Calcule os seguintes limites de funções: (a) lim x→2 x3 − x2 − 8x+ 12 x3 − 7x2 + 16x− 12 (b) lim x→π 1 − sen (x/2) (x− π)2 (c) lim x→−∞ √ x6 − 2x...

(a) Para calcular o limite, podemos aplicar a regra de L'Hôpital, que consiste em derivar o numerador e o denominador separadamente até que seja possível calcular o limite. x3 − x2 − 8x+ 12 x3 − 7x2 + 16x− 12 Derivando o numerador e o denominador, temos: 3x^2 - 2x - 8 3x^2 - 14x + 16 Substituindo x por 2, temos: 3(2)^2 - 2(2) - 8 3(2)^2 - 14(2) + 16 12 - 4 - 8 12 - 28 + 16 0 0 Portanto, o limite é igual a zero. Outra maneira de resolver o limite é fatorando o denominador e simplificando a expressão: x3 − x2 − 8x+ 12 = (x - 2)(x^2 - 7x + 6) x3 − 7x2 + 16x− 12 = (x - 2)(x^2 - 6x + 6) Substituindo x por 2, temos: (2 - 2)(2^2 - 7(2) + 6) (2 - 2)(2^2 - 6(2) + 6) 0 0 Portanto, o limite é igual a zero. (b) Para calcular o limite, podemos aplicar a regra de L'Hôpital novamente: 1 - sen(x/2) (x - π)^2 Derivando o numerador e o denominador, temos: cos(x/2)/2 2(x - π) Substituindo x por π, temos: cos(π/2)/2 2(π - π) 0/0 Aplicando a regra de L'Hôpital novamente: -sen(π/2)/4 2 -1/4 Portanto, o limite é igual a -1/4. (c) Para calcular o limite, podemos dividir o numerador e o denominador por x^3: √(x^6 - 2x^4 + x^3)/x^3 √(1 - 2/x^2 + 1/x^3)/(1 - 3/x + 2/x^3) Substituindo x por -∞, temos: √(∞)/∞ √0/0 Aplicando a regra de L'Hôpital, temos: (1/2) * (1 - 2/x^2 + 1/x^3)^(-1/2) * (4/x^3 - 3/x^4)/(1/x^2 - 3/x^2 + 6/x^4) Substituindo x por -∞, temos: (1/2) * (1 - 0 + 0)^(-1/2) * (0 - 0)/(0 - 0 + 0) 0 Portanto, o limite é igual a zero.