Aula 02a - Determinacao Geometrica

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ENG 114 - HIPERESTÁTICA
Determinação Geométrica
Universidade Federal da Bahia
Escola Politécnica
Departamento de Construção e Estruturas
Estruturas
• As estruturas são constituídas de um elemento ou de um conjunto de
elementos ligados entre si e externamente ao solo, de tal forma que o
sistema assim formado seja estável.
• A estrutura deve ser um sistema adequado para receber solicitações
externas e encaminha-las até seus vínculos externos.
• Os elementos que constituem uma estrutura são chamados
elementos estruturais.
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Estruturas Lineares Planas
• Estruturas lineares planas são aquelas formadas por elementos lineares
(barras) cujos eixos estão situados no mesmo plano. São as estruturas
estudadas nesse curso.
• Alguns exemplos:
• Vigas
• Pórticos
• Treliças
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Estruturas Lineares Planas
• O elemento linear (barra) pode apresentar desempenhos distintos na
estrutura:
• Ele pode suportar ações transversais ao seu eixo, e, com isso,
transmitir momentos fletores e esforços cortantes, sendo chamado,
neste caso, de chapa.
• Ele pode transmitir apenas esforços axiais, sendo chamado, neste
caso, de barra simples, ou simplesmente barra.
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Estruturas Lineares Planas
• Vinculação:
• As estruturas podem ser formadas por vários elementos ligados entre
si e exteriormente com o solo. Estas ligações são chamadas vínculos,
que podem ser:
• Articulação entre chapas: ligação interna que une as chapas.
• Articulação entre barras (nó): ligação interna que une as barras.
• Apoios (vínculos externos): ligação entre a estrutura e o solo.
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Estruturas Lineares Planas
• Vinculação:
• Os elementos estruturais mais os vínculos devem formar um conjunto
estável, sendo os vínculos responsáveis por restringir o movimento da
estrutura.
• São três os movimentos possíveis nas estruturas lineares planas
(graus de liberdade):
• Uma rotação
• Duas translações
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Estruturas Lineares Planas
• Tipos de Vínculos:
• Os vínculos são caracterizados pelo número de graus de liberdade
retirados da estrutura.
• Apoio Móvel: Permite a rotação e uma translação, retirando, portanto,
um grau de liberdade da estrutura.
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Estruturas Lineares Planas
• Tipos de Vínculos:
• Apoio Fixo: Permite somente a rotação, restringindo, portanto, as duas
translações:
• Engaste Fixo: Impede todos os movimentos, a rotação e as duas
translações, retirando, assim, três graus de liberdade da estrutura.
8
Estruturas Lineares Planas
• Tipos de Vínculos:
• Engaste Móvel: Impede a 
rotação e uma translação, 
retirando, assim, dois graus 
de liberdade da estrutura.
9
Estruturas Lineares Planas
• Tipos de Vínculos:
• Articulação entre chapas: Restringe
deslocamentos entre as chapas, permitindo
rotações relativas entre elas.
Seja uma articulação onde c chapas se
encontram. Supondo-se uma das chapas fixa, a
articulação retira dois graus de liberdade de
cada uma das (c-1) chapas, em relação àquela
suposta fixa. O número total de graus de
liberdade retirados da estrutura por esse tipo
de vínculo é, então, igual a 2(c-1).
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Determinação Geométrica
• Definições:
• As relações entre o número de vínculos e o número de elementos que
constituem uma estrutura devem satisfazer certas condições para que
esta tenha sua posição determinada no plano. O estudo dessas
relações denomina-se determinação geométrica.
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Determinação Geométrica
• Definições (elementos):
• Chapa ou Barra Geral
• Função geométrica: definir distâncias entre todos os seus pontos:
• Função estática: transmitir todos os esforços
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



1
2
3
Determinação Geométrica
• Definições (elementos):
• Barra Simples ou Barra
• Função geométrica: definir a distância entre seus pontos extremos.
• Função estática: transmitir apenas esforços axiais.
13

Determinação Geométrica
• Definições (vínculos):
• Nó: encontro de barras simples.
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Nó
b
b b
Determinação Geométrica
• Definições (vínculos):
• Articulação: Encontro de barras e chapas ou só de chapas
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Articulação
c
b b c
c
Articulação
c
Determinação Geométrica
• Definições (vínculos):
• Barras Vinculares: Correspondem aos graus de liberdade impedidos
pelos vínculos internos e externos.
• Engaste fixo: corresponde a três barras vinculares.
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Determinação Geométrica
• Definições (vínculos):
• Barras Vinculares: Correspondem aos graus de liberdade impedidos
pelos vínculos internos e externos.
• Apoio fixo: corresponde a duas barras vinculares.
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Determinação Geométrica
• Definições (vínculos):
• Barras Vinculares: Correspondem aos graus de liberdade impedidos
pelos vínculos internos e externos.
• Apoio móvel: corresponde a uma barra vincular.
18
Determinação Geométrica
• Definições (vínculos):
• Barras Vinculares: Correspondem aos graus de liberdade impedidos
pelos vínculos internos e externos.
• Engaste móvel: corresponde a duas barras vinculares.
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Determinação Geométrica
• As relações entre o número de vínculos e o número de elementos que
constituem uma estrutura devem satisfazer certas condições para que
esta tenha sua posição determinada no plano. O estudo dessas relações
denomina-se determinação geométrica.
• As estruturas podem ser classificadas, do ponto de vista geométrico, da
seguinte forma:
• be = bn → a estrutura é geometricamente determinada.
• be > bn → a estrutura é geometricamente superdeterminada.
• be bn → Treliça superdeterminada
Grau de superdeterminação: g = be – bn = 1 → 1 x superdeterminada
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Determinação Geométrica
• Estruturas Elementares:
• Estruturas Fletidas: Estruturas compostas de chapas e vínculos.
Transmitem todos os esforços. Neste caso:
bn = 3c
sendo bn o número de barras necessárias e c o número de chapas da
estrutura.
24
Determinação Geométrica
25
• Estruturas Elementares:
• Estruturas Fletidas - Exemplos:
→
be = 5 c = 1 bn = 3c = 3 be > bn → Estrutura superdeterminada
g = be – bn = 2 → 2 x superdeterminada
Determinação Geométrica
26
• Estruturas Elementares:
• Estruturas Fletidas - Exemplos:
↓
?
Determinação Geométrica
27
• Atentar para:
Determinação Geométrica
28
• Atentar para:
Determinação Geométrica
29
• Estruturas Elementares:
• Estruturas Fletidas - Exemplos:
↓
be = 5 c = 1 bn = 3c = 3
be > bn → Estrutura superdeterminada
g = be – bn = 2 → 2 x superdeterminada
Determinação Geométrica
• Estruturas Elementares:
• Estruturas Fletidas e com barras simples: Estruturas compostas de
chapas, barras simples, e vínculos. Transmitem todos os esforços.
Neste caso:
bn = 3c + 2n
sendo bn o número de barras necessárias, c o número de chapas e n
o número de nós da estrutura.
30
Determinação Geométrica
• Estruturas Elementares:
• Estruturas Fletidas e com barras simples - Exemplo:
↓
31
be = 2+3 = 5
c = 1
n = 1
bn = 3c + 2n = 5
be = bn
Estrutura determinada
Determinação Geométrica
• Estruturas Elementares:
• Exemplos:
↓
be = 5+1 = 6 c = 2 n = 0 bn = 3c + 2n = 6
be = bn → Estrutura determinada
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Determinação Geométrica
• Estruturas Elementares:
• Exemplos:
↓
be = 9 c = 3 n = 0 bn = 3c + 2n = 9
be = bn → Estrutura determinada
33
Determinação Geométrica
• Estruturas Elementares:
• Exemplos:
Lembrando que o número de graus de liberdade retirados por uma
articulação entre c chapas é 2 (c – 1) , o que levaa este mesmo número de
barras vinculares.
Articulação entre duas chapas → 2 barras vinculares 34
Determinação Geométrica
• Estruturas Elementares:
• Exemplos:
→
35
be = 3
c = 1
n = 0
bn = 3c +2n
bn = 3
be = bn → Estrutura determinada
Determinação Geométrica
• Estruturas Elementares:
• Exemplos:
→
36
be = 6
c = 1
n = 0
bn = 3c +2n
bn = 3
be > bn → Estrutura superdeterminada
(g = 3)
Determinação Geométrica
• Casos Excepcionais:
→
As barras vinculares não podem ser todas paralelas 37
Móvel
be = 3
c = 1
n = 0
bn = 3c +2n
bn = 3
be = bn → Estrutura determinada 
→ Estrutura móvel
Determinação Geométrica
• Casos Excepcionais:
→
be = 9 + 3 = 12 n = 6 bn = 2n = 12
be = bn → Estrutura determinada → Estrutura móvel
As barras vinculares não podem concorrer para o mesmo ponto.
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Móvel
Determinação Estática
• As estruturas podem ser classificadas, do ponto de vista estático, da 
seguinte forma:
• be = bn a estrutura é isostática.
• be > bn a estrutura é hiperestática.
• be