Índices e Relativos Econômicos

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Estatística Econômica/ 
Introdução à Econometria
UNIDADE III
Prof. Dr. Rubens Arakaki
 Número-índice é a relação entre dois estados de uma variável ou de um 
grupo de variáveis, suscetível de variar no tempo ou no espaço (expresso 
em termos percentuais).
Exemplo: Suponhamos que o preço de um produto no ano 2000 era $ 27,00 o 
quilograma e que o preço do mesmo produto no ano 2015 foi de $ 89,00. Um índice 
da variação dos preços é a razão dos preços nos dois momentos diferentes, 
conforme a seguir:
Solução:
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Interpretação:
(330% do ano-base)
(aumento obtido é de 330 – 100 = 230%.)
Convém notar que a porcentagem de aumento de 230% se obtém segundo a fórmula:
 Assim, as porcentagens não são reversíveis, isto é, se 
diminuirmos o preço do ano 2015 de 230%, não se obtém 
o preço do ano-base.
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Em 2012, uma empresa vendeu 500 unidades de um produto ao preço unitário de $ 
40,00. Em 2015, vendeu 800 unidades do mesmo produto ao preço unitário de $ 
70,00. Determinar os relativos de preço, quantidade e valor para o produto, tomando 
como base 2012.
Relativo de Preço:
Relativo de Quantidade:
Relativo de Valor:
 Os resultados indicam que em 2015 houve um aumento 
de 75% no preço, que a quantidade aumentou 60% e que 
o valor das vendas foi 180% superior ao de 2015.
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 Determinar o índice relativo de quantidade para 2015, tomando-se como básico o 
ano 2000 para a quantidade vendida de 35 e 40 quilogramas de um certo produto 
em 2000 e 2015, respectivamente.
Solução:
Relativo de Quantidade: 
Isso significa que houve um aumento de 14%. Se invertermos 
os períodos, teremos: 
 Isso significa que diminui 12,5%.
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 Suponha que o preço de um produto aumentou de $ 3.700,00 para $ 73.000,00 
entre dois períodos. Calcule o multiplicador, a variação percentual e o número-
índice que representam essa variação.
Solução:
Multiplicador: 
Variação percentual:
Número-índice:
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Determinar o índice (aritmético) ponderado de 2015 para os dados na tabela a 
seguir:
Solução:
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Itens
2010 2015
Preço Qtde. Preço Qtde.
1 100 3 70 5
2 100 5 130 8
3 100 7 200 6
Totais 300 15 400 19
Propriedades
Identidade:
Reversibilidade:
Cíclica ou circular:
Cíclica ou circular modificada:
 Essa propriedade é denominada elos e cadeias relativas.
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 Elos de relativos em intervalos sucessivos de tempo.
Índice em cadeia: p 2010,2014 = p2010, 2011 ×
p2011,2012 ×
p2012,2013 ×
p2013,2014
= 1,250 x 1,200 x 1,667 x 1,100 = 2,75 
Relativos em cadeia: quando tivermos uma sequência de 
relativos de preço, no qual o período básico é fixo:
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Ano 2010 2011 2012 2013 2014
Preço 200 250 300 500 550
Preço 
relativo
250/200 300/250 500/300 550/500
p 2010, 2011 p 2011,2012 p 2012,2013 p 2013,2014
1,250 1,200 1,667 1,100
p 2010, 2011 = 250/200 = 1,25
p 2010, 2012 = 300/200 = 1,50
p 2010, 2013 = 500/200 = 2,50
p 2010, 2014 = 550/200 = 2,75
Os relativos de preços, quantidade ou valor são normalmente apresentados em 
sequências que podem ser de:
Base fixa:
Base móvel: 
A sequência dos relativos de base móvel (também chamados de relativos em cadeia 
ou elos) é obtida de modo semelhante aos relativos de base fixa. Só que a base, 
nesse caso, são sucessivamente os valores X0, X1, X2, ... ... ... ..., Xn nas épocas 
t = 0,1,2,.......,n.
 Para estudos em que se deseje interpretar crescimentos 
anuais, usa-se o número-índice de base móvel. 
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Base móvel: 
Relativos de quantidade de base móvel expressos em percentagem (%).
 2012 apresentou uma quantidade do produto 12% 
superior ao ano de 2011, a quantidade do produto em 
2014 apresentou uma queda de 10% (100 – 90) em 
relação a 2013.
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Ano 2010 2011 2012 2013 2014
Quantidade 500 750 840 1050 945
Qtde. relativo
(base móvel)
- (750/500).100 (840/750).100 (1050/840).100 (945/1050).100
- q 2010,2011 q 2011,2012 q 2012,2013 q 2013,2014
- 150 112 125 90
Mudança de base de um número-índice
 Muitas vezes necessita-se efetuar a mudança de base de um índice de um período 
para outro, basicamente por duas razões: 
a) para atualizar a base, tornando-a mais próxima da realidade atual; 
b) para permitir a comparação de duas séries de índices que tenham 
bases diferentes. 
 É preciso escolher um período relativamente estável, ou 
seja, quando a atividade econômica estiver em menor 
grau de flutuações.
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 Mudança de relativos de base fixa para base móvel
 Para o ano de 2011 teremos: novo índice (base móvel) = (150/100).100 = 150,00.
 Para o ano de 2012 teremos: novo índice (base móvel) = (160/150).100 = 106,67.
 Para o ano de 2013 teremos: novo índice 
(base móvel) = (180/160).100 = 112,50.
 Para o ano de 2014 teremos: novo índice 
(base móvel) = (300/180).100 = 166,67.
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Ano 2010 2011 2012 2013 2014
Quantidade 500 750 800 900 1500
Qtde. relativo
(base t=2010)
(500/500).100 (750/500).100 (800/500).100 (900/500).100 (1500/300).100
q 2010,2010 q 2010,2011 q 2010,2012 q 2010,2013 q 2010,2014
100 150 160 180 300
Qtde. relativo
(base móvel) - 150,00 106,67 112,50 166,67
 Mudança de relativos de base móvel para base fixa
 Para o ano de 2011 teremos: novo índice (base t=2011) = (150/150).100 = 100.
 Para o ano de 2012 teremos: novo índice (base t=2011) = (112/150).100 = 74,67.
 Para o ano de 2013 teremos: novo índice 
(base t=2011) = (125/150).100 = 83,33.
 Para o ano de 2014 teremos: novo índice 
(base t=2011) = (90/150).100 = 60,00.
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Ano 2010 2011 2012 2013 2014
Quantidade 500 750 840 1050 945
Qtde. relativo
(base móvel)
- (750/500).100 (840/750).100 (1050/840).100 (945/1050).100
- q 2010,2011 q 2011,2012 q 2012,2013 q 2013,2014
- 150 112 125 90
Qtde. relativo
(base t = 2011) - 100 74,67 83,33 60,0
Na tabela a seguir apresentamos a informação sobre a evolução da quantidade 
vendida de um determinado produto por um comércio no primeiro semestre do ano 
de 2015 medida em toneladas. Em que mês tivemos a maior taxa de variação 
mensal e qual o seu valor?
a) Março; 12,14%.
b) Março; 17,04%.
c) Abril; 13,82%.
d) Abril; 17,04%.
e) Junho; 51,72%.
Interatividade
Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.
Toneladas 2.356,98 2.476,23 2.898,15 3.298,73 3.465,24 3.575,98
Na tabela a seguir apresentamos a informação sobre a evolução da quantidade 
vendida de um determinado produto por um comércio no primeiro semestre do ano 
de 2015 medida em toneladas. Em que mês tivemos a maior taxa de variação 
mensal e qual o seu valor?
a) Março; 12,14%.
b) Março; 17,04%.
c) Abril; 13,82%.
d) Abril; 17,04%.
e) Junho; 51,72%.
Resposta
Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.
Toneladas 2.356,98 2.476,23 2.898,15 3.298,73 3.465,24 3.575,98
Na tabela a seguir apresentamos a informação sobre a evolução da quantidade 
vendida de um determinado produto por um comércio no primeiro semestre do ano 
de 2015 medida em toneladas. Em que mês tivemos a maior taxa de variação 
mensal e qual o seu valor?
[(2.898,15 / 2.476,23) – 1] x 100 = 17,04
Resolução
Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.
Toneladas 2.356,98 2.476,23 2.898,15 3.298,73 3.465,24 3.575,98
Taxa mensal 
(%)
- 5,06 17,04 13,82 5,05 3,20
Números-índices compostos
 Dividem-se em: números-índices simples, quando um só produto está em jogo; 
números-índices composto, quando envolve um grupo de produtos.
 Devido às desvantagens dos índices simples, especialmente pelo fato da não 
existência de diferentespesos para cada um dos componentes, examinaremos os 
principais índices ponderados.
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Laspeyres ou método do 
ano-base (exagera a alta)
Paasche ou método do 
ano determinado (exagera a baixa)
Fonte: livro-texto.
A ponderação = as quantidades
(ou preços) do ano-base
Os numeradores = soma dos produtos 
dos preços e quantidades de cada item 
no período atual
A ponderação = as quantidades
(ou preços) do ano atual
Os denominadores = soma dos produtos 
dos preços e quantidades de cada item 
no período base
Determinar o índice agregativo de Laspeyres de preços para 2015 com relação aos 
dados da tabela:
 Em média, os preços dos três produtos aumentaram 
34,71% em 2015 comparativamente a 2014.
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Produtos
2014 2015
P2014 P2015
P2015
q2014
P2014
q2014Q2014 Q2015
A 13 17 10 12 156 130
B 16 28 17 27 432 272
C 28 34 22 28 784 616
1372 1018
Determinar o índice agregativo de Paache de preços para 2015 com relação aos 
dados da tabela:
 Os preços dos produtos aumentaram 37,16% 
(137,16 – 100) de 2014 a 2015.
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Produtos
2014 2015 P2014 P2015 P2015 q2015 P2014 q2015
Q2014 Q2015
A 13 17 10 12 204 170
B 16 28 17 27 756 476
C 28 34 22 28 952 748
1912 1394
 Relação entre os índices de Laspeyres e Paasche
 O índice de Paasche será maior que o de Laspeyres se os preços e as 
quantidades tenderem a se mover na mesma direção entre os dois períodos (base 
e atual); e o índice de Laspeyres será maior se os preços e quantidades tenderem 
a se mover em direções contrárias:
 se a correlação entre preço e quantidade for positiva
 se a correlação entre preço e quantidade for negativa
Estatística econômica e introdução à econometria
Índice de Laspeyres:
Índice de Paasche:
Índice de Fisher:
 Os preços dos produtos aumentaram 
35,93% (135,93 – 100) de 2014 a 2015.
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Como retirar os efeitos da inflação sobre séries de valores?
Utilizando índices de preços (IGP-DI, IPCA entre outros) para:
 deflacionar um fluxo monetário significa reduzir todos os valores da série a uma 
base comum de referência situada no início da série;
 inflacionar um fluxo monetário significa colocar todos os valores da série em uma 
base comum de referência, situada no fim da série; significa 
transformar os valores de cada época em valores 
compatíveis com a capacidade de compra verificada em 
uma data posterior.
Estatística econômica e introdução à econometria
 Em contextos inflacionários, são muito usadas as expressões “em preços 
correntes” e “em preços constantes”, assim, quando a série de valores está 
expressa:
 em preços correntes: cada termo da série se encontra expresso em poder 
aquisitivo da data respectiva do termo;
 em preços constantes: todos os termos da série estão expressos em poder 
aquisitivo de uma única data.
Estatística econômica e introdução à econometria
 Uma empresa possui os dados relativos a seu faturamento no período de 1980 a 
1985, apresentados na tabela a seguir. Dado o índice geral de preços (IGP) desse 
período, determinar o faturamento real em termos de 1980.
Estatística econômica e introdução à econometria
Ano 1980 1981 1982 1983 1984 1985
Faturamento
($ milhões)
50 000 80 000 130 000 180 000 220 000 270 000
IGP 80 = 100 100 137 208 362 691 1085
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Ano
Inverso 
dos 
índices
Taxa de 
desvalorização 
da moeda
X
Valores
CORRENTES
=
Valores 
deflacionados
CONSTANTES
1980
1
100
× 100 = 1,000 X 50 000 =
50 000
(50.000/00x100)
1981
1
137
× 100 = 0,7299 X 80 000 =
58 392 
(80.000/137x100)
1982
1
208
× 100 = 0,4807 X 130 000 =
62 491
(130.000/137x100)
1983
1
362
× 100 = 0,2762 X 180 000 =
49 716
(180.000/137x100)
1984
1
691
× 100 = 0,1447 X 220 000 =
31 834
(220.000/137x100)
1985
1
1.085
× 100
=
0,0922 X 270 000 =
24 894
(270.000/137x100)
Uma empresa possui os dados relativos a seu faturamento no período de 2010 a 
2015 apresentados na tabela a seguir. Dado o índice geral de preços (IGP) desse 
período, determinar o pior faturamento real em termos constantes de 2015 e o ano 
em que ocorreu.
a) 335; 2015.
b) 208; 2012.
c) 307; 2014.
d) 318; 2014.
e) 333; 2014.
Interatividade
Ano 2010 2011 2012 2013 2014 2015
Faturamento
($ milhões)
Valores
correntes
60 120 145 138 212 335
IGP 2010 = 100 100 137 208 362 691 1085
Uma empresa possui os dados relativos a seu faturamento no período de 2010 a 
2015 apresentados na tabela a seguir. Dado o índice geral de preços (IGP) desse 
período, determinar o pior faturamento real em termos constantes de 2015 e o ano 
em que ocorreu.
a) 335; 2015.
b) 208; 2012.
c) 307; 2014.
d) 318; 2014.
e) 333; 2014.
Resposta
Ano 2010 2011 2012 2013 2014 2015
Faturamento
($ milhões)
Valores
correntes
60 120 145 138 212 335
IGP 2010 = 100 100 137 208 362 691 1085
Resolução
Ano 2010 2011 2012 2013 2014 2015
Faturamento
($ milhões)
Valores correntes
60 120 145 138 212 335
IGP 2010 = 100 100 137 208 362 691 1085
Faturamento
($ milhões)
Valores constantes 
(base = 2010)
60 87,59 69,71 38,12
(212/691)
x 100 =
30,68
30,88
IGP 2015 = 100 9,22 12,63 19,17 33,36
(691/1085)
x 100 =
63,69
100
Faturamento
($ milhões)
Valores
constantes 
(base = 2015)
650,76 950,12 756,39 413,67
(212/63,69)
x 100 =
332,86
335,00
 Econometria: ramo da ciência econômica que trata de representar numericamente 
as relações econômicas, o que se realiza mediante uma combinação adequada da 
Teoria Econômica, Matemática e da Estatística.
Variáveis e Parâmetros do Modelo
Estatística econômica e introdução à econometria
Fonte: Livro-texto
VARIÁVEL ENDÓGENA:
Variável a ser explicada
pelo modelo
VARIÁVEL EXÓGENA:
Variável que explica
o modelo
Y = α + bX
parâmetro
constante
Modelo de regressão linear simples (MRLS)
A mais simples relação matemática entre duas variáveis X e Y é a linear (reta). A 
equação que descreve como Y está relacionado com X e com uma parcela de erro é 
chamada modelo de regressão, segundo o modelo:
 α e β referem-se aos parâmetros do modelo e 𝜖 é uma 
variável aleatória que se denomina erro aleatório ou 
parcela de erro. A parcela de erro é responsável pela 
variabilidade em Y que não pode ser explicada pela 
relação linear entre X e Y.
Estatística econômica e introdução à econometria
 O gráfico da equação de regressão linear simples é uma linha reta: 𝛼 é o ponto em 
que a linha (ou reta) de regressão intercepta o eixo y, β é a inclinação. ŷ é o valor 
esperado de y para determinado valor de x.
Estatística econômica e introdução à econometria
Fonte: Livro-texto
Figura (a)
Relação linear positiva
E(y)
Reta de
regressão
A inclinação
β é positiva
Intercepto
α
Y = α + β x + ε
x
Figura (b)
Relação linear negativa
E(y)
Reta de
regressão
A inclinação
β é positiva
Intercepto
α
Y = α - β x + ε
x
Figura (c)
Sem relação
E(y)
Reta de regressão
A inclinação β é 0Intercepto
α
Y = α
x
Estatística econômica e introdução à econometria
Fonte: Livro-texto
Y
Yi
Ŷi
Desvio: Yi -Ŷi
Ŷ = a + bX
Linha dos mínimos quadrados
Valores ajustados
x
{
Coeficiente de Correlação 
de Pearson (-1 ≤ r ≤ 1)
Estatística econômica e introdução à econometria
Fonte: Livro-texto 
(adaptado)
Obs. Renda, X Consumo, Y xy x2 y2
1 1.500 1.234 1.851.000 2.250.000 1.522.756
2 2.000 1.636 3.272.000 4.000.000 2.676.496
3 2.500 1.987 4.967.500 6.250.000 3.948.169
4 3.000 2.435 7.305.000 9.000.000 5.929.225
5 3.500 2.513 8.795.500 12.250.000 6.315.169
6 4.000 2.657 10.628.000 16.000.000 7.059.649
7 4.500 3.123 14.053.500 20.250.000 9.753.129
8 5.000 3.567 17.835.000 25.000.000 12.723.489
∑ 26.000 19.152 68.707.500 95.000.000 49.928.082 
Existe uma forte correlação positiva entre renda (X) e consumo (Y). 
Àmedida que aumenta a renda, crescem as despesas de consumo.
As quantidades S medem a dispersão dos dados;
são variabilidades:
Estatística econômica e introdução à econometria
Obs. Renda, X Consumo, Y xy x2 y2
∑ 26.000 19.152 68.707.500 95.000.000 49.928.082 
Coeficiente de elasticidade e Teste de hipótese
 No mínimo três aspectos importantes devem ser tratados quanto ao parâmetro 
estimado na reta de regressão “β” (inclinação ou coeficiente angular da reta):
 primeiro é o de testar a hipótese de que o verdadeiro valor do coeficiente angular é 
igual a zero (β=0);
 segundo, a relação que existe com o conceito 
econômico de elasticidade;
Estatística econômica e introdução à econometria
 terceiro é que quanto maior for a dispersão entre os valores de X, a variância de 
“β” é menor, portanto, se torna mais fácil localizar o verdadeiro valor de β. 
Estatística econômica e introdução à econometria
Fonte: Livro-texto
(α )
y
x (b )
y
x
Teste de hipótese
 É importante também aplicarmos o teste de hipótese ao nosso 
modelo de regressão. 
 A hipótese nula: os valores de x não têm qualquer relacionamento 
com os valores de y.
 A hipótese nula é confirmada pela equação quando se constata 
que não há qualquer relação entre x e y se o verdadeiro 
valor do coeficiente angular for zero.
Portanto, a equação da reta de regressão é:
Estatística econômica e introdução à econometria
A equação tem distribuição t_student com n – 2 graus de liberdade, decorre que, se 
β = 0, então a estatística será:
 Testamos a existência do efeito de regressão entre duas variáveis em estudo. A 
hipótese nula (H0: β = 0) é de não existência de regressão, enquanto a hipótese 
alternativa (H1: β ≠ 0) é aquela que contempla a regressão.
Podemos calcular o valor dessa estatística:
Estatística econômica e introdução à econometria
Exemplificando: x=1500
substituindo na equação
abaixo:
 Temos o valor previsto de: 
Estatística econômica e introdução à econometria
Obs.
Renda
𝑥
Consumo 
𝑦
ො𝑦 𝑦𝑖 − ො𝑦 2 𝑥𝑖 − ҧ𝑥 2
1 1.500 1.234 1.316,75 6.847,56 3.062.500
2 2.000 1.636 1.624,54 131,43 1.562.500
3 2.500 1.987 1.932,32 2.989,75 562.500
4 3.000 2.435 2.240,11 37.983,23 62.500
5 3.500 2.513 2.547,89 1.217,51 62.500
6 4.000 2.657 2.855,68 39.473,17 562.500
7 4.500 3.123 3.163,46 1.637,36 1.562.500
8 5.000 3.567 3.471,25 9.168,06 3.062.500
 26.000 19.152 99.448,07 10.500.000
. 1500
1316,70
No teste para β, calculamos a Região Crítica (RC) ao nível de significância de 5% 
( = 0,05):
Podemos calcular o valor dessa estatística:
Estatística econômica e introdução à econometria
Fonte: Livro-texto
(nº de desvios 
padrões)
 Teste de Hipótese:
 Para um teste bilateral no nível de significância de 5%, o valor crítico de uma 
distribuição t-student com 6 graus de liberdade é 2,447 (Tabela A3a – unilateral). 
Como 15,49 está na região de rejeição, bem acima do valor crítico, podemos 
rejeitar com segurança a hipótese nula de que o coeficiente angular seja zero.
Estatística econômica e introdução à econometria
Fonte: Livro-texto
Estatística econômica e introdução à econometria
Fonte: Livro-texto
GL p = 0,750 p = 0,900 p = 0,950 p = 0,975 p = 0,990
1 1,000 3,078 6,314 12,706 31,821
2 0,816 1,886 2,920 4,303 6,965
3 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541
4 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747
5 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365
6 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143
7 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998
Tabela A3a – Tabela da distribuição t de Student (unilateral)
 Utilizando a equação de regressão ŷ = 2,423 + 0,00873x, com 20 pares de 
observações e um erro padrão estimado para o parâmetro b (coeficiente angular) 
em 0,0006397, teste a hipótese nula H0: β = 0
 versus H1: β ≠ 0 ao nível de significância de 5%. Responda: o valor da estatística 
teste, o t crítico que determina a região de rejeição e se o verdadeiro valor do 
coeficiente angular é zero.
a) 0,00873; 2,101; Sim.
b) 0,00873; 2,101; Não.
c) 13,65; 2,101; Não.
d) 13,65; 1,734; Sim.
e) 13,65; 1,734; Não.
Interatividade
 Utilizando a equação de regressão ŷ = 2,423 + 0,00873x, com 20 pares de 
observações e um erro padrão estimado para o parâmetro b (coeficiente angular) 
em 0,0006397, teste a hipótese nula H0: β = 0
 versus H1: β ≠ 0 ao nível de significância de 5%. Responda: o valor da estatística 
teste, o t crítico que determina a região de rejeição e se o verdadeiro valor do 
coeficiente angular é zero.
a) 0,00873; 2,101; Sim.
b) 0,00873; 2,101; Não.
c) 13,65; 2,101; Não.
d) 13,65; 1,734; Sim.
e) 13,65; 1,734; Não.
Resposta
 A hipótese nula é confirmada pela equação quando se constata 
que não há qualquer relação entre x e y se o verdadeiro valor do coeficiente 
angular for zero.
Podemos calcular o valor dessa estatística:
No teste para β , calculamos a Região Crítica (RC) ao 
nível de significância de 5% e n – 2 graus de liberdade 
Resolução
Teste de Hipótese: 
Para um teste bilateral no nível de significância de 5%, o valor crítico de uma 
distribuição t com 18 graus de liberdade é 2,101. Como 13,65 está na região de 
rejeição, bem acima do valor crítico, podemos rejeitar com segurança a hipótese nula 
de que o coeficiente angular seja zero.
Resolução
Resolução
GL p = 0,750 p = 0,900 p = 0,950 p = 0,975 p = 0,990 p = 0,995
1 1,000 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657
2 0,816 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925
3 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841
17 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898
18 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878
19 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861
20 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845
Tabela A3a – Tabela da distribuição t de Student (unilateral)
Variação em torno de uma reta de regressão
Vamos compreender os três tipos de variação em torno de uma reta de regressão. 
São elas:
Estatística econômica e introdução à econometria
Fonte: Livro-texto
Variação total = Variação explicada + Variação inexplicada
= +
Soma do 
quadrado total
=
Soma do quadrado 
da regressão
+
Soma do quadrado do 
resíduo
SQTot = SQReg + SQRes
Syy bSxy = b2Sxx Syy – bSxy = Syy – b2Sxx
Podemos conduzir a análise de variância da regressão linear simples, conforme o 
quadro a seguir:
Estatística econômica e introdução à econometria
Fonte: Livro-texto
Causas de 
variação
Graus de 
liberdade
Soma de quadrados Quadrados médios
Regressão 1 b . Sxy = b2 Sxx b . Sxy = b2 Sxx
Resíduo n-2 Syy - b Sxy = Syy - b2Sxx
Total n-1 Syy
Análise da Variância – ANOVA 
O coeficiente de determinação (r2)
 É a razão entre a variação explicada e a variação total. Portanto, r2 é uma medida 
descritiva da qualidade do ajustamento obtido.
 Isso significa que 97,56% da variação de y pode ser explicada pela relação 
entre x e y. 
 Os 2,44% (1 – 0,9756) restantes da variação são 
inexplicados e se devem ao acaso, a erros amostrais 
ou a outros fatores.
Estatística econômica e introdução à econometria
Fonte: Livro-texto
O erro padrão da estimativa (Se) 
 Temos como erro padrão da estimativa 128,74. Isso 
significa que o desvio padrão do consumo para uma 
renda específica é de cerca de R$ 128,74.
Estatística econômica e introdução à econometria
Fonte: Livro-texto
Intervalos de Previsão
 Para construir o intervalo de previsão, usa-se uma distribuição t de Student com 
n – 2 graus de liberdade (tc).
 Dada uma equação de regressão linear ŷ = α + bx e x0, um valor específico de x, 
podemos construir um intervalo de previsão para ŷ:
Estatística econômica e introdução à econometria
 Intervalos de Previsão
 Quanto maior for a diferença entre x e x̄, maior será o 
intervalo de previsão.
Estatística econômica e introdução à econometria
Fonte: Livro-texto
Os limites do intervalo de
confiança depende de xp
Limite superior
Limite inferior
Em xp = x̄
a amplitude
do intervalo
de confiança
é menor 
x ̄ = 14
Análise de resíduos
 A situação ideal para os resíduos é estarem distribuídos aleatoriamente em torno 
dozero, sem nenhuma observação muito discrepante (variância constante).
Estatística econômica e introdução à econometria
Fonte: Livro-texto
y- ŷ 
0
R
e
s
íd
u
o
x
Bom padrão 
Podemos calcular probabilidades
 Calcular a probabilidade de que a despesa de consumo (Y) possa ser maior que 
R$ 2.000,00 para uma renda (X) de R$ 2.500,00.
Estatística econômica e introdução à econometria
𝑷(Y>2.000,00 \ X=2.500,00)
Fonte: Livro-texto 
(adaptado)
Obs. X_renda Y_consumo Y_previsto e e2
1 1.500 1.234 1.316,75 -82,75 6.847,56 
2 2.000 1.636 1.624,54 11,46 131,43 
3 2.500 1.987 1.932,32 54,68 2.989,75
4 3.000 2.435 2.240,11 194,89 37.983,23
5 3.500 2.513 2.547,89 -34,89 1.217,51 
6 4.000 2.657 2.855,68 -198,68 39.473,17 
7 4.500 3.123 3.163,46 -40,46 1.637,36 
8 5.000 3.567 3.471,25 95,75 9.168,06 
Σ 0,00 99.448,07 
Fundação Carlos Chagas/Analista do Banco Central 
do Brasil (Área 3/2005)
 Uma empresa, com a finalidade de determinar a relação entre os gastos anuais 
com propaganda (X) em R$ 1.000,00 e o lucro bruto anual (Y) em R$ 1.000,00, 
optou por utilizar o modelo linear simples Yi = α + βxi + εi, em que Yi é o valor 
do lucro bruto auferido no ano i, Xi é o valor gasto com propaganda no ano i, e εi o 
erro aleatório com as respectivas hipóteses consideradas para a regressão linear 
simples (α e β são parâmetros desconhecidos).
Interatividade
Considerou, para o estudo, as seguintes informações referentes às observações nos 
últimos 10 anos da empresa:
Utilizando a equação da reta obtida pelo método dos mínimos quadrados, tem-se 
que, caso haja um gasto anual com propaganda de 80 mil reais, a previsão do lucro 
bruto anual, em mil reais, será de:
a) 84
b) 102,5
c) 121
d) 128,4
e) 158
Interatividade
Considerou, para o estudo, as seguintes informações referentes às observações nos 
últimos 10 anos da empresa:
Utilizando a equação da reta obtida pelo método dos mínimos quadrados, tem-se 
que, caso haja um gasto anual com propaganda de 80 mil reais, a previsão do lucro 
bruto anual, em mil reais, será de:
a) 84
b) 102,5
c) 121
d) 128,4
e) 158
Resposta
A equação da reta de mínimos quadrados é y = 2,5 +1,25x.
Substituindo o valor x = 80 na equação acima obtemos
y = 2,5 +1,25 × 80 = 2,5 +100 =102,5.
Resolução
Fonte: Livro-texto
ATÉ A PRÓXIMA!