Álgebra Linear: Subespaços Vetoriais e Sistemas Lineares

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Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - CCE
Departamento de Matemática
MAT 137 (PER) - Introdução à Álgebra Linear
1a Prova (GAB1) - 31/10/2020
Nome: Matŕıcula: Turma:
Todas as respostas devem ser justificadas! BOA PROVA!
1. (8 pontos) Sejam
U =
{
at2 + bt + c ∈ P2(R) ; a + 2b− c = 0
}
e W =
{
at2 + bt + c ∈ P2(R) ; a + 4b = 0
}
subespaços vetoriais de P2(R). Determine:
(a) uma base e a dimensão de U .
(b) uma base e a dimensão de W .
(c) uma base e a dimensão de U ∩W .
(d) uma base U + W . U + W = P2(R)? Justifique sua resposta.
Resolução. (a) O polinômio p(t) = at2 + bt + c ∈ P2(R) pertence a U se, e só se,
p(t) = at2 + bt + a + 2b︸ ︷︷ ︸
= c
= a(t2 + 1) + b(t + 2) = ap1(t) + bp2(t),
ou seja, se, e só se, p(t) é uma combinação linear de p1(t) = t
2 + 1 e p2(t) = t+ 2. Assim, o conjunto
BU = {p1(t), p2(t)} gera U e é linearmente independente, pois os vetores não são múltiplos escalares
um do outro. Logo BU é base de U e dimU = 2.
(b) O polinômio p(t) = at2 + bt + c ∈ P2(R) pertence a W se, e só se,
p(t) = −4b︸︷︷︸
=a
t2 + bt + c = b(−4t2 + t) + c · 1 = bp3(t) + cp4(t),
ou seja, se, e só se, p(t) é uma combinação linear de p3(t) = −4t2 + t e p4(t) = 1. Como o conjunto
BW = {p3(t), p4(t)} gera W e é linearmente independente, pois os vetores não são múltiplos escalares
um do outro, BW é base de W . Temos que dimW = 2.
(c) O polinômio p(t) = at2 + bt + c ∈ P2(R) pertence a U ∩W se, e só se,{
a + 2b− c = 0
a + 4b = 0
∼
{
2b + c = 0
a + 4b = 0
ou seja, se, e só se, p(t) = −4bt2 + bt−2b = b(−4t2 + t−2). Como o conjunto BU∩W = {−4t2 + t−2}
gera U ∩W e é linearmente independente, BU∩W é base de U ∩W . Temos que dimU ∩W = 1.
(d) Como dimP2(R) = 3,
dim(U + W ) = dimU + dimW − dimU ∩W = 2 + 2− 1 = 3
e U + W é um subespaço vetorial de P2(R), conclúımos que U + W = P2(R). Um exemplo de base
para U + W é a base canônica {1, t, t2}.
2. (8 pontos) Considere o conjunto S = {v1 = (−1, 2, 3) , v2 = (2,−1, 1) , v3 = (4, 1, 9)}.
(a) Determine condições sobre a, b e c de modo que v = (a, b, c) pertença ao subespaço [S], onde
[S] representa o conjunto de todas as combinações lineares dos elementos de S.
(b) O vetor (1, 1, 4) ∈ [S]? Em afirmativo, escreva esse vetor como combinação linear de v1, v2 e
v3.
(c) Determine uma base e a dimensão de [S].
(d) Se [S] 6= R3, complete a base de [S] encontrada no item (c) de modo a formar uma base de R3,
justificando sua resposta.
Resolução. (a) O vetor v = (a, b, c) ∈ R3 pertence a [S] = [v1, v2, v3] se, e só se, existirem escalares
x, y, z tais que
v = xv1 + yv2 + zv3 ⇔ (a, b, c) = (−x + 2y + 4z, 2x− y + z, 3x + y + 9z) (1)
ou, equivalentemente, {
−x+ 2y + 4z = a
2x− y + z = b
3x+ y + 9z = c
(2)
Para resolver o sistema acima usamos o método de Gauss. Como[
−1 2 4
2 −1 1
3 1 9
∣∣∣∣∣ abc
]
L2 → L2 + 2L1−−−−−−−−−−−→
L3 → L3 + 3L1
[
−1 2 4
0 3 9
0 7 21
∣∣∣∣∣ ab+ 2ac+ 3a
]
L1 → −L1
L2 → 12L2−−−−−−−→
L3 → L3 − 73L2
[
1 −2 −4
0 1 3
0 0 0
∣∣∣∣∣ −ab+2a3−5a−7b+3c
3
]
(3)
para que o sistema (2) tenha solução é necessário e suficiente que pA = p = 2, ou seja, os escalares
a, b e c devem satisfazer a equação 5a + 7b− 3c = 0.
(b) O vetor (1, 1, 4) ∈ [S], pois 5 · 1 + 7 · 1 − 3 · 4 = 0. Fazendo a = b = 1 e c = 4 em (1)-(2)-(3)
obtemos [
−1 2 4
2 −1 1
3 1 9
∣∣∣∣∣ 114
]
∼
[
1 −2 −4
0 1 3
0 0 0
∣∣∣∣∣ −110
]
∼
[
1 0 2
0 1 3
0 0 0
∣∣∣∣∣ 110
]
(4)
o que implica em a = 1− 2c, b = 1− 3c, c ∈ R. Para c = 1, obtemos a = 3 e b = −2 e substituindo
em (1) resulta que
(1, 1, 4) = 3v1 − 2v2 + v3.
(c) Como [S] = {(a, b, c) ∈ R3; 5a + 7b− 3c = 0} segue que
[S] =
{(
a, b,
5a + 7b
3
)
; a, b ∈ R
}
=
{
a
3
(3, 0, 5) +
b
3
(0, 3, 7) ; a, b ∈ R
}
= [(3, 0, 5) , (0, 3, 7)] .
O conjunto BS = {(3, 0, 5) , (0, 3, 7)} gera [S] e é linearmente independente, pois os vetores não são
múltiplos escalares um do outro. Portanto, BS é base de [S], dim[S] = 2.
(d) Como (0, 0, 1) ∈/[S] pois 5 · 0 + 7 · 0− 3 · 1 = −3 6= 0, o conjunto
B = BS ∪ {(0, 0, 1)} = {(3, 0, 5) , (0, 3, 7) , (0, 0, 1)}
é linearmente independente. Como dimR3 = 3, B gera R3 e, portanto, é base de R3.
3. (6 pontos) Considere o sistema linear
− x + 3y + 2 a z = d
3x − 7y + b z = a
2x − 4y + 3 c z = a + d
− x + y + (−4a− b)z = b
(5)
em que a,b, c,d são números reais.
a) Determine condições (caso existam) sobre a,b, c,d para que o sistema linear (5) seja
a.1) incompat́ıvel.
a.2) compat́ıvel e determinado.
a.3) compat́ıvel e indeterminado.
b) Se a = b = c = 1 e d = −1, determine o conjunto solução do sistema (5).
Resolução. (a) Vamos usar o método de Gauss para responder às questões colocadas. Temos −1 3 2a3 −7 b2 −4 3c
−1 1 −4a− b
∣∣∣∣∣∣∣
d
a
a+ d
b
 L2 → L2 + 3L1−−−−−−−−−−−→L3 → L3 + 2L1
L4 → L4 − L1
 −1 3 2a0 2 6a+ b0 2 4a+ 3c
0 −2 −6a− b
∣∣∣∣∣∣∣
d
a+ 3d
a+ 3d
b− d
 (6)
L1 → −L1
L2 → 12L2−−−−−−−→
L3 → L3 − L2
L4 → L4 + L2
 1 −3 −2a0 1 6a+b20 0 −2a− b+ 3c
0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣
−d
a+3d
2
0
a+ b+ 2d

(a.1) Para que o sistema seja incompat́ıvel devemos ter pA 6= pÂ, ou seja, a + b + 2d 6= 0.
(a.2) Para que o sistema seja compat́ıvel e determinado é necessário que pA = p = 3, ou seja,
a + b + 2d = 0 e − 2a− b + 3c 6= 0.
(a.3) Para que o sistema seja compat́ıvel e indeterminado é necessário que pA = p = 2, ou seja,
a + b + 2d = 0 e − 2a− b + 3c = 0
(b) Considerando a = b = c = 1 e d = −1 no sistema (5) e em (6) e usando o método de Gauss
Jordan obtemos −1 3 23 −7 12 −4 3
−1 1 −5
∣∣∣∣∣∣∣
−1
1
0
1
 ∼
 1 −3 −20 1 720 0 0
0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣
1
−1
0
0
 ∼
 1 0
17
2
0 1 72
0 0 0
0 0 0
∣∣∣∣∣∣∣
−2
−1
0
0
.
Portanto, o conjunto solução do sistema é S =
{
(−2− 17
2
z, −1− 7
2
z, z); z ∈ R
}
.
4. (3 pontos) Decida se as afirmações dadas são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com
um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(a) W = {at3 + bt2 + ct + d ; a− b ≥ 0, a, b, c, d ∈ R} é um subespaço vetorial do espaço P3(R).
(b) S =
{[
0 1 0
−1 0 0
0 0 0
]
,
[
0 0 −1
0 0 0
1 0 0
]
,
[
0 0 0
0 0 1
0 −1 0
]}
gera o subespaço de M3 (R) formado por
todas as matrizes anti-simétricas.
Resolução. (a) Falsa. O polinômio p(t) = 2t3 + t2 pertence ao conjunto W , pois a − b =
2 − 1 = 1 ≥ 0, mas o polinômio (−1)p(t) = −2t3 − t2 não pertence a esse conjunto uma vez que
a− b = −2 + 1 = −1 < 0. Logo, W não é um subespaço vetorial de P3 (R) pois não é fechado para
a multiplicação por escalar.
(b) Verdadeira. Se A = [aij]3×3 é uma matriz anti-simética, então A = −AT e isso implica em
aii = 0 e aji = −aij para i, j = 1, 2, 3. A igualdade
A =
[
0 a12 a13
−a12 0 a23
−a13 −a23 0
]
= a12
[
0 1 0
−1 0 0
0 0 0
]
+ (−a13)
[
0 0 −1
0 0 0
1 0 0
]
+ a23
[
0 0 0
0 0 1
0 −1 0
]
mostra que a matriz A é uma combinação linear dos vetores de S, ou seja, A ∈ [S] e que toda
combinação linear dos vetores de S é uma matriz anti-simétrica. Logo, [S] é o subespaço vetorial
das matrizes anti-simétrica de ordem 3.