Tema 3 - Eletricidade Aplicada

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Teoremas Thévenin e Norton
Você vai conhecer a eletricidade aplicada para análise de circuitos elétricos em corrente contínua (CC),
com base nos teoremas de Thévenin e de Norton.
Profa. Isabela Oliveira Guimarães
1. Itens iniciais
Propósito
Compreender os conceitos fundamentais dos teoremas de Thévenin e Norton e aplicá-los a solução de
problemas com circuitos elétricos em corrente contínua é um diferencial para o profissional da área. 
Preparação
Antes de iniciar o conteúdo, tenha em mãos papel, caneta para anotações e, se possível, uma calculadora
científica para facilitar seus cálculos na solução das equações de circuitos elétricos.
Objetivos
Descrever os circuitos elétricos por meio do teorema de Thévenin.
 
Descrever os circuitos elétricos por meio do teorema de Norton.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo a seguir e compreenda os conceitos de teoremas de Thévenin e
Norton.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
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1. Circuitos elétricos por meio do teorema de Thévenin
Teorema de Thévenin
Neste vídeo, você conhecerá mais detalhes sobre os teoremas de Thévenin e de Norton, para análise dos
circuitos elétricos por linearidade.
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O teorema de Thévenin é uma ferramenta muito usada na análise de circuitos, pois sua aplicação possibilita a
redução de circuitos complexos para formas mais simples, facilitando seu estudo.
 
Existem diversas formas de analisar um circuito, como, por exemplo, aplicando as Leis de Kirchhoff. Contudo,
a complexidade de certas análises requer simplificações que podem ser alcançadas com o teorema de
Thévenin. A partir de agora, vamos conhecer as técnicas referentes a esse teorema aplicadas a circuitos de
corrente contínua (CC).
Linearidade
Para que o teorema seja aplicado, é necessário que o circuito ou o sistema seja linear. A linearidade descreve
uma relação de causa e efeito. Por apresentar essa característica, vamos tomar o resistor como exemplo de
elemento linear.
 
Considerando a primeira Lei de Ohm, assumimos que a tensão “v” refere-se à saída do sistema, e a entrada é
dada pela corrente “i”. Se a corrente varia, a tensão, por sua vez, sofre uma variação proporcional a esta, como
pode ser observado na Equação 1:
Essa propriedade é chamada de homogeneidade. A sua combinação com a propriedade da aditividade
descreve, por sua vez, a linearidade, necessária para a aplicação do teorema de Thévenin.
 
Para descrever a aditividade, consideramos as Equações 2 e 3:
Eq. 1
Eq. 2
Eq. 3
A validação desta propriedade (aditiva) requer que a resposta obtida da soma das entradas seja igual à soma
das entradas, quando aplicadas separadamente. Dessa forma, considerando as Equações 2 e 3, a propriedade
pode ser modelada matematicamente como na Equação 4:
No que se refere à linearidade do circuito, é importante destacar os seguintes aspectos:
Para que o circuito seja linear, as propriedades aditiva e homogênea devem ser atendidas.
 
Potência (representada por P) é não linear, o que pode ser observado nas Equações 5 e 6:
Por observação, é possível notar que essas expressões são quadráticas e não lineares. Assim, o teorema de
Thévenin não se aplica para o cálculo da potência.
Exemplo de linearidade
Para ilustrar o conceito de linearidade, considere o circuito apresentado na imagem a seguir, em que temos
uma fonte independente Vs que excita o circuito. A função desse circuito é carregar uma carga, modelada pela
resistência R. Vemos que há uma corrente i que circula esse circuito. Adotaremos, para fins de estudo, que o
valor da fonte é de 10V e que resulta em uma corrente de 2 A. Ao aplicar o princípio da linearidade, é possível
concluir que uma redução da fonte para 1 V faz com que a corrente seja reduzida para 0,2 A.
Circuito linear.
Definição do teorema de Thévenin
Eq. 4
• 
• 
Eq. 5
Eq. 6
Muitos circuitos possuem elementos variáveis e elementos fixos. Dentre os elementos variáveis, podemos
citar as cargas, como ocorre em residências, onde os aparelhos que estão conectados variam em diferentes
momentos do dia. Para que o circuito não seja avaliado em cada alteração do elemento variável, ele passa a
ser representado de forma simplificada pelo circuito equivalente de Thévenin.
 
Segundo o teorema, um circuito linear pode ser substituído por outro, representado por um resistor e uma
fonte de tensão, como mostram as imagens a seguir.
Sistema linear.
Equivalente de Thévenin.
Sobre o teorema também, temos a seguinte explicação:
O teorema de Thévenin afirma que um circuito linear de dois terminais pode ser substituído por um
circuito equivalente formado por uma fonte de tensão , em série com um resistor , onde é a tensão de
circuito aberto nos terminais e , a resistência de entrada ou equivalente nos terminais quando as fontes
independentes forem desativadas.
Alexander; Sadiku, 2013, p. 123
Para que a representação do circuito equivalente seja feita, é necessário, portanto, o cálculo das variáveis de
Thévenin, como veremos a seguir.
Cálculo da tensão de Thévenin \(\left( V _{ TH}\right)\)
Para o cálculo da tensão referente ao circuito equivalente, ou , partimos da equivalência entre os circuitos
(original e de Thévenin). Para que isso ocorra, assumimos que, no circuito original, a carga é retirada, o que
resulta em um terminal aberto. Isto garante a igualdade entre as tensões, como mostra a imagem a seguir.
Cálculo da tensão de Thévenin.
A igualdade é modelada pela Equação 7 a seguir.
Cálculo da resistência de Thévenin \(\left(R_{T H}\right)\)
Considerando o circuito original, o cálculo da resistência equivalente é feito quando todas as fontes
dependentes são desligadas, bem como a carga no terminal onde se deseja calcular o circuito. Feito isso,
calcula-se a . Existem, contudo, dois casos a serem considerados.
Caso 1
Neste cenário, o circuito possui apenas fontes independentes, como abordado até o momento. Assim, basta
apenas desativar as fontes independentes e calcular .
Caso 2
Neste outro cenário, o circuito apresenta fontes dependentes (ou controladas), que podem ser de tensão ou
de corrente, e são caracterizadas por dependerem do valor de tensão ou corrente de um outro ponto do
circuito. Nessa situação, devemos, portanto, manter a fonte dependente ativa e, partindo disso, aplicar uma
fonte de corrente ou de tensão para calcular a resistência equivalente. É importante ressaltar que também
nessas condições as fontes independentes devem ser desativadas.
Ao sujeitar o circuito à aplicação de uma fonte de tensão, por exemplo, ela promoverá a circulação de uma
corrente, permitindo o cálculo de , como descrito pela Equação 8:
No exemplo, foi aplicada uma fonte de tensão, contudo, podemos aplicar também uma fonte de corrente,
cabendo a escolha da fonte ao estudante (ou engenheiro). É aconselhado, porém, que o valor da fonte seja 1 V
ou 1 A para facilitar os cálculos, sendo este um dado arbitrário.
Eq. 7
Eq. 8
Desativação das fontes de tensão e corrente.
Para que seja feito o desligamento das fontes
independentes, deve-se atentar aos seguintes
pontos, que podem ser vistos também na
imagem.
 
As fontes de tensão são substituídas por
um curto-circuito.
 
As fontes de corrente são substituídas por um terminal aberto.
Exemplo de aplicação do teorema de Thévenin
Vejamos o circuito da imagem a seguir, que conta com duas fontes independentes, sendo uma de tensão e
uma de corrente, três resistores e uma carga, representada por . Desejamos encontrar o equivalente de
Thévenin, visto dos terminais a-b. O primeiro passo para solucionar o problema é definir as variáveis a serem
calculadas, neste caso, a tensão e a resistência de Thévenin.
Circuito exemplo.
Cálculo da tensão
Como definido, é desejado que se calcule a tensão do circuito equivalente. Assim, o terminal da carga deve
ser colocado em aberto, como mostra a imagem a seguir, e, partindo disso, podemos resolver o circuito
utilizando a técnica que julgarmosmais viável, visando encontrar a tensão nos terminais a-b.
Circuito exemplo para cálculo da tensão de Thévenin.
Por análise da imagem anterior, é possível observar que não há circulação de corrente em a-b, uma vez que o
terminal se encontra aberto. Dessa forma, não há queda de tensão promovida pelo resistor de 1 Ω. A tensão
nesse terminal é a mesma que a do nó anterior, o que também pode ser observado na imagem. Dito isso, pode
ser aplicada a análise nodal ou de malhas para o cálculo da tensão. Nesse caso, utilizamos a análise de
malhas para que sejam encontradas as correntes que circulam pelos ramos. E, por fim, calculamos a tensão
sobre o resistor de 12 Ω. A escolha da análise de malhas é opcional, contudo, como há uma fonte de corrente
na malha 2, esta se torna mais simples.
 
• 
• 
Aplicando a análise de malhas, temos o seguinte sistema de equações:
Substituindo, temos que:
Como a tensão de Thévenin é aquela sobre o resistor de 12 Ω, fazemos a seguinte análise:
Substituindo:
De posse da tensão do circuito equivalente, o próximo passo é o cálculo da resistência de Thévenin.
Cálculo da resistência
Para o cálculo de , as fontes independentes devem ser desativadas. Neste caso, a fonte de tensão é
substituída por um curto-circuito, enquanto a fonte de corrente é substituída por um terminal aberto, como
mostra a imagem a seguir.
Imagem 8: Cálculo da resistência de Thévenin.
 
Assim, partindo do circuito da imagem anterior, basta calcular o equivalente entre os resistores do circuito. Ou
seja, primeiro fazemos o paralelo entre 4 Ω e 12 Ω e, em seguida, a soma desse resultado com 1 Ω, pois
encontram-se em série:
O cálculo de pode ser feito antes de , uma vez que são calculados de forma independente.
Mão na massa
Questão 1
Considerando o circuito apresentado, deseja-se saber a tensão e a resistência de Thévenin vista dos
terminais da carga RL.
Circuito complementar ao exercício.
Assinale a alternativa correta.
A e 
B e 
C e 
D e 
E e 
A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
 
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Questão 2
Para o circuito apresentado, deseja-se saber a tensão e a resistência de Thévenin vista dos terminais da carga
RL.
Circuito complementar ao exercício.
Assinale a alternativa correta.
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
O primeiro passo é o cálculo da tensão do circuito equivalente, . Assim, o terminal da carga se mantém
aberto e pode-se resolver o circuito utilizando a técnica que julgar mais viável, visando encontrar a tensão
nos terminais da carga.
A tensão de circuito aberto, neste caso, é a tensão sobre R3, que pode ser assim calculada:
O segundo passo é o cálculo da resistência de Thévenin. Para isso, a fonte de tensão é substituída por um
curto-circuito e, então, faz-se o equivalente entre os resistores (desconsiderando a carga):
Questão 3
Para o circuito apresentado, pedem-se a resistência e a tensão de Thévenin vistas dos terminais a-b.
Circuito complementar ao exercício.
Assinale a alternativa correta.
A e 
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
 
 
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Questão 4
Considerando o circuito apresentado a seguir, calcule a resistência de Thévenin.
Circuito complementar ao exercício.
Assinale a alternativa correta.
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Para o cálculo da resistência de Thévenin, a fonte de tensão é substituída por um curto-circuito, o resistor
de 8Ω não entra ainda no cálculo, uma vez que se deseja calcular o valor visto por ele. Então, faz-se o
equivalente entre os resistores:
Questão 5
 
Considerando o circuito apresentado a seguir, calcule a tensão de Thévenin quando a fonte independente for
de 10 V, e após isso, fazendo a fonte ser de 20 V.
Circuito complementar ao exercício.
Assinale o valor correto.
A
B e 
C
D
E
A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Questão 6
(PC - PR, 2017) Para o circuito a seguir, qual o valor da resistência de Thévenin?
Circuito complementar ao exercício.
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
A resistência de Thévenin é dada pelo paralelo entre 15 e 5:
Teoria na prática
Fontes de tensão podem ser modeladas por meio do equivalente de Thévenin. Considere uma fonte de tensão
cujo valor é de 20 V. Essa fonte está conectada a uma carga de 2 W. Quando a carga é desconectada do
circuito, observa-se que a tensão atinge o valor de 22 V. Calcule, nesta situação, o valor da resistência interna
dessa fonte.
Chave de resposta
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
(CEBRASPE – SLUDF – 2019 – Adaptada) Considerando que, no circuito precedente, todos os elementos sejam
ideais e c seja o nó de referência, com tensão igual a zero, julgue os itens a seguir e assinale a alternativa que
melhor atende.
 
I. A tensão de Thévenin vista a partir dos terminais b-c é igual a Va.
 
II. Se conectado um fio com resistência zero entre os terminais b e c, a corrente que passará pelos nós a, b; e
c terá módulo igual ao módulo da tensão Va.
 
III. Para se determinar a resistência de Thévenin vista a partir dos terminais b-c, basta colocar as fontes
independentes em curto-circuito e calcular a associação em paralelo das três resistências de 1 Ω.
 
IV. Se efetuado um curto-circuito entre os terminais b e c, a corrente entre esses terminais poderá ser
calculada pela divisão da tensão de Thévenin pela resistência de Thévenin.
Circuito complementar ao exercício.
A I, II, IV são verdadeiras; III, falsa.
B Todas são verdadeiras.
C I e II são verdadeiras; III e IV, falsas.
D Todas são falsas.
E I e III são verdadeiras; II e IV, falsas.
A alternativa A está correta.
Avaliando cada uma das afirmativas de forma individual, temos:
I. Verdadeira, pois a tensão de Thévenin é igual à tensão de circuito aberto entre os terminais b e c. Neste
caso, como não há circulação de corrente entre a e b, conclui-se que a tensão em b é igual à tensão em a.
Logo, .
II. Verdadeira, ao analisar o circuito e aplicar o curto entre os terminais b e c, a corrente que passa pelos
terminais a, b e c pode ser descrita matematicamente como:
III. Falsa. Para o cálculo da resistência de Thévenin vista a partir dos terminais b-c, desativam-se as fontes
independentes e aplica-se a associação nas resistências do circuito, sendo elas em série e paralelo:
IV. Verdadeira. Para calcular a corrente de curto-circuito, pode-se dividir tensão de Thévenin pela
resistência de Thévenin:
Questão 2
(CEBRASPE – SLUDF – 2019) Considerando que, no circuito apresentado na imagem, todos os elementos
sejam ideais, o nó b seja o nó de referência, com tensão igual a zero, e VF e R sejam constantes, julgue os
itens a seguir (verdadeiro ou falso) e assinale a alternativa correta.
 
I. A corrente que passa entre os nós 2 e 3 é igual a 1/4 da corrente que entra no nó a.
II. Considerando-se a resistência equivalente vista a partir dos nós 1 e b como carga, a tensão de Thévenin
vista a partir desses nós será igual a VF/2.
 
III. Para se calcular a resistência de Thévenin vista a partir dos nós a e b, é necessário substituir a fonte VF por
um curto-circuito.
 
IV. A tensão no nó 2 é igual VF/8.
 
V. O circuito em apreço é equivalente a um circuito composto por uma fonte de tensão, de valor VF, em série
com uma resistência de valor igual a R.
Circuito complementar ao exercício.
A I, II, IV são verdadeiras; III e V, falsas.
B Todas são verdadeiras.
C II, III, IV são falsas; I e V, verdadeiras.
D Todas são falsas.
E I e III são verdadeiras; II, IV e V, falsas.
A alternativa C está correta.
Analisando as alternativas isoladamente,temos:
I. Verdadeira. A resistência equivalente no nó 3 é igual a R/2. A resistência equivalente no nó 2 é igual a R/2.
A resistência equivalente no nó 1 é igual a R/2. Com isso, é possível ver que a corrente que entra no nó a é
igual, podendo ser modelada pela seguinte expressão:
Aplicando a Lei de Kirchhoff, tem-se que a corrente que entra no nó 1 se divide igualmente entre os ramos
1-b e 1-2, assim, a corrente entre o nó 1 e o nó 2 é dada por . Da mesma maneira, a corrente que passa
pelo ramo 1-2 será dividida igualmente entre os ramos 2-b e 2-3, assim, .
II. Falsa. A resistência equivalente vista a partir dos nós 1 e b é igual a R/2, que será a carga vista a partir
desses nós. Retirando-se a carga, para o cálculo da tensão de Thévenin, não existe corrente entre os nós a
e 1. Assim, a tensão de Thévenin vista a partir dos nós 1 e b será VF.
III. Falsa. Ao substituir a tensão VF por um curto-circuito, os nós a e b terão a mesma tensão, isto é, serão
iguais a zero, dessa forma, não é possível calcular a resistência equivalente a partir desses nós.
IV. Falsa. A resistência equivalente no nó 1 é dada por:
Dessa forma, a tensão no nó 1 será dada por:
A resistência equivalente no nó 2 é dada por:
Assim, a tensão no nó 2 será igual a:
V. Verdadeira. A resistência equivalente vista pelos terminais a e b é igual a R. Dessa forma, o circuito pode
ser substituído pelo equivalente composto da fonte de tensão VF e pela resistência R.
2. Circuitos elétricos por meio do teorema de Norton
Teorema de Norton
Neste vídeo, você entenderá como podemos reduzir circuitos elétricos complexos em circuitos elétricos
simples com o teorema de Norton.
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O teorema de Norton, tal como o de Thévenin, é uma ferramenta muito usada na análise de circuitos
complexos, pois sua aplicação permite a redução dos circuitos em outros mais simples, sem que haja perda de
informações, facilitando seu estudo. Para a aplicação desse teorema, o circuito deve obedecer às
características da linearidade, ou seja, ele opera de acordo com as relações de causa e efeito.
 
A potência (representada por P) é não linear, como podemos ver nas Equações 9 e 10:
Por observação, é possível notar que as expressões são quadráticas. Assim, o teorema de Norton, bem como
o de Thévenin, não se aplica.
Definição do teorema de Norton
O teorema de Norton, muito semelhante ao de Thévenin, foi proposto em 1926 e diz que um circuito linear
pode ser substituído por outro, representado por um resistor em paralelo a uma fonte de corrente, como
mostram as imagens a seguir.
Circuito linear.
Eq. 9
Eq. 10
Equivalente de Norton.
Sobre o teorema, também encontramos a seguinte informação:
O teorema de Norton afirma que um circuito linear de dois terminais pode ser substituído por um circuito
equivalente formado por uma fonte de corrente IN em paralelo com um resistor RN, em que IN é a
corrente de curto-circuito através dos terminais e RN é a resistência de entrada ou equivalente nos
terminais quando as fontes independentes forem desligadas.
Alexander; Sadiku, 2013, p. 125.
Para que a representação do circuito equivalente seja feita, é necessário, portanto, o cálculo das variáveis de
Norton, como veremos a seguir.
Cálculo da corrente de Norton \(\left(I_N\right)\)
Diferentemente do que é feito no equivalente de Thévenin, deseja-se agora calcular a corrente que circula
pelo circuito equivalente, ou seja, . Nesse caso, determina-se a corrente que circula pelos terminais a-b
quando se encontram em curto-circuito, o que pode ser observado na imagem a seguir.
Cálculo da corrente de curto-circuito.
A corrente de curto-circuito, definida por Isc (short-circuit), refere-se à corrente de equivalente de Norton,
podendo ser modelada pela seguinte igualdade:
Eq. 11
Cálculo da resistência de Norton 
Para o cálculo da resistência de Norton, considera-se inicialmente o circuito original. Em seguida, todas as
fontes dependentes devem ser desligadas, bem como a carga no terminal em análise. Feito isso, calcula-se a
resistência equivalente. Existem, contudo, dois casos a serem considerados.
Caso 1
O circuito possuir apenas fontes independentes, como abordado até o momento.
Caso 2
O circuito apresentar fontes dependentes. Nesta situação, deve-se, portanto, manter a fonte
dependente ativa, desativando as independentes, e, a partir disso, aplicar uma fonte de corrente ou
de tensão para calcular a resistência equivalente.
Como você pode observar, a resistência equivalente de Norton é a mesma que calculamos no equivalente de
Thévenin. Sendo assim:
Para o desligamento das fontes independentes, é importante seguir estes passos:
Relação entre os teoremas de Thévenin e de Norton
Por meio do método da transformação de fontes, é possível simplificar diversos circuitos. A aplicação desse
método, todavia, parte das seguintes considerações:
Seja um dado circuito em análise, no qual é possível identificar uma fonte e um resistor. É possível
transformar uma fonte de corrente (I) em paralelo com o resistor (R) em uma fonte de tensão (V)
disposta em série com o resistor (R).
 
A recíproca dessa transformação é válida. Isto é, pode-se transformar uma fonte de tensão em série
com um resistor em uma fonte de corrente em paralelo com o resistor.
Na imagem a seguir, temos representada a transformação de fontes. Observe!
Eq. 12
Passo 1 
As fontes de corrente são substituídas por
um terminal aberto.
Passo 2 
As fontes de tensão são substituídas
por um curto-circuito.
1. 
2. 
Transformação de fontes.
Há uma relação entre os teoremas de Norton e Thévenin, que pode ser descrita pela transformação de fontes,
podendo ser modelada matematicamente aplicando a seguinte relação mostrada na Equação 13:
Por observação da Equação 13, pode-se destacar que, para encontrar o equivalente de Thévenin e de Norton,
é necessário:
Encontrar a tensão de circuito aberto nos terminais em análise (ou seja, ).
 
Encontrar a corrente de curto-circuito nos terminais em análise (ou seja, ).
 
Encontrar a resistência vista dos terminais em análise ao desativar as fontes independentes
( ), ressaltando que o trabalho aplicado para fontes independentes requer uma fonte de
teste inserida no circuito.
Utilizando dois dos três tópicos citados, é possível encontrar o terceiro por meio da relação de transformação.
Dessa forma, utiliza-se sempre o mais acessível e que permita a simplificação dos cálculos.
Exemplo de aplicação do teorema de Norton
Para entender todos esses conceitos, vamos analisar o exemplo do circuito representado na imagem a seguir,
de Alexander e Sadiku (2013). Este será nosso ponto de partida para fazer aplicações dos teoremas descritos.
Circuito exemplo.
O circuito proposto é constituído por quatro resistores e duas fontes independentes, sendo uma de tensão e
uma de corrente. Deseja-se encontrar o equivalente de Norton visto dos terminais a-b do circuito.
 
O primeiro passo é encontrar a resistência de Norton. Para isso, todas as fontes independentes devem ser
desativadas. Neste caso:
A fonte de tensão é curto-circuitada.
 
Eq. 13
• 
• 
• 
• 
A fonte de corrente é substituída por um circuito aberto.
Partindo disso, calcula-se a resistência equivalente. Sendo:
Esse cálculo se refere aos elementos em série, que estão em paralelo com o resistor de 5 Ω, assim:
O segundo passo é encontrar a corrente de Norton, que consiste na corrente de curto-circuito que circula
pelos terminais a-b. Ao aplicar o curto, o resistor de 5 Ω é eliminado da análise. Para solucionar o restante do
circuito, podem ser aplicadas técnicas como a análise nodal ou de malhas. Como exemplo, aplica-se, neste
caso, a análise de malhas, podendo ser identificadas duas malhas no circuito proposto, como mostra a
imagem a seguir. A escolha do método é opcional, contudo, nesta situação a análise de malhas é facilitada
pela presença da fonte de correntes na malha 1.
Circuito exemplo.
Assim, ao aplicar a análise de malhas, temosas seguintes equações lineares:
Partindo desse sistema de equações, temos:
Analisando o circuito da imagem anterior, notamos que a corrente é a corrente que circula pelo terminal em
curto. Logo:
• 
 
Exemplo de transformação entre os teoremas
Para exemplificar a relação entre os teoremas, precisamos considerar o mesmo circuito do exemplo analisado.
Contudo, deseja-se agora solucioná-lo por meio do equivalente de Thévenin e, então, encontrar a corrente de
Norton utilizando a transformação de fontes.
 
O primeiro passo é encontrar a resistência de Thévenin, que é a mesma de Norton. Para isso, todas as fontes
independentes devem ser desativadas. Neste caso:
A fonte de tensão é curto-circuitada.
 
A fonte de corrente é substituída por um circuito aberto.
Partindo disso, calculamos a resistência equivalente. Sendo:
Que se refere aos elementos em série, que estão em paralelo com o resistor de 5 Ω. Assim:
O segundo passo é encontrar a tensão de Thévenin vista dos terminais a-b, como mostra a imagem a seguir.
Para solucionar este circuito, pode ser aplicada qualquer técnica. Aqui, vamos utilizar a análise de malhas, uma
vez que a corrente da malha 1 pode ser facilmente obtida pela fonte de corrente.
Circuito exemplo.
Assim, temos as seguintes equações de malhas:
• 
• 
 
Resolvendo esse sistema de equações, temos:
A tensão de Thévenin é, portanto, aquela sobre o resistor de 5 Ω. Assim:
Para encontrar a corrente de Norton, partindo do circuito de Thévenin, aplica-se a transformação de fontes:
Não se esqueça de que a resistência do circuito de Norton é a mesma do circuito de Thévenin!
Mão na massa
Questão 1
Considere o circuito apresentado na imagem. Calcule as variáveis de Norton. Em seguida, assinale a
alternativa correta.
Circuito complementar ao exercício.
A 2 Ω e 5 A
B 2,5 Ω e 5 A
C 10 Ω e 2 A
 
 
D 2,4 Ω e 2 A
E 2,4 Ω e 5 A
A alternativa E está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Questão 2
Considere o circuito apresentado na imagem a seguir. Para este, calcule a corrente de Norton, considerando
que o equivalente é visto dos terminais da carga. Em seguida, assinale a alternativa correta.
Circuito complementar ao exercício.
A 5 A
B 4 A
C 3 A
D 2 A
E 1 A
A alternativa D está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Questão 3
Considere o circuito apresentado na imagem a seguir. Para este, deseja-se calcular a corrente de Norton vista
dos terminais a-b da carga.
Circuito complementar ao exercício.
Assinale a alternativa correta.
A 5 A
B 4 A
C 3 A
D 10 A
E 1 A
A alternativa D está correta.
Para encontrar a corrente de Norton, é necessário aplicar um curto-circuito nos terminais da carga (a-b),
como mostra a imagem, que trata-se do circuito modificado.
Imagem 27: Cálculo da corrente de curto.
Ao aplicar o curto, o resistor que representa a carga e os resistores de 18Ω e 9Ω são eliminados da análise,
uma vez que a corrente busca o caminho de menor resistência para circular.
Para solucionar o restante do problema, aplica-se a seguinte análise da malha:
Logo:
Sendo que é a corrente que circula pelo curto, ou seja, a corrente de Norton.
Questão 4
Para o circuito proposto e apresentado na imagem a seguir, calcule a resistência equivalente de Norton vista
dos terminais da carga (a-b).
Circuito complementar ao exercício.
Assinale a alternativa correta.
A 0,5 Ω
 
B 1,5 Ω
C 2,5 Ω
D 3,5 Ω
E 4,5 Ω
A alternativa B está correta.
Para o cálculo da resistência equivalente de Norton, todas as fontes independentes devem ser
desconectadas, bem como a carga do terminal em análise. Neste caso:
A fonte de tensão é curto-circuitada.
Partindo disso, calcula-se a resistência equivalente. Sendo:
Paralelo em 2, 18 e 9 Ω:
Questão 5
Para o circuito proposto e apresentado na imagem a seguir, pede-se o cálculo da resistência equivalente de
Norton vista dos terminais do resistor de 2 Ω.
Circuito complementar ao exercício.
 
Assinale a alternativa correta.
A 5 Ω
B 10 Ω
C 15 Ω
D 20 Ω
E 25 Ω
A alternativa D está correta.
Para o cálculo da resistência equivalente de Norton, todas as fontes independentes devem ser
desconectadas, bem como o resistor de 2 Ω no terminal em análise. Neste caso:
A fonte de corrente é substituída por um circuito aberto.
Partindo disso, calcula-se a resistência equivalente. Sendo:
Associação em série dos dois resistores de 10 Ω:
Questão 6
Considere um circuito equivalente de Thévenin, composto por uma fonte de tensão de 100 V em série com um
resistor de 10 Ω. Aplicando a transformação de fontes, podemos afirmar que esse circuito pode ser substituído
por uma fonte de corrente de
A 5 A em série com uma resistência de 10 Ω.
B 2 A em paralelo com uma resistência de 10 Ω.
• 
• 
 
C 20 A em série com uma resistência de 5 Ω.
D 10 A em paralelo com uma resistência de 5 Ω.
E 2 A em série com uma resistência de 10 Ω.
A alternativa B está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Teoria na prática
Para o circuito apresentado a seguir, pede-se o equivalente de Norton visto dos terminais a-b.
Circuito complementar ao exercício.
Chave de resposta
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
(PETROBRAS, 2011) Um circuito equivalente de Norton é composto por uma fonte de corrente de 20 A, em
paralelo com um resistor de 2 Ω. O seu equivalente de Thévenin é um circuito composto por uma fonte de
A corrente de 10 A, em série com um resistor de 1 Ω.
B corrente de 10 A, em paralelo com um resistor de 1 Ω.
C tensão de 40 V, em paralelo com um resistor de 2 Ω.
D tensão de 40 V, em série com um resistor de 10 Ω.
E tensão de 40 V, em série com um resistor de 2 Ω.
A alternativa E está correta.
Temos:
Questão 2
(INSTITUTO AOCP - 2018 - ITEP - RN - Perito Criminal - Engenharia Elétrica) De acordo com o princípio da
superposição e equivalentes de Thévenin e de Norton, assinale a alternativa correta.
A A resistência de Norton (RN) é igual à resistência de Thévenin elevada ao quadrado.
B A corrente de Norton (IN) é igual à corrente de Thévenin dividida pela resistência de Thévenin ao
quadrado.
C A corrente de Norton (IN) é igual à tensão de Thévenin dividida pela resistência de Thévenin.
 
D
A resistência de Norton (RN) é diferente da resistência de Thévenin (RTh) no que se refere à
transformação de fonte.
E O teorema de Norton define que um circuito linear de dois terminais pode ser substituído por um circuito
equivalente formado por uma fonte de corrente e um resistor em série, denominado RN.
A alternativa C está correta.
Temos:
3. Conclusão
Considerações finais
Neste conteúdo, foram abordados conceitos importantes para o estudo dos circuitos elétricos. Primeiro,
apresentamos as definições referentes ao teorema de Thévenin, permitindo aplicar essa forma de
simplificação em circuitos de corrente contínua.
 
Em seguida, destacamos as características do equivalente de Norton, uma forma alternativa e complementar
de simplificar e analisar circuitos elétricos, bem como a relação existente entre os teoremas vistos,
comprovada pela transformação de fontes. Dito isso, é possível correlacionar os tópicos, sendo necessário o
bom entendimento de cada um deles para melhor absorção de outros conteúdos da área.
Podcast
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Referências
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: McGraw-Hill,
2013.
 
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. Rio de Janeiro: Prentice Hall do Brasil, 1998.CRUZ, E. C. A. Eletricidade aplicada em corrente contínua: teoria e exercícios. 2. ed. São Paulo: Érica, 2011.
 
EDMINISTER, J. A. Circuitos elétricos: reedição da edição clássica. 2. ed. São Paulo: Pearson Education do
Brasil, 1991.
 
GUSSOW, M. Eletricidade básica. São Paulo: Makron Books, 1985.
 
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos. 4. ed. São
Paulo: PHB, 1990.
 
MARKUS, O. Circuitos elétricos: corrente contínua e corrente alternada. São Paulo, SP: Érica, 2001.
 
SENAI-SP. Educação continuada - circuitos em corrente alternada. São Paulo: SENAI-SP, 2002.
	Teoremas Thévenin e Norton
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Circuitos elétricos por meio do teorema de Thévenin
	Teorema de Thévenin
	Conteúdo interativo
	Linearidade
	Exemplo de linearidade
	Definição do teorema de Thévenin
	Cálculo da tensão de Thévenin \(\left( V _{ TH}\right)\)
	Cálculo da resistência de Thévenin \(\left(R_{T H}\right)\)
	Caso 1
	Caso 2
	Exemplo de aplicação do teorema de Thévenin
	Cálculo da tensão
	Cálculo da resistência
	Mão na massa
	Questão 1
	Conteúdo interativo
	Questão 2
	Assinale a alternativa correta.
	Questão 3
	Conteúdo interativo
	Questão 4
	Assinale a alternativa correta.
	Questão 5
	Conteúdo interativo
	Questão 6
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Questão 2
	2. Circuitos elétricos por meio do teorema de Norton
	Teorema de Norton
	Conteúdo interativo
	Definição do teorema de Norton
	Cálculo da corrente de Norton \(\left(I_N\right)\)
	Cálculo da resistência de Norton
	Caso 1
	Caso 2
	Relação entre os teoremas de Thévenin e de Norton
	Exemplo de aplicação do teorema de Norton
	Exemplo de transformação entre os teoremas
	Mão na massa
	Questão 1
	Conteúdo interativo
	Questão 2
	Conteúdo interativo
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	3. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Referências