Integração Numérica: Quadratura Gaussiana

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GEX114 - Ca´lculo Nume´rico
Profa.Dra. Amanda Castro Oliveira
Departamento de Cieˆncias Exatas - DEX/UFLA
amanda@dex.ufla.br
Cap´ıtulo 6 Integrac¸a˜o Nume´rica
Graficamente, considerando uma func¸a˜o f (x) ≥ 0 para todo
x ∈ [a, b], podemos relacionar I =
∫ b
a
f (x)dx com a a´rea entre a
curva f (x) e o eixo das abscissas.
cap6fig1.jpg
Figura: integral e a´rea
6.2.5 Quadratura Gaussiana
As fo´rmulas de Newton-Cotes para integrac¸a˜o nume´rica estudadas
anteriormente sa˜o obtidas integrando-se os polinoˆmios interpoladores
e, como as expresso˜es dos erros envolvem a (n + 1)-e´sima ou
(n + 2)-e´sima derivada do integrando, sa˜o exatas para polinoˆmios de
grau ≤ n ou no ma´ximo de grau ≤ n + 1.
Vamos tentar agora obter fo´rmulas de integrac¸a˜o nume´rica que sa˜o
exatas para polinoˆmios de graus superiores.
Considere a integral I =
∫ b
a
f (x)dx .
Desejamos desenvolver uma fo´rmula de integrac¸a˜o na forma:∫ b
a
f (x)dx =
∫ xn
x0
f (x)dx ≈ A0f (x0) + A1f (x1) + · · ·+ Anf (xn)
onde os coeficientes Ai e os pontos xi , i = 0, · · · , n devem ser
determinados de forma a obter a melhor precisa˜o poss´ıvel.
Este problema apresenta 2n + 2 inco´gnitas,
A0,A1, · · · ,An, x0, x1, · · · , xn
6.2.5 Quadratura Gaussiana
Agora os no´s de integrac¸a˜o passam a ser inco´gnitas.
A ideia que Gauss teve foi de atrave´s da localizac¸a˜o o´tima dos no´s de
integrac¸a˜o, calcular a integral com erro nulo.
Podemos esperar que seja poss´ıvel encontrar valores que integrem
exatamente polinoˆmios de grau ≤ 2n + 1, uma vez que estes sa˜o
definidos por 2n + 2 paraˆmetros.
Vamos tentar o caso mais simples poss´ıvel, considerando 2 pontos:∫ b
a
f (x)dx = A0f (x0) + A1f (x1)
Para simplificar vamos fazer uma mudanc¸a de varia´veis e considerar o
intervalo de integrac¸a˜o dado por [−1, 1].
De fato, podemos sempre reduzir um intervalo de integrac¸a˜o [a, b],
com a e b finitos, no intervalo [−1, 1] por meio de uma mudanc¸a de
varia´vel, como, por exemplo:
x(t) =
1
2
(b − a)t + 1
2
(b + a), t ∈ [−1, 1]
6.2.5 Quadratura Gaussiana
Agora os no´s de integrac¸a˜o passam a ser inco´gnitas.
A ideia que Gauss teve foi de atrave´s da localizac¸a˜o o´tima dos no´s de
integrac¸a˜o, calcular a integral com erro nulo.
Podemos esperar que seja poss´ıvel encontrar valores que integrem
exatamente polinoˆmios de grau ≤ 2n + 1, uma vez que estes sa˜o
definidos por 2n + 2 paraˆmetros.
Vamos tentar o caso mais simples poss´ıvel, considerando 2 pontos:∫ b
a
f (x)dx = A0f (x0) + A1f (x1)
Para simplificar vamos fazer uma mudanc¸a de varia´veis e considerar o
intervalo de integrac¸a˜o dado por [−1, 1].
De fato, podemos sempre reduzir um intervalo de integrac¸a˜o [a, b],
com a e b finitos, no intervalo [−1, 1] por meio de uma mudanc¸a de
varia´vel, como, por exemplo:
x(t) =
1
2
(b − a)t + 1
2
(b + a), t ∈ [−1, 1]
6.2.5 Quadratura Gaussiana
Agora os no´s de integrac¸a˜o passam a ser inco´gnitas.
A ideia que Gauss teve foi de atrave´s da localizac¸a˜o o´tima dos no´s de
integrac¸a˜o, calcular a integral com erro nulo.
Podemos esperar que seja poss´ıvel encontrar valores que integrem
exatamente polinoˆmios de grau ≤ 2n + 1, uma vez que estes sa˜o
definidos por 2n + 2 paraˆmetros.
Vamos tentar o caso mais simples poss´ıvel, considerando 2 pontos:∫ b
a
f (x)dx = A0f (x0) + A1f (x1)
Para simplificar vamos fazer uma mudanc¸a de varia´veis e considerar o
intervalo de integrac¸a˜o dado por [−1, 1].
De fato, podemos sempre reduzir um intervalo de integrac¸a˜o [a, b],
com a e b finitos, no intervalo [−1, 1] por meio de uma mudanc¸a de
varia´vel, como, por exemplo:
x(t) =
1
2
(b − a)t + 1
2
(b + a), t ∈ [−1, 1]
6.2.5 Quadratura Gaussiana
Assim, qualquer que seja x ∈ [a, b], existe t ∈ [−1, 1] tal que
x = x(t).
Teremos tambe´m que dx = x ′(t)dt = 12(b − a)dt, assim:∫ b
a
f (x)dx =
∫ 1
−1
f (x(t))x ′(t)dt =
∫ 1
−1
F (t)dt
onde
F (t) =
1
2
(b − a)f (1
2
(b − a)t + 1
2
(b + a))
Dessa forma, constru´ımos uma fo´rmula de integrac¸a˜o da seguinte
maneira: ∫ 1
−1
F (t)dt ∼= A0F (t0) + A1F (t1)
Os paraˆmetros A0,A− 1, t0 e t1 devem ser determinados de tal forma
que a integrac¸a˜o seja exata para polinoˆmios de grau ≤ 3, neste caso,
(n = 1).
6.2.5 Quadratura Gaussiana
Assim, qualquer que seja x ∈ [a, b], existe t ∈ [−1, 1] tal que
x = x(t).
Teremos tambe´m que dx = x ′(t)dt = 12(b − a)dt, assim:∫ b
a
f (x)dx =
∫ 1
−1
f (x(t))x ′(t)dt =
∫ 1
−1
F (t)dt
onde
F (t) =
1
2
(b − a)f (1
2
(b − a)t + 1
2
(b + a))
Dessa forma, constru´ımos uma fo´rmula de integrac¸a˜o da seguinte
maneira: ∫ 1
−1
F (t)dt ∼= A0F (t0) + A1F (t1)
Os paraˆmetros A0,A− 1, t0 e t1 devem ser determinados de tal forma
que a integrac¸a˜o seja exata para polinoˆmios de grau ≤ 3, neste caso,
(n = 1).
6.2.5 Quadratura Gaussiana
Para tanto, vamos exigir que integre exatamente os seguintes
polinoˆmios F0(t) = 1,F1(t) = t,F2(t) = t
2 e F3(t) = t
3.
Uma vez que qualquer polinoˆmio de grau ≤ 3 pode ser escrito como:
P3(t) = a0F0(t) + a1F1(t) + a2F2(t) + a3F3(t)
Dizer que a fo´rmula e´ exata para polinoˆmios de grau ≤ 3 equivale a
dizer que: ∫ 1
−1
1dt = 2 = A0 + A1∫ 1
−1
tdt = 0 = A0t0 + A1t1∫ 1
−1
t2dt =
2
3
= A0t
2
0 + A1t
2
1∫ 1
−1
t3dt = 0 = A0t
3
0 + A1t
3
1
6.2.5 Quadratura Gaussiana
Que nos leva a um sistema na˜o linear com quatro equac¸o˜es e quatro
inco´gnitas: 
A0 +A1 =
A0t0 +A1t1 =
A0t
2
0 +A1t
2
1 =
A0t
3
0 +A1t
3
1 =
2
0
2/3
0
Podemos resolver este sistema tomando, t0 = −t1 e a soluc¸a˜o e´ imediata e
dada por:
A0 = A1 = 1
t0 = −t1 =
√
3
3
E podemos enta˜o escrever:
IG = F (−
√
3
3
) + F (
√
3
3
)
Esta fo´rmula e´ chamada de Quadratura de Gauss, e´ exata para polinoˆmios
de grau ≤ 3, por construc¸a˜o, e pode ser usada para aproximar integrais de
func¸o˜es na˜o polinomiais.
6.2.5 Quadratura Gaussiana
Que nos leva a um sistema na˜o linear com quatro equac¸o˜es e quatro
inco´gnitas: 
A0 +A1 =
A0t0 +A1t1 =
A0t
2
0 +A1t
2
1 =
A0t
3
0 +A1t
3
1 =
2
0
2/3
0
Podemos resolver este sistema tomando, t0 = −t1 e a soluc¸a˜o e´ imediata e
dada por:
A0 = A1 = 1
t0 = −t1 =
√
3
3
E podemos enta˜o escrever:
IG = F (−
√
3
3
) + F (
√
3
3
)
Esta fo´rmula e´ chamada de Quadratura de Gauss, e´ exata para polinoˆmios
de grau ≤ 3, por construc¸a˜o, e pode ser usada para aproximar integrais de
func¸o˜es na˜o polinomiais.
6.2.5 Quadratura Gaussiana
Que nos leva a um sistema na˜o linear com quatro equac¸o˜es e quatro
inco´gnitas: 
A0 +A1 =
A0t0 +A1t1 =
A0t
2
0 +A1t
2
1 =
A0t
3
0 +A1t
3
1 =
2
0
2/3
0
Podemos resolver este sistema tomando, t0 = −t1 e a soluc¸a˜o e´ imediata e
dada por:
A0 = A1 = 1
t0 = −t1 =
√
3
3
E podemos enta˜o escrever:
IG = F (−
√
3
3
) + F (
√
3
3
)
Esta fo´rmula e´ chamada de Quadratura de Gauss, e´ exata para polinoˆmios
de grau ≤ 3, por construc¸a˜o, e pode ser usada para aproximar integrais de
func¸o˜es na˜o polinomiais.
6.2.5 Quadratura Gaussiana
Calcule I =
∫ 3
1
3exdx , usando a quadratura gaussiana para n = 2
pontos.
Fazendo a mudanc¸a de varia´vel na func¸a˜o f (x) = 3ex no intervalo
[1, 3] para o intervalo [−1, 1], temos:
x(t) =
1
2
(b − a)t + 1
2
(b + a) =
1
2
(3− 1)t + 1
2
(3 + 1) = t + 2
e
F (t) =
1
2
(b−a)f (1
2
(b−a)t+1
2
(b+a)) =
1
2
(3−1)f (1
2
(3−1)t+1
2
(3+1)) =
F (t + 2) = 3et+2
Assim I =
∫ 3
1
3exdx =
∫ 1
−1
F (t)dt ∼= A0F (t0) + A1F (t1)
6.2.5 Quadratura Gaussiana
Calcule I =
∫ 3
1
3exdx , usando a quadratura gaussiana para n = 2
pontos.
Fazendoa mudanc¸a de varia´vel na func¸a˜o f (x) = 3ex no intervalo
[1, 3] para o intervalo [−1, 1], temos:
x(t) =
1
2
(b − a)t + 1
2
(b + a) =
1
2
(3− 1)t + 1
2
(3 + 1) = t + 2
e
F (t) =
1
2
(b−a)f (1
2
(b−a)t+1
2
(b+a)) =
1
2
(3−1)f (1
2
(3−1)t+1
2
(3+1)) =
F (t + 2) = 3et+2
Assim I =
∫ 3
1
3exdx =
∫ 1
−1
F (t)dt ∼= A0F (t0) + A1F (t1)
6.2.5 Quadratura Gaussiana
Calcule I =
∫ 3
1
3exdx , usando a quadratura gaussiana para n = 2
pontos.
Fazendo a mudanc¸a de varia´vel na func¸a˜o f (x) = 3ex no intervalo
[1, 3] para o intervalo [−1, 1], temos:
x(t) =
1
2
(b − a)t + 1
2
(b + a) =
1
2
(3− 1)t + 1
2
(3 + 1) = t + 2
e
F (t) =
1
2
(b−a)f (1
2
(b−a)t+1
2
(b+a)) =
1
2
(3−1)f (1
2
(3−1)t+1
2
(3+1)) =
F (t + 2) = 3et+2
Assim I =
∫ 3
1
3exdx =
∫ 1
−1
F (t)dt ∼= A0F (t0) + A1F (t1)
6.2.5 Quadratura Gaussiana
Calcule I =
∫ 3
1
3exdx , usando a quadratura gaussiana para n = 2
pontos.
Fazendo a mudanc¸a de varia´vel na func¸a˜o f (x) = 3ex no intervalo
[1, 3] para o intervalo [−1, 1], temos:
x(t) =
1
2
(b − a)t + 1
2
(b + a) =
1
2
(3− 1)t + 1
2
(3 + 1) = t + 2
e
F (t) =
1
2
(b−a)f (1
2
(b−a)t+1
2
(b+a)) =
1
2
(3−1)f (1
2
(3−1)t+1
2
(3+1)) =
F (t + 2) = 3et+2
Assim I =
∫ 3
1
3exdx =
∫ 1
−1
F (t)dt ∼= A0F (t0) + A1F (t1)
6.2.5 Quadratura Gaussiana
Como A0 = A1 = 1
t0 = −t1 =
√
3
3
IG = F (−
√
3
3
) + F (
√
3
3
) = 3et0+2 + 3et1+2 = 51.9309
Compare este resultado com o valos exato I =
∫ 3
1
3exdx = 52.10118
e com os resultados obtidos pela regra 1/3 de Simpson com n = 3, 5
e 7 pontos.
6.2.5 Quadratura Gaussiana
Como A0 = A1 = 1
t0 = −t1 =
√
3
3
IG = F (−
√
3
3
) + F (
√
3
3
) = 3et0+2 + 3et1+2 =
51.9309
Compare este resultado com o valos exato I =
∫ 3
1
3exdx = 52.10118
e com os resultados obtidos pela regra 1/3 de Simpson com n = 3, 5
e 7 pontos.
6.2.5 Quadratura Gaussiana
Como A0 = A1 = 1
t0 = −t1 =
√
3
3
IG = F (−
√
3
3
) + F (
√
3
3
) = 3et0+2 + 3et1+2 = 51.9309
Compare este resultado com o valos exato I =
∫ 3
1
3exdx = 52.10118
e com os resultados obtidos pela regra 1/3 de Simpson com n = 3, 5
e 7 pontos.
6.3 Observac¸o˜es
As fo´rmulas de Quadratura Gaussiana produzem resultados melhores
com menor esforc¸o computacional do que as regras de Simpson, no
sentido que, com menos avaliac¸o˜es da func¸a˜o e´ poss´ıvel obter
melhores resultados.
Entretanto, nem sempre, a expressa˜o da func¸a˜o a ser integrada esta´
dispon´ıvel, podendo ser conhecida em pontos definidos por
experimento. Neste caso, as fo´rmulas de quadratura de Gauss na˜o
podem ser usadas.
Quando aumentamos o nu´mero de pontos, ambas as fo´rmulas
melhoram a precisa˜o, como o esperado.
Se o intervalo de integrac¸a˜o for grande, podemos subdividi-lo e
aplicar a fo´rmula de Gauss a cada subintervalo, de modo ana´logo a`s
fo´rmulas repetidas.
Pro´xima semana...
P3-estudem!!!
Este curso chegou ao fim!! Obrigada por tudo!! Sucesso para todos!
Este material e´ inteiramente baseado na bibliografia do curso,
principalmente no livro texto :RUGIERO, M. A.G; LOPES,V Ca´lculo
Nume´rico: Aspectos teo´ricos e computacionais, Editora McGraw-Hill.1997.
ARENALES, S;DAREZZO,A. Ca´lculo Nume´rico: aprendizagem com apoio
de software; Thomson Learning, Sa˜o Paulo,2008
CUNHA, C. Me´todos nume´ricos para as engenharias e cieˆncias
aplicadas;Editora da UNICAMP,1993
Este material na˜o substitui a bibliografia.