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UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA TEXTO DE APOIO ÀS AULAS TEÓRICAS DE FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL Rui Lança, Eq. Professor Adjunto UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA TEXTO DE APOIO ÀS AULAS TEÓRICAS DE APLICADA À ENGENHARIA CIVIL Rui Lança, Eq. Professor Adjunto SETEMBRO DE 2008 TEXTO DE APOIO ÀS AULAS TEÓRICAS DE APLICADA À ENGENHARIA CIVIL i Índice de matérias 1 Introdução ........................................................................................................................................ 1 1.1 Sistema de unidades ................................................................................................................. 3 1.2 Semelhança ............................................................................................................................... 4 1.3 Cálculo vectorial....................................................................................................................... 6 1.4 Cálculo de determinantes ....................................................................................................... 11 1.5 Questões teóricas .................................................................................................................... 12 2 Cinemática ..................................................................................................................................... 13 2.1 Introdução ............................................................................................................................... 13 2.2 Movimento de uma partícula material .................................................................................... 13 2.3 Vector deslocamento .............................................................................................................. 14 2.4 Espaço Percorrido................................................................................................................... 14 2.5 Equação da trajectória ............................................................................................................ 14 2.6 Vector velocidade média e vector velocidade instantânea ..................................................... 15 2.7 Vector aceleração média e vector aceleração instantânea ...................................................... 16 2.8 Componente normal e tangencial do vector aceleração ......................................................... 16 2.9 Questões teóricas .................................................................................................................... 23 3 Cinemática – movimentos ............................................................................................................. 24 3.1 Movimento rectilíneo ............................................................................................................. 24 3.2 Movimento circular ................................................................................................................ 28 3.3 Projecteis ................................................................................................................................ 33 3.4 Questões teóricas .................................................................................................................... 33 4 Estática das partículas no plano ..................................................................................................... 35 4.1 Forças actuantes numa partícula ............................................................................................. 35 4.2 Resultante de sistemas de forças concorrentes ....................................................................... 35 4.3 Resultante de várias forças ..................................................................................................... 36 4.4 Decomposição de uma força em componentes ...................................................................... 37 4.5 Equilíbrio de uma partícula .................................................................................................... 38 4.6 Diagrama de corpo livre ......................................................................................................... 39 4.7 Questões teóricas .................................................................................................................... 42 5 Dinâmica de uma partícula ............................................................................................................ 44 5.1 As três leis do movimento de Newton .................................................................................... 44 5.2 Relação entre r F e ra e sua aplicação aos vários tipos de movimento ................................... 46 5.3 Forças de ligação .................................................................................................................... 47 5.4 Movimento harmónico simples .............................................................................................. 53 ii 6 Quantidade de movimento de um sistema de partículas................................................................ 55 6.1 Impulso de uma força ............................................................................................................. 55 6.2 Momento linear de uma partícula e de um sistema discreto de partículas ............................. 56 6.3 Centro de massa de um sistema discreto de partículas ........................................................... 56 6.4 Momento linear do centro de massa ....................................................................................... 57 6.5 Lei do movimento do centro de massa ................................................................................... 58 6.6 Conservação do momento linear ............................................................................................ 59 6.7 Colisões perfeitamente elásticas ............................................................................................. 59 6.8 Colisões perfeitamente inelásticas .......................................................................................... 60 7 Trabalho e energia ......................................................................................................................... 61 7.1 Noção de trabalho ................................................................................................................... 61 7.2 Trabalho de uma força constante ............................................................................................ 61 7.3 Trabalho realizado por uma força variável ............................................................................. 61 7.4 Forças que não realizam trabalho ........................................................................................... 64 7.5 Trabalho de um sistema de forças .......................................................................................... 64 7.6 Energia cinética ...................................................................................................................... 64 7.7 Energia potencial .................................................................................................................... 65 7.8 Conservação da energia mecânica .......................................................................................... 66 7.9 Lei da conservação da energia ................................................................................................ 67 8 Mecânica dos fluidos ..................................................................................................................... 68 8.1 Propriedades dos fluidos ........................................................................................................68 8.2 Pressão .................................................................................................................................... 68 8.3 Distribuição hidrostática de pressões ..................................................................................... 69 8.4 Vasos comunicantes ............................................................................................................... 71 8.5 Prensa hidráulica .................................................................................................................... 72 8.6 Pressão atmosférica ................................................................................................................ 72 8.7 Lei de Arquimedes ................................................................................................................. 74 9 Centros de gravidade, momentos estáticos e estudo de forças distribuídas .................................. 75 9.1 Momento de uma força em relação a um ponto ..................................................................... 75 9.2 Centro de gravidade de um corpo bidimensional ................................................................... 76 9.3 Centro de massa de uma placa homogénea ............................................................................ 77 9.4 Momentos de primeira ordem ou momento estático .............................................................. 77 9.5 Baricentro de uma placa composta ......................................................................................... 79 9.6 Teorema de Pappus-Guldin .................................................................................................... 81 9.7 Cargas distribuídas sobre vigas .............................................................................................. 81 10 Eixos principais de inércia, inércias máximas e mínimas ........................................................... 84 10.1 Exemplos de aplicação ......................................................................................................... 84 iii 10.2 Momentos de inércia ............................................................................................................ 86 10.3 Momento polar de inércia ..................................................................................................... 88 10.4 Raio de giração de uma superfície........................................................................................ 89 10.5 Teorema dos eixos paralelos ................................................................................................ 90 10.6 Momento de inércia de superfícies planas compostas .......................................................... 91 10.7 Momentos de inércia de figuras geométricas comuns .......................................................... 94 11 Produto de inércia e círculo de Mohr .......................................................................................... 97 11.1 Produto de inércia ................................................................................................................. 97 11.2 Extensão do teorema dos eixos paralelos ............................................................................. 97 11.3 Eixos e momentos principais de inércia ............................................................................... 98 11.4 Círculo de Mohr para momentos e produtos de inércia...................................................... 101 Referencias Bibliográficas ............................................................................................................. 107 UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 1 1 Introdução A física é a mais básica das ciências, aborta o comportamento e estrutura da matéria. Esta área tão abrangente divide-se em áreas do conhecimento que estudam o movimento, os sólidos, os fluidos, os gases, o calor, o som, a luz, a electricidade, o magnetismo, a relatividade, a estrutura atómica, a radioactividade, a física de partículas e a astrofísica entre outros. Na aplicação à engenharia civil abordamos apenas alguns tópicos relacionados com o movimento, sólidos e fluidos, dos quais se destacam: - Grandeza física e sistemas de unidades. Estas noções são fundamentais para quantificar as variáveis envolvidas nos diversos problemas e resolver. Para o Engenheiro Civil é fundamental ter uma noção das grandezas com que lida, saber o que significam e o que valem as unidade utilizadas para as quantificar e com a experiência adquirir sensibilidade para os valores das unidade e associar esses valores com a sua materialização na realidade. - Cinemática. Neste capítulo aborta-se o estudo do movimento em 1D e 2D, esta análise permite estabelecer cálculos sobre trajectórias, velocidade, tempos de viagem, tempos de queda de um corpo em queda livre. - Estáticas das partículas no plano. A estática é um caso particular do movimento (dinâmica), situação em que as forças aplicadas se equilibram. Neste capítulo utiliza-se o cálculo vectorial para o cálculo de situações de equilíbrio aplicado a casos reais com que o engenheiro civil se pode debater. - Centros de gravidade. O cálculo do centro de gravidade de uma superfície ou de um corpo é muito utilizado na Engenharia Civil, basta pensar que se for necessário segurar um corpo por um único ponto, esse ponto será o centro de gravidade. - Conceito de momento. O momento de uma força em relação a um ponto traduz o efeito de rotação que essa força causa num corpo que possa girar em torno do ponto. Em situações estáticas o conceito de momento também é importante pois permite determinar as condições de equilíbrio à rotação. - Momentos estáticos de uma superfície. O momento estático ou o momento de primeira ordem de uma superfície em relação a um eixo traduz o produto da área pela distância ao eixo considerado. É uma propriedade geométrica que influencia a forma como os esforços internos se distribuem numa secção de um elemento estrutural. - Estudo de forças distribuídas. Na natureza todas as forças são distribuídas, mas na concepção de um problema se a força actua numa área muito reduzida pode ser considerada como uma força concentrada. Existem outras situações em que para efeito da resolução de um problema podemos representar uma força distribuída como uma força concentrada desde esta abstracção não altere os resultados obtidos na resolução do problema. UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 2 - Momento de inércia de superfícies. O inércia ou o momento de segunda ordem de uma superfície em relação a um eixo traduz o produto da área pelo quadrado distância ao eixo considerado. É uma propriedade geométrica que influencia a forma como os esforços internos se distribuem numa secção de um elemento estrutural. Não confundir momento de inércia de uma superfície com inércia (propriedade de um corpo tem para oferecer resistência a alterações de velocidade). - Dinâmica de uma partícula. Neste capítulo introduzem-se as leis fundamentais da dinâmica clássica, ou seja, as três leis de Newton. Estas leis são aplicadas em situações práticas do dia a dia com ênfase para casos da engenharia civil. Também se aborda o movimento harmónico e a sua utilização na analise dinâmica de estruturas. - Trabalho e energia. O conceito de trabalho e energia permite resolver alguns problemas da cinemática e da dinâmica de uma forma muito mais simples. - Mecânica dos fluidos. Neste capítulo faz-se uma ligeira abordagem aos estados da matéria, às propriedades dos fluidos e a alguns casos em que a acção hidrostática dos fluidos condiciona o resultado de uma observação, como a força exercida por um fluido nas paredes do recipiente queo contem, o funcionamento do barómetro de mercúrio, a prensa hidráulica e a aplicação do teorema de Arquimedes a corpos totalmente ou parcialmente imersos. A Física Aplicada à Engenharia Civil não deve ser vista como uma disciplina estanque, mas sim como uma disciplina cujos conhecimentos são aprofundados e aplicados em outras disciplinas da engenharia civil como estática, estruturas, betão, hidráulica e solos. Este manual da disciplina de Física Aplicada à Engenharia Civil não pretende ser o único elemento de consulta para apoio às aulas teóricas. Pretende ser uma referência para o primeiro contacto do aluno com as matérias leccionadas, as quais serão alvo estudo mais detalhado nas referências bibliográficas indicadas. É recomendado que o estudante leve estes apontamentos para as aulas teóricas para não ser forçado a passar toda a informação do quadro e desta forma poder seguir a aula com tempo para raciocinar sobre os temas discutidos. UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 3 1.1 Sistema de unidades Uma medição de uma grandeza física é exprimida com base num valor padrão dessa grandeza. A esse valor padrão chama-se a unidade de medida da grandeza. Um sistema de unidades é um conjunto coerente de unidades, umas fixadas arbitrariamente por comparação com valores padrão (unidades fundamentais) e outras obtidas com base nas primeiras por meio de equações de definição (unidades derivadas). Na física mecânica as grandezas físicas fundamentais são três: M massa L comprimento T tempo Formando o sistema MLT, o qual é a base do sistema internacional (SI). As unidades de medida das grandezas físicas fundamentais no sistema internacional de pesos e medidas (S.I.) são Quilograma (kg) massa Metro (m) comprimento Segundo (s) tempo Unidades padrão A unidade padrão para a massa é o (kg). O (kg) padrão é um cilindro de platina guardado no International Bureau of Weights and Measures próximo de Paris. A unidade padrão para o tempo é o (s) e é definido como 9 192 631 770 períodos da radiação de átomos de celcium. A unidade padrão para o comprimento é o (m). O metro padrão é o comprimento percorrido pela luz no vacum durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 (s). Todas as unidades utilizadas para quantificar as grandezas físicas fundamentais foram definidas por convenção e as medições são feitas por comparação do tamanho da grandeza física com a unidade padrão dessa mesma grandeza física. Grandeza física derivada Uma grandeza física derivada é exprimida por uma equação de definição. Como exemplo de equação de definição, pode-se considerar a equação da variação da posição num movimento rectilíneo uniforme. dtvrd ⋅= rr dt rd v r r = UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 4 Para determinar as grandezas físicas fundamentais envolvidas na grandeza física derivada velocidade, substitui-se na equação os símbolos das grandezas físicas fundamentais, obtendo-se. [ ]rv L T= ⋅ −1 Para a aceleração, que se define como a variação da velocidade em ordem ao tempo, obtém-se. dt vd a r r = Substituindo na equação os símbolos das unidades fundamentais, vem. [ ] [ ]r r a v T L T= = ⋅ −2 A força é definida pela segunda lei de Newton. r rF m a= ⋅ E as respectivas grandezas físicas fundamentais são. [ ]rF M L T= ⋅ ⋅ −2 De um modo geral as grandezas físicas fundamentais de uma grandeza derivada X são. [ ]X M L T= ⋅ ⋅α β γ Em que α , β e γ são as dimensões da grandeza. Quando α β γ= = = 0 a grandeza diz-se adimensional, como por exemplo a densidade relativa e um ângulo. O quadro seguinte apresenta as dimensões das grandezas mais correntes da Física Mecânica, no sistema MLT. Grandeza física [X] Dimensões Sistema α β γ SI Comprimento 0 1 0 (m) Área 0 2 0 (m2) Volume 0 3 0 (m3) Tempo 0 0 1 (s) Velocidade 0 1 -1 (m/s) Aceleração 0 1 -2 (m/s2) Massa 1 0 0 (kg) Força 1 1 -2 (N) ≡ (kg.m/s2) Pressão 1 -1 -2 (Pa) ≡ (N/m2) Peso volúmico 1 -2 -2 (N/m3) Massa volúmica 1 -3 0 (kg/m3) Quantidade de movimento 1 1 -1 (kg.m/s) Trabalho 1 2 -2 (J) ≡ (kg.m2/s2) Potência 1 2 -3 (W) ≡ (kg.m2/s3) 1.2 Semelhança Na física e na engenharia civil utiliza-se modelos matemáticos que se baseiam em fórmulas e processos matemáticos para obter os resultados. Algumas vezes lida-se com problemas cuja UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 5 caracterização através de modelos matemáticos pode ser difícil pelo que se torna rentável utilizar modelos físicos. Os modelos físicos assentam na construção de uma maquete à escala com comportamento semelhante à realidade. No modelo são colocados instrumentos que permitem obter leituras sobre velocidades, posições, forças, deformações, etc. A correlação entre as leituras obtidas no modelo e a realidade muitas vezes não são lineares. Quando se constrói um modelo podem-se ter escalas diferentes para as grandezas físicas comprimentos [L] segundo x, y e z (Lx), [Ly] e [Lz], para a massa [M] e para o tempo [T]. Ora veja- se o seguinte exemplo: Exemplo 1: Num modelo físico à escala [L] = 1/10, [T] = 1/1 e [M] = 1/20 desloca-se uma partícula com massa mModelo à velocidade Modelov r . Questão: Qual será a velocidade real? Resposta: A grandeza física derivada velocidade define-se como: dt rd v r r = As grandezas físicas fundamentais envolvidas na grandeza física derivada velocidade são: [ ] 1−⋅= TLvr ( ) ( ) 1Re 110 −⋅⋅⋅= ModeloModeloal trv rr Ou seja Modeloal vv rr ⋅= 10Re A velocidade será 10 vezes superior na realidade do que no modelo. Nem sempre a relação de proporcionalidade é linear como se pode constatar neste exemplo para a velocidade. Questão: Qual será a energia cinética real? Resposta: A equação de definição da energia cinética é dada por: 2 2 1 vmEC r ⋅⋅= Logo ( ) ( )2Re 10202 1 ModeloModeloal vmE r ⋅⋅⋅⋅= ( ) 22Re 2 11020 ModeloModeloal vmE r ⋅⋅⋅= Modeloal CC EE ⋅= 1000 Re UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 6 Exemplo 2: Para testar o comportamento de um reservatório, desenvolveu-se um modelo físico à escala [L] = 1/20; [T] = 1/1; [M] = 1/1.7. Sabendo que a acção da água sobre uma parede vertical plana com dimensões (H . L) é de ModeloF r , qual é a força que actua sobre a parede na realidade. alFRe r . A equação de definição é: LHgF ⋅⋅⋅⋅= 2 2 1 rr ρ Sendo: ρ massa volúmica da água (kg/m3) gr aceleração da gravidade (m/s2) H altura da parede (m) L extensão da parede em planta (m) ( ) ( ) ( )ModeloModeloModeloal LHgF ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 20207.12 1 2 Re rr ρ LHgF Modeloal ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 22 Re 20207.12 1 rr ρ ModeloModeloModeloal LHgF ⋅⋅⋅⋅= 2 Re 6800 rr ρ Nos exemplos anteriores mostrou-se como a partir de dados medidos em modelos reduzidos de podem obter os valores reais. Nestes exemplos utilizaram-se casos em que por equações matemáticas é fácil obter os resultados para a realidade pelo que não faz sentido construir modelos físicos, nestes casos utilizam-se modelos matemáticos. Contudo existem situações, que saem fora do programa desta cadeira, em que não existem modelos matemáticos correctos como por exemplo: cálculo de forças aerodinâmicas exercidas pelo vento numa estrutura não convencional; calcular as alterações no transporte de sedimentos que provocam a alteração da configuração do fundo de um estuário devido à ampliação dos molhes de protecção de um porto; na construção de um novo empreendimentoturístico numa zona ventosa determinar as zonas abrigadas para colocar esplanadas; etc. 1.3 Cálculo vectorial Na física trabalha-se com grandezas escalares e grandezas vectoriais. Uma grandeza escalar é definida por um número. Por exemplo a massa de um corpo é de x (kg). Significa que a massa deste corpo é de x vezes a unidade padrão. Desta forma está definida qual é a massa do corpo. Contudo ao dizer que a velocidade de um corpo é de y (m/s), esta grandeza não está definida. Sabe-se que o corpo se desloca a y (m/s) mas em que direcção? E em que sentido? Para não deixar estas perguntas em aberto, a velocidade define-se como uma grandeza vectorial. Ao escrever que a velocidade do UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 7 corpo é de ry (m/s), está definido também a direcção e sentido da grandeza para além da sua intensidade. Um vector é um segmento de recta orientado. As componentes escalares de um vector são dadas pelas diferenças entre as coordenadas do ponto apontado pelo vector (B) e o ponto onde o vector é aplicado (A). ( ) ( )zzyyxxzyx ABABABuuuu −−−== , ,,,r Vectores equivalentes têm o mesmo módulo, direcção e sentido. Porém podem ser aplicados em pontos distintos. 1.3.1 Soma de vectores r r r a u v= + ( )zzyyxx vuvuvua +++= , ,r 1.3.2 Diferença de vectores ( )r r ra u v= + − ( )ra u v u v u vx x y y z z= − − −, , 1.3.3 Módulo de um vector O módulo de um vector é uma grandeza escalar e significa o comprimento do vector, ou seja a distância em linha recta entre os pontos situados nas extremidades desse vector. 222 zyx aaaa ++= r B θ u r r a r u r v r a r u r v − r v r a r a UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 8 1.3.4 Ângulo formado entre um vector e o eixo xx O ângulo formado entre um vector e o eixo dos xx é dado pelas seguintes funções trigonométricas. ( ) u u x r=αcos ( ) u u y r=αsin ( ) x y u u =αtan ( ) y x u u g =αcot 1.3.5 Produto de um vector por um escalar O resultado do produto de um vector por um escalar é um vector com a mesma direcção e sentido, mas com o seu módulo multiplicado pelo escalar. Se a variável escalar tiver um valor negativo, o sentido do vector ra será contrário ao do vector rv . r r a k v= ⋅ ( )ra k v k v k vx y z= ⋅ ⋅ ⋅, , 1.3.6 Versores Versores são vectores com módulo unitário que descrevem uma direcção e sentido no espaço. Normalmente utilizam-se versores para definir o sistema de eixos de um referencial. Neste curso só se trabalha com referenciais cartesianos ortonormados. Num sentido lato um referencial ortonormado é um referencial em que os dois ou três eixos fazem entre si ângulos rectos. ( )αcos⋅= uu x r ( )αsin⋅= uu y r ( )αtan⋅u r ( )αgu cot⋅r α UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 9 kjir ˆ3ˆ2ˆ3 ⋅+⋅+⋅=r A notação recorrendo a versores é mais correcta do ponto de vista matemático e facilita os cálculos que envolvam grandezas vectoriais. O vector ( )rr r r rx y z= , , Passa a ser escrito na forma r r r i r j r kx y z= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $ Na realidade, um vector é definido como a soma dos produtos de escalares por versores que indicam a direcção e sentido de cada um dos eixos. 1.3.7 Produto interno de 2 vectores O produto interno de 2 vectores é uma grandeza escalar e é definido como o produto dos módulos de dois vectores projectados sobre a direcção de um deles. O produto interno é comutativo. ( )[ ]r r r ra b a b⋅ = ⋅ ⋅ cos α ( )[ ]r r r ra b a b⋅ = ⋅ ⋅cos α O produto interno de dois vectores pode ser calculado recorrendo só às componentes escalares. Por vezes é útil calcular o produto interno desta forma pois não se sabe qual é o ângulo formado entre os dois vectores. Esta questão é mais pertinente se o problema for tridimensional. Se estivermos num referencial ortonormado é válido afirmar. iˆ jˆ kˆ y x z r r r a r b UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 10 ( ) ( ) ( ) 10cos11ˆˆˆˆˆˆ =⋅⋅=⋅=⋅=⋅ kkjjii ( ) ( ) ( ) 0º90cos11ˆˆˆˆˆˆ =⋅⋅=⋅=⋅=⋅ jkkiji Pelo que. ( ) ( )kbjbibkajaiaba zyxzyx ˆˆˆˆˆˆ ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=⋅ rr +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅ kbiajbiaibiaba zxyxxx ˆˆˆˆˆˆ rr +⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ kbjajbjaibja zyyyxy ˆˆˆˆˆˆ kbkajbkaibka zzyzxz ˆˆˆˆˆˆ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ Simplificando, vem. r r a b a b a b a bx x y y z z⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ Conjugando as duas equações para o cálculo do produto interno resulta. ( )r r r ra b a b a b a b a bx x y y z z⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ cos α Explicitando o termo desconhecido ( )cos α , obtém-se. ( )cos α = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ a b a b a b a b x x y y z z r r 1.3.8 Produto externo de 2 vectores: O produto externo de dois vectores é um vector que tem uma direcção perpendicular ao plano que contém os dois vectores e cujo sentido é definido pela regra da mão direita ou do saca-rolhas. O módulo é dado pelo produto do módulo do primeiro vector pelo segundo projectado numa direcção normal à direcção do primeiro. Este conceito é importante para o cálculo do momento de uma força em relação a um ponto por exemplo. O produto externo não é comutativo. ( ) ( )r rr F r i r j r k F i F j F kx y z x y z× = ⋅ + ⋅ + ⋅ × ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $ $ $ $ A equação anterior traduz-se pela resolução do seguinte determinante r r r F i j k r r r F F F x y z x y z × = $ $ $ r a r b ( )rb ⋅ sin α UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 11 Resolvendo o determinante, vem: xzyzxyyxxzzy rjFiFrFrkFrkFrjFriFr ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=× ˆˆˆˆˆ rrr ( ) ( ) ( ) kFrFrjrFFriFrFrFr xyyxxzxzyzzy ˆˆˆ ⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅=× rr 1.4 Cálculo de determinantes Cálculo de um determinante de 2ª ordem Considere-se a matriz A quadrada de 2 x 2 e onde se pretende calcular o determinante: = 2221 1211 aa aa A 21122211det aaaaA ⋅−⋅= Cálculo de um determinante de 3ª ordem Considere-se a matriz A quadrada de 3 x 3 e onde se pretende calcular o determinante: = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A Passos a seguir: 1. Multiplicar o elemento a11 (da 1ª linha) pelo determinante menor da sub matriz de A, que se obtém eliminando a 1ª linha e a 1ª coluna: 333231 232221 1312 aaa aaa aa M M KK11a ; ( )3223332211 3332 2322 11 aaaaa aa aa a ⋅−⋅= 2. Multiplicar o elemento a12 (da 1ª linha) pelo determinante menor da sub matriz de A, que se obtém eliminando a 1ª linha e a 2ª coluna: 333231 232221 1311 aaa aaa aa M M KK 12a ; ( )3123332112 3331 2321 12 aaaaa aa aa a ⋅−⋅= 3. Multiplicar o elemento a13 (da 1ª linha) pelo determinante menor da sub matriz de A, que se obtém eliminando a 1ª linha e a 3ª coluna: UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 12 333231 232221 1211 aaa aaa aa M M KK 13a ; ( )3122322113 3231 2221 13 aaaaa aa aa a ⋅−⋅=4. Em seguida fazer os três produtos obtidos anteriormente serem precedidos alternadamente sinais + e -, iniciando pelo +: ( ) ( ) ( )312232211331233321123223332211 333231 232221 131211a Adet aaaaaaaaaaaaaaa aaa aaa aa ⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−⋅== ou simplificadamente: 3231 2221 13 3331 2321 12 3332 2322 11 333231 232221 131211a Adet aa aa a aa aa a aa aa a aaa aaa aa +−== 1.5 Questões teóricas Q1) Quais as grandezas físicas fundamentais envolvidas nas seguintes variáveis e respectivas unidades no sistema (S.I.): força; velocidade; posição; aceleração. Q2) Qual é diferença entre uma grandeza física fundamental e uma grandeza física derivada? Q3) Qual é a diferença entre um produto interno e um produto externo de vectores? Q4) Explique o que é e para que serve a teoria da semelhança? UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 13 2 Cinemática 2.1 Introdução A cinemática é o capítulo da física que estuda o movimento. O repouso e o movimento são conceitos relativos pois dependem do referencial utilizado para descrever o movimento. Por exemplo, uma árvore está em repouso em relação à terra mas em movimento em relação ao Sol. Assim para descrever o movimento, o observador deve definir o referencial que utiliza. 2.2 Movimento de uma partícula material A posição de uma partícula pode ser definida relativamente a um referencial através de um vector de posição rr . Seja rr1 o vector de posição da partícula no instante t1 e r r2 o vector de posição da partícula no instante t2. r r r i r j r kx y z1 1 1 1= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $ r r r i r j r kx y z2 2 2 2= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $ Como a posição da partícula altera-se com o tempo, o vector rr é função de t. r r r i r j r kx y z= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $ Sendo. ( )r f tx x= ( )r f ty y= ( )r f tz z= As equações ( )trx , ( )try e ( )trz são as equações paramétricas do movimento. Neste caso conclui- se que o vector posição será uma função de t. ( )rr f t= y z x r r2 r r1 $i $j $k UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 14 Em função do tempo, um ponto material, definido apenas pelas suas coordenadas, em movimento vai ocupando sucessivas posições num determinado referencial, formando uma linha que se designa trajectória. 2.3 Vector deslocamento Considere-se uma partícula que descreve uma trajectória tal que a sua posição no instante t1 é rr1 e no instante t2 é r r2 . A diferença entre as posições final e inicial indica a mudança de posição do ponto material, chama- se deslocamento e designa-se por ∆rr . ∆r r rr r r= −2 1 2.4 Espaço Percorrido O espaço corresponde à distância total percorrida e é igual à soma dos módulos dos vários deslocamentos elementares. O espaço é sempre um valor positivo. s r r rn= + + +∆ ∆ ∆ r r r 1 2 ... A um deslocamento nulo pode não corresponder um espaço nulo e a um mesmo deslocamento podem corresponder espaços diferentes. O espaço percorrido só é idêntico ao módulo do vector deslocamento se a trajectória for rectilínea e se não ocorrerem inversões de sentido. 2.5 Equação da trajectória Considere-se um referencial tridimensional ortonormado xyz e vector posição rr dado por. r r r i r j r kx y z= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $ Se a partícula estiver em movimento, rx, ry e rz são funções de t. y z x r r2 r r1 $i $j $k ∆rr UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 15 As equações que traduzem a variação das coordenadas de posição com o tempo designam-se por equações paramétricas do movimento. ( )x f tx= ; ( )y f ty= ; ( )z f tz= Eliminando a variável t neste sistema obtém-se a equação da trajectória. EXEMPLO: Sendo o vector posição de uma partícula dado. r r t i t j= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅2 3 2$ $ As equações paramétricas do movimento são. ⋅= ⋅= 23 2 tr tr y x A equação da trajectória será. −−− = 2 xrt ⇔ ⋅= −−− 2 4 3 xry 2.6 Vector velocidade média e vector velocidade instantânea O vector velocidade média é a razão entre o vector deslocamento e o intervalo de tempo em que esse deslocamento ocorre, ou seja: r r v r tm = ∆ ∆ O vector velocidade instantânea é dado pelo vector ∆rr sobre o intervalo ∆t quando este tende para zero. r r v r tt = → lim ∆ ∆ ∆0 dt rd v v r = A direcção de rv é tangente à trajectória no ponto onde se encontra a partícula no instante considerado. y x r v UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 16 2.7 Vector aceleração média e vector aceleração instantânea O vector aceleração média é dado por: r r a v tm = ∆ ∆ A aceleração média tem a direcção e o sentido do vector ∆rv . O vector aceleração instantânea é o limite para que tende o vector aceleração média quando o intervalo de tempo tende para zero. r r r a a v tt m t = = → → lim lim ∆ ∆ ∆ ∆0 0 2 2 dt rd dt vd a rr r == 2.8 Componente normal e tangencial do vector aceleração Se a trajectória for curvilínea, o vector aceleração está sempre dirigido para a concavidade da trajectória. 2.8.1 Movimento acelerado Num certo intervalo de tempo o movimento é acelerado se o módulo da velocidade aumentar. y x r vi r v f r v f ∆rv A B y x r vi r v f r v f ∆rv A B UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 17 2.8.2 Movimento retardado Num certo intervalo de tempo o movimento é retardado se o módulo da velocidade diminuir. r r r a a an t= + y x v at r a ∆rv A B v an y x v at r a ∆rv A B v an y x r vi r v f r v f ∆rv A B UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 18 2.8.3 Movimento uniforme Se num certo intervalo de tempo o módulo da velocidade for constante, o movimento diz-se uniforme. 2.8.4 Componente normal e tangencial do vector aceleração Considere-se uma partícula a descrever uma trajectória curvilínea no plano xy. y x v r a ot ≡ ∆rv A B v r a an ≡ y x r vi r v f r v f ∆rv A B P r at ran r a r v $i $j x y UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 19 No instante t a partícula encontra-se no ponto P com velocidade com velocidade rv e aceleração ra . Pode-se exprimir ra em função de duas componentes: - uma segundo a direcção tangente à trajectória, aceleração tangencial rat ; - uma segundo a direcção normal à trajectória, aceleração normal ran . r r r a a an t= + Considerandoum versor tangente à trajectória $ut e outro normal à trajectória $un . O vector aceleração pode escrever-se da seguinte forma. r a a u a un n t t= ⋅ + ⋅$ $ Em que as variáveis têm o seguinte significado: r an está relacionado com a variação da direcção de r v ; r at está relacionado com a variação do modulo de r v . Como rv é tangente à trajectória, pode-se escrever que: r v v ut= ⋅ $ Sabendo que: dt vd a r r = Pode-se escrever: ( ) dt ud vu dt dv dt uvd a tt t ˆ ˆ ˆ ⋅+⋅= ⋅ = r Numa trajectória curvilínea, a direcção do versor $ut varia e assim ∂ ∂ $u t t ≠ 0 . Considerando a seguinte figura. P α αd $i $j x y R α P' $ut $un UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 20 Em que α é um ângulo que a tangente à curva faz no ponto P com o eixo dos xx. Pode-se decompor $ut e $un segundo as direcções dos eixos x e y. ( ) ( )$ cos $ sin $u i jt = ⋅ + ⋅α α jiun ˆ2sin ˆ 2 cosˆ ⋅ ++⋅ += pi α pi α ( ) ( ) jiun ˆcosˆsinˆ ⋅+⋅−= αα A derivada de $ut em ordem ao tempo é dada pela seguinte equação. ( ) ( ) j dt di dt d dt ud t ˆcosˆsin ˆ ⋅⋅+⋅⋅−= α α α α Colocando dt dα em evidência obtém-se. ( ) ( )[ ] dt dji dt ud t ααα ⋅⋅+⋅−= ˆcosˆsin ˆ O que é igual a. dt d u dt ud n t α ⋅= ˆ ˆ Com αd em radianos pode-se escrever: RddS ⋅= α O que pode ser escrito como. RdS d 1 = α Ou. t Sd Sd d dt d ∂ αα ⋅= R v v Rdt d =⋅= 1α Ou seja. n t u R v dt ud ˆ ˆ ⋅= Substituindo dt ud tˆ na expressão de ra , ( ) dt ud vu dt dv dt uvd a tt t ˆ ˆ ˆ ⋅+⋅= ⋅ = r Vem. R R αd dS UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 21 nt uR v vu dt dv a ˆˆ ⋅⋅+⋅= r nt uR v u dt dv a ˆˆ 2 ⋅+⋅= r em que. r r r a a at n= + r a v t ut t= ⋅ ∂ ∂ $ r a v R un n= ⋅ 2 $ Se rv = constante → r r at = 0 Se a trajectória for rectilínea ( R = ∞ ) → r r an = 0 Se o ângulo formado entre os vectores rv e ra for: < →90º rat e r v têm o mesmo sentido → movimento acelerado; > →90º rat e r v têm o sentido contrário → movimento retardado; = →90º r r at = 0 , o movimento é uniforme. EXEMPLO Considere um canal rectangular, no qual o escoamento segue com velocidade v. Sabendo que o canal descreve uma curva horizontal com raio R. Qual será a inclinação da superfície livre do escoamento quando representada numa secção transversal do mesmo? UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 22 Na massa de liquido actua a aceleração da gravidade e a aceleração centrifuga devido à curva horizontal que o canal descreve. A inclinação da superfície livre do escoamento irá fazer um ângulo com a horizontal por forma a equilibrar estas duas acelerações. Essa inclinação será dada por: = g anarctanθ ⋅ = gR v 2 arctanθ ( )θtan 2 ⋅ =∆ Lh ⋅ ⋅ =∆ gR vLh 2 2 Como a área da secção transversal do escoamento continua a ser a mesma, o aumento de profundidade no exterior da curva é compensado pelo aumento de profundidade no exterior da mesma. Desta forma conclui-se que no dimensionamento de um canal é necessário considerar um aumento da altura das paredes laterais quando existem curvas. Refira a definição e a expressão que permite determinar as seguintes grandezas físicas: aceleração normal, aceleração tangencial, velocidade média, velocidade instantânea, aceleração angular, período, frequência. gr na r θ h h∆ h∆ θ L UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 23 2.9 Questões teóricas Q1) Refira a definição e a expressão que permite determinar as seguintes grandezas físicas: aceleração normal, aceleração tangencial, velocidade média, velocidade instantânea, aceleração angular, período, frequência. Q2) Estabeleça a equação da posição angular para um movimento circular uniforme. UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 24 3 Cinemática – movimentos Na aula anterior foram analisadas as relações entre as variáveis cinemáticas (posição, velocidade e aceleração) na situação mais geral. Agora vão ser analisados casos particulares para movimentos rectilíneos uniformes, movimentos rectilíneos uniformemente acelerados, movimentos circulares uniformes, movimentos circulares uniformemente acelerados, movimentos harmónicos simples e movimento de projécteis sem considerar os efeitos da resistência aerodinâmica. 3.1 Movimento rectilíneo Movimentos rectilíneos são todos os movimentos cuja trajectória é rectilínea. Considere-se uma partícula a mover-se numa direcção associada à de um versor $i . Como o vector é tangente à trajectória. r v v i= ⋅ $ Logo a aceleração será dada por. r r a v t v t i v i t = = ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ $ $ em que iˆ = Constante O termo 0 ˆ r =⋅ dt id v Logo podemos escrever. i dt dv a ˆ⋅= Como foi visto. tadt dv = Logo. r a a it= ⋅ $ Ou seja. r r a at= $i r v x UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 25 Isto quer dizer que nos movimentos rectilíneos só existe aceleração tangencial. Por isso de uma forma geral fala-se simplesmente em aceleração sendo a aceleração e aceleração tangencial a mesma coisa. Quando se descreve uma variável vectorial num sistema com um único eixo, esta pode ser escrita como uma variável escalar sem perda de informação. Se o vector estiver dirigido no mesmo sentido do eixo a variável é positiva, caso contrário é negativa. O módulo do vector é dado pelo valor da variável e a direcção é a única possível, a do eixo utilizado. 3.1.1 Movimento rectilíneo uniforme Os movimentos rectilíneos uniformes (m.r.u.) são movimentos em que o módulo do vector velocidade permanece constante. r v = Constante Como nos movimentos rectilíneos a direcção do vector rv é constante. r v = Constante Foi visto que. dt vd a r r = e r v = constante Logo. r r a = 0 O vector velocidade instantânea é constante, pelo que coincide com o vector velocidade média. r r v vm= r v r r v r t r r tm f i = = −∆ ∆ ∆ Neste tipo de movimento. r r v vm= Pelo que se pode escrever. r r r v r r t f i = − ∆ r r r r r v tf i= + ⋅ ∆ Como o movimento é rectilíneo, é possível escrever a equação do seguinte modo. r i r i v i tf i⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅$ $ $ ∆ Dividindo a equação pelo versor, obtém-se a equação do movimento rectilíneo uniforme na forma escalar. r r v tf i= + ⋅ ∆ UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 26 Nos movimentos rectilíneos que são descritos com base num único eixo as variáveis vectoriais posição, velocidadee aceleração são completamente definidas por um escalar uma vez que está inerente à equação que têm a direcção do único eixo definido no problema e o sentido será dado pelo respectivo sinal. É possível chegar ao mesmo resultado com base no cálculo infinitesimal. Neste exemplo utilizamos as equações na forma escalar, com conhecimento de que a posição, velocidade e aceleração se desenvolvem segundo um único eixo. dt dr v = dtvdr ⋅= ∫ ⋅= dtvr Como v é constante resulta tvrr i ⋅+= Se derivarmos v em ordem ao tempo, obtemos r. Se integrarmos r em ordem ao tempo obtemos v. Podemos ver o significado destas operações em termos gráficos. Neste gráfico foi considerado que ti=0 e ri=0 para a visualização ser mais fácil. Nesta situação a posição r no instante ti é dada por v.t que representa a área sob a linha das velocidades até ao instante tf . O declive da linha que define a posição r é igual ao valor da velocidade v. r v a t v tf ti r UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 27 3.1.2 Movimento rectilíneo uniformemente variado Os movimentos rectilíneos uniformemente variados são movimentos em que o escalar da aceleração tangencial permanece constante r at , que se pode escrever de uma forma simplificada e sem perda de rigor como at . at = Constante Como se trata de um movimento rectilíneo. an = 0 Como a aceleração é constante o seu valor médio é igual ao valor instantâneo. r r a am= r r r a v v tm f i = − ∆ Pode escrever-se. r r r a v v t f i = − ∆ Ou seja. r r r v v a tf i= + ⋅ ∆ tiaiviv if ∆⋅⋅+⋅=⋅ ˆˆˆ Dividindo por iˆ resulta. v v a tf i= + ⋅ Pela definição de velocidade. dt rd v r r = Pode-se estabelecer a seguinte equação diferencial ordinária de 1ª ordem. dtvrd ⋅= rr ( ) dttavrd i ⋅⋅+= rrr Integrando a equação interior. ( ) dttavr i ⋅⋅+= ∫ rrr Da sua resolução resulta. r r r r r r v t a tf i i= + ⋅ + ⋅ ⋅ 1 2 2 Representação típica do comportamento da posição, velocidade e aceleração em função do tempo num movimento rectilíneo uniformemente variado m.r.u.v. UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 28 Para qualquer m.r.u. temos sempre a aceleração definida por uma recta horizontal a velocidade definida por uma recta qualquer e a posição definida por uma parábola. dt dr v = dt dv a = = constante 3.2 Movimento circular Designam-se por movimentos circulares aqueles em que a trajectória é circular ou seja o raio R é constante. Considerando uma partícula a descrever uma trajectória circular no plano xy em que R é o raio da trajectória. r, v, a t a v r UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 29 Em que as variáveis representadas na figura anterior assumem os seguintes significados: S comprimento do arco descrito pela partícula; dt intervalo de tempo; θ ângulo ao centro; rR r= raio da trajectória. Nestes movimentos podemos utilizar coordenadas polares para definir a posição. Como o raio é constante, a posição fica definida pelo ângulo ao centro. Quando a partícula descreve um ângulo ao centro θ a distância S percorrida pela partícula é dada por. RS ⋅= θ 3.2.1 Velocidade angular Como a posição é definida pela posição angular θ podemos definir a velocidade angular com o ângulo ao centro varrido por unidade de tempo. tmedio ∆ ∆ = θ ω r No limite quando 0→∆t temos: tot ∆ ∆ = →∆ θ ω limr dt dθ ω = r A velocidade angular é uma grandeza vectorial com direcção normal ao plano do movimento e sentido dado pela regra da mão direita. Podemos então escrever: x y z r v r r θ r ω S UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 30 r r ω ω= ⋅ $k Em que $k é o versor que define a direcção e sentido do eixo z. Como o espaço percorrido é definido por. RS ⋅= θ Derivando em ordem ao tempo obtém-se a relação entre velocidade ou velocidade linear e velocidade angular. dt dRR dt d dt dS ⋅+⋅= θθ Como o raio R é constante, resulta. Rkuv t ⋅⋅=⋅ ˆˆ ω 3.2.2 Aceleração angular Derivando o vector velocidade angular em ordem ao tempo, obtém-se a aceleração angular: r v α ∂ω ∂= t 3.2.3 Movimento circular uniforme Neste tipo de movimentos o módulo do vector velocidade é constante, mas a sua direcção altera-se constantemente. v = Constante r v ≠ Constante Assim temos as seguintes relações. 00 =→= tadt dv 00 rr r ≠→≠ a dt vd O que nos leva a concluir que só existe aceleração normal à trajectória: r r a an= Como. v = Constante v vm= v S t = ∆ ∆ O espaço S é dado pela seguinte expressão: tvS ∆⋅=∆ tvSS ∆⋅=− 12 UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 31 tvSS ∆⋅+= 12 Neste movimento v e R são constantes. v R= ⋅ω ω = v R e ω = constante A aceleração angular: 0== dt dω α Como ω = constante, a partícula descreve ângulos ao centro iguais em iguais intervalos de tempo. tmedio ∆ ∆ == θ ωω ω θ θ = − 0 ∆t θ θ ω= + ⋅0 ∆t No movimento circular uniforme, o vector aceleração é radial, centrípeto, portanto normal ao vector velocidade em cada ponto e de módulo constante. r r r a a aA B C= = r r r v v vA B C= = 3.2.3.1 Período O período (T) é o intervalo de tempo ao fim do qual as características posição, vector velocidade e vector aceleração se repetem. r aA r aB r aC A B C r vA r vB r vC UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 32 3.2.3.2 Frequência A frequência de um movimento circular uniforme (m.c.u) é o número de voltas por unidade de tempo que a partícula descreve. Sendo R o raio da trajectória e T o período do movimento, vem. v R T = ⋅ ⋅2 pi Como. v R= ⋅ω ω = v R Podemos escrever que. ω pi pi= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 2 2 R T R f 3.2.4 Movimento circular uniformemente variado Neste tipo de movimento, a aceleração angular é constante. α =constante Como. dt dω α = dtd ⋅= αω ω α ∂= ⋅∫ t ω ω α= + ⋅0 t E porque. dt dθ ω = dtd ⋅= ωθ Substituindo. ( ) dttd ⋅⋅+= αωθ 0 Integrando. ( ) dtt ⋅⋅+= ∫ αωθ 0 Obtém-se. θ θ ω α= + ⋅ + ⋅ ⋅0 0 2 1 2 t t UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 33 3.3 Projecteis O movimento efectuado por um projéctil descreve uma trajectória plana em forma de parábola. Trata-se da soma de dois movimentos, um segundo a horizontal e outro segundo a vertical. Um projéctil, se desprezarmos a resistência do ar, após ter sido lançado só está sujeito à acção da gravidade rg . Este vector tem a direcção vertical e é dirigido de cima para baixo. A componente horizontal do movimento é um movimento rectilíneo uniforme. A componente vertical é um movimento rectilíneo uniformemente variado. ( )rr r v t i r v t g t jx x y y= + ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅0 0 0 0 212$ $ ( )rv v i v g t jx oy= ⋅ + − ⋅ ⋅0 $ $ jga ˆ⋅−=r3.4 Questões teóricas Q1) Prove que a trajectória de um projéctil é parabólica. Q2) Indique o conceito de período e de frequência r v y0 r v x0 r v0 r r0 $i $j x y r r x0 r r y0 UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 34 Q3) Explique porque razão dois objectos em queda livre no vácuo, com massas e volumes diferentes, partindo do repouso, percorrem a mesma distância no mesmo intervalo de tempo? Apresente a equação que traduz o fenómeno. Q4) Estabeleça a partir da equação da aceleração normal e aceleração tangencial a relação entre o tempo e o ângulo formado entre o vector velocidade e o vector aceleração num movimento circular uniformemente acelerado. Assuma que a partícula partiu do repouso. Q5) Represente os gráficos posição/tempo, velocidade/tempo e aceleração/tempo para o movimento rectilíneo uniformemente variado, nas variantes de ser acelerado e de ser acelerado. UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 35 4 Estática das partículas no plano Este capítulo estuda o efeito das forças que actuam em partículas. Por partícula entende-se um corpo com dimensões desprezáveis, pelo que a sua forma e dimensão não alteram significativamente os resultados do problema. 4.1 Forças actuantes numa partícula Uma força representa a acção de um corpo sobre outro e é representada pela sua intensidade, ponto de aplicação, direcção e sentido. Forças actuantes numa partícula têm o mesmo ponto de aplicação. Uma força representa-se por um segmento de recta orientado, o que se pode denominar por vector. O módulo do vector representa a intensidade da força. No sistema internacional a unidade de força é o Newton (N). Na engenharia civil é comum utilizar o quilo newton (kN), pois lida-se com forças grandes e com a utilização de um múltiplo, evita o uso de números com muitos dígitos nos cálculos. 4.2 Resultante de sistemas de forças concorrentes Se actuam numa partícula várias forças, estas podem ser substituídas por uma única força chamada resultante, a qual produz o mesmo efeito sobre a partícula. A resultante é calculada pela soma das forças que actuam sobre a partícula. 21 FFR rrr += UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 36 Regra do paralelogramo 4.3 Resultante de várias forças Se uma partícula é actuada por várias forças, a resultante é dada pela sua soma vectorial 321 FFFR rrrr ++= O que graficamente corresponde a. Regra do polígono, a qual corresponde à repetição da regra do paralelogramo 1F r 1F r 2F r 2F r 3F r 3F r R r R r 1F r 2F r R r UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 37 4.4 Decomposição de uma força em componentes Tal como um conjunto de forças concorrentes, pode ser substituído por uma força resultante. Logo esta resultante pode ser por várias forças concorrentes. O número de combinações de forças concorrentes é infinito. Por razões práticas é frequente decompor uma força nas suas componentes. yx FFF rrr += jFiFF yx ˆˆ ⋅+⋅= r Em que as componentes escalares Fx e Fy são dadas por: ( )αcos⋅= FFx ( )αsin⋅= FFy Porem o problema pode colocar-se de outra forma. É conhecida a força R r e uma das componentes. 21 FFR rrr += 12 FRF rrr −= F r yF r xF r UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 38 Neste caso, com base na regra do paralelogramo, constrói-se o seguinte esquema: Regra do paralelogramo Pela regra do polígono )( 12 FRF rrr −+= Regra do polígono 4.5 Equilíbrio de uma partícula Uma partícula diz-se em equilíbrio quando a resultante de todas as forças que lhe são aplicadas é nula. Uma partícula sujeita à acção de duas forças, está em equilíbrio se essas forças tiverem a mesma linha de acção, a mesma intensidade e sentidos opostos. ( ) 011 rrr =−+ FF R r 1F r R r 1F r 2F r 1F r - 1F r R r 2F r 1F r − 1F r UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 39 0321 rrrr =++ FFF Quando o conjunto de forças que actuam numa partícula forma um polígono fechado, essa partícula encontra-se em equilíbrio. Nesta situação podemos escrever. 0 1 rrr == ∑ = n i iFR No final do século VXII, Sir Isaac Newton, formulou três leis fundamentais nas quais se baseia a física mecânica também designada por física clássica ou física Newtoriana. A primeira dessas leis é enunciada como: 1ª Lei de Newton “Se a força resultante actuando sobre uma partícula é nula, a partícula permanecerá em repouso (se inicialmente estiver em repouso) ou mover-se-á com velocidade constante e em linha recta (se estiver inicialmente em movimento) ” Os princípios da estática de um ponto material assentam nesta lei e na definição de equilíbrio de uma partícula. 4.6 Diagrama de corpo livre Na prática, os problemas em Engenharia Civil derivam de situações físicas reais. Um esquema que represente as condições físicas do problema chama-se diagrama espacial. Existem muitos problemas reais que podem ser reduzidos a problemas referentes ao equilíbrio de uma partícula. 1F r 2F r 3F r 4F r 1F r 2F r 3F r 4F r UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 40 Exemplo 01 – Como calcular as forças de tracção aplicadas pelos cabos 1 e 2 no bloco? Diagrama espacial Diagrama espacial Diagrama de corpo livre O polígono formado pelas três forças aplicadas no corpo é fechado, logo a resultante é nula. Nesta situação, o corpo está em equilíbrio. As forças 1F r e 2F r podem ser calculadas através da condição de equilíbrio de uma partícula. ∑ = 0 rr F Na prática é mais simples lidar com as componentes cartesianas das forças 2 1 2F r 1F r gF r 2F r 1F r gF r UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 41 0=∑ xF 0=∑ yF 0=∑ xF ⇔ ( ) ( ) 0coscos 21 =⋅−⋅ βα FF 0=∑ yF ⇔ ( ) ( ) 0sinsin 21 =−⋅+⋅ gFFF βα Estas equações são resolvidas simultaneamente para as incógnitas 1F e 2F . Exemplo 02 – Cálculo da força aplicada por um cabo a segurar um bloco assente num plano inclinado sem atrito. gF r nR r α T r α β x y 2F r 1F r gF r α β UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/200942 gF r peso do bloco nR r reacção normal do plano sobre o bloco T r força exercida pelo cabo no bloco Aplicando as equações de equilíbrio. 0=∑ xF 0=∑ yF Resulta. 0=∑ yF 0)cos()sin( =⋅−⋅+ αβ gn FTR Nesta equação temos duas variáveis cujo valor é desconhecido, logo não é possível calcular o valor de T . Analisando o equilíbrio de forças segundo x : 0=∑ xF ( ) ( ) 0cossin =⋅−⋅ βα TFg ( ) ( )β α cos sin⋅ = gFT Este exemplo demonstra a necessidade de saber visualizar no diagrama de corpo livre qual ou quais são as direcções mais convenientes para aplicar as condições de equilíbrio. 4.7 Questões teóricas Q1) Estabeleça o diagrama de corpo livre para a seguinte situação. Represente as forças actuantes no cabo e na barra. UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 43 A figura representa uma barra inclinada com peso Fg segura por um cabo de massa desprezável. Q2) Considerando a mesma situação, estabeleça a equação para o cálculo da força de tracção a que o cabo AC está sujeito. θ β α A B C UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 44 5 Dinâmica de uma partícula A dinâmica estuda as relações entre as forças que actuam na partícula e os movimentos por ela adquiridos. A estática estuda as condições de equilíbrio de uma partícula. 5.1 As três leis do movimento de Newton Newton estudou e desenvolveu as ideias de Galileu sobre o movimento e estabeleceu três leis que têm hoje o seu nome. 1ª Lei de Newton "Todos os corpos permanecem no seu estado de repouso ou de movimento rectilíneo uniforme a não ser que sejam obrigados a modificar esse estado por acção de forças aplicadas." Da 1ª lei de Newton podemos concluir que: - Quando um corpo está em repouso, não actua nenhuma força, ou actua um sistema de forças cuja resultante é nula; - Quando um corpo tiver movimento rectilíneo uniforme não actua nele nenhuma força ou actua um sistema de forças cuja resultante é nula. Quando um corpo está numa situação de equilíbrio ( r r Fi∑ = 0 ), esse equilíbrio pode ser estático ( r r v = 0 ) ou dinâmico ( r r a = 0 e rv = constante). 2ª Lei de Newton "A aceleração de um corpo é directamente proporcional à intensidade da força resultante, tem a mesma direcção e o mesmo sentido que esta e é inversamente proporcional à massa do corpo." O enunciado desta lei é traduzido pela expressão: r r r r a F m F m a= ⇔ = ⋅ A unidade de força chama-se Newton (N) e corresponde a uma força constante com intensidade igual a uma unidade que aplicada a uma massa de 1 kg, comunica-lhe uma aceleração de 1 m/s2. Relação entre as direcções e sentidos de rv , ra e r F : 1) Aplicando a um corpo em repouso uma força r F constante em direcção, sentido e intensidade, ele adquire movimento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) com direcção e sentido da força. Nesta situação rv , ra e r F têm a mesma direcção e sentido. ra e r F são constantes. r F r r v0 0= r v1 r v2 r F r F UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 45 2) Aplicando a um corpo com velocidade rv0 uma força r F constante na mesma direcção mas sentido contrário do de rv0 , o corpo terá movimento rectilíneo uniformemente retardado (a velocidade e a aceleração têm sentidos contrários). 3) Se r F tiver direcção diferente da de rv , o corpo passa a ter uma trajectória curva, pelo que se altera a direcção de rv . Em todas as situações r F e ra têm a mesma direcção e sentido. 3ª Lei de Newton "A qualquer acção opõe-se sempre uma reacção igual, ou seja, as acções mutuas de dois corpos um sobre o outro são sempre iguais e de sentidos opostos." Esta lei exprime uma propriedade importante das forças: as forças nunca aparecem isoladas, mas sempre aos pares como resultado da interacção entre dois corpos. O par acção reacção tem as seguintes características: - a mesma linha de acção; - sentidos opostos; - mesma intensidade, - estão aplicados em corpos diferentes. r F r v0 r v1 r v2 r F r F r a r F r a rv UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 46 Em que: r FA B, Força aplicada no corpo A pelo corpo B r FB A, Força aplicada no corpo B pelo corpo A Estes dois vectores são simétricos: r r F FA B B A, ,= − É totalmente errado somar estes dois vectores e dizer que o resultado é nulo pois estas forças são aplicadas em corpos diferentes. 5.2 Relação entre r F e ra e sua aplicação aos vários tipos de movimento Como foi visto, a 2ª lei de Newton ou lei fundamental da dinâmica é: r rF m a= ⋅ Como: r r r a a an t= + ( )r r rF m a an t= ⋅ + r r rF m a m an t= ⋅ + ⋅ Logo: r r r F F Fn t= + Em que: r F m v R un n= ⋅ ⋅ 2 $ r F m v t ut t= ⋅ ⋅ ∂ ∂ $ A componente da força normal à trajectória r Ft é responsável pela variação da direcção da velocidade e a componente tangente à trajectória causa a alteração do módulo da velocidade. r FA B, A B r FB A, UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 47 Se relacionarmos os vectores r Fn e r Ft com r an e r at nos vários tipos de movimentos, podemos concluir que: 5.3 Forças de ligação Forças de ligação são forças que condicionam o movimento de um determinado corpo, como por exemplo: - Tracções em cabos; - Reacção normal de planos; - Forças de atrito. Considere-se o seguinte corpo suspenso. O dispositivo é constituído por um apoio A, um cabo C e uma esfera E. E C A Movimentos Rectilíneos r r Fn = 0 r r an = 0 Curvilíneos r r Fn ≠ 0 r r an ≠ 0 Uniformes r r Ft = 0 r r at = 0 Variados r r Ft ≠ 0 r r at ≠ 0 Uniformes r r Ft = 0 r r at = 0 Variados r r Ft ≠ 0 r r at ≠ 0 r r F Ft= r r F = 0 r r F Fn= r r r F F Fn t= + UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 48 Na esfera actua a força gravítica r Fg e a força de tracção aplicada pelo cabo r FE C, . No cabo actua o peso da esfera que tracciona o cabo e na outra extremidade actua a força aplicada pelo apoio no cabo. No apoio actua a força aplicada pelo cabo r FA C, e um conjunto de forças não representadas exercidas pela estrutura que suporta o apoio. Como todos os elementos estão em equilíbrio estático, a resultante das forças aplicadas em cada um destes elementos é nula r r Fi∑ = 0 . No esquema acima existem dois pares acção reacção, um na ligação entre a esfera e o cabo e outro na ligação entre o cabo e o apoio. 5.3.1.Pendulos Um pêndulo gravítico simples é um sistema constituído por um corpo, normalmente uma esfera, com uma massa m e um fio inextensível e de massa desprezível. A trajectória é circular com raio igual ao comprimento do fio l e centro no ponto de suspensão O.r FE C, E C A r FC E, r FC A, r FA C, r Fg UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 49 A figura acima representada é o diagrama de corpo livre da massa. Nela estão representadas todas as forças aplicadas na esfera. Consideram-se um sistema de eixos tn em que o eixo t é tangente e o eixo n é normal à trajectória. Uma vez que o referencial é ortonormado, é possível fazer o somatório das forças segundo cada um dos eixos de forma independente. Uma vez que o sistema de eixos acompanha o movimento da massa do pêndulo, segundo n não há variação da posição, a distancia à origem é constante, a velocidade é nula e a aceleração é nula e consequentemente a resultante das forças que actuam segundo esta direcção também é nula. Fn =∑ 0 ( ) ng amFT ⋅=⋅− θcos ( )T m g m v l = ⋅ ⋅ + ⋅cos θ 2 O somatório das forças segundo a tangente à trajectória é diferente de zero. Segundo esta direcção existe variação da velocidade e aceleração não constante. Fn ≠∑ 0 ( )F Ft g= ⋅∑ sin θ ( )F m gt = ⋅ ⋅∑ sin θ Como: F m a= ⋅ Conclui-se que: A B O C v Fg v T v Fgn v Fgt n t θ θ v Fc UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 50 ( )a gt = ⋅ sin θ A aceleração a que a massa está sujeita no pêndulo gravítico não é constante, mas sim uma função sinusoidal do ângulo que o cabo faz com a vertical. Desta expressão e das relações estudadas na cinemática pode-se concluir que a aceleração é sempre tangente à trajectória, dirigida na direcção do ponto mais baixo. É máxima nas posições extremas e nula quando o pêndulo passa pela vertical. A velocidade é nula nas extremidades e máxima quando o pêndulo passa pela vertical. 5.3.2 Reacção de superfícies Sempre que um corpo está apoiado numa superfície, exerce sobre ela uma força compressora à qual se opõe uma reacção que a superfície aplica no corpo. Esta força r R subdivide-se em duas componentes, uma normal à superfície r Rn e outra tangencial à superfície r Rt . Esta última costuma designar-se por força de atrito. r r r R R Rn t= + A força exercida pelo corpo na superfície A r e a reacção normal da superfície r Rn formam um par acção reacção. r r N Rn= − Como o corpo está imóvel, o somatório das forças que lhe são aplicadas é nula, tal que: r r r F Rg n+ = 0 Se a um corpo em repouso assente sobre uma superfície horizontal aplicarmos uma força r F , a superfície apresenta uma resistência ao movimento que se traduz por uma força tangente à superfície com sentido contrário ao movimento. Essa força designa-se por força de atrito. A r r Rn r Fg CM UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 51 Existem forças de atrito estático e forças de atrito cinético. Se não existe movimento relativo entre as duas superfícies o atrito é estático, se existe movimento relativo entre as duas superfícies, o atrito é cinético. A experiência demonstra que as forças de atrito estáticas são superiores às forças de atrito dinâmicas para a maioria dos materiais. Na situação acima referida podem acontecer duas situações: 1) a força r F é superior à força de atrito estático r Fae , o corpo entra em movimento e o atrito passa a ser cinético r Fak ; 2) a força r F é inferior à força de atrito estático r Fae e o corpo permanece em repouso. A força de atrito é calculada por: r r F Ra n= ⋅µ Para o cálculo do atrito estático, emprega-se o coeficiente de atrito estático µ e e para o cálculo do atrito cinético utiliza-se o coeficiente de atrito cinético µ k . Considere-se um corpo colocado sobre um plano inclinado que faz um determinado ângulo θ com a horizontal. r N r Rn r Fg CM r F r Fa UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 52 Nesta situação, segundo o eixo n não se há movimento, este apenas ocorre segundo a tangente à superfície definida pelo eixo t. Desta forma pode-se escrever que: Fn =∑ 0 ( )R Fn g− ⋅ =cos θ 0 ( )R Fn g= ⋅ cos θ Quanto à resultante segundo o eixo t: ( )F F Ft g a= ⋅ −∑ sin θ ( )F m g Rt n= ⋅ ⋅ − ⋅∑ sin θ µ ( ) ( )F m g m gt = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅∑ sin cosθ µ θ ( ) ( )( )F m gt = ⋅ ⋅ − ⋅∑ sin cosθ µ θ Os valores dos coeficientes de atrito dependem dos materiais das duas superfícies que tendem a deslizar entre si. São referidos no quadro seguinte, a título de exemplo, os valores dos coeficientes de atrito para alguns materiais. θ r Fg t n ( )r rF Fgn g= ⋅ cos θ ( )r rF Fgt g= ⋅ sin θ r r F Ra n= ⋅µ UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 53 MATERIAIS µ e µ k cobre / ferro 1.1 0.3 aço / aço 0.7 0.5 aço / madeira 0.4 0.2 aço / teflon 0.04 0.04 5.4 Movimento harmónico simples Quando a força aplicada num corpo é proporcional ao afastamento do ponto de equilíbrio e no sentido desse mesmo ponto, o movimento que se desenvolve é harmónico simples. A força F será dada por: F k x= − ⋅ F m a= ⋅ − ⋅ = ⋅k x m a logo, explicitando a aceleração: r F r F 0 rr =F x UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 54 a k m x= − ⋅ como a aceleração é a segunda derivada do deslocamento: d x dt k m x 2 2 = − ⋅ se substituir: k m = ω 2 d x dt x 2 2 2 = − ⋅ω a solução da equação diferencial acima, é: ( )x A t= ⋅ ⋅ +sin ω φ isto pode ser provado da seguinte forma: a primeira derivada de x em ordem ao tempo é: ( )dxdt A d dt t= ⋅ ⋅ +sin ω φ ( )dxdt A t= ⋅ ⋅ ⋅ +ω ω φcos a segunda derivada será: ( )d xdt A d dt t 2 2 = ⋅ ⋅ ⋅ +ω ω φcos ( )d xdt A t 2 2 2 = − ⋅ ⋅ ⋅ +ω ω φsin logo prova-se que: ( )d x dt x t 2 2 2 = − ⋅ω O movimento harmónico simples aplica-se a todos os corpos que oscilam em torno de uma posição de equilíbrio (PE) e que estão sujeitos a uma força directamente proporcional ao afastamento da (PE) dirigida no sentido da (PE). Aplica-se a pêndulos gravíticos com pequena amplitude de movimentos e a osciladores de um ou mais graus de liberdade. Os osciladores têm aplicação na Engenharia Civil por serem utilizados como modelos simplificados do comportamento dinâmico de estruturas de edifícios. UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 55 6 Quantidade de movimento de um sistema de partículas 6.1 Impulso de uma força Forças diferentes poderão originar acréscimos iguais de velocidade na mesma partícula, desde que actuem de modo a ser constante o produto da força pelo seu tempo de actuação. r r J F t= ⋅ ∆ r r J F t n i i n = ⋅ →∞ = ∑lim ∆ 1 r r J F t t t = ⋅∫ 1 2 ∂ 1t 2t mF J t1 t2 t(s) F(N) UNIVERSIDADE
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