VS 2015.2 Pablo Guarino UFF

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Universidade Federal Fluminense – UFF
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica – IME
Departamento de Matema´tica Aplicada – GMA
Professor Pablo Guarino
VS de Ca´lculo III A (2015-2) - 29/03/2016
Questa˜o Pontos Notas
1 2
2 2
3 2
4 2
5 2
Total 10
Nome:
Observac¸o˜es: A interpretac¸a˜o das questo˜es faz parte dos crite´rios de avaliac¸a˜o desta prova.
Responda cada questa˜o de maneira clara e organizada. Resultados apresentados sem jus-
tificativas do racioc´ınio na˜o sera˜o considerados. Qualquer aluno pego consultando alguma
fonte ou colega tera´, imediatamente, atribu´ıdo grau zero na prova. O mesmo ocorrera´ com o
aluno que facilitar a consulta do colega. Na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova. Na˜o
e´ permitido o uso de calculadora. O celular deve estar desligado e guardado.
Questa˜o 1 (2 pontos)
(a) Calcule o volume no R3 da regia˜o limitada superiormente por z = x2 e inferiormente
pela regia˜o no plano z = 0 limitada pelas curvas x2 + y − 2 = 0 e x− y = 0.
(b) Considere no semi-plano
{
(x, y) ∈ R2 : x > 0} o campo de vetores X dado por:
X(x, y) =
(
x−1ey , 2x+ ey lnx
)
.
Calcule
∫
γ
X dr, onde γ e´ a fronteira da regia˜o limitada por x−y4−1 = 0 e x−2 = 0.
Questa˜o 2 (2 pontos)
Calcule
∫
γ
X dr, onde X(x, y) =
(
sen y− y senx , x cos y+ cosx) e γ : [0, 1]→ R2 e´ dada
por γ(t) =
(
t2 − 1
1 + t2
,
2t2
1 + t3
)
.
Questa˜o 3 (2 pontos)
Seja Ω ⊂ R2 a regia˜o interior a` elipse x
2
4
+ y2 = 1, e seja X o campo de vetores em R2
dado por X(x, y) =
(
4x − 2y , 2x + 6y). Verifique o Teorema de Green, calculando as
duas integrais do enunciado.
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Departamento de Matema´tica Aplicada – GMA
Professor Pablo Guarino
Questa˜o 4 (2 pontos)
Calcule
∫
γ
X dr, onde X(x, y, z) =
(
yz + z , xz + e−y , xy + e−z
)
e γ e´ a curva obtida
da intersec¸a˜o das superf´ıcies x2 + y2 = 4 e z = y + 3, orientada no sentido anti-hora´rio
quando projetada no plano xy (ou seja, no plano z = 0).
Questa˜o 5 (2 pontos)
Considere o campo de vetores X em R3 dado por X(x, y, z) = (xy2 , x2y , y). Calcule∫∫
S
〈X, η〉 dS, onde S e´ a fronteira de Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 < 1 ,−1 < z < 1} e
η e´ o campo unita´rio normal a` superf´ıcie S que e´ exterior ao aberto Ω.
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