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FÍSICA APLICADA ENGENHARIA CIVIL

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UNIVERSIDADE DO ALGARVE
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
 
 
 
 
 
 
TEXTO DE APOIO ÀS AULAS TEÓRICAS DE 
FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL
 
 
 
 
 
 
Rui Lança, Eq. Professor Adjunto
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE DO ALGARVE 
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA 
TEXTO DE APOIO ÀS AULAS TEÓRICAS DE 
APLICADA À ENGENHARIA CIVIL
Rui Lança, Eq. Professor Adjunto 
SETEMBRO DE 2008 
TEXTO DE APOIO ÀS AULAS TEÓRICAS DE 
APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 
 
 i 
Índice de matérias 
 
1 Introdução ........................................................................................................................................ 1 
1.1 Sistema de unidades ................................................................................................................. 3 
1.2 Semelhança ............................................................................................................................... 4 
1.3 Cálculo vectorial....................................................................................................................... 6 
1.4 Cálculo de determinantes ....................................................................................................... 11 
1.5 Questões teóricas .................................................................................................................... 12 
2 Cinemática ..................................................................................................................................... 13 
2.1 Introdução ............................................................................................................................... 13 
2.2 Movimento de uma partícula material .................................................................................... 13 
2.3 Vector deslocamento .............................................................................................................. 14 
2.4 Espaço Percorrido................................................................................................................... 14 
2.5 Equação da trajectória ............................................................................................................ 14 
2.6 Vector velocidade média e vector velocidade instantânea ..................................................... 15 
2.7 Vector aceleração média e vector aceleração instantânea ...................................................... 16 
2.8 Componente normal e tangencial do vector aceleração ......................................................... 16 
2.9 Questões teóricas .................................................................................................................... 23 
3 Cinemática – movimentos ............................................................................................................. 24 
3.1 Movimento rectilíneo ............................................................................................................. 24 
3.2 Movimento circular ................................................................................................................ 28 
3.3 Projecteis ................................................................................................................................ 33 
3.4 Questões teóricas .................................................................................................................... 33 
4 Estática das partículas no plano ..................................................................................................... 35 
4.1 Forças actuantes numa partícula ............................................................................................. 35 
4.2 Resultante de sistemas de forças concorrentes ....................................................................... 35 
4.3 Resultante de várias forças ..................................................................................................... 36 
4.4 Decomposição de uma força em componentes ...................................................................... 37 
4.5 Equilíbrio de uma partícula .................................................................................................... 38 
4.6 Diagrama de corpo livre ......................................................................................................... 39 
4.7 Questões teóricas .................................................................................................................... 42 
5 Dinâmica de uma partícula ............................................................................................................ 44 
5.1 As três leis do movimento de Newton .................................................................................... 44 
5.2 Relação entre 
r
F e ra e sua aplicação aos vários tipos de movimento ................................... 46 
5.3 Forças de ligação .................................................................................................................... 47 
5.4 Movimento harmónico simples .............................................................................................. 53 
 ii 
6 Quantidade de movimento de um sistema de partículas................................................................ 55 
6.1 Impulso de uma força ............................................................................................................. 55 
6.2 Momento linear de uma partícula e de um sistema discreto de partículas ............................. 56 
6.3 Centro de massa de um sistema discreto de partículas ........................................................... 56 
6.4 Momento linear do centro de massa ....................................................................................... 57 
6.5 Lei do movimento do centro de massa ................................................................................... 58 
6.6 Conservação do momento linear ............................................................................................ 59 
6.7 Colisões perfeitamente elásticas ............................................................................................. 59 
6.8 Colisões perfeitamente inelásticas .......................................................................................... 60 
7 Trabalho e energia ......................................................................................................................... 61 
7.1 Noção de trabalho ................................................................................................................... 61 
7.2 Trabalho de uma força constante ............................................................................................ 61 
7.3 Trabalho realizado por uma força variável ............................................................................. 61 
7.4 Forças que não realizam trabalho ........................................................................................... 64 
7.5 Trabalho de um sistema de forças .......................................................................................... 64 
7.6 Energia cinética ...................................................................................................................... 64 
7.7 Energia potencial .................................................................................................................... 65 
7.8 Conservação da energia mecânica .......................................................................................... 66 
7.9 Lei da conservação da energia ................................................................................................ 67 
8 Mecânica dos fluidos ..................................................................................................................... 68 
8.1 Propriedades dos fluidos ........................................................................................................68 
8.2 Pressão .................................................................................................................................... 68 
8.3 Distribuição hidrostática de pressões ..................................................................................... 69 
8.4 Vasos comunicantes ............................................................................................................... 71 
8.5 Prensa hidráulica .................................................................................................................... 72 
8.6 Pressão atmosférica ................................................................................................................ 72 
8.7 Lei de Arquimedes ................................................................................................................. 74 
9 Centros de gravidade, momentos estáticos e estudo de forças distribuídas .................................. 75 
9.1 Momento de uma força em relação a um ponto ..................................................................... 75 
9.2 Centro de gravidade de um corpo bidimensional ................................................................... 76 
9.3 Centro de massa de uma placa homogénea ............................................................................ 77 
9.4 Momentos de primeira ordem ou momento estático .............................................................. 77 
9.5 Baricentro de uma placa composta ......................................................................................... 79 
9.6 Teorema de Pappus-Guldin .................................................................................................... 81 
9.7 Cargas distribuídas sobre vigas .............................................................................................. 81 
10 Eixos principais de inércia, inércias máximas e mínimas ........................................................... 84 
10.1 Exemplos de aplicação ......................................................................................................... 84 
 iii 
10.2 Momentos de inércia ............................................................................................................ 86 
10.3 Momento polar de inércia ..................................................................................................... 88 
10.4 Raio de giração de uma superfície........................................................................................ 89 
10.5 Teorema dos eixos paralelos ................................................................................................ 90 
10.6 Momento de inércia de superfícies planas compostas .......................................................... 91 
10.7 Momentos de inércia de figuras geométricas comuns .......................................................... 94 
11 Produto de inércia e círculo de Mohr .......................................................................................... 97 
11.1 Produto de inércia ................................................................................................................. 97 
11.2 Extensão do teorema dos eixos paralelos ............................................................................. 97 
11.3 Eixos e momentos principais de inércia ............................................................................... 98 
11.4 Círculo de Mohr para momentos e produtos de inércia...................................................... 101 
Referencias Bibliográficas ............................................................................................................. 107 
UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 1 
 
1 Introdução 
A física é a mais básica das ciências, aborta o comportamento e estrutura da matéria. Esta área tão 
abrangente divide-se em áreas do conhecimento que estudam o movimento, os sólidos, os fluidos, 
os gases, o calor, o som, a luz, a electricidade, o magnetismo, a relatividade, a estrutura atómica, a 
radioactividade, a física de partículas e a astrofísica entre outros. 
Na aplicação à engenharia civil abordamos apenas alguns tópicos relacionados com o movimento, 
sólidos e fluidos, dos quais se destacam: 
- Grandeza física e sistemas de unidades. Estas noções são fundamentais para quantificar as 
variáveis envolvidas nos diversos problemas e resolver. Para o Engenheiro Civil é fundamental ter 
uma noção das grandezas com que lida, saber o que significam e o que valem as unidade utilizadas 
para as quantificar e com a experiência adquirir sensibilidade para os valores das unidade e associar 
esses valores com a sua materialização na realidade. 
- Cinemática. Neste capítulo aborta-se o estudo do movimento em 1D e 2D, esta análise permite 
estabelecer cálculos sobre trajectórias, velocidade, tempos de viagem, tempos de queda de um 
corpo em queda livre. 
- Estáticas das partículas no plano. A estática é um caso particular do movimento (dinâmica), 
situação em que as forças aplicadas se equilibram. Neste capítulo utiliza-se o cálculo vectorial para 
o cálculo de situações de equilíbrio aplicado a casos reais com que o engenheiro civil se pode 
debater. 
- Centros de gravidade. O cálculo do centro de gravidade de uma superfície ou de um corpo é 
muito utilizado na Engenharia Civil, basta pensar que se for necessário segurar um corpo por um 
único ponto, esse ponto será o centro de gravidade. 
- Conceito de momento. O momento de uma força em relação a um ponto traduz o efeito de 
rotação que essa força causa num corpo que possa girar em torno do ponto. Em situações estáticas 
o conceito de momento também é importante pois permite determinar as condições de equilíbrio à 
rotação. 
- Momentos estáticos de uma superfície. O momento estático ou o momento de primeira ordem 
de uma superfície em relação a um eixo traduz o produto da área pela distância ao eixo 
considerado. É uma propriedade geométrica que influencia a forma como os esforços internos se 
distribuem numa secção de um elemento estrutural. 
- Estudo de forças distribuídas. Na natureza todas as forças são distribuídas, mas na concepção 
de um problema se a força actua numa área muito reduzida pode ser considerada como uma força 
concentrada. Existem outras situações em que para efeito da resolução de um problema podemos 
representar uma força distribuída como uma força concentrada desde esta abstracção não altere os 
resultados obtidos na resolução do problema. 
UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 2 
 
- Momento de inércia de superfícies. O inércia ou o momento de segunda ordem de uma 
superfície em relação a um eixo traduz o produto da área pelo quadrado distância ao eixo 
considerado. É uma propriedade geométrica que influencia a forma como os esforços internos se 
distribuem numa secção de um elemento estrutural. Não confundir momento de inércia de uma 
superfície com inércia (propriedade de um corpo tem para oferecer resistência a alterações de 
velocidade). 
- Dinâmica de uma partícula. Neste capítulo introduzem-se as leis fundamentais da dinâmica 
clássica, ou seja, as três leis de Newton. Estas leis são aplicadas em situações práticas do dia a dia 
com ênfase para casos da engenharia civil. Também se aborda o movimento harmónico e a sua 
utilização na analise dinâmica de estruturas. 
- Trabalho e energia. O conceito de trabalho e energia permite resolver alguns problemas da 
cinemática e da dinâmica de uma forma muito mais simples. 
- Mecânica dos fluidos. Neste capítulo faz-se uma ligeira abordagem aos estados da matéria, às 
propriedades dos fluidos e a alguns casos em que a acção hidrostática dos fluidos condiciona o 
resultado de uma observação, como a força exercida por um fluido nas paredes do recipiente queo 
contem, o funcionamento do barómetro de mercúrio, a prensa hidráulica e a aplicação do teorema 
de Arquimedes a corpos totalmente ou parcialmente imersos. 
 
A Física Aplicada à Engenharia Civil não deve ser vista como uma disciplina estanque, mas sim 
como uma disciplina cujos conhecimentos são aprofundados e aplicados em outras disciplinas da 
engenharia civil como estática, estruturas, betão, hidráulica e solos. 
 
Este manual da disciplina de Física Aplicada à Engenharia Civil não pretende ser o único 
elemento de consulta para apoio às aulas teóricas. Pretende ser uma referência para o 
primeiro contacto do aluno com as matérias leccionadas, as quais serão alvo estudo mais 
detalhado nas referências bibliográficas indicadas. 
 
É recomendado que o estudante leve estes apontamentos para as aulas teóricas para 
não ser forçado a passar toda a informação do quadro e desta forma poder seguir a 
aula com tempo para raciocinar sobre os temas discutidos. 
UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 3 
 
1.1 Sistema de unidades 
Uma medição de uma grandeza física é exprimida com base num valor padrão dessa grandeza. A 
esse valor padrão chama-se a unidade de medida da grandeza. 
Um sistema de unidades é um conjunto coerente de unidades, umas fixadas arbitrariamente por 
comparação com valores padrão (unidades fundamentais) e outras obtidas com base nas primeiras 
por meio de equações de definição (unidades derivadas). 
Na física mecânica as grandezas físicas fundamentais são três: 
M massa 
L comprimento 
T tempo 
Formando o sistema MLT, o qual é a base do sistema internacional (SI). 
As unidades de medida das grandezas físicas fundamentais no sistema internacional de pesos e 
medidas (S.I.) são 
Quilograma (kg) massa 
Metro (m) comprimento 
Segundo (s) tempo 
Unidades padrão 
A unidade padrão para a massa é o (kg). O (kg) padrão é um cilindro de platina guardado no 
International Bureau of Weights and Measures próximo de Paris. 
A unidade padrão para o tempo é o (s) e é definido como 9 192 631 770 períodos da radiação de 
átomos de celcium. 
A unidade padrão para o comprimento é o (m). O metro padrão é o comprimento percorrido pela 
luz no vacum durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 (s). 
Todas as unidades utilizadas para quantificar as grandezas físicas fundamentais foram definidas por 
convenção e as medições são feitas por comparação do tamanho da grandeza física com a unidade 
padrão dessa mesma grandeza física. 
Grandeza física derivada 
Uma grandeza física derivada é exprimida por uma equação de definição. Como exemplo de 
equação de definição, pode-se considerar a equação da variação da posição num movimento 
rectilíneo uniforme. 
dtvrd ⋅= rr 
dt
rd
v
r
r
= 
UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 4 
 
Para determinar as grandezas físicas fundamentais envolvidas na grandeza física derivada 
velocidade, substitui-se na equação os símbolos das grandezas físicas fundamentais, obtendo-se. 
[ ]rv L T= ⋅ −1 
Para a aceleração, que se define como a variação da velocidade em ordem ao tempo, obtém-se. 
dt
vd
a
r
r
= 
Substituindo na equação os símbolos das unidades fundamentais, vem. 
[ ] [ ]r
r
a
v
T
L T= = ⋅ −2 
A força é definida pela segunda lei de Newton. 
r rF m a= ⋅ 
E as respectivas grandezas físicas fundamentais são. 
[ ]rF M L T= ⋅ ⋅ −2 
De um modo geral as grandezas físicas fundamentais de uma grandeza derivada X são. 
[ ]X M L T= ⋅ ⋅α β γ 
Em que α , β e γ são as dimensões da grandeza. Quando α β γ= = = 0 a grandeza diz-se 
adimensional, como por exemplo a densidade relativa e um ângulo. 
O quadro seguinte apresenta as dimensões das grandezas mais correntes da Física Mecânica, no 
sistema MLT. 
 
Grandeza física [X] Dimensões Sistema 
 
α β γ SI 
Comprimento 0 1 0 (m) 
Área 0 2 0 (m2) 
Volume 0 3 0 (m3) 
Tempo 0 0 1 (s) 
Velocidade 0 1 -1 (m/s) 
Aceleração 0 1 -2 (m/s2) 
Massa 1 0 0 (kg) 
Força 1 1 -2 (N) ≡ (kg.m/s2) 
Pressão 1 -1 -2 (Pa) ≡ (N/m2) 
Peso volúmico 1 -2 -2 (N/m3) 
Massa volúmica 1 -3 0 (kg/m3) 
Quantidade de movimento 1 1 -1 (kg.m/s) 
Trabalho 1 2 -2 (J) ≡ (kg.m2/s2) 
Potência 1 2 -3 (W) ≡ (kg.m2/s3) 
1.2 Semelhança 
Na física e na engenharia civil utiliza-se modelos matemáticos que se baseiam em fórmulas e 
processos matemáticos para obter os resultados. Algumas vezes lida-se com problemas cuja 
UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 5 
 
caracterização através de modelos matemáticos pode ser difícil pelo que se torna rentável utilizar 
modelos físicos. 
Os modelos físicos assentam na construção de uma maquete à escala com comportamento 
semelhante à realidade. No modelo são colocados instrumentos que permitem obter leituras sobre 
velocidades, posições, forças, deformações, etc. 
A correlação entre as leituras obtidas no modelo e a realidade muitas vezes não são lineares. 
Quando se constrói um modelo podem-se ter escalas diferentes para as grandezas físicas 
comprimentos [L] segundo x, y e z (Lx), [Ly] e [Lz], para a massa [M] e para o tempo [T]. Ora veja-
se o seguinte exemplo: 
Exemplo 1: 
Num modelo físico à escala [L] = 1/10, [T] = 1/1 e [M] = 1/20 desloca-se uma partícula com massa 
mModelo à velocidade Modelov
r
. 
Questão: Qual será a velocidade real? 
Resposta: A grandeza física derivada velocidade define-se como: 
dt
rd
v
r
r
= 
 As grandezas físicas fundamentais envolvidas na grandeza física derivada velocidade são: 
[ ] 1−⋅= TLvr 
( ) ( ) 1Re 110 −⋅⋅⋅= ModeloModeloal trv rr 
Ou seja 
Modeloal vv
rr
⋅= 10Re 
A velocidade será 10 vezes superior na realidade do que no modelo. 
Nem sempre a relação de proporcionalidade é linear como se pode constatar neste exemplo para a 
velocidade. 
Questão: Qual será a energia cinética real? 
Resposta: A equação de definição da energia cinética é dada por: 
2
2
1
vmEC
r
⋅⋅= 
Logo 
( ) ( )2Re 10202
1
ModeloModeloal vmE
r
⋅⋅⋅⋅= 
( ) 22Re 2
11020 ModeloModeloal vmE
r
⋅⋅⋅= 
Modeloal CC
EE ⋅= 1000
Re
 
 
UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 6 
 
Exemplo 2: 
Para testar o comportamento de um reservatório, desenvolveu-se um modelo físico à escala [L] = 
1/20; [T] = 1/1; [M] = 1/1.7. Sabendo que a acção da água sobre uma parede vertical plana com 
dimensões (H . L) é de ModeloF
r
, qual é a força que actua sobre a parede na realidade. alFRe
r
. A 
equação de definição é: 
LHgF ⋅⋅⋅⋅= 2
2
1 rr ρ 
Sendo: 
ρ massa volúmica da água (kg/m3) 
gr aceleração da gravidade (m/s2) 
H altura da parede (m) 
L extensão da parede em planta (m) 
( ) ( ) ( )ModeloModeloModeloal LHgF ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 20207.12
1 2
Re
rr ρ 
LHgF Modeloal ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
22
Re 20207.12
1 rr ρ 
ModeloModeloModeloal LHgF ⋅⋅⋅⋅=
2
Re 6800
rr ρ 
Nos exemplos anteriores mostrou-se como a partir de dados medidos em modelos reduzidos de 
podem obter os valores reais. Nestes exemplos utilizaram-se casos em que por equações 
matemáticas é fácil obter os resultados para a realidade pelo que não faz sentido construir modelos 
físicos, nestes casos utilizam-se modelos matemáticos. Contudo existem situações, que saem fora 
do programa desta cadeira, em que não existem modelos matemáticos correctos como por exemplo: 
cálculo de forças aerodinâmicas exercidas pelo vento numa estrutura não convencional; calcular as 
alterações no transporte de sedimentos que provocam a alteração da configuração do fundo de um 
estuário devido à ampliação dos molhes de protecção de um porto; na construção de um novo 
empreendimentoturístico numa zona ventosa determinar as zonas abrigadas para colocar 
esplanadas; etc. 
1.3 Cálculo vectorial 
Na física trabalha-se com grandezas escalares e grandezas vectoriais. Uma grandeza escalar é 
definida por um número. Por exemplo a massa de um corpo é de x (kg). Significa que a massa deste 
corpo é de x vezes a unidade padrão. Desta forma está definida qual é a massa do corpo. Contudo 
ao dizer que a velocidade de um corpo é de y (m/s), esta grandeza não está definida. Sabe-se que o 
corpo se desloca a y (m/s) mas em que direcção? E em que sentido? Para não deixar estas perguntas 
em aberto, a velocidade define-se como uma grandeza vectorial. Ao escrever que a velocidade do 
UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 7 
 
corpo é de ry (m/s), está definido também a direcção e sentido da grandeza para além da sua 
intensidade. 
Um vector é um segmento de recta orientado. As componentes escalares de um vector são dadas 
pelas diferenças entre as coordenadas do ponto apontado pelo vector (B) e o ponto onde o vector é 
aplicado (A). 
 
 
( ) ( )zzyyxxzyx ABABABuuuu −−−== , ,,,r 
 
Vectores equivalentes têm o mesmo módulo, direcção e sentido. Porém podem ser aplicados em 
pontos distintos. 
1.3.1 Soma de vectores 
r r r
a u v= + 
( )zzyyxx vuvuvua +++= , ,r 
 
1.3.2 Diferença de vectores 
( )r r ra u v= + − 
( )ra u v u v u vx x y y z z= − − −, , 
 
1.3.3 Módulo de um vector 
O módulo de um vector é uma grandeza escalar e significa o comprimento do vector, ou seja a 
distância em linha recta entre os pontos situados nas extremidades desse vector. 
 
 
222
zyx aaaa ++=
r
 
 
 
 
B 
 θ 
u
r
 
r
a 
r
u 
r
v 
r
a r
u 
r
v 
−
r
v 
r
a 
r
a 
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1.3.4 Ângulo formado entre um vector e o eixo xx 
O ângulo formado entre um vector e o eixo dos xx é dado pelas seguintes funções trigonométricas. 
 
 
( )
u
u x
r=αcos 
( )
u
u y
r=αsin 
( )
x
y
u
u
=αtan 
( )
y
x
u
u
g =αcot 
 
 
1.3.5 Produto de um vector por um escalar 
O resultado do produto de um vector por um escalar é um vector com a mesma direcção e sentido, 
mas com o seu módulo multiplicado pelo escalar. Se a variável escalar tiver um valor negativo, o 
sentido do vector ra será contrário ao do vector rv . 
r r
a k v= ⋅ 
( )ra k v k v k vx y z= ⋅ ⋅ ⋅, , 
 
1.3.6 Versores 
Versores são vectores com módulo unitário que descrevem uma direcção e sentido no espaço. 
Normalmente utilizam-se versores para definir o sistema de eixos de um referencial. Neste curso só 
se trabalha com referenciais cartesianos ortonormados. Num sentido lato um referencial 
ortonormado é um referencial em que os dois ou três eixos fazem entre si ângulos rectos. 
 
 
 
 
( )αcos⋅= uu x r 
( )αsin⋅= uu y r ( )αtan⋅u
r
 
( )αgu cot⋅r 
α 
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kjir ˆ3ˆ2ˆ3 ⋅+⋅+⋅=r 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A notação recorrendo a versores é mais correcta do ponto de vista matemático e facilita os cálculos 
que envolvam grandezas vectoriais. 
O vector 
( )rr r r rx y z= , , 
Passa a ser escrito na forma 
r
r r i r j r kx y z= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $ 
Na realidade, um vector é definido como a soma dos produtos de escalares por versores que 
indicam a direcção e sentido de cada um dos eixos. 
1.3.7 Produto interno de 2 vectores 
O produto interno de 2 vectores é uma grandeza escalar e é definido como o produto dos módulos 
de dois vectores projectados sobre a direcção de um deles. O produto interno é comutativo. 
 
( )[ ]r r r ra b a b⋅ = ⋅ ⋅ cos α
 
( )[ ]r r r ra b a b⋅ = ⋅ ⋅cos α
 
 
 
 
O produto interno de dois vectores pode ser calculado recorrendo só às componentes escalares. Por 
vezes é útil calcular o produto interno desta forma pois não se sabe qual é o ângulo formado entre 
os dois vectores. Esta questão é mais pertinente se o problema for tridimensional. 
Se estivermos num referencial ortonormado é válido afirmar. 
iˆ 
jˆ 
kˆ 
y 
x 
z 
r
r 
r
a 
r
b 
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( ) ( ) ( ) 10cos11ˆˆˆˆˆˆ =⋅⋅=⋅=⋅=⋅ kkjjii 
( ) ( ) ( ) 0º90cos11ˆˆˆˆˆˆ =⋅⋅=⋅=⋅=⋅ jkkiji 
Pelo que. 
( ) ( )kbjbibkajaiaba zyxzyx ˆˆˆˆˆˆ ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=⋅ rr 
+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅ kbiajbiaibiaba zxyxxx ˆˆˆˆˆˆ
rr
 
+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ kbjajbjaibja zyyyxy ˆˆˆˆˆˆ 
kbkajbkaibka zzyzxz ˆˆˆˆˆˆ ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+ 
Simplificando, vem. 
r r
a b a b a b a bx x y y z z⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ 
Conjugando as duas equações para o cálculo do produto interno resulta. 
( )r r r ra b a b a b a b a bx x y y z z⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ cos α 
Explicitando o termo desconhecido ( )cos α , obtém-se. 
( )cos α = ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅
a b a b a b
a b
x x y y z z
r r 
1.3.8 Produto externo de 2 vectores: 
O produto externo de dois vectores é um vector que tem uma direcção perpendicular ao plano que 
contém os dois vectores e cujo sentido é definido pela regra da mão direita ou do saca-rolhas. O 
módulo é dado pelo produto do módulo do primeiro vector pelo segundo projectado numa direcção 
normal à direcção do primeiro. Este conceito é importante para o cálculo do momento de uma força 
em relação a um ponto por exemplo. 
O produto externo não é comutativo. 
 
 
( ) ( )r rr F r i r j r k F i F j F kx y z x y z× = ⋅ + ⋅ + ⋅ × ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $ $ $ $ A 
equação anterior traduz-se pela resolução do seguinte 
determinante 
r r
r F
i j k
r r r
F F F
x y z
x y z
× =
$ $ $
 
r
a 
r
b 
( )rb ⋅ sin α 
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Resolvendo o determinante, vem: 
xzyzxyyxxzzy rjFiFrFrkFrkFrjFriFr ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=× ˆˆˆˆˆ
rrr
 
( ) ( ) ( ) kFrFrjrFFriFrFrFr xyyxxzxzyzzy ˆˆˆ ⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅=× rr 
 
1.4 Cálculo de determinantes 
Cálculo de um determinante de 2ª ordem 
Considere-se a matriz A quadrada de 2 x 2 e onde se pretende calcular o determinante: 






=
2221
1211
aa
aa
A 21122211det aaaaA ⋅−⋅= 
 
Cálculo de um determinante de 3ª ordem 
Considere-se a matriz A quadrada de 3 x 3 e onde se pretende calcular o determinante: 










=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
Passos a seguir: 
1. Multiplicar o elemento a11 (da 1ª linha) pelo determinante menor da sub matriz de A, que se 
obtém eliminando a 1ª linha e a 1ª coluna: 
















333231
232221
1312
aaa
aaa
aa
M
M
KK11a
; ( )3223332211
3332
2322
11 aaaaa
aa
aa
a ⋅−⋅= 
2. Multiplicar o elemento a12 (da 1ª linha) pelo determinante menor da sub matriz de A, que se 
obtém eliminando a 1ª linha e a 2ª coluna: 
















333231
232221
1311
aaa
aaa
aa
M
M
KK 12a
; ( )3123332112
3331
2321
12 aaaaa
aa
aa
a ⋅−⋅= 
3. Multiplicar o elemento a13 (da 1ª linha) pelo determinante menor da sub matriz de A, que se 
obtém eliminando a 1ª linha e a 3ª coluna: 
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















333231
232221
1211
aaa
aaa
aa
M
M
KK 13a
; ( )3122322113
3231
2221
13 aaaaa
aa
aa
a ⋅−⋅=4. Em seguida fazer os três produtos obtidos anteriormente serem precedidos alternadamente sinais 
+ e -, iniciando pelo +: 
( ) ( ) ( )312232211331233321123223332211
333231
232221
131211a
Adet aaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aa
⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−⋅==
 
ou simplificadamente: 
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
333231
232221
131211a
Adet
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a
aaa
aaa
aa
+−== 
 
 
 
1.5 Questões teóricas 
Q1) Quais as grandezas físicas fundamentais envolvidas nas seguintes variáveis e respectivas 
unidades no sistema (S.I.): força; velocidade; posição; aceleração. 
 
Q2) Qual é diferença entre uma grandeza física fundamental e uma grandeza física derivada? 
 
Q3) Qual é a diferença entre um produto interno e um produto externo de vectores? 
 
Q4) Explique o que é e para que serve a teoria da semelhança? 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 Cinemática 
2.1 Introdução 
A cinemática é o capítulo da física que estuda o movimento. 
O repouso e o movimento são conceitos relativos pois dependem do referencial utilizado para 
descrever o movimento. Por exemplo, uma árvore está em repouso em relação à terra mas em 
movimento em relação ao Sol. 
Assim para descrever o movimento, o observador deve definir o referencial que utiliza. 
2.2 Movimento de uma partícula material 
A posição de uma partícula pode ser definida relativamente a um referencial através de um vector 
de posição rr . 
Seja rr1 o vector de posição da partícula no instante t1 e 
r
r2 o vector de posição da partícula no 
instante t2. 
 
 
r
r r i r j r kx y z1 1 1 1= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $ 
 
r
r r i r j r kx y z2 2 2 2= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $ 
 
 
 
Como a posição da partícula altera-se com o tempo, o vector rr é função de t. 
r
r r i r j r kx y z= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $ 
Sendo. 
( )r f tx x= 
( )r f ty y= 
( )r f tz z= 
As equações ( )trx , ( )try e ( )trz são as equações paramétricas do movimento. Neste caso conclui-
se que o vector posição será uma função de t. 
( )rr f t= 
y 
z 
x 
r
r2
r
r1
$i 
$j 
$k 
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Em função do tempo, um ponto material, definido apenas pelas suas coordenadas, em movimento 
vai ocupando sucessivas posições num determinado referencial, formando uma linha que se 
designa trajectória. 
2.3 Vector deslocamento 
Considere-se uma partícula que descreve uma trajectória tal que a sua posição no instante t1 é rr1 e 
no instante t2 é 
r
r2 . 
A diferença entre as posições final e inicial indica a mudança de posição do ponto material, chama-
se deslocamento e designa-se por ∆rr . 
 
∆r r rr r r= −2 1 
 
 
 
 
 
 
 
2.4 Espaço Percorrido 
O espaço corresponde à distância total percorrida e é igual à soma dos módulos dos vários 
deslocamentos elementares. O espaço é sempre um valor positivo. 
s r r rn= + + +∆ ∆ ∆
r r r
1 2 ... 
A um deslocamento nulo pode não corresponder um espaço nulo e a um mesmo deslocamento 
podem corresponder espaços diferentes. O espaço percorrido só é idêntico ao módulo do vector 
deslocamento se a trajectória for rectilínea e se não ocorrerem inversões de sentido. 
 
2.5 Equação da trajectória 
Considere-se um referencial tridimensional ortonormado xyz e vector posição rr dado por. 
r
r r i r j r kx y z= ⋅ + ⋅ + ⋅$ $ $ 
Se a partícula estiver em movimento, rx, ry e rz são funções de t. 
y 
z 
x 
r
r2
r
r1
$i 
$j 
$k 
∆rr 
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As equações que traduzem a variação das coordenadas de posição com o tempo designam-se por 
equações paramétricas do movimento. 
( )x f tx= ; ( )y f ty= ; ( )z f tz= 
Eliminando a variável t neste sistema obtém-se a equação da trajectória. 
 
EXEMPLO: 
Sendo o vector posição de uma partícula dado. 
r
r t i t j= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅2 3 2$ $ 
As equações paramétricas do movimento são. 




⋅=
⋅=
23
2
tr
tr
y
x
 
A equação da trajectória será. 




−−−
=
2
xrt
⇔




⋅=
−−−
2
4
3
xry
 
2.6 Vector velocidade média e vector velocidade instantânea 
O vector velocidade média é a razão entre o vector deslocamento e o intervalo de tempo em que 
esse deslocamento ocorre, ou seja: 
r
r
v
r
tm
=
∆
∆
 
O vector velocidade instantânea é dado pelo vector ∆rr sobre o intervalo ∆t quando este tende para 
zero. 
r
r
v
r
tt
=
→
lim
∆
∆
∆0
 
dt
rd
v
v
r
= 
A direcção de rv é tangente à trajectória no ponto onde se encontra a partícula no instante 
considerado. 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
r
v 
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2.7 Vector aceleração média e vector aceleração instantânea 
O vector aceleração média é dado por: 
r
r
a
v
tm
=
∆
∆
 
A aceleração média tem a direcção e o sentido do vector ∆rv . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vector aceleração instantânea é o limite para que tende o vector aceleração média quando o 
intervalo de tempo tende para zero. 
r r
r
a a
v
tt m t
= =
→ →
lim lim
∆ ∆
∆
∆0 0
 
2
2
dt
rd
dt
vd
a
rr
r
== 
2.8 Componente normal e tangencial do vector aceleração 
Se a trajectória for curvilínea, o vector aceleração está sempre dirigido para a concavidade da 
trajectória. 
2.8.1 Movimento acelerado 
Num certo intervalo de tempo o movimento é acelerado se o módulo da velocidade aumentar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
r
vi 
r
v f 
r
v f 
∆rv 
A 
B 
y 
x 
r
vi 
r
v f 
r
v f 
∆rv 
A 
B 
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2.8.2 Movimento retardado 
Num certo intervalo de tempo o movimento é retardado se o módulo da velocidade diminuir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r r r
a a an t= + 
y 
x 
v
at 
r
a ∆rv 
A 
B 
v
an 
y 
x 
v
at 
r
a 
∆rv 
A 
B 
v
an 
y 
x 
r
vi 
r
v f 
r
v f 
∆rv A 
B 
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2.8.3 Movimento uniforme 
Se num certo intervalo de tempo o módulo da velocidade for constante, o movimento diz-se 
uniforme. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.8.4 Componente normal e tangencial do vector aceleração 
Considere-se uma partícula a descrever uma trajectória curvilínea no plano xy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
v r
a ot ≡ 
∆rv 
A 
B 
v r
a an ≡ 
y 
x 
r
vi 
r
v f 
r
v f 
∆rv 
A 
B 
P 
r
at ran 
r
a 
r
v 
$i 
$j 
x 
y 
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No instante t a partícula encontra-se no ponto P com velocidade com velocidade rv e aceleração ra
. 
Pode-se exprimir ra em função de duas componentes: 
- uma segundo a direcção tangente à trajectória, aceleração tangencial rat ; 
- uma segundo a direcção normal à trajectória, aceleração normal ran . 
r r r
a a an t= + 
Considerandoum versor tangente à trajectória $ut e outro normal à trajectória $un . O vector 
aceleração pode escrever-se da seguinte forma. 
r
a a u a un n t t= ⋅ + ⋅$ $ 
Em que as variáveis têm o seguinte significado: 
r
an está relacionado com a variação da direcção de 
r
v ; 
r
at está relacionado com a variação do modulo de 
r
v . 
Como rv é tangente à trajectória, pode-se escrever que: 
r
v v ut= ⋅ $ 
Sabendo que: 
dt
vd
a
r
r
= 
Pode-se escrever: 
( )
dt
ud
vu
dt
dv
dt
uvd
a tt
t ˆ
ˆ
ˆ
⋅+⋅=
⋅
=
r
 
Numa trajectória curvilínea, a direcção do versor $ut varia e assim 
∂
∂
$u
t
t ≠ 0 . Considerando a 
seguinte figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
α 
αd 
$i 
$j 
x 
y 
R 
α 
P' 
$ut 
$un 
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Em que α é um ângulo que a tangente à curva faz no ponto P com o eixo dos xx. 
Pode-se decompor $ut e $un segundo as direcções dos eixos x e y. 
( ) ( )$ cos $ sin $u i jt = ⋅ + ⋅α α 
jiun ˆ2sin
ˆ
2
cosˆ ⋅





++⋅





+=
pi
α
pi
α 
( ) ( ) jiun ˆcosˆsinˆ ⋅+⋅−= αα 
A derivada de $ut em ordem ao tempo é dada pela seguinte equação. 
( ) ( ) j
dt
di
dt
d
dt
ud t
ˆcosˆsin
ˆ
⋅⋅+⋅⋅−=
α
α
α
α 
Colocando 
dt
dα
em evidência obtém-se. 
( ) ( )[ ]
dt
dji
dt
ud t ααα ⋅⋅+⋅−= ˆcosˆsin
ˆ
 
O que é igual a. 
dt
d
u
dt
ud
n
t α
⋅= ˆ
ˆ
 
Com αd em radianos pode-se escrever: 
RddS ⋅= α 
O que pode ser escrito como. 
RdS
d 1
=
α
 
Ou. 
t
Sd
Sd
d
dt
d
∂
αα
⋅= 
R
v
v
Rdt
d
=⋅=
1α
 
Ou seja. 
n
t u
R
v
dt
ud
ˆ
ˆ
⋅= 
Substituindo 
dt
ud tˆ
 na expressão de ra , 
 
( )
dt
ud
vu
dt
dv
dt
uvd
a tt
t ˆ
ˆ
ˆ
⋅+⋅=
⋅
=
r
 
Vem. 
R 
R 
αd 
dS 
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nt uR
v
vu
dt
dv
a ˆˆ ⋅⋅+⋅=
r
 
nt uR
v
u
dt
dv
a ˆˆ
2
⋅+⋅=
r
 
em que. 
r r r
a a at n= + 
r
a
v
t
ut t= ⋅
∂
∂ $ 
r
a
v
R
un n= ⋅
2
$
 
Se rv = constante → r
r
at = 0 
Se a trajectória for rectilínea ( R = ∞ ) → r
r
an = 0 
Se o ângulo formado entre os vectores rv e ra for: 
< →90º rat e 
r
v têm o mesmo sentido → movimento acelerado; 
> →90º rat e 
r
v têm o sentido contrário → movimento retardado; 
= →90º r
r
at = 0 , o movimento é uniforme. 
 
 
 
EXEMPLO 
Considere um canal rectangular, no qual o escoamento segue com velocidade v. Sabendo que o 
canal descreve uma curva horizontal com raio R. Qual será a inclinação da superfície livre do 
escoamento quando representada numa secção transversal do mesmo? 
 
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Na massa de liquido actua a aceleração da gravidade e a aceleração centrifuga devido à curva 
horizontal que o canal descreve. A inclinação da superfície livre do escoamento irá fazer um 
ângulo com a horizontal por forma a equilibrar estas duas acelerações. Essa inclinação será dada 
por: 






=
g
anarctanθ 






⋅
=
gR
v 2
arctanθ 
( )θtan
2
⋅





=∆ Lh 






⋅
⋅





=∆
gR
vLh
2
2
 
Como a área da secção transversal do escoamento continua a ser a mesma, o aumento de 
profundidade no exterior da curva é compensado pelo aumento de profundidade no exterior da 
mesma. 
Desta forma conclui-se que no dimensionamento de um canal é necessário considerar um aumento 
da altura das paredes laterais quando existem curvas. 
 
 
Refira a definição e a expressão que permite determinar as seguintes grandezas físicas: aceleração 
normal, aceleração tangencial, velocidade média, velocidade instantânea, aceleração angular, 
período, frequência. 
 gr 
 na
r
 
 θ 
h 
 h∆ 
 h∆ 
 θ 
L 
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2.9 Questões teóricas 
Q1) Refira a definição e a expressão que permite determinar as seguintes grandezas físicas: 
aceleração normal, aceleração tangencial, velocidade média, velocidade instantânea, 
aceleração angular, período, frequência. 
 
Q2) Estabeleça a equação da posição angular para um movimento circular uniforme. 
 
 
 
 
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3 Cinemática – movimentos 
Na aula anterior foram analisadas as relações entre as variáveis cinemáticas (posição, velocidade e 
aceleração) na situação mais geral. Agora vão ser analisados casos particulares para movimentos 
rectilíneos uniformes, movimentos rectilíneos uniformemente acelerados, movimentos circulares 
uniformes, movimentos circulares uniformemente acelerados, movimentos harmónicos simples e 
movimento de projécteis sem considerar os efeitos da resistência aerodinâmica. 
3.1 Movimento rectilíneo 
Movimentos rectilíneos são todos os movimentos cuja trajectória é rectilínea. 
 
 
 
Considere-se uma partícula a mover-se numa direcção associada à de um versor $i . Como o vector 
é tangente à trajectória. 
r
v v i= ⋅ $ 
Logo a aceleração será dada por. 
r
r
a
v
t
v
t
i v
i
t
= = ⋅ + ⋅
∂
∂
∂
∂
∂
∂
$
$
 
em que 
iˆ = Constante 
O termo 
0
ˆ r
=⋅
dt
id
v 
Logo podemos escrever. 
i
dt
dv
a ˆ⋅= 
Como foi visto. 
tadt
dv
= 
Logo. 
r
a a it= ⋅ $ 
Ou seja. 
r r
a at= 
$i 
r
v 
x 
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Isto quer dizer que nos movimentos rectilíneos só existe aceleração tangencial. Por isso de uma 
forma geral fala-se simplesmente em aceleração sendo a aceleração e aceleração tangencial a 
mesma coisa. 
Quando se descreve uma variável vectorial num sistema com um único eixo, esta pode ser escrita 
como uma variável escalar sem perda de informação. Se o vector estiver dirigido no mesmo sentido 
do eixo a variável é positiva, caso contrário é negativa. O módulo do vector é dado pelo valor da 
variável e a direcção é a única possível, a do eixo utilizado. 
3.1.1 Movimento rectilíneo uniforme 
Os movimentos rectilíneos uniformes (m.r.u.) são movimentos em que o módulo do vector 
velocidade permanece constante. 
r
v = Constante 
Como nos movimentos rectilíneos a direcção do vector rv é constante. 
r
v = Constante 
Foi visto que. 
dt
vd
a
r
r
= e 
r
v = constante 
Logo. 
r r
a = 0 
O vector velocidade instantânea é constante, pelo que coincide com o vector velocidade média. 
r r
v vm= 
r
v r r
v
r
t
r r
tm
f i
= =
−∆
∆ ∆
 
Neste tipo de movimento. 
r r
v vm= 
Pelo que se pode escrever. 
r
r r
v
r r
t
f i
=
−
∆
 
r r r
r r v tf i= + ⋅ ∆ 
Como o movimento é rectilíneo, é possível escrever a equação do seguinte modo. 
r i r i v i tf i⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅$ $ $ ∆ 
Dividindo a equação pelo versor, obtém-se a equação do movimento rectilíneo uniforme na forma 
escalar. 
r r v tf i= + ⋅ ∆ 
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Nos movimentos rectilíneos que são descritos com base num único eixo as variáveis vectoriais 
posição, velocidadee aceleração são completamente definidas por um escalar uma vez que está 
inerente à equação que têm a direcção do único eixo definido no problema e o sentido será dado 
pelo respectivo sinal. 
É possível chegar ao mesmo resultado com base no cálculo infinitesimal. Neste exemplo utilizamos 
as equações na forma escalar, com conhecimento de que a posição, velocidade e aceleração se 
desenvolvem segundo um único eixo. 
dt
dr
v = 
dtvdr ⋅= 
∫ ⋅= dtvr 
 
Como v é constante resulta 
tvrr i ⋅+= 
Se derivarmos v em ordem ao tempo, obtemos r. Se integrarmos r em ordem ao tempo obtemos v. 
Podemos ver o significado destas operações em termos gráficos. 
 
 
Neste gráfico foi considerado que ti=0 e ri=0 para a visualização ser mais fácil. Nesta situação a 
posição r no instante ti é dada por v.t que representa a área sob a linha das velocidades até ao 
instante tf . 
O declive da linha que define a posição r é igual ao valor da velocidade v. 
 
 
r 
v 
a 
t 
v 
tf ti 
r 
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3.1.2 Movimento rectilíneo uniformemente variado 
Os movimentos rectilíneos uniformemente variados são movimentos em que o escalar da 
aceleração tangencial permanece constante 
r
at , que se pode escrever de uma forma simplificada e 
sem perda de rigor como at . 
at = Constante 
Como se trata de um movimento rectilíneo. 
an = 0 
Como a aceleração é constante o seu valor médio é igual ao valor instantâneo. 
r r
a am= 
r
r r
a
v v
tm
f i
=
−
∆
 
Pode escrever-se. 
r
r r
a
v v
t
f i
=
−
∆
 
Ou seja. 
r r r
v v a tf i= + ⋅ ∆ 
tiaiviv if ∆⋅⋅+⋅=⋅ ˆˆˆ 
Dividindo por iˆ resulta. 
v v a tf i= + ⋅ 
Pela definição de velocidade. 
dt
rd
v
r
r
= 
Pode-se estabelecer a seguinte equação diferencial ordinária de 1ª ordem. 
dtvrd ⋅= rr 
( ) dttavrd i ⋅⋅+= rrr 
Integrando a equação interior. 
( ) dttavr i ⋅⋅+= ∫ rrr 
Da sua resolução resulta. 
r r r r
r r v t a tf i i= + ⋅ + ⋅ ⋅
1
2
2
 
Representação típica do comportamento da posição, velocidade e aceleração em função do tempo 
num movimento rectilíneo uniformemente variado m.r.u.v. 
 
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Para qualquer m.r.u. temos sempre a aceleração definida por uma recta horizontal a velocidade 
definida por uma recta qualquer e a posição definida por uma parábola. 
dt
dr
v = 
dt
dv
a = = constante 
3.2 Movimento circular 
Designam-se por movimentos circulares aqueles em que a trajectória é circular ou seja o raio R é 
constante. 
Considerando uma partícula a descrever uma trajectória circular no plano xy em que R é o raio da 
trajectória. 
r, v, a 
t 
a 
v 
r 
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Em que as variáveis representadas na figura anterior assumem os seguintes significados: 
S comprimento do arco descrito pela partícula; 
dt intervalo de tempo; 
θ ângulo ao centro; 
rR r= raio da trajectória. 
Nestes movimentos podemos utilizar coordenadas polares para definir a posição. Como o raio é 
constante, a posição fica definida pelo ângulo ao centro. Quando a partícula descreve um ângulo ao 
centro θ a distância S percorrida pela partícula é dada por. 
RS ⋅= θ 
3.2.1 Velocidade angular 
Como a posição é definida pela posição angular θ podemos definir a velocidade angular com o 
ângulo ao centro varrido por unidade de tempo. 
tmedio ∆
∆
=
θ
ω
r
 
No limite quando 0→∆t temos: 
tot ∆
∆
=
→∆
θ
ω limr 
dt
dθ
ω =
r
 
A velocidade angular é uma grandeza vectorial com direcção normal ao plano do movimento e 
sentido dado pela regra da mão direita. 
Podemos então escrever: 
x 
y 
z 
r
v 
r
r θ 
r
ω 
S 
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r r
ω ω= ⋅ $k 
Em que $k é o versor que define a direcção e sentido do eixo z. 
Como o espaço percorrido é definido por. 
RS ⋅= θ 
Derivando em ordem ao tempo obtém-se a relação entre velocidade ou velocidade linear e 
velocidade angular. 
dt
dRR
dt
d
dt
dS
⋅+⋅= θθ 
Como o raio R é constante, resulta. 
Rkuv t ⋅⋅=⋅ ˆˆ ω 
3.2.2 Aceleração angular 
Derivando o vector velocidade angular em ordem ao tempo, obtém-se a aceleração angular: 
r
v
α
∂ω
∂= t 
3.2.3 Movimento circular uniforme 
Neste tipo de movimentos o módulo do vector velocidade é constante, mas a sua direcção altera-se 
constantemente. 
v = Constante 
r
v ≠ Constante 
Assim temos as seguintes relações. 
00 =→= tadt
dv
 
00
rr
r
≠→≠ a
dt
vd
 
O que nos leva a concluir que só existe aceleração normal à trajectória: 
r r
a an= 
Como. 
v = Constante 
v vm= 
v
S
t
=
∆
∆
 
O espaço S é dado pela seguinte expressão: 
tvS ∆⋅=∆ 
tvSS ∆⋅=− 12 
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tvSS ∆⋅+= 12 
Neste movimento v e R são constantes. 
v R= ⋅ω 
ω =
v
R
 e ω = constante 
A aceleração angular: 
0==
dt
dω
α 
Como ω = constante, a partícula descreve ângulos ao centro iguais em iguais intervalos de tempo. 
tmedio ∆
∆
==
θ
ωω 
ω
θ θ
=
− 0
∆t
 
θ θ ω= + ⋅0 ∆t 
No movimento circular uniforme, o vector aceleração é radial, centrípeto, portanto normal ao 
vector velocidade em cada ponto e de módulo constante. 
 
 
 
r r r
a a aA B C= = 
r r r
v v vA B C= = 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2.3.1 Período 
O período (T) é o intervalo de tempo ao fim do qual as características posição, vector velocidade e 
vector aceleração se repetem. 
r
aA 
r
aB 
r
aC 
A 
B 
C 
r
vA 
r
vB 
r
vC 
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3.2.3.2 Frequência 
A frequência de um movimento circular uniforme (m.c.u) é o número de voltas por unidade de 
tempo que a partícula descreve. 
Sendo R o raio da trajectória e T o período do movimento, vem. 
v
R
T
=
⋅ ⋅2 pi
 
Como. 
v R= ⋅ω 
ω =
v
R
 
Podemos escrever que. 
ω
pi
pi=
⋅ ⋅
⋅
= ⋅ ⋅
2
2
R
T R
f 
3.2.4 Movimento circular uniformemente variado 
Neste tipo de movimento, a aceleração angular é constante. 
α =constante 
Como. 
dt
dω
α = 
dtd ⋅= αω 
ω α ∂= ⋅∫ t 
ω ω α= + ⋅0 t 
E porque. 
dt
dθ
ω = 
dtd ⋅= ωθ 
Substituindo. 
( ) dttd ⋅⋅+= αωθ 0 
Integrando. 
( ) dtt ⋅⋅+= ∫ αωθ 0 
Obtém-se. 
θ θ ω α= + ⋅ + ⋅ ⋅0 0 2
1
2
t t 
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3.3 Projecteis 
O movimento efectuado por um projéctil descreve uma trajectória plana em forma de parábola. 
Trata-se da soma de dois movimentos, um segundo a horizontal e outro segundo a vertical. 
Um projéctil, se desprezarmos a resistência do ar, após ter sido lançado só está sujeito à acção da 
gravidade rg . Este vector tem a direcção vertical e é dirigido de cima para baixo. 
A componente horizontal do movimento é um movimento rectilíneo uniforme. A componente 
vertical é um movimento rectilíneo uniformemente variado. 
( )rr r v t i r v t g t jx x y y= + ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅ ⋅  ⋅0 0 0 0 212$ $ 
( )rv v i v g t jx oy= ⋅ + − ⋅ ⋅0 $ $ 
jga ˆ⋅−=r3.4 Questões teóricas 
Q1) Prove que a trajectória de um projéctil é parabólica. 
 
Q2) Indique o conceito de período e de frequência 
 
r
v y0 
r
v x0 
r
v0 
r
r0 
$i 
$j 
x 
y 
r
r x0 
r
r y0 
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Q3) Explique porque razão dois objectos em queda livre no vácuo, com massas e volumes 
diferentes, partindo do repouso, percorrem a mesma distância no mesmo intervalo de tempo? 
Apresente a equação que traduz o fenómeno. 
 
Q4) Estabeleça a partir da equação da aceleração normal e aceleração tangencial a relação entre o 
tempo e o ângulo formado entre o vector velocidade e o vector aceleração num movimento circular 
uniformemente acelerado. Assuma que a partícula partiu do repouso. 
 
Q5) Represente os gráficos posição/tempo, velocidade/tempo e aceleração/tempo para o 
movimento rectilíneo uniformemente variado, nas variantes de ser acelerado e de ser acelerado. 
 
 
 
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4 Estática das partículas no plano 
Este capítulo estuda o efeito das forças que actuam em partículas. 
Por partícula entende-se um corpo com dimensões desprezáveis, pelo que a sua forma e dimensão 
não alteram significativamente os resultados do problema. 
4.1 Forças actuantes numa partícula 
Uma força representa a acção de um corpo sobre outro e é representada pela sua intensidade, ponto 
de aplicação, direcção e sentido. 
Forças actuantes numa partícula têm o mesmo ponto de aplicação. 
Uma força representa-se por um segmento de recta orientado, o que se pode denominar por vector. 
O módulo do vector representa a intensidade da força. No sistema internacional a unidade de força 
é o Newton (N). Na engenharia civil é comum utilizar o quilo newton (kN), pois lida-se com forças 
grandes e com a utilização de um múltiplo, evita o uso de números com muitos dígitos nos 
cálculos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.2 Resultante de sistemas de forças concorrentes 
Se actuam numa partícula várias forças, estas podem ser substituídas por uma única força chamada 
resultante, a qual produz o mesmo efeito sobre a partícula. A resultante é calculada pela soma das 
forças que actuam sobre a partícula. 
21 FFR
rrr
+= 
 
 
 
 
 
 
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Regra do paralelogramo 
4.3 Resultante de várias forças 
Se uma partícula é actuada por várias forças, a resultante é dada pela sua soma vectorial 
321 FFFR
rrrr
++= 
O que graficamente corresponde a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra do polígono, a qual corresponde à repetição da regra do paralelogramo 
 
 
1F
r
 
1F
r
 
2F
r
 
2F
r
 
3F
r
 
3F
r
 
R
r
 
R
r
 
1F
r
 
2F
r
 
R
r
 
UNIVERSIDADE DO ALGARVE – LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL – FÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CIVIL 2008/2009 37
 
4.4 Decomposição de uma força em componentes 
Tal como um conjunto de forças concorrentes, pode ser substituído por uma força resultante. Logo 
esta resultante pode ser por várias forças concorrentes. O número de combinações de forças 
concorrentes é infinito. 
Por razões práticas é frequente decompor uma força nas suas componentes. 
yx FFF
rrr
+= 
jFiFF yx ˆˆ ⋅+⋅=
r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em que as componentes escalares Fx e Fy são dadas por: 
( )αcos⋅= FFx 
( )αsin⋅= FFy 
Porem o problema pode colocar-se de outra forma. É conhecida a força R
r
e uma das componentes. 
21 FFR
rrr
+= 
12 FRF
rrr
−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
F
r
 
yF
r
 
xF
r
 
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Neste caso, com base na regra do paralelogramo, constrói-se o seguinte esquema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra do paralelogramo 
Pela regra do polígono 
)( 12 FRF
rrr
−+= 
 
 
 
 
 
 
 
Regra do polígono 
4.5 Equilíbrio de uma partícula 
Uma partícula diz-se em equilíbrio quando a resultante de todas as forças que lhe são aplicadas é 
nula. 
Uma partícula sujeita à acção de duas forças, está em equilíbrio se essas forças tiverem a mesma 
linha de acção, a mesma intensidade e sentidos opostos. 
( ) 011 rrr =−+ FF 
 
 
 
R
r
 
1F
r
 
R
r
 
1F
r
 
2F
r
 
1F
r
 
- 1F
r
 
R
r
 
2F
r
 
1F
r
− 
1F
r
 
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0321
rrrr
=++ FFF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o conjunto de forças que actuam numa partícula forma um polígono fechado, essa partícula 
encontra-se em equilíbrio. Nesta situação podemos escrever. 
0
1
rrr
== ∑
=
n
i
iFR 
No final do século VXII, Sir Isaac Newton, formulou três leis fundamentais nas quais se baseia a 
física mecânica também designada por física clássica ou física Newtoriana. A primeira dessas leis é 
enunciada como: 
 
1ª Lei de Newton “Se a força resultante actuando sobre uma partícula é nula, a partícula 
permanecerá em repouso (se inicialmente estiver em repouso) ou mover-se-á com velocidade 
constante e em linha recta (se estiver inicialmente em movimento) ” 
Os princípios da estática de um ponto material assentam nesta lei e na definição de equilíbrio de 
uma partícula. 
4.6 Diagrama de corpo livre 
Na prática, os problemas em Engenharia Civil derivam de situações físicas reais. Um esquema que 
represente as condições físicas do problema chama-se diagrama espacial. 
Existem muitos problemas reais que podem ser reduzidos a problemas referentes ao equilíbrio de 
uma partícula. 
1F
r
 
2F
r
 
3F
r
 
4F
r
 
1F
r
 
2F
r
 
3F
r
 
4F
r
 
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Exemplo 01 – Como calcular as forças de tracção aplicadas pelos cabos 1 e 2 no bloco? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama espacial 
 
Diagrama espacial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de corpo livre 
 
O polígono formado pelas três forças aplicadas no corpo é fechado, logo a resultante é nula. Nesta 
situação, o corpo está em equilíbrio. 
As forças 1F
r
 e 2F
r
 podem ser calculadas através da condição de equilíbrio de uma partícula. 
∑ = 0
rr
F 
Na prática é mais simples lidar com as componentes cartesianas das forças 
 
 
 
2 
1 
2F
r
 
1F
r
 
gF
r
 2F
r
 
1F
r
 
gF
r
 
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0=∑ xF 
0=∑ yF 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0=∑ xF ⇔ ( ) ( ) 0coscos 21 =⋅−⋅ βα FF 
0=∑ yF ⇔ ( ) ( ) 0sinsin 21 =−⋅+⋅ gFFF βα 
 
Estas equações são resolvidas simultaneamente para as incógnitas 1F e 2F . 
 
Exemplo 02 – Cálculo da força aplicada por um cabo a segurar um bloco assente num plano 
inclinado sem atrito. 
 
 
gF
r
 
nR
r
 
α 
T
r
 
α 
β 
x 
y 
2F
r
 
1F
r
 
gF
r
 
α β 
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gF
r
 peso do bloco 
nR
r
 reacção normal do plano sobre o bloco 
T
r
 força exercida pelo cabo no bloco 
 
Aplicando as equações de equilíbrio. 
0=∑ xF 
0=∑ yF 
Resulta. 
0=∑ yF 
0)cos()sin( =⋅−⋅+ αβ gn FTR 
Nesta equação temos duas variáveis cujo valor é desconhecido, logo não é possível calcular o valor 
de T . 
Analisando o equilíbrio de forças segundo x : 
0=∑ xF 
( ) ( ) 0cossin =⋅−⋅ βα TFg 
( )
( )β
α
cos
sin⋅
=
gFT 
 
Este exemplo demonstra a necessidade de saber visualizar no diagrama de corpo livre qual ou quais 
são as direcções mais convenientes para aplicar as condições de equilíbrio. 
 
4.7 Questões teóricas 
Q1) Estabeleça o diagrama de corpo livre para a seguinte situação. Represente as forças actuantes 
no cabo e na barra. 
 
 
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A figura representa uma barra inclinada com peso Fg segura por um cabo de massa desprezável. 
 
 
Q2) Considerando a mesma situação, estabeleça a equação para o cálculo da força de tracção a que 
o cabo AC está sujeito. 
 
 
 
 
 
 
 θ 
 β 
 α 
 A 
 B C 
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5 Dinâmica de uma partícula 
A dinâmica estuda as relações entre as forças que actuam na partícula e os movimentos por ela 
adquiridos. 
A estática estuda as condições de equilíbrio de uma partícula. 
5.1 As três leis do movimento de Newton 
Newton estudou e desenvolveu as ideias de Galileu sobre o movimento e estabeleceu três leis que 
têm hoje o seu nome. 
1ª Lei de Newton 
"Todos os corpos permanecem no seu estado de repouso ou de movimento rectilíneo uniforme a 
não ser que sejam obrigados a modificar esse estado por acção de forças aplicadas." 
Da 1ª lei de Newton podemos concluir que: 
- Quando um corpo está em repouso, não actua nenhuma força, ou actua um sistema de forças cuja 
resultante é nula; 
- Quando um corpo tiver movimento rectilíneo uniforme não actua nele nenhuma força ou actua 
um sistema de forças cuja resultante é nula. 
Quando um corpo está numa situação de equilíbrio (
r r
Fi∑ = 0 ), esse equilíbrio pode ser estático (
r r
v = 0 ) ou dinâmico ( r
r
a = 0 e rv = constante). 
2ª Lei de Newton 
"A aceleração de um corpo é directamente proporcional à intensidade da força resultante, tem a 
mesma direcção e o mesmo sentido que esta e é inversamente proporcional à massa do corpo." 
O enunciado desta lei é traduzido pela expressão: 
r
r
r r
a
F
m
F m a= ⇔ = ⋅ 
A unidade de força chama-se Newton (N) e corresponde a uma força constante com intensidade 
igual a uma unidade que aplicada a uma massa de 1 kg, comunica-lhe uma aceleração de 1 m/s2. 
Relação entre as direcções e sentidos de rv , ra e 
r
F : 
1) Aplicando a um corpo em repouso uma força 
r
F constante em direcção, sentido e intensidade, 
ele adquire movimento rectilíneo uniformemente acelerado (m.r.u.a.) com direcção e sentido da 
força. 
 
 
 
Nesta situação rv , ra e 
r
F têm a mesma direcção e sentido. ra e 
r
F são constantes. 
r
F 
r r
v0 0= 
r
v1 
r
v2 
r
F 
r
F 
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2) Aplicando a um corpo com velocidade rv0 uma força 
r
F constante na mesma direcção mas 
sentido contrário do de rv0 , o corpo terá movimento rectilíneo uniformemente retardado (a 
velocidade e a aceleração têm sentidos contrários). 
 
 
 
 
 
3) Se 
r
F tiver direcção diferente da de rv , o corpo passa a ter uma trajectória curva, pelo que se 
altera a direcção de rv . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em todas as situações 
r
F e ra têm a mesma direcção e sentido. 
3ª Lei de Newton 
"A qualquer acção opõe-se sempre uma reacção igual, ou seja, as acções mutuas de dois corpos 
um sobre o outro são sempre iguais e de sentidos opostos." 
Esta lei exprime uma propriedade importante das forças: as forças nunca aparecem isoladas, mas 
sempre aos pares como resultado da interacção entre dois corpos. 
O par acção reacção tem as seguintes características: 
- a mesma linha de acção; 
- sentidos opostos; 
- mesma intensidade, 
- estão aplicados em corpos diferentes. 
 
 
 
 
 
 
r
F 
r
v0 
r
v1 
r
v2 
r
F 
r
F 
r
a 
r
F 
r
a rv 
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Em que: 
r
FA B, Força aplicada no corpo A pelo corpo B 
r
FB A, Força aplicada no corpo B pelo corpo A 
Estes dois vectores são simétricos: 
r r
F FA B B A, ,= − 
É totalmente errado somar estes dois vectores e dizer que o resultado é nulo pois estas forças são 
aplicadas em corpos diferentes. 
5.2 Relação entre 
r
F e ra e sua aplicação aos vários tipos de movimento 
Como foi visto, a 2ª lei de Newton ou lei fundamental da dinâmica é: 
r rF m a= ⋅ 
Como: 
r r r
a a an t= + 
( )r r rF m a an t= ⋅ + 
r r rF m a m an t= ⋅ + ⋅ 
Logo: 
r r r
F F Fn t= + 
Em que: 
r
F m
v
R
un n= ⋅ ⋅
2
$
 
r
F m
v
t
ut t= ⋅ ⋅
∂
∂ $ 
A componente da força normal à trajectória 
r
Ft é responsável pela variação da direcção da 
velocidade e a componente tangente à trajectória causa a alteração do módulo da velocidade. 
r
FA B, 
A B r
FB A, 
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Se relacionarmos os vectores 
r
Fn e 
r
Ft com 
r
an e 
r
at nos vários tipos de movimentos, podemos 
concluir que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.3 Forças de ligação 
Forças de ligação são forças que condicionam o movimento de um determinado corpo, como por 
exemplo: 
- Tracções em cabos; 
- Reacção normal de planos; 
- Forças de atrito. 
Considere-se o seguinte corpo suspenso. O dispositivo é constituído por um apoio A, um cabo C e 
uma esfera E. 
 
 
 
 
 
 
E 
C 
A 
Movimentos 
Rectilíneos 
r r
Fn = 0 
r r
an = 0 
Curvilíneos 
r r
Fn ≠ 0 
r r
an ≠ 0 
Uniformes 
r r
Ft = 0 
r r
at = 0 
Variados 
r r
Ft ≠ 0 
r r
at ≠ 0 
Uniformes 
r r
Ft = 0 
r r
at = 0 
Variados 
r r
Ft ≠ 0 
r r
at ≠ 0 
 
r r
F Ft= 
r r
F = 0 
r r
F Fn= 
r r r
F F Fn t= + 
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Na esfera actua a força gravítica 
r
Fg e a força de tracção aplicada pelo cabo 
r
FE C, . No cabo actua o 
peso da esfera que tracciona o cabo e na outra extremidade actua a força aplicada pelo apoio no 
cabo. No apoio actua a força aplicada pelo cabo 
r
FA C, e um conjunto de forças não representadas 
exercidas pela estrutura que suporta o apoio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como todos os elementos estão em equilíbrio estático, a resultante das forças aplicadas em cada um 
destes elementos é nula 
r r
Fi∑ = 0 . 
No esquema acima existem dois pares acção reacção, um na ligação entre a esfera e o cabo e outro 
na ligação entre o cabo e o apoio. 
5.3.1.Pendulos 
Um pêndulo gravítico simples é um sistema constituído por um corpo, normalmente uma esfera, 
com uma massa m e um fio inextensível e de massa desprezível. 
A trajectória é circular com raio igual ao comprimento do fio l e centro no ponto de suspensão O.r
FE C, 
E 
C 
A 
r
FC E, 
r
FC A, 
r
FA C, 
r
Fg 
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A figura acima representada é o diagrama de corpo livre da massa. Nela estão representadas todas 
as forças aplicadas na esfera. 
Consideram-se um sistema de eixos tn em que o eixo t é tangente e o eixo n é normal à trajectória. 
Uma vez que o referencial é ortonormado, é possível fazer o somatório das forças segundo cada um 
dos eixos de forma independente. 
Uma vez que o sistema de eixos acompanha o movimento da massa do pêndulo, segundo n não há 
variação da posição, a distancia à origem é constante, a velocidade é nula e a aceleração é nula e 
consequentemente a resultante das forças que actuam segundo esta direcção também é nula. 
Fn =∑ 0 
( ) ng amFT ⋅=⋅− θcos 
( )T m g m v
l
= ⋅ ⋅ + ⋅cos θ
2
 
O somatório das forças segundo a tangente à trajectória é diferente de zero. Segundo esta direcção 
existe variação da velocidade e aceleração não constante. 
Fn ≠∑ 0 
( )F Ft g= ⋅∑ sin θ 
( )F m gt = ⋅ ⋅∑ sin θ 
Como: 
F m a= ⋅ 
Conclui-se que: 
A 
B 
O 
C 
 
v
Fg 
v
T 
 
v
Fgn 
v
Fgt 
n 
t 
θ 
θ 
 
v
Fc 
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( )a gt = ⋅ sin θ 
A aceleração a que a massa está sujeita no pêndulo gravítico não é constante, mas sim uma função 
sinusoidal do ângulo que o cabo faz com a vertical. 
Desta expressão e das relações estudadas na cinemática pode-se concluir que a aceleração é sempre 
tangente à trajectória, dirigida na direcção do ponto mais baixo. É máxima nas posições extremas e 
nula quando o pêndulo passa pela vertical. 
A velocidade é nula nas extremidades e máxima quando o pêndulo passa pela vertical. 
5.3.2 Reacção de superfícies 
Sempre que um corpo está apoiado numa superfície, exerce sobre ela uma força compressora à qual 
se opõe uma reacção que a superfície aplica no corpo. Esta força 
r
R subdivide-se em duas 
componentes, uma normal à superfície 
r
Rn e outra tangencial à superfície 
r
Rt . Esta última costuma 
designar-se por força de atrito. 
 
r r r
R R Rn t= + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A força exercida pelo corpo na superfície A
r
 e a reacção normal da superfície 
r
Rn formam um par 
acção reacção. 
r r
N Rn= − 
Como o corpo está imóvel, o somatório das forças que lhe são aplicadas é nula, tal que: 
r r r
F Rg n+ = 0 
Se a um corpo em repouso assente sobre uma superfície horizontal aplicarmos uma força 
r
F , a 
superfície apresenta uma resistência ao movimento que se traduz por uma força tangente à 
superfície com sentido contrário ao movimento. Essa força designa-se por força de atrito. 
A
r
 
r
Rn 
r
Fg 
CM 
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Existem forças de atrito estático e forças de atrito cinético. Se não existe movimento relativo entre 
as duas superfícies o atrito é estático, se existe movimento relativo entre as duas superfícies, o 
atrito é cinético. 
A experiência demonstra que as forças de atrito estáticas são superiores às forças de atrito 
dinâmicas para a maioria dos materiais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na situação acima referida podem acontecer duas situações: 
1) a força 
r
F é superior à força de atrito estático 
r
Fae , o corpo entra em movimento e o atrito passa 
a ser cinético 
r
Fak ; 
2) a força 
r
F é inferior à força de atrito estático 
r
Fae e o corpo permanece em repouso. 
A força de atrito é calculada por: 
r r
F Ra n= ⋅µ 
Para o cálculo do atrito estático, emprega-se o coeficiente de atrito estático µ e e para o cálculo do 
atrito cinético utiliza-se o coeficiente de atrito cinético µ k . 
Considere-se um corpo colocado sobre um plano inclinado que faz um determinado ângulo θ com 
a horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
r
N 
r
Rn 
r
Fg 
CM 
r
F 
r
Fa 
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Nesta situação, segundo o eixo n não se há movimento, este apenas ocorre segundo a tangente à 
superfície definida pelo eixo t. Desta forma pode-se escrever que: 
Fn =∑ 0 
( )R Fn g− ⋅ =cos θ 0 
( )R Fn g= ⋅ cos θ 
Quanto à resultante segundo o eixo t: 
( )F F Ft g a= ⋅ −∑ sin θ 
( )F m g Rt n= ⋅ ⋅ − ⋅∑ sin θ µ 
( ) ( )F m g m gt = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅∑ sin cosθ µ θ 
( ) ( )( )F m gt = ⋅ ⋅ − ⋅∑ sin cosθ µ θ 
Os valores dos coeficientes de atrito dependem dos materiais das duas superfícies que tendem a 
deslizar entre si. São referidos no quadro seguinte, a título de exemplo, os valores dos coeficientes 
de atrito para alguns materiais. 
 
 
 
 
 
 
θ 
r
Fg 
t 
n 
( )r rF Fgn g= ⋅ cos θ 
( )r rF Fgt g= ⋅ sin θ 
r r
F Ra n= ⋅µ 
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MATERIAIS µ e µ k 
cobre / ferro 1.1 0.3 
aço / aço 0.7 0.5 
aço / madeira 0.4 0.2 
aço / teflon 0.04 0.04 
 
 
5.4 Movimento harmónico simples 
Quando a força aplicada num corpo é proporcional ao afastamento do ponto de equilíbrio e no 
sentido desse mesmo ponto, o movimento que se desenvolve é harmónico simples. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A força F será dada por: 
F k x= − ⋅ 
F m a= ⋅ 
− ⋅ = ⋅k x m a 
logo, explicitando a aceleração: 
 
r
F 
 
r
F 
 0
rr
=F 
 x 
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a
k
m
x= − ⋅ 
como a aceleração é a segunda derivada do deslocamento: 
d x
dt
k
m
x
2
2 = − ⋅ 
se substituir: 
k
m
= ω 2 
d x
dt
x
2
2
2
= − ⋅ω 
a solução da equação diferencial acima, é: 
( )x A t= ⋅ ⋅ +sin ω φ 
isto pode ser provado da seguinte forma: 
a primeira derivada de x em ordem ao tempo é: 
( )dxdt A
d
dt t= ⋅ ⋅ +sin ω φ 
( )dxdt A t= ⋅ ⋅ ⋅ +ω ω φcos 
a segunda derivada será: 
( )d xdt A
d
dt t
2
2 = ⋅ ⋅ ⋅ +ω ω φcos 
( )d xdt A t
2
2
2
= − ⋅ ⋅ ⋅ +ω ω φsin 
logo prova-se que: 
( )d x
dt
x t
2
2
2
= − ⋅ω 
O movimento harmónico simples aplica-se a todos os corpos que oscilam em torno de uma posição 
de equilíbrio (PE) e que estão sujeitos a uma força directamente proporcional ao afastamento da 
(PE) dirigida no sentido da (PE). Aplica-se a pêndulos gravíticos com pequena amplitude de 
movimentos e a osciladores de um ou mais graus de liberdade. Os osciladores têm aplicação na 
Engenharia Civil por serem utilizados como modelos simplificados do comportamento dinâmico de 
estruturas de edifícios. 
 
 
 
 
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6 Quantidade de movimento de um sistema de partículas 
6.1 Impulso de uma força 
Forças diferentes poderão originar acréscimos iguais de velocidade na mesma partícula, desde que 
actuem de modo a ser constante o produto da força pelo seu tempo de actuação. 
r r
J F t= ⋅ ∆ 
 
 
 
 
 
 
r r
J F t
n
i
i
n
= ⋅
→∞
=
∑lim ∆
1
 
r r
J F t
t
t
= ⋅∫
1
2
∂ 
 
 
1t 2t 
 mF 
 J 
t1 t2 t(s) 
F(N) 
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