aula 2 - limites e continuidadePARTE 1

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
Universidade Federal de Alfenas. UNIFAL-MG 
Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 . Alfenas/MG . CEP 37130-000 
Fone: (35) 3299-1000 . Fax: (35) 3299-1063 
 
 
 
Disciplina: Cálculo I 
Química - Bacharelado 
Prof. Guilherme Gomes – guilherme.silva@unifal-mg.edu.br 
 
Limites e Continuidade 
 
O que é Cálculo? 
O cálculo é usualmente dividido em duas partes principais: o cálculo diferencial e o 
cálculo integral. Cada um deles tem sua própria terminologia não-familiar, notação 
enigmática e métodos especializados. Acostumar-se a isso exige tempo e prática, caso 
semelhante ao aprender um novo idioma. 
Quase todas as ideias e aplicações do Cálculo giram em torno de dois problemas 
geométricos que são muitos fáceis de ser entendidos. Ambos se referem ao gráfico de 
uma função y = f(x). 
 
(gráfico – lousa) 
 
Problema 1: Problema das tangentes: calcular o coeficiente angular da reta tangente ao 
gráfico em um ponto dado. 
Problema 2: Problema das áreas: Calcular a área abaixo da curva de uma função, entre 
os pontos x = a e x = b. 
 
Problema 1: (Ideia) – considere uma curva y = f(x) e um ponto P qualquer fixo sobre 
essa curva. Considere Q um segundo ponto próximo a P sobre a curva e desenhe a reta 
secante PQ. A reta tangente em P pode agora ser encarada como a POSIÇÃO-LIMITE 
da secante variável quando Q desliza ao longo da curva em direção a P. 
 
(gráfico - lousa) 
 
 
Exemplo: Seja � = (��, ��) um ponto arbitrário sobre a parábola y = x2. Escolhemos 
um ponto próximo 	 = (�
, �
) sobre a curva. 
 
(desenho – lousa) 
 
O coeficiente angular da reta secante PQ determinada por esses dois pontos é dado por 
 
��
� = �����������	�������	��	�	 = �
 − ���
 − �� 
 
Façamos �
 se aproximar de ��, de modo que o ponto variável Q se aproxime do ponto 
fixado P, deslizando ao longo da curva. Quando acontece isto, a secante muda de 
 
 
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direção e se aproxima visivelmente da tangente em P como sua posição limite. O 
coeficiente angular m da tangente é o valor-limite aproximado pelo coeficiente angular 
��
� da secante. 
Usando o símbolo → para significar “se aproxima” ou “tende”, então a última frase 
poderia ser expressa de forma mais concisa e adequada: 
 
� = lim"→#��
� = lim$%→$&
�
 − ��
�
 − �� 
 
Lê-se: “limite, quando �
 tende a ��, de ...” 
 
Não podemos calcular o valor limite m na expressão anterior simplesmente tomando 
�
 = �� porque isto daria um resultado sem significado: 
�
 − ��
�
 − �� =
0
0 
 
Devemos pensar que �
 chega muito perto de ��, mas permanece distinto dele. No 
entanto quando isto acontece ambos �
 − �� e �
 − �� tornam-se arbitrariamente 
pequenos é não é de todo claro de que valor-limite esse quociente se aproxima. Como 
sair dessa dificuldade? 
Lembre-se que a função no caso é y = x2. Como P e Q estão sobre a curva, temos que 
�� = ��( e �
 = �
(. Assim temos que 
��
� = �����������	�������	��	�	 = �
 − ���
 − �� =
�
( − ��(
�
 − �� 
 
A expressão $%
*+$&*
$%+$& pode ser escrita da seguinte forma: 
�
( − ��(
�
 − �� =
(�
 − ��)(�
 + ��)
�
 − �� = �
 +	�� 
Assim 
��
� = �
 +	�� 
e como 
� = lim"→#��
� = lim$%→$&
�
 − ��
�
 − �� 
Temos que 
� = lim$%→$&
�
 − ��
�
 − �� = lim$%→$& �
 +	�� 
 
Agora é fácil ver o que está acontecendo. Quando �
 fica cada vez mais próximo de �� 
temos que �
 +	�� fica cada vez mais próximo de �� +	�� = 2��.	Assim 
� = 2�� 
é o coeficiente angular da tangente à curva y = x2 no ponto	� = (��, ��). 
 
 
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Por exemplo, o coeficiente angular da reta tangente ao ponto (3,9) sobre a curva y = x2 é 
agora facilmente encontrado: Como � = 2�� e, nesse caso, �� = 3, temos que m = 2.3 
m= 6. 
 
 
 
Melhorando a notação 
 
(lousa) 
 
 
 
 
O limite de uma função 
 
Exemplo: Estime o valor abaixo preenchendo a tabela a seguir 
lim$→
� − 1
�( − 1 
Pela esquerda de 1 
x -2 -1 0 0.5 0.99 0.99 0.999 0.9999 
f(x) 
 
Pela Direita de 1 
x 3 2 1,5 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001 
f(x) 
 
É possível substituir direto tomar x =1? Por quê? Como encontrar esse limite sem 
utilizar aproximações? 
 
 
Exemplo: Estime o valor abaixo preenchendo a tabela a seguir 
lim$→(�( − � + 2 
Pela esquerda de 2 
x -1 0 1 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 
f(x) 
 
Pela Direita de 2 
x 4 3 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 
f(x) 
 
É possível substituir direto tomar x =2? Por quê? 
 
 
 
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Exemplo: Faça uma estimativa do lim$→� 012$$ 		. 
 
 
Cálculos usando propriedades dos limites 
 
Seja c uma constante e suponha que existam os limites 
 
 
Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alguns limites especiais: 
(lousa) 
Exemplos 
(lousa) 
 
Propriedade da soma direta: Se f for uma função polinomial ou racional e a estiver no 
domínio de f então 
lim$→3 �(�) = �(�) 
 
Atenção: Nem todos os limites podem ser calculados pela substituição direta. 
 
lim ( )
x a
f x
→
lim ( )
x a
g x
→
[ ]4.lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
= ⋅
[ ]1.lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
+ = +
[ ]2.lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x
→ → →
− = −
[ ]3.lim ( ) lim ( )
x a x a
cf x c f x
→ →
=
lim ( )( )5.lim lim ( ) 0( ) lim ( )
x a
x a x a
x a
f xf x if g x
g x g x
→
→ →
→
= ≠
 
 
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Exemplos 
(lousa) 
 
Limites Laterais 
 
Escrevemos 
���$→34 �(�) = 5 
 
e dizemos que o limite à esquerda de f(x) quando x tende a a é igual a L se pudermos 
tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, para x suficientemente próximo 
de a e x menor que a. 
 
Analogamente 
lim	$→36 �(�) = 5 
 
e dizemos que o limite à direita de f(x) quando x tende a a é igual a L se pudermos 
tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, para x suficientemente próximo 
de a e x maior que a. 
 
(Gráfico - lousa) 
 
Importante: 
lim	$→3 �(�) = 5 	7�	�	7������	7�	 lim$→34 �(�) = 5	 �		 lim	$→36 �(�) = 5 
 
 
Exemplo: Prove que o limite abaixo não existe: 
 
 
 
 
 
 
0
lim
x
x
x→
 
 
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Exemplo: Dada a função abaixo, verifique se existe o lim$→8 �(�) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Limites infinitos 
 
Exemplo: Encontre, se existir, lim$→� 
$* e lim$→� 9−
$*: 
 
(lousa) 
 
 
(Gráficos lousa) 
 
 
 
Reta assíntota: A reta x = a é chamada assíntota vertical da curva y = f(x) se pelo 
menos uma das seguintes condições estiver satisfeita; 
 
lim$→3 �(�) = ∞								 lim$→34 �(�) = ∞												 lim$→36 �(�) = ∞	 lim$→3 �(�) = −∞							 lim$→34 �(�) = −∞								 lim$→36 �(�)= −∞ 
 
(Gráficos – lousa) 
 
Exemplo: �(�) = ($$+< (Geogebra) 
 
 
 
Teorema: Se �(�) ≤ �(�) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e 
os limites de f e g existem quando x tende a a, então 
lim$→3 �(�) ≤ lim$→3�(�) 
 
Teorema do confronto (Ou teorema do sanduíche) 
Se �(�) ≤ �(�) ≤ ℎ(�) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e 
 
lim$→3 �(�) = lim$→3 ℎ(�) = 5 
Então 
lim$→3 �(�) = 5 
4 4( )
8 2 4
x if xf x
x if x

− >
= 
− <
 
 
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Exemplo: Mostre que 
lim$→��(. 7��	 ?
1
�@ = 0 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
(1) Encontre os seguintes limites: 
(a) ( )379lim 2
5
++
→
xx
x
 (b) ( )5
1lim 20 +
−
→ xx
x
x
 (d) 
2
2lim | 2 |x
x
x→
−
−
 
 
(2) Se ,22)(1 2 ++≤≤ xxxf para todo x, encontre o limite )(lim
1
xf
x −→
 
 
(3) Seja 
( )2
0
( ) 3 0 3
3 3
x if x
f x x if x
x if x

− <

= − ≤ <

− >
. Calcule, caso exista, 
0
lim ( )
x
f x
+→
 e 
0
lim ( )
x
f x
−→
. 
 
(4) Calcule: 
(a) lim$→
 9 
A<$
A8$*A<$B:
<
 (b) lim$→( 9$
*A$+C
$+( : (c) lim$→8 9
$*AD$A8
$*A<$+8: 
 
(d) lim$→� (8A$)
*+
C
$ (d) lim$→
$E+
$*+
 (e) limF→G
G+F
<+√F 
 
(e) lim$→I √$A(	+	<$+I