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UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO - UFMA
Professora: Renata de Farias Limeira Carvalho
Lista de exerćıcios
1. No conjunto V = {(x, y)|x, y ∈ R} definamos “adição” assim:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0)
e multiplicação por escalares como no R2, ou seja, para cada a ∈ R,
a(x, y) = (ax, ay).
Nessas condições, V é um espaço vetorial sobre R? Por quê?
2. No conjunto V do exerćıcio anterior definamos a “adição” como o fazemos habitualmente no R2 e a
multiplicação por escalares assim:
a(x, y) = (ax, 0).
Nessas condições, V é um espaço vetorial sobre R? Por quê?
3. Seja V o conjunto dos pares ordenados de números reais. V não é uma espaço vetorial em relação a
nenhum dos dois seguintes pares de operações sobre V :
a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e a(x1, y1) = (x, ay), e
b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1) e a(x, y) = (ax, ay).
Diga em cada caso quais dos 8 axiomas não se verificam.
4. Seja V como no exerćıcio anterior. Definamos
(x1, y1) + (x2, y2) = (2x1 − 2y1,−x1 + y1),
,
a(x, y) = (3ay,−ax).
Com essas operações definidas sobre V , perguntamos se este conjunto é um espaço vetorial sobre R.
5. Seja V = {(x, y), x, y ∈ C}. Mostrar que V é um espço vetorial sobre R com a adição e a multiplicação
por escalares definidas assim:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2),∀(x1, y1) e (x2, y2) ∈ V
e
a(x, y) = (ax, ay), ∀a ∈ R e ∀(x, y) ∈ V
6. Seja R∞ = {(x1, x2, ...)|xi ∈ R}. Considerando sobre R∞ as operações dadas por (x1, x2, ...) +
(y1, y2, ...) = (x1 + y1, x2 + y2, ...) e a(x1, x2, ...) = (ax1, ax2, ...), mostrar que R∞ é um espaço ve-
torial sobre R.
7. No espaço vetorial M2×2(R), consideremos os vetores:
A =
 1 10 0
0 0
 B =
 0 12 1
1 1
 C =
 1 21 0
0 −1

(a) Calcule 2A + B − 3C;
(b) Calcule X ∈M2×2(R) tal que
A + X
2
− X −B
3
= C;
1
(c) Existem t1, t2 ∈ R de maneira que A = t1B + t2C?
8. Seja u = (1 + i, i), v = (1− i, 2i) e w = (2, 3 + i) vetores no espaço vetorial C2.
(a) Calcule (3 + i)u− iv − (2− 1)w;
(b) Existe z ∈ C de maneira que v = zu?
9. Resolver o sistema de equações:
x + y + z = u
2x− y + z = v
x + y − 2z = w
nas incógnitas x, y, z ∈ R2, sabendo que u = (1, 1), v = (3,−2) e w = (3,−2).
10. Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são sub-espços do R3?
(a) W = {(x, y, z) ∈ R3|x = 0}
(b) W = {(x, y, z) ∈ R3|x ∈ Z}
(c) W = {(x, y, z) ∈ R3|x− 3z = 0}
(d) W = {(x, y, z) ∈ R3|ax + by + cz = 0, com a, b, c ∈ R}
11. Quais dos seguintes conjuntos abaixo são sub-espaaços do espaço P (R) de todos os polinômios reais?
(a) W = {f(t) ∈ P (R)|f(t) tem grau maior do que 2}
(b) W = {f(t) ∈ P (R)|f(0) = 2f(1)}
(c) W = {f(t) ∈ P (R)|f(t) > 0,∀t ∈ R}
12. Verifique que não são sub-espaços vetoriais do R3:
(a) {(x, y, z) ∈ R3|x = 1}
(b) {(x, y, z) ∈ R3|x2 + y + z = 0}
(c) {(x, y, z) ∈ R3|x ≤ y ≤ z}
13. Seja I = [0, 1]. Verifique se são sub-espaços vetoriais e C(I) (funções cont́ınuas de I em R):
(a) {f(t) ∈ C(I)|f(0) = 0)}
(b) {f(t) ∈ C(I)|
∫ 1
0 f(t)dt = 0}
(c) {f(t) ∈ C(I)|f(0) = f(1)}
14. Mostre que a interseção de dois sub-espaços vetoriais de um espaço vetorial V é um sub-espaço vetorial
de V .
15. Uma matriz A ∈ Mn(R) é anti-simétrica quando At = −A. Mostre que o conjunto das matrizes
anti-simétricas é um sub-espaço vetorial de Mn(R).
16. Sejam U, V e W os seguintes sub-espaços de R3:
U = {(x, y, z)|x = z}
V = {(x, y, z)|x = y = 0}
W = {(x, y, z)|x + y + z = 0}
Verifique que U + V = R3, U + W = R3 e V + W = R3 Em algum dos casos a soma é direta?
17. Mostre que os polinômios 1− t, (1− t)2, (1− t)3 e 1 geram P3(R).
18. Dê um sistema de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços de R3:
2
(a) {(x, y, z) ∈ R3|x− 2y = 0}
(b) {(x, y, z) ∈ R3|x + z = 0 e x− 2y = 0}
(c) {(x, y, z) ∈ R3|x + 2y − 3z = 0}
(d) U ∩ V
(e) V + W
19. Mostre com um exemplo que a união de dois sub-espaços vetoriais de um mesmo espaço vetorial não
precisa ser um sub-espaço.
20. Quais dos seguintes conjuntos abaixo do R3 são linearmente independentes:
(a) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
(b) {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 0,−2)}
(c) {(0, 0, 0), (1, 2, 3), (4, 1,−2)}
(d) {(1, 1, 1), (1, 2, 1), (3, 2,−1)}
(e) V + W
21. Verifique se o subconjunto de P4(R) é linearmente independente {1, x− 1, x2 + 2x + 1, x2}.
22. Verifique se o conjunto {(0, 1, 0), (1 + i, 2, 0), (3, 1, 0)} de C3 é L.I. sobre C.
23. Demontre que o conjunto {1, ex, e2x} de vetores de C([0, 1]) é L.I.
24. Suponha que {v1, v2, ..., vn} é um subconjunto L.I. de um espaço vetorial. Mostre que {a1v1, a2v2, ..., anvn}
também é L.I., desde que os escalares aj sejam todos não nulos.
25. Encontre uma base e a dimensão do sub-espaço W de R4, onde {(x, y, z, t) ∈ R4|x−y = y e x−3y+t =
0}.
26. No espaço vetorial R3 consideremos os seguintes sub-espaços:
U = {(x, y, z)|x = 0}, V = {(x, y, z)|y − 2z = 0} e W = [(1, 1, 0), (0, 0, 2)].
Determine uma base e a dimensão de cada um dos seguintes sub-espaços: U, V,W,U ∩ V, V + W e
U + V + W .
27. Determine uma base e a dimensão do espaço solução de cada um dos seguintes sistemas lineares
homogêneos:
a)

x− y = 0
2x− 3y = 0
3x + 12y = 0
b)

x + y + z = 0
2x− y − 2z = 0
x + 4y + 5z = 0
c)

2x− 2y + z = 0
3x− y + 3z = 0
3y + 4z = 0
d)

x− y − z − t = 0
3x− y + 2z − 4t = 0
2y + 5z + t = 0
28. Mostre que as matrizes
(
1 1
0 0
)
,
(
2 1
0 0
)
,
(
0 1
1 0
)
e
(
0 0
0 2
)
formam uma base de
M2(R).
29. Determine uma base de R4 que contenha os seguintes vetores (1, 1, 1, 0), (1, 1, 2, 1).
30. Para que valores de a ∈ R o seguinte conjunto é uma base de R3?
B = {(a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a)}
3
31. Determine as coordenadas do vetor u = (4,−5, 3) ∈ R3, em relação às seguintes bases:
a) canônica;
b) {(1, 1, 1), (1, 2, 0), (3, 1, 0)};
c) {(1, 2, 1), (0, 3, 2), (1, 1, 4)}
32. Determine as coordenadas de 1− 2i ∈ C em relação à seguinte base de C sobre R: {1− i, 1 + i}.
33. Determine as coordenadas do polinômio t3 em relação à seguinte base de P3(R): {1, 2−t, t2+1, 1+t+t3}.
34. A matriz mudaça de uma base B do R2 para a base {(1, 1), (0, 2)} desse mesmo espaço é
(
1 0
2 3
)
.
Determine a base B.
35. Considere o seguinte sub-espaço vetorial de M2(R):
U =
{(
x y
z t
)
| x− y − z = 0
}
a) Mostre que os seguintes subconjuntos de M2(R) são bases de U :
B =
{(
1 1
0 0
)
,
(
1 0
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
e C =
{(
1 0
1 0
)
,
(
0 −1
1 0
)
,
(
0 0
0 1
)}
b) Ache a matriz de mudança de base de B para C e a de C para B.
c) Achar uma base D de U , de tal forma que a matriz de mudança de D para B seja 1 1 00 0 2
0 3 1
 .
4