Calcule os seguintes limites de funções: (a) lim x→2 x3 − x2 − 8x+ 12 x3 − 7x2 + 16x− 12 (b) lim x→π 1 − sen (x/2) (x− π)2 (c) lim x→−∞ √ x6 − 2x...

(a) Para resolver o limite da letra (a), podemos utilizar a Regra de L'Hôpital ou fatorar o numerador e o denominador da função. Vamos utilizar a segunda opção: x³ - x² - 8x + 12 = x²(x - 1) - 4(2x - 3) x³ - 7x² + 16x - 12 = (x - 3)(x - 2)² Substituindo na expressão do limite, temos: lim x→2 (x²(x - 1) - 4(2x - 3)) / ((x - 3)(x - 2)²) lim x→2 [(x - 3)(x - 2)²(x + 2)] / [(x - 3)(x - 2)²] lim x→2 (x + 2) = 4 (b) Para resolver o limite da letra (b), podemos utilizar a Regra de L'Hôpital. Derivando o numerador e o denominador, temos: lim x→π (1 - sen(x/2)) / (x - π)² lim x→π (-cos(x/2)/2) / 2(x - π) lim x→π -cos(x/2) / 4(x - π)² Substituindo π na expressão, temos: lim x→π -cos(π/2) / 4(π - π)² lim x→π 0 (c) Para resolver o limite da letra (c), podemos fatorar o denominador da função. Temos: √(x⁶ - 2x⁴ + x³) / (x³ - 3x + 2) = √(x³(x³ - 2x + 1)) / (x³ - 3x + 2) O termo x³ - 2x + 1 é positivo para x → -∞, então podemos simplificar a expressão: √(x³(x³ - 2x + 1)) / (x³ - 3x + 2) = √(x³) / (x³ - 3x + 2) lim x→-∞ √(x³) / (x³ - 3x + 2) = lim x→-∞ 1 / √(1 - 3/x² + 2/x³) = 1 Portanto, as soluções são: (a) 4 (b) 0 (c) 1