Lista 5 DependenciaBase

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Quinta lista de exerc´ıcios - A´lgebra Linear
04/04/2016
Prof. Fa´bio A. Matos
Assunto: Dependeˆncia linear, base e dimensa˜o.
1. Verifique se sa˜o linearmente independentes os seguintes subconjuntos de R3.
(a) {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}
(b) {(0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 1, 0)}
(c) {(1, 1, 1), (1, 2, 1), (3, 2,−1)}
2. Considere C([0, 1]) o conjunto das func¸o˜es reais cont´ınuas com domı´nio [0, 1]. Mostre que
{1, ex, e2x} e´ um subconjunto linearmente independente de C([0, 1]).
3. Se {v, u, w} e´ um subconjunto l.i. de um espac¸o vetorial V, mostre que {u, u+v, u+v+w}
e´ tambe´m l.i.
4. Suponha que {v1, . . . , vn} e´ um subconjunto l.i. de um espac¸o vetorial V . Mostre que se
a1, . . . , an ∈ R sa˜o todos na˜o nulos, enta˜o {a1 · v1, . . . , an · vn} e´ tambe´m um subconjunto
l.i. de V .
5. Encontre uma base e a dimensa˜o dos seguintes subespac¸os vetoriais:
(a) U = {(x, y, z) ∈ R3; x− y = 0}.
(b) V = {(x, y, z, t) ∈ R4; x− y = 0 e x + 2y − t = 0}.
(c) W = {(x, y, z, t) ∈ R4; x + z = 0 e x + y + t = 0}.
(d) V ∩W e V + W, onde V e W sa˜o os subespac¸os de (b) e (c).
6. Encontre uma base e a dimensa˜o do conjunto soluc¸a˜o de cada um dos seguintes sistemas
lineares.
(a)

x− y = 0
2x− 3y = 0
3x− 1
2
y = 0
(b)

x− y + z = 0
2x− y − 2z = 0
x− 1
2
y + 2z = 0
7. Determine uma base de R4 que contenha (1, 1, 1, 0) e (1, 0, 1, 0).
8. Existe algum a ∈ R tal que {(a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a)} seja uma base de R3?
Bons estudos!!!