aula8

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GEX114 - Ca´lculo Nume´rico
Profa.Dra.Amanda Castro Oliveira
Departamento de Cieˆncias Exatas - DEX/UFLA
amanda@dex.ufla.br
Aula 8 - Cap.2 Soluc¸o˜es Nume´ricas de Equac¸o˜es
Seja f (x) uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b], onde f (a)f (b) < 0.
Enta˜o o me´todo da Bissecc¸a˜o gera uma sequ¨eˆncia xk =
ak+bk
2
que converge para a raiz δ quando k →∞.
1 Determine um intervalo inicial [ak , bk ] tal que f (ak)f (bk) < 0.
2 Calcule a raiz aproximada considerando xk =
ak+bk
2
Se |f (xk)| < � enta˜o xk e´ a raiz procurada e o processo
terminou. Sena˜o:
Se f (ak)f (xk) < 0 enta˜o ak+1 = ak e bk+1 = xk sena˜o:
f (ak)f (xk) > 0 enta˜o ak+1 = xk e bk+1 = bk
3 Repita este processo ate´ que |f (xk)| < � ou |bk − ak | < �
2.4.1 Me´todo da Bissecc¸a˜o-algoritmo-estimativa do
nu´mero de iterac¸o˜es
Pelo crite´rio de parada podemos observar que o nu´mero de
iterac¸o˜es depende do intervalo inicial [a0, b0] e da precisa˜o
requerida �.
Dada uma precisa˜o � temos,
(bk − ak) < �⇒ (b0 − a0)
2k
< �⇒ 2k > (b0 − a0)
�
Como estes valores sa˜o sempre positivos, podemos aplicar a func¸a˜o
logaritmo, obtendo,
k >
log (b0 − a0)− log �
log (2)
Portanto k e´ o nu´mero m´ınimo de iterac¸o˜es necessa´rias para que o
me´todo da bissecc¸a˜o encontre a raiz procurada x¯ com a precisa˜o �
2.4.1 Me´todo da Bissecc¸a˜o-algoritmo-estimativa do
nu´mero de iterac¸o˜es
Pelo crite´rio de parada podemos observar que o nu´mero de
iterac¸o˜es depende do intervalo inicial [a0, b0] e da precisa˜o
requerida �.
Dada uma precisa˜o � temos,
(bk − ak) < �⇒ (b0 − a0)
2k
< �⇒ 2k > (b0 − a0)
�
Como estes valores sa˜o sempre positivos, podemos aplicar a func¸a˜o
logaritmo, obtendo,
k >
log (b0 − a0)− log �
log (2)
Portanto k e´ o nu´mero m´ınimo de iterac¸o˜es necessa´rias para que o
me´todo da bissecc¸a˜o encontre a raiz procurada x¯ com a precisa˜o �
2.4.1 Me´todo da Bissecc¸a˜o-algoritmo-estimativa do
nu´mero de iterac¸o˜es
Pelo crite´rio de parada podemos observar que o nu´mero de
iterac¸o˜es depende do intervalo inicial [a0, b0] e da precisa˜o
requerida �.
Dada uma precisa˜o � temos,
(bk − ak) < �⇒ (b0 − a0)
2k
< �⇒ 2k > (b0 − a0)
�
Como estes valores sa˜o sempre positivos, podemos aplicar a func¸a˜o
logaritmo, obtendo,
k >
log (b0 − a0)− log �
log (2)
Portanto k e´ o nu´mero m´ınimo de iterac¸o˜es necessa´rias para que o
me´todo da bissecc¸a˜o encontre a raiz procurada x¯ com a precisa˜o �
2.4.1 Me´todo da Bissecc¸a˜o-algoritmo-estimativa do
nu´mero de iterac¸o˜es
Ex.1 Seja f (x) = x ln(x)− 1 qual o nu´mero m´ınimo de iterac¸o˜es
para encontrarmos as ra´ızes desta func¸a˜o com � = 0.01?
Como a0 = 1 e b0 = 2 temos que
k >
log (2− 1)− log 10−2
log (2)
=
log 1 + 2 log 10
log (2)
=
2
0.3010
= 6.64!
Que esta´ de acordo com o resultado encontrado no exemplo em
que tivemos k = 7.
2.4.1 Me´todo da Bissecc¸a˜o-algoritmo-estimativa do
nu´mero de iterac¸o˜es
Ex.1 Seja f (x) = x ln(x)− 1 qual o nu´mero m´ınimo de iterac¸o˜es
para encontrarmos as ra´ızes desta func¸a˜o com � = 0.01?
Como a0 = 1 e b0 = 2 temos que
k >
log (2− 1)− log 10−2
log (2)
=
log 1 + 2 log 10
log (2)
=
2
0.3010
= 6.64!
Que esta´ de acordo com o resultado encontrado no exemplo em
que tivemos k = 7.
2.4.1 Me´todo da Bissecc¸a˜o-algoritmo-estimativa do
nu´mero de iterac¸o˜es
O me´todo da Bissecc¸a˜o sempre vai alcanc¸ar eˆxito se f (x) for uma
func¸a˜o cont´ınua em [a, b], onde f (a)f (b) < 0, entretanto sua
convergeˆncia para uma boa aproximac¸a˜o pode ser muito lenta.
Em geral ele e´ usado para conseguirmos uma primeira aproximac¸a˜o
para a raiz que depois e´ aproximada com maior precisa˜o e
velocidade por um outro me´todo.
Ex.2: Considere b0 − a0 = 3 e � = 10−7, assim
k >
log (3)− log 10−7
log (2)
=
log 3 + 7 log 10
log (2)
= 24.8!
Exerc´ıcio: Seja f (x) = ( x2 )
2 − sen(x) encontre a raiz positiva desta
equac¸a˜o considerando � = 10−3
2.4.2 Me´todo da Posic¸a˜o Falsa
Tambe´m conhecido como Regula Falsi ou Regra Falsa procura a
raiz aproximada x¯ de modo ana´logo ao me´todo da Bissecc¸a˜o
usando informac¸o˜es sobre os valores de f (x) dispon´ıveis a cada
iterac¸a˜o.
Exige que:
Seja f (x) uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b]
f (a)f (b) < 0.
O intervalo [a, b] conte´m somente uma u´nica raiz de f (x)
Assim, ele considera como raiz aproximada a me´dia aritme´tica
ponderada entre os pontos ak e bk com os respectivos pesos f (ak)
e f (bk).
xk =
ak f (bk)− bk f (ak)
f (bk)− f (ak) ,
considerando que f (ak) e f (bk) teˆm sinais opostos.
2.4.2 Me´todo da Posic¸a˜o Falsa
Graficamente este ponto xk e´ o ponto de intersecc¸a˜o entre a reta
r(x) que passa pelos pontos (ak , f (ak)) e (bk , f (bk)) e o eixo x.
A equac¸a˜o da reta r(x) e´
y = f (ak) +
(x−ak )f (bk )−f (ak )
bk−ak ,
como xk e´ o ponto
em que y = 0,temos que
xk =
ak f (bk )−bk f (ak )
f (bk )−f (ak ) .
2.4.2 Me´todo da Posic¸a˜o Falsa
1 Determine um intervalo inicial [ak , bk ] tal que f (ak)f (bk) < 0.
2 Calcule a raiz aproximada considerando xk =
ak f (bk )−bk f (ak )
f (bk )−f (ak ) .
Se |f (xk)| < � enta˜o xk e´ a raiz procurada e o processo
terminou. Sena˜o:
Se f (ak)f (xk) < 0 enta˜o ak+1 = ak e bk+1 = xk sena˜o:
f (ak)f (xk) > 0 enta˜o ak+1 = xk e bk+1 = bk
3 Repita este processo ate´ que |f (xk)| < � ou |bk − ak | < �
2.4.2 Me´todo da Posic¸a˜o Falsa
Ex.1 Seja f (x) = x3 − 9x + 3 encontre a menor raiz positiva com
� = 5x10−4
Fase 1- Isolamento das ra´ızes
Temos que a func¸a˜o e´ polinomial de grau treˆs e esta´ definida para
todo o conjunto dos nu´meros reais, ale´m disso, f ′(x) = 3x2 − 9
cujos pontos cr´ıticos sa˜o x = ±√3.
Fazendo uma tabela com alguns pontos na vizinhanc¸a dos pontos
cr´ıticos temos:
xk −4 −3 −
√
3 −1 0 1 √3 2 3
f (xk) −25 3 13.3923 11 3 −5 −7.3923 −7 3
Assim vemos que as ra´ızes esta˜o em δ1 ∈ [−4,−3], δ2 ∈ [0, 1] e
δ3 ∈ [2, 3].
2.4.2 Me´todo da Posic¸a˜o Falsa
Ex.1 Seja f (x) = x3 − 9x + 3 encontre a menor raiz positiva com
� = 5x10−4
Fase 1- Isolamento das ra´ızes
Temos que a func¸a˜o e´ polinomial de grau treˆs e esta´ definida para
todo o conjunto dos nu´meros reais, ale´m disso, f ′(x) = 3x2 − 9
cujos pontos cr´ıticos sa˜o x = ±√3.
Fazendo uma tabela com alguns pontos na vizinhanc¸a dos pontos
cr´ıticos temos:
xk −4 −3 −
√
3 −1 0 1 √3 2 3
f (xk) −25 3 13.3923 11 3 −5 −7.3923 −7 3
Assim vemos que as ra´ızes esta˜o em δ1 ∈ [−4,−3], δ2 ∈ [0, 1] e
δ3 ∈ [2, 3].
2.4.2 Me´todo da Posic¸a˜o Falsa
2.4.2 Me´todo da Posic¸a˜o Falsa
Fase 2- Refinamento das ra´ızes
Vamos encontrar δ2 ∈ [0, 1] com � = 5x10−4 assim a0 = 0 e b0 = 1
i ai , f (ai ) bi , f (bi ) xi f (xi ) bi − ai
1 0, 3 1,−5 0.375 −0.3223 1
2 0, > 0 0.375, < 0 0.3386 −0.0086 0.375
3 0, > 0 0.3386, < 0 0.3376 −2.2588x10−4 0.3386
Assim x¯ = 0.3376 e´ a raiz considerando que
|f (x¯) = −2.2588x10−4| < �.
2.4.2 Me´todo da Posic¸a˜o Falsa
Fase 2- Refinamento das ra´ızes
Vamos encontrar δ2 ∈ [0, 1] com � = 5x10−4 assim a0 = 0 e b0 = 1
i ai , f (ai ) bi , f (bi ) xi f (xi ) bi − ai
1 0, 3 1,−5 0.375 −0.3223 1
2 0, > 0 0.375, < 0 0.3386 −0.0086 0.375
3 0, > 0 0.3386, < 0 0.3376 −2.2588x10−4 0.3386
Assim x¯ = 0.3376 e´ a raiz considerando que
|f (x¯) = −2.2588x10−4| < �.
2.4.2 Me´todo da Posic¸a˜o Falsa
Fase 2- Refinamento das ra´ızes
Vamos encontrar δ2 ∈ [0, 1] com � = 5x10−4 assim a0 = 0 e b0 = 1
i ai , f (ai ) bi , f (bi ) xi f (xi ) bi − ai
1 0, 3 1,−5 0.375 −0.3223 1
2 0, > 0 0.375, < 0 0.3386 −0.0086 0.375
3 0, > 0 0.3386, < 0 0.3376 −2.2588x10−4 0.3386
Assim x¯ = 0.3376 e´ a raiz considerando que
|f (x¯) = −2.2588x10−4| < �.
2.4.2 Me´todo da Posic¸a˜o Falsa
Em relac¸a˜o a` convergeˆncia podemos dizer que o me´todo da
Posic¸a˜o Falsa converge para a raiz exatapelos mesmos argumentos
utilizados no me´todo da Bissecc¸a˜o.
Ex.2 Seja f (x) = x ln(x)− 1 encontre as ra´ızes desta func¸a˜o com
� = 0.01 usando o me´todo da Posic¸a˜o Falsa e compare com os
resultados obtidos no me´todo da Bissecc¸a˜o.
2.4.3 Me´todo do Ponto Fixo-MPF
Definic¸a˜o 2.2: Um nu´mero p e´ um ponto fixo de uma func¸a˜o
dada g se g(p) = p.
Ex.A func¸a˜o g(x) = x2 − 2 para x ∈ [−3, 3] tem os seguintes
pontos fixos:
x = x2−2⇒ x2−x−2 = 0
cujas ra´ızes sa˜o
x = −1 e x = 2.
Note que:
g(−1) = (−1)2 − 2 = −1
e g(2) = (2)2 − 2 = 2
2.4.3 Me´todo do Ponto Fixo-MPF
Definic¸a˜o 2.2: Um nu´mero p e´ um ponto fixo de uma func¸a˜o
dada g se g(p) = p.
Ex.A func¸a˜o g(x) = x2 − 2 para x ∈ [−3, 3] tem os seguintes
pontos fixos:
x = x2−2⇒ x2−x−2 = 0
cujas ra´ızes sa˜o
x = −1 e x = 2.
Note que:
g(−1) = (−1)2 − 2 = −1
e g(2) = (2)2 − 2 = 2
2.4.3 Me´todo do Ponto Fixo-MPF
Definic¸a˜o 2.2: Um nu´mero p e´ um ponto fixo de uma func¸a˜o
dada g se g(p) = p.
Ex.A func¸a˜o g(x) = x2 − 2 para x ∈ [−3, 3] tem os seguintes
pontos fixos:
x = x2−2⇒ x2−x−2 = 0
cujas ra´ızes sa˜o
x = −1 e x = 2.
Note que:
g(−1) = (−1)2 − 2 = −1
e g(2) = (2)2 − 2 = 2
2.4.3 Me´todo do Ponto Fixo-MPF
Seja f (x) uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b] isto e´, intervalo que
conte´m uma raiz da equac¸a˜o f (x) = 0 tal que f (a)f (b) < 0.
O MPF consiste em transformar esta equac¸a˜o em uma equac¸a˜o
equivalente x = φ(x) e a partir de uma aproximac¸a˜o inicial x0
gerar uma sequeˆncia {xk} de aproximac¸o˜es para a raiz δ pela
relac¸a˜o xk+1 = φ(xk), pois a func¸a˜o φ(x) e´ tal que f (x) = 0 se e
somente se φ(δ) = δ.
Transformaremos assim o problema de encontrar um zero de f (x)
no problema de encontrar um ponto fixo de φ(x).
Uma func¸a˜o φ(x) que satisfaz a condic¸a˜o acima e´ chamada de
func¸a˜o de iterac¸a˜o.
Usando um artif´ıcio alge´brico pode-se transformar o problema
f (x) = 0 em x = φ(x).
2.4.3 Me´todo do Ponto Fixo-MPF
Ex1.Para a equac¸a˜o f (x) = x2 − 7x = 0 temos va´rias func¸o˜es de
iterac¸a˜o, como por exemplo:
(a) φ1(x) =
√
7x
(b) φ2(x) =
x2
7
(c) φ3(x) = x
2 − 7x + x
Ex2.Para a equac¸a˜o f (x) = x2 + x − 6 = 0 encontre algumas de
suas func¸o˜es de iterac¸a˜o.
(a) φ1(x) = 6− x2
(b) φ2(x) =
6
x+1
(c) φ3(x) =
6
x − 1
(d) φ4(x) = ±
√
6− x
2.4.3 Me´todo do Ponto Fixo-MPF
Ex1.Para a equac¸a˜o f (x) = x2 − 7x = 0 temos va´rias func¸o˜es de
iterac¸a˜o, como por exemplo:
(a) φ1(x) =
√
7x
(b) φ2(x) =
x2
7
(c) φ3(x) = x
2 − 7x + x
Ex2.Para a equac¸a˜o f (x) = x2 + x − 6 = 0 encontre algumas de
suas func¸o˜es de iterac¸a˜o.
(a) φ1(x) = 6− x2
(b) φ2(x) =
6
x+1
(c) φ3(x) =
6
x − 1
(d) φ4(x) = ±
√
6− x
2.4.3 Me´todo do Ponto Fixo-MPF
Ex1.Para a equac¸a˜o f (x) = x2 − 7x = 0 temos va´rias func¸o˜es de
iterac¸a˜o, como por exemplo:
(a) φ1(x) =
√
7x
(b) φ2(x) =
x2
7
(c) φ3(x) = x
2 − 7x + x
Ex2.Para a equac¸a˜o f (x) = x2 + x − 6 = 0 encontre algumas de
suas func¸o˜es de iterac¸a˜o.
(a) φ1(x) = 6− x2
(b) φ2(x) =
6
x+1
(c) φ3(x) =
6
x − 1
(d) φ4(x) = ±
√
6− x
2.4.3 Me´todo do Ponto Fixo-MPF
Ex1.Para a equac¸a˜o f (x) = x2 − 7x = 0 temos va´rias func¸o˜es de
iterac¸a˜o, como por exemplo:
(a) φ1(x) =
√
7x
(b) φ2(x) =
x2
7
(c) φ3(x) = x
2 − 7x + x
Ex2.Para a equac¸a˜o f (x) = x2 + x − 6 = 0 encontre algumas de
suas func¸o˜es de iterac¸a˜o.
(a) φ1(x) = 6− x2
(b) φ2(x) =
6
x+1
(c) φ3(x) =
6
x − 1
(d) φ4(x) = ±
√
6− x
2.4.3 Me´todo do Ponto Fixo-MPF
Ex1.Para a equac¸a˜o f (x) = x2 − 7x = 0 temos va´rias func¸o˜es de
iterac¸a˜o, como por exemplo:
(a) φ1(x) =
√
7x
(b) φ2(x) =
x2
7
(c) φ3(x) = x
2 − 7x + x
Ex2.Para a equac¸a˜o f (x) = x2 + x − 6 = 0 encontre algumas de
suas func¸o˜es de iterac¸a˜o.
(a) φ1(x) = 6− x2
(b) φ2(x) =
6
x+1
(c) φ3(x) =
6
x − 1
(d) φ4(x) = ±
√
6− x
2.4.3 Me´todo do Ponto Fixo-MPF
Ex1.Para a equac¸a˜o f (x) = x2 − 7x = 0 temos va´rias func¸o˜es de
iterac¸a˜o, como por exemplo:
(a) φ1(x) =
√
7x
(b) φ2(x) =
x2
7
(c) φ3(x) = x
2 − 7x + x
Ex2.Para a equac¸a˜o f (x) = x2 + x − 6 = 0 encontre algumas de
suas func¸o˜es de iterac¸a˜o.
(a) φ1(x) = 6− x2
(b) φ2(x) =
6
x+1
(c) φ3(x) =
6
x − 1
(d) φ4(x) = ±
√
6− x
2.4.3 Me´todo do Ponto Fixo-MPF
Ex1.Para a equac¸a˜o f (x) = x2 − 7x = 0 temos va´rias func¸o˜es de
iterac¸a˜o, como por exemplo:
(a) φ1(x) =
√
7x
(b) φ2(x) =
x2
7
(c) φ3(x) = x
2 − 7x + x
Ex2.Para a equac¸a˜o f (x) = x2 + x − 6 = 0 encontre algumas de
suas func¸o˜es de iterac¸a˜o.
(a) φ1(x) = 6− x2
(b) φ2(x) =
6
x+1
(c) φ3(x) =
6
x − 1
(d) φ4(x) = ±
√
6− x
2.4.3 Me´todo do Ponto Fixo-MPF
De forma geral, podemos construir uma func¸a˜o de iterac¸a˜o da
seguinte forma:
φ(x) = x + A(x)f (x)
com a condic¸a˜o de que em x = δ, ponto fixo de φ(x) tenhamos
A(δ) 6= 0.
Vamos enta˜o mostrar a equivaleˆncia entre o problema do ponto
fixo e o de se encontrar as ra´ızes
f (δ)⇔ φ(x) = x
(⇒) Seja δ tal que f (δ) = 0, assim
φ(δ) = δ + A(δ)f (δ)⇒ φ(δ) = δ
pois f (δ) = 0.
2.4.3 Me´todo do Ponto Fixo-MPF
De forma geral, podemos construir uma func¸a˜o de iterac¸a˜o da
seguinte forma:
φ(x) = x + A(x)f (x)
com a condic¸a˜o de que em x = δ, ponto fixo de φ(x) tenhamos
A(δ) 6= 0.
Vamos enta˜o mostrar a equivaleˆncia entre o problema do ponto
fixo e o de se encontrar as ra´ızes
f (δ)⇔ φ(x) = x
(⇒) Seja δ tal que f (δ) = 0, assim
φ(δ) = δ + A(δ)f (δ)⇒ φ(δ) = δ
pois f (δ) = 0.
2.4.3 Me´todo do Ponto Fixo-MPF
(⇐) Se φ(δ) = δ
δ + A(δ)f (δ) = δ ⇒ A(δ)f (δ) = 0⇒ f (δ) = 0
pois A(δ) 6= 0.
Este resultado nos mostra que dada uma equac¸a˜o f (x) = 0 existem
infinitas func¸o˜es de iterac¸a˜o φ(x) para a equac¸a˜o f (x) = 0.
2.4.3 Me´todo do Ponto Fixo-MPF
Graficamente, uma raiz da equac¸a˜o x = φ(x) e´ a abscissa do
ponto de intersecc¸a˜o da reta y = x e da curva y = φ(x) :
2.4.3 Me´todo do Ponto Fixo-MPF
2.4.3 Me´todo do Ponto Fixo-MPF
2.4.3 Me´todo do Ponto Fixo-MPF
Desses exemplos podemos observar que para certas func¸o˜es de
iterac¸a˜o φ(x) o processo pode gerar uma sequeˆncia que na˜o
converge para a raiz δ.
Pro´xima aula
Convergeˆncia do Me´todo do Ponto Fixo-MPF
Por hoje e´ so´ pessoal!!
Este material e´ inteiramente baseado na bibliografia do curso,
principalmente no livro texto :RUGIERO, M. A.G; LOPES,V
Ca´lculo Nume´rico: Aspectos teo´ricos e computacionais, Editora
McGraw-Hill.1997. Sites consultados acessados em 24/03/2011:
CASTILHO, J. E., Apostila de Ca´lculo Nume´rico,
http://www.castilho.prof.ufu.br, UFU, 2002
http://www.alunos.eel.usp.br/numerico/notas.html
Este material na˜o substitui a bibliografia.