lista4

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Universidade Federal do Piaúı
Departamento de Matemática
Professora: Liane Mendes Feitosa Soares
Lista 4-E.D.O - EE
2014.2
1. Determinar se as equações dos problemas abaixo são ou não exatas. Para as exatas achar a
solução:
a) (2x+ 3) + (2y − 2)y′ = 0 b) (2x+ 4y) + (2x− 2y)y′ = 0 c) dy
dx
= −ax−by
bx−cy
d) (2xy2+2y)+(2x2y+2x)y′ = 0 e) dy
dx
= −ax+by
bx+cy
f) (3x2−2xy+2)dx+(6y2−x2+3)dy = 0
g) (exseny − 2ysenx)dx+ (excosy + 2cosx)dy = 0 h) (exseny + 3y)dx− (3x− exseny)dy = 0
i) (yexycos(2x) − 2exysen(2x) + 2x)dx+ (xexycos(2x) − 3)dy = 0
j) ( y
x
+ 6x)dx+ (lnx− 2)dy = 0, x > 0 h) (xlny + xy)dx+ (ylnx+ xy)dy = 0, x > 0, y > 0
2. Resolva os P.V I’s abaixo:
a) (2x− y)dx+ (2y − x)dy = 0, y(1) = 3 b) (9x2 + y − 1)dx− (4y − x)dy = 0, y(1) = 0
3. Em cada problema achar o valor de b para o qual a equação é exata e resolver cada equação
com este valor de b:
a) (xy2 + bx2)dx+ (x+ y)x2dy = 0 b) (ye2xy + x)dx+ (bxe2xy)dy = 0
4. Mostrar que as equações abaixo não são exatas mas se tornam exatas quando multiplicadas,
cada qual, pelo fator integrante mencionado.
a) x2y3 + x(1 + y2)y′ = 0, µ(x, y) = 1
xy3
;
b)
(
sen y
y
− 2e−xsen x
)
dx+
(
cos y+2e−xcos x
y
)
dy = 0, µ(x, y) = yex;
c) ydx+ (2x− yey)dy = 0, µ(x, y) = y; d) (x+ 2)sen ydx+ xcos ydy = 0, µ(x, y) = xex.
5. Nos problemas abaixo achar um fator integrante e resolver a equação dada
a) (3x2y + 2xy + y3)dx+ (x2 + y2)dy = 0; b) y′ = e2x + y − 1; c) dx+ (x
y
− sen y)dy = 0;
d) ydx+ (2xy − e−2y)dy = 0; e) [4x3
y2
+ 3
y
]dx+ [3( x
y2
) + 4y]dy = 0.
f) (3x+ 6
y
) + (x
2
y
+ 3 y
x
) dy
dx
= 0
6. Mostrar que as equações abaixo são homogêneas a achar as soluções:
a) dy
dx
= x+y
x
; b) dy
dx
= x
2+xy+y2
x2
; c) dy
dx
= 4y−3x
2x−y ; d)
dy
dx
= x+3y
x−y ;
e) dy
dx
= x
2+3y2
2xy
; f) dy
dx
= −4x+3y
2x+y
; g) 2ydx− xdy = 0; h) (x2 + 3xy + y2)dx− x2dy = 0.
7. a) Mostrar que a equação y′ = f(x, y) é homogênea se f(x, y) for tal que f(x, tx) = f(1, t),
onde t é um parâmetro real.
b) Use o item a) para decidir se cada uma das seguintes equações é homogênea
i) y′ = x
3+xy+y3
x2y+xy2
ii) y′ = (x
2+3xy+4y2)
1
2
x+2y
iii) y′ = sen(xy)
x2+y2
iv) y′ = lnx− lny + x+y
x−y
8. a) Achar a solução da equação dy
dx
= −4x+3y
2x+y
b) Achar a solução da equação
dy
dx
= −4x+ 3y + 15
2x+ y + 7
Dica: Reduza a equação da parte b) à equação da parte a) fazendo uma substituição da forma
x = X − h e y = Y − k.
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