Tema 4 - Eletricidade Aplicada 4

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Teorema da superposição e circuitos
equivalentes em estrela e triângulo
Você vai estudar os circuitos elétricos a partir do teorema da superposição e os princípio da linearidade,
além da análise de circuitos ligados em estrela ou triângulo e suas transformações equivalentes.
Profa. Isabela Oliveira Guimarães
1. Itens iniciais
Preparação
Antes de iniciar este conteúdo, disponibilize papel, caneta para anotações e, se possível, uma calculadora
científica para facilitar seus cálculos na solução das equações dos circuitos elétricos e das transformações
equivalentes para as ligações estrela e triângulo.
Objetivos
Aplicar cálculos para solução de circuitos elétricos por meio do teorema da superposição.
Descrever circuitos elétricos equivalentes em estrela e triângulo.
Introdução
Olá! Confira, neste vídeo, os circuitos tipo estrela e triângulo, as suas transformações equivalentes e os
conceitos fundamentais do princípio da linearidade. Além disso, veja também o que é o teorema da
superposição.
Conteúdo interativo
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1. Circuitos e superposição
Fundamentos dos teoremas de circuitos elétricos
Teorema da superposição
Confira, neste vídeo, o princípio da linearidade e veja como ocorre a aplicação do teorema da superposição
nos circuitos elétricos.
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Leis de Kirchhoff
São fundamentais na análise de circuitos elétricos e dividem-se em dois tipos:
1
Lei de Kirchhoff das correntes (LKC)
Estabelece que a soma das correntes que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem
dele, garantindo a conservação da carga elétrica. Sua fórmula é dada por:
 
2
Lei de Kirchhoff das tensões (LKT)
Afirma que a soma das tensões ao longo de um circuito fechado é zero. Acompanhe sua fórmula:
 
A aplicação das Leis de Kichhoff permite a solução de circuitos elétricos de forma simples, utilizando a 
análise nodal e a análise de malhas, respectivamente.
 
No entanto, se o circuito for grande ou complexo, a aplicação dessas leis pode se tornar muito trabalhosa,
devido à quantidade de cálculos e equações necessárias para encontrar as variáveis tensão e corrente nos
elementos. Assim, para lidar com a solução de circuitos elétricos complexos, diversos teoremas foram
desenvolvidos para simplificar a análise.
 
Entre os mais utilizados, destacam-se: 
Teorema de Thévenin
Simplifica um circuito complexo para uma única fonte de tensão e uma resistência equivalente em
série.
Teorema de Norton
Simplifica um circuito complexo de maneira bem semelhante à do teorema de Thévenin, mas
representa o circuito como uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência equivalente.
Teorema da superposição
Permite a análise de circuitos com múltiplas fontes, desconsiderando temporariamente todas as
fontes, exceto uma, e depois soma os efeitos individuais.
Neste conteúdo, vamos enfocar o teorema da superposição.
Comentário
Os teoremas de circuitos são válidos apenas para circuitos lineares. Por esse motivo, deve-se ter muito
claro o princípio da linearidade em circuitos elétricos. 
Princípio da linearidade
É uma relação matemática de grande impacto em circuitos elétricos em geral, intimamente relacionada com a
proporcionalidade e que pode ser representada graficamente por uma reta.
A linearidade é basicamente a propriedade de uma função ser compatível com adição (aditividade) e
escalonamento (homogeneidade), também chamado de superposição.
Em um circuito que obedece à propriedade de homogeneidade, se a entrada (ou fonte de alimentação) for
multiplicada por uma constante, a saída (ou resposta ao estímulo) também deverá ser multiplicada pela
mesma constante. Isso significa que a relação entre a entrada e a saída é linear. 
 
Portanto, de acordo com a Lei de Ohm, que relaciona a entrada em corrente e a saída em tensão no resistor,
teremos:
Quando o valor dessa corrente for aumentado “k vezes”, a tensão sob o resistor terá um aumento de “k vezes”,
ou seja:
1
2
Considerando isso, uma função matemática descrita por uma linha reta que passa pela origem possui a 
propriedade de proporcionalidade. Portanto, observe no gráfico a seguir como a função é
representada.
Gráfico: Proporcionalidade na função matemática \(f(x)=y=2 x\).
Para o valor de , temos . Se o valor de for dobrado, ou seja, , então 
. Isso significa que, ao duplicar (entrada), a saída também é duplicada. Essa
relação é válida para qualquer valor de , ou seja, o fator de escala ou proporcionalidade permanece
constante.
 
Por outro lado, a propriedade de adição (aditividade) diz que a resposta para a soma de entradas diferentes
em um circuito é dada pela soma das respostas a cada uma dessas entradas aplicadas separadamente.
Exemplo
Com base na relação entre tensão e corrente em um resistor, a resposta a uma entrada é composta por duas
correntes distintas, a resposta total do resistor é obtida pela soma das respostas individuais a cada corrente.
 
Para as correntes e , as tensões correspondentes são:
Tendo isso em vista, confira a seguir a representação da propriedade de adição para uma função linear 
qualquer.
 
3
Notamos que, ao somar as entradas e e aplicar essa soma à função , a saída será .
De acordo com a propriedade de adição, essa saída também pode ser representada como:
Dessa forma, os conceitos de linearidade aplicados aos resistores também se estendem a outros
componentes do circuito, como indutores e capacitores. Considerando isso, veja os componentes e as leis
que descrevem o comportamento deles.
Indutores
São descritos pela lei:
Capacitores
São compostos pela lei:
Inicialmente, as equações 4 e 5 podem não parecer funções lineares. No entanto, ao considerar a derivada
como a variável independente, é possível notar a linearidade. 
Indutor
4
5
A relação para o indutor pode ser representada graficamente como uma linha reta, em que a derivada é o
eixo horizontal e a tensão é o eixo vertical. Veja!
Gráfico: Representação da relação tensão x corrente para o indutor.
Observa-se que a inclinação dessa reta representa a indutância , que é dada por:
Capacitor
A relação para o capacitor também pode ser representada graficamente como uma linha reta, em que a
derivada é o eixo horizontal e a corrente é o eixo vertical. Observe!
6
Gráfico: Representação da relação tensão \(x\) corrente para o capacitor.
Nota-se que a inclinação dessa reta representa a icapacitância , e é dada por:
Lembre-se: o princípio da linearidade não se aplica à potência elétrica. Isso pode ser compreendido ao
analisar a fórmula da potência, que pode ser expressa pela seguinte equação:
Na equação, podemos perceber que a relação entre tensão e corrente para potência elétrica é quadrática.
Portanto, o teorema da superposição, que será abordado mais adiante, não se aplica para cálculos de
potência.
Agora, para ilustrar o conceito de linearidade em circuitos, vamos analisar um caso.
Exemplo prático
Observe, a seguir, o circuito linear. Os elementos contidos nele não são importantes, desde que sejam
lineares. A entrada é fornecida por uma fonte de tensão, e a saída é a corrente no resistor . Quando a fonte
fornece uma tensão de , a corrente no resistor é de . Considerando o princípio da linearidade, calcule
o valor da corrente no resistor quando a fonte fornecer .
7
8
Representação de circuito linear resistivo.
Como o circuito é linear, as propriedades de adição e homogeneidade são válidas. Levando em conta a
proporcionalidade entre os valores de entrada e saída, temos:
A partir da fórmula, obtemos:
Perceba que, devido à proporcionalidade, basta aplicar uma regra de três para encontrar a solução.
Resumindo
Um circuito é linear quando sua saída está linearmente relacionada à sua entrada, ou seja, a saída e a
entrada são diretamente proporcionais. 
Teorema da superposição
É amplamente utilizado na análise de circuitos elétricos e está fundamentado no princípio da linearidade.
 
Esse teorema se aplicaa circuitos lineares que contenham fontes independentes ou dependentes, resistores,
indutores e capacitores, que são elementos lineares. A utilização desse teorema pode, muitas vezes, reduzir a
complexidade e facilitar a solução de circuitos elétricos.
O teorema da superposição é tipicamente usado para analisar circuitos com duas ou mais fontes que
não estão conectadas em série ou paralelo, ou seja, em arranjos que não permitem a associação
direta dessas fontes.
É possível determinar os efeitos individuais de cada uma dessas fontes e suas contribuições específicas nas
grandezas dos circuitos. Para fontes de diferentes tipos, o resultado final (total) referente às fontes é a soma
algébrica de seus resultados individuais.
Resumindo
Este teorema assegura que a corrente elétrica ou a tensão em um elemento do circuito linear é dada pela
soma algébrica das correntes ou tensões produzidas pela atuação isolada de cada uma das fontes
independentes. 
O teorema da superposição permite encontrar a corrente ou a tensão em um circuito linear analisando uma
fonte de cada vez. Após obter as soluções individuais, os resultados são combinados pela soma algébrica,
considerando que as fontes podem gerar correntes com sentidos opostos ou tensões com polaridades
invertidas.
 
Para aplicar o teorema da superposição, é necessário obter as contribuições individuais das fontes do circuito
elétrico, ou seja, é preciso avaliar cada fonte individualmente enquanto todas as outras restantes devem ser
removidas.
 
Atenção: existem dois tipos básicos de fontes que devem ser removidas: fontes de tensão e fontes de
corrente. Para desativar cada uma delas, siga os procedimentos descritos a seguir.
Fontes de tensão
Para desativar uma fonte de tensão em um circuito elétrico, basta
substituí-la por um curto-circuito, ou seja, uma conexão direta entre seus
terminais. Assim, a tensão será zero, que é o mesmo que desativar a
fonte. Se houver resistência interna na fonte, essa deverá ser mantida em
série no circuito. 
Fontes de corrente
Para desativar uma fonte de corrente em um circuito elétrico basta
substituí-la por um circuito aberto, ou seja, uma conexão aberta entre
seus terminais. Assim, a corrente elétrica será zero, que é o mesmo que
desativar a fonte. Se houver resistência interna na fonte, essa deverá ser
mantida em paralelo no circuito.
Podemos dizer que o número de circuitos a ser analisado a partir do teorema da superposição se refere ao
número de fontes existentes, tendo em vista que o efeito de cada uma será determinado individualmente. A
princípio, isso pode parecer uma desvantagem do método de análise, no entanto, a superposição contribui
para reduzir a complexidade de circuitos elétricos pela simples substituição de fontes por curtos-circuitos ou
por circuitos abertos em diferentes situações de análise.
Etapas para aplicação do teorema da superposição
Para aplicar o teorema da superposição em circuitos elétricos, é necessário adotar um processo sistemático
para isolar e analisar o impacto de cada fonte independente. As etapas a seguir garantem uma abordagem
organizada e eficiente para obter a resposta total do circuito. 
Inativação das fontes independentes
Desativar todas as fontes independentes do circuito elétrico, exceto uma. As fontes de tensão são
substituídas por um curto-circuito, e as fontes de corrente, por um circuito aberto. As fontes
dependentes, ou controladas, devem ser mantidas no circuito.
Análise das contribuições individuais
Repetir a primeira etapa até que todas as fontes independentes tenham sido consideradas, e suas
contribuições individuais tenham sido calculadas.
Definição da resposta
Determinar a resposta total nos elementos fazendo a soma algébrica das respostas individuais de
cada fonte. As tensões e correntes em cada ramo serão a soma das tensões e correntes das fontes
independentes obtidas individualmente. Além disso, é importante atentar-se ao sentido das correntes
e à polaridade das tensões.
Acompanhe o caso a seguir.
Exemplo prático
Com base no teorema da superposiçāo e no princípio da linearidade descritos, calcule a corrente elétrica que
circula por meio do resistor do circuito apresentado.
Representação da circulação da corrente elétrica através do resistor \(R_2\).
Primeiro, determine a contribuição da fonte de tensão de 24V. Para isso, desative a fonte de corrente
substituindo-a por um circuito aberto.
Representação da substituição da fonte de corrente por um circuito aberto.
A Ação anterior resulta em um circuito em série simples. A contribuição da fonte de para a corrente 
será:
Em seguida, encontre a contribuição da fonte de corrente. Para isso, desative a fonte de tensão substituindo-
a por um curto-circuito, conforme mostrado na imagem a seguir.
Representação da substituição da fonte de tensão por um curto-circuito.
O circuito restante apresenta uma combinação em paralelo dos resistores e . Com base no principio
de divisão de corrente, a contribuição da fonte de , denominada , será:
Como as duas correntes encontradas tem o mesmo sentido de fluxo no resistor , a corrente total é dada
pela soma de e :
O exemplo prático demonstra que, caso se deseje calcular a corrente elétrica em um circuito, a contribuição
para tal corrente deve ser determinada para cada fonte, conforme o teorema da superposição. Além disso,
quando o efeito de cada fonte é determinado, correntes de mesmo sentido são adicionadas, ao passo que as
de sentido oposto são subtraídas, de modo a obedecer a soma algébrica dessas grandezas. O resultado
obtido é o sentido da soma maior e o valor absoluto da diferença.
 
Do mesmo modo, caso se deseje calcular a tensão em um elemento, sua contribuição também deve ser
determinada para cada fonte, conforme o teorema da superposição. Além disso, quando o efeito de cada
fonte é determinado, tensões de mesma polaridade são adicionadas, enquanto tensões de polaridades
opostas são subtraídas, de modo a obedecer a soma algébrica dessas grandezas. O valor final da tensão tem
a polaridade da soma maior e o valor absoluto da diferença.
Atenção
Assim como com o princípio da linearidade, o teorema da superposição não se aplica ao cálculo da
potência elétrica em um circuito. A dissipação de potência em componentes lineares, como resistores, é
proporcional ao quadrado da tensão ou da corrente. Portanto, a potência total não é simplesmente a
soma das potências individuais calculadas para cada fonte isoladamente. 
Mão na massa
Questão 1
Com base no teorema da superposição, a corrente elétrica que circula pelo resistor do circuito ilustrado
na imagem a seguir é de:
Representação da corrente elétrica através do resistor \(R_2\).
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
É possível começar a resolver o circuito calculando a contribuição da fonte de tensão de . Nesse caso,
a fonte de corrente deve ser desligada, ou seja, substituída por um circuito aberto equivalente. O resultado
é um circuito em série que tem corrente com o seguinte valor:
 é a corrente no resistor referente à contribuição da fonte de tensão.
Para calcular o efeito da fonte de corrente, a fonte de tensão deve ser desligada do circuito, ou seja,
substituída por um curto-circuito equivalente. O resultado é a combinação dos resistores e em
paralelo. Assim, a corrente será:
Portanto, a corrente no resistor é a soma das contribuições das fontes de tensão e de corrente:
Acompanhe o vídeo a seguir.
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Questão 2
O circuito apresentado exemplifica um circuito elétrico alimentado por uma fonte de tensão de .
Considerando os valores dos componentes e o princípio da linearidade, o valor da corrente , quando a
fonte de tensão for de , é de:
Representação do circuito com uma fonte de \(1 V\).
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Primeiro, é necessário determinar o valor da corrente para a configuração mostrada no circuito,
considerando os parâmetros conhecidos dos resistores e da fonte de tensãode .
A partir disso, calcule a resistência equivalente com os resistores da malha da direita, da seguinte forma:
Assim, a corrente total que flui da fonte é de:
Com base no princípio de divisão de corrente, a corrente será de:
Considerando que a fonte seja de (e que os resistores mantenham os mesmos valores), temos:
Portanto a corrente será de:
Questão 3
A imagem mostra um circuito elétrico ligado em ponte. Ao aplicar o teorema da superposiçäo, a corrente 
que circula pelo resistor de é de aproximadamente:
Representação da corrente \(I_2\) no resistor de \(12 k \Omega\).
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Utilizando o teorema da superposição, primeiro será considerado o efeito da fonte de corrente de 4 mA no
resistor de . Deve-se aplicar a regra de divisão de corrente, ou seja:
Considerando agora o efeito da fonte de tensão de 8 V, temos:
Tendo em vista que as correntes elétricas referentes às duas fontes têm o mesmo sentido por meio de 
, a corrente total nesse resistor será a soma das duas, aproximadamente:
Confira o vídeo a seguir.
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Questão 4
Determine a corrente elétrica que circula pelo resistor de aplicando o teorema da superposição no
circuito a seguir.
Representação da corrente elétrica pelo resistor de \(12 \Omega\).
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Acompanhe a solução no vídeo a seguir.
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Questão 5
No circuito apresentado adiante, a corrente é de quando a fonte de tensão vale . Se a
fonte for substituída por uma fonte de , o valor da corrente será:
Representação de circuito com a fonte de tensão \(v_s\).
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
A solução do problema pode ser encontrada utilizando a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) aplicada às
duas malhas do circuito e atribuindo o valor de à fonte de tensão . No entanto, como já foi
fornecida a corrente quando a fonte vale , é possível aplicar o princípio da linearidade para
encontrar a nova corrente.
Quando , obtemos:
Para , temos:
Ou seja, como a fonte de tensão dobrou de valor e o circuito é linear, a corrente elétrica também deverá ser
dobrada.
Questão 6
Supondo inicialmente que a corrente seja e utilizando o princípio da linearidade, o valor real para 
na imagem apresentada é de:
Representação do valor real da corrente \(I_0\) com base no princípio da linearidade.
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Se , então: . Portanto, teremos:
Assim, se a Lei de Kirchhoff das tensões for aplicada ao nó 1, obteremos:
Logo, ao aplicar a Lei de Kirchhoff das tensões no nó 2, concluímos que
Dessa forma, . Isso significa que, ao supor , obtemos . Assim, o valor real da
corrente da fonte de resultará em uma corrente de como valor real.
Teoria na prática
Utilizando o teorema da superposição, determine o valor da corrente i que passa pelo resistor de 3Ω no
circuito elétrico apresentado adiante.
Representação do circuito elétrico utilizado para determinar a corrente \(i\) no
resistor de \(3 \Omega\).
Chave de resposta
Veja a solução no vídeo a seguir.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Utilizando o teorema da superposição, a tensão no resistor de no circuito apresentado na imagem é,
aproximadamente:
Representação do circuito elétrico para determinar a tensão \(v\) no resistor de \(4
\Omega\).
A
 
B
 
C
 
D
 
E
 
A alternativa C está correta.
Como o circuito contém duas fontes, é necessário calcular a contribuição de cada uma delas
separadamente na tensão total do resistor de . Seja assim:
Onde e são as parcelas de tensão referentes às fontes de e de , respectivamente.
Para obter deve-se fazer a fonte de corrente como um circuito aberto. Aplicando a Lei de Kirchhoff das
tensões, tem-se:
Logo, temos 
OBS.: também poderia ser encontrada utilizando divisão de tensão.
Para obter , deve-se fazer a fonte de tensão como zero, ou seja, substitui-la por um curto-circuito.
Assim, aplicando divisão de corrente, obtemos:
Então a tensão será: . Portanto, a tensão total será a soma das tensões e ,
onde teremos:
Questão 2
O circuito elétrico apresentado a seguir contém duas fontes, uma de tensão de e uma de corrente de 
. Considerando a contribuição dessas duas fontes, a corrente que circula pelo resistor é de:
Representação do circuito elétrico com fontes de \(15V\) e \(6A\).
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
A corrente pode ser encontrada aplicando o teorema da superposição. Inicialmente, considere a
contribuição da fonte de tensão, em que a fonte de corrente é substituída por um circuito aberto,
resultando em um simples circuito composto pela fonte de tensão em série com o resistor :
Para calcular a contribuição da fonte de corrente, a fonte de tensão é colocada como zero, ou seja,
substituída por um curto-circuito. Como a corrente elétrica segue o caminho de menor resistência, a
contribuição dessa fonte para será nula. Veja:
Portanto, a corrente total no resistor será:
2. Circuitos estrela e triângulo e suas ligações
Ligações de circuitos
Ligações de circuitos em estrela e triângulo
Acompanhe, neste vídeo, como ocorre o funcionamento dos circuitos em estrela e triângulo e como suas
ligações elétricas são realizadas.
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Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Os elementos de um circuito elétrico podem ser conectados de diversas formas para constituir um
equipamento ou um dispositivo elétrico.
 
A organização dos elementos ― como fontes de alimentação, resistores, indutores e capacitores ― é
importante para definir a forma como a energia será utilizada. Essa energia, por sua vez, é chamada de 
associação. 
 
Tratando mais especificamente de circuitos elétricos básicos e alimentados com corrente contínua, os
elementos do circuito resumem-se aos resistores.
Comentário
A associaçäo de resistores é muito comum em circuitos elétricos, pois nem sempre é possivel obter um
valor especifico de resistência com apenas um resistor. A associação desses resistores é sempre
representada por um resistor equivalente , que é um elemento ficticio. Ou seja, ele não está, de fato,
presente na rede, mas representa a resistência total referente aos elementos associados. 
O comportamento da associação, isto é, a forma como as tensões e correntes estão presentes no circuito,
depende do tipo de ligação dos resistores. As associações básicas são classificadas em três tipos:
 
Série
Paralelo
Mista
 
Os circuitos podem ter uma configuração complexa, em que os elementos não podem ser
considerados associados em série ou em paralelo, como é o caso das configurações em 
estrela (Y) e triângulo (∆).
• 
• 
• 
Associação em série
Na associação em série, os resistores são conectados em sequência, compartilhando o mesmo caminho para
a corrente elétrica.
 
Considerando isso, confira um diagrama ilustrativo da Lei de Ohm.
Representação de um circuito elétrico composto por lâmpada, bateria, interruptor,
resistência, amperímetro e voltímetro.
Confira o circuito que representa uma fonte de tensão e dois resistores ligados em série, em que apenas a
corrente percorre ambos (uma única corrente de malha).
Representação de circuito com um laço e dois resistores em série.
Assim, ao aplicar a Lei de Ohm para cada um dos resistores, teremos:
Agora, ao aplicarmos a Lei de Kirchhoff das tensões (LKT) à malha, com a corrente circulando no sentido
horário, obteremos:
Ao relacionarmos as equações 9 e 10, veremos:
9
10
Logo, a equação 11 pode ser modificada, pois os dois resistores podem ser substituídos por um equivalente,
em que:
Na equação:
Assim, podemos notar que a resistência equivalente em um circuito com resistores ligados em série é a
soma algébrica das resistências individuais desses elementos.
 
Portanto, para resistores, temos:
Associação em paralelo
Na associação em paralelo,os componentes compartilham os mesmos terminais, o que significa que a tensão
aplicada a cada componente é a mesma. A corrente total se divide entre os diferentes caminhos, constituindo-
se a inversa da soma das condutâncias individuais.
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12
13
Representação do circuito com dois resistores em paralelo.
Considerando isso, temos:
Ao aplicarmos a Lei de Kirchhoff das correntes (LKC) no nó a, obteremos a corrente total que vem da fonte.
Observe:
Substituindo a equação 14 na equação anterior, teremos:
Na equação, é denominada resistência equivalente dos resistores ligados em paralelo. Em que:
A resistência equivalente de dois resistores ligados em paralelo é dada pelo produto das resistências dividido
pela soma delas.
 
Portanto, obteremos:
Associação mista (série-paralelo)
Combina resistores dispostos em série e em paralelo dentro de um mesmo circuito, exigindo a análise
cuidadosa de cada configuração.
 
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São muitas as combinações possíveis para a associação mista de resistores. Portanto, é necessário analisar
partes do circuito separadamente a fim de definir a abordagem que fornece a melhor estratégia de
determinação das grandezas necessárias. 
 
A melhor forma de resolver um circuito em associação mista é compreender bem as associações em série e
paralelo. Com isso em mente, veja um circuito com resistores em associação mista.
Representação do circuito CC em série-paralelo.
Ligações em estrela (Y) e triângulo ( \(\Delta\) )
Trata-se de duas formas comuns de conectar resistores em circuitos. A associação em estrela, também
conhecida como configuração em , e a associação em triângulo, ou configuração em , são usadas para
transformar circuitos complexos e facilitar a análise de resistências equivalentes.
Curiosidade
Você sabia que, em muitos casos, a configuração dos elementos em um circuito elétrico pode não se
enquadrar em associações simples de série ou paralelo? Isso pode tornar a análise inicial mais
desafiadora, especialmente quando se utilizam leis básicas, como a LKC e a LKT, frequentemente
aplicadas em análises nodal e de malhas. 
Muitos circuitos complexos podem ser simplificados ao serem convertidos em redes equivalentes de três
terminais. As configurações em estrela e triângulo são frequentemente responsáveis por essa
complexidade, mas podem ser facilmente convertidas para redes equivalentes. Essas ligações também são
conhecidas pelos símbolos e . 
Circuito em estrela
As conexões são feitas de forma que cada componente se conecta a um
ponto central comum, conhecido como ponto neutro. 
Trata-se de tipos de conexão importantes para garantir o equilíbrio e a
eficiência dos sistemas elétricos.
Circuito em triângulo
As conexões são feitas de forma que cada componente se conecta
diretamente a outros dois componentes, formando um loop fechado.
O circuito em estrela e o circuito em triângulo são tipos de conexão úteis em diferentes contextos,
dependendo dos requisitos do sistema e das características desejadas.
 
Para facilitar a aplicação das técnicas de análise de circuitos em redes com essas ligações, apresentaremos,
na sequência, os desenvolvimentos das equações necessárias para a conversão de circuitos em estrela para
triângulo e vice-versa.
 
Considere o circuito da imagem a seguir com os terminais , e fixos. Caso você deseje utilizar o circuito
na configuração estrela (Y), em vez da configuração em triângulo ( ), basta aplicar diretamente as equações
que serão desenvolvidas na sequência. 
 
Atenção: apenas uma das configurações, estrela ou triângulo, pode estar presente entre os terminais , e 
, de modo que se possa dizer que são equivalentes.
Representação do conceito de conversão \(\Delta-Y\).
O objetivo matemático da conversão entre as configurações é determinar uma expressão para e 
em função de e e vice-versa. Portanto, é necessário garantir que a resistência entre quaisquer
dois terminais na configuração estrela seja equivalente à resistência entre quaisquer dois terminais na
configuração triângulo.
Conversão triângulo-estrela (\(\Delta\) - Y)
É possível que, em algumas situações, seja mais conveniente analisar um circuito em uma determinada
configuração.
Comentário
O processo de converter um circuito conectado em triângulo para sua configuração equivalente em
estrela é denominado conversão triângulo-estrela. Para fazer essa conversão, deve-se sobrepor o
circuito em estrela ao circuito em triângulo já existente e determinar o valor da resistência em cada par
de nós correspondente à ligação em estrela. 
De modo geral, a conversão triângulo-estrela transforma os resistores em triângulo em estrela
. Dessa forma, existirão expressões para , e em função de , e . Tendo
em vista o circuito a seguir, a resistência entre os terminais deve ser a mesma tanto para a ligação
triângulo como para a estrela. Veja!
Assim, teremos:
Quando aplicamos o mesmo raciocínio aos pares de nós e , torna-se possível obter outras duas
expressões. A primeira é dada por:
A segunda expressão é representada da seguinte maneira:
19
20
21
Ao subtrairmos a equação 20 da equação 21, teremos:
De modo que:
Portanto, ao subtrairmos a equação 23 da equação 22, obtemos:
Logo, temos:
É possível determinar uma expressão para o resistor (ligação em estrela), em função dos resistores , 
 e (ligação em triângulo). é dado por:
Dentro desse contexto, aplicando o mesmo raciocínio para e , tem-se:
Já , será representado da seguinte forma:
22
23
24
25
26
Conversão estrela-triângulo \((\mathrm{Y}-\Delta)\)
Em algumas situações, pode ser mais conveniente analisar um circuito em triângulo, e não em estrela. Para
isso, é necessário fazer a conversão estrela-triângulo para encontrar os resistores equivalentes. Com base
nas equações 25 e 26, temos a seguinte divisão:
Dividindo a equação 25 pela equação 27, vemos:
Vamos substituir e pelos valores na equação 27 e teremos:
Porém, essa expressão será reduzida para um denominador comum, que será dado por:
Isolando :
27
 
28
 
29
30
31
32
Com base no mesmo procedimento, é possível encontrar as expressões para e (ligação triângulo)
em função de e (ligação estrela), Veja:
Lembre-se: não é necessário memorizar as expressões das equações 32 e 33. Para fazer a transformação,
basta conectar os resistores conforme ilustrado na imagem a seguir.
Representação da superposiçäo de circuitos \(Y\) e \(\Delta\) (transformaçäo).
Observe que o valor de cada resistor do triângulo é igual à soma das possíveis combinações dos produtos das
resistências do circuito estrela (extraídas duas a duas) dividida pela resistência estrela mais oposta.
Circuitos em estrela ou triângulo equilibrados
Em circuitos em que os três resistores possuem o mesmo valor, tanto na configuração em estrela ( 
 ) como na configuração em triângulo ( ), dizemos que o circuito está
equilibrado. Quando , a equação 25 pode ser simplificada usando apenas . Observe:
Aplicando o mesmo procedimento, teremos:
33
33
De maneira geral, as fórmulas de conversão anteriormente desenvolvidas são aplicáveis a circuitos
equilibrados e podem ser resumidas da seguinte forma:
Em outras palavras: para um circuito em estrela com três resistores iguais, o valor de cada resistor no circuito
em triângulo é três vezes o valor de um resistor no circuito em estrela.
 
Agora, acompanhe um caso prático.
Exemplo
Converta o circuito mostrado na imagem, configurado em triângulo (ou ), para seu equivalente em estrela
(ou ).
Representação do circuito triângulo \((\Delta)\).
Com base nas equações 25, 26 e 27, a conversão do circuito em triângulo para seu equivalente em estrela
consiste em encontrar os valores de , e , que são dados da seguinte forma:
34
35
Para finalizar, confira a ilustração do circuito equivalente em estrela.
Representação do circuito \(Y\) equivalente ao \(\Delta\).
Mão na massa
Questão 1
Considere o circuito da imagem, que ilustra uma ligação em triângulo (ou delta - ). Após a conversão em
seu circuitoequivalente em estrela, os valores das resistências e valem, respectivamente:
Representação de um circuito conectado em \(\Delta\).
A
, e 
B
, e 
C
, e 
D
, e 
E
, e 
A alternativa B está correta.
Para converter o circuito em triângulo para seu equivalente em estrela, basta voltar às equações 25, 26 e
27, que fornecem diretamente os valores das resistências e .
Portanto, os valores dos resistores para o circuito equivalente em estrela são:
Acompanhe a solução no vídeo a seguir.
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Questão 2
A imagem apresenta um circuito que tem elementos ligados em ponte. Veja!
Representação de um circuito com elementos conectados em ponte.
A partir disso, considere que:
A resistência total para esse circuito é de, aproximadamente:
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Com base nas equações 25, 26 e 27, a conversão do segmento destacado na imagem anterior para seu
equivalente em estrela é:
Substituindo o segmento em triângulo pelo seu equivalente em estrela, a resistência total pode ser agora
facilmente encontrada a partir de associações em série e paralelo, e será de:
Assista à solução no vídeo a seguir.
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Questão 3
A conversão do circuito ligado em triângulo (ou delta), mostrado na imagem adiante, para seu equivalente em
estrela, fornece como novos valores de resistência:
Representação de circuito ligado em triângulo (ou delta).
A
, e 
B
, e 
C
, e 
D
, e 
E
, e 
A alternativa E está correta.
Com base nas equações 25, 26 e 27, a conversão do segmento destacado na imagem anterior para seu
equivalente em estrela é:
Portanto, os valores dos resistores para o circuito equivalente em estrela são:
Questão 4
O circuito do diagrama apresenta uma associação complexa de resistores. Com base nos conceitos de
ligações em estrela e triângulo, a resistência total equivalente entre os pontos A e B é de:
Representação de circuito com associação complexa de resistores.
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Primeiro, deve-se transformar os resistores da primeira malha, ligados em triângulo, em seu equivalente em
estrela .
Após a transformação, tem-se:
 em série com 
 em série com 
O paralelo dessas associações é:
A resistência total equivalente entre os pontos A e B é:
Questão 5
No circuito mostrado, a resistência total equivalente entre os pontos A e B, vista pela fonte, é
aproximadamente:
Representação da resistência total entre os pontos A e B.
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Confira a solução no vídeo a seguir.
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Questão 6
A imagem a seguir ilustra um circuito em que os resistores estão associados de forma complexa, ou seja, não
podem ser diretamente resumidos a circuitos em série ou em paralelo. Considerando a possibilidade de
conversão entre equivalentes em estrela ou em triângulo, o valor da resistência entre os terminais AB do
circuito é de, aproximadamente:
Representação da resistência entre os terminais AB.
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Primeiro, deve-se aplicar a conversão da ligação em triângulo dos resistores de , e para
seu equivalente em estrela. De forma semelhante, essa conversão pode ser aplicada entre os resistores de 
 e sem alterar o resultado.
Após a transformação, tem-se as seguintes associações em série e paralelo:
Por fim, a resistência total equivalente será de, aproximadamente:
Teoria na prática
Os circuitos em ponte são muito importantes nas montagens de equipamentos eletrônicos, especialmente em
medições precisas de resistência. Uma das montagens mais utilizadas é a chamada Ponte de Wheatstone,
para medição de resistências com elevada precisão, além de resistores entre e . A solução de
circuitos em ponte pode ser facilmente encontrada a partir de transformações estrela-triângulo. Com base
nos conceitos dessas transformações, calcule a potência elétrica fornecida à ponte do circuito da imagem a
seguir.
Representação de circuitos em ponte.
Chave de resposta
Assista, neste vídeo, à solução da teoria na prática.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Com base nas equações de transformação de circuitos estrela-triângulo, a resistência total do circuito a seguir
é de:
Representação dos circuitos estrela-triângulo.
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
A conversão do circuito em triângulo para seu equivalente em estrela permite a análise do circuito
equivalente a partir de associações em série e paralelo. No caso do circuito apresentado na imagem, como
os resistores do triângulo possuem valores iguais, podem ser aplicadas as equações de conversão
específicas para circuitos equilibrados. Esse processo é representado pela equação:
Portanto, a resistência total será de:
Questão 2
A conversão do circuito a seguir, configurado em estrela, para seu equivalente em triângulo resulta nos
seguintes valores para e , respectivamente:
Representação da conversão de um circuito em configuração estrela.
A
 e 
B
 e 
C
 e 
D
 e 
E
 e 
A alternativa C está correta.
A partir das equações de conversão estrela para triângulo, tem-se:
3. Conclusão
Considerações finais
A análise de circuitos elétricos é facilmente entendida com a aplicação das leis básicas de circuitos, como a
Lei de Ohm e as Leis de Kirchhoff (das tensões e das correntes). No entanto, para circuitos mais complexos
ou que contenham grande quantidade de elementos e fontes de alimentação, apenas o conhecimento dessas
leis pode não ser suficiente para prosseguir com a análise. Dessa forma, teoremas como o da superposição
permitem a simplificação dos circuitos.
 
O teorema da superposição apresentado baseia-se no princípio da linearidade dos elementos de circuito e
determina que a corrente elétrica ou a tensão em um elemento do circuito linear é dada pela soma algébrica
das correntes ou tensões produzidas pela atuação isolada de cada uma das fontes independentes. Dessa
forma, o resultado dessas grandezas, somadas algebricamente, pode ser obtido a partir da análise individual
de cada fonte do circuito. 
 
Por fim, foram apresentadas as equivalências entre as ligações em estrela ou triângulo, bem como suas
equivalentes transformações que permitem simplificar a aplicação das leis básicas em circuitos que têm
elementos não ligados em série ou em paralelo.
Explore +
Para se aprofundar nos tópicos desenvolvidos, leia Eletricidade básica – circuitos em corrente continua, de
Eduardo C. A. Cruz. Publicado em 2014, o livro aborda conceitos básicos da eletricidade e apresenta
fundamentos matemáticos, dispositivos e equipamentos essenciais de bancada.
Referências
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto Alegre: AMGH, 2013.
 
BOYLESTAD, R. L.; NASCIMENTO, J. L. do. Introdução à análise de circuitos. São Paulo: Pearson Education,
2004.
 
IRWIN, J. D. Análise de circuitos em engenharia. São Paulo: Pearson Education, 2010.
 
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de análise de circuitos elétricos. Rio de
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1994.
 
NILSSON, J. W., RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. São Paulo: Pearson Education, 2008.
	Teorema da superposição e circuitos equivalentes em estrela e triângulo
	1. Itens iniciais
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Circuitos e superposição
	Fundamentos dos teoremas de circuitos elétricos
	Teorema da superposição
	Conteúdo interativo
	Leis de Kirchhoff
	Lei de Kirchhoff das correntes (LKC)
	Lei de Kirchhoff das tensões (LKT)
	A aplicação das Leis de Kichhoff permite a solução de circuitos elétricos de forma simples, utilizando a análise nodal e a análise de malhas, respectivamente.
	Teorema de Thévenin
	Teorema de Norton
	Teorema da superposição
	Comentário
	Princípio da linearidade
	ExemploIndutores
	Capacitores
	Indutor
	Capacitor
	Exemplo prático
	Resumindo
	Teorema da superposição
	Resumindo
	Fontes de tensão
	Fontes de corrente
	Etapas para aplicação do teorema da superposição
	Inativação das fontes independentes
	Análise das contribuições individuais
	Definição da resposta
	Exemplo prático
	Atenção
	Mão na massa
	Questão 1
	Conteúdo interativo
	Questão 2
	Questão 3
	Conteúdo interativo
	Questão 4
	Conteúdo interativo
	Questão 5
	Questão 6
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Questão 2
	2. Circuitos estrela e triângulo e suas ligações
	Ligações de circuitos
	Ligações de circuitos em estrela e triângulo
	Conteúdo interativo
	Os elementos de um circuito elétrico podem ser conectados de diversas formas para constituir um equipamento ou um dispositivo elétrico.
	Comentário
	Os circuitos podem ter uma configuração complexa, em que os elementos não podem ser considerados associados em série ou em paralelo, como é o caso das configurações em estrela (Y) e triângulo (∆).
	Associação em série
	Associação em paralelo
	Associação mista (série-paralelo)
	Ligações em estrela (Y) e triângulo ( \(\Delta\) )
	Curiosidade
	Circuito em estrela
	Circuito em triângulo
	Conversão triângulo-estrela (\(\Delta\) - Y)
	Comentário
	Conversão estrela-triângulo \((\mathrm{Y}-\Delta)\)
	Circuitos em estrela ou triângulo equilibrados
	Exemplo
	Mão na massa
	Questão 1
	Conteúdo interativo
	Questão 2
	Conteúdo interativo
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Conteúdo interativo
	Questão 6
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Questão 2
	3. Conclusão
	Considerações finais
	Explore +
	Referências