Hayt Capitulos (1 2 3)- Eletromag

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1.10 Use a definicao de produto escalar para encontrar 
OS angulos internos em A e B do triangulo definido 
por estes tres pontos: A(l, 3, -2), B(-2, 4, 5) e C(O, 
-2, 1). 
1.11 Dados os pontos M(O,l; -0,2; -0,1), N(-0,2; 0,1; 
0,3) e P(0,4; 0; 0,1), determine: (a) o vetor RMN; (b) o 
produto escalar RMN · RMP; ( c) a projecao escalar de RM"' 
em RMP; (d) 0 angulo entre RMN e RMP· 
1.12 Dados os pontosA(lO, 12, -6), B(l6, 8, -2) C(8, l, 
4) e D(-2, -5, 8), determine: (a) a projecao vetorial 
de RAB+ RBc sobre RAD; (b) a projecao vetorial deR.tS 
+ RBc sobre Rv6 (c) 0 angulo entre RD.4 e Roc- 
25 
1.9 Um campo e dado por G = x2 + y2 (xa, + y~). Deter- 
mine: (a) urn vetor unitario na direcao de Gem P(3, 4, 
-2); (b) o angulo entre Ge ax no ponto P; (c) o valor 
daintegral dupla J4 J2 G·dxdzaY, no plano y = 7. 
X"() '"'° 
1.8 Dois Campos vetoriais sao dados por F = - IOa, + 
20x(y - 1 )a1 e G = 2x2ya,, - 4av + za,. Para o ponto 
P(2, 3, -4), determine: (a) IF t (b) I G t (c) um vetor 
unitario da direcao de F - G; (d) um vetor unitario na 
direcao de F + G. 
1.7 Dado o campo vetorial E = 4zy2 cos Zxa, + 2zy sen 
2x~ + y2 sen 2xa,, determine, para as regioes, I x l I y I e I z I< 2: (a) as superffcies nas quais EY = O; 
(b) a regiao na qual EY = E,; (c) a regiao para a qual 
E = 0. 
Ll Dados os vetores M = - lua, + 4aY - Sa, e N = 8ax 
+ 7ay - 2a,, determine: (a) um vetor unitario na dire- 
9iio de - M + 2N; (b) o modulo de Sax + N - 3M; 
(c) IM II 2N l(M + N). 
L2 Dados tres pontos A(4, 3, 2), B(-2, 0, 5) e C(7, -2, 
1): (a) determine o vetor A dirigido da origem ao ponto 
A; (b) determine um vetor unitario dirigido da origem 
ate o ponto medic da linbaAB; (c) calcule o perfrnetro 
do triangulo ABC. 
1.3 Um vetor da origem ao ponto A e dado por 6ax - 2~ 
- 4a,, e o vetor unitario da origem ao ponto B e 
( ~, - ~, ~). Se os pontos A e B es tao separados 
em 10 unidades, ache as coordenadas do ponto B. 
1.4 Dados os pontos A(8, -5, 4) e B(-2, 3, 2), determi- 
ne: (a) a distancia entre A e B; (b) um vetor unitario 
dirigido de A para B; (c) um vetor unitario dirigido da 
origem ate o ponto medic da linha AB; (d) as coorde- 
nadas do ponto pertencente a linha que conecta A e B 
no qual esta linba intercepta o plano z = 3. 
1.5 Um campo vetorial e dado por G = 24.xyax + 12(x2 + 
2)ay + l8z2a,. Dados dois pontos, P(l, 2, -1) e Q(-2, 
1, 3), determine: (a) Gem P; (b) um vetor unitario da 
direcao de Gem Q; (c) um vetor unitario dirigido de 
Q ate P; (d) a equacao da superffcie na qual I G I= 60. 
1.6 Para o campo G dado no Prob. 1.5 acima, faca esbo- 
cos de Gx, Gv, G, el G [ao longo dalinhay = 1, z = 1, 
paraO ~ x ~ 2. 
PROBLEMAS 
ANALISE VETORlAL 15 
1. Grossman, S. I.: "Calculus," 3d ed., Academic Press and Harcourt Brace 
Jovanovich, Publishers, Orlando, 1984. Vector algebra and cylindrical and 
spherical coordinates appear in chap. 17, and vector calculus is introduced in 
chap. 20. 
2. Spiegel, M. R: "Vector Analysis," Schaum Outline Series, McGraw-Hill 
Book Company, New York, 1959. A large number of examples and 
problems with answers are provided in this concise, inexpensive member 
of an outline series. 
3. Swokowski, E. W.: "Calculus with Analytic Geometry," 3d ed., Prindle, 
Weber, & Schmidt, Boston, 1984. Vector algebra and the cylindrical and 
spherical coordinate systems are discussed in chap. 14, and vector calculus 
appears in chap. 18. 
4. Thomas, G. B., Jr., and R. L. Finney: "Calculus and Analytic Geometry," 
6th ed., Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Mass., 1984. Vector 
algebra and the three coordinate systems we use are discussed in chap. 13. 
Other vector operations are discussed in chaps. 15 and 17. 
REFERENCIAS SUGERIDAS 
Ronaldo
Realce
Ronaldo
Realce
Ronaldo
Realce
]..13 (a) Determine a componente vetorial de F = IOa, - 1.22 Um campo e dado em coordenadas cilindricas como F 
6~. + Sa, que e paralela a G = O,lax + 0,2~ + 0,3a,; [ 40 . ] (b) Determine a componente vetorial de F que e per- = P2 + 1 + 3( cos¢+ sen¢) aP + 3( cos<{> - sen<{> )a,p 
pendicular a G. (c) Determine a componente vetorial 
de G que e perpendicular a F. - 2a,. Faca esbocos simples de IFI: (a) vs 4> comp= 
1.14 Os quatro vertices de um tetraedro regular estao loca- 3; (b) VS p com cp = 0°; (c) VS p com {j> = 45°. 
lizados em 0(0, 0, 0), A(O, 1, 0), B(0,5 Ji; 0,5; 0) e 1.23 As superficies p = 3 e 5, <f> = 100° e 130° e z = 3 e 4,5 
C( Ji 16; 0,5; ~2 /3 ). (a) Determine um vetor unita- limitam uma superficie fechada. (a) Determine o vo- lume contido. (b) Determine a area total da superficie rio perpendicular (para fora) a face ABC. ( b) Determi- limite. (c) Determine o comprimento total <las doze ne a area da face ABC. bordas da superficie. (d) Determine o comprimento da 
1.15 Tres vetores dirigidos a partir da origem sao dados por maior linha reta que esta contida inteiramente dentro 
r1 = 7ax + 3aY - 2az, r2 = -2ax + 7~ - 3a, e r3 = do volume. 
Za, - 2aY - 3a,. Determine: (a) um vetor unitario 1.24 No ponto P( - 3, -4, 5), expresse o vetor que se diri- perpendicular a r, e a r2; (b) um vetor unitario per- ge de Pa Q(2, 0, -1) em: (a) coordenadas retangula- pendicular aos vetores r1 - r2 e r2 - r3; (c) a area do res; (b) coordenadas cilindricas; (c) coordenadas es- triangulo definido por r1 e r2; (d) a area do triangulo fericas. (d) Mostre que cada um destes vetores possui definido pelos extremos de r., r, e r., 0 mesmo modulo. 
1.16 Descreva a superffcie definida pela equacao: (a) r -a, 
= 2, onde r = xa, + yav + za,; (b) Ir X a, I= 2. 1.25 I ( sen¢ ) SejaE= 2 cos¢ar+--8a¢ .DadoopontoP(r= 
1.17 0 pontoA(-4, 2, 5) e os dois vetores, RAM= 20ax + r sen 
18av - l Oa, e RAN= -lOax + 8~. + 15~ definem 0,8; () = 30°; <f> = 45°), determine: (a) E em P; (b) I E I 
um triangulo, (a) Determine um vetor unitario per- em P; (c) um vetor unitario na direcao de E em P. 
pendicular ao triangulo, (b) Determine um vetor uni- 1.26 (a) Determine uma expressao para~ em coordenadas 
tario no piano do triangulo e perpendicular a R."'-'" (c) esfericas em P(r = 4; () = 0,271"; <f> = 0,87r). (b) Ex- 
Determine um vetor unitario no piano do triangnlo presse aY em componentes cartesianas em P. 
que divide o angulo intemo A em duas partes iguais. 1..27 As superficies r = 2 e 4, () = 30° e 50° e <f> = 20° e 60° 
1.18 Dados os pontosA(p= 5, 4> = 70°, z = -3) e B(p = 2, Iinritam uma superficie fechada. (a) Determine o vo- 
<f> = -30°, z = 1), determine: (a) um vetor unitario hnne conrido, (b) Determine a area total da superffcie 
em coordenadas cartesianas em A e dirigido para B; Iirane. (c) Determine o comprimento total das doze 
(b) um vetor unitario em coordenadas cilfndricas em bordas da snperffcie. (d) Determine o comprimento da 
A e dirigido para B; (c) um vetor unitario em coorde- maier 1inba reta que esta contida inteiramente dentro 
nadas cilindricas em B e dirigido para A. do voleme. 
1.19 (a) Expresse o campo vetorial D = (x2 + y2tl (xa, + 1.28 (a) Determine as componentes cartesianas do vetor de 
yay) em componentes cilindricas e variaveis cilindri- ,4.(r = 5, () = 110° <f> = 200°) a B(r = 7, () = 30°, 4> = 
cas. (b) Calcule D no ponto p = 2, 4> = 0,271" (rad) e z 7(1'). (b) Determine as componentes esfericas dove- 
= 5. Expresse o resultado em componentes cartesia- tordeP(2, -3, 4) a Q(-3, 2, 5). (c) Se D =Sa, - 3a8 
nas e em componentes cilindricas. - 4a6, determine D · aP em M(l, 2, 3). 
1.20 Expresse em componentes cartesianas: (a) o vetor qne 1.29 Expresse o vetor unitario ax em componentes esfe- 
se estende de A(p = 4, <f> = 40°, z = -2) ate B(p = 5. ricas no ponto: (a) r = 2, () = 1 rad, </> = 0,8 rad; 
cf>= -110°, z = 2); (b) um vetor unitario emB clireci- (b) x = 3, y = 2, z = -1; (c) p = 2,5; <P = 0,7 rad; 
onado para A; (c) um vetor unitario emB direcionado z = 1,5. 
para a origem. 1.30 Dados A(r = 20, () = 30°, 4> = 45°) e B(r = 30,() = 
1.21 Expresse em componentes cilindricas: (a) o vetor de ll5°, </> = 160°), determine: (a) I RAB.l (b) I RAc l dado 
C(3, 2, -7) a D(-1, -4, 2); (b) um vetor unitario em C(r = 20, () = 90°, <f> = 45°); (c) a distancia de A a C 
D direcionado para C; (c) um vetor unitario em D di- em uma grande trajet6ria circular. 
recionado para a origem. 
16 C'.M>iTUlO UM 
Ronaldo
Realce
Ronaldo
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carga 
de i::::n: 
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m2 na :-:l!! 
outro l ~ 
(b) Pstir-' 
l.24 Tres&m 
das no ea 
-3, -3 
mine asa 
5, -1 
t.25 Deteomm 
2.15 Um volume esferico de 2 urn de raio contem uma den- 
sidade volnmetrica uniforme de carga de 1015 C/m3. (a) 
Qual a carga total confinada dentro do volume esferi- 
co? (b) Cosidere agora que uma grande regiao conte- 
nha uma dessas pequenas esferas em cada quina de uma 
grelha oibica de 3 cm de lado e que nao ha nenhuma 
carga entre as esferas. Qual e a densidade volumetrica 
de carga media atraves desta regiao? 
2.16 A regiao na qual 4 < r < 5, O < e < 25° e 0,97T < <P < 
1, 1 'TT contem uma densidade volumetrica de carga Pv = 
lO(r - 4)(r - 5)sen 8 sen! cp. Fora desta regiao, p; = 
0. Determine a carga dentro desta regiao. 
2.17 Uma linha de cargas uniforme de 16 nC/m esta locali- 
zada ao longo da linha definida por y = -2, z = 5. Se 
E = E0: (a) determine E em P(l, 2, 3); (b) determine E 
no ponto do plano z = 0 onde a direcao do vetor E e 
dada port ~ - i a,. 
2.18 Duas linhas de cargas uniformes de 0,4 µC/m e -0,4 
µC/m es tao localizadas no plano x = 0 em y = -0,6 e 
1 2.14 Seja p = 5e-0•1P( 7T - I <P D -- µC/m2 na regiao 0 u z2 +10 
:s p :S 10, -TT< <P <TT, a z e Pv = 0 em qualquer outra 
parte. (a) Determine a carga total presente. (b) Calcule 
a carga dentro da regiao 0 :s p :s 4, -l TT < <P < l TT, 
-10 < z < 10. 
presente. 
2.13 Uma densidade volumetrica uniforme de carga de 0,2 
µC/m3 esta presente atraves de uma casca esferica de 
r = 3 cm ate r = 5 cm. Se p; = 0 em qualquer outra 
parte, determine: (a) a carga total presente dentro da 
casca e (b) r1, se metade da carga esta localizada na 
regiao 3 cm< r < r1• 
2.12 A densidade volumetrica de carga Pv = Po e+HYl-izl l.22 Uma dGi 
existe em todo o espaco li vre. Calcule a carga total m' esta :;:i 
l.21 Duas lint 
nC/m es; 
±0,4m.. 
linha de s 
termine I 2.11 Uma carga Q0, localizada na origem no espaco livre, 
produz um campo no qual E, = 1 kV /m no ponto P( -2, 
1, -1). (a) Determine Q0. Determine E em M(l, 6, 5) 
em: (b) coordenadas cartesianas; (c) coordenadas cilfn- 
dricas; (d) coordenadas esfericas. 
I I I I t20 Umalint (a) Determine E em P(O, y, 0). (b) Esboce E vs. y da ao lot 
em P. nados. C 
az = oo 
~.19 Uma 1inl 
zada not 
nasemP 
y = 0,61 
mineE e 
2.9 Uma carga pontual de 100 nC esta localizada emA(-1, 
1, 3) no espayo livre. (a) Encontre o lugar dos pontos 
P(x, y, z) no qual E, = 500 V/m. (b) Determine y1 se 
P(-2, y1, 3) pertencer a este lugar. 
2.10 Duas cargas de 20 e -20 nC estao localizadas em (3, 
0, 0) e ( - 3, 0, 0), respectivamente. Considere E = €0. 
2.8 Dadas duas cargas pontuais de -1 µC em P1(0, 0, 0,5) 
ePi(O, 0, -0,5), e umacargade2 µCnaorigem, deter- 
mine E em P(O, 2, 1) em componentes esfericas. Con- 
sidere E = E0. 
2.7 
2.6 
2.5 
Seja Q1 = 8 µC, localizada em P1 (2, 5, 8), enquanto Q2 = 
-5 µC, localizada em Pl 6, 15, 8). Considere E = €0. 
(a) Determine F2, a forca sabre Q2• (b) Encontre as co- 
ordenadas de P3 sea carga Q3 experimenta uma forca 
total F3 = 0 em P3• 
Seja a carga pontual Q1 = 25 n~ localizada em P1(4, 
-2, 7) ea carga Q2 = 60 nC localizada em P2(-3, 4, 
-2). (a) Se E = E0, determine E em P(l, 2, 3). (b) Em 
que ponto do eixo y Ex = O? 
Duas cargas pontuais de 120 nC estao localizadas em 
A(O, 0, 1) e B(O, 0, -1) no espaco livre. (a) Determine 
E em P(0,5; 0; 0). (b) Qual carga na origem fomeceria 
um Campo de mesmo modulo? 
Uma carga pontual de 2 µC esta localizada em A(4, 
3, 5) no espaco livre. Determine EP, s, e E, em P(8, 
12, 2). 
2.4 
2.3 
Quatro cargas positivas de 10 nC estao localizadas no 
plano z = 0 nos vertices de um quadrado de 8 cm de 
lado. Uma quinta carga positiva de 10 nC esta localiza- 
da em um ponto distante 8 cm de cada uma das outras 
cargas. Calcule o modulo da forca total nesta quinta 
carga para E = E0. 
Uma carga Q1 = 0,1 µC esta localizada na origem do 
espaco livre, enquanto Q2 = 0,2 µC esta em A(0,8; 
~0,6; 0). Determine o lugar dos pontos no piano z = 0 
em que a componente x da forca em uma terceira carga · 
positiva e zero. 
Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estao localiza- 
das emA(l, 0, 0), B(-1, 0, 0), C(O, 1, 0) e D(O, -1, 0) 
no espaco livre. Determine a forca total sobre a carga 
em A. 
2.2 
PROBLEMAS 
2.1 
3. Schelkunoff, S. A.: "Electromagnetic Fields," Blaisdell Publishing 
Company, New York, 1963. Many of the physical aspects of fields are dis- 
cussed early in this text without advanced mathematics. 
JO CAPITULO 0015 
Ronaldo
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Ronaldo
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2.26 Uma densidade linear de carga uniforme de 5 nC/m esta 
em y = 0, z = 2 m no espaco livre, enquanto outra de 
-5nC/mestalocalizadaemy = 0,z = -2. Uma den- 
sidade superficial de carga uniforme de 0,3 nC/m2 esta 
emy = 0,2meoutrade -0,3 nC/m2estaemy = -0,2 
m. Determine I E Ina origem, 
2.27 Dado o campo eletrico E = (4x - 2y)a ... - (2x + 4y)ay, 
determine: (a) a equacao da linha de forca que passa 
pelo ponto P(2, 3, -4): (b) um vesor unitario aEespeci- 
ficando a direcao de Eno ponto Q(3. -2, 5). 
2.28 Seja E = 5x3a,, - 15x2ya, e determine: (a) a equacao 
da linha de forca que passa por P(4. 2. 1); (b) nm vetor 
unitario aE especificando a direcao de E em Q(3, -2, 
5); (c) um vetor unitario a; = (l, m, 0) que e perpendi- 
cular a aE em Q. 
2.29 Se E = 20e-5}{cos 5xa x - sen 5x~), determine: (a) IE I 
em P( 'TTl6; 0,1; 2); (b) um vetor unitario na direcao de 
E no ponto P; (c) a equacao da linha de direcao que 
passa por P. 
2.30 Dada a intensidade de campo eletrico E = 400yax + 
400xaY V /m, determine: (a) a equacao da linha de for- 
ca que passa pelo ponto A(2, l, -2); (b) a equacao 
<la su})erficie ua qua\\ l1 \ = i\l\l '\/ ·, \c) Esboc.e a \'1.- 
nha de forca da parte a; (d) Esboce o tracado produ- 
zido pela intersecao do plano z = 0 com a superffcie 
da parte b. 
2.31 Em coordenadas cilindricas com E(p, <fa) = Ep(p, cp)aP 
+ E,p(p, <P )a,p. a equacao diferencial que descreve as li- 
nhas de direcao e EjE,p = dpl(pd</J) em qualquer plano 
z = constante. Calcule a equacao da linha que passa pelo 
ponto P(p = 4, <P = 10°, z = 2) no campo E = 2p2 cos 
3</>aP + 2p2 sen 3</Jaq,. 
LEI DE COULOMB E lNTENSlDADE DE CAMPO ElETRICO 31 
y = 0,6 m, respectivamente. Considere E = E0. Deter- 
mine E em: (a) P(x, 0, z); (b) Q(2, 3, 4). 
~ 2.19 Uma linha de cargas uniforrne de 2 µC/m esta locali- 
zada no eixo z. Determine E em coordenadas cartesia- 
nas em P(l, 2, 3) sea carga se estende de: (a) z = - oo 
a z== oo;(b)z= -4az=4. 
Uma linha de cargas uniforrne de 120 nC/m esta situa- 
da ao longo de toda a extensao dos tres eixos coorde- 
nados. Considerando as condicoes do espaco livre, de- 
termine E em P( - 3, 2, -1). 
2.21 Duas linhas de cargas uniforrnes identicas com PL= 75 
nC/m estao localizadas no espaco livre em x = 0, y = 
±0,4 m. Que forca por unidade de comprimento cada 
linha de cargas exerce sobre a outra? 
2.22 Uma densidade superficial de carga uniforrne de 5 nC/ 
m2 esta presente na regiao x = 0, - 2 < y < 0 e V z. ·Se 
E= E0, determine E em: (a) Pi3, 0, O); (b) Ps(O, 3, 0). 
2.23 Dada uma densidade superficial de carga Ps = 2 µ,CJ 
m2 na regiao p < 0,2 rn, z = 0 e Ps = 0 em qualquer 
outro lugar, determine E em: (a) PA(p = O; z = 0,5); 
(b) Pa(p = O; z = -0,5). 
2.24 1:res densidades s11})erf1c.ia1s <le carga estaol)Osicion.a- 
das no espaco livre como se segue: 20 nC/m2 em x = 
- 3, - 30 nC/m2 em y = 4 e 40 nC/m2 em z = 2. Deter- 
mine amagnitudedeEem: (a) PA(4, 3, -2); (b) Ps(-2, 
5, -1); (c) P c(O, 0, 0). 
. 2.25 Determine E na origem se as seguintes distribuicoes de 
carga estao presentes no espaco livre: uma carga pontual 
de 12 nC, em P(2, 0, 6); uma densidade linear de carga 
uniforme de 3 nC/m, em, x = -2, y = 3; uma densidade 
superficial de carga uniforme de 0,2 nC/m2, em x = 2. 
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Ronaldo
Realce
Ronaldo
Realce
3.9 Uma densidade volumetrica de carga uniforme de 80 
µC/m3 esta presente na regiao 8 mm < r < 10 mm. Seja 
Pv = 0 para 0 < r < 8 mm. (a) Determine a carga total 
dentro da superffcie esferica r = 10 mm; (b) Determi- 
ne D, em r = 10 mm; (c) Se nao ha carga para r > 10 
mm, determine D, em r = 20 mm. 
3.10 Seja Ps = 8 µC/m2 na regiiio onde x = 0, -4 < z < 4 
m e Ps = 0 em qualquer outra parte. Determine D em 
P(x, 0, z), onde x > 0. 
3.11 Em coordenadas cilindricas, seja Pv = 0 para p < 1 mm. 
Pu= 2 sen 20007T p nC/m3 para 1 mm< p < 1,5 mm e 
Pu = 0 para p > 1,5 mm. Determine D em toda parte. 
3.12 Uma densidade volumetrica de carga nao - uniforme 
de Pu= 120r C/m3 esta situada dentro de uma superff- 
cie esferica de r = 1 m e Pu = 0 em qualquer outra 
parte. (a) Determine D, em toda parte; (b) Qual densi- 
dade superficial de carga p52 deve estar presente na 
3.8 Duas linhas de cargas uniformes de 5 nC/m estiio loca- 
lizadas no espaco livre em x = 1,z= leemy= Lz= 
0. (a) Obtenha a expressao para Dem coordenadas car- 
tesianas em P(O, 0, z); (b) Esboce ID I versus z em P, 
-3<z<l0. 
3. 7 Uma densidade volumetrica de carga esta localizada no 
espaco livre como Pu = 2e-1000' nC/m3 para 0 < r < 1 
mm e Pv = 0 em qualquer outra parte. (a) Determine a 
carga total contida na superficie esferica r = 1 mm. (b) 
Usando a lei de Gauss, calcule o valor de D, na super- 
ffcie r = 1 mm. 
contida no paralelepipedo retangulo 0 < x < 2, 0 < y 
< 3,0 < z< 5m. 
3.6 Duas linhas de cargas uniformes de 20 nC/m cada es- 
tiio localizadas em y = 1, z = ± 1 m. Determine o 
fluxo eletrico total deixando a superffcie da esfera de 
raio 2 m, se ela esta centrada em: (a) A(3, 1, 0); (b) 
B(3, 2, 0). 
3.3 A superficie cilindrica p = 8 cm contem uma densida- 
de superficial de carga Ps = 5 e-201zl nC/m2. (a) Qual a 
quantidade de carga total presente? (b) Quanto flnxo 
eletrico deix.a a superffcie p = & cm, 1 cm < z < 5 cm, 
30° < </> < 90°? 
3.4 As superficies cilindricas p = 1, 2 e 3 cm possuem den- 
sidades superficiais de carga uniformes de 20, - 8 e 5 
nC/m2, respectivamente. (a) Quanto fluxo eletrico pas- 
sa atraves da superffcie fechada p = 5 cm, 0 < z < I 
m? (c) Determine Dem P(l cm, 2 cm, 3 cm). 
3.5. Seja D = 4xyax + 2(x2 + z2)~ + 4yza, C/m2. Calcule 
as integrais de superffcie para determinar a carga total 
3.1 Uma lata de pintura de metal vazia e colocada em uma 
mesa de marmore, sua tarnpa e retirada, e ambas as par- 
tes siio descarregadas conectando-as a terra. Um fio iso- 
lante de nailon e colado no centro da tampa e tres moe- 
das, de 5, 10 e 50 centavos siio coladas ao fio de forma 
que niio se toquem. A moeda de 50 centavos e aplicada 
uma carga de + 5 nC e as moedas de 5 e 10 centavos 
permanecem descarregadas. A montagem e descida ate 
a lata de forma que as moedas fiquem suspensas e longe 
das paredes, estando a tampa presa. 0 lado de fora da lata e temporariamente conectado de novo a terra. 0 dispo- 
siti vo e cuidadosamente desmontado com luvas e ferra- 
mentas isolantes. (a) Que cargas siio encontradas em cada 
uma das cinco pecas metalicas? (b) Se fosse aplicada a 
moeda de 50 centavos uma carga de + 5 nC, a de 10 cen- 
tavos uma carga de -2 nC ea de 5 centavos uma carga 
de -1 nC, qual seria a distribuicao final de cargas? 
3.2 Uma carga pontual de 12 nC esta localizada na origem. 
Quatro linhas de cargas uniformes estao localizadas no 
plano x = 0 como se segue: 80 nC/m em y = - 1 e - 5 
m, -50nC/memy = -2e -4m. (a) DetermineD em 
P(O, -3, 2); (b) Quanto fluxo eletrico atravessa o pla- 
no y = -3 e em que direcao? (c) Quanto fluxo eletrico 
deixa a superficie da esfera de 4 m de raio centrada em 
C(O, -3, O)? 
PROBLEMAS 
\ 
practical devices that illustrate electromagnetic applications. For example, 
see the discussion of xerography on pp. 95-98 as an electrostatics applica- 
tion. 
4. Skilling, H. H.: "Fundamentals of Electric Waves," 2d ed., John Wiley & 
Sons, Inc., New York, 1948. The operations of vector calculus are well 
illustrated. Divergence is discussed on pp. 22 and 38. Chapter 1 is interesting 
reading. 
5. Thomas, G. B., Jr., and R. L. Finney: (see Suggested References for Chap. 
1). The divergence theorem is developed and illustrated from several differ- 
ent points of vew on pp. 976-980. 
46 CAPiTULO TR.ES 
Ronaldo
Realce
Ronaldo
Realce
I'' 1111111~,, '' Iii 
3.27 Seja D = 5r2a, mC/m2 para r < 0,08 me D = (0, l/r)a_ 
C/m2 para r > 0,08 m. (a) Determine Pvpara r = 0.06 
m; (b) Determine Pvpara r = 0,1 m; (c) Que densid:!& 
superficial de carga deve ser colocada em r = OJ~ o 
para que D = 0 para r > 0,08 m? 
3.28 A densidade de fluxo eletrico e dada por D = - 
C/m2 para p < 100 µ.me kaP para p > 100 µ.m.. - 
termine k de modo que D seja continua em p = :::::m:: 
(b) Determine e esboce p; como uma :fu::¢ ~ 
5sen8cosc/) · Dado o campo D = a, C/m2, determine: (a) r 
a densidade volumetrica de carga; (b) a carga total con- 
tida na regiao r < 2 m; (c) o valor de D na superficie r 
= 2; (d) o fluxo eletrico total que deixa a superffcie r 
= 2. 
3.26 
Dentro da casca cilindrica 3 < r .-:=: 4 m, a densidade 
de fluxo eletrico e dada por D = S(r - 3)3a, C/m2• 
(a) Quale a densidade volumetrica de carga em r = 
4? (b) Quale a densidade de fluxo eletrico em r = 4 
m? (c) Quanto fluxo eletrico deixa a esfera de r = 4 
m? (d) Quanta carga esta contida dentro da esfera r 
= 4m? 
3.25 
3.24 
3.23 
3.22 
Calcule a divergencia de D no ponto especificado se 
1 D = : (a) :;- [ IOxyza, + 5x2z~ + (2z3 - 5x2y )a,] em 
c 
P(-2, 3, 5); (b) 5z2aP + l Ooza, em P(3, -45°, 5); (c) 
2r sen () sen cf> a, + r cos () sen cf> a, + r cos cf> a, em 
P(3, 45°, -45°). 
Seja D = Sp sen <P aP + 4p cos<f> a<!> C/m2. (a) Determi- 
ne div D. (b) Determine a densidade volumetrica de 
carga emP(2,6; 38°; -6,1); (c) Quanta carga esta loca- 
lizada dentro da regiao definida por 0 < p < 1,8, 20° < 
<P < 70° e 2,4 < z < 3,1? 
(a) Uma carga pontual Q esta situada na origem. Mos- 
tre que div D = 0 por toda parte, exceto na origem. (b) 
Substitua a carga pontual por uma densidade volume- 
trica de carga uniforrne PiJ:J para 0 :s r :s a. Relacione 
PiJ:J a Q ea de modo que a carga total seja a mesma. 
Determine div D por toda parte. 
Dentro da casca cilindrica 3 < p < 4 m, a densidade de 
fluxo eletrico e dada por D = 5(p - 3)3ap C/m2. (a) Qual 
ea densidade volumetrica de carga em p = 4? (b) Qual 
ea densidade de fluxo eletrico em r = pm? (c) Quanto 
fluxo eletrico deixa a superffcie fechada: 3 < p < 4, 0 
< <P < 211", -2,5 < z < 2,5? (d) Quanta carga esta con- 
tida dentro do volume 3 < p < 4, 0 < <P < 27T, -2,5 < 
z < 2,5? 
3.21 superffcie r = 2 m de modo que D ,.,;2 = 2D r'r=i +? ( c) 
Esboce D, vs rpara 0 < r < 5 com ambas as distribui- 
96es presentes. 
3.13 Tres superffcies esfericas em r = 2, 4 e 6 m possuem 
densidades superficiais de carga de 20 nC/m2, -4 nC/ 
m2 e p50, respectivamente. (a) Determine Dem r = 1, 
3 e 5 m; (b) Determine Pso de modo que D = 0 em r = 
7m. 
3.14 Se Pv = 5 nC/m3 para 0 < p < 1 mm e nao ha outras 
cargas presentes: (a) determine DP para p < 1 mm; (b) 
determine Dj para p >Imm; (c) Que densidade linear 
de carga PL em p = 0 daria omesmo resultado que o do 
item b? 
3.15 Duas densidades volumetricas de carga estao localiza- 
das como se segue: Pv = 0 para p < 1 mm e para p > 2 
mm e p; = 4p µ.C/m3 para 1 < p < 2 mm. (a) Calcule 
a carga total na regiao 0 < p < p1, 0 < z < L, onde I < 
p, < 2 mm; (b) Use a lei de Gauss para determinar DP 
em p = p.; (c) Calcule DP em p = 0,8 mm, 1,6 mm e 
2,4mm. 
3.16 Dada a densidade de fluxo eletrico D = 2xya_, + x2a.i, + 
6z3a, C/m2: (a) use a lei de Gauss para calcular a carga 
total contida no volume 0 < x, y, z < a; (b) Use Eq. 8 
para determinar um valor aproximado para a carga aci- 
ma. Calcule as derivadas em P(a/2, a/2, a/2); (c) Mos- 
tre que os resultados dos itens a e b sao equivalentes no 
limite a~ 0. 
3.17 Um cubo e definido por 1 < x, y, z < l,2. Se D = 2x2ya,. 
+ 3x2:y2aY C/m2: (a) aplique a lei de Gauss para deter- 
minar o fluxo total deixando a superffcie fechada do 
(JD, ()Dy (JD cubo; (b) calcule --· +--+--z no centro do ax dy dz 
cubo; (c) Estime a carga total contida dentro do cubo 
usando a Eq. 8. 
3.18 Seja um campo vetorial dado por G = 5.x4 y4 z4 ~- Cal- 
cule ambos os lados da Eq. 8 para este campo G e o 
volume definido por x = 3 e 3,1, y = 1 e 1,1 e z = 2 e 
2, 1. Calcule as derivadas parciais no centro do volume. 
3.19 Uma superffcie esferica de raio 3 mm esta centrada em 
P(4, 1, 5) no espa90 livre. Seja D = xa, C/m2. Use os 
resultados da Secao 3.4 para estimar o fluxo eletrico 
lfquido que deixa a superff cie esferica, 
3.20 Um cubo de volume a3 possui suas faces paralelas as 
superffcies do sistema de coordenadas cartesianas e esta 
centrado em P(3, -2, 4). Dado o campo D = 2.x3a., CJ 
m2: (a) Calcule div Dem P; (b) calcule a fracao mais a 
direita da Eq. 13 para a= 1m,0,1me1 mm. 
DENSIDADE DE FLUXO hETRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGENCIA "TT 
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iple, 
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Ronaldo
Realce
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Realce
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	Scan0001.pdf (p.1)
	Scan0002.pdf (p.2)
	Scan0003.pdf (p.3)
	Scan0004.pdf (p.4)
	Scan0005.pdf (p.5)
	Scan0006.pdf (p.6)