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1a Questão (Ref.: 201202230045) Pontos: 0,0 / 1,5 Seja a função definida por f(x)= x3 - 3x - 2. Encontre a fórmula iterativa do método de Newton-Raphson para a determinação de raízes reais da equação f(x) = 0: DADO: Xn+1 = Xn - f(xn)/f´(xn), em que f´(x) é a derivada de f(x) Resposta: Gabarito: xk +1 = xk - (x3- 3x - 2)/(3x2 -3) Fundamentação do(a) Professor(a): Em branco. 2a Questão (Ref.: 201202229973) Pontos: 0,5 / 0,5 No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos: não há diferença em relação às respostas encontradas. no método direto o número de iterações é um fator limitante. os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema. o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir. o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não. 3a Questão (Ref.: 201202694455) Pontos: 0,0 / 1,5 A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que desejemos fazer a interpolação utilizando o método de Lagrange dos seguintes pontos A (0,1), B(1,-1) e C(-1, 5). Resposta: Gabarito: P(x) = x2 -3x + 1 Fundamentação do(a) Professor(a): Em branco. 4a Questão (Ref.: 201202693159) Pontos: 0,0 / 0,5 Sejam os vetores u, v e w no R3. Considere ainda o vetor nulo 0. É incorreto afirmar que: u + v = v + u u + 0 = u u.v = v.u (u + v) + w = u + (v + w) u x v = v x u 5a Questão (Ref.: 201202198471) Pontos: 0,5 / 0,5 Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um experimento tecnológico de sua empresa. Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e (2,6). Com base no material apresentado acerca do Método de Lagrange, tem-se que a função M0 gerada é igual a: (x2 + 3x + 2)/3 (x2 + 3x + 2)/2 (x2 - 3x - 2)/2 (x2 - 3x + 2)/2 (x2 + 3x + 3)/2 6a Questão (Ref.: 201202693167) Pontos: 0,0 / 0,5 A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado: De truncamento Percentual De modelo Absoluto Relativo 7a Questão (Ref.: 201202347791) Pontos: 0,5 / 0,5 O método da falsa posição está sendo aplicado para encontrar a raiz aproximada da equação f(x) =0 no intervalo [a,b]. A raiz aproximada após a primeira iteração é: O encontro da função f(x) com o eixo x O encontro da reta que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo y A média aritmética entre os valores a e b O encontro da reta que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x O encontro da função f(x) com o eixo y 8a Questão (Ref.: 201202694411) Pontos: 0,5 / 0,5 Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como: Método de Newton-Raphson Método das secantes Método da bisseção Método do ponto fixo Método de Pégasus 9a Questão (Ref.: 201202229897) Pontos: 1,0 / 1,0 A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que grau? segundo primeiro nunca é exata quarto terceiro 10a Questão (Ref.: 201202229900) Pontos: 1,0 / 1,0 O valor de aproximado da integral definida utilizando a regra dos trapézios com n = 1 é: 30,299 15,807 11,672 24,199 20,099 1a Questão (Ref.: 201202229891) 4a sem.: Solução de equações Pontos: 0,0 / 1,5 Seja a função definida por f(x)= x3 - 3x - 2. Encontre a fórmula iterativa do método de Newton-Raphson para a determinação de raízes reais da equação f(x) = 0: DADO: Xn+1 = Xn - f(xn)/f´(xn), em que f´(x) é a derivada de f(x) Resposta: Gabarito: xk +1 = xk - (x3- 3x - 2)/(3x2 -3) Fundamentação do(a) Professor(a): Sem resposta para avaliação. 2a Questão (Ref.: 201202694301) sem. N/A: APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES Pontos: 0,0 / 1,5 A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que desejemos fazer a interpolação utilizando o método de Lagrange dos seguintes pontos A (0,1), B(1,-1) e C(-1, 5). Resposta: Um polinomio consiste -0,75 Gabarito: P(x) = x2 -3x + 1 Fundamentação do(a) Professor(a): Incorreta. 3a Questão (Ref.: 201202693005) sem. N/A: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA (PCN) Pontos: 0,0 / 0,5 Sejam os vetores u, v e w no R3. Considere ainda o vetor nulo 0. É incorreto afirmar que: u x v = v x u u.v = v.u u + 0 = u u + v = v + u (u + v) + w = u + (v + w) 4a Questão (Ref.: 201202198317) 6a sem.: APROXIMAÇÃO POLINOMIAL Pontos: 0,5 / 0,5 Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um experimento tecnológico de sua empresa. Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e (2,6). Com base no material apresentado acerca do Método de Lagrange, tem-se que a função M0 gerada é igual a: (x2 + 3x + 2)/2 (x2 - 3x - 2)/2 (x2 + 3x + 2)/3 (x2 - 3x + 2)/2 (x2 + 3x + 3)/2 5a Questão (Ref.: 201202704063) sem. N/A: INTRODUÇÃO AO PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NUMÉRICA (PCN) E TEORIA DOS ERROS Pontos: 0,0 / 0,5 A resolução de equações matemáticas associadas a modelos físico-químicos pode nos conduzir a resultados não compatíveis com a realidade estudada, ou seja, "resultados absurdos". Isto ocorre geralmente porque há diversas fontes de erro. Com relação a este contexto, NÃO PODEMOS AFIRMAR: Erros de dados: representam erros relacionados aos dados coletados através de processos experimentais passíveis de erro. Erro absoluto: é a diferença entre o valor exato de um número e o seu valor aproximado. Erro de arredondamento: são erros referentes a aproximações dos números para uma forma infinita. Erros de modelo: representam erros que se referem a simplificação que realizamos quando representamos a realidade através de modelos matemáticos. Erros de truncatura: são erros decorrentes da interrupção de um processo infinito. 6a Questão (Ref.: 201202229595) 7a sem.: Interpolação Pontos: 1,0 / 1,0 Dados os ¨n¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (xn,f(xn)) Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos pelo método de Newton. A fórmula de Newton para o polinômio interpolador impõe que Não há restrições para sua utilização. Somente as derivadas sejam contínuas em dado intervalo [a,b] Que a função e as derivadas sejam contínuas em dado intervalo [a,b] Que somente a primeira e segunda derivadas sejam contínuas em dado intervalo [a,b] Somente a função seja contínua em dado intervalo [a,b] 7a Questão (Ref.: 201202347637) sem. N/A: Raízes de equações Pontos: 0,5 / 0,5 O método da falsa posição está sendo aplicado para encontrara raiz aproximada da equação f(x) =0 no intervalo [a,b]. A raiz aproximada após a primeira iteração é: O encontro da função f(x) com o eixo y O encontro da reta que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x A média aritmética entre os valores a e b O encontro da reta que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo y O encontro da função f(x) com o eixo x 8a Questão (Ref.: 201202694257) sem. N/A: SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS - RAÍZES DE EQUAÇÕES Pontos: 0,0 / 0,5 Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como: Método da bisseção Método de Pégasus Método das secantes Método do ponto fixo Método de Newton-Raphson 9a Questão (Ref.: 201202704160) sem. N/A: Métodos iterativos Pontos: 0,0 / 0,5 Métodos Iterativos para a resolução de um sistema linear representam uma excelente opção matemática para os casos em que o sistema é constituído de muitas variáveis, como os Métodos de Método de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Com relação a estes métodos, NÃO podemos afirmar: Se a sequência de soluções xk obtida estiver suficientemente próxima de x(k-1), sequência anterior, segundo um critério numérico de precisão, paramos o processo. Ambos os métodos mencionados se baseiam na transformação de um sistema Ax=B em um sistema xk=Cx(k-1)+G. Considerando uma precisão "e", tem-se uma solução xk quando o módulo de xk-x(k-1) for inferior a precisão. Com relação a convergência do Método de Gauss-Seidel, podemos citar o critério de Sassenfeld, que garante a convergência tomando-se como referência o "parâmetro beta" inferior a 1. Adotando-se uma precisão "e" como critério de parada dos cálculos, xk representa uma solução quando o módulo de xk-x(k-1) for superior a precisão. 10a Questão (Ref.: 201202229746) 10a sem.: Integração numérica Pontos: 1,0 / 1,0 O valor de aproximado da integral definida utilizando a regra dos trapézios com n = 1 é: 11,672 24,199 20,099 15,807 30,299
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