aula20

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GEX114 - Ca´lculo Nume´rico
Profa. Dra. Amanda Castro Oliveira
Departamento de Cieˆncias Exatas - DEX/UFLA
amanda@dex.ufla.br
Cap´ıtulo 6 Integrac¸a˜o Nume´rica
Graficamente, considerando uma func¸a˜o f (x) ≥ 0 para todo
x ∈ [a, b], podemos relacionar I =
∫ b
a
f (x)dx com a a´rea entre a
curva f (x) e o eixo das abscissas.
cap6fig1.jpg
Figura: integral e a´rea
6.2 Fo´rmulas de Newton-Cotes
O polinoˆmio que aproxima f (x) e´ um polinoˆmio que interpola f (x)
em pontos do intervalo [a, b] igualmente espac¸ados.
Se [a, b] e´ o nosso intervalo de integrac¸a˜o e o dividimos em n partes
iguais, cada subintervalo tera´ tamanho h dado por:
h =
b − a
n
,
n inteiro tal que:
x0 = a, xn = b e xj = a + jh com j = 0, 1, · · · , n
xj+1 − xj = h
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
A regra 1/3 de Simpson consiste em se aproximar o integrando por
um polinoˆmio de grau 2.
Para tanto agora e´ necessa´rio termos 3 no´s de integrac¸a˜o e assim
dividirmos o intervalo de integrac¸a˜o em 2 partes de mesmo tamanho
h.
Seja f (x) uma func¸a˜o definida em 3 pontos distintos x0, x1 e x2
equidistantes, vamos usar a fo´rmula de lagrange para aproximar f (x)
por uma func¸a˜o quadra´tica e em seguida integrar.
Seja P2(x) o polinoˆmio que interpola f (x) nos pontos x0 = a,
x1 = a + h e x2 = a + 2h = b
P2(x) =
(x − x1)(x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2) f (x0) +
(x − x0)(x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2) f (x1)+
+
(x − x0)(x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1) f (x2)
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
A regra 1/3 de Simpson consiste em se aproximar o integrando por
um polinoˆmio de grau 2.
Para tanto agora e´ necessa´rio termos 3 no´s de integrac¸a˜o e assim
dividirmos o intervalo de integrac¸a˜o em 2 partes de mesmo tamanho
h.
Seja f (x) uma func¸a˜o definida em 3 pontos distintos x0, x1 e x2
equidistantes, vamos usar a fo´rmula de lagrange para aproximar f (x)
por uma func¸a˜o quadra´tica e em seguida integrar.
Seja P2(x) o polinoˆmio que interpola f (x) nos pontos x0 = a,
x1 = a + h e x2 = a + 2h = b
P2(x) =
(x − x1)(x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2) f (x0) +
(x − x0)(x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2) f (x1)+
+
(x − x0)(x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1) f (x2)
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
A aproximac¸a˜o torna-se:∫ b
a
f (x)dx ≈
∫ x1=b
x0=a
P2(x)dx
Integrando cada um dos termos chegamos a:∫ b
a
f (x)dx ≈ IS = h
3
[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]
E de modo ana´logo ao me´todo dos trape´zios chegamos a uma
expressa˜o para o limitante superior para o erro dada por:
ES ≤ h
5
90
M4
onde M4 = max{|f iv (x)|, x0 ≤ x ≤ x2}
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
A aproximac¸a˜o torna-se:∫ b
a
f (x)dx ≈
∫ x1=b
x0=a
P2(x)dx
Integrando cada um dos termos chegamos a:∫ b
a
f (x)dx ≈ IS = h
3
[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]
E de modo ana´logo ao me´todo dos trape´zios chegamos a uma
expressa˜o para o limitante superior para o erro dada por:
ES ≤ h
5
90
M4
onde M4 = max{|f iv (x)|, x0 ≤ x ≤ x2}
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
Calcule aproximadamente I =
∫ 1.5
0.5
cos(x)dx usando a regra 1/3 de
Simpson bem como o limitante superior para o erro cometido:
Temos
que h = 1.5−0.52 = 0.5, assim x0 = 0.5, x1 = 1 e x2 = 2 portanto:
IS =
h
3
[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] =
0.5
3
[f (0.5) + 4f (1) + f (1.5)] =
0.5
3
[0.8776 + 4(0.5403) + 0.707] = 0.5183
O limitante superior para o erro e´ dado por:
ES ≤ h
5
90
M4
onde M4 = max{|f iv (x)|, 0.5 ≤ x ≤ 1.5}
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
Calcule aproximadamente I =
∫ 1.5
0.5
cos(x)dx usando a regra 1/3 de
Simpson bem como o limitante superior para o erro cometido:Temos
que h = 1.5−0.52 = 0.5, assim x0 = 0.5, x1 = 1 e x2 = 2 portanto:
IS =
h
3
[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] =
0.5
3
[f (0.5) + 4f (1) + f (1.5)] =
0.5
3
[0.8776 + 4(0.5403) + 0.707] = 0.5183
O limitante superior para o erro e´ dado por:
ES ≤ h
5
90
M4
onde M4 = max{|f iv (x)|, 0.5 ≤ x ≤ 1.5}
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
Calcule aproximadamente I =
∫ 1.5
0.5
cos(x)dx usando a regra 1/3 de
Simpson bem como o limitante superior para o erro cometido:Temos
que h = 1.5−0.52 = 0.5, assim x0 = 0.5, x1 = 1 e x2 = 2 portanto:
IS =
h
3
[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] =
0.5
3
[f (0.5) + 4f (1) + f (1.5)] =
0.5
3
[0.8776 + 4(0.5403) + 0.707] = 0.5183
O limitante superior para o erro e´ dado por:
ES ≤ h
5
90
M4
onde M4 = max{|f iv (x)|, 0.5 ≤ x ≤ 1.5}
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
Como f (x) = cos(x), f iv (x) = cos(x), logo
M4 = max{| cos(x)|, 0.5 ≤ x ≤ 1.5} = cos(0.5) = 0.8776
e o
limitante superior para o erro e´ enta˜o:
ES ≤ 0.5
5
90
0.8776 = 0.0003
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
Como f (x) = cos(x), f iv (x) = cos(x), logo
M4 = max{| cos(x)|, 0.5 ≤ x ≤ 1.5} = cos(0.5) = 0.8776 e o
limitante superior para o erro e´ enta˜o:
ES ≤ 0.5
5
90
0.8776 = 0.0003
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
Da expressa˜o para o erro observamos que o ganho na poteˆncia de h
ao passar da aproximac¸a˜o linear para a quadra´tica foi substancial.
Exerc´ıcio: Calcule aproximadamente I =
∫ 1.5
0.5
sen(x)dx usando a
regra 1/3 de Simpson bem como o limitante superior para o erro
cometido.
6.2.3 Regra 1/3 de Simpson
Da expressa˜o para o erro observamos que o ganho na poteˆncia de h
ao passar da aproximac¸a˜o linear para a quadra´tica foi substancial.
Exerc´ıcio: Calcule aproximadamente I =
∫ 1.5
0.5
sen(x)dx usando a
regra 1/3 de Simpson bem como o limitante superior para o erro
cometido.
6.2.4 Regra 1/3 de Simpson Repetida
Na regra 1/3 de Simpson, foram necessa´rios 3 pontos para a
interpolac¸a˜o quadra´tica, o que implica na divisa˜o do intervalo de
integrac¸a˜o em 2 subintervalos.
A regra 1/3 de Simpson repetida consiste em subdividirmos o
intervalo [a, b] de integrac¸a˜o em n subintervalos de tamanho h, onde
n e´ um nu´mero par de subintervalos, de forma que x0 = a, xn = b e
aplicamos a regra 1/3 de Simpson a cada 2 subintervalos
consecutivos.
Assim, aplicando a regra 1/3 de Simpson para cada 3 pontos
consecutivos, 2 subintervalos, temos:∫ b
a
f (x)dx =
n−2∑
i=0
∫ xi+2
xi
f (x)dx
∼= h
3
[f (x0)+4f (x1)+f (x2)]+
h
3
[f (x2)+4f (x3)+f (x4)]+· · ·+h
3
[f (xn−2)+4f (xn−1)+f (xn)]
6.2.4 Regra 1/3 de Simpson Repetida
Na regra 1/3 de Simpson, foram necessa´rios 3 pontos para a
interpolac¸a˜o quadra´tica, o que implica na divisa˜o do intervalo de
integrac¸a˜o em 2 subintervalos.
A regra 1/3 de Simpson repetida consiste em subdividirmos o
intervalo [a, b] de integrac¸a˜o em n subintervalos de tamanho h, onde
n e´ um nu´mero par de subintervalos, de forma que x0 = a, xn = b e
aplicamos a regra 1/3 de Simpson a cada 2 subintervalos
consecutivos.
Assim, aplicando a regra 1/3 de Simpson para cada 3 pontos
consecutivos, 2 subintervalos, temos:∫ b
a
f (x)dx =
n−2∑
i=0
∫ xi+2
xi
f (x)dx
∼= h
3
[f (x0)+4f (x1)+f (x2)]+
h
3
[f (x2)+4f (x3)+f (x4)]+· · ·+h
3
[f (xn−2)+4f (xn−1)+f (xn)]
6.2.4 Regra 1/3 de Simpson Repetida
Assim temos que:
ISR =
h
3
[f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + · · ·+ 4f (xn−1) + f (xn)]
E o limitante superior para o erro neste caso e´ dado por:
ESR ≤ h
4(b − a)
180
M4
onde M4 = max{|f iv (x)|, a ≤ x ≤ b}
6.2.4 Regra 1/3 de Simpson Repetida
Assim temos que:
ISR =
h
3
[f (x0) + 4f (x1) + 2f (x2) + 4f (x3) + · · ·+ 4f (xn−1) + f (xn)]
E o limitante superior para o erro neste caso e´ dado por:
ESR ≤ h
4(b − a)
180
M4
onde M4 = max{|f iv (x)|, a ≤ x ≤ b}
6.2.4 Regra 1/3 de Simpson Repetida
Seja I =
∫ 3
0
(xex + 1)dx .
1 Calcule o seu valor aproximado usando a regra 1/3 de Simpson
repetida com n = 6.
2 Estime o erro cometido.
3 Para que valor de n ter´ıamos erro inferior a 10−3?
n = 6 temos que h = b−a6 =
3−06 = 0.5 e os no´s de integrac¸a˜o sa˜o:
x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1.0, x3 = 1.5, x4 = 2.0, x5 = 2.5 e x6 = 3.0
I =
∫ 3
0
xex +1dx ∼= 0.5
3
[f (x0)+4f (x1)+2f (x2)+4f (x3)+2f (x4)+4f (x5)+ f (x6)]
I =
∫ 3
0
xex + 1dx ∼= 44.2103
6.2.4 Regra 1/3 de Simpson Repetida
Seja I =
∫ 3
0
(xex + 1)dx .
1 Calcule o seu valor aproximado usando a regra 1/3 de Simpson
repetida com n = 6.
2 Estime o erro cometido.
3 Para que valor de n ter´ıamos erro inferior a 10−3?
n = 6 temos que h = b−a6 =
3−0
6 = 0.5 e os no´s de integrac¸a˜o sa˜o:
x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1.0, x3 = 1.5, x4 = 2.0, x5 = 2.5 e x6 = 3.0
I =
∫ 3
0
xex +1dx ∼= 0.5
3
[f (x0)+4f (x1)+2f (x2)+4f (x3)+2f (x4)+4f (x5)+ f (x6)]
I =
∫ 3
0
xex + 1dx ∼= 44.2103
6.2.4 Regra 1/3 de Simpson Repetida
Seja I =
∫ 3
0
(xex + 1)dx .
1 Calcule o seu valor aproximado usando a regra 1/3 de Simpson
repetida com n = 6.
2 Estime o erro cometido.
3 Para que valor de n ter´ıamos erro inferior a 10−3?
n = 6 temos que h = b−a6 =
3−0
6 = 0.5 e os no´s de integrac¸a˜o sa˜o:
x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1.0, x3 = 1.5, x4 = 2.0, x5 = 2.5 e x6 = 3.0
I =
∫ 3
0
xex +1dx ∼= 0.5
3
[f (x0)+4f (x1)+2f (x2)+4f (x3)+2f (x4)+4f (x5)+ f (x6)]
I =
∫ 3
0
xex + 1dx ∼= 44.2103
6.2.4 Regra 1/3 de Simpson Repetida
Ja´ o limitante superior para o erro sera´ dado por:
ESR ≤ h
4(b − a)
180
M4
onde M4 = max{|f iv (x)|, 0 ≤ x ≤ 3}
como f (x) = xex + 1, enta˜o f iv (x) = (4 + x)ex que e´ uma func¸a˜o
crescente no intervalo.
M4 = max{|(4 + x)ex |, 0 ≤ x ≤ 3} = 140.5988, assim:
ESR ≤ (0.5)
4(3)
180
140.5988 = 0.1465
6.2.4 Regra 1/3 de Simpson Repetida
Para que tenhamos erro inferior a 10−3 devemos fazer:
h4(b − a)
180
M4 ≤ 10−3
fazendo continhas ...
h4 ≤ 180 ∗ 10
−3
(b − a)M4 =
180 ∗ 10−3
3 ∗ 140.5988 = 0.0004267
h ≤ 0.1437283
n > b−ah =
3
0.1437283 ≈ 22 subintervalos
Seja I =
∫ 1
0
e−x
2
dx .
1 Calcule uma aproximac¸a˜o para esta integral usando a regra 1/3 de
Simpson usando n = 8
2 Estime o erro cometido.
3 Para que valor de n ter´ıamos erro inferior a 10−8?
6.2.4 Regra 1/3 de Simpson Repetida
Para que tenhamos erro inferior a 10−3 devemos fazer:
h4(b − a)
180
M4 ≤ 10−3
fazendo continhas ...
h4 ≤ 180 ∗ 10
−3
(b − a)M4 =
180 ∗ 10−3
3 ∗ 140.5988 = 0.0004267
h ≤ 0.1437283
n > b−ah =
3
0.1437283 ≈ 22 subintervalos
Seja I =
∫ 1
0
e−x
2
dx .
1 Calcule uma aproximac¸a˜o para esta integral usando a regra 1/3 de
Simpson usando n = 8
2 Estime o erro cometido.
3 Para que valor de n ter´ıamos erro inferior a 10−8?
6.2.4 Regra 1/3 de Simpson Repetida
Das expresso˜es obtidas para o erro na regra dos Trape´zios e na 1/3 de
Simpson vemos que elas integram exatamente polinoˆmios de grau 1 e
3 respectivamente.
Exerc´ıcios propostos do livro texto: 1,2,3,4,5,6,13,14,15,16 e 17
Pro´xima semana...
Quadratura gaussiana
Por hoje e´ so´ pessoal!!
Este material e´ inteiramente baseado na bibliografia do curso,
principalmente no livro texto :RUGIERO, M. A.G; LOPES,V Ca´lculo
Nume´rico: Aspectos teo´ricos e computacionais, Editora McGraw-Hill.1997.
ARENALES, S;DAREZZO,A. Ca´lculo Nume´rico: aprendizagem com apoio
de software; Thomson Learning, Sa˜o Paulo,2008
CUNHA, C. Me´todos nume´ricos para as engenharias e cieˆncias
aplicadas;Editora da UNICAMP,1993
Este material na˜o substitui a bibliografia.