PRUDEN

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Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará - Campus
Juazeiro do Norte
EDO E SÉRIES – AULA 2 / TAREFA 2
ALUNO: ANTONIO VICTOR PRUDENCIO DA SILVA
1. Resolva a equação diferencial de variáveis separáveis
abaixo, obtendo sua solução geral: dy
dx = 5x[cite: 8].
dy = 5x dx∫
dy =
∫
5x dx
y(x)=
5x2
2
+C
2. Verifique se pode ser resolvida pelo método da sep-
aração de variáveis e encontre sua solução geral: dy
dx =
x2y[cite: 8].
Sim, a equação é separável.
1
y
dy = x2dx∫
1
y
dy =
∫
x2dx
ln |y| = x3
3
+ C1
y = e
x3
3
+C1 = eC1e
x3
3
y(x)= Ce
x3
3
1
3. Determine a solução geral da equação dy
dx = 2xy[cite:
8].
1
y
dy = 2xdx∫
1
y
dy =
∫
2xdx
ln |y| = x2 + C1
y = ex
2+C1
y(x)= Cex
2
4. Resolva a equação diferencial linear de primeira or-
dem: dy
dx − 2y = e2x[cite: 8].
Fator integrante I(x) = e
∫
−2dx = e−2x.
e−2x dy
dx
− 2e−2xy = e−2xe2x
d
dx
(
ye−2x
)
= 1∫
d
dx
(
ye−2x
)
dx =
∫
1dx
ye−2x = x+ C
y(x)= (x+C)e2x
5. Determine a solução geral da equação linear de primeira
ordem: dy
dx + 4y = 8[cite: 8].
Fator integrante I(x) = e
∫
4dx = e4x.
e4x
dy
dx
+ 4e4xy = 8e4x
d
dx
(
ye4x
)
= 8e4x
ye4x =
∫
8e4xdx = 2e4x + C
y(x)= 2+Ce−4x
2
6. Empregando o método do fator integrante, resolva:
dy
dx + 2y = x[cite: 8].
Fator integrante I(x) = e
∫
2dx = e2x.
d
dx
(
ye2x
)
= xe2x
ye2x =
∫
xe2xdx
Integração por partes: u = x =⇒ du = dx; dv = e2xdx =⇒ v = 1
2
e2x.
ye2x =
x
2
e2x −
∫
1
2
e2xdx
ye2x =
x
2
e2x − 1
4
e2x + C
y(x)=
x
2
− 1
4
+Ce−2x
7. Verifique se a equação é exata e determine sua solução
geral: (3x + y)dx + (x + 4y)dy = 0[cite: 8].
M(x, y) = 3x+ y =⇒ My = 1
N(x, y) = x+ 4y =⇒ Nx = 1
Como My = Nx, a equação é exata.
f(x, y) =
∫
Mdx =
∫
(3x+ y)dx =
3x2
2
+ xy + g(y)
fy = x+ g′(y) = N = x+ 4y =⇒ g′(y) = 4y
g(y) =
∫
4ydy = 2y2
f(x, y) =
3x2
2
+ xy + 2y2
Solução geral implícita: 3x2
2
+ xy + 2y2 = C
3
8. Resolva dT
dt = −λ(T − Te) e obtenha a expressão para
T (t)[cite: 8].
dT
T − Te
= −λdt∫
1
T − Te
dT =
∫
−λdt
ln |T − Te| = −λt+ C1
T − Te = e−λt+C1 = Ce−λt
T(t)= Te +Ce−λt
9. Resolva dP
dt = rP e explique o significado[cite: 8].
dP
P
= rdt∫
1
P
dP =
∫
rdt
ln |P | = rt+ C1
P(t)= P0e
rt
Significado: O tamanho da população cresce de forma exponencial contínua em relação
ao tempo, governada pela taxa r.
10. Problema do reservatório[cite: 8].
V = 300 L; Ce = 3 g/L; ve = 4 L/min; vs = 4 L/min; S(0) = 0.
a) Equação diferencial
dS
dt
= veCe − vsCs
dS
dt
= (4)(3)− (4)
(
S
300
)
dS
dt
= 12− S
75
4
b) Resolvendo a equação
dS
dt
+
1
75
S = 12 (Fator integrante: I(t) = et/75)
d
dt
(
Set/75
)
= 12et/75
Set/75 =
∫
12et/75dt = 12 · 75et/75 + C = 900et/75 + C
S(t) = 900 + Ce−t/75
Condição inicial de água pura (S(0) = 0): 0 = 900 + C =⇒ C = −900.
S(t) = 900(1− e−t/75)
c) Limite t → ∞ e significado fisico
lim
t→∞
900(1− e−t/75) = 900 g
Significado: A massa de sal estabiliza em 900 g. Isso ocorre porque a concentração
interna se iguala à de entrada (3 g/L × 300 L = 900 g).
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