a Fig. 8-2, podendo no entanto ser escolhido um outro sentido. Na figura também são mostrados os sentidos considerados positivos para as quedas de tensão (polaridade das tensões) para os componentes. R1+ R2 R4R3 + ++ - - - - V I1 I2 Malha 1 Malha 2 Fig. 8-2 - Circuito de exemplo. 8.6.2 Aplicação de LTK para as Malhas De acordo com convenção adotada, as equações para as malhas 1 e 2 são dadas pelas seguintes equações: 1 3 1 30R R R RV V V V V V� � � � � � � (8.3) 3 2 4 0R R RV V V� � � � (8.4) 8.6.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos As relações tensão corrente para os ramos do circuito são estabelecidas baseadas nas equações (8.1) e (8.2) da forma que segue: 1 1RI I� (8.5) 2 2RI I� (8.6) 3 1 2RI I I� � (8.7) 4 2RI I� (8.8) 1 1 1 1 1. .R RV I R I R� � (8.9) 2 2 2 2 2. .R RV I R I R� � (8.10) 3 3 3 1 2 3. ( ).R RV I R I I R� � � (8.11) 4 4 4 2 4. .R RV I R I R� � (8.12) João Marcio Buttendorff 37 Inserindo-se as relações tensão-corrente nas equações de malha, obtêm-se as equações em termos das correntes de malha. Equação da malha 1: 1 3 1 1 1 2 3 1 1 3 2 3 . ( ). .( ) . R RV V V I R I I R V I R R I R V � � � � � � � � (8.13) Equação da malha 2: 3 2 4 1 2 3 2 2 2 4 1 3 2 2 3 4 0 ( ). . . 0 . .( ) 0 R R RV V V I I R I R I R I R I R R R � � � � � � � � � � � � � � (8.14) 8.6.4 Solução do Sistema de Equações Para a obtenção da solução serão considerados os seguintes valores: 20V V� 1 2R � � 2 4R � � (8.15) 3 6R � � 4 3R � � Desta forma, o sistema de equações terá a seguinte forma: 1 2 1 2 8. 6. 20 6. 13. 0 I I I I � � � � � (8.16) Solucionando-se o sistema, obtém-se: 1 2 3,824 1,765 I A I A � � 8.6.5 Obtenção das Correntes e Tensões dos Ramos A partir das correntes de malha podem-se obter as correntes e tensões em todos os ramos: 1 1 3,824RI I A� � (8.17) 2 2 1,765RI I A� � (8.18) 3 1 2 3,824 1,765 2,059RI I I A� � � � � (8.19) 4 2 1,765RI I A� � (8.20) 1 1 1. 3,824.2 7,684RV I R V� � � (8.21) João Marcio Buttendorff 38 2 2 2. 1,765.4 7,06RV I R V� � � (8.22) 3 1 2 3( ). (3,824 1,765).6 12,354RV I I R V� � � � � (8.23) 4 2 4. 1,765.3 5, 295RV I R V� � � (8.24) Uma vez conhecidas as correntes e tensões nos ramos pode-se também determinar as potências em cada um dos componentes bem como a potência total dissipada no circuito. 8.7 Análise de Malhas com Fontes de Corrente A análise de malhas, sendo um método geral de análise, pode também ser empregada quando o circuito contiver fontes de corrente, sejam elas dependentes ou independentes. As fontes de corrente impõem uma determinada corrente num ramo, não sendo, contudo possível determinar à tensão da mesma antes de solucionar o circuito. Na realidade a presença de uma fonte de corrente não altera praticamente nada no método de análise descrito anteriormente. Estas características devem ser consideradas quando do estabelecimento das equações do circuito. Considerando que a fonte de corrente está inserida entre as malhas x e y conforme a Fig. 8-3, observa-se quea tensão da fonte aparecerá nas equações de ambas as malhas que possuem a fonte de corrente em comum. Como não há uma relação entre a corrente da fonte e a sua tensão pode-se manter a tensão Vk da fonte como uma incógnita a ser determinada. Por outro lado, devido à presença da fonte, as correntes das malhas x e y estão relacionadas pela seguinte relação: x yI I I� � (8.25) Fig. 8-3 - Fonte de corrente entre duas malhas. Desta forma, foi acrescentada uma incógnita ao sistema de equações, mas também foi acrescentada uma equação, sendo ainda possível solucionar o circuito. João Marcio Buttendorff 39 Também se pode eliminar a tensão da fonte do sistema de equações isolando-se a tensão Vk na equação da malha x, por exemplo, e substituindo-a na equação da malha y. Desta forma, elimina-se a equação de uma das malhas do sistema. Caso a fonte de corrente estiver inserida num caminho por onde apenas uma malha passa, significa que a corrente da malha está determinada pela própria corrente da fonte. Neste caso pode-se desconsiderar a equação desta malha e estabelecer o seguinte valor para a corrente da malha, conforme mostra a Fig. 8-4: xI I� (8.26) Fig. 8-4 - Fonte de corrente em uma única malha. 8.8 Exemplo de Aplicação O exemplo mostrado na Fig. 8-5 ilustra o procedimento. R2=10 V=20V R4=4 R3=2 R1=6 + I=6AVf + + + + - - - - - I1 I2 Malha 1 Malha 2 Fig. 8-5 - Análise de malha com fonte de corrente. Para este circuito, as equações das malhas são as seguintes: Malha 1: 1 3 1 30R R f R R fV V V V V V V V� � � � � � � � � (8.27) Malha 2: 2 3 4 0R R R fV V V V� � � � (8.28) As relações tensão corrente no circuito são as seguintes: João Marcio Buttendorff 40 1 1RI I� (8.29) 2 2RI I� (8.30) 3 1 2RI I I� � (8.31) 4 2RI I� (8.32) 1 1 1 1 1. .R RV I R I R� � (8.33) 2 2 2 2 2. .R RV I R I R� � (8.34) 3 3 3 1 2 3. ( ).R RV I R I I R� � � (8.35) 4 4 4 2 4. .R RV I R I R� � (8.36) A equação adicional considerando a fonte de corrente é: 2 1I I I� � (8.37) Substituindo-se as equações (8.29) a (8.36) obtém-se finalmente as equações do circuito. Deve-se notar que a tensão da fonte de corrente aparece como uma incógnita a mais, havendo também uma equação a mais (equação (8.37)). Malha 1: 1 3 1 1 1 2 3 1 1 3 2 3 . ( ). .( ) . R R f f f V V V V I R I I R V V I R R I R V V � � � � � � � � � � � (8.38) Malha 2: 2 3 4 2 2 1 2 3 2 4 1 3 2 2 3 4 0 . ( ). . 0 . .( ) 0 R R R f f f V V V V I R I I R I R V I R I R R R V � � � � � � � � � � � � � � � (8.39) As equações (8.37), (8.38) e (8.39) são portanto as equações básicas do circuito, sendo as incógnitas I1, I2 e Vf. Substituindo os valores nas equações, obtém-se: 1 2 1 2 1 2 6 8. 2. 20 2. 16. 0 f f I I I I V I I V � � � � � � � � � � (8.40) Resolvendo-se o sistema acima, obtém-se finalmente a solução: 1 2 3,2 2,8 51,2f I A I A V V �� � � (8.41) João Marcio Buttendorff 41 8.9 Exercícios 1-) Determine as correntes no circuito abaixo utilizando o método das correntes de malha. 25V 1R4R 3R 5R 1R 6RI3 I1 I2 Respostas: I1=3A; I2=1A e I3=2A. 2-) Calcule a corrente em cada resistor, utilizando o método da corrente de malha. 10V 4R 10V 2R 2R I1 I3 I2 Respostas: I1=2A; I2=-1A e I3=3A. 3-) Calcule as correntes I1 e I2 e a corrente através da fonte de 20V, usando o método da corrente de malha. 20V 4R22V 1R I1 I2 Respostas: I1=2A; I2=5A e I20V=-3A. 4-) Use o método das correntes de malha para determinar: a) As potências associadas às fontes de tensão. b) A tensão Vo entre os terminais do resistor de 8� . 8R Vo40V 6R 2R 4R 20V 6R + _ Respostas: a) P40=224W e P20=16W; b) Vo=28,8V. 5-) Calcule as correntes nas malhas do circuito abaixo. João Marcio Buttendorff 42 5A 2R 6R 10R 4R 100V 3R 50V Respostas: I1=1,75A, I2=6,75A e I3=1,25A. 6-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência dissipada no resistor de 2� do circuito a seguir. 2R 3R 16A 8R 6R 5R30V 4R Resposta: P=72W. 7-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência dissipada no resistor de 1� no circuito abaixo. 2R 2R 6V 1R 2R 2A 10V Resposta: P=36W. 8-) Determine pelo método das correntes de malha: a) As correntes de ramo Ia, Ib e Ic. b) Repita o item (a) se a polaridade da fonte de 64V for invertida. 45R 64V Ia 4R 1,5R2R 40V 3R Ib Ic Respostas: a) Ia=9,8A, Ib=-0,2A e Ic=-10A; b) Ia=-1,72A, Ib=1,08A, Ic=2,8A. 9-) Use o método das correntes de malha para determinar: a) A potência fornecida pela fonte de corrente de 30A. João Marcio Buttendorff 43 b) A potência total fornecida ao circuito pelas fontes. 4R 0,8R 424V 30A 600V 5,6R 16R 3,2R Respostas: a) P=-312W; b) 17,296kW. 10-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência total fornecida pelas fontes ao circuito. 12R 4R 2R 6R 12V 70V 10R 110V 3R Resposta: P=1,14kW. 11-) Use o método das correntes de malha para determinar a potência dissipada nos resistores do circuito abaixo. 18V 6R 9R 2R 3R 15V3A Respostas: P3R=1,08W, P2R=0,72W, P9R=51,84W e P6R=34,56W. 12-) O circuito da figura abaixo é um a versão em corrente contínua de um sistema de três fios para distribuição de energia elétrica. Os resistores Ra, Rb e Rc representam as resistências dos três condutores que ligam as três cargas R1, R2 e R3 à fonte de alimentação 125/250V. Os resistores R1 e R2 representam cargas ligadas aos circuitos de 125V e R3 representa uma carga ligada ao circuito de 250V. a) Determine V1, V2 e V3. b) Calcule a potência dissipada em R1, R2 e R3. c) Que porcentagem da potência total fornecida pelas fontes é dissipada nas cargas? d) O ramo Rb representa o condutor neutro do circuito de distribuição. Qual seria a conseqüência desagradável de uma ruptura do condutor neutro? (Sugestão: Calcule João Marcio Buttendorff 44 V1 e V2 e observe se as cargas ligadas a este circuito teriam uma tensão de trabalho de 125V). 125V R2=19,4R Ra=0,2R R1=9,4R R3=21,2R Rc=0,2R 125V Rb=0,4R V1 V2 V3 + + + _ _ _ Respostas: a) V1=117,758V, V2=123,9V, V3=241,658V; b) PR1=1,475kW, PR2=791,3W, PR3=2,755kW; c-) 96,3%; e) V1=79V, V2=163V. 13-) Determine Vo e Io no circuito abaixo. 1R 3R 2R 2R 16V Io 2.Io Vo Respostas: Vo=33,78V e Io=10,67A. 14-) Aplique a análise de malhas para encontrar Vo no circuito abaixo. 8R2R 1R 5A Vo 20V4R 40V Resposta: Vo=20V. 15-) Utilize a análise da malhas para obter Io no circuito abaixo. João Marcio Buttendorff 45 2R 4R 6V 1R 12V 3A5R Io Resposta: Io=-1,733A. 9 MÉTODO DE ANÁLISE NODAL A análise nodal envolve sempre os cinco passos descritos a seguir: 9.1 Seleção do Nó de Referência Inicialmente deve ser selecionado um nó qualquer do circuito como nó de referência, em relação ao qual todas as tensões serão medidas. O potencial deste nó será assumido como zero, motivo pelo qual ele muitas vezes tambémé denominado de nó de terra. Em seguida os demais nós são numerados de 1 a (n-1), sendo n o número total de nós do circuito incluindo o nó de referência. As demais tensões dos nós serão designadas como V1, V2, V3....Vn-1. 9.2 Aplicação da LCK aos Nós Após a escolha do nó de referência e numeração dos nós restantes, deve-se aplicar a Lei de Kirchhoff para os (n-1) nós. A LCK não necessita ser aplicada para o nó de referência, uma vez que resultará numa equação a mais do que o necessário. Deve-se adotar uma convenção de sinal de acordo com o sentido das correntes em relação aos nós. Geralmente, considera-se que correntes que entram no nó são consideradas positivas, enquanto que correntes que saem são consideradas negativas. Como resultado desta etapa haverá (n-1) equações que representam os somatórios das correntes que incidem e saem dos (n-1) nós. 9.3 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos Uma vez que as equações da etapa anterior foram escritas em função das correntes de nós e as incógnitas são tensões de nó, deve-se utilizar as relações de tensão-corrente para substituir as correntes de nós por relações envolvendo as tensões de nó. Como resultado desta etapa, obtém-se (n-1) equações envolvendo as tensões de nó. Deve-se atentar que existe uma relação tensão-corrente para cada ramo, existindo, portanto b relações deste tipo. João Marcio Buttendorff 46 9.4 Solução do Sistema de Equações Após a obtenção das equações de nó, deve-se utilizar algum método de solução e determinar as (n-1) incógnitas. Caso o circuito seja composto apenas de resistores, obtém- se um sistema de (n-1) equações algébricas onde os coeficientes são obtidos a partir das resistências do circuito. 9.5 Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos Deve-se observar para o fato que, após solucionado o sistema de equações, pode-se obter todas as correntes e tensões de ramo do circuito a partir das tensões de nó. Por exemplo, a tensão do ramo k, conectado entre os nós x e y do circuito conforme a Fig. 9-1, pode ser obtida pela seguinte equação: k xy x yV V V V� � � (9.1) Ik VyVx Rk + _ Fig. 9-1 - Tensão e corrente de ramo. Considerando-se os sentidos associados, a corrente no ramo k que circula do nó x para o nó y será dada como: x y k k V V I R � � (9.2) Rk – Resistência do ramo k (ohms) 9.6 Exemplo de Aplicação O método exposto será ilustrado por meio de um exemplo simples ilustrado na Fig. 9-2, onde todas as etapas citadas serão realizadas. Ia R3 Ib R1 R2 + + + __ _ I2 I1 I3 0 1 2 V1 V2 Fig. 9-2 - Circuito de exemplo. João Marcio Buttendorff 47 9.6.1 Seleção do Nó de Referência Para o circuito mostrado na Fig. 9-2 existem 3 nós, sendo que o nó inferior será escolhido como nó de referência (terra). As tensões nos outros dois nós serão denominados V1 e V2. As correntes nos resistores R1, R2 e R3 serão denominadas I1, I2 e I3. 9.7 Aplicação da LCK aos Nós Aplicando-se a LCK para os nós 1 e 2 e considerando-se como positivas as correntes que entram no nós, obtém-se: Nó 1: 1 2 1 20a b a bI I I I I I I I� � � � � � � � (9.3) Nó 2: 2 32 3 0b bI I I I I I� � � �� � � (9.4) 9.7.1 Consideração das Relações Tensão-Corrente dos Ramos Considerando os sentidos das tensões e correntes associados aos resistores (Ramos) do circuito, obtém-se: 1 1 1 1 1 0V VI R R � � � (9.5) 1 2 2 2 V VI R � � (9.6) 2 2 3 3 3 0V VI R R � � � (9.7) Substituindo-se as equações (9.5), (9.6) e (9.7) nas equações (9.3) e (9.4), obtém-se o seguinte sistema de equações em termos das resistências e fontes de corrente: 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 .a b a b V V V VI I V I I R R R R R � �� � �� � � � � � � � � � � (9.8) 1 2 2 1 2 3 2 2 3 1 12.b b V V V VI V I R R R R R � �� � � �� � � � � � � � � � (9.9) 9.7.2 Solução do Sistema de Equações A solução do sistema será realizada considerando os seguintes valores numéricos: João Marcio Buttendorff 48 5aI A� 3bI A� 1 2R � � 2 4R � � 3 8R � � Com os valores dos resistores e das fontes de corrente, o sistema de equações assumirá a seguinte forma: 1 2 1 2 0,75. 0, 25. 2 0, 25. 0,375. 3 V V V V � � � � � (9.10) Solucionando-se o sistema, obtém-se: 1 2 6,857 12,571 V V V V � � 9.7.3 Obtenção das Correntes e Tensões de Ramos A partir das tensões dos nós V1 e V2 obtém-se por meio das equações (9.5) a (9.7) as correntes de ramo: 1 1 1 6,857 3,429 2 VI A R � � � (9.11) 1 2 2 2 6,857 12,571 1,429 4 V VI A R � � � � �� (9.12) 2 3 3 12,571 1,571 8 VI A R � � � (9.13) As tensões sobre os ramos serão dadas pelas seguintes equações: 1 1 0 6,857RV V V� � � (9.14) 2 1 2 6,857 12,571 5,714RV V V V� � � � �� (9.15) 3 2 0 12,571RV V V� � � (9.16) O sinal negativo da tensão VR2 que aparece na solução significa que a tensão que efetivamente existe sobre este componente possui polaridade contrária ao sentido assumido como positivo. Da mesma forma, a corrente negativa significa que o sentido que efetivamente existe é contrário aquele considerado positivo. Com a determinação de todos as tensões e correntes do circuito, pode-se também determinar a potência dissipada em cada um dos resistores e nas fontes de corrente. 9.8 Análise Nodal com Fontes de Tensão A análise nodal, sendo um método geral de análise, pode também ser empregada quando o circuito contiver fontes de tensão sejam elas dependentes ou independentes. As João Marcio Buttendorff 49 fontes de tensão impõem uma determinada diferença de potencial entre dois nós, não sendo possível determinar a corrente da mesma antes de solucionar o circuito. Estas características devem ser consideradas quando do estabelecimento das equações do circuito. Existem diversas formas de considerar o efeito das fontes de tensão, sendo que uma delas é descrita a seguir. Considerando que a fonte de tensão está conectada entre os terminais x e y conforme a Fig. 9-3, observa-se que a corrente da fonte aparecerá nas equações de ambos os nós do circuito onde a fonte está conectada. Como não há uma relação entre a corrente da fonte e a sua tensão, pode-se manter a corrente Ik como uma incógnita a ser determinada. Por outro lado, as tensões dos nós x e y estão relacionados da seguinte forma. x yV V V� � (9.17) Ik V + _ Ik Vx Vy x y Fig. 9-3 - Fonte de tensão entre dois nós. Desta forma, foi acrescentada uma incógnita ao sistema de equações (Ik), mas também foi acrescentada uma equação (9.17), sendo ainda possível solucionar o circuito. Caso a fonte de tensão estiver conectada entre o nó x e o nó de terra, significa que a tensão do nó está imposta, podendo-se neste caso desconsiderar a equação deste nó e estabelecer o seguinte valor para a tensão do nó: xV V� (9.18) O exemplo mostrado na Fig. 9-4 ilustra este procedimento. V=2V IfIa V1 I2R2 Ib 7A I3 R3=10R R1 2R2A 4RI1 V2 + + + + _ _ _ _ 2 0 1 Fig. 9-4 - Análise nodal com fonte de tensão. As equações dos nós para este circuito são: Nó 1: 1 3 1 30a f f aI I I I I I I I� � � � � � � � (9.19) Nó 2: João Marcio Buttendorff 50 3 2 2 30f b f bI I I I I I I I� � � � �� � � � (9.20) Asrelações tensão corrente são: 1 1 1 1 1 0V VI R R � � � (9.21) 2 2 2 2 2 0V VI R R � � � (9.22) 1 2 3 3 V VI R � � (9.23) A equação adicional considerando a fonte de tensão é: 1 2V V V� � (9.24) Substituindo-se as relações (9.21) a (9.23) obtém-se finalmente as equações do circuito. Deve-se observar que a corrente da fonte de tensão aparece como uma incógnita a mais, havendo também uma equação a mais (equação (9.24)). 1 3 1 1 2 1 3 2 1 1 3 3 1 1 . f a f a f a I I I I V V V I I R R VV I I R R R � � � � � � � � �� �� � � � � � � (9.25) 2 3 2 1 2 2 3 1 2 3 2 3 1 1 . f b f b f b I I I I V V V I I R R V V I I R R R � � � � � � � � � � �� �� � � � � � � (9.26) Substituindo-se os valores nas equações, obtém-se o seguinte sistema: 1 2 1 2 1 2 0,6. 0,1. 2 0,1. 0,35. 7 2 f f V V I V V I V V � � � � � � � � (9.27) Resolvendo-se o sistema, obtém-se as incógnitas desconhecidas: 1 2 6 8 4,8f V V V V I A �� �� �� João Marcio Buttendorff 51 9.9 Exercícios 1-) Calcule as correntes e as tensões nos resistores utilizando a análise nodal. R2 3R R1 12R 84V 21V R3 6R Respostas: V1=60V; V2=24V; V3=3V; I1=5A; I2=4A e I3=1A. 2-) Obtenha as tensões nodais do circuito abaixo. 4A2R 6R 7R1A 1 2 Respostas: V1=-2V e V2=-14V. 3-) Determine pelo método das tensões de nó: a) V1, V2 e I1. b) A potência fornecida pela fonte de 15A. c) A potência fornecida pela fonte de 5A. 5R 5A15R60R15A 2RV1 + + _ _ V2 I1 Respostas: a) V1=60V, V2=10V, I1=10A; b) P=900W; c) P=-50W. 4-) Use o método das tensões de nó para determinar o valor de V no circuito abaixo. 1R 30V 4R V 12R4,5A 6R 2R + _ Resposta: V=15V. 5-) Determine pelo método das tensões de nó a tensão V1 e a potência fornecida pela fonte de 60V no circuito abaixo. João Marcio Buttendorff 52 4A 30R80R20R 10R60V V1 + _ Respostas: V1=20V e P=180W. 6-) Determine pelo método das tensões de nó: a) As correntes nos ramos. b) A potência total consumida no circuito. 18R 48R 20R Ia 10R 70V 8R 128V Ib Ic Id Ie Respostas: a) Ia=4A, Ib=2A, Ic=2A, Id=3A, Ie=-1A; b) P=582W. 7-) Use o método das tensões de nó para determinar V1 e V2 no circuito abaixo. 3,2A 25R V1 375R125R2,4A 250R + _ V2 + _ Respostas: V1=25V e V2=90V. 8-) Use o método das tensões de nó para determinar Vo no circuito. 200R 20R Vo 6A50R 40R 800R 75V + _ Resposta: Vo=40V. 9-) Use o método das tensões de nó para determinar V1 e V2 no circuito abaixo. V2 3A 4R 5R144V 10R V1 80R ++ _ _ Respostas: V1=100V e V2=20V. 10-) Use o método das tensões de nó para determinar a potência dissipada no circuito abaixo. João Marcio Buttendorff 53 25R 50R 4A 31,25R30V 1A50R 15R Resposta: P=306W. 11-) Encontre Io no circuito abaixo. 8R 1R 2R 4A 4R Io 2.Io Resposta: Io=-4A. 12-) Determine V1 e V2 no circuito abaixo. 4R 8R 1R 3A 2R 12V + Vo - + _ 5.Vo V1 V2 Respostas: V1=-10,91V e V2=-100,36V. 13-) Utilize a análise nodal para encontrar Vo no circuito abaixo. 5R 2R 3V 3R 1R + + _ _ Vo 4.Vo Resposta: Vo=1,11V. João Marcio Buttendorff 54 10 SUPERPOSIÇÃO O princípio da superposição estabelece que quando um circuito contiver mais de uma fonte independente, a resposta do circuito pode ser obtida da resposta individual do circuito a cada uma das fontes atuando de forma isolada. Desta forma, pode-se determinar a resposta individual do circuito considerando-se as fontes uma a uma e, ao final, somar algebricamente as respostas individuais. A utilização do princípio da superposição pode, em muitos casos reduzir a complexidade do circuito e facilitar a solução. Para a resolução de circuitos utilizando o princípio da superposição deve-se levar em consideração os seguintes passos: 1. Desligar todas as fontes independentes do circuito, exceto uma. Fontes de tensão são substituídas por curtos-circuitos e fontes de corrente por circuitos abertos. Fontes dependentes não devem ser alteradas. 2. Repetir o passo 1 até que todas as fontes independentes foram consideradas. 3. Determinar a resposta total somando-se as respostas individuais de cada fonte. As tensões e correntes de cada ramo serão a soma das tensões e correntes individuais obtidas. Deve-se observar o sentido das correntes e tensões nas respostas individuais. 10.1 Exemplo de Aplicação Considere o circuito da Fig. 10-1, onde existe duas fontes independentes. Deseja-se calcular a corrente Ia e a potência dissipada no resistor de 4�. 30R 15V10A 10R 20R 4R 5R Ia Fig. 10-1 - Circuito de exemplo. Inicialmente será considerado apenas o efeito da fonte de corrente, sendo a de tensão substituída por um curto-circuito. O circuito equivalente é apresentado na Fig. 10-2. 30R 10A 10R 20R 4R 5R Ia' Fig. 10-2 - Circuito equivalente para a fonte de corrente. Solucionando-se o circuito obtém-se a corrente Ia’=2,703A. Esta corrente é considerada positiva, pois coincide com o sentido arbitrado como positivo. João Marcio Buttendorff 55 Considerando-se agora o efeito causado pela fonte de tensão, obtém-se o circuito apresentado na Fig. 10-3. 30R 15V 10R 20R 4R 5R Ia'' Fig. 10-3 - Circuito equivalente para a fonte de tensão. Resolvendo-se o circuito, obtém-se uma corrente Ia’’=-1,014A. A corrente tem um valor negativo pelo fato de que neste caso a fonte de tensão impõe uma corrente que circula no sentido contrário ao assumido como positivo. Desta forma, pelo princípio da superposição, a corrente total que circula no resistor será: ' '' 2,703 1,014 1,689 a a a a I I I I A = + = − = (10.1) A potência dissipada no resistor será: 2 2 . 4.(1,689) 11,41 aP R I P W = = = (10.2) 10.2 Exercícios 1-) Use o teorema da superposição para encontrar V no circuito abaixo. 3A4R6V 8R V + _ Resposta: V=10V. 2-) Determine a tensão Vo usando o teorema da superposição. 3R 2R 5R 20V8AVo + _ Resposta: Vo=12V. João Marcio Buttendorff 56 3-) Determine o valor da corrente I, usando o princípio da superposição. 8R 4A 16V 6R 2R 12V I Resposta: I=0,75A. 4-) Determine a corrente I do circuito apresentado abaixo. 24V 3R 4R 12V 4R 3A 8R I Resposta: I=2A. 5-) Dado o circuito abaixo, utilize a superposição para determinar Io. 3R 5R 2R 10R 4R 12V 2A 4A Io Resposta: Io=0,1111A. 6-) Utilize a superposição para obter a tensão Vx no circuito abaixo. Vx 2A 20R 10V 4R 0,1.Vx Resposta: Vx=12,5V. 7-) Determine Ix no circuito abaixo pelo método da superposição. João Marcio Buttendorff 57 4R 2R 1R 2A10V Ix 5.Ix Resposta: Ix=-0,1176A. 8-) Determine Io no circuito abaixo. 5R 1R 4A 20V 2R 4R 3R 5.Io + | Io Resposta: Io=-0,4706A. 11 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN E NORTON 11.1 Introdução Em muitos casos práticos existe a necessidade de determinar a tensão,
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