aula19

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GEX114 - Ca´lculo Nume´rico
Profa. Dra. Amanda Castro Oliveira
Departamento de Cieˆncias Exatas - DEX/UFLA
amanda@dex.ufla.br
Cap´ıtulo 6 Integrac¸a˜o Nume´rica
Vamos discutir algumas te´cnicas nume´ricas para calcular
aproximadamente a integral de f (x) com x ∈ R num intervalo [a, b],
isto e´:
I =
∫ b
a
f (x)dx
onde f (x) e´ uma func¸a˜o cont´ınua com derivadas cont´ınuas em [a, b].
Quando conseguimos determinar a func¸a˜o primitiva F (x) de f (x) tal
que F ′(x) = f (x), o valor da integral e´ dado por:
I =
∫ b
a
f (x)dx = F (b)− F (a)
Exemplo: Calcular I =
∫ 2
0
x3dx .
Como F (x) = x
4
4 satisfaz F
′(x) = x3 enta˜o
I =
∫ 2
0
x3dx = F (2)− F (0) = 2
4
4
− 0
4
4
= 4
Cap´ıtulo 6 Integrac¸a˜o Nume´rica
Vamos discutir algumas te´cnicas nume´ricas para calcular
aproximadamente a integral de f (x) com x ∈ R num intervalo [a, b],
isto e´:
I =
∫ b
a
f (x)dx
onde f (x) e´ uma func¸a˜o cont´ınua com derivadas cont´ınuas em [a, b].
Quando conseguimos determinar a func¸a˜o primitiva F (x) de f (x) tal
que F ′(x) = f (x), o valor da integral e´ dado por:
I =
∫ b
a
f (x)dx = F (b)− F (a)
Exemplo: Calcular I =
∫ 2
0
x3dx .
Como F (x) = x
4
4 satisfaz F
′(x) = x3 enta˜o
I =
∫ 2
0
x3dx = F (2)− F (0) = 2
4
4
− 0
4
4
= 4
Cap´ıtulo 6 Integrac¸a˜o Nume´rica
Encontrar uma primitiva nem sempre e´ fa´cil e ou poss´ıvel.
Podemos tambe´m desconhecer a expressa˜o para f (x), uma vez que
esta pode ser o resultado de experimentos.
Nestes casos, me´todos nume´ricos sa˜o desenvolvidos para se obter
aproximac¸o˜es para o valor da integral definida I .
A ide´ia ba´sica da integrac¸a˜o nume´rica e´ a da substituic¸a˜o do
integrando f (x) por um polinoˆmio que a aproxime razoavelmente no
intervalo [a, b].
Assim encontramos uma soluc¸a˜o atrave´s da integrac¸a˜o de polinoˆmios,
o que e´ trivial de ser feito.∫ b
a
f (x)dx ≈
∫ b
a
Pn(x)dx
Cap´ıtulo 6 Integrac¸a˜o Nume´rica
Graficamente, considerando uma func¸a˜o f (x) ≥ 0 para todo
x ∈ [a, b], podemos relacionar I =
∫ b
a
f (x)dx com a a´rea entre a
curva f (x) e o eixo das abscissas.
cap6fig1.jpg
Figura: integral e a´rea
6.2 Fo´rmulas de Newton-Cotes
O polinoˆmio que aproxima f (x) e´ um polinoˆmio que interpola f (x)
em pontos do intervalo [a, b] igualmente espac¸ados.
Se [a, b] e´ o nosso intervalo de integrac¸a˜o e o dividimos em n partes
iguais, cada subintervalo tera´ tamanho h dado por:
h =
b − a
n
,
n inteiro tal que:
x0 = a, xn = b e xj = a + jh com j = 0, 1, · · · , n
xj+1 − xj = h
6.2 Fo´rmulas de Newton-Cotes
As fo´rmulas fechadas de Newton-Cotes sa˜o fo´rmulas de integrac¸a˜o do
tipo:
x0 = a, xn = b e∫ b
a
f (x)dx =
∫ xn
x0
f (x)dx ≈ A0f (x0) + A1f (x1) + · · ·+ Anf (xn) =
n∑
i=0
Ai f (xi ).
Os coeficientes Ai sa˜o determinados de acordo com o grau do
polinoˆmio aproximador.
6.2.1 Regra dos Trape´zios
Vamos aproximar o integrando f (x) por uma reta.
cap6fig2.jpg
Figura: regra dos trape´zios
6.2.1 Regra dos Trape´zios
Partiremos da fo´rmula de Lagrange para o polinoˆmio P1(x) que
interpola f (x) em x0 e x1, assim:∫ b
a
f (x)dx ≈
∫ x1=b
x0=a
P1(x)dx =
∫ x1=b
x0=a
(x − x1)
x0 − x1 f (x0) +
(x − x0)
(x1 − x0) f (x1)dx
Como x1 − x0 = h e x0 − x1 = −h podemos simplificar e escrever
IT =
∫ x1=b
x0=a
(x1 − x)
h
f (x0) +
(x − x0)
h
f (x1)dx = I1 + I2
6.2.1 Regra dos Trape´zios
Integrando separadamente cada uma das subintegrais teremos:
I1 =
∫ x1=b
x0=a
(x1 − x)
h
f (x0)dx =
f (x0)
h
∫ x1=b
x0=a
(x1 − x)dx
I1 =
f (x0)
h
(x1x − x
2
2
∣∣∣∣x1
x0
) =
f (x0)
h
(−x
2
1
2
+
x20
2
+ x21 − x0x1)
I1 =
f (x0)
h
(
x21
2
+
x20
2
− x0x1) = f (x0)
h
h2
2
=
f (x0)h
2
pois como h = (x1 − x0) enta˜o h22 =
x21
2 +
x20
2 − x0x1
6.2.1 Regra dos Trape´zios
Integrando separadamente cada uma das subintegrais teremos:
I1 =
∫ x1=b
x0=a
(x1 − x)
h
f (x0)dx =
f (x0)
h
∫ x1=b
x0=a
(x1 − x)dx
I1 =
f (x0)
h
(x1x − x
2
2
∣∣∣∣x1
x0
) =
f (x0)
h
(−x
2
1
2
+
x20
2
+ x21 − x0x1)
I1 =
f (x0)
h
(
x21
2
+
x20
2
− x0x1) = f (x0)
h
h2
2
=
f (x0)h
2
pois como h = (x1 − x0) enta˜o h22 =
x21
2 +
x20
2 − x0x1
6.2.1 Regra dos Trape´zios
Integrando separadamente cada uma das subintegrais teremos:
I1 =
∫ x1=b
x0=a
(x1 − x)
h
f (x0)dx =
f (x0)
h
∫ x1=b
x0=a
(x1 − x)dx
I1 =
f (x0)
h
(x1x − x
2
2
∣∣∣∣x1
x0
) =
f (x0)
h
(−x
2
1
2
+
x20
2
+ x21 − x0x1)
I1 =
f (x0)
h
(
x21
2
+
x20
2
− x0x1) = f (x0)
h
h2
2
=
f (x0)h
2
pois como h = (x1 − x0) enta˜o h22 =
x21
2 +
x20
2 − x0x1
6.2.1 Regra dos Trape´zios
Analogamente para I2 teremos:
I2 =
∫ x1=b
x0=a
(x − x0)
h
f (x1)dx =
f (x1)h
2
Portanto
IT = I1 + I2 =
h
2
[f (x0) + f (x1)]
que e´ a a´rea de um trape´zio de altura h = x1 − x0 e bases f (x0) e
f (x1)
Vemos que ao fazermos esta aproximac¸a˜o de substituir a a´rea
delimitada pelas curvas y = f (x) e x = x0, x = x1 e y = 0, que e´
exatamente
∫ b
a
f (x)dx o valor da a´rea do trape´zio de altura h e bases
f (x0) e f (x1) cometemos um certo erro.
6.2.1 Regra dos Trape´zios - Erro
Da interpolac¸a˜o polinomial sabemos que:
f (x) = P1(x) + (x − x0)(x − x1) f
′′(ξx)
2
, ξx ∈ [x0, x1]
integrando esta expressa˜o teremos:∫ x1=b
x0=a
f (x)dx = IT +
∫ x1=b
x0=a
((x − x0)(x − x1) f
′′(ξx)
2
)dx
Logo, o erro na integrac¸a˜o pela regra dos trape´zios, ET e´ dado por:
ET =
∫ x1=b
x0=a
((x − x0)(x − x1) f
′′(ξx)
2
)dx
6.2.1 Regra dos Trape´zios - Erro
Da interpolac¸a˜o polinomial sabemos que:
f (x) = P1(x) + (x − x0)(x − x1) f
′′(ξx)
2
, ξx ∈ [x0, x1]
integrando esta expressa˜o teremos:∫ x1=b
x0=a
f (x)dx = IT +
∫ x1=b
x0=a
((x − x0)(x − x1) f
′′(ξx)
2
)dx
Logo, o erro na integrac¸a˜o pela regra dos trape´zios, ET e´ dado por:
ET =
∫ x1=b
x0=a
((x − x0)(x − x1) f
′′(ξx)
2
)dx
6.2.1 Regra dos Trape´zios - Erro
Levando em considerac¸a˜o o fato de f (x) ser uma func¸a˜o cont´ınua e
com derivadas tambe´m cont´ınuas e o teorema do valor me´dio para
integrais, conseguimos chegar numa expressa˜o para o erro na
integrac¸a˜o nume´rica pela regra dos trape´zios dado por:
ET = −h
3
12
f ′′(c), c ∈ (x0, xn)
Na falta de conhecimento do ponto c podemos tomar o limitante
superior para o erro
|ET | = h
3
12
|f ′′(c)|
fazendo M2 = max{|f ′′(x)|, x0 ≤ x ≤ x1} enta˜o teremos:
|ET | ≤ h
3
12
M2
6.2.1 Regra dos Trape´zios
Exemplo: Calcule o valor aproximado de
∫ 1
0.5
(ln(x) + x)dx pela regra
dos trape´zios e encontre o limitante superior para o erro cometido.
Pela regra dos Trape´zios temos que:∫ 1
0.5
(ln(x) + x)dx =
h
2
[f (x0) + f (x1)] =
1− 0.5
2
[f (0.5) + f (1)] =
0.5
2
[−0.1931 + 1] = 0.2017132
Pois f (x) = ln(x) + x , enta˜o f (0.5) = −0.1931 e f (1) = 1
6.2.1 Regra dos Trape´zios
Exemplo: Calcule o valor aproximado de
∫ 1
0.5
(ln(x) + x)dx pela regra
dos trape´zios e encontre o limitante superior para o erro cometido.
Pela regra dos Trape´zios temos que:∫ 1
0.5
(ln(x) + x)dx =
h
2
[f (x0) + f (x1)] =
1− 0.5
2
[f (0.5) + f (1)] =
0.5
2
[−0.1931 + 1] = 0.2017132
Pois f (x) = ln(x) + x , enta˜o f (0.5) = −0.1931 e f (1) = 1
6.2.1 Regra dos Trape´zios
Exemplo: Calcule o valor aproximado de
∫ 1
0.5
(ln(x) + x)dx pela regra
dos trape´zios e encontre o limitante superior para o erro cometido.
Pela regra dos Trape´zios temos que:∫ 1
0.5
(ln(x) + x)dx =h
2
[f (x0) + f (x1)] =
1− 0.5
2
[f (0.5) + f (1)] =
0.5
2
[−0.1931 + 1] = 0.2017132
Pois f (x) = ln(x) + x , enta˜o f (0.5) = −0.1931 e f (1) = 1
6.2.1 Regra dos Trape´zios
Limitante superior para o erro:
|ET | ≤ h
3
12
M2
com M2 = max{|f ′′(x)|, x0 ≤ x ≤ x1}
M2 = max{|f ′′(x)|, 0.5 ≤ x ≤ 1}, f (x) = ln(x) + x , f ′(x) = 1x + 1 e
f ′′(x) = − 1
x2
como f ′′(x) = − 1
x2
e´ uma func¸a˜o decrescente enta˜o
M2 = max{| − 1x2 |, 0.5 ≤ x ≤ 1} = 10.52 = 4 e o limitante superior
para o erro e´ dado por:
|ET | ≤ 0.5
3
12
4 =
0.125
3
= 0.0417
Calcule o valor aproximado de
∫ pi/2
0
cos(x)dx pela regra dos trape´zios
e encontre o limitante superior para o erro cometido.
6.2.1 Regra dos Trape´zios
Limitante superior para o erro:
|ET | ≤ h
3
12
M2
com M2 = max{|f ′′(x)|, x0 ≤ x ≤ x1}
M2 = max{|f ′′(x)|, 0.5 ≤ x ≤ 1}, f (x) = ln(x) + x , f ′(x) = 1x + 1 e
f ′′(x) = − 1
x2
como f ′′(x) = − 1
x2
e´ uma func¸a˜o decrescente enta˜o
M2 = max{| − 1x2 |, 0.5 ≤ x ≤ 1} = 10.52 = 4 e o limitante superior
para o erro e´ dado por:
|ET | ≤ 0.5
3
12
4 =
0.125
3
= 0.0417
Calcule o valor aproximado de
∫ pi/2
0
cos(x)dx pela regra dos trape´zios
e encontre o limitante superior para o erro cometido.
6.2.1 Regra dos Trape´zios
Limitante superior para o erro:
|ET | ≤ h
3
12
M2
com M2 = max{|f ′′(x)|, x0 ≤ x ≤ x1}
M2 = max{|f ′′(x)|, 0.5 ≤ x ≤ 1}, f (x) = ln(x) + x , f ′(x) = 1x + 1 e
f ′′(x) = − 1
x2
como f ′′(x) = − 1
x2
e´ uma func¸a˜o decrescente enta˜o
M2 = max{| − 1x2 |, 0.5 ≤ x ≤ 1} = 10.52 = 4 e o limitante superior
para o erro e´ dado por:
|ET | ≤ 0.5
3
12
4 =
0.125
3
= 0.0417
Calcule o valor aproximado de
∫ pi/2
0
cos(x)dx pela regra dos trape´zios
e encontre o limitante superior para o erro cometido.
6.2.1 Regra dos Trape´zios
Limitante superior para o erro:
|ET | ≤ h
3
12
M2
com M2 = max{|f ′′(x)|, x0 ≤ x ≤ x1}
M2 = max{|f ′′(x)|, 0.5 ≤ x ≤ 1}, f (x) = ln(x) + x , f ′(x) = 1x + 1 e
f ′′(x) = − 1
x2
como f ′′(x) = − 1
x2
e´ uma func¸a˜o decrescente enta˜o
M2 = max{| − 1x2 |, 0.5 ≤ x ≤ 1} = 10.52 = 4 e o limitante superior
para o erro e´ dado por:
|ET | ≤ 0.5
3
12
4 =
0.125
3
= 0.0417
Calcule o valor aproximado de
∫ pi/2
0
cos(x)dx pela regra dos trape´zios
e encontre o limitante superior para o erro cometido.
6.2.1 Regra dos Trape´zios
Limitante superior para o erro:
|ET | ≤ h
3
12
M2
com M2 = max{|f ′′(x)|, x0 ≤ x ≤ x1}
M2 = max{|f ′′(x)|, 0.5 ≤ x ≤ 1}, f (x) = ln(x) + x , f ′(x) = 1x + 1 e
f ′′(x) = − 1
x2
como f ′′(x) = − 1
x2
e´ uma func¸a˜o decrescente enta˜o
M2 = max{| − 1x2 |, 0.5 ≤ x ≤ 1} = 10.52 = 4 e o limitante superior
para o erro e´ dado por:
|ET | ≤ 0.5
3
12
4 =
0.125
3
= 0.0417
Calcule o valor aproximado de
∫ pi/2
0
cos(x)dx pela regra dos trape´zios
e encontre o limitante superior para o erro cometido.
6.2.2 Regra dos Trape´zios Repetidos
Se o intervalo de integrac¸a˜o e´ grande fica evidente que a fo´rmula dos
trape´zios fornece resultados muito fracos para o valor da integral
exata.
Uma vez que |ET | ≤ h312M2
Vamos tentar uma generalizac¸a˜o fazendo uma subdivisa˜o do intervalo
de integrac¸a˜o em n subintervalos de mesmo tamanho h.
Enta˜o teremos h = x1−x0n de tal forma que xi = x0 + ih, onde
i = 0, 1, · · · , n.
Aplicaremos a regra dos trape´zios em cada um dos subintervalos de
integrac¸a˜o, ou seja, a cada dois pontos consecutivos.
∫ xn
x0
f (x)dx =
n−1∑
i=0
∫ xi+1
xi
f (x)dx
6.2.2 Regra dos Trape´zios Repetidos
Se o intervalo de integrac¸a˜o e´ grande fica evidente que a fo´rmula dos
trape´zios fornece resultados muito fracos para o valor da integral
exata.
Uma vez que |ET | ≤ h312M2
Vamos tentar uma generalizac¸a˜o fazendo uma subdivisa˜o do intervalo
de integrac¸a˜o em n subintervalos de mesmo tamanho h.
Enta˜o teremos h = x1−x0n de tal forma que xi = x0 + ih, onde
i = 0, 1, · · · , n.
Aplicaremos a regra dos trape´zios em cada um dos subintervalos de
integrac¸a˜o, ou seja, a cada dois pontos consecutivos.
∫ xn
x0
f (x)dx =
n−1∑
i=0
∫ xi+1
xi
f (x)dx
6.2.2 Regra dos Trape´zios Repetidos
cap6fig3.jpg
Figura: regra dos trape´zios repetidos
A ideia e´ aplicar a regra dos trape´zios a cada um dos subintervalos.
6.2.2 Regra dos Trape´zios Repetidos
Assim teremos que:
n−1∑
i=0
∫ xi+1
xi
f (x)dx ∼= h
2
[f (x0) + f (x1)] +
h
2
[f (x1) + f (x2)] + · · ·
+
h
2
[f (xn−1) + f (xn)]
=
h
2
[f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + · · ·+ 2f (xn−1) + f (xn)]
Assim
ITR =
h
2
[f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + · · ·+ 2f (xn−1) + f (xn)],
onde h =
xn − x0
n
6.2.2 Regra dos Trape´zios Repetidos
Assim teremos que:
n−1∑
i=0
∫ xi+1
xi
f (x)dx ∼= h
2
[f (x0) + f (x1)] +
h
2
[f (x1) + f (x2)] + · · ·
+
h
2
[f (xn−1) + f (xn)]
=
h
2
[f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + · · ·+ 2f (xn−1) + f (xn)]
Assim
ITR =
h
2
[f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + · · ·+ 2f (xn−1) + f (xn)],
onde h =
xn − x0
n
6.2.2 Regra dos Trape´zios Repetidos - Erro
A cada aplicac¸a˜o da regra dos trape´zios temos a seguinte expressa˜o
para o erro:
ET = −h
3
12
f ′′(c), c ∈ (x0, x1)
O erro total na fo´rmula repetida e´ obtido a partir da soma dos erros
cometidos em cada um dos subintervalos, isto e´:
ETR =
n−1∑
i=0
−h
3
12
f ′′(ci ), ci ∈ (xi , xi+1)
como xi−1 ≤ ci ≤ xi , i = 1, · · · , n e como, por hipo´tese, f ′′(x) e´ uma
func¸a˜o cont´ınua, enta˜o existe c ∈ [x0, xn] tal que:
n−1∑
i=0
f ′′(ci ) = nf ′′(c) c ∈ (x0, xn)
6.2.2 Regra dos Trape´zios Repetidos - Erro
Desse modo, a expressa˜o para o erro na regra dos trape´zios repetidos
torna-se:
ETR =
n−1∑
i=0
−h
3n
12
f ′′(c) c ∈ (x0, xn)
Como h = xn−x0n enta˜o n =
xn−x0
h e substituindo na expressa˜o para o
erro encontramos:
ETR =
n−1∑
i=0
−h
2
12
f ′′(c)(xn − x0) c ∈ (x0, xn)
Como c ∈ (x0, xn) na˜o e´ conhecido, na˜o podemos determinar o erro
cometido no processo de integrac¸a˜o exatamente, todavia e´ poss´ıvel
calcular um limitante superior para o erro dado por:
|ETR | ≤ h
2
12
(xn − x0)M2
onde M2 = max{|f ′′(x)|, x0 ≤ x ≤ xn}
6.2.2 Regra dos Trape´zios Repetidos
Calcule o valor aproximado da integral I =
∫ 4
1
»
(x)dx pela regra dos
trape´zios repetidos tomando n = 2, 4e6 subintervalos. Calcule o
limitante superior para o erro em cada caso.
Caso 1: n = 2 vamos dividir o intervalo de integrac¸a˜o em duas partes
iguais. Assim h = 4−12 = 1.5
Os no´s de integrac¸a˜o sera˜o enta˜o x0 = 1, x1 = 2.5 e x2 = 4 enta˜o
precisamos calcular a seguinte expressa˜o:∫ 4
1
»
(x)dx =
h
2
[f (x0) + 2f (x1) + f (x2)] que neste caso nos fornece:∫ 4
1
»
(x)dx =
1.5
2
[f (1) + 2f (2.5) + f (4)] =
0.75[
√
1 + 2
√
2.5 +
√
4] = 4.6217
6.2.2 Regra dos Trape´zios Repetidos
Calcule o valor aproximado da integral I =
∫ 4
1
»
(x)dx pela regra dos
trape´zios repetidos tomando n = 2, 4e6 subintervalos. Calcule o
limitante superior para o erro em cada caso.
Caso 1: n = 2 vamos dividir o intervalo de integrac¸a˜o em duas partes
iguais. Assim h = 4−12 = 1.5
Os no´s de integrac¸a˜o sera˜o enta˜o x0 = 1, x1 = 2.5 e x2 = 4 enta˜o
precisamos calcular a seguinte expressa˜o:∫ 4
1
»
(x)dx =
h
2
[f (x0) + 2f (x1) + f (x2)] que neste caso nos fornece:∫ 4
1
»
(x)dx =
1.5
2
[f (1) + 2f (2.5) + f (4)] =
0.75[
√
1 + 2
√
2.5 +
√
4] = 4.6217
6.2.2 Regra dos Trape´zios Repetidos
Calcule o valor aproximado da integral I =
∫ 4
1
»
(x)dx pela regra dos
trape´zios repetidos tomando n = 2, 4e6 subintervalos. Calcule o
limitante superior para o erro em cada caso.Caso 1: n = 2 vamos dividir o intervalo de integrac¸a˜o em duas partes
iguais. Assim h = 4−12 = 1.5
Os no´s de integrac¸a˜o sera˜o enta˜o x0 = 1, x1 = 2.5 e x2 = 4 enta˜o
precisamos calcular a seguinte expressa˜o:∫ 4
1
»
(x)dx =
h
2
[f (x0) + 2f (x1) + f (x2)] que neste caso nos fornece:
∫ 4
1
»
(x)dx =
1.5
2
[f (1) + 2f (2.5) + f (4)] =
0.75[
√
1 + 2
√
2.5 +
√
4] = 4.6217
6.2.2 Regra dos Trape´zios Repetidos
Calcule o valor aproximado da integral I =
∫ 4
1
»
(x)dx pela regra dos
trape´zios repetidos tomando n = 2, 4e6 subintervalos. Calcule o
limitante superior para o erro em cada caso.
Caso 1: n = 2 vamos dividir o intervalo de integrac¸a˜o em duas partes
iguais. Assim h = 4−12 = 1.5
Os no´s de integrac¸a˜o sera˜o enta˜o x0 = 1, x1 = 2.5 e x2 = 4 enta˜o
precisamos calcular a seguinte expressa˜o:∫ 4
1
»
(x)dx =
h
2
[f (x0) + 2f (x1) + f (x2)] que neste caso nos fornece:∫ 4
1
»
(x)dx =
1.5
2
[f (1) + 2f (2.5) + f (4)] =
0.75[
√
1 + 2
√
2.5 +
√
4] = 4.6217
6.2.2 Regra dos Trape´zios Repetidos
Ja´ o erro e´ calculado por:
|ETR | ≤ h
2
12
(xn − x0)M2
onde M2 = max{|f ′′(x)|, x0 ≤ x ≤ xn}
M2 = max{| x−3/24 |, 1 ≤ x ≤ 4} = 0.25
|ETR | ≤ (1.5)
2
12
(3)0.25 = 0.1406
Caso 2: n = 4 ITR = 4.6551 e ETR = 0.0352
Caso 3: n = 6 ITR = 4.6615 e ETR = 0.0156
6.2.2 Regra dos Trape´zios Repetidos
Ja´ o erro e´ calculado por:
|ETR | ≤ h
2
12
(xn − x0)M2
onde M2 = max{|f ′′(x)|, x0 ≤ x ≤ xn}
M2 = max{| x−3/24 |, 1 ≤ x ≤ 4} = 0.25
|ETR | ≤ (1.5)
2
12
(3)0.25 = 0.1406
Caso 2: n = 4
ITR = 4.6551 e ETR = 0.0352
Caso 3: n = 6 ITR = 4.6615 e ETR = 0.0156
6.2.2 Regra dos Trape´zios Repetidos
Ja´ o erro e´ calculado por:
|ETR | ≤ h
2
12
(xn − x0)M2
onde M2 = max{|f ′′(x)|, x0 ≤ x ≤ xn}
M2 = max{| x−3/24 |, 1 ≤ x ≤ 4} = 0.25
|ETR | ≤ (1.5)
2
12
(3)0.25 = 0.1406
Caso 2: n = 4 ITR = 4.6551 e
ETR = 0.0352
Caso 3: n = 6 ITR = 4.6615 e ETR = 0.0156
6.2.2 Regra dos Trape´zios Repetidos
Ja´ o erro e´ calculado por:
|ETR | ≤ h
2
12
(xn − x0)M2
onde M2 = max{|f ′′(x)|, x0 ≤ x ≤ xn}
M2 = max{| x−3/24 |, 1 ≤ x ≤ 4} = 0.25
|ETR | ≤ (1.5)
2
12
(3)0.25 = 0.1406
Caso 2: n = 4 ITR = 4.6551 e ETR = 0.0352
Caso 3: n = 6
ITR = 4.6615 e ETR = 0.0156
6.2.2 Regra dos Trape´zios Repetidos
Ja´ o erro e´ calculado por:
|ETR | ≤ h
2
12
(xn − x0)M2
onde M2 = max{|f ′′(x)|, x0 ≤ x ≤ xn}
M2 = max{| x−3/24 |, 1 ≤ x ≤ 4} = 0.25
|ETR | ≤ (1.5)
2
12
(3)0.25 = 0.1406
Caso 2: n = 4 ITR = 4.6551 e ETR = 0.0352
Caso 3: n = 6 ITR = 4.6615 e
ETR = 0.0156
6.2.2 Regra dos Trape´zios Repetidos
Ja´ o erro e´ calculado por:
|ETR | ≤ h
2
12
(xn − x0)M2
onde M2 = max{|f ′′(x)|, x0 ≤ x ≤ xn}
M2 = max{| x−3/24 |, 1 ≤ x ≤ 4} = 0.25
|ETR | ≤ (1.5)
2
12
(3)0.25 = 0.1406
Caso 2: n = 4 ITR = 4.6551 e ETR = 0.0352
Caso 3: n = 6 ITR = 4.6615 e ETR = 0.0156
6.2.2 Regra dos Trape´zios Repetidos
Como saber quantos subintervalos sa˜o necessa´rios se quisermos
calcular esta integral com precisa˜o de 10−6?
Seja I =
∫ 1
0
e−x
2
dx , calcule uma aproximac¸a˜o para esta integral
usando a regra dos trape´zios repetidos com h = 0.2 Qual o nu´mero
m´ınimo de subdiviso˜es de modo que o erro seja inferior a 10−8?
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
A regra 1/3 de Simpson consiste em se aproximar o integrando por
um polinoˆmio de grau 2.
Para tanto agora e´ necessa´rio termos 3 no´s de integrac¸a˜o e assim
dividimos o intervalo de integrac¸a˜o em 2 partes de mesmo tamanho h.
Seja f (x) uma func¸a˜o definida em 3 pontos distintos x0, x1 e x2
equidistantes, vamos usar a fo´rmula de lagrange para aproximar f (x)
por uma func¸a˜o quadra´tica e em seguida integrar.
Seja P2(x) o polinoˆmio que interpola f (x) nos pontos x0 = a,
x1 = a + h e x2 = a + 2h = b
P2(x) =
(x − x1)(x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2) f (x0) +
(x − x0)(x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2) f (x1)+
+
(x − x0)(x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1) f (x2)
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
A regra 1/3 de Simpson consiste em se aproximar o integrando por
um polinoˆmio de grau 2.
Para tanto agora e´ necessa´rio termos 3 no´s de integrac¸a˜o e assim
dividimos o intervalo de integrac¸a˜o em 2 partes de mesmo tamanho h.
Seja f (x) uma func¸a˜o definida em 3 pontos distintos x0, x1 e x2
equidistantes, vamos usar a fo´rmula de lagrange para aproximar f (x)
por uma func¸a˜o quadra´tica e em seguida integrar.
Seja P2(x) o polinoˆmio que interpola f (x) nos pontos x0 = a,
x1 = a + h e x2 = a + 2h = b
P2(x) =
(x − x1)(x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2) f (x0) +
(x − x0)(x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2) f (x1)+
+
(x − x0)(x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1) f (x2)
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
A aproximac¸a˜o torna-se:∫ b
a
f (x)dx ≈
∫ x1=b
x0=a
P2(x)dx
Integrando cada um dos termos chegamos a:∫ b
a
f (x)dx ≈ IS = h
3
[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]
E de modo ana´logo ao me´todo dos trape´zios chegamos a uma
expressa˜o para o limitante superior para o erro dada por:
ES ≤ h
5
90
M4
onde M4 = max{|f iv (x)|, x0 ≤ x ≤ x2}
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
A aproximac¸a˜o torna-se:∫ b
a
f (x)dx ≈
∫ x1=b
x0=a
P2(x)dx
Integrando cada um dos termos chegamos a:∫ b
a
f (x)dx ≈ IS = h
3
[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]
E de modo ana´logo ao me´todo dos trape´zios chegamos a uma
expressa˜o para o limitante superior para o erro dada por:
ES ≤ h
5
90
M4
onde M4 = max{|f iv (x)|, x0 ≤ x ≤ x2}
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
Calcule aproximadamente I =
∫ 1.5
0.5
cos(x)dx usando a regra 1/3 de
Simpson bem como o limitante superior para o erro cometido:
Temos
que h = 1.5−0.52 = 0.5, assim x0 = 0.5, x1 = 1 e x2 = 2 portanto:
IS =
h
3
[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] =
0.5
3
[f (0.5) + 4f (1) + f (1.5)] =
0.5
3
[0.8776 + 4(0.5403) + 0.707] = 0.5183
O limitante superior para o erro e´ dado por:
ES ≤ h
5
90
M4
onde M4 = max{|f iv (x)|, 0.5 ≤ x ≤ 1.5}
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
Calcule aproximadamente I =
∫ 1.5
0.5
cos(x)dx usando a regra 1/3 de
Simpson bem como o limitante superior para o erro cometido:Temos
que h = 1.5−0.52 = 0.5, assim x0 = 0.5, x1 = 1 e x2 = 2 portanto:
IS =
h
3
[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] =
0.5
3
[f (0.5) + 4f (1) + f (1.5)] =
0.5
3
[0.8776 + 4(0.5403) + 0.707] = 0.5183
O limitante superior para o erro e´ dado por:
ES ≤ h
5
90
M4
onde M4 = max{|f iv (x)|, 0.5 ≤ x ≤ 1.5}
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
Calcule aproximadamente I =
∫ 1.5
0.5
cos(x)dx usando a regra 1/3 de
Simpson bem como o limitante superior para o erro cometido:Temos
que h = 1.5−0.52 = 0.5, assim x0 = 0.5, x1 = 1 e x2 = 2 portanto:
IS =
h
3
[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] =
0.5
3
[f (0.5) + 4f (1) + f (1.5)] =
0.5
3
[0.8776 + 4(0.5403) + 0.707] = 0.5183
O limitante superior para o erro e´ dado por:
ES ≤ h
5
90
M4
onde M4 = max{|f iv (x)|, 0.5 ≤ x ≤ 1.5}
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
Como f (x) = cos(x), f iv (x) = cos(x) logo
M4 = max{| cos(x)|, 0.5 ≤ x ≤ 1.5} = cos(0.5) = 0.8776
e o
limitante superior para o erro e´ enta˜o:
ES ≤ 0.5
5
90
0.8776 = 0.0003
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
Como f (x) = cos(x), f iv (x) = cos(x) logo
M4 = max{| cos(x)|, 0.5 ≤ x ≤ 1.5} = cos(0.5) = 0.8776 e o
limitante superior para o erro e´ enta˜o:
ES ≤ 0.5
5
90
0.8776 = 0.0003
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
Calcule aproximadamente I =
∫ 1.5
0.5
sen(x)dx usando a regra 1/3 de
Simpson bem como o limitante superior para o erro cometido.
Pro´xima semana...
Simpson repetido e quadratura gaussiana
Por hoje e´ so´ pessoal!!
Este material e´ inteiramente baseado na bibliografia do curso,
principalmente no livro texto :RUGIERO, M. A.G; LOPES,VCa´lculo
Nume´rico: Aspectos teo´ricos e computacionais, Editora McGraw-Hill.1997.
Bispo, W.R;Sanches, S. Ca´lculo Nume´rico. CEFET/RJ, 2009.
Cunha, C. Me´todos nume´ricos para as engenharias e cieˆncias
aplicadas;Editora da UNICAMP,1993
Este material na˜o substitui a bibliografia.