TAREFA5 - INFOR

Prévia do material em texto

O Teorema de Pitágoras
Uma abordagem visual e algébrica
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA
Licenciatura em Matemática
Informática Aplicada ao Ensino de Matemática
Aula 7 � Tarefa 5
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 1 / 11
Objetivos
Ao �nal da apresentação, espera-se que o estudante consiga:
1 identi�car os lados de um triângulo retângulo;
2 enunciar o Teorema de Pitágoras;
3 aplicar a relação em situações-problema.
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 2 / 11
Triângulo retângulo
Figura: Representação de um triângulo retângulo.
Elementos principais
a e b: catetos;
c : hipotenusa;
a hipotenusa é o lado oposto ao
ângulo de 90◦.
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 3 / 11
Triângulo retângulo
Figura: Representação de um triângulo retângulo.
Elementos principais
a e b: catetos;
c : hipotenusa;
a hipotenusa é o lado oposto ao
ângulo de 90◦.
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 3 / 11
Enunciado do teorema
Teorema de Pitágoras
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados das medidas dos catetos:
c2 = a2 + b2
Atenção
A relação só pode ser aplicada diretamente quando o triângulo possui um ângulo reto.
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 4 / 11
Enunciado do teorema
Teorema de Pitágoras
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados das medidas dos catetos:
c2 = a2 + b2
Atenção
A relação só pode ser aplicada diretamente quando o triângulo possui um ângulo reto.
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 4 / 11
Demonstração por áreas
Considere um quadrado de lado a + b contendo quatro triângulos retângulos congruentes.
(a + b)2 = 4
(
ab
2
)
+ c2
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
∴ c2 = a2 + b2.
A igualdade resulta da comparação entre a área do quadrado maior e a área das quatro regiões
triangulares mais o quadrado central.
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 5 / 11
Demonstração por áreas
Considere um quadrado de lado a + b contendo quatro triângulos retângulos congruentes.
(a + b)2 = 4
(
ab
2
)
+ c2
a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
∴ c2 = a2 + b2.
A igualdade resulta da comparação entre a área do quadrado maior e a área das quatro regiões
triangulares mais o quadrado central.
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 5 / 11
Exemplo resolvido
Um triângulo retângulo possui catetos medindo 6 cm e 8 cm. Qual é a medida da hipotenusa?
c2 = 62 + 82
c2 = 36+ 64 = 100
c =
√
100 = 10 cm.
Resposta
A hipotenusa mede 10 cm.
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 6 / 11
Exemplo resolvido
Um triângulo retângulo possui catetos medindo 6 cm e 8 cm. Qual é a medida da hipotenusa?
c2 = 62 + 82
c2 = 36+ 64 = 100
c =
√
100 = 10 cm.
Resposta
A hipotenusa mede 10 cm.
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 6 / 11
Aplicação: distância inacessível
Uma escada de 5 m está apoiada em uma parede, com a base a 3 m da parede. Qual altura ela
alcança?
h2 + 32 = 52 =⇒ h2 = 25− 9 = 16 =⇒ h = 4 m
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 7 / 11
Aplicação: distância inacessível
Uma escada de 5 m está apoiada em uma parede, com a base a 3 m da parede. Qual altura ela
alcança?
h2 + 32 = 52 =⇒ h2 = 25− 9 = 16 =⇒ h = 4 m
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 7 / 11
Visualização gradual com \only
Primeiro, identi�que o triângulo retângulo.
a
b
c
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 8 / 11
Visualização gradual com \only
Depois, associe os catetos às letras a e b.
a
b
c
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 8 / 11
Visualização gradual com \only
Por �m, use c
2 = a
2 + b
2.
a
b
c
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 8 / 11
Síntese
1 localize o ângulo reto;
2 identi�que a hipotenusa;
3 escreva c2 = a2 + b2;
4 substitua os valores e resolva a equação;
5 veri�que se a unidade de medida está correta.
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 9 / 11
Atividade de �xação
Um campo retangular mede 9 m por 12 m. Qual é o comprimento da diagonal?
d2 = 92 + 122 = 81+ 144 = 225 =⇒ d = 15 m
O Teorema de Pitágoras conecta a geometria à resolução de problemas reais.
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 10 / 11
Atividade de �xação
Um campo retangular mede 9 m por 12 m. Qual é o comprimento da diagonal?
d2 = 92 + 122 = 81+ 144 = 225 =⇒ d = 15 m
O Teorema de Pitágoras conecta a geometria à resolução de problemas reais.
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 10 / 11
Referência
IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações. São Paulo: Saraiva.
WIKIBOOKS. LaTeX/Apresentações. Material de apoio sobre a classe Beamer.
ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA (Licenciatura em MatemáticaInformática Aplicada ao Ensino de Matemática)Teorema de Pitágoras Aula 7 � Tarefa 5 11 / 11