Eletromagnetismo A1 TASK123488

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ELETROMAGNETISMO I
UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO AO 
ELETROMAGNETISMO
Autoria: Sofia Maria Amorim Falco Rodrigues – Revisão técnica: Alexandre de 
Moraes Araújo
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Introdução
Olá, caro aluno.
Entender as relações eletromagnéticas é fundamental não só
para desenvolver estudos e análises mais específicos, mas
também para compreender como, de fato, equipamentos
importantes funcionam, a exemplo dos motores elétricos de
indução, presentes no nosso cotidiano e nas mais diversas
aplicações industriais.
Nesta unidade, você terá uma boa introdução ao mundo do eletromagnetismo e, para esse entendimento,
relembrará aspectos importantes de outras áreas e até de conteúdos vistos durante o ensino médio,
especialmente nas aulas de física.
Em um primeiro momento, faremos uma grande revisão das representações nos principais sistemas de
coordenadas: o sistema cartesiano, as coordenadas cilíndricas e as coordenadas esféricas. Você entenderá como
são definidos esses diferentes sistemas e como transitar entre eles de acordo com o tipo de análise a ser
realizado, ou mesmo pela própria conveniência e facilidade de estudo e representação.
Depois, faremos um exame dos cálculos vetoriais de importantes análises acerca de um campo vetorial qualquer:
o gradiente, o divergente e o rotacional. Primeiro, veremos o que é, de fato, o campo vetorial; em seguida, como
calcular essas relações e o que elas implicam na prática. Por fim, você terá seu primeiro contato efetivo com o
eletromagnetismo, de modo a entender mais detalhes acerca das distribuições contínuas de carga, basicamente
de três formas principais: pela análise linear, superficial e volumétrica.
Bons estudos!
1.1 Vetores em coordenadas retangulares, cilíndricas e 
esféricas
Grandes áreas do cálculo, como o , servem como base para praticamente toda e qualquercálculo vetorial
definição da , incluindo os cálculos e demais entendimentos. Dessa forma, neste pontoteoria eletromagnética
inicial, estudaremos como são estabelecidas três representações possíveis em sistemas de coordenadas: as
coordenadas retangulares, as cilíndricas e as esféricas. Neste tópico, o foco é descrever o sistema tridimensional
de coordenadas cartesianas (também conhecidas como ). Além disso, veremos comocoordenadas retangulares
os vetores se estabelecem no espaço.
1.1.1 Representação em coordenadas retangulares e análise vetorial
Para localizarmos os pontos no , são utilizados três eixos coordenados mutuamente eespaço cartesiano
orientados positivamente, conforme a regra da mão direita (os dedos se fecham a partir do eixo x positivo em
direção ao y positivo e o polegar fica ao longo do eixo z positivo). As de umcoordenadas cartesianas (x, y, z)
dado ponto P no espaço serão definidas na prática pelos números nos quais os planos que passam por P cortam
os eixos de forma perpendicular, o que também esclarece o porquê de esse sistema também ser chamado de
sistema de coordenadas retangulares (THOMAS , 2009). Na próxima figura, são apresentados o sistema deet al.
coordenadas cartesianas orientadas positivamente e os planos x = 0, y = 0 e z = 0, responsáveis pela divisão
desse espaço em oito octantes:
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Figura 1 - Coordenadas cartesianas e a regra da mão direita; planos coordenados no espaço cartesiano
Fonte: Adaptada de Thomas , 2009, p. 172.et al.
#PraCegoVer: no lado esquerdo da figura, há a ilustração de um cubo que mostra os ângulos e a forma como o
sistema cartesiano é estabelecido. Na face do cubo, x é constante; na lateral direita, y é constante; na face de
cima, z é constante. O ponto P(x, y, z) de exemplo está no ponto superior de encontro da face com a lateral
direita. Na parte de baixo da face, há os pontos (x, 0, 0) e (x, y, 0); o encontro com a lateral esquerda possui
coordenadas (x, 0, z). Na lateral esquerda, na parte de baixo, tem-se os pontos (x, y, 0) e (0, y, 0); na parte
superior do lado direito, aparece o ponto (0, y, z). Na face de cima, da esquerda para a direita, aparecem: (0, 0, z),
(0, y, z), (x, 0, z) e o ponto P. Por fim, a origem do sistema está na lateral esquerda do cubo. Na parte de baixo, no
lado esquerdo e acima do cubo, está a mão direita representando a regra da mão direita, com a palma virada
para a frente da folha, fazendo o sinal de “joia” com o polegar apontado para cima. Do lado direito, há o sistema
cartesiano com os planos x = 0, y = 0 e z = 0 traçados, demonstrando os cortes que são feitos no sistema, os quais
formam novas regiões distintas. Esse desenho tem três folhas que se cruzam nas cores verde claro, lilás e laranja.
Também podemos considerar alguns outros exemplos de planos e representações no sistema cartesiano. Sendo
y = –3, por exemplo, um plano paralelo ao plano xz, afastado três unidades deste e perpendicular ao eixo y e –1 ≤
y ≤ 1 representando a faixa de pontos formada entre os planos y = –1 e y = 1, incluindo os próprios planos. Mais
ainda, caso seja necessário representar equações no sistema, podemos avaliar, por exemplo, qual o conjunto de
pontos que satisfaz uma equação ou um conjunto de equações. Suponha, então, que o desejo seja estabelecer
quais são os pontos A (x, y, z) no sistema cartesiano que satisfazem as equações x² + y² = 9 e z = 3. Nesse caso, os
pontos estarão localizados no plano horizontal, dado pela equação z = 3, e a região dos pontos será formada a
partir do círculo dado pela outra equação, x² + y² = 9, de raio 3.
Agora, nosso foco é entender mais detalhes da no sistema. Assim, lembre-se de que osrepresentação vetorial
vetores em um dado espaço serão, na prática, como os vetores representados no plano com uma componente
adicional tridimensional, sendo que a igualdade vetorial se dá quando estes possuem mesmo comprimento,
direção e sentindo. Além disso, a esse ponto, os vetores são, de fato, fundamentais por serem capazes de
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direção e sentindo. Além disso, a esse ponto, os vetores são, de fato, fundamentais por serem capazes de
representar grandezas físicas como forças e outras propriedades importantes, a exemplo da velocidade e da
aceleração no espaço. Sendo v então um vetor que parte da origem (0, 0, 0), com seu ponto final definido pelas
demais coordenadas, tal que (v1, v2, v3). Um vetor poderá ter ainda genericamente o ponto inicial A(xA, yA, zA)
e o ponto final B(xB, yB, zB). Assim:
Na forma de um vetor posição, temos:
Note que i, j e k representam as componentes nas direções x, y e z. As seguintes são válidas,operações 
considerando que os vetores estejam no plano e que u = u1i + u2j + u3k e que v = v1i + v2j + v3k, sendo k um
escalar real (THOMAS ., 2009):et al
• Adição
u + v = (u1 + v1)i + (u2 + v2)j + (u3 + v3)k
• Subtração
u - v = (u1 - v1)i + (u2 - v2)j + (u3 - v3)k
• Multiplicação
αu = αu1i + αu2j + αu3k
Para o cálculo da norma, que representa matematicamente o comprimento do vetor no espaço, considerando o
mesmo vetor v do exemplo das operações, define-se:
Alguns vetores típicos também podem ser definidos, como o vetor nulo (zero em todas as direções) e os vetores
unitários, com norma igual a 1. Além disso, o valor do também pode ser solicitado para entender a relaçãoversor
entre direção e vetor, visto que o cálculo é dado a partir do próprio vetor v (tomando novamente como exemplo
o vetor anterior) e o seu valor de norma:
A entre dois pontos nesse espaço, por outro lado, e considerando o cálculo da norma, pode ser definidadistância 
como:
Nessa operação, devemos considerar um dado vetor u e um dado vetor v, como anteriormente. Dessa forma, é
possível expressar a seguinte equação para a representação de uma esfera no sistema cartesiano, sendo esta
centrada na origem ou não e igual ao seu raio:
A equação anterior pode, ainda, estar igualada a zero e com os produtos notáveis sem estarem desenvolvidos. O 
, considerando agora uma reta traçada que denota a distância entre dois pontos quaisquer noponto médio
sistema cartesiano, pode ser calculado, tendo como base dois pontos: A(xA, yA, zA) e B(xB, yB, zB):
•
•
•
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Agora, entenderemos como implementaralguns cálculos com vetores, começando pelo produto interno (produto
, considerando novamente os mesmos vetores u e v:escalar)
O ângulo θ é aquele formado entre os dois vetores. Ou seja:
O ângulo theta, nesse caso, pode ser definido ainda pelo arcosseno:
Com relação ainda ao produto escalar, sabe-se que este também estará sujeito às seguintes propriedades,
tomando como base que w é um vetor, tal que (w1, w2, w3) (THOMAS , 2008):et al.
Com isso, torna-se possível definir a , que, considerando um vetor u e um vetor v, pode serprojeção ortogonal
determinada ao se baixar uma perpendicular do ponto final do vetor u na reta formada pela distância entre os
pontos do vetor v. Formalmente, temos:
|u|cosθ é chamado de componente escalar de u na direção de v, tal que a seguinte relação também é válida:
De forma a facilitar o encontro dessa projeção, a relação do vetor u com sua norma pode ser também descrita, na
prática, como:
O de dois vetores no espaço cartesiano é tomado a partir da regra da mão direita, de forma queproduto vetorial
a seguinte equação para seu cálculo é válida:
O vetor resultante é ortogonal tanto ao vetor u quanto ao v, devido ao fato de ser múltiplo escalar de n. Com base
nisso, podemos afirmar que qualquer vetor não nulo, u e v, será paralelo se, e somente se, o produto vetorial
entre ele for nulo.
Assim, nesse tipo de relação, temos as seguintes propriedades, considerando ainda os escalares r e s (THOMAS et
2008):al., 
Agora, suponhamos que temos, novamente, dois vetores u e v, tal como mostra a próxima figura. A área formada
por esses dois vetores, que possui a forma plana de um paralelogramo, é delimitada:
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Figura 2 - Paralelogramo formado pelos vetores u e v
Fonte: Adaptada de Thomas , 2008, p. 184.et al.
#PraCegoVer: a imagem mostra um paralelogramo cinza desenhado no plano cartesiano, em laranja. Em cima,
uma linha aponta para dentro do paralelogramo e mostra o desenvolvimento do cálculo área = base vezes a
altura. No centro da figura, está a fórmula para o cálculo da altura.
A norma do produto vetorial, nesse caso, dá a área da figura, de forma que:
Além disso, ressalta-se que, no cálculo do produto vetorial, pode ser necessário calcular o determinante
matricial, dada a matriz formada pelos vetores, como mostra a seguinte relação, para os vetores u e v:
Lembrando que o determinante de uma matriz com até 3 linhas pode ser calculado na mão com facilidade. Um
exemplo disso pode ser analisado na próxima figura, com o cálculo do determinante para uma matriz de
exemplo, com três linhas e três colunas:
Figura 3 - Apresentação do processo do cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem 3
Fonte: Elaborada pela autora, 2020.
#PraCegoVer: do lado esquerdo, há uma matriz chamada de A com três colunas e três linhas, sendo a11 a12 e
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#PraCegoVer: do lado esquerdo, há uma matriz chamada de A com três colunas e três linhas, sendo a11 a12 e
a13 na primeira linha, a21, a22 e a23 na segunda linha e a31, a32 e a33 na terceira linha. O determinante de A é
calculado a partir da expansão da matriz A, repetindo-se ao lado desta a primeira e a segunda coluna. Assim,
para o determinante, calcula-se: a11 vezes a22 vezes a33 mais a12 vezes a23 vezes a31 mais a13 vezes a21
vezes a32 menos a13 vezes a22 vezes a31 mais a11 vezes a23 vezes a32 mais a12 vezes a21 vezes a33. Do lado
direito, a matriz tem linhas verdes nas diagonais direitas e linhas laranjas nas diagonais esquerdas.
Nesse caso, foi utilizada a regra de Sarrus para uma matriz quadrada de ordem 3; entretanto, se fôssemos
trabalhar com matrizes maiores, poderíamos recorrer à ajuda de um computador ou de outros métodos mais
adequados, como o Teorema de Laplace.
Há, ainda, o , que, na prática, representa o cálculo do volume de um paralelepípedo formado, porproduto misto
exemplo, considerando agora a representação tridimensional no sistema cartesiano. Para tal, calcula-se:
Matricialmente, temos:
Você sabia?
Da mesma forma que o cálculo da área do paralelogramo formado, é possível ainda
utilizar análises semelhantes para calcular a área de um retângulo propriamente dito
ou de um triângulo. Nesse caso, é preciso se atentar à fórmula e ao tipo do triângulo.
Vamos Praticar!
Suponha que, para estimar o campo magnético estabelecido no entorno do condutor
durante o cálculo de carga em uma linha de transmissão, seja necessário transformar
as coordenadas para a correta representação vetorial. Assim, tem-se os seguintes
pontos no sistema cartesiano:
x = 0,5 e 1
y = 1 e 2
z = 0,5 e 4
Considerando que seja preciso passar esses pontos para o sistema de coordenadas
cilíndricas, o que você faria para a representação gráfica?
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A seguir, veremos a representação por meio de coordenadas cilíndricas, uma outra forma de se representar e
trabalhar vetorialmente, também válida para certos tipos de análises dentro de estudos de eletromagnetismo.
1.1.2 Representação em coordenadas cilíndricas e em coordenadas 
esféricas
O sistema de coordenadas cilíndricas pode ser definido para a simplificação do cálculo de integrais múltiplas, por
exemplo. Além disso, sabe-se que foi desenvolvido a partir do sistema de coordenadas polares (de duas
dimensões).
Para compreender as representações nas coordenadas cilíndricas e esféricas, analise as ilustrações dos gráficos a
seguir. Os pontos, nas coordenadas cilíndricas, são representados por r, θ e z; nas esféricas, são dados por ρ, θ e
ϕ:
Figura 4 - Representações nas coordenadas cilíndricas e esféricas
Fonte: Anton, Bivens e Davis, 2014, p. 832.
#PraCegoVer: do lado esquerdo, há um corte de um cilindro azul para a representação em coordenadas
cilíndricas, com setas de cor preta desenhadas a partir do meio da figura para representar o sistema xyz e uma
linha laranja no meio de duas das linhas. À direita, há um corte em uma esfera para a representação em
coordenadas esféricas, utilizando o sistema xyz tridimensional.
Considerando a representação de superfícies constantes, por exemplo, em coordenadas cilíndricas, tem-se,
similarmente às divisões em regiões distintas vistas para o sistema cartesiano, as três possibilidades a seguir
(ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014). Veja a seguir.
r = r0, um cilindro circular reto, com raio r0 e centrado no eixo z.
θ = θ0, um semiplano colado ao eixo z, de forma a fazer um ângulo θ0 com o eixo x positivo.
z = z0, um plano horizontal.
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z = z0, um plano horizontal.
Da mesma forma, porém agora com relação às coordenadas esféricas (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014):
ρ = ρ0, superfície que representa o conjunto de todos os pontos nos quais a distância da origem é ρ0;
θ = θ0, mesmo caso válido para as coordenadas cilíndricas;
ϕ = ϕ0, superfície que representa todos os pontos nos quais um dado segmento de reta até a origem forma um
ângulo com o eixo z positivo.
Além disso, considerando-se que o valor de ρ0 não seja negativo, isso se reflete em uma esfera de raio ρ0,
centrada na origem. Mais ainda, sabe-se que, dependendo se ocorre que 0 < ϕ0 < π/2 ou que π/2 < ϕ0 < π, tem-
se a folha de um cone, aberto para cima ou para baixo. Caso ϕ0 = π/2, então o cone será plano e a superfície
resultante será o próprio plano xy (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014).
Por fim, nesta parte, o quadro a seguir sintetiza todas as premissas para realizar a conversão entre os sistemas
de coordenadas vistos. Ele poderá ser necessário em diversos tipos de cálculos e análises na prática:
Quadro 1 - Conversão entre sistemas de coordenadas
Fonte: Adaptado de Anton, Bivens e Davis, 2014.
#PraCegoVer: trata-se de quadro com quatro linhas e três colunas que apresenta a conversão, fórmulas e
possíveis restrições. Na primeira linha, para converter coordenadas cilíndricas em retangulares, e vice-versa,
tem-se: x igual a r cosseno theta; y igual a r seno theta e z igual a z; r igual à raiz quadrada de x ao quadrado mais
y ao quadrado; tangente de theta igual a y sobre x e z igual a z. Para a conversão de coordenadas esféricas para
cilíndricas, e vice-versa: r igual a rhô senode phi; theta igual a theta; z igual a rhô cosseno de phi; rhô igual a raiz
quadrada de r ao quadrado mais z ao quadrado; theta igual a theta e tangente de phi igual a r sobre z. Para a
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quadrada de r ao quadrado mais z ao quadrado; theta igual a theta e tangente de phi igual a r sobre z. Para a
conversão de coordenadas esféricas em retangulares e vice-versa, tem-se: x igual a rhô seno de phi cosseno de
theta; y igual a rhô cosseno de phi seno de theta; z igual a rhô cosseno de phi; rhô igual a raiz quadrada de x ao
quadrado mais y ao quadrado mais z ao quadrado; tangente de theta igual a y sobre z e cosseno de phi igual a z
sobre a raiz quadrada de x ao quadrado mais y ao quadrado mais z ao quadrado. Por fim, as restrições são: r
maior ou igual a zero; rhô maior ou igual a zero; theta maior ou igual a zero e menor ou igual a 2 pi e phi maior
ou igual a zero e menor ou igual a pi.
Note, ainda, que o processo de conversão entre as coordenadas do sistema cartesiano, no plano de duas
dimensões (x, y), poderá ser retomado com relação à conversão em coordenadas polares (r, θ) para facilitar o
processo de conversão em coordenadas cilíndricas.
1.2 Gradiente, divergente e rotacional
Os cálculos do gradiente, do divergente e do rotacional de um dado campo vetorial são ferramentas largamente
utilizadas quando tratamos de estudos eletromagnéticos. Nesta parte da unidade, veremos como definir,
basicamente, um campo vetorial e, em seguida, como calcular o gradiente. Depois, estudaremos mais detalhes do
cálculo do divergente e do rotacional de um dado campo vetorial.
1.2.1 O campo vetorial – definições básicas
Uma função vetorial pode ser definida de forma genérica, considerando n e m dois números naturais e diferentes
de zero. Define-se então uma função f com n variáveis, definida em um subconjunto a partir do espaço real, tal
que:
Cada valor do conjunto é asociado a um único vetor . O
conjunto imagem da função f, matematicamente, é:
Vamos Praticar!
Suponha que, para estimar o campo magnético estabelecido no entorno do condutor
durante o cálculo de carga em uma linha de transmissão, seja necessário transformar
as coordenadas para a correta representação vetorial. Assim, tem-se os seguintes
pontos no sistema cartesiano:
x = 0,5 e 1
y = 1 e 2
z = 0,5 e 4
Considerando que seja necessário passar esses pontos para o sistema de coordenadas
cilíndricas, o que você faria para a representação gráfica?
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A função f será contínua se cada uma das coordenadas de f for uma função contínua com n variáveis em V. Além
disso, caso m = 1, o que implica que:
É possível dizer que f é um (LENARDUZZI, 2020). Um exemplo prático disso pode ser visto,campo escalar
considerando a função no plano e o espaço tridimensional, tal que: e f(u, v) = (x, y, z). As coordenadas
são dadas da seguinte forma:
Como apresentado no enunciado do exemplo, o domínio é todo o espaço R² e o contradomínio R³, de forma que,
quando se aplica a imagem, tem-se:
Assim, a imagem da função f coincidirá com o gráfico da seguinte função (LENARDUZZI, 2020):
A próxima figura apresenta a imagem da função f, utilizando o sistema cartesiano no qual ela está representada:
Figura 5 - Representação da imagem da função de exemplo
Fonte: Adaptada de MilanB, Shutterstock, 2020.
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#PraCegoVer: trata-se do desenho de um paraboloide com linhas de cor laranja desenhado no sistema
cartesiano, centrado em z na parte positiva.
Consideremos, então, que é um conjunto, tal que é uma transformação vetorial, de domínio e
contradomínio com as mesmas dimensões. Podemos pensar então que F é um campo de vetores, uma aplicação
que associa um vetor F(X) a cada ponto X = (x1,...,xn) de A, análogo ao comportamento de um campo vetorial de
forças sobre uma partícula no plano, por exemplo. Além disso, utiliza-se para representar um dado campo de
vetores. Se tem um campo vetorial em , define-se a norma desse campo em X como a
norma euclidiana do vetor, tal que:
Para um espaço bidimensional ou tridimensional, temos ainda uma representação especial para vetores da base,
que gera tanto o espaço R² quanto R³ (LENARDUZZI, 2020). Prova disso é que podemos reescrever o campo
vetorial com a seguinte notação, no caso do espaço tridimensional:
, 
A seguir, veremos mais detalhes a respeito do cálculo do gradiente e da definição de campo gradiente, ideias
bastante utilizadas no cálculo vetorial em análises dentro do eletromagnetismo.
1.2.2 Gradiente
O conceito de está diretamente ligado à taxa de variação de um campo escalar em relação à distância,gradiente 
medida em uma dada orientação considerando-se como ponto de referência um ponto qualquer P(x, y, z) no
sistema cartesiano (QUEVEDO; QUEVEDO-LODI, 2010). Tem-se, nesse caso, a ideia de derivada direcional.
Tomando como exemplo duas superfícies quaisquer, equipotenciais ou isotérmicas, por exemplo, note que é
possível definir a derivada direcional a partir do cálculo da razão entre a variação elementar dϕ, que é constante
entre as superfícies, e a distância elementar , a partir de um dado ponto P(x, y, z). Matematicamente, sabe-se
que:
Derivada direcional = 
Ou seja, há uma derivada para cada orientação. Entretanto, considerando-se que as distâncias são elementares,
quando analisamos próximo de P, sabemos que a tendência é que as superfícies pareçam paralelas, de maneira
que um triângulo retângulo é formado. Veja uma análise aproximada:
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Figura 6 - Entendendo o cálculo do gradiente
Fonte: Quevedo e Quevedo-Lodi, 2010, p. 5.
#PraCegoVer: a imagem mostra o desenho de duas superfícies lado a lado com um triângulo retângulo ligando
as duas. No meio da primeira superfície, do lado esquerdo, aparece um ponto P, a partir do qual é traçado um
triângulo retângulo, com seu ângulo mais agudo nesse ponto. Na parte inferior da superfície da esquerda,
aparece o símbolo de theta. Em cima do triângulo, entre as duas superfícies, há o símbolo da derivada direcional;
no meio do triângulo, aparece o símbolo de theta; embaixo do triângulo, distância elementar vezes cosseno de
theta. Na superfície da direita, o triângulo está tracejado; no canto inferior dela, está theta mais variação
elementar.
O cálculo da derivada direcional é definido, então, em seu valor máximo, como:
Derivada direcional máxima = 
Esse cálculo máximo é o próprio valor do gradiente máximo e, na forma vetorial, tem-se a seguinte relação:
Assim, percebemos que a derivada direcional é o componente do vetor gradiente em razão da direção, o que nos
permite definir:
Visualmente, teremos, nessa situação genérica, o seguinte vetor gradiente na superfície:
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Figura 7 - O gradiente com relação à superfície
Fonte: Quevedo e Quevedo-Lodi, 2010, p. 6.
#PraCegoVer: trata-se da imagem de uma superfície referente ao campo de theta. No meio da superfície,
aparece o ponto P, a partir do qual é definido o vetor gradiente G e G cosseno theta, que possui ângulo theta,
formando na ligação entre os dois vetores um triângulo retângulo.
Por fim, para calcular dentro do sistema de coordenadas cartesianas, é possível utilizar a relação a seguir, sendo
ainda que o vetor gradiente é muitas vezes representado pelo símbolo , o operador nabla:
O símbolo serve para denotar que o campo ϕ (theta) é função de três variáveis distintas e, dessa forma, temos
as derivadas parciais.
1.2.3 Divergente
O conceito de de um campo está ligado diretamente ao conceito de . O divergente foidivergente fluxo deste
criado para fazer a indicação dos possíveis pontos do espaço nos quais há a existência de fluxo – pontos nos
quais o campo passa, então, a se divergir. Fazendo uma analogia com o escoamento da água, por exemplo, o
divergente será sempre nulo, uma vez que, para qualquer volume, o fluxo de água que entra é o mesmo que sai.
Considerando, por outro lado, um ponto no espaço cuja carga elétrica seja positiva, sabe-se que o divergente é
positivo, porque as linhas de campo estarão nascendo dessa carga. Por fim, a definição do divergente de um
campo vetorial é dadapela razão entre o saldo de fluxo em um ponto e o volume deste, definindo assim a
densidade volumétrica do fluxo (QUEVEDO; QUEVEDO-LODI, 2010).
Para entender o cálculo, considere como exemplo um paralelepípedo no espaço cartesiano, como mostra a figura
a seguir. O campo vetorial é definido como e o elemento de volume é dxdydz. Para calcular o divergente
nesse caso, consideramos que o campo entra e sai do volume, mantendo-se o mesmo. Logicamente, o divergente
será nulo. Entretanto, caso esse campo não seja constante (o que é inclusive algo comum em análises práticas),
tem-se um saldo de fluxo:
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Figura 8 - Representação para a definição do cálculo do divergente
Fonte: Quevedo e Quevedo-Lodi, 2010, p. 11.
#PraCegoVer: trata-se da imagem de um paralelepípedo no sistema cartesiano tridimensional, sendo a face
frontal com o vetor Vx mais dVx e a de trás a esta com Vx de entrada nesta. Analogamente, a face lateral esquerda
tem entrada Vy e a direita Vy mais dVy; a face de baixo tem entrada Vz, sendo que a superior tem saída Vz mais
dVz.
A variação de cada componente pode ser calculada analogamente ao que definimos para o gradiente:
O saldo de fluxo entre as faces de área dxdz é:
A partir das faces de área dxdy, temos:
E, por fim, de áreas dydz:
O fluxo elementar desse caso é dependente do volume, tal que:
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O fluxo elementar desse caso é dependente do volume, tal que:
Ao dividirmos o resultado deste pelo volume, para que tenhamos a análise do ponto de referência, o resultado
será:
Por fim, note que o divergente trata de um conceito mais local, capaz de indicar a localidade na qual existe o
campo. De forma análoga, por outro lado, define-se o (também conhecido como teorema da divergência Lei de
) para fornecer uma ideia mais integral, indicando que todo fluxo nasce a partir do interior de um volumeGauss
(QUEVEDO; QUEVEDO-LODI, 2010), tal que:
Sendo S é a área da superfície analisada. Na prática, o lado esquerdo da equação reflete que o divergente será
calculado para todos os pontos em uma dada região de análise do campo. Multiplica-se o resultado pelo
elemento infinitesimal do volume de cada ponto, e estes resultados são somados. Já do outro lado, pela integral
de superfície, temos que os fluxos que nascem em todos os pontos do volume analisado são somados.
A seguir, para entrarmos efetivamente nos primeiros conceitos aplicados ao eletromagnetismo, veremos como o
rotacional pode ser calculado.
1.2.4 Rotacional
O é, na prática, uma medida referente à máxima circulação elementar de um campo vetorial em tornorotacional 
de um dado ponto de análise (QUEVEDO; QUEVEDO-LODI, 2010). Para entender como definir esse parâmetro,
analise a figura apresentada a seguir. Supondo que a máxima circulação elementar esteja no plano vertical,
sabemos que o rotacional é definido por um vetor ortogonal, como na regra da mão direita, na qual os dedos se
referem à circulação do campo e o polegar ao próximo rotacional:
Você o conhece?
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) foi um dos maiores matemáticos e físicos a
contribuir com diversas áreas, como a geometria diferencial e a própria eletrostática.
Além disso, Gauss era astrônomo e também forneceu enormes contribuições válidas à
astronomia até então. Sem dúvida alguma, com relação à física e à eletrostática, a Lei
de Gauss merece destaque. Ela é capaz de correlacionar o fluxo elétrico por meio de
uma superfície fechada e a quantidade de carga no volume limitado por essa mesma
superfície.
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Figura 9 - Representação para o cálculo do rotacional
Fonte: Quevedo e Quevedo-Lodi, 2010, p. 17.
#PraCegoVer: trata-se de um desenho que mostra a circulação possível de um dado campo vetorial (sentido
anti-horário e visualização frontal e alinhada), considerando ainda a inclinação deste em theta (analisando pela
frente da direita para a esquerda), mostrando que o rotacional também acompanha, com inclinação no vetor em
theta. São dois círculos justapostos com parte deles cinza. No meio deles, um triângulo retângulo se forma.
A seguinte relação é válida, considerando-se a inclinação da área em graus, de forma que a componente do
rotacional estará na direção n:
Note que a circulação elementar em torno do ponto é máxima, caso o ângulo seja nulo. Considerando as
definições para cada um dos planos, assim como fizemos para o divergente, e a representação no sistema
cartesiano (veja a próxima figura), obtém-se a seguinte equação para o cálculo do rotacional:
Você quer ler?
O aprendizado acerca do campo elétrico e com relação ao campo magnético pode
acontecer a partir de uma perspectiva histórica e também prática, desde o ensino
médio. Para aprofundar seus conhecimentos a respeito desses assuntos e ter um
panorama histórico da física, sugerimos a leitura do artigo Uma proposta para ensinar
. Cliqueos conceitos de campo elétrico e magnético: uma aplicação da história da física
no botão a seguir e aproveite a leitura.
Acesse
https://www.scielo.br/pdf/rbef/v24n4/a16v24n4.pdf
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Sabe-se que, em todos os pontos do espaço nos quais o rotacional existe, há circulação de campo. A figura a
seguir nos ajuda na análise ao utilizar como base o sistema cartesiano:
Figura 10 - Rotacional no sistema cartesiano
Fonte: Quevedo e Quevedo-Lodi, 2010, p. 18.
#PraCegoVer: sistema cartesiano com uma superfície retangular no plano yz (partes positivas), sendo que o
rotacional do campo acompanha o sentido positivo do eixo x, com o vetor apontando nesse sentido. Aparecem
também ilustrados os crescimentos de Vy mais dVy no sentido positivo do eixo y e de Vz e Vz mais dVz no
sentido positivo do eixo z
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(Atividade não pontuada)
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1.3 Campos de distribuições contínuas de cargas
Agora, veremos, inicialmente, mais detalhes acerca da definição do vetor intensidade do campo elétrico. Em
seguida, estudaremos exemplos de distribuições de carga contínuas, analisando as possibilidades mais básicas.
Vamos lá?
1.3.1 Campo elétrico
Formalmente, define-se que o está diretamente ligado à existência de uma (forçacampo elétrico força elétrica 
de Coulomb), agindo diretamente em qualquer tipo de carga estacionária que seja colocada no espaço analisado.
Além disso, observa-se que esse campo compreende em um “[…] estado físico especial existente em um espaço
em torno de objetos carregados” (NOTAROS, 2012, p. 24).
Para definir esse campo, utilizamos o vetor intensidade do campo elétrico, uma grandeza vetorial, que, como
sabemos, é dada pela força elétrica em uma carga pontual, para teste, imersa nesse campo, de carga Q (esta
tende, na prática, a zero, para que não interfira na distribuição de cargas estabelecida pela fonte do campo
elétrico):
Caso a carga esteja imersa em um espaço pontual livre, a uma distância R da fonte desse campo, o vetor
intensidade pode ser definido como:
Vamos Praticar!
Suponha que, ao analisar um dado campo elétrico estabelecido no exterior de uma
linha de distribuição de energia elétrica, você percebe que é necessário estimar se
existem linhas de campo, de fato, em um dado ponto de interesse. Considerando que o
ponto é (1, 2, 3) no espaço cartesiano e que o campo vetorial é dado por 
, qual seria uma possível análise para identificar se existe campo
no ponto? Qual resultado você obteve?
Você quer ver?
Para o cálculo do campo elétrico, é necessário entender alguns conceitos mais básicos
acerca da eletrostática, que servirão de base daqui em diante. Então, sugerimos que
você assista a um resumo do assunto, disponível no ícone a seguir. Observe com
atenção e aproveite.
Acesse
https://www.youtube.com/watch?v=TYQsxDVTH3Y
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 é o vetor unitário ao longo da distância R, estabelecido entre a origem do campo e a carga de teste, e é a
permeabilidade do meio analisado. Caso haja diversas outras influências, a intensidade resultante no ponto de
análise pode ser definida pela seguinte relação:
1.3.2 Distribuições contínuas de carga
Uma carga pontual é, na prática, um dos tipos de distribuição de cargas mais simples,visto que as cargas
poderão estar distribuídas ao longo de uma linha de transmissão ou em um volume ou área qualquer.
Com relação à distribuição volumétrica de cargas, temos:
A distribuição superficial, por sua vez, é dada por:
Considerando, por outro lado, que a densidade de carga esteja distribuída ao longo de uma linha, estabelecemos
que:
Caso o nosso desejo seja calcular a carga total atribuída a cada uma dessas possibilidades básicas de distribuição,
definimos que:
Caso
O campo elétrico está presente, basicamente, onde há força elétrica e alguma carga elétrica. O
funcionamento de dispositivos importantes, como é o caso dos capacitores, pode ser analisado a partir
desse campo. Assim, considere um capacitor de placas paralelas, que faz parte de um sensor capacitivo.
O campo elétrico estabelecido nesse caso pode ser calculado como E = V/d, dependendo da distância
entre as placas do capacitor (d) e da diferença de potencial entre elas (V). Esse tipo de sensor pode
funcionar a partir da detecção de proximidade e, alterando-se o dielétrico, através da alteração da
distância entre as placas ou mesmo do meio entre estas, varia-se o campo elétrico e,
consequentemente, também a capacitância.
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(Atividade não pontuada)
Essas distribuições típicas de cargas são apresentadas na imagem a seguir. Caso a densidade de cargas se
mantenha constante ao longo das distribuições, não só o cálculo será simplificado a partir da integral, mas
também é preciso pontuar que ela pode ser, sim, uma situação prática:
Figura 11 - Diferentes distribuições de cargas, mais comuns na prática, para aproximação de cálculos
Fonte: Adaptada de Notaros, 2012, p. 25.
#PraCegoVer: na parte superior do lado esquerdo, dentro de uma figura disforme, há um cubo que representa
um volume qualquer de distribuição de cargas, sem forma predefinida, demonstrando-se dQ e dV. Do lado direito
na parte superior, um quadrado de bordas tortas representa um plano, no qual é desenhado um quadrado e
demonstra-se a carga elementar dQ e a unidade elementar da área dS. Por fim, na parte de baixo, há a
distribuição de carga através de uma linha, referente a Q’. Essa linha é de comprimento l, na qual demonstra-se
um curto trecho para análise com dQ; o trecho é de comprimento dl.
Assim, se as densidades forem mantidas constantes, as equações apresentadas anteriormente se tornam estas:
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Assim, se as densidades forem mantidas constantes, as equações apresentadas anteriormente se tornam estas:
Com as densidades constantes, é possível definir, ainda, as cargas em função das unidades de comprimento.
Conclusão
A base para que consigamos entender os mais diferentes fenômenos eletromagnéticos práticos, que inclusive
permitem o funcionamento e o desenvolvimento de diversos equipamentos que fazem parte de nosso cotidiano,
fundamenta-se em certos conhecimentos físicos e matemáticos.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
• rever os diferentes tipos de representações em coordenadas, retangulares, cilíndricas e esféricas;
• conhecer os cálculos de parâmetros matemáticos que denotam relações importantes, como o gradiente, 
o divergente e o rotacional;
• aprender mais detalhes acerca dos campos de distribuição contínua de carga por meio de relações, como 
a Lei de Coulomb e a Lei de Gauss.
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. . 10. ed. São Paulo: Bookman,Cálculo
2014. v. 2.
CAMPO ELÉTRICO: APRENDA DEFINITIVAMENTE. [ .], 10 abr.S. l.: s. n
2019. 1 vídeo (26 min). Publicado pelo canal Física com Douglas
Gomes. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?
. Acesso em: 5 dez. 2020.v=TYQsxDVTH3Y
LENARDUZZI, F. N. . Curitiba:Introdução ao cálculo vetorial
Vamos Praticar!
Considere que, em uma dada superfície em uma subestação, há uma esfera imersa em
um campo elétrico. Sabe-se que a esfera possui raio e a densidade volumétrica dea
carga é dada pela seguinte função:
, para 0 ≤ r < a
Qual é a carga total dessa esfera?
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https://www.youtube.com/watch?v=TYQsxDVTH3Y
https://www.youtube.com/watch?v=TYQsxDVTH3Y
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LENARDUZZI, F. N. . Curitiba:Introdução ao cálculo vetorial
Intersaberes, 2020.
MAGALHÃES, M. de F.; SANTOS, W. S.; DIAS, P. M. C. Uma proposta
para ensinar os conceitos de campo elétrico e magnético: uma aplicação da história da física. Revista Brasileira
, São Paulo, v. 24, n. 4, 2002. Disponível em: de Ensino de Física https://www.scielo.br/pdf/rbef/v24n4
. Acesso em: 5 dez. 2020./a16v24n4.pdf
NOTAROS, B. . São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012.Eletromagnetismo
QUEVEDO, C.; QUEVEDO-LODI, C. . São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.Ondas eletromagnéticas
THOMAS, G. B. . . São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. v. 2.et al Cálculo
https://www.scielo.br/pdf/rbef/v24n4/a16v24n4.pdf
https://www.scielo.br/pdf/rbef/v24n4/a16v24n4.pdf
	Introdução
	1.1 Vetores em coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas
	1.1.1 Representação em coordenadas retangulares e análise vetorial
	Adição
	Subtração
	Multiplicação
	Você sabia?
	Vamos Praticar!
	1.1.2 Representação em coordenadas cilíndricas e em coordenadas esféricas
	Vamos Praticar!
	1.2 Gradiente, divergente e rotacional
	1.2.1 O campo vetorial – definições básicas
	1.2.2 Gradiente
	1.2.3 Divergente
	Você o conhece?
	1.2.4 Rotacional
	Você quer ler?
	Teste seus conhecimentos
	Vamos Praticar!
	1.3 Campos de distribuições contínuas de cargas
	1.3.1 Campo elétrico
	Você quer ver?
	1.3.2 Distribuições contínuas de carga
	Caso
	Teste seus conhecimentos
	Vamos Praticar!
	Conclusão
	Referências