Apostila de Sistemas de Numeracao Decimal Binario e Hexa

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Apostila de Sistemas Numéricos – Capítulo 5 / CCNA On-line 
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Apostila de Sistemas de Numeração 
 
Introdução 
 
O homem, através dos tempos, sentiu a necessidade da utilização de sistemas Numéricos capazes de 
representar várias formas de valores, mensuração e demais atributos encontrados na natureza. 
 
Existem vários sistemas numéricos, dentre os quais se destacam: o sistema decimal, o binário, o octal e 
o hexadecimal. 
 
O sistema decimal (0 a 9) é utilizado por nós no dia-a-dia e é, sem dúvida, o mais importante dos 
sistemas numéricos. Trata-se de um sistema que possui dez algarismos, com os quais podemos formar 
qualquer número, através da sua lei de formação. 
 
Os sistemas binário, octal e hexadecimal são, por sua vez, muito importantes na área de técnicas digitais 
e computação. Este capítulo discorre sobre esses sistemas de numeração, assim como, a conversão de 
um sistema para outro. 
 
Sistema Decimal 
O sistema decimal é composto de 10 algarismos ou símbolos, os quais são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 
Utilizando esses símbolos como dígitos de um número, podemos expressar qualquer quantidade. Esse 
sistema é o mais conhecido e utilizado dentre todos os sistemas existentes. 
 
Sistema Binário 
O sistema de números binários fornece a base para um projeto digital e possui apenas dois algarismos: 
• o algarismo 0 (zero), e, 
• o algarismo 1 (um). 
Para representarmos a quantidade zero, utilizamos o algarismo (0), para representarmos a quantidade 
um utilizamos o algarismo (1). E para representarmos a quantidade dois, se nós não possuímos o 
algarismo (2) nesse sistema? 
 
É simples. No sistema decimal, nós não possuímos o algarismo dez e representamos a quantidade de 
uma dezena utilizando o algarismo (1) seguido do algarismo (0). Neste caso, o algarismo 1 significa que 
temos o grupo de uma dezena e o algarismo 0 nenhuma unidade, o que significa dez. 
 
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No sistema binário agimos da mesma forma para representarmos a quantidade dois, utilizamos o 
algarismo 1 seguido do algarismo 0. O algarismo 1 significará que temos um grupo de dois elementos e o 
0 um grupo de nenhuma unidade, representando assim o úmero dois. 
 
Após esta explicação, podemos notar que a numeração em binário é formada como mostra a Tabela 2.1. 
 
 
Observando-se a Tabela 2.1, percebe-se que um único bit nos permite descrever apenas dois valores 
possíveis; portanto, uma única variável binária tem um uso limitado. Porém, podemos utilizar grupos de 
bits para descrever situações mais complexas (por exemplo, descrever o número 2, como foi descrito 
anteriormente). Seguindo esse raciocínio, um grupo de 4 bits pode fornecer 16 combinações (que 
representam números) diferentes, pois, 24=16. Portanto, mesmo que um dígito binário possa ser apenas 
0 ou 1, um segmento de dados de quatro bits pode ser utilizado para descrever uma situação em que 
podem ocorrer 16 possibilidades diferentes. 
 
Essa linha de raciocínio pode ser utilizada para construir grupos com um número arbitrário de bits. Por 
exemplo, o segmento de oito bits: 
Info = X7X6X5X4X3X2X1X0 
 
É definido como sendo um único objeto que tem 28 = 256 possíveis combinações. De forma semelhante, 
um grupo de 16 bits tem 216 = 65 536 valores distintos a assim por diante. Grupos de dígitos binários 
podem ser usados para representar qualquer situação, desde que utilizemos um número suficiente de 
bits. Esta é a chave da utilização de números binários para a solução dos problemas do mundo real. 
 
Neste momento torna-se útil introduzir alguma terminologia para lidar com grupos de bits. Um grupo de 
bits é freqüentemente chamado de palavra, independentemente do número de bits envolvido. No 
exemplo acima Info é uma palavra de 8 bits. O número de bits (b) em uma palavra pode ou não ter 
significado, dependendo do sistema. No mundo dos microcomputadores, um byte (B) significa uma 
palavra de oito bits. 
 
Quando se discute sistemas binários, introduzem-se abreviações para certas potências de dois, como 
estão detalhadas na Tabela 2.2. 
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Como estas abreviações são baseadas no sistema de numeração binário, os prefixos correspondem a 
valores diferentes daqueles quando aplicados aos números da base-10 (decimais). Por exemplo, no 
sistema binário, 1Kb significa 1024 bits, enquanto seu uso convencional (por exemplo, em física ou 
eletrônica), 1K = 1000 = 103. De forma semelhante, 1Mb = 1024Kb. 
 
Deve-se também ter a cautela com a diferença entre um bit(b) e um byte(B). Desde que 1B=8b. É 
importante observar a separação entre eles. Por exemplo, o tamanho da memória principal de um 
computador pessoal é especificado como o número de bytes que ela pode armazenar. 
 
Aqui vale ressaltar que estamos tratando de quantidade de armazenamento, por exemplo, memória. 
Mais tarde vocês verão no curso as taxas de transmissão ou velocidade de um link, os quais são 
medidos em bits por segundo ou bps e suas potências de 10 � kbps (kilo bit por segundo), Mbps 
(mega bit por segundo), Gbps (Giga bit por segundo). Nesse caso não são múltiplos de 1024 e sim de 
1000 mesmo. Cuidado porque algumas vezes uma taxa pode ser dada em Kbytes por segundo, aí vale 
o que estudamos anteriormente, ou seja, 1Kbyte/s = 1024Bytes/s 
 
Representação dos Dados 
É possível utilizar palavras binárias para representar o qualquer coisa, desde que elas sejam definidas 
de maneira apropriada. Por exemplo, suponha que se queira descrever as quatro direções (esquerda, 
direita, frente e atrás) utilizando uma palavra binária. Como 22=4, necessitaremos de uma palavra de 
dois bits para descrever as quatro direções. 
 
Criando-se a palavra “direção” D=D1D0, em que D1 e D0 são bits. Uma vez criada a palavra, pode-se 
definir as seguintes associações: 
D = 00 Esquerda 
D = 01 Direita 
D = 10 Frente 
D = 11 Atrás 
 
Tais associações são completamente arbitrárias. Contudo, uma vez definidas, deve-se mantê-las 
intactas de tal forma que sempre se saiba o real valor a que D está associado. Por exemplo, a tradução 
da palavra D=01 significa “Direita”. Apesar de os bits por si só não terem nenhuma relação com as 
direções, as definições fornecem as associações apropriadas. 
 
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O processo de dar significado a um grupo de bits é chamado de codificação e pode ser aplicado a 
qualquer situação que se deseja. Números e letras são itens usualmente mais codificados, mas pode-
se representar qualquer grupo de objetos através de definições. O processo inverso da codificação, 
quando um número binário é interpretado para o nosso uso, é chamado de decodificação. Nessa 
operação, a informação codificada é utilizada para extrair o seu real significado. Por motivos óbvios, 
deve-se utilizar o mesmo esquema de codificação para decodificar uma palavra binária ou, de outra 
forma, você terá um grupo de bits sem qualquer significado. 
 
 
 
O processo de codificação e decodificação necessita, muitas vezes, da conversão entre um sistema de 
numeração e outro, como veremos a seguir. 
 
Conversão do Sistema Binário para o Sistema Decimal 
Considerando-se um número decimal qualquer, por exemplo, o número 594. Este número significa: 
5 x 100 + 9 x 10 + 4 x 1 =594 
centena dezena unidade 
5 x 102 + 9 x 101 + 4 x 100 = 594 
 
Neste exemplo, nota-se que o algarismo menos significativo (no caso o quatro) multiplica a unidade (1 
ou 100), o segundo algarismo ( o nove) multiplica a dezena (10 ou 101) e o mais significativo (no caso o 5) 
multiplica a centena (100 ou 102). A soma desses resultados irá representar o número, onde, a base 
desse sistema éo número 10 (dez). 
 
A base do sistema binário é o 2 (dois). Considerando-se, agora, um número binário qualquer, por 
exemplo, o número 101. Pela Tabela 2.1 observa-se que este equivale ao número 5 no sistema decimal. 
Utilizando-se o conceito básico de formação de um número, pode-se obter a mesma equivalência, 
convertendo assim o número 101 para o sistema decimal, tem-se: 
1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 
1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 = 5 
 
Portanto, o número 101 na base 2 é igual ao número 5 na base 10. 
 
 
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Exemplo 1 
Converta o número binário de quatro bits N=0110 para o seu equivalente na base-10. 
N= 0110 
N= (0 x 23) + (1 x 22) + (1 x 21) + (0 x 20) 
N= (0x 8) + (1 x 4) + (1 x 2) + (0 x 1) 
N= 4 + 2 
N= 6 
O que mostra que 0110 é igual ao decimal 6. 
 
Exemplo 2 
Converta o número binário de 8 bits X=01011100 para o seu equivalente na base-10.X=01011100 
= (0 x 27) + (1 x 26) + (0 x 25) + (1 x 24) + (1 x 23) + (1 x 22) + (0 x 21) + (0 x 20) 
= (0 x 128) + (1 x 64) + (0 x 32) + (1 x 16) + (1 x 8) + (1 x 4) + (0 x 2) + (0 x 1) 
= 64 + 16 + 8 + 4 
=92 
 
Exercícios Propostos 
Converta os seguintes números binários em decimal: 
a) 1001100 e) 10001 
b) 1111 f) 1010110 
c) 11111 g) 011001100110101 
d) 10000 h) 010110 
 
 
Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Binário 
Como vimos, a necessidade da conversão do sistema binário para decimal é evidente, pois, se 
tivermos um número grande no sistema binário fica difícil perceber a quantidade que este representa. 
Transformando-se este número em decimal, o problema desaparece. 
 
A mudança de um número da base-10 (decimal) para o seu equivalente binário requer um pouco mais 
de trabalho do que a operação contrária. Aqui, apresentaremos uma técnica chamada de divisões 
sucessivas, que permite efetuar a operação de mudança de base. 
 
Considere um número decimal N. Para encontrar a palavra binária b equivalente, dividiremos, 
sucessivamente, o número N por 2, anotando o resto após cada divisão. O resto da divisão será um bit 
em b, Esta técnica é melhor entendida através de exemplos. 
 
 
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Exemplo 3 
Tomemos um número decimal qualquer, por exemplo, o número 47. Dividindo o número 47 por 2, 
temos: 
 
Exemplo 4 
Convertendo o número 55210 em binário. 
 
 
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Segundo método de conversão – Por Aproximação 
Outra maneira de converter um número decimal em binário, baseando-se em números de 8 bits, é 
através do método da aproximação pelo maior valor. Sabemos que os números binários são potências 
de 2 e que se pegarmos um número de 8 bits teremos os seguintes valores dos bits: 
 27 26 25 24 23 22 21 20 
128 64 32 16 8 4 2 1 
 
Portanto, o oitavo bit vale 128, o sétimo 64 e assim por diante, se todos os bits estiverem am 1 teremos 
o valor de 255 (128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1). Agora vamos ao método. 
 
Vamos utilizar como exemplo o número 33, veja os passos: 
1. O número 33 cabe dentro de que valor dos bits: 128 sobra, 64 também, 32 cabe e sobra 1, 
portanto vamos setar o bit que corresponde ao 32: 00100000 
2. Agora vamos fazer o mesmo com a sobra: 1 cabe dentro do ultimo bit, como já tínhamos 
00100000 vamos setar o bit correspondente ao 1 e está finalizado: 00100001. 
 
Agora vamos converter 222 em binário: 
1. 222 passa de 128, portanto o 128 ficará setado, sobrando 222-128=94; 
2. 94 passa de 64, portanto 64 ficará setado, sobrando 94-64=30; 
3. 30 não cabe em 32, mas passa de 16, portanto o bit 32 ficará em 0 e o 16 em 1, sobrando 30-
16=14; 
4. 14 passa de 8, ficando setado o bit 8 e sobra 6; 
5. 6 passa de 4, ficando 4 setado e sobrando 2; 
6. 2 é exatamente o valor do segundo bit ficando ele setado e o bit 1 em 0 
7. Juntando nossas contas: 11011110 
 
Esse método é simples, porém precisa de bastante treino. Ele é muito útil para o cálculos dos endereços 
IP e subredes, pois os endereços IP variam de 0 a 255, ou seja, são compostos por quatro conjuntos de 8 
bits. 
 
Exercícios Propostos: 
Converta os seguintes números decimais em binários utilizando os dois métodos de conversão: 
a) 78 e) 808 
b) 102 f) 542 
c) 215 g) 16383 
d) 404 h) 0,6875 
 
 
 
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Sistema Hexadecimal 
O hexadecimal é um sistema de base-16, que utiliza os seguintes 16 símbolos como dígitos básicos: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 
 
Observe que A, B, C, D, E e F são utilizados como dígitos e não como letras. Os dígitos em letras 
minúsculas (a, b, c, d, e, f) são também utilizados na prática. Uma palavra em base-16 consiste em 
dígitos hexadecimais organizados em uma ordem específica, com o dígito mais significativo à 
esquerda e o menos significativo à direita. Por exemplo, H = 304E é uma palavra hexadecimal válida, 
na qual 3 é o dígito mais significativo e o E é o menos significativo. 
 
Conversão do Sistema Hexadecimal para o Sistema Decimal 
Para encontrar o equivalente N na base-10 (decimal) de uma palavra hexadecimal H = h3 h2 h1 h0 de 4 
dígitos, utiliza-se a fórmula: N = h3 x 163 + h2 x 162 + h1 x 161 + h0 x 160 
 
A qual pode ser estendida para uma palavra hexadecimal de tamanho arbitrário. Para mudar um 
número da base-10 para seu equivalente na hexadecimal, usam-se sucessivas divisões por 16. A 
Tabela 2.3 mostra a mudança entre números hexadecimais, decimais e binários. 
 
 
 
 
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Exemplo 13 
3F = 3 x 161 + F x 160 
3F= 3 x 161 + 15 x 160 = 3 x 16 + 15 x 1 
3F= 63 
 
Exemplo 14 
1C3 = 1 x 162 + 12 x 161 + 3 x 160 
1C3= 1 x 256 + 12 x 16 + 3 x 1 
1C3= 451 
 
Exercícios Propostos: 
Converta para o sistema decimal os seguintes números hexadecimais: 
a) 479 
b) 4AB 
c) BDE 
d) FOCA 
e) 2D3F 
 
Conversão do Sistema Hexadecimal para o Sistema Binário 
Neste tipo de conversão, separamos os algarismos hexadecimais e procuramos os seu equivalente no 
sistema binário, com quatro algarismos. Tomemos os exemplos abaixo: 
 
Exemplo 15 
Converta o número C13 para o sistema binário: 
 
 
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Exemplo 16 
Converta o número 6CF9 para o sistema binário: 
 
 
 
Exercícios Propostos de Hexa para Decimal 
1) 84 
2) 7F 
3) 3B8C 
4) 47FD 
 
 
Conversão do Sistema Binário para o Sistema Hexadecimal 
Na análise lógica digital, geralmente utilizam-se bastante os números hexadecimais para representar 
palavras binárias de quatro bits. É importante aprender sobre números hexadecimais, pois esta 
representação simplificará, consideravelmente, nossa notação. 
 
A equivalência entre dígitos hexadecimais e palavras binárias de quatro bits é fácil de ser entendida 
pela Tabela 2.3. Além disso, esta mudança de base pode ser aplicada a palavras binárias de 
comprimento arbitrário, simplesmente agrupando, a partir da direita, os bits em grupos de quatro. 
 
Exemplo 17 
Iniciaremos com a palavra binária de 16 bits 1001110011100101. Dividindo-a em grupos individuais 
de quatro bits e encontrando o seu equivalente no sistema hexadecimal, temos: 
1001 1100 1110 0101 = 9CE5 
 
Exercícios Propostos 
a) 10011 
b) 1110011100 
c) 100110010011 
d) 1111101111 
 
 
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Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Hexadecimal 
Existem dois métodos de conversão: o primeiro método utilizaa divisão sucessiva do número 
decimal por 16, a base do sistema hexadecimal. O segundo método consiste em transformar 
primeiramente o número decimal em binário e logo a seguir em hexadecimal, como demonstrado 
abaixo: 
 
Exemplo 18 
Converta o número decimal 1000 para o sistema hexadecimal. 
1o método 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
Converta os seguintes números decimais em hexadecimais: 
a) 486 
b) 2000 
c) 4096 
d) 5555 
e) 35479 
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Aplicando o Conhecimento para o Mundo 
IP (Internet Protocol) 
Um endereço IP é o conjunto de quatro octetos, ou seja, quatro dígitos de 8 bits, que são 
representados em formato decimal pontuado, exemplo: 
• 192.168.1.0 ou 
• 11000000. 10101000.00000001.00000000 
Portanto cada octeto ou parte do endereço IP pode variar de: 
• 00000000 � 0 
• 00000001 � 1 
• 00000010 � 2 
• 00000011 � 3 
• ... 
• 11111110 � 254 
• 11111111 � 255 
Utilize o conceito estudado nesse material e treine a conversão de decimal para binário dos números 
entre 0 e 255, e lembre: se alguém apresentar um IP com um valor acima de 255 ou essa pessoa não 
conhece o assunto ou está tentando testar seus conhecimentos! 
 
Pratique com os exemplos abaixo a conversão de decimal para binário: 
1. 192.168.10.15 
2. 200.200.10.35 
3. 10.64.128.255 
4. 172.36.48.90 
 
 
 
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Os endereços IP iniciam a partir do 0.0.0.0, o qual não é utilizado para endereçar micros, e crescem 
do quarto octeto para o primeiro. Toda vez que um octeto chega a 255 o próximo octeto é somado 1 e 
ele inicia a contagem em 0 novamente, conforme exemplo abaixo: 
0.0.0.0 
0.0.0.1 
0.0.0.2 
0.0.0.3 
 ... 
0.0.0.254 
0.0.0.255 
0.0.1.0 
0.0.1.1 
0.0.1.2 
0.0.1.3 
 ... 
0.0.1.254 
0.0.1.255 
0.0.2.0 
0.0.2.1 
... 
0.0.255.254 
0.0.255.255 
0.1.0.0 
... 
0.255.255.254 
0.255.255.255 
1.0.0.0 
1.0.0.1 
1.0.0.2 
... 
1.0.0.254 
1.0.0.255 
1.0.1.0 
1.0.1.1 
... 
255.255.255.255 
 
A contagem acima representa toda a faixa de endereços IP’s possíveis, as 232 possíveis combinações 
que esses quatro octetos permitem. O que delimita o uso entre as empresas e entidades pelo mundo é 
um parâmetro usado em conjunto com o IP chamado máscara de subrede, onde os bits 0 representam 
endereços de hosts e os bits 1 a parte de rede do endereçamento. Veja o capítulo 5 para entender 
melhor o assunto. 
 
 
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Sobre o Hexadecimal, o importante é saber diferenciar os caracteres e seus valores para diferenciar 
que número em hexa é maior ou menor que o outro. Isso se deve ao fato de um parâmetro nos 
roteadores e swicthes dependerem de uma numeração em Hexa: “o endereço MAC”. 
 
O endereço MAC é composto por 48 bits ou 12 algarismos hexadecimal (48 ÷ 4) e sua notação pode 
ser feita das maneiras abaixo: 
• 00:00:5E:00:01:03 ou 
• 00-00-5E-00-01-03 ou 
• 0000.5E00.0103 
Utilize o comando Ipconfig /all no prompt do MS-DOS do seu computador e verifique o MAC da (s) 
sua (s) placa (s) de rede: 
 
No exemplo acima qual MAC é maior? Da placa de rede Wireless ou da Ethernet? 
Para responder basta comprar da esquerda para direita, ou seja, do mais significativo para o menos. 
Resp: o MAC da ethernet (00-24-...) é maior que o wireless (00-1E-..). 
Utilize a calculadora do Windows para corrigir os exercícios propostos aqui e no restante do 
material! 
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Bibliografia 
1 – Sistemas Digitais – Princípios e Aplicações, Tocci e Widmer, 7a edição, ed. LTC; 
2 – Elementos de Eletrônica Digital – Ivan V. Idoeta e Francisco G. Capuano, 19a edição, 
ed. Érica; 
3 - Roteadores e Switches : Guia de Configuração para Certificação CCNA - Exames 640-801- 640-
811 - Nascimento e Tavares, Marcelo Brenzink e Alexei Correa - Editora LCM. 1ª edição 2006.